数列通项公式的求法

课件11张PPT。第二章数列的前n项和的基本
方法和技巧
一、观察法(根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式)1、写出下列数列的一个通项公式:
(1) 9, 99, 999, 9999, ……解：an=10n－1(2) 1, 11, 111, 1111, ……分析：注意观察各项与它的序号的关系
有 10－1，102－1，103－1，104－1 这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！分析:注意与熟悉数列9,99,999,9999,···联系2.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1) －[2(n－1)2－1]
=4n－2当n=1时, a1=1不满足上式3.已知{an}中，a1+2a2+3a3+ ???+nan=3n+1,求通项an解: ∵ a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1 (n≥1)∴ a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2） nan=3n+1－3n=2·3n而n=1时,a1=9 （n≥2）两式相减得：4.已知{an}中, an+1=an+ n (n∈N*),a1=1,求通项an解:由an+1=an+ n (n∈N*) 得an=( an－an－1)+(an－1－an－2)+ ???+ (a2 －a1)+ a1
=(n － 1)+(n －2)+ ???+2+1+1三、累加法(递推公式形如an+1=an+ f(n)型的数列)n个等式
相加得an+1 － an= n (n∈N*)四、累乘法 (形如an+1 =f(n)?an型)6.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0,
求{an}的通项公式解: ∵(n+1)an+12 +an+1an－nan2=0 ∴( an+1+ an)[(n+1) an+1 － nan]=0∵ an+1+ an>0∴ (n+1) an+1 = nan五、迭代法( 已知an=f(an－1 ),( n≥2)求an )方法: an= f(an－1 )=f[f(an－2 )]=???=f{???f[f(a1)]}7.已知{an}中, an= 3n－1+an－1 , (n≥2),a1=1,求通项an.解: ∵ an= 3n－1+an－1 (n≥2)∴ an= 3n－1+an－1 = 3n－1 +3n－2+ an－2 =3n－1 +3n－2+ 3n－3 + an－3= 3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+ a1=3n－1 +3n－2+ 3n－3 +···+3+1六、构造法（构造新数列，在此基础上求原数列）小结一、观察法 (根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式)四、累乘法 (形如an+1 =f(n)?an型)五、迭代法 ( 已知an=f(an－1 ),( n≥2)求an )逐项轮换六、构造法作业2.已知{an}中, an+1=an+ (n∈N*),a1=1,求通项an
1.已知{an}中,a1a2a3···an=n2+n (n∈N*),求通项an4.已知{an}中,a1=3,且an+1=an2 (n∈N*),则 {an}的通项
公式an=____________3.已知{an}中,a1=1,an= n(an+1 － an )(n∈N*), 求{an}
的通项公式an(提示:作倒数变换)