18.1.2平行四边形的判定（课件）
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平行四边形的判定
人教版 八年级下
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分。
通过前面的学习，我们知道：
〖思考〗
反过来：
对边相等的四边形是平行四边形；
对角相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
正确吗？
〖探究1〗
如图，将两长两短分别相等的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边。转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？
A
B
C
D
证明：连结BD
∴四边形ABCD是平行四边形.
求证：ABCD是平行四边形
已知：AB＝CD AD＝CB
AB＝CD（已知）
∴ AB∥CD AD∥BC
∴ ∠1＝∠2 ∠3＝∠4
∴△ABD≌△CDB（SSS）
在△ABD和△CDB中
AD＝CB（已知）
BD＝DB （公共边）
2
1
3
4
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
证明：由四边形内角和等于360°得
由上面的推理可得平行四边形的判定方法1
求证：ABCD是平行四边形
已知：∠A＝∠C ∠B＝∠D
又∵∠A＝∠C ∠B＝∠D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
下面我们再证明：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
∴2∠A＋2∠B＝360°
∴∠A＋∠B＝180°
∴ AD∥BC
证明：由四边形内角和等于360°得
求证：ABCD是平行四边形
已知：∠A＝∠C ∠B＝∠D
又∵∠A＝∠C ∠B＝∠D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
∴2∠A＋2∠B＝360°
∴∠A＋∠B＝180°
∴ AD∥BC
2∠A＋2∠D＝360°
∠A＋∠D＝180°
AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
〖探究2〗
如图，将两根细木条AC，BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做一个四边形ABCD，转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
●
●
●
A
B
C
D
实践活动：小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面两种方法。
A
B
C
D
方法一：如图，将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形。
●
你能说说其中的道理吗？
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
O
A
B
C
D
●
∵OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∠AOD＝∠COB
∴△AOD≌△COB
∴∠OAD＝∠OCB
∴AD∥BC
同理可得AB∥DC
已知：OA＝OC，OB＝OD
求证：ABCD是平行四边形
证明：
∵OA＝OC，OB＝OD
∠AOB＝∠COD
∴△AOB≌△COD
∴∠OAB＝∠OCD
∴AB∥DC
实践活动：小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面两种方法。
A
B
C
D
如图，将两根同样长的木条AB、CD平行放置，再用木条加固，得到的四边形ABCD就是平行四边形。
●
●
●
●
你能说说其中的道理吗？
A
B
C
D
证明：连结BD
求证：ABCD是平行四边形
已知：AB＝CD AB∥CD
AB＝CD （已知）
∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∴△ABD≌△CDB（SAS）
∴ ∠3＝∠4（全等三角形对应角相等）
∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
2
1
3
4
在△ABD和△CDB中
∠1＝∠2 （已证）
BD＝DB（公共边）
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
求证：ABCD是平行四边形
已知：AB＝CD AB∥CD
∵ AB∥CD（已知）
AD∥BC（已证）
A
B
C
D
2
1
3
4
③ 两条对角线互相平分的四边形
是平行四边形。
② 两组对边分别相等的四边形
是平行四边形。
④ 一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形。
① 两组对边分别平行的四边形
是平行四边形。
例1、如图，AC∥ED，点B在AC上且AB＝ED＝BC，找出图中的平行四边形。
A
B
C
D
E
解：□ ABDE，□ BCDE
① ∵ AB∥ED
AB＝ED
∴ 四边形ABDE是平行四边形。
例1、如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB＝ED＝BC，找出图中的平行四边形。
A
B
C
D
E
② ∵ BC∥ED BC＝ED
∴ 四边形BCDE是平行四边形。
例2、如图，□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE＝OF。
①OA与OC，OB与OD是否相等？
②四边形BFDE是平行四边形吗？
A
B
C
D
O
F
E
解：① ∵ □ABCD
∴ OA＝OC
OB＝OD
(平行四边形的对角线相等)
②四边形BFDE是平行四边形吗？
答：②四边形BFDE是平行四
边形，理由如下 ：
∵ □ABCD
又∵ OE＝OF
∴ 四边形BFDE是平行四边形。
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
例2、如图，□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE＝OF。
A
B
C
D
O
F
E
∴ OB＝OD
例3、在□ABCD中，点E、F分别在 AB、CD上，DF＝BE，四边形DEBF是平行四边形吗？说说你的理由。
A
B
C
D
F
E
例3、在□ABCD中，点E、F分别在 AB、CD上，DF＝BE，四边形DEBF是平行四边形吗？说说你的理由。
A
B
C
D
F
E
∴ DC∥AB
答：四边形DEBF是平行四边形
理由如下：
∵ □ABCD
即DF∥EB
∵DF＝EB
∴四边形DEBF是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
例4、如图，点D，E分别是△ABC的边
AB、AC的中点，
求证：DE∥BC，且
A
B
C
D
E
证明：延长DE到点F，使
EF＝DE
F
连接FC，DC，AF
∵AE＝EC
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
例4、如图，点D，E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC，且
A
B
C
D
E
F
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
CF＝DA，CF∥DA
∴ CF＝BD，CF∥BD
∴ 四边形BDFC是平行四边形。
∴ DF＝BC，DF∥BC
∴ DE∥BC
连接三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线。
三角形的中位线
A
B
C
D
E
A
B
C
F
E
DE、EF是△ABC的中位线。
三角形的中位线定理
A
B
C
D
E
三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半。
⑴ ∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE∥BC
三角形的中位线定理
A
B
C
D
E
三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半。
⑵∵ AD＝BD，AE＝CE
∴ DE∥BC
以上两种方式都是三角形的中位线定理的推理过程。
求证：夹在两条平行线间的平行线段相等。
已知：如图，直线 m∥n，线段AB、CD分别交m、n于点A、B和D、C，且有AB∥CD
求证：AB＝CD
m
n
A
D
C
B
证明：∵ m∥n
又 AB∥CD
即 AD∥BC
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∴ AB＝CD
两条平行线间的距离
a
b
A
D
C
B
已知：直线a∥b，从直线a上的任意一点A向直线b作垂线段AB，垂足为B，按同样的方法，作出线段CD。
由 “夹在两条平行线间的平行线段相等”
得 AB＝CD
AB、CD 是这两条平行线间最短的线段，
我们把这种线段的长度叫做两条平行线间的距离。
两条平行线间的距离
a
b
A
B
从两条平行线中的一条直线上的任意一点，向另一条直线作垂线段，这条垂线段的长度叫做两条平行线间的距离。
线段AB、CD的长度都是a、b之间的距离。
C
D
1、如图， AB＝DC＝EF， AD＝BC，DE＝CF，图中有哪些互相平行的线段？
A
B
D
C
F
E
解：AB∥DC∥EF
AD∥BC
DE∥CF
2、如图，□ABCD中， O 是AC、BD的交点，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由
A
B
C
D
O
F
E
G
H
A
B
C
D
O
F
E
G
H
解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵ □ABCD
∴ OA＝OC， OB＝OD
∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。
∴ OE＝OG， OF＝OH
∴四边形EFGH是平行四边形。
2、如图，□ABCD中， O 是AC、BD的交点，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由
3、如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形？
A
B
C
D
F
E
●
●
●
□ ADEF
□ BDFE
□ CEDF
4、如图，在□ABCD的一组对边AD、BC上截取EF＝MN，连接EM、FN。 EM和FN有什么关系？为什么？
A
B
C
D
F
E
M
N
解： EM∥FN ，EM＝FN 理由如下：
∵ EF＝MN， EF∥MN
∴ 四边形EMNF是平行四边形
∴ EM∥FN
EM＝FN
5、如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点间的实际距离？根据是什么？
A
B
C
E
F
解： 分别取AC、BC的中点E、F
连接EF，量得EF的长
则AB＝2EF
根据三角形的中位线等于第三边的一半。
⑴ 一组对边平行另一组对边相等的四边形
是平行四边形吗？
议一议，做一做
答：不一定是平行四边形，可能是
平行四边形或等腰梯形。
A
B
C
D
A
B
C
D
AB∥CD，AD＝BC
⑵ 一组对边平行一组对角相等的四边形
是平行四边形吗？
议一议，做一做
答：是平行四边形，理由如下：
A
B
C
D
证明：连接BD
求证：四边形ABCD是平行四边形。
已知：AB∥CD，∠A＝∠C
∵ AB∥CD
∴∠ABD＝∠CDB
议一议，做一做
证明：连接BD
∵ AB∥CD
∴∠ABD＝∠CDB
A
B
C
D
∠A＝∠C （已知）
∴△ABD≌△CDB（ASA）
∴ AB＝CD（全等三角形对应边相等）
在△ABD和△CDB中
AB＝CD （已知）
∠ABD＝∠CDB（已证）
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
⑶ 一组对角相等一组对边相等的四边形
是平行四边形吗？
议一议，做一做
答：不是平行四边形，举例如下：
A
B
C
D
E
∠D＝∠E，AE＝DC
四边形ADCE不是平行四边形。
谢谢
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平行四边形的判定
人教版 八年级下
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分。
通过前面的学习，我们知道：
〖思考〗
反过来：
对边相等的四边形是平行四边形；
对角相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
正确吗？
〖探究1〗
如图，将两长两短分别相等的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边。转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？
A
B
C
D
证明：连结BD
∴四边形ABCD是平行四边形.
求证：ABCD是平行四边形
已知：AB＝CD AD＝CB
AB＝CD（已知）
∴ AB∥CD AD∥BC
∴ ∠1＝∠2 ∠3＝∠4
∴△ABD≌△CDB（SSS）
在△ABD和△CDB中
AD＝CB（已知）
BD＝DB （公共边）
2
1
3
4
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
证明：由四边形内角和等于360°得
由上面的推理可得平行四边形的判定方法1
求证：ABCD是平行四边形
已知：∠A＝∠C ∠B＝∠D
又∵∠A＝∠C ∠B＝∠D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
下面我们再证明：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
∴2∠A＋2∠B＝360°
∴∠A＋∠B＝180°
∴ AD∥BC
证明：由四边形内角和等于360°得
求证：ABCD是平行四边形
已知：∠A＝∠C ∠B＝∠D
又∵∠A＝∠C ∠B＝∠D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
A
B
C
D
∴2∠A＋2∠B＝360°
∴∠A＋∠B＝180°
∴ AD∥BC
2∠A＋2∠D＝360°
∠A＋∠D＝180°
AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
〖探究2〗
如图，将两根细木条AC，BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做一个四边形ABCD，转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
●
●
●
A
B
C
D
实践活动：小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面两种方法。
A
B
C
D
方法一：如图，将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形。
●
你能说说其中的道理吗？
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
O
A
B
C
D
●
∵OA＝OC，OB＝OD
∴四边形ABCD是平行四边形
∠AOD＝∠COB
∴△AOD≌△COB
∴∠OAD＝∠OCB
∴AD∥BC
同理可得AB∥DC
已知：OA＝OC，OB＝OD
求证：ABCD是平行四边形
证明：
∵OA＝OC，OB＝OD
∠AOB＝∠COD
∴△AOB≌△COD
∴∠OAB＝∠OCD
∴AB∥DC
实践活动：小明的爸爸在钉制平行四边形框架时采用了下面两种方法。
A
B
C
D
如图，将两根同样长的木条AB、CD平行放置，再用木条加固，得到的四边形ABCD就是平行四边形。
●
●
●
●
你能说说其中的道理吗？
A
B
C
D
证明：连结BD
求证：ABCD是平行四边形
已知：AB＝CD AB∥CD
AB＝CD （已知）
∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∴△ABD≌△CDB（SAS）
∴ ∠3＝∠4（全等三角形对应角相等）
∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
2
1
3
4
在△ABD和△CDB中
∠1＝∠2 （已证）
BD＝DB（公共边）
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
求证：ABCD是平行四边形
已知：AB＝CD AB∥CD
∵ AB∥CD（已知）
AD∥BC（已证）
A
B
C
D
2
1
3
4
③ 两条对角线互相平分的四边形
是平行四边形。
② 两组对边分别相等的四边形
是平行四边形。
④ 一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形。
① 两组对边分别平行的四边形
是平行四边形。
例1、如图，AC∥ED，点B在AC上且AB＝ED＝BC，找出图中的平行四边形。
A
B
C
D
E
解：□ ABDE，□ BCDE
① ∵ AB∥ED
AB＝ED
∴ 四边形ABDE是平行四边形。
例1、如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB＝ED＝BC，找出图中的平行四边形。
A
B
C
D
E
② ∵ BC∥ED BC＝ED
∴ 四边形BCDE是平行四边形。
例2、如图，□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE＝OF。
①OA与OC，OB与OD是否相等？
②四边形BFDE是平行四边形吗？
A
B
C
D
O
F
E
解：① ∵ □ABCD
∴ OA＝OC
OB＝OD
(平行四边形的对角线相等)
②四边形BFDE是平行四边形吗？
答：②四边形BFDE是平行四
边形，理由如下 ：
∵ □ABCD
又∵ OE＝OF
∴ 四边形BFDE是平行四边形。
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
例2、如图，□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE＝OF。
A
B
C
D
O
F
E
∴ OB＝OD
例3、在□ABCD中，点E、F分别在 AB、CD上，DF＝BE，四边形DEBF是平行四边形吗？说说你的理由。
A
B
C
D
F
E
例3、在□ABCD中，点E、F分别在 AB、CD上，DF＝BE，四边形DEBF是平行四边形吗？说说你的理由。
A
B
C
D
F
E
∴ DC∥AB
答：四边形DEBF是平行四边形
理由如下：
∵ □ABCD
即DF∥EB
∵DF＝EB
∴四边形DEBF是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
例4、如图，点D，E分别是△ABC的边
AB、AC的中点，
求证：DE∥BC，且
A
B
C
D
E
证明：延长DE到点F，使
EF＝DE
F
连接FC，DC，AF
∵AE＝EC
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
例4、如图，点D，E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC，且
A
B
C
D
E
F
∴ 四边形ADCF是平行四边形。
CF＝DA，CF∥DA
∴ CF＝BD，CF∥BD
∴ 四边形BDFC是平行四边形。
∴ DF＝BC，DF∥BC
∴ DE∥BC
连接三角形两边中点的线段
叫做三角形的中位线。
三角形的中位线
A
B
C
D
E
A
B
C
F
E
DE、EF是△ABC的中位线。
三角形的中位线定理
A
B
C
D
E
三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半。
⑴ ∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE∥BC
三角形的中位线定理
A
B
C
D
E
三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半。
⑵∵ AD＝BD，AE＝CE
∴ DE∥BC
以上两种方式都是三角形的中位线定理的推理过程。
求证：夹在两条平行线间的平行线段相等。
已知：如图，直线 m∥n，线段AB、CD分别交m、n于点A、B和D、C，且有AB∥CD
求证：AB＝CD
m
n
A
D
C
B
证明：∵ m∥n
又 AB∥CD
即 AD∥BC
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
∴ AB＝CD
两条平行线间的距离
a
b
A
D
C
B
已知：直线a∥b，从直线a上的任意一点A向直线b作垂线段AB，垂足为B，按同样的方法，作出线段CD。
由 “夹在两条平行线间的平行线段相等”
得 AB＝CD
AB、CD 是这两条平行线间最短的线段，
我们把这种线段的长度叫做两条平行线间的距离。
两条平行线间的距离
a
b
A
B
从两条平行线中的一条直线上的任意一点，向另一条直线作垂线段，这条垂线段的长度叫做两条平行线间的距离。
线段AB、CD的长度都是a、b之间的距离。
C
D
1、如图， AB＝DC＝EF， AD＝BC，DE＝CF，图中有哪些互相平行的线段？
A
B
D
C
F
E
解：AB∥DC∥EF
AD∥BC
DE∥CF
2、如图，□ABCD中， O 是AC、BD的交点，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由
A
B
C
D
O
F
E
G
H
A
B
C
D
O
F
E
G
H
解：四边形EFGH是平行四边形，理由如下：
∵ □ABCD
∴ OA＝OC， OB＝OD
∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。
∴ OE＝OG， OF＝OH
∴四边形EFGH是平行四边形。
2、如图，□ABCD中， O 是AC、BD的交点，点E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由
3、如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC、CA的中点，以这些点为顶点，你能在图中画出多少个平行四边形？
A
B
C
D
F
E
●
●
●
□ ADEF
□ BDFE
□ CEDF
4、如图，在□ABCD的一组对边AD、BC上截取EF＝MN，连接EM、FN。 EM和FN有什么关系？为什么？
A
B
C
D
F
E
M
N
解： EM∥FN ，EM＝FN 理由如下：
∵ EF＝MN， EF∥MN
∴ 四边形EMNF是平行四边形
∴ EM∥FN
EM＝FN
5、如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A、B两点间的实际距离？根据是什么？
A
B
C
E
F
解： 分别取AC、BC的中点E、F
连接EF，量得EF的长
则AB＝2EF
根据三角形的中位线等于第三边的一半。
⑴ 一组对边平行另一组对边相等的四边形
是平行四边形吗？
议一议，做一做
答：不一定是平行四边形，可能是
平行四边形或等腰梯形。
A
B
C
D
A
B
C
D
AB∥CD，AD＝BC
⑵ 一组对边平行一组对角相等的四边形
是平行四边形吗？
议一议，做一做
答：是平行四边形，理由如下：
A
B
C
D
证明：连接BD
求证：四边形ABCD是平行四边形。
已知：AB∥CD，∠A＝∠C
∵ AB∥CD
∴∠ABD＝∠CDB
议一议，做一做
证明：连接BD
∵ AB∥CD
∴∠ABD＝∠CDB
A
B
C
D
∠A＝∠C （已知）
∴△ABD≌△CDB（ASA）
∴ AB＝CD（全等三角形对应边相等）
在△ABD和△CDB中
AB＝CD （已知）
∠ABD＝∠CDB（已证）
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
⑶ 一组对角相等一组对边相等的四边形
是平行四边形吗？
议一议，做一做
答：不是平行四边形，举例如下：
A
B
C
D
E
∠D＝∠E，AE＝DC
四边形ADCE不是平行四边形。
谢谢
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