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第一讲 一元一次方程概念及解法培优竞赛辅导答案教师版
一、【知识点梳理】
知识点一、一元一次方程的基本概念
1．方程： 含有未知数的等式 叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个 未知数 （元），未知数的次数都是 1 ，这样的整式方程叫做一元一次方程．
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为ax＝b(0≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数②未知数的次数为1；
未知数所在的式子是整式（即分母中不含未知数）；
3.方程的解： 使方程左右两边的值相等的未知数的值 叫做这个方程的解．
4．解方程： 求方程的解的过程 叫做解方程．
知识点二、等式的性质
等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 不为0 的数，结果仍相等．
知识点三、一元一次方程的解法
方程的变形规则：
1、方程两边同加(或减)同一个数(或式子)，方程的解不变．
2、方程两边同乘或除以同一个 不为0 的数(或式子)，方程的解不变．
解一元一次方程的一般步骤：
去分母：依据 等式的性质2 在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.
(2)去括号：依据 去括号法则 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：依据 等式的性质1把含有未知数的所有项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(0≠0)．
(5)系数化为1：依 等式的性质2方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；否则则不是方程的解．
二、基础夯实
1、下列方程中是一元一次方程的是( B )
A．x+y=8 B． C． D．
2、若（m－2）＝5是一元一次方程，则m的值为( B )
A．±2 B．－2 C．2 D．4
3、下列判断错误的是( A )
A.若ac-7=bc-7,则a=b B.若a=b,则
C.若x/a=y/a,则x=y D.若ax=bx,则a=b或x=0
4、关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（ A ）
A．4 B．－4 C．2 D．－1
5、如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（ A ）
A． a－b B． －a－b C． b－a D． b＋a
6、若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1，则k的值是（ C ）
A． B．1 C．- D．0
7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ D ）个正方体的重量.
A、2 B、3 C、4 D、5
8、对方程变形正确的是（ D ）
A． B．
C． D．
9、已知|x+1|+(y+2x)2＝0，则____1____．
10、a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 .
（1）则的值为 4 ；（2）当 时，= 3 .
11、解方程：． 3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．
答案：x=- 答案：x=-
12、某书有一道方程：，处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为，那么处被墨盖住的数应该是多少？
答案：处被墨盖住的数应该是5.
三、【典型例题】【例1】解方程：
答案：x=2.5 答案：x=5
【变式题组】
1、解方程： 2、解方程：
答案：x=6.4 答案：x=1
【例2】含字母系数方程的解法：解关于x的方程
答案：（分类讨论）当a≠0时，
当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解
当a=0，b≠0时，即 0x=b，方程无解
即方程的解有三种情况。
【变式题组】
1、关于的方程有解，则的值是（ C ）
A. B. C. D.
2、已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则a的值___________．
3*、若使关于x的方程ax－6＝8有无穷多解，则a应取何值
答案：a=8
4、解关于x的方程
答案：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab
去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b
去括号，得bx-b-a+ax=a+b
移项，并项得 (a+b)x=2a+2b
当a+b≠0时，=2
当a+b=0时，方程有任意解
【例3】含绝对值的方程解法
解方程|x-2|＝3．
答案：x=5或-1
【变式题组】解下列方程 解方程
答案：x=-或1 答案：x=0
【例4】整数解问题：
若关于x的方程9x－4＝kx的解为正整数，则整数k的值为k＝5，7，8__
【变式题组】
1、(成都)要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（ C ）
A．可取一切数 B． k＜ 0 C． k≠0 D． k＞0
2、(“五羊杯”竞赛题)已知关于x的方程9x－3＝kx＋4有整数解，那么满足条件的所有整数k＝__2,8,10,16_________
培优竞赛检测：一、填空题：
在下列方程中 ①，②，③④，⑤是一元一次方程的有 ①_③_⑤_（填序号）.
2、由与互为相反数，_______________。
3、方程x＋2＝3的解也是方程ax－3＝5的解时，a＝___8____________。
4、已知代数式与互为倒数，则=____3___________。
5、方程｜x－1|＝1的解是____2或0___________。
6、|2x－3y|＋（y－2）2 ＝0 成立时，x2＋y2 ＝_____13__________。
7、若是2ab2c3x－1与－5ab2c6x＋3是同类项，则x＝____-___________。
8*、如果方程（m－1）x|m|+2=0是表示关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是____-1_______。
9*、已知关于的方程x是一元一次方程，则_________。
10*、如果5(x+2)＝2a+3与的解相同，那么a的值是________．
11*、若关于的方程有整数解，则满足条件的整数为8，-8，10，16_
二、选择题：
1、方程3x+6=2x－8移项后，正确的是（ C ）
A．3x+2x=6－8 B．3x－2x=－8+6 C．3x－2x=－6－8 D．3x－2x=8－6
2、方程２－＝－去分母得（ C ）
A. 2－2 (2x－4)= －（x－7） B．12－2 (2x－4)= －x－7
C. 12－2 (2x－4)= －（x－7） D．12－(2x－4)= －（x－7）
3、把方程中的分母化为整数，正确的是（ D ）
A. B.
C. D.
4、若方程3x+2a=12和方程2x－4=12的解相同，则a的值为（ C ）
A．6 B．8 C．－6 D．4
5、已知关于的方程是一元一次方程，则= （ C ）
A.±2 B. 2 C. －2 D. ±1
6、已知单项式与的和是单项式，则=（ B ）
A.1 B.－1 C. 0 D.0或1
7、若代数式与是互为相反数，则关于的方程的解为（ B ） A.1 B.－1 C. 4 D.
8、关于的方程有解，则的值是 （ C ）
A. B. C. D.
9、下列判断正确的是( A )
A.若a=b,则ac-5=bc-5 B.若a=b,则
C.若，则x=2 D.若ax=bx,则a=b
10*、关于x的方程有唯一解,则k,m应满足的条件是( D )
A.k≠0,m≠0 B. k≠0,m=0 C.k=0,m≠0 D. k≠m
11*、若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则的大小关系为： ( A )
A. B. C. D.
三、解答题：
问当a、b满足什么条件时，关于的方程2x+5-a=1-bx：
（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
答案：（1）b（2）b=-2且a=4（3）b=-2且a4
思考题：若abc=1，解方程
（答案：x=0.5）
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第一讲 一元一次方程概念及解法培优竞赛辅导
一、【知识点梳理】
知识点一、一元一次方程的基本概念
1．方程： 叫做方程．
2．一元一次方程：只含有一个 （元），未知数的次数都是 ，这样的 方程叫做一元一次方程．2-1-c-n-j-y
要点诠释：
（1）一元一次方程变形后总可以化为 的形式，它是一元一次方程的标准形式．
（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数②未知数的次数为1；
未知数所在的式子是整式（即分母中不含未知数）；
3.方程的解： 叫做这个方程的解．
4．解方程： 叫做解方程．
知识点二、等式的性质
等式的性质：
等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 的数，结果仍相等．
知识点三、一元一次方程的解法
方程的变形规则：
1、方程两边同加(或减)同一个数(或式子)，方程的解不变．
2、方程两边同乘或除以同一个 的数(或式子)，方程的解不变．
解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：依据 在方程两边同乘以各分母的
(2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
(3)移项：依据 把含有未知数的所有项移到方程一边，常数项移到方程另一边．
(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(0≠0)．
(5)系数化为1：依据 方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．
(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；否则则不是方程的解．
二、基础夯实
1、下列方程中是一元一次方程的是( )
A．x+y=8 B． C． D．
2、若（m－2）＝5是一元一次方程，则m的值为( )
A．±2 B．－2 C．2 D．4
3、下列判断错误的是( )
A.若ac-7=bc-7,则a=b B.若a=b,则
C.若x/a=y/a,则x=y D.若ax=bx,则a=b或x=0
4、关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－1
5、如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（ ）
A． a－b B． －a－b C． b－a D． b＋a
6、若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1，则k的值是（ ）
A． B．1 C．- D．0
7、中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）个正方体的重量.2·1·c·n·j·y
A、2 B、3 C、4 D、5
8、对方程变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9、已知|x+1|+(y+2x)2＝0，则________．
10、a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 .
（1）则的值为 ；（2）当 时，= .
11、解方程：． 3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．
12、某书有一道方程：，处的一个数十阿紫印刷时被墨盖住了，查后面的答案，知道方程的解为，那么处被墨盖住的数应该是多少？21世纪教育网版权所有
三、【典型例题】
【例1】解方程：
【变式题组】
1、解方程： 2、解方程：
【例2】含字母系数方程的解法：解关于x的方程
【变式题组】
1、关于的方程有解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
2、已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，则a的值___________．
3、若使关于x的方程ax－6＝8有无穷多解，则a应取何值
4、解关于x的方程
【例3】含绝对值的方程解法
解方程|x-2|＝3．
【变式题组】解下列方程 解方程
【例4】整数解问题：若关于x的方程9x－4＝kx的解为正整数，则整数k的值为k＝_____
【变式题组】
1、(成都)要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（ ）
A．可取一切数 B． k＜ 0 C． k≠0 D． k＞0
2、(“五羊杯”竞赛题)已知关于x的方程9x－3＝kx＋4有整数解，那么满足条件的所有整数k＝___________21教育网
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一、填空题：
1、在下列方程中 ①，②，③④，⑤是一元一次方程的有_______________（填序号）.21cnjy.com
2、由与互为相反数，_______________。
3、方程x＋2＝3的解也是方程ax－3＝5的解时，a＝_______________。
4、已知代数式与互为倒数，则=_______________。
5、方程｜x－1|＝1的解是_______________。
6、|2x－3y|＋（y－2）2 ＝0 成立时，x2＋y2 ＝_______________。
7、若是2ab2c3x－1与－5ab2c6x＋3是同类项，则x＝_______________。
8、如果方程（m－1）x|m|+2=0是表示关于x的一元一次方程，那么m的取值范围是___________。
9、已知关于的方程x是一元一次方程，则_________。
10、如果5(x+2)＝2a+3与的解相同，那么a的值是________．
11、若关于的方程有整数解，则满足条件的整数为____________
二、选择题：
1、方程3x+6=2x－8移项后，正确的是（ ）
A．3x+2x=6－8 B．3x－2x=－8+6 C．3x－2x=－6－8 D．3x－2x=8－6
2、方程２－＝－去分母得（ ）
A. 2－2 (2x－4)= －（x－7） B．12－2 (2x－4)= －x－7
C. 12－2 (2x－4)= －（x－7） D．12－(2x－4)= －（x－7）
3、把方程中的分母化为整数，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4、若方程3x+2a=12和方程2x－4=12的解相同，则a的值为（ ）
A．6 B．8 C．－6 D．4
5、已知关于的方程是一元一次方程，则= （ ）
A.±2 B. 2 C. －2 D. ±121·cn·jy·com
6、已知单项式与的和是单项式，则=（ ）
A.1 B.－1 C. 0 D.0或121·世纪*教育网
7、 若代数式与是互为相反数，则关于的方程的解为（ ）
A.1 B.－1 C. 4 D. www-2-1-cnjy-com
8、关于的方程有解，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
9、下列判断正确的是( )
A.若a=b,则ac-5=bc-5 B.若a=b,则
C.若，则x=2 D.若ax=bx,则a=b
10*、关于x的方程有唯一解,则k,m应满足的条件是( )
A.k≠0,m≠0 B. k≠0,m=0 C.k=0,m≠0 D. k≠m【来源：21·世纪·教育·网】
11*、若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则的大小关系为： ( )
A. B. C. D.
三、解答题：
问当a、b满足什么条件时，关于的方程2x+5-a=1-bx：
（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
思考题：若abc=1，解方程
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