18.2.1 矩形（课件）
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(共29张PPT)
矩形
人教版 八年级下
有一个角是直角的平行四边形
叫做矩形。矩形就是长方形。
矩形更是我们常见的图形，例如：
门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等给我们以矩形的形象。
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
在一个平行四边形活动框架上，用橡皮筋做出两条对角线。通过∠α的变化，改变这个平行四边形的形状，两条对角线的长度怎样变化？当∠α变为直角时，平行四边形成为一个矩形，这时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线有什么关系？
α
α
α
⑴ 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
⑵当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
⑶当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时，两条对角线的长度有什么关系？
当│∠α－90°│越小两条对角线的差越小。
矩形的对角线相等。
矩形的四个角都是直角；
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质。
另外，由上面的探究，不难看出，矩形还有以下性质：
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，根据矩形的性质，我们知道，AO＝CO＝BO＝DO
A
B
C
D
O
由此，我们得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
C
B
O
精典练习题选
1、如图，BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，连接ME，MF。求证：ME＝MF。
A
B
C
E
F
M
∴ ME＝MF
提示：
精典练习题选
2、如图，以□ABCD的对角线AC为斜边作Rt△AMC，且∠BMD＝90°。求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
O
D
M
∵ BD＝2·MO
提示：
AC＝2·MO
∴ BD＝AC
∴四边形ABCD是矩形。
例1、如图，在矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形对角线的长。
A
B
C
D
O
例1、如图，在矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形对角线的长。
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形ABCD是矩形。
∴ AC与BD相等且互相平分。
∴ OA＝OB
∵ ∠AOB＝60°
∴ △AOB是等边三角形。
∴ OA＝AB＝4cm
∴ 矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝8cm
随堂练习
1、如图，四边形ABCD是矩形，找出相等的线段和相等的角。
A
B
C
D
O
AO＝CO＝BO＝DO
AD＝BC，AB＝CD
AC＝BD
2、求证：矩形的对角线相等。
A
B
C
D
O
已知，四边形ABCD是矩形，
AC、BD是对角线。
求证：AC＝BD
2、求证：矩形的对角线相等。
A
B
C
D
O
证明：∵ 四边形ABCD是矩形。
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°
在Rt△ABC和Rt△DCB中
AB＝DC
∠ABC＝∠DCB
BC＝CB
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB (SAS)
2、求证：矩形的对角线相等。
A
B
C
D
O
在Rt△ABC和Rt△DCB中
AB＝DC
∠ABC＝∠DCB
BC＝CB
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB (SAS)
∴AC＝BD (全等三角形对应边相等)
3、如果矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为120°，求矩形的边长(精确到0.01cm)。
A
B
C
D
O
解：∵∠AOD＝120°
∴∠AOB＝60°
∵ AO＝BO＝CO
∴ △AOB是等边三角形。
∴ AB＝AO＝8÷2＝4cm
3、如果矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为120°，求矩形的边长(精确到0.01cm)。
A
B
C
D
O
在Rt△ABC中
BC＝
答：矩形的边长分别是4cm和
矩形的判定方法
由矩形的定义可知：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
当平行四边形的一角变为直角时，另外三个角同时都变为直角，也使两条对角线成为相等的线段。
矩形的判定方法
由矩形的定义可知：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：□ ABCD，且AC＝BD
求证： □ ABCD是矩形。
证明：∵□ ABCD
A
B
C
D
O
∴ AD＝BC
AD∥BC
在△ABC和△BAD中
在△ABC和△BAD中
A
B
C
D
O
AB＝BA
AC＝BD
AD＝BC
∴ △ABC≌△BAD (SSS)
∴ ∠ABC＝∠BAD
∵ AD∥BC
∴ ∠ABC＋∠BAD ＝180°
A
B
C
D
O
∴ △ABC≌△BAD (SSS)
∴ ∠ABC＝∠BAD
∵ AD∥BC
∴ ∠ABC＋∠BAD ＝180°
∴ ∠ABC＝∠BAD ＝90°
∴ 四边形ABCD是矩形。
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，你知道其中的道理吗？
⑴两组对边相等的四边形是平行四边形；
⑵对角线相等的平行四边形是矩形。
答：量两组对边的长度可知是否为平行四边形；
量两条对角线是否相等可知是否为矩形。
思考
如图，李芳同学用画“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？你能证明吗？
边
直角
边
直角
边
直角
边
矩形的判定方法
有三个角是直角的四边形是矩形。
由此，我又得到了矩形的一个判定定理：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
随堂练习
1、八年级⑶班的同学要在广场上布置一个矩形的花坛。计划用“串红”摆成两条对角线。如果一条对角线用了38盆“串红”，还需要从花房运来多少盆“串红”？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？为什么？
⑴还要38盆。
⑵还要48盆就够了。
谢谢
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矩形
人教版 八年级下
有一个角是直角的平行四边形
叫做矩形。矩形就是长方形。
矩形更是我们常见的图形，例如：
门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等给我们以矩形的形象。
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
在一个平行四边形活动框架上，用橡皮筋做出两条对角线。通过∠α的变化，改变这个平行四边形的形状，两条对角线的长度怎样变化？当∠α变为直角时，平行四边形成为一个矩形，这时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线有什么关系？
α
α
α
⑴ 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
⑵当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？当∠α是钝角时呢？
⑶当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时，两条对角线的长度有什么关系？
当│∠α－90°│越小两条对角线的差越小。
矩形的对角线相等。
矩形的四个角都是直角；
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质。
另外，由上面的探究，不难看出，矩形还有以下性质：
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，根据矩形的性质，我们知道，AO＝CO＝BO＝DO
A
B
C
D
O
由此，我们得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
A
C
B
O
精典练习题选
1、如图，BE、CF是△ABC的两条高，M为BC的中点，连接ME，MF。求证：ME＝MF。
A
B
C
E
F
M
∴ ME＝MF
提示：
精典练习题选
2、如图，以□ABCD的对角线AC为斜边作Rt△AMC，且∠BMD＝90°。求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
O
D
M
∵ BD＝2·MO
提示：
AC＝2·MO
∴ BD＝AC
∴四边形ABCD是矩形。
例1、如图，在矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形对角线的长。
A
B
C
D
O
例1、如图，在矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形对角线的长。
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形ABCD是矩形。
∴ AC与BD相等且互相平分。
∴ OA＝OB
∵ ∠AOB＝60°
∴ △AOB是等边三角形。
∴ OA＝AB＝4cm
∴ 矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝8cm
随堂练习
1、如图，四边形ABCD是矩形，找出相等的线段和相等的角。
A
B
C
D
O
AO＝CO＝BO＝DO
AD＝BC，AB＝CD
AC＝BD
2、求证：矩形的对角线相等。
A
B
C
D
O
已知，四边形ABCD是矩形，
AC、BD是对角线。
求证：AC＝BD
2、求证：矩形的对角线相等。
A
B
C
D
O
证明：∵ 四边形ABCD是矩形。
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°
在Rt△ABC和Rt△DCB中
AB＝DC
∠ABC＝∠DCB
BC＝CB
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB (SAS)
2、求证：矩形的对角线相等。
A
B
C
D
O
在Rt△ABC和Rt△DCB中
AB＝DC
∠ABC＝∠DCB
BC＝CB
∴ Rt△ABC≌Rt△DCB (SAS)
∴AC＝BD (全等三角形对应边相等)
3、如果矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为120°，求矩形的边长(精确到0.01cm)。
A
B
C
D
O
解：∵∠AOD＝120°
∴∠AOB＝60°
∵ AO＝BO＝CO
∴ △AOB是等边三角形。
∴ AB＝AO＝8÷2＝4cm
3、如果矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为120°，求矩形的边长(精确到0.01cm)。
A
B
C
D
O
在Rt△ABC中
BC＝
答：矩形的边长分别是4cm和
矩形的判定方法
由矩形的定义可知：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
当平行四边形的一角变为直角时，另外三个角同时都变为直角，也使两条对角线成为相等的线段。
矩形的判定方法
由矩形的定义可知：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形。
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：□ ABCD，且AC＝BD
求证： □ ABCD是矩形。
证明：∵□ ABCD
A
B
C
D
O
∴ AD＝BC
AD∥BC
在△ABC和△BAD中
在△ABC和△BAD中
A
B
C
D
O
AB＝BA
AC＝BD
AD＝BC
∴ △ABC≌△BAD (SSS)
∴ ∠ABC＝∠BAD
∵ AD∥BC
∴ ∠ABC＋∠BAD ＝180°
A
B
C
D
O
∴ △ABC≌△BAD (SSS)
∴ ∠ABC＝∠BAD
∵ AD∥BC
∴ ∠ABC＋∠BAD ＝180°
∴ ∠ABC＝∠BAD ＝90°
∴ 四边形ABCD是矩形。
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，你知道其中的道理吗？
⑴两组对边相等的四边形是平行四边形；
⑵对角线相等的平行四边形是矩形。
答：量两组对边的长度可知是否为平行四边形；
量两条对角线是否相等可知是否为矩形。
思考
如图，李芳同学用画“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？你能证明吗？
边
直角
边
直角
边
直角
边
矩形的判定方法
有三个角是直角的四边形是矩形。
由此，我又得到了矩形的一个判定定理：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
随堂练习
1、八年级⑶班的同学要在广场上布置一个矩形的花坛。计划用“串红”摆成两条对角线。如果一条对角线用了38盆“串红”，还需要从花房运来多少盆“串红”？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？为什么？
⑴还要38盆。
⑵还要48盆就够了。
谢谢
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