5 向心加速度
基础巩固
?[2017·杭州二中期中] 下面关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种线速度和角速度都不断改变的运动
C．匀速圆周运动是一种线速度和加速度都不断改变的运动
D．匀速圆周运动是一种匀变速运动
?(多选)下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与圆周运动的速度方向垂直
B．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
C．做圆周运动时，向心加速度一定指向圆心
D．地球自转时，各点的向心加速度都指向地心
?做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1＞a2，下列判断正确的是( )
A．甲的线速度大于乙的线速度
B．甲的角速度比乙的角速度小
C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快
? (多选)小球做匀速圆周运动，半径为R，向心加速度为a，则( )
A．小球的角速度为ω＝
B．小球的角速度为ω＝
C．小球的线速度为v＝
D．小球的运动周期为T＝2π
? 如图5-5-1所示，一个圆环以直径AB为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是( )
图5-5-1
A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点的向心加速度方向均不同
C．线速度的大小vP>vQ>vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
? [2016·东北师大附中摸底] A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们的路程之比为4∶3，运动方向改变的角度之比为3∶2，则它们的向心加速度之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．4∶3 D．3∶4
? 如图5-5-2所示，O1和O2是摩擦传动的两个轮子，O1是主动轮，O2是从动轮，O1和O2两轮的半径之比为1∶2.a、b两点分别在O1、O2两轮的边缘，c点在O2上且与其轴心距离为轮半径的一半．若两轮不打滑，则a、b、c三点的向心加速度之比为( )
图5-5-2
A．2∶2∶1
B．1∶2∶2
C．1∶1∶2
D．4∶2∶1
能力提升
? (多选)一个小球被一细绳拴着在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，则( )
A．小球的角速度为ω＝
B．小球在时间t内通过的路程为s＝t
C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝
D．小球可能发生的最大位移为2R
? 甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里，甲转过60圈，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为( )
A．3∶4 B．4∶3
C．4∶9 D．9∶16
如图5-5-3所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球．当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
图5-5-3
A．ω2R B．ω2r
C．ω2Lsin θ D．ω2(r＋Lsin θ)
(多选)如图5-5-4所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，a、b为球面上两点，b点所在大圆与转轴垂直，a点所在大圆与b点所在大圆夹角为θ，则( )
图5-5-4
A．a、b两点线速度相同
B．a、b两点角速度相同
C．若θ＝30°，则a、b两点的速度之比为va∶vb＝∶2
D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝2∶
钟表的时针、分针和秒针的针尖都在做圆周运动，它们的角速度之比是________；如果三针的长度之比是2∶3∶3，那么，三针尖的线速度之比是________，向心加速度之比是________．
综合拓展
一辆轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m的圆形跑道行驶．当轿车从A点运动到B点时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°，求：
(1)此过程中轿车的位移大小；
(2)此过程中轿车运动的路程；
(3)轿车运动的向心加速度大小．
如图5-5-5所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍．压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度为多大？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度为多大？
图5-5-5
飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可以看成圆弧，如图5-5-6所示，如果这段圆弧的半径r＝800 m，飞行员能承受的最大加速度为8g.飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g取10 m/s2)
图5-5-6
1．C [解析] 匀速圆周运动中，线速度和加速度的大小均不变，方向均不断改变，所以匀速圆周运动是变速运动，因加速度改变，故匀速圆周运动不是匀变速运动，选项A、D错误，选项C正确；匀速圆周运动的角速度不变，选项B错误．
2．AC
3．D [解析] 根据公式an＝＝ω2r，因为不知道甲、乙各自轨道半径的大小，所以不能比较线速度、角速度的大小，正确答案为D.
4．BD [解析] 由a＝ω2R得ω＝，A错误，B正确；由a＝得v＝，C错误；由T＝得T＝2π，D正确．
5．C [解析] 圆环以直径AB为轴匀速转动，圆环上各点角速度相等，根据an＝ω2r可知，向心加速度的大小与到转轴AB的距离成正比，故aP＞aQ＞aR，选项A错误；向心加速度的方向均水平指向AB轴，故任意时刻P、Q、R三点的向心加速度方向相同，选项B错误；由图可知，半径rP＞rQ＞rR，由v＝ωr可知，线速度的大小vP＞vQ＞vR，选项C正确；线速度的方向垂直圆环面指向转动方向，故任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均相同，选项D错误．
6．B [解析] 在相同时间内，它们的路程之比为4∶3，则线速度之比为4∶3，运动方向改变的角度之比为3∶2，则角速度之比为3∶2，由a＝ωv可知，它们的向心加速度之比＝＝2，选项B正确．
7．D [解析] a、b两点的线速度大小相同，b、c两点的角速度相同，a、b、c三点做圆周运动的半径之比为1∶2∶1，由公式a＝ωv，v＝rω，可求出向心加速度之比为4∶2∶1.
8．ABD [解析] 由向心加速度公式an＝ω2R可得ω＝，选项A正确；在时间t内通过的路程为s＝vt，而an＝，可得s＝t，选项B正确；小球可能发生的最大位移为圆的直径，即2R，选项D正确；小球做匀速圆周运动的周期T＝＝2π，选项C错误．
9．B [解析] 根据公式a＝ω2r及ω＝2πn，得＝·＝，选项B正确．
10．D
11．BC [解析] a、b两点同轴转动，角速度相同，由于半径不同，线速度不同，由v＝ωr得，va∶vb＝ra∶rb＝R∶R＝∶2，由an＝ω2r得，aa∶ab＝ra∶rb＝∶2，A、D错误，B、C正确．
12．1∶12∶720 1∶18∶1080 1∶216∶777 600
[解析] 钟表的时针、分针和秒针转动一周所用的时间分别是12×3600 s、3600 s和60 s，所以时针、分针和秒针的转动周期之比是720∶60∶1；由ω＝得，它们的角速度之比是1∶12∶720；由v＝ωr得，它们的线速度之比是1∶18∶1080；由an＝ω2r得，它们的向心加速度之比是1∶216∶777 600.
13．(1)84.9 m (2)94.2 m (3)15 m/s2
[解析] (1)轿车的位移大小为从初位置到末位置的有向线段的长度，做圆周运动转过的角度为90°，故位移x＝R＝×60 m≈84.9 m.
(2)轿车运动的路程等于圆周运动的弧长，即s＝Rθ＝60× m＝94.2 m.
(3)向心加速度an＝＝ m/s2＝15 m/s2.
14．24 cm/s2 4 cm/s2
[解析] 大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等．
由aA＝、aB＝及R＝2r得aB＝aA＝24 cm/s2
C点和A点同在大轮上，角速度相同，由aA＝ω2R和aC＝ω2·得aC＝＝4 cm/s2.
15．253 m/s
[解析] 飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过8g才能保证飞行员的安全．由公式an＝得v＝＝ m/s≈253 m/s.
课件30张PPT。5 向心加速度1．知道匀速圆周运动是变速运动，存在加速度．
2．理解匀速圆周运动的加速度指向圆心，所以又叫作向心加速度．
3．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式．
4．能够运用向心加速度公式求解有关问题．教学目标【重点】
理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式．
【难点】
向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的应用．重点难点 本节内容是在原有加速度概念的基础上来讨论“匀速圆周运动速度变化快慢”的问题．
向心加速度的方向是本节的学习难点和重点．要化解这个难点，首先要抓住要害，该要害就是“速度变化量”．对此，可以先介绍直线运动的速度变化量，然后逐渐过渡到曲线运动的速度变化量，并让学生掌握怎样通过作图求得曲线运动的速度变化量，进而最后得出向心加速度的方向．教学建议 向心加速度的表达式是本节的另一个重点内容．可以利用书中设计的“做一做：探究向心加速度的表达式”，让学生在老师的指导下自己推导得出，使学生在“做一做”中能够品尝到自己探究的成果，体会成就感. 教学建议 【导入一】
在前面的学习中我们已经了解到曲线运动是变速运动，有加速度．那么做圆周运动的物体的加速度有何特点呢？由于加速度是矢量，所以既要考虑它的大小也要考虑它的方向．
师问：做圆周运动的物体的加速度的方向应该是怎样的呢？
下面我们通过两个具体问题来加以猜测(展示课本上P20页的两个例子)新课导入在例2中对小球进行受力分析可以发现小球的合力方向沿着细线的方向，可以做出的猜想是：圆周运动的物体的加速度可能沿着指向圆心的方向．
但能不能讲任何圆周运动的方向都沿着指向圆心的方向呢？
生：思考……
总结：显然不可以，从两个例子我们不能得出普遍规律．要进行更严谨的数学论证．要搞清楚圆周运动的加速度的特点，我们需要了解速度的变化量．新课导入【导入二】
师：上节课我们学习了圆周运动中比较有代表性的匀速圆周运动，同学们回忆一下，匀速圆周运动有什么特点？
生：匀速圆周运动是线速度大小不变(或角速度不变)的圆周运动．
师：匀速圆周运动是匀速运动吗？
生：不是，匀速圆周运动虽然线速度大小不变，但线速度方向一直在变化，所以匀速圆周运动是变速运动．
师：匀速圆周运动有加速度吗？
生：有！根据加速度公式知只要速度变化了，就存在加速度．
师：好，下面我们就探究这个加速度的大小和方向. 新课导入向心加速度的大小可以通过公式an＝________来计算，计算向心加速度的公式还有an＝________＝________．1．物体做匀速圆周运动时，其加速度的方向______________，这个加速度叫作_______________．
2．由于向心加速度始终指向圆心，其方向是不断变化的，所以向心加速度是不断变化的.向心加速度的定义知识必备知识点一总指向圆心向心加速度向心加速度的大小知识点二v2/rrω2vω[想一想] 圆周运动的加速度一定指向圆心吗？
[要点总结]
1．由于向心加速度的方向时刻在变，所以匀速圆周运动是一种__________运动．
2．向心加速度公式中，ω、v、an必须对应____________．
3．在非匀速圆周运动中，加速度的两个分量作用不同：切向加速度改变速度的________，向心加速度改变速度的________．我们不讨论切向加速度．学习互动对向心加速度的理解考点一变加速同一时刻大小方向例1 关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度越大，物体速率变化越快 B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量学习互动[答案] C学习互动向心加速度计算公式的探究考点二学习互动图5－5－1学习互动方向圆心m/s2学习互动例2 (多选)图5－5－2为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A的图线为双曲线的一支．由图可知( )
A．A质点运动的线速度大小不变
B．A质点运动的角速度大小不变
C．B质点运动的角速度大小不变
D．B质点运动的线速度大小不变图5－5－2[答案] AC 学习互动[点评] 本题考查向心加速度公式的理解，由于公式中存在三个变量，所以必须引入控制变量的思想加以理解，而不能笼统地说加速度与半径成正比或反比．学习互动向心加速度的计算考点三 国际单位学习互动例3 如图5－5－3所示，一个圆盘绕轴心O在水平面内匀速转动，圆盘半径R＝0.4 m，转动角速度ω＝15 rad/s.则圆盘边缘上A点的线速度大小v＝________m/s，向心加速度大小a＝________m/s2.图5－5－3[答案] 6 90[解析] 根据v＝ωR可得v＝15×0.4 m/s＝6 m/s；根据a＝ω2R可得a＝152×0.4 m/s2＝90 m/s2.学习互动例4 (多选)图5－5－4为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它的边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在传动过程中，皮带不打滑，则( )
A．a点与b点线速度大小相等
B．a点与c点角速度大小相等
C．a点与d点向心加速度大小相等
D．a、b、c、d四点中，向心加速度最小的是b点图5－5－4学习互动[答案] CD学习互动备用习题1．关于做匀速圆周运动物体的向心加速度方向，下列说法正确的是( )
A．与线速度方向始终相同
B．与线速度方向始终相反
C．始终指向圆心
D．始终保持不变[答案] C[解析] 匀速圆周运动的向心加速度的大小不变，方向始终指向圆心，故C项正确．备用习题2．(多选)由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则
( )
A．它们的角速度之比ω1∶ω2＝2∶1
B．它们的线速度之比v1∶v2＝2∶1
C．它们的向心加速度之比a1∶a2＝2∶1
D．它们的向心加速度之比a1∶a2＝4∶1[答案] BC[解析] 两物体绕同一地轴自转，所以角速度相等，故选项A错误；设赤道半径为r1，则北纬60°的圆轨道半径r2＝r1cos 60°＝r1/2，由公式v＝ωr，可得线速度之比v1∶v2＝2∶1，故选项B正确；由公式an＝ω2r，可得向心加速度之比a1∶a2＝2∶1，故选项C正确，选项D错误．备用习题备用习题[答案] D备用习题4．(多选)图甲为磁带录音机的磁带盒，可简化为如图乙所示的传动模型．A、B为缠绕磁带的两个轮子，两轮的半径均为r，在放音结束时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径R＝3r.现在进行倒带，使磁带绕到A轮上．倒带时A轮是主动轮，其角速度是恒定的，B轮是从动轮，则在倒带的过程中下列说法正确的是( )
A．倒带开始时A、B两轮的角速度之比为1∶3
B．倒带结束时A、B两轮的角速度之比为1∶3
C．倒带过程中磁带的运动速度变大
D．倒带过程中磁带的运动速度不变备用习题[答案] BC自我检测1．(对向心加速度的理解)(多选)下列说法中正确的是( )
A．向心加速度描述角速度变化的快慢
B．向心加速度描述线速度大小变化的快慢
C．向心加速度总是与速度方向垂直
D．向心加速度只改变速度的方向[答案] CD[解析] 向心加速度始终与线速度方向垂直，因此，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量．自我检测2．(向心加速度计算公式的探究)静止在地面上的物体随地球的自转而运动，则( )
A．物体的向心加速度都指向地心
B．物体的线速度随所在纬度的增加而减小
C．物体的角速度随所在纬度的增加而减小
D．同一纬度上物体的向心加速度均相同[答案] CD[解析] 物体的向心加速度的方向都指向物体所在纬度平面的圆心，选项A错误；地球上物体的角速度都等于地球自转的角速度，转动半径随纬度增加而减小，根据v＝ωr可知线速度随物体所在纬度的增加而减小，选项B正确，C错误；同一纬度上物体的转动半径相同，向心加速度大小相等，方向不同，选项D错误．自我检测3．(向心加速度的计算)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为3∶4，在相同的时间里甲转过60圈，乙转过45圈，则它们的向心加速度之比为( )
A．3∶4 B．4∶3
C．4∶9 D．9∶4[答案] B
