第九章 中心对称图形--平行四边形单元检测试题（含解析）

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苏科版八年级下册第九章中心对称图形--平行四边形
单元测试（A卷）
（时间100分钟，总分100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3）
3.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（　　）
A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形 D．对角线相等的四边形
4.已知 ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠B的度数是（　　）
A．100° B．60° C．80° D．160°
5.有下列四个命题，其中正确的个数为（　　）
①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；
③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形；
④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．
A．4 B．3 C．2 D．1
6.一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形
8.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
9.．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF=3，则PD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．6
10.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（　　）
A． B． C． D．
二、填空（共8个小题，每题3分，共24分）
11.在平行四边形ABCD中，∠C=100°，则∠A= ．
12.矩形的一组邻边长分别为4cm和3cm，它的对角线长为 ．
13.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB= ．
14.菱形ABCD中，且AC=6，BD=8，则S菱形ABCD= ．
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为 ．
16.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是 平方厘米．
17.如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG= ．
18.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
三、解答题（前3题每题7分，后三题分别为8、8、9分，共46分）
19.如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
20.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）如AB=2，AC与BD所夹锐角为60°，求四边形OCED的面积
21.如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，沿EF折叠，点B恰好与点D重合，点C落在点G处，求折痕EF的长度．
22.如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
23.如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．
24.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
参考答案：
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1.下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
2.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（1，3）
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】首先连接AB交OC于点D，由四边形OACB是菱形，可得AB⊥OC，AD=BD=1，OD=CD=3，易得点B的坐标是（3，﹣1）．
【解答】解：连接AB交OC于点D，
∵四边形OACB是菱形，
∴AB⊥OC，AD=BD=1，OD=CD=3，
∴点B的坐标是（3，﹣1）．
故选：B．
3.若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（　　）
A．菱形 B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形 D．对角线相等的四边形
【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．
【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD；故选B．
【点评】本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解．
4.已知 ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠B的度数是（　　）
A．100° B．60° C．80° D．160°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠B=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C=240°，
∴∠A=120°，
∴∠B=180°﹣∠A=60°．
故选B．
5.有下列四个命题，其中正确的个数为（　　）
①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；
③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形；
④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】命题与定理．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法逐一判定即可．
【解答】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；正确；
②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形；正确；
③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形；错误；
④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；错误；
正确的个数为2个；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理、平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法；熟记平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法是解决问题的关键．
6.一个四边形，对于下列条件：①一组对边平行，一组对角相等；②一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分；③一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分；④两组对角的平分线分别平行，不能判定为平行四边形的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】平行四边形的判定．
【分析】一组对边平行，一组对角相等可推出两组对角分别相等，可判定为平行四边形一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分，可利用全等得出这组对边也相等，可判定为平行四边形一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分，所在的三角形不能得出一定全等，所以能判定为平行四边形．
【解答】解：根据平行四边形的判定，能满足是平行四边形条件的有：①，②、④，而③无法判定．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
7.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
8.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=24厘米，
∴OA+OB=12cm，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=AB=3cm．
故选C．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
9.．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF=3，则PD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．6【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC=45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△ADP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；求出四边形BFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可EF=PB．即可．
【解答】解：如图，连接PB，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△ABP和△ADP中，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴BP=DP；
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC=90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴EF=PB，
∴EF=DP=3，
故选B
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟记正方形的性质得到三角形全等的条件是解题的关键
10.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数系的图象是（　　）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．
【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s=，
当2＜x≤3，s=1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．
故选C．
二、填空（共8个小题，每题3分，共24分）
11.在平行四边形ABCD中，∠C=100°，则∠A=　100°　．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的对角相等即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=100°；
故答案为：100°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．
12.矩形的一组邻边长分别为4cm和3cm，它的对角线长为　5cm　．
【考点】矩形的性质．
【分析】由矩形的性质得出AC=BD，∠ABC=90°，再由勾股定理求出AC即可．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ABC=90°，
∵AB=3cm，BC=4cm，
∴BD=AC===5（cm）；
故答案为：5cm．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AC是解决问题的关键．
13.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=　15°　．
【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】由四边形ABCD为正方形，三角形ADE为等比三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到AB=AE，且得到∠BAD为直角，∠DAE为60°，由∠BAD+∠DAE求出∠BAE的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠AEB的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=90°，∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，
又∵AB=AE，
∴∠AEB==15°．
故答案为：15°．
【点评】此题考查了正方形的性质，以及等边三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．
14.菱形ABCD中，且AC=6，BD=8，则S菱形ABCD=　24　．
【考点】菱形的性质．
【分析】由菱形ABCD中，且AC=6，BD=8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【解答】解：∵菱形ABCD中，且AC=6，BD=8，
∴S菱形ABCD=ACBD=24．
故答案为：24．
【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为　65°　．
【考点】菱形的性质．
【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°﹣130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°﹣∠BAO=90°﹣25°=65°．
故答案为：65°．
16.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是48平方厘米．
【考点】矩形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】延长DF交BC于G，证出△DEF≌△GCF，根据全等得出DE=CG=BG，DF=GF，即可求出S△BDG=2S△BDF，S长方形ABCD=4S△BDG，代入求出即可．
【解答】解：延长DF交BC于G，
∵E是AD的中点，F是CE的中点，
∴EF=FC，AE=DE，
∵四边形ABCD是长方形，
∴BC=AD=2DE，AD∥BC，
∴∠DEF=∠FCG，
在△DEF和△GCF中
∴△DEF≌△GCF（ASA），
∴DE=CG=BG，DF=GF，
∴S△BDG=2S△BDF=12平方厘米，
∴S长方形ABCD=4S△BDG=48平方厘米，
∴长方形ABCD的面积是48平方厘米．
故答案为：48．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点，根据求出△DEF≌△GCF是解此题的关键．
17.如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=　4　．
【考点】正方形的性质．
【分析】正方形ABCD的对角线交于点O，连接0E，由正方形的性质和对角线长为8，得出OA=OB=4；进一步利用S△ABO=S△AEO+S△EBO，整理得出答案解决问题．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB=4，
又∵S△ABO=S△AEO+S△EBO，
∴OAOB=OAEF+OBEG，
即×4×4=×4×（EF+EG）
∴EF+EG=4．
故答案为：4．
【点评】此题考查正方形的性质，三角形的面积计算公式；利用三角形的面积巧妙建立所求线段与已知线段的关系，进一步解决问题．
18.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是　（）n﹣1　．
【考点】菱形的性质．
【分析】连接DB于AC相交于M，根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AE，AG的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=，
∴AM=，
∴AC=，
同理可得AE=AC=（）2，AG=AE=3=（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1，
故答案为（）n﹣1
【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．三、解答题（前3题每题7分，后三题分别为8、8、9分，共46分）
19.如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行四边形平行四边形的性质得到AB∥CD AB=CD，从而得到∠ABE=∠CDF，然后利用SAS证得两三角形全等即可；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等推知∠AEB=∠DFC，则等角的补角相等，即∠AEF=∠CFE，所以AE∥FC．根据“有一组对边平行且相等”证得结论．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF （SAS）；
（2）证明：∵由（1）知，△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠AEB=∠DFC，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 20.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED为菱形；
（2）如AB=2，AC与BD所夹锐角为60°，求四边形OCED的面积
【考点】矩形的性质；菱形的判定．
【分析】（1）先根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四边形OCED是菱形．
（2）作DM⊥OC，垂足为点M，证明△COD为等边三角形，得出OC=CD=OD=2，得出CM=1，DM=CM=，菱形OCED面积=OCDM，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，OC=AC，OD=BD，
∴OC=OD，
∴四边形OCED为菱形；
（2）解：作DM⊥OC，垂足为点M，
∵OC=OD，∠COD=60°，
∴△COD为等边三角形，
∴OC=CD=OD，
∵AB=2，四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，
∴OC=CD=OD=2，
∵DM⊥OC，
∴CM=1，
∴DM=CM=，
∴菱形OCED面积=OCDM=2．
【点评】本题主要考查矩形的性质，平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．
21.如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，沿EF折叠，点B恰好与点D重合，点C落在点G处，求折痕EF的长度．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】作EM⊥CD，垂足为点M设DE=x，由折叠的性质得出∠DEF=∠BEF，BE=DE=x，得出AE=8﹣x，再由矩形的性质得出∠DEF=∠DFE，证出DE=DF，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE，得出AE、MF，由勾股定理求出EF即可．
【解答】解：作EM⊥CD，垂足为点M，如图所示：
设DE=x，
由折叠的性质得：∠DEF=∠BEF，BE=DE=x，
∴AE=8﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AB∥CD，
∴∠DFE=∠BEF，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：（8﹣x）2+62=x2，
解得：x=，
∴AE=DM=8﹣=，
又∵DF=DE=，
∴MF=DF﹣DM=﹣=，
又∵ME=AD=6，
∴EF===．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程求出BE是解决问题的关键．
22.如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的性质．
【分析】首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA=OC，OB=OD，又由AE=CF，可得OE=OF，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形．
【解答】证明：连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA﹣AE=OC﹣CF，
即OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
23.如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）先由已知平行四边形ABCD得出AB∥DC，AB=DC， ∠ABF=∠ECF，从而证得△ABF≌△ECF；
（2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠ABF=∠ECF，
∵EC=DC，∴AB=EC，
在△ABF和△ECF中，
∵∠ABF=∠ECF，∠AFB=∠EFC，AB=EC，
∴△ABF≌△ECF（AAS）．
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形．
【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形．
24.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）问题解决：
受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（3）问题拓展：
如图3，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作∠EDF为60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（2）①首先延长FD到G，使得DG=DF，进而得出CF=BG，DF=DG，以及EF=EG，再利用三角形三边关系得出答案；
②由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，再利用勾股定理得出答案；
（3）利用全等三角形的判定与性质得出△DEG≌△DEF（SAS），进而得出EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF，进而得出答案．
【解答】（2）证明：①如答题图1，延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．
则CF=BG，DF=DG，
∵DE⊥DF，∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
解：②若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2；
（3）解：如答题图2，将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．
∵∠C+∠ABD=180°，∠4=∠C，
∴∠4+∠ABD=180°，
∴点E、B、G在同一直线上．
∵∠3=∠1，∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠1+∠2=60°，故∠2+∠3=60°，即∠EDG=60°
∴∠EDF=∠EDG=60°，
在△DEG和△DEF中，
∴△DEG≌△DEF（SAS），
∴EF=EG=BE+BG，即EF=BE+CF．
【点评】此题主要考查了几何变换综合以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出△DEG≌△DEF（SAS）是解题关键．
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