2017_2018版高中数学全一册教学案（打包29套）新人教B版选修1_1

1．1.1　命　题
学习目标　1.理解命题的概念.2.会判断命题的真假．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　命题的概念
思考1　给出下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②3＋6＝7；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④5能被4整除．
请你找出上述语句的特点．　
　
思考2　命题有哪些表达形式，疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？
　
梳理　(1)命题的定义
用______________________表达的，可以判断________的________叫做命题．
(2)分类
①真命题：________________的语句叫做真命题；
②假命题：________________的语句叫做假命题．
知识点二　命题真假性的判断
思考　判断下列命题的真假性．
(1)函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是π；
(2)若a>b，则<.　
　
梳理　数学中判断一个命题是真命题，要经过证明；而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
类型一　命题的判断
例1　下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．21世纪教育网版权所有
其中是命题的是____________．(填序号)
反思与感悟　(1)一般来说，陈述句才有可能是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1　下列语句中，是命题的为________．
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
类型二　命题真假的判断
引申探究
本例中命题④变为：若·<0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
例2　给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．
反思与感悟　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．要判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练2　下列命题中假命题的个数为(　　)
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②空间中两条直线不相交，两条直线就平行；③函数y＝sin 4x－cos 4x的最小正周期为；④空集是任何集合的子集．【来源：21·世纪·教育·网】
A．1 B．2 C．3 D．4
1．下列语句不是命题的有(　　)
①2<1；②x<1；③如果x<2，则x<1；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列说法正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
4．下列语句：
①四边形的内角和为360°；②0是最小的偶数吗？③两直线平行，同位角相等；④若两直线不平行，则它们相交．21cnjy.com
其中，不是命题的序号为________，真命题的序号为________．
5．若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是______________．21·cn·jy·com
根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．www.21-cn-jy.com
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假．
思考2　命题的表达形式有语言、符号或式子；疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题，它们不符合命题必须是陈述句的特点．21教育网
梳理　(1)语言、符号或式子　真假
语句　(2)①判断为真　②判断为假
知识点二
思考　命题(1)中，y＝cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x＝cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．21·世纪*教育网
命题(2)中，当a＝2，b＝－1时，＝，＝－1，<不成立，为假命题．
题型探究
例1　(1)(3)(5)(8)
解析　本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．
跟踪训练1　①④
解析　②和③都不是陈述句，根据命题的定义可知①④是命题．
例2　①③④
解析　结合函数f(x)＝2x的单调性，知①为真命题；而函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题；因为·＝||||cos(π－B)＝－||||cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．www-2-1-cnjy-com
引申探究
解　不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．2-1-c-n-j-y
跟踪训练2　C
当堂训练
1．B　2.B　3.D　4.②　①③
5．a<且a≠0
1．1.2　量　词
学习目标　1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　全称量词与全称命题
思考　观察下列命题：
①每一个三角形都有内切圆；
②所有实数都有算术平方根；
③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．
以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．　
　
梳理　(1)
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
符号
?
全称命题p
含有________________的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________________
(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“?x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x＝x0，使p(x0)不成立即可．21cnjy.com
知识点二　存在量词与存在性命题
思考　观察下列命题：
①有些矩形是正方形；
②存在实数x，使x>5；
③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.
以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．　
　
梳理　(1)
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
符号
?
存在性命题
含有________________的命题
形式
“存在M中的一个x，使q(x)成立”可用符号简记为____________
(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使q(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．
类型一　全称命题与存在性命题的识别
例1　判断下列语句是全称命题，还是存在性命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(3)对任意a，b∈R，若a>b，则<；
(4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数．　
　
　
反思与感悟　(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是存在性命题．21教育网
(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)对每一个无理数x，x2也是无理数；
(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
(4)对于数列，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.　
　
　
类型二　全称命题与存在性命题的真假的判断
例2　判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；
(5)?x∈R，x2－3x＋2＝0；
(6)?x∈R，x2－3x＋2＝0.　
　
　
反思与感悟　要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．21·cn·jy·com
要判定存在性命题“?x∈M，q(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使q(x0)成立即可；如果在集合M中，使q(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
跟踪训练2　有下列四个命题：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x∈N，x2≤x；④?x∈N＋，x为29的约数，其中真命题的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
类型三　全称命题与存在性命题的应用
例3　已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若至少存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．　
　
　
反思与感悟　(1)一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只需a>f(x)max，若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.www.21-cn-jy.com
(2)有关一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的问题，一是转化为二次函数的图象运用数形结合求解，二是分离参数法求解．前者主要运用Δ＝b2－4ac的符号，转化为解不等式或不等式组，后者常常转化为求函数的最大(小)值．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3　(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；2·1·c·n·j·y
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对?x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
1．下列命题中，不是全称命题的是(　　)
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
2．下列命题是真命题的是(　　)
A．a>b是ac2>bc2的充要条件
B．a>1，b>1是ab>1的充分条件
C．?x∈R,2x>x2
D．?x∈R，ex<0
3．下列存在性命题是假命题的是(　　)
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数
D．有的有理数没有倒数
4．若?x∈[0，]，tan x≤m是真命题，则实数m的最小值为________．
5．用量词符号“?”“?”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有的实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
　
　
1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．
2判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．21·世纪*教育网
3．判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x0，使命题q(x0)为真，否则命题为假．www-2-1-cnjy-com
答案精析
问题导学
知识点一
思考　命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．
命题①③是真命题，命题②是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．2-1-c-n-j-y
梳理　(1)全称量词　?x∈M，p(x)
知识点二
思考　命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题．21*cnjy*com
梳理　(1)存在量词　?x∈M，q(x)
题型探究
例1　解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，是全称命题．
(2)含有存在量词“有些”，故是存在性命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，是存在性命题．
跟踪训练1　解　(1)是全称命题，表示为?x∈N，x2≥0.
(2)是全称命题，?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
(3)是存在性命题，?f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．
(4)是存在性命题，?n∈N＋，|an－1|＜0.01，其中an＝.
例2　解　(1)真命题．
(2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为，就不能用正有理数表示．
(4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
(5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立．
(6)真命题，x＝2或x＝1，都使得等式x2－3x＋2＝0成立．
跟踪训练2　C
例3　解　方法一　(1)不等式m＋f(x)>0可化为
m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0，
可化为m>f(x)，
若至少存在一个实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.
所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．
方法二　(1)要使不等式m＋f(x)>0对?x∈R恒成立，即x2－2x＋5＋m>0对?x∈R恒成立．
所以Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得m>－4，
所以当m>－4时，m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)若至少存在一个实数x，
使m－f(x)>0成立，
即x2－2x＋5－m<0成立．
只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可，
解得m>4.
所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．
跟踪训练3　解　(1)∵关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，21世纪教育网版权所有
即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
(2)∵对?x∈R，p(x)是真命题．
∴对?x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，则∴a>1.
当堂训练
1．D　2.B　3.B　4.1
5．解　(1)?x∈R，x2＋x＋1>0，真命题．
(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，假命题．
(3)?x，y∈Z,3x－2y＝10，真命题．
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数，真命题．
1．2.1　“且”与“或”
学习目标　1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　含有逻辑联结词“且”“或”的命题
思考1　观察下面三个命题：①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？　www.21-cn-jy.com
　
思考2　观察下面三个命题：①3>2，②3＝2，③3≥2，它们之间有什么关系？
　
　
梳理　(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．2·1·c·n·j·y
(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作“________”．21*cnjy*com
知识点二　含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假
思考1　你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p、q的真假有关系吗？　
　
思考2　你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p、q的真假有关系吗？
　
　
梳理　含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：
(1)“p∧q”形式命题：当命题p、q都是____________时，p∧q是真命题；当p、q中有一个命题是____________时，则p∧q是假命题．21·世纪*教育网
(2)“p∨q”形式命题：当p、q至少有一个为真时，p∨q为____________；当p、q均是____________时，p∨q为假命题．【来源：21cnj*y.co*m】
类型一　含有“且”“或”命题的构成
命题角度1　简单命题与复合命题的区分
例1　指出下列命题的形式及构成它的命题．
(1)向量既有大小又有方向；
(2)矩形有外接圆或有内切圆；
(3)2≥2.
　
　
反思与感悟　不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．21cnjy.com
判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．【出处：21教育名师】
跟踪训练1　分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)3是质数或合数；
(2)他是运动员兼教练员．
　
　
命题角度2　用逻辑联结词构造新命题
例2　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
　
　
反思与感悟　(1)用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
第一步：确定两个简单命题p，q；
第二步 ：分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”．
跟踪训练2　写出下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．
(1)p：是有理数，q：是整数；
(2)p：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)．　21世纪教育网版权所有
　
　
类型二　“p∧q”和“p∨q”形式命题的真假判断
例3　分别指出“p∨q”“p∧q”的真假．
(1)p：函数y＝sin x是奇函数；q：函数y＝sin x在R上单调递增；
(2)p：直线x＝1与圆x2＋y2＝1相切；q：直线x＝与圆x2＋y2＝1相交；
(3)p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.　
　
　
反思与感悟　判断p∧q与p∨q形式命题的真假的步骤：
(1)首先判断命题p与q的真假；
(2)对于p∧q，“一假则假，全真则真”，
对于p∨q，只要有一个为真，则p∨q为真，全假为假．
跟踪训练3　分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．
(1)p：??{0}，q：0∈?；
(2)p：是无理数，q：π不是无理数；
(3)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；
(4)p：函数y＝x2＋3x＋4的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．
　
　
类型三　逻辑联结词的应用
例4　设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．　
　
　
反思与感悟　由p∨q为真知p，q中至少一真；由p∧q为假知p，q中至少一假，因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况讨论．21教育网
跟踪训练4　例4中其他条件不变，把“p∧q为假命题，p∨q为真命题”改为“p∨q为真命题”，求a的取值范围．　21·cn·jy·com
　
　
1．命题“方程x2＝1的解是x＝±1”中，使用逻辑联结词的情况是(　　)
A．没有使用逻辑联结词
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“且”
D．使用了逻辑联结词“或”与“且”
2．命题“xy≠0”是指(　　)
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x、y至少有一个不为0 D．不都是0
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．在命题“p”，“q”，“p∧q”，和“p∨q”中，真命题有(　　)【版权所有：21教育】
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
4．“p∧q是真命题”则下列结论错误的是(　　)
A．p是真命题 B．q是真命题
C．p∨q是真命题 D．p∨q是假命题
5．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________．2-1-c-n-j-y
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．21教育名师原创作品
2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”“p∨q”的真假．
p∧q为真?p和q同时为真，
p∨q为真?p和q中至少有一个为真．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　命题③是将命题①②用“且”联结得到的．
思考2　命题③是将命题①②用“或”联结得到的．
梳理　(1)p∧q　p且q
(2)p∨q　p或q
知识点二
思考1　①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p且q也为真命题．
思考2　①是真命题；②是假命题；③是真命题．若p、q一真一假，则p或q为真命题．
梳理　(1)真命题　假命题
(2)真命题　假命题
题型探究
例1　解　(1)是p∧q形式命题．
其中p：向量有大小，q：向量有方向．
(2)是p∨q形式命题．
其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．
(3)是p∨q形式命题．
其中p：2>2，q：2＝2.
跟踪训练1　解　(1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数．
(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员．
例2　解　(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
跟踪训练2　解　(1)p或q：是有理数或是整数；
p且q：是有理数且是整数．
(2)p或q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)；www-2-1-cnjy-com
p且q：不等式x2－2x－3>0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3>0的解集是(3，＋∞)．
例3　解　(1)∵p真，q假，
∴“p∨q”为真，“p∧q”为假．
(2)∵p真，q真，
∴“p∨q”为真，“p∧q”为真．
(3)∵p假，q假，
∴“p∨q”为假，“p∧q”为假．
跟踪训练3　解　(1)∵p真，q假，
∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(2)∵p真，q假，
∴“p或q”为真，“p且q”为假．
(3)∵p真，q真，
∴“p或q”为真，“p且q”为真．
(4)∵p假，q假，
∴“p或q”为假，“p且q”为假．
例4　解　对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，
所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.
解不等式得－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，
则有a＋1>1，所以a>0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，
所以p，q必是一真一假．
当p真q假时有－3综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．
跟踪训练4　解　对于p：x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为?，
∴Δ＝[－(a＋1)]2－4<0，
解得－3对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内为增函数，
∴a＋1>1，即a>0.
∵p∨q为真，
∴p，q至少有一个为真，求两解集的并集即可，
∴{a|－30}＝{a|a>－3}，
综上，a的取值范围是(－3，＋∞)．
当堂训练
1．B　2.A　3.B　4.D　5.[－2，)
1．2.2　“非”(否定)
学习目标　1.理解逻辑联结词“非”的含义.2.掌握存在性命题和全称命题否定的格式，会对命题、存在性命题、全称命题进行否定．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　命题的否定
思考1　观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？www.21-cn-jy.com
　
思考2　你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与綈p的真假有关系吗？
　
　
梳理　(1)对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作________，读作“非p”或“________________”．“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是____________；若p是假命题，则綈p必是____________．21教育名师原创作品
(2)由“非”的含义，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集?UA＝{x∈U|綈(x∈A)}＝{x∈U|x?A}．21*cnjy*com
知识点二　全称命题与存在性命题的否定
思考1　写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形；
②有些平行四边形是菱形．
　
　
思考2　对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形吗？
　
思考3　对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？
　
梳理　
命题
命题的表述
全称命题p
?x∈A，p(x)
全称命题的否定綈p
存在性命题q
?x∈A，q(x)
存在性命题的否定綈q
?x∈A，綈q(x)
知识点三　含有一个量词的命题p的否定的真假性判断
对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断綈p的真假；二是用p与綈p的真假性相反来判断．21教育网
类型一　命题的否定
例1　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值是－且最大值是1；
(2)100是10或20的倍数．　
　
　
反思与感悟　(1)对命题“p∧q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p∨q”的否定，除将简单命题p、q否定外，还需将“或”变为“且”．
(2)命题p与命题p的否定綈p的真假相反．
跟踪训练1　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：三角形的内角和等于180°；
(2)p：美国总统奥巴马是2009年度诺贝尔和平奖获得者．　
　
　
类型二　全称命题的否定
例2　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)所有的正方形都是菱形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)直线l⊥平面α，则?l′?α，l⊥l′；
(4)?x>1，log2x>0.
　
反思与感悟　(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．21cnjy.com
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
跟踪训练2　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
　
　
类型三　存在性命题的否定
例3　写出下列存在性命题的否定，并判断其真假．
(1)?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)有些素数是奇数；
(3)有些平行四边形不是矩形．
　
　
反思与感悟　存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x∈A，p(x)成立?綈p：?x∈A，綈p(x)成立．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.　
　
　
类型四　全称命题、存在性命题的应用
例4　已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．21·世纪*教育网
反思与感悟　通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4　已知命题p：?x0∈R，x＋2ax0＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．21世纪教育网版权所有
　
1．若p是真命题，q是假命题，则(　　)
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
2．设命题p：?n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
3．对下列命题的否定说法错误的是(　　)
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：?x∈R，x2＋x＋2>0
4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为_________________________________________．
5．已知命题“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．21·cn·jy·com
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　命题q是对命题p的否定，“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等．
思考2　①p为真命题，q为假命题；②p为真命题，q为假命题．若p为真命题，则綈p为假命题．
梳理　(1)綈p　p的否定　假命题
真命题
知识点二
思考1　①并非所有的矩形都是平行四边形．
②每一个平行四边形都不是菱形．
思考2　不能．
思考3　不能．
梳理　?x∈A，綈p(x)
题型探究
例1　解　(1)命题是“p且q”的形式，其中p：x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值是－；q：x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最大值是1.p真，q假，该命题的否定是“x∈(0,2)，函数y＝x2－x－1的最小值不是－或最大值不是1”，这是“綈p或綈q”形式的复合命题，因为綈p假，綈q真，所以“綈p或綈q”为真命题．2-1-c-n-j-y
(2)命题是“p或q”的形式，其中p：“100是10的倍数”；q：“100是20的倍数”．它的否定形式为“綈p且綈q”，即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题．
跟踪训练1　解　(1)綈p：三角形的内角和不等于180°.
因为p为真，故綈p为假．
(2)綈p：美国总统奥巴马不是2009年度诺贝尔和平奖获得者．
因为p为真，故綈p为假．
例2　解　(1)存在一个正方形不是菱形，是假命题；
(2)存在一个素数不是奇数，是真命题；
(3)直线l⊥平面α，则?l′?α，l与l′不垂直，是假命题；
(4)?x>1，log2x≤0，是假命题．
跟踪训练2　解　(1)存在一个矩形，不是平行四边形，是假命题．
(2)数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数，是真命题．
(3)?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一，是真命题．
例3　解　(1)?x>1，x2－2x－3≠0，是假命题．
(2)所有的素数都不是奇数，是假命题．
(3)所有的平行四边形都是矩形，是假命题．
跟踪训练3　解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．2·1·c·n·j·y
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．21*cnjy*com
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．【来源：21cnj*y.co*m】
例4　解　在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在[－1,1]上的所有实数c，都有f(c)≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，【出处：21教育名师】
　即
即
∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是－3跟踪训练4　(0,1)
解析　方法一　若命题p：?x0∈R，x＋2ax0＋a≤0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a≥0，
即a(a－1)≥0, 若命题p是假命题，则a(a－1)<0，解得0方法二　依题意，命题綈p：?x∈R，x2＋2ax＋a>0是真命题，得Δ＝(2a)2－4a<0，即a(a－1)<0，解得0当堂训练
1．D　2.C　3.C
4．有的向量与零向量不共线
5．(，＋∞)
1．3.1　推出与充分条件、必要条件
学习目标　1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　命题的结构
思考1　你能把“内错角相等”写成“如果…，则…”的形式吗？
　
思考2　“内错角相等”是真命题吗？
　
梳理　命题的形式“如果p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
知识点二　充分条件与必要条件的概念
给出下列命题：
(1)如果x>a2＋b2，则x>2ab；
(2)如果ab＝0，则a＝0.
思考1　你能判断这两个命题的真假吗？
　
思考2　命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？
　
　
梳理　一般地，“如果p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的________________，q是p的________________．
知识点三　充要条件的概念
思考1　命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
思考2　若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
　
　
梳理　一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作________．此时，我们说，p是q的________________________，简称________________．2-1-c-n-j-y
知识点四　充要条件的判断
1．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类
(1)充分且必要条件(充要条件)，即p?q且q?p；
(2)充分不必要条件，即p?q且q?/ p；
(3)必要不充分条件，即p?/ q且q?p；
(4)既不充分也不必要条件，即p?/ q且q?/ p.
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
类型一　判断充分条件与必要条件
命题角度1　定义法判断充分条件与必要条件
例1　指出下列各组命题中p是q的什么条件？
(1)p：x－2＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(4)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.
　
　
　
反思与感悟　充分条件、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“如果p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“如果p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(3)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根．
　
命题角度2　用集合观点判断充分条件、必要条件
例2　(1)“|x|<2”是“x2－x－6<0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
反思与感悟　设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；p?q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A?B.若B?A，则p是q的必要不充分条件．
跟踪训练2　(1)“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)x>的一个必要不充分条件是__________；x＋y>0的一个充分不必要条件是________________．21教育网
类型二　充分条件、必要条件的应用
命题角度1　由四种条件求参数的范围
例3　已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．　www.21-cn-jy.com
　
　
反思与感悟　在涉及到求参数的取值范围与充分、必要条件有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．注意推出的方向及推出与子集的关系．2·1·c·n·j·y
跟踪训练3　设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．21·世纪*教育网
命题角度2　充要条件的探求与证明
例4　求关于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0对于一切实数x都成立的充要条件．
　
反思与感悟　探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练4　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.　
　
　
1．“x2>2 017”是“x2>2 016”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．a<0，b<0的一个必要条件为(　　)
A．a＋b<0 B．a＋b>0
C.>1 D.<－1
3．下列命题为假命题的是(　　)
A．在△ABC中，B＝60°是△ABC的三内角A，B，C成等差数列的充要条件
B．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是x＝－1
C．在△ABC中，A＝B是sin A＝sin B的充要条件
D．lg x>lg y是>的充要条件
4．若“x2＋ax＋b＝0”是“x＝1”的充要条件，则a＝________，b＝________.
5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
　
　
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．21世纪教育网版权所有
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　如果两个角为内错角，则这两个角相等．
思考2　不是．
知识点二
思考1　(1)真命题；(2)假命题．
思考2　命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能有结论b＝0.21cnjy.com
梳理　p?q　充分条件　必要条件
知识点三
思考1　只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．
思考2　因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．21·cn·jy·com
梳理　p?q　充分且必要条件　充要条件
题型探究
例1　解　(1)因为x－2＝0
?(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0D?/x－2＝0，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为两个三角形相似D?/两个三角形全等，
但两个三角形全等?两个三角形相似，
所以p是q的必要不充分条件．
(3)在△ABC中，
显然有∠A>∠B?BC>AC，
所以p是q的充要条件．
(4)取∠A＝120°，∠B＝30°，pD?/q；
又取∠A＝30°，∠B＝120°，qD?/p，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
跟踪训练1　解　(1)因为四边形的对角线互相平分?/ 四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为x＝1或x＝2?x－1＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
所以p是q的充要条件．
(3)因为m>0?方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；
方程x2＋x－m＝0有实根，
即Δ＝1＋4m≥0?/ m>0.
所以p是q的充分不必要条件．
例2　(1)A　(2)A
解析　(1)由|x|<2，得－2令A＝{x|－2由x2－x－6<0，得－2令B＝{x|－2∵A?B，∴|x|<2是x2－x－6<0的充分不必要条件．
(2)M＝{x|－1∵N?M，∴a∈M是a∈N的必要不充分条件．
跟踪训练2　(1)B
(2)x>0　x>0且y>0(答案不唯一)
例3　解　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}
＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}
＝{x|x≤－或x≥2}，
N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}
＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}
＝{x|x≤a－2或x≥a}，
由已知p?q，且qp，得M?N.
所以或
?≤a<2或即所求a的取值范围是[，2]．
跟踪训练3　(1,2]
例4　解　充分性：当0判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
所以a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
跟踪训练4　证明　充分性：∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
当堂训练
1．A　2.A　3.D　4.－2　1
5．解　由3x＋m<0，得x<－，
∴p：A＝{x|x<－}．
由x2－2x－3>0，得x<－1或x>3，
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q且q?/ p，
∴A?B，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
1．3.2　命题的四种形式
学习目标　1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　四种命题的概念
思考　给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？　
　
　
梳理　对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：
(1)原命题：________________；
(2)逆命题：________________(“换位”)；
(3)否命题：________________(“换质”)；
(4)逆否命题：________________(“换位”又“换质”)．
知识点二　命题的四种形式之间的关系
思考1　为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？2-1-c-n-j-y
　
思考2　原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？21*cnjy*com
　
梳理　四种命题间的相互关系
知识点三　四种命题的真假关系
思考1　知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？
　
思考2　如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？
　
　
梳理　(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是________________．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性________________．
类型一　四种命题及其相互关系
命题角度1　四种命题的概念
例1　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若x∈A，则x∈A∪B；　
　
　
(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.
反思与感悟　四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练1　命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(　　)【版权所有：21教育】
A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
命题角度2　四种命题的相互关系
例2　若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是(　　)
A．互为逆命题
B．互为否命题
C．互为逆否命题
D．同一命题
反思与感悟　判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断；
(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
跟踪训练2　已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．
类型二　四种命题的真假判断
例3　有以下命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题，其中真命题为(　　)
A．①② B．②③
C．④ D．①②③
反思与感悟　原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
跟踪训练3　命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
类型三　等价命题的应用
例4　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
引申探究　
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．
反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练4　证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
　
　
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是(　　)
A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B
C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A
2．命题“如果x2<1，则－1A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．如果－1C．如果x>1或x<－1，则x2>1
D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1
3．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是(　　)
A．真命题
B．假命题
C．不一定是真命题
D．不一定是假命题
4．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；
③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知命题“若m－11．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．
3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

学习目标　1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．21cnjy.com
知识点一　全称命题与存在性命题
1．全称命题与存在性命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
知识点二　简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
知识点三　充分条件、必要条件的判断方法
1．直接利用定义判断：即若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)
2．利用等价命题的关系判断：p?q的等价命题是綈q?綈p，即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．21·cn·jy·com
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
知识点四　四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．
类型一　命题的关系及真假的判断
例1　将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
　
反思与感悟　(1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论．
②逆命题：把原命题的条件和结论交换．
否命题：把原命题中条件和结论分别否定．
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．
(2)命题真假的判断方法
跟踪训练1　下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.【来源：21·世纪·教育·网】
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
类型二　逻辑联结词与量词的综合应用
例2　已知p：?x∈R，mx2＋2≤0.q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
反思与感悟　解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．21·世纪*教育网
跟踪训练2　已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
　
　
类型三　充分条件与必要条件
命题角度1　充分条件与必要条件的判断
例3　(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
反思与感悟　条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)等价法：利用A?B与綈B?綈A，B?A与綈A?綈B，A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．www.21-cn-jy.com
(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练3　使a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．a2>b2>0 B．>>0
C．ln a>ln b>0 D．xa>xb且x>0.5
命题角度2　充分条件与必要条件的应用
例4　设命题p：x2－5x＋6≤0；命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．　
　
　
反思与感悟　利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练4　已知p：2x2－9x＋a<0，q：2　
　
　
1．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)
A．?x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B．?x>0，使得(x＋1)ex≤1
C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．?x≤0，总有(x＋1)ex≤1
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．21世纪教育网版权所有
5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．21教育网
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．
答案精析
问题导学
知识点一
思考　命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．21*cnjy*com
梳理　(1)如果p，则q　(2)如果q，则p　(3)如果綈p，则綈q　(4)如果綈q，则綈p
知识点二
思考1　逆命题：如果q，则p.否命题：如果綈p，则綈q.逆否命题：如果綈q，则綈p.
思考2　互逆、互否、互为逆否．
梳理　如果p，则q　如果q，则p　如果綈p，则綈q　如果綈q，则綈p
知识点三
思考1　(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．
思考2　原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．
梳理　(1)逆否命题　(2)没有关系
题型探究
例1　解　(1)逆命题：若x∈A∪B，
则x∈A.
否命题：若x?A，则x?A∪B.
逆否命题：若x?A∪B，则x?A.
(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．
否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．
逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．
(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.
否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，
则a≤b.
跟踪训练1　B
例2　B　[已知命题p：若x＋y＝0，
则x，y互为相反数．
命题p的否命题q为：若x＋y≠0，
则x，y不互为相反数，
命题q的逆命题r为：
若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，
∴r是p的逆否命题，
∴r是p的逆命题的否命题，故选B.]
跟踪训练2　若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2
解析　由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．
例3　D　[①②③显然正确；对于④，若A∩B＝B，则B?A，
所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．]
跟踪训练3　B　[命题“若a>b，
则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，
则其逆否命题是假命题．
该命题的逆命题为“若ac2>bc2，
则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，
则其否命题是真命题．故选B.]
例4　解　方法一　原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?，判断如下：2·1·c·n·j·y
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题．
方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥≥1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究　
解　先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，【出处：21教育名师】
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)
＝4a－7<0，
所以a<.所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
跟踪训练4　证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．21教育名师原创作品
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，
则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．
当堂训练
1．B　2.D　3.A　4.C　5.[1,2]
第一单元 常用逻辑用语
1　解逻辑用语问题三绝招
1．利用集合——理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本文使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：www-2-1-cnjy-com
①A是B的充分条件，即A?B.
②A是B的必要条件，即B?A.
③A是B的充要条件，即A＝B.
④A是B的既不充分也不必要条件，
即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素．
或
例1　“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)21世纪教育网版权所有
解析　设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A、B，则A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“A?B，B?A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分也不必要条件．21教育名师原创作品
答案　既不充分也不必要
2．抓住量词——对症下药
全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．21*cnjy*com
例2　(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．
解析　(1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1.
命题q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.
(2)命题p转化为当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0，
即4－a≥0，即a≤4.命题q同(1)．
综上所述，a≤－1或2≤a≤4.
答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．2·1·c·n·j·y
3．等价转化——提高速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．
例3　设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．
分析　“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A??RB出发解题．
解　设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合．
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r，
∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，∴r的取值范围为0点评　若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．
2　判断条件四策略
1．应用定义
如果p?q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断的关键是分清条件与结论．
例1　设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的____________条件．
解析　条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，所以pD/?q；
若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．
答案　必要不充分
2．利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即若p?q，q?r，则p?r.
例2　如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的____________条件．2-1-c-n-j-y
解析　依题意，有A?B?C?D且AD?/B?CD?/D，由命题的传递性可知D?A，但AD?/D.于是A是D的必要不充分条件．
答案　必要不充分
3．利用集合
运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A?B，则p是q的充分条件；②若B?A，则p是q的必要条件；③若A?B，则p是q的充分不必要条件；④若B?A，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．
例3　已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是________．
解析　设p、q分别对应集合P、Q，
则P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由题意知，p?q，但qD?/p.故P?Q，
所以或解得m≥9.
即m的取值范围是[9，＋∞)．
答案　[9，＋∞)
4．等价转化
由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p推q较困难时，可利用等价转化，先判断由非q推非p，从而得到p?q.
例4　已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的____________条件．
解析　因为p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，
所以綈p：x＋y＝2，綈q：x＝1且y＝1.
因为綈pD?/綈q，但綈q?綈p，
所以綈q是綈p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件．
答案　充分不必要
3　走出逻辑用语中的误区
误区1　所有不等式、集合运算式都不是命题
例1　判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．
(1)x＋2>0；
(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；
(4)A?A∪B.
错解　(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．
剖析　(1)中含有未知数x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；21cnjy.com
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?A∪B＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?A∪B成立，故(4)为真命题．
正解　(2)、(4)是命题，且都为真命题．
误区2　原命题为真，其否命题必为假
例2　判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；
(2)若a2>b2，则a>b.
错解　(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析　否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．21·世纪*教育网
正解　(1)否命题：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3　搞不清谁是谁的条件
例3　使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．x>3 B．x>4
C．x>2 D．x∈{1,2,3}
错解　由不等式x－3>0成立，
得x>3，显然x>3?x>2，
又x>2D?/x>3，因此选C.
剖析　若p的一个充分不必要条件是q，则q?p，pD?/q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4?x－3>0，而x－3>0D?/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.【来源：21cnj*y.co*m】
正解　B
误区4　考虑问题不周
例4　如果a，b，c∈R，那么“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
错解　判别式Δ＝b2－4ac>0，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.综上可知“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的充要条件，故选C.
剖析　判别式Δ＝b2－4ac只适用于一元二次方程的实数根存在情况的判断．对于方程ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，原方程为一次方程bx＋c＝0(b≠0)，一次方程不存在判别式，所以当b2>4ac时不能推出方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根；若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，则它的判别式Δ＝b2－4ac>0，即b2>4ac.由上可知，“b2>4ac”是“方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根”的必要不充分条件．
正解　B
误区5　用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例5　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p∨q”；
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p∧q”．
错解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析　(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区6　不能正确否定结论
例6　p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．
错解　綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．
剖析　命题p的结论：“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．
正解　綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．
误区7　对含有一个量词的命题否定不完全
例7　已知命题p：存在一个实数x0，使得x－x0－2<0，写出綈p.
错解一　綈p：存在一个实数x0，使得x－x0－2≥0.
错解二　綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析　该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．【版权所有：21教育】
正解　綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区8　忽略了隐含的量词
例8　写出下列命题的否定：
(1)不相交的两条直线是平行直线；
(2)奇函数的图象关于y轴对称．
错解　(1)不相交的两条直线不是平行直线；
(2)奇函数的图象不关于y轴对称．
剖析　以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．
正解　(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；
(2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称.
4　解“逻辑”问题需强化的三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．21·cn·jy·com
例1　证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析　本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．
证明　命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.【来源：21·世纪·教育·网】
例2　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．www.21-cn-jy.com
分析　将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解　解不等式x2－8x－20>0，
得p：A＝{x|x>10或x<－2}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，
得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q，但qD?/p，说明A?B.
于是有或，解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3　已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是______________．
分析　先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围．
解析　函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；21教育网
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．
答案　(1,2)
点评　若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．【出处：21教育名师】
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4　设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A?B?对任意x∈A，都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
分析　画出表示A?B的Venn图进行判断．
解析　画出Venn图，如图1所示，则A?B?存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．
A?B?B?A不成立的反例如图2所示．同理可得B?A?A?B不成立．故③是假命题．
综上知，真命题的序号是④.
答案　④
第一单元 常用逻辑用语
学习目标　1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．21世纪教育网版权所有
知识点一　全称命题与存在性命题
1．全称命题与存在性命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
知识点二　简易逻辑联结词“且、或、非”命题的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假．
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
知识点三　充分条件、必要条件的判断方法
1．直接利用定义判断：即若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)
2．利用等价命题的关系判断：p?q的等价命题是綈q?綈p，即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．21·世纪*教育网
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
知识点四　四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．
类型一　命题的关系及真假的判断
例1　将下列命题改写成“如果p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及它们的真假．
(1)垂直于同一平面的两条直线平行；
(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．
　
反思与感悟　(1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论．
②逆命题：把原命题的条件和结论交换．
否命题：把原命题中条件和结论分别否定．
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．
(2)命题真假的判断方法
跟踪训练1　下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.2·1·c·n·j·y
其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
类型二　逻辑联结词与量词的综合应用
例2　已知p：?x∈R，mx2＋2≤0.q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)2-1-c-n-j-y
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
反思与感悟　解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．21*cnjy*com
跟踪训练2　已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
　
　
类型三　充分条件与必要条件
命题角度1　充分条件与必要条件的判断
例3　(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
反思与感悟　条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)等价法：利用A?B与綈B?綈A，B?A与綈A?綈B，A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．【来源：21·世纪·教育·网】
(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．【来源：21cnj*y.co*m】
跟踪训练3　使a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．a2>b2>0 B．>>0
C．ln a>ln b>0 D．xa>xb且x>0.5
命题角度2　充分条件与必要条件的应用
例4　设命题p：x2－5x＋6≤0；命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．　【出处：21教育名师】
　
　
反思与感悟　利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．21cnjy.com
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．21·cn·jy·com
跟踪训练4　已知p：2x2－9x＋a<0，q：2　
　
　
1．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(　　)
A．?x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B．?x>0，使得(x＋1)ex≤1
C．?x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．?x≤0，总有(x＋1)ex≤1
2．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为______________．
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．21教育网
5．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“如果p，则q”，则该命题的否命题是“如果綈p，则綈q”；命题的否定为“如果p，则綈q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．【版权所有：21教育】
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．
答案精析
问题导学
知识点四
如果p，则q　如果q，则p　如果綈p，则綈q　如果綈q，则綈p
题型探究
例1　解　(1)将命题写成“如果p，则q”的形式为：如果两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．www.21-cn-jy.com
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：如果两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假)
否命题：如果两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假)
逆否命题：如果两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真)
(2)将命题写成“如果p，则q”的形式为：如果mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：如果方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假)
否命题：如果mn≥0，
则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)
逆否命题：如果方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)
跟踪训练1　B　[正确的为①③.]
例2　A　[因为p∨q为假命题，所以p和q都是假命题．
由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假，
得?x∈R，mx2＋2＞0，所以m≥0.①
由q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，
得?x∈R，x2－2mx＋1≤0，
所以Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.]
跟踪训练2　解　由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时，
≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0”，
即函数y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．
例3　(1)B　(2)C
解析　(1)∵x2－3x>0?/ x>4，
x>4?x2－3x>0，
故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．
(2)∵a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，
∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．
跟踪训练3　C
例4　解　方法一　命题p：x2－5x＋6≤0，
解得2≤x≤3；
命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，
解得m≤x≤m＋2，
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
∴或
解得1≤m≤2.
∴实数m的取值范围是[1,2]．
方法二　命题p：2≤x≤3，
命题q：m≤x≤m＋2，
綈p：x<2或x>3，
綈q：xm＋2，
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴{x|xm＋2}?{x|x<2或x>3}，
故解得1≤m≤2.
∴实数m的取值范围是[1,2]．
跟踪训练4　解　∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件，
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则解得a≤9，
∴实数a的取值范围是(－∞，9]．
当堂训练
1．B　2.A　3.若x，y不全为零，则xy≠0　4.②③　5.(－∞，0]
3．1.1　函数的平均变化率
3．1.2　瞬时速度与导数
学习目标　1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．21cnjy.com
知识点一　函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．www.21-cn-jy.com
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．【来源：21·世纪·教育·网】
思考1　若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
　
　
思考2　怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
　
　
思考3　观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？
　
　
梳理　函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：____________的增量与____________的增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的________．2·1·c·n·j·y
知识点二　瞬时变化率
思考1　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．21世纪教育网版权所有
　
思考2　当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
　
梳理　(1)物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当________________时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率为________________趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度．21·世纪*教育网
(2)函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率____________趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．www-2-1-cnjy-com
知识点三　函数在某一点处的导数与导函数
思考　f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？
　
梳理　(1)函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的________________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________，即f′(x0)＝________________.2-1-c-n-j-y
(2)导函数定义
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________________，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或y′x、y′)．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.21教育网
类型一　函数的平均变化率
例1　(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率.
(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？21*cnjy*com
　
反思与感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.【来源：21cnj*y.co*m】
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．【出处：21教育名师】
类型二　求瞬时速度
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．【版权所有：21教育】
引申探究　
1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．
2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
反思与感悟　(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
②求平均速度＝.
③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．
跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．21教育名师原创作品
　
类型三　求函数在某一点处的导数
例3　求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
　
反思与感悟　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪训练3　已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　)
A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2
2．函数f(x)在x0处可导，则 (　　)
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
3．当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________．
4．函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________．
5．已知函数f(x)＝在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是________．
利用导数定义求导数三步曲
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
简记为一差，二比，三极限．
特别提醒：①取极限前，要注意化简，保证使当Δx→0时，分母不为0.
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值y的改变量为y2－y1，记作Δy.
思考2　对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．
思考3　观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
梳理　(2)函数值　自变量　(4)斜率
知识点二
思考1　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，
＝＝10＋5Δt.
思考2　当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．
梳理　(1)t0到t0＋Δt　　(2)
知识点三
思考　f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．21·cn·jy·com
梳理　(1)瞬时变化率　f′(x0)或y′|x＝x0　 
(2)确定的导数f′(x)
题型探究
例1　解　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
＝
＝2Δx＋4x1＋3.
①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19
＝21，＝21.
②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx
＝0.02＋1.9＝1.92.
＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.
(2)在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1跟踪训练1　(1)Δx　(2)　
解析　(1)＝
＝
＝Δx.
(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为
＝＝.
由函数f(x)的图象知，
f(x)＝
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为
＝＝.
例2　解　∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
引申探究　
1．解　∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴ ＝ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，
∵＝
＝2t0＋1＋Δt.
∴ ＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
跟踪训练2　解　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝
＝4a＋aΔt，
∴ ＝4a＝8，即a＝2.
例3　解　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝－1，
∴＝＝，
∴f′(1)＝li ＝li ＝.
跟踪训练3　解　∵f′(x0)＝
 
＝ 
＝ (6x0＋3Δx)＝6x0，
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
当堂训练
1．B　2.B　3.　4.16　5.2
3．1.3　导数的几何意义
学习目标　1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．21教育网
知识点　导数的几何意义
如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．21cnjy.com
思考1　割线PPn的斜率kn是多少？
　
　
思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？
　
　
梳理　(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在________的切线．www.21-cn-jy.com
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝________________.2·1·c·n·j·y
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　求切线方程
命题角度1　曲线在某点处的切线方程
例1　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．
　
反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
命题角度2　曲线过某点的切线方程
例2　求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．
　
反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0)．
(2)建立方程f′(x0)＝.
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
　
类型二　求切点坐标
例3　已知曲线y1＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．【来源：21·世纪·教育·网】
引申探究
1．若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．
2．若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程．
反思与感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
　
类型三　导数几何意义的应用
例4　已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为______________．(请用“>”连接)21·世纪*教育网
反思与感悟　导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．21·cn·jy·com
跟踪训练4　(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　)www-2-1-cnjy-com
(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
3．曲线y＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于(　　)
A．45° B．60°
C．135° D．120°
4．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.2-1-c-n-j-y
5．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________．
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．21*cnjy*com
答案精析
问题导学
知识点
思考1　割线PPn的斜率为kn＝.
思考2　kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理　(1)点P处
(2)li ＝f′(x0)　(3)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
题型探究
例1　解　将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点坐标为P(2,4)．
∵y′|x＝2＝ 
＝ 
＝[4＋2Δx＋(Δx)2]＝4，
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
跟踪训练1　－3
例2　解　设切线在抛物线上的切点坐标为(x0，x)，
∵y′|x＝x0＝ 
＝ (x0＋Δx)＝x0，
∴＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1.
∴切线过抛物线y＝x2上的点(7，)，(1，)，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程．
跟踪训练2　解　设切点坐标为(x0，x＋x0＋1)，
则切线斜率为
k＝ 
＝2x0＋1.
又k＝＝，
∴2x0＋1＝，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线的斜率为k＝1，过(－1，0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线的斜率为k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.21世纪教育网版权所有
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
例3　解　y′1|x＝x0＝ 
＝ ＝2x0，
y′2|x＝x0＝ 
＝ ＝－3x.
由题意得2x0＝－3x，
解得x0＝0或－.
引申探究
1．解　∵y′1|x＝x0＝2x0，
y′2|x＝x0＝－3x.
又曲线y1＝x2－1与y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，
∴2x0·(－3x)＝－1，
解得x0＝.
2．解　由例3知，x0＝0或－.
当x0＝0时，两条平行切线方程分别为
y＝－1，y＝1.
当x0＝－时，曲线y＝x2－1的切线方程为12x＋9y＋13＝0.
曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.
∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.
跟踪训练3　解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵f′(x)|x＝x0＝ 
＝ 
＝3x－4x0，
又由题意可知k＝4，∴3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为(－，)或(2,3)．
当切点坐标为(－，)时，有＝4×(－)＋a，解得a＝.
当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为(－，)；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
例4　k1>k3>k2
解析　由导数的几何意义，可得k1>k2.
∵k3＝表示割线AB的斜率，
∴k1>k3>k2.
跟踪训练4　(1)A　(2)－7
当堂训练
1．C　2.A　3.C　4.－2　5.(3,30)
3．2.1　常数与幂函数的导数
3．2.2　导数公式表
学习目标　1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．21·cn·jy·com
知识点一　常数与幂函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝C
f′(x)＝________
f(x)＝x
f′(x)＝________
f(x)＝x2
f′(x)＝________
f(x)＝
f′(x)＝________
知识点二　基本初等函数的导数公式表
原函数
导函数
f(x)＝C(C为常数)
f′(x)＝________
f(x)＝xu
f′(x)＝________(x>0，u≠0)
f(x)＝sin x
f′(x)＝________
f(x)＝cos x
f′(x)＝________
f(x)＝ax
f′(x)＝________(a>0，a≠1)
f(x)＝ex
f′(x)＝________
f(x)＝logax
f′(x)＝________(a>0，a≠1，x>0)
f(x)＝ln x
f′(x)＝________
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝2sin cos ；(5)y＝logx；(6)y＝3x.
　
反思与感悟　若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．21cnjy.com
跟踪训练1　给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；
②(sin)′＝cos；
③若f(x)＝，则f′(3)＝－；
④(2ex)′＝2ex；
⑤(log4x)′＝；
⑥(2x)′＝2x.
其中正确的有________个．
类型二　导数公式的综合应用
命题角度1　利用导数公式解决切线问题
例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．www.21-cn-jy.com
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练2　已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．2·1·c·n·j·y
　
命题角度2　利用导数公式求最值问题
例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
　
跟踪训练3　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列结论：
①(sin x)′＝cos x； ②()′＝；
③(log3x)′＝； ④(ln x)′＝.
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　)
A. B．0 C. D.
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
4．求过曲线y＝sin x上的点P(，)且与在这一点处的切线垂直的直线方程．
　
5．求下列函数的导数：
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos(－x)．
1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．21教育网
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
答案精析
知识梳理
知识点一
0　1　2x　－
知识点二
0　uxu－1　cos x　－sin x　axln a
ex　　
题型探究
例1　解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1
＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－1
＝x－＝ .
(4)∵y＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝cos x.
(5)y′＝(logx)′＝＝－.
(6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
跟踪训练1　3
解析　因为(cos x)′＝－sin x，
所以①错误；
因为sin＝，而()′＝0，
所以②错误；
因为f′(x)＝()′＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－，所以③正确；
因为(2ex)′＝2ex，所以④正确；
因为(log4x)′＝，所以⑤正确；
因为(2x)′＝2xln 2，所以⑥错误．
例2　解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点坐标为(x0，y0)，由PQ的斜率为
k＝＝1，
又切线与PQ垂直，
所以2x0＝－1，即x0＝－，
所以切点坐标为(－，)．
所以所求切线方程为
y－＝(－1)(x＋)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
解　因为y′＝(x2)′＝2x，
设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0.
又因为PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，
即x0＝.
所以切点为M(，)，
所以所求切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
跟踪训练2　解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为
k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0
＝－sin x0.
要使两切线垂直，
必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的．
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．
例3　解　依题意知，抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．21世纪教育网版权所有
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为(，)，
∴所求的最短距离为d＝＝.
跟踪训练3　解　设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率为k＝ y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1，
故可得M(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，
故点M(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
当堂训练
1．C　[∵②(x)′＝x；③(log3x)′＝，
∴②③错误，故选C.]
2．A　[∵根据导数的定义，
可得f′(x)＝，
∴f′(3)＝＝.]
3.
解析　∵f′(x)＝，
则f′(1)＝＝－1，∴a＝.
4．解　曲线y＝sin x在点P(，)处的切线斜率
为k＝y′|x＝＝cos ＝，
则与切线垂直的直线的斜率为－，
∴所求直线方程为
y－＝－(x－)，
即12x＋18y－2π－9＝0.
5．解　(1)y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，
∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.
(3)∵y＝＝x，
∴y′＝(x)′＝x＝.
(4)y′＝.
(5)y′＝5xln 5.
(6)∵y＝cos(－x)＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
3.2.3　导数的四则运算法则
学习目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．21世纪教育网版权所有
知识点一　和、差的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.
思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？
　
　
思考2　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．
　
　
思考3　Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？
　
　
梳理　和、差的导数
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)．
知识点二　积、商的导数
已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3.
思考1　试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．
　
　
思考2　求H(x)＝x2sin x，M(x)＝，Q(x)＝3sin x的导数．
　
　
　
梳理　(1)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝________________________.
②[Cf(x)]′＝________.
(2)商的导数
[]′＝________________(g(x)≠0)．
(3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，[]′≠.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　导数运算法则的应用
例1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xln x＋2x；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2·ex.
　
　
反思与感悟　(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．21教育网
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝xtan x；
(2)f(x)＝2－2sin2；
(3)f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；
(4)f(x)＝.
　
类型二　导数运算法则的综合应用
命题角度1　利用导数求函数解析式
例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，求f(x)；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
　
反思与感悟　(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数．(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练2　已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．－3 B．2e
C. D.
命题角度2　与切线有关的问题
例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
　
反思与感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行恒等变换，从而转化为这三个要素间的关系．21·cn·jy·com
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3　(1)设曲线y＝在点(，2)处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.21·世纪*教育网
(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．www-2-1-cnjy-com
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列结论不正确的是(　　)
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
2．设y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
3．对于函数f(x)＝＋ln x－，若f′(1)＝1，则k等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
4．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
5．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．2-1-c-n-j-y
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些与切线斜率、瞬时速度等有关的问题．21*cnjy*com
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2　∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋)
＝Δx＋，
∴＝1－.
∴Q′(x)＝ ＝[1－]＝1－.
同理，H′(x)＝1＋.
思考3　Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和．H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．
知识点二
思考1　f′(x)＝2x，g′(x)＝cos x，
φ′(x)＝0.
思考2　H′(x)＝2xsin x＋x2cos x.
M′(x)＝
＝＝.
Q′(x)＝3cos x.
梳理　(1)①f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　②Cf′(x)　(2)
题型探究
例1　解　(1)f′(x)＝(ax3＋bx2＋c)′
＝(ax3)′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx.
(2)f′(x)＝(xln x＋2x)′
＝(xln x)′＋(2x)′
＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2
＝ln x＋1＋2xln 2.
(3)方法一　f′(x)＝()′
＝
＝＝.
方法二　∵f(x)＝＝
＝1－，
∴f′(x)＝(1－)′＝(－)′
＝－＝.
(4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．
跟踪训练1　解　(1)f′(x)＝(x·tan x)′
＝′
＝
＝
＝.
(2)∵f(x)＝2－2sin2＝1＋cos x，
∴f′(x)＝－sin x.
(3)方法一　f′(x)＝[(x＋1)(x＋3)]′·(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′]·(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)·(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)www.21-cn-jy.com
＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)
＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴f′(x)＝(x3＋9x2＋23x＋15)′
＝3x2＋18x＋23.
(4)∵f(x)＝，
∴f′(x)＝
＝.
例2　解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，
即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x.
(2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又因为f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
跟踪训练2　D　[∵f′(x)＝2exf′(1)＋，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝.]
例3　解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为
y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
跟踪训练3　(1)1　(2)4
解析　(1)因为y′＝＝，
所以当x＝时，y′＝＝1.
又直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，
所以由题意得－＝－1，解得a＝1.
(2)因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知，g′(1)＝2.又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.21cnjy.com
当堂训练
1．D　[D项，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′
＝cos x－sin x．]
2．D　[y′＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．]
3．A　[∵f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝，
故选A.]
4．B　[∵y′＝
＝，
∴y′|x＝＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.]
5．解　由题意，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，
由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得
即
解得b＝0，c＝1.
3．3.1　利用导数判断函数的单调性
学习目标　1.理解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．www-2-1-cnjy-com
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的单调性与导函数正负的关系
思考1　观察下列各图，完成表格内容．
函数及其图象
切线斜率
k正负
导数正负
单调性
正
[1，＋∞)上单调______
R上单调________
负
(0，＋∞)上单调______
(0，＋∞)上单调______
(－∞，0)上单调______
思考2　依据上述分析，可得出什么结论？
　
梳理　
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变化趋势
函数的单调性
>0
________0
______角
单调______
<0
________0
______角
单调______
知识点二　函数的变化快慢与导数的关系
思考　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？21教育网
　
　
　
梳理　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　利用导数判断函数的单调性
例1　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．
　
反思与感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f′(x)≥(或≤)0.21cnjy.com
跟踪训练1　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．
　
类型二　利用导数求函数的单调区间
命题角度1　不含参数的函数求单调区间
例2　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
　
反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数．
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．
跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．
　
命题角度2　含参数的函数求单调区间
例3　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性．
　
　
反思与感悟　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．21·cn·jy·com
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2－(a＋m)x＋aln x，且f′(1)＝0，其中a，m∈R.
(1)求m的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
　
类型三　含参数函数的单调性
引申探究
试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
例4　若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．
反思与感悟　(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．www.21-cn-jy.com
(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2·1·c·n·j·y
(3)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．【来源：21·世纪·教育·网】
　
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　)2-1-c-n-j-y
3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(　　)
A. B.
C．(0，＋∞) D．(0，a)
4．若函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，则m的取值范围是(　　)
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
5．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间．　
　
　
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．21*cnjy*com
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　正　递增　正　正　递增　负　递减　负　负　递减　负　负　递减
思考2　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增．
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减．
梳理　>　锐　上升　递增　<　钝　下降　递减
知识点二
思考　如图所示，函数y＝f(x)在区间(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，在区间(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图象“平缓”．21世纪教育网版权所有
题型探究
例1　证明　∵f′(x)＝，
又x∈，
则cos x<0，sin x>0，
∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．
跟踪训练1　证明　∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
又0∴f′(x)＝>0，
故f(x)在区间(0，e)上是增函数．
例2　解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－＝
＝，
由x>0，解f′(x)>0，得x>，
由x<0，解f′(x)<0，得0∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
跟踪训练2　解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3，
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3)．
例3　解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝.
设g(x)＝2x2－a，
由g(x)＝0，得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，由g(x)＝0，
得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈(0，)时，g(x)<0，
即f′(x)<0，
当x∈(，＋∞)时，g(x)>0，
即f′(x)>0.
所以当a>0时，函数f(x)在区间(0，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增．
综上，当a＝0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增，在(0，)上单调递减．
跟踪训练3　解　(1)由题设知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝x－(a＋m)＋.
由f′(1)＝0，得1－(a＋m)＋a＝0，
解得m＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.
当a>1时，由f′(x)>0，
得x>a或0此时f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，(0,1)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当00，
得x>1或0此时f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，(0，a)；
当a≤0时，由f′(x)>0，得x>1，此时f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
综上，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，(0,1)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当0当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
例4　[1，＋∞)
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增?f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．21·世纪*教育网
由于k≥，而0<<1，所以k≥1，
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究
解　f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－，
当k≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，函数的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
跟踪训练4　解　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∴a≤(2x3)min.设y＝2x3，
∵y＝2x3在[2，＋∞)上单调递增，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))，有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是(－∞，16]．
当堂训练
1．A　[∵x∈(0，＋∞)，f′(x)＝1＋>0，
∴函数在(0,6)上单调递增．]
2．C　[原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增，
当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增．
故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.]
3．A　[f(x)的定义域为{x|x>0}，
且a>0，由f′(x)＝－a>0，
得04．A　[∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，
∴f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0在R上恒成立，
则判别式Δ＝16－12m≤0，即m≥.]
5．解　f′(x)＝ex＋(x－k)ex
＝(x－k＋1)ex，
当x当x>k－1时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，k－1)，
单调递增区间为(k－1，＋∞)．
3.3.2　利用导数研究函数的极值(一)
学习目标　1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．21cnjy.com
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数极值的概念
函数y＝f(x)的图象如图所示．
思考1　函数在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？
　
　
思考2　f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
　
　
思考3　函数在点x＝b处的情况呢？
　
　
　
梳理　已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个________________．
____________与____________统称为极值．__________与____________统称为极值点．
知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极小值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　求函数的极值和极值点
例1　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝＋3ln x.
　
　
反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.2·1·c·n·j·y
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
　
　
类型二　已知函数极值求参数
例2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
引申探究
若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，b的值．【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求：21·cn·jy·com
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值．
　
类型三　函数极值的综合应用
例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
　
反思与感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．21·世纪*教育网
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．www-2-1-cnjy-com
　
　
1．如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(　　)
①f(x)在(－3,1)上为增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上是增函数；
④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③ B．②③
C．③④ D．①③④
2．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值与极小值之和为(　　)
A．8 B. C．10 D．12
3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
5．已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值.
(1)求a，b的值；
(2)判断f(x)的单调区间，并求极值．
　
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．2-1-c-n-j-y
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　函数在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小．
思考2　f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
思考3　函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.21*cnjy*com
梳理　极大值　极大值点　极小值　极小值点　极大值　极小值　极大值点　极小值点
知识点二
(1)>　<　(2)<　>
题型探究
例1　解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值3
↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值．
跟踪训练1　解　(1)因为f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
所以f′(0)＝a＋b－4＝4， ①
又f(0)＝b＝4， ②
由①②可得a＝b＝4.
(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4
＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln 2)
－ln 2
(－ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
例2　解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以
即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3
＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，
故舍去．
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
引申探究
解　因为f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由极值点的必要条件可知

即解得
所以a＝2，b＝9.
跟踪训练2　解　(1)由图象可知，在区间(－∞，1)上f′(x)＞0，在区间(1,2)上f′(x)＜0，在区间(2，＋∞)上f′(x)＞0.21世纪教育网版权所有
故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.21教育网
(2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
得
解得a＝2，b＝－9，c＝12.
例3　解　(1)f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知，y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
跟踪训练3　解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m
＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．www.21-cn-jy.com
∵g′(x)＝3x2－14x＋8
＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)

(，4)
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
↘
－16－m
↗
则函数g(x)的极大值为g()＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得
解得－16即实数m的取值范围为(－16，)．
当堂训练
1．B　[当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，故①不正确；
x＝－1是f(x)的极小值点，故②正确；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，故③正确；
x＝2是f(x)的极大值点，故④不正确．]
2．A　[由f′(x)＝x2－4＝0，
得x1＝－2，x2＝2，
∴函数f(x)的极大值与极小值的和为
f(－2)＋f(2)＝8.]
3．D　[因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
则f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.]
4．D　[f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.]
5．解　(1)∵f′(x)＝2ax＋，
由题意得　即
∴a＝，b＝－1.
(2)由(1)得
f′(x)＝x－＝
＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?↘
极小值
?↗
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1，＋∞)．
∴f(x)极小值＝f(1)＝.
3．3.2　利用导数研究函数的极值(二)
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　函数的最值
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
　
　
思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？21·世纪*教育网
　
　
思考3　怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
　
　
梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条________________的曲线，该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值．21世纪教育网版权所有
(2)求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤如下：
①求f(x)在开区间(a，b)内所有____________；
②计算函数f(x)在____________和________处的函数值，其中最大的一个为____________，最小的一个为____________．www-2-1-cnjy-com
类型一　求函数的最值
命题角度1　不含参数的函数最值问题
例1　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
　
反思与感悟　求解函数在闭区间上的最值，需注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．
　
命题角度2　含参数的函数最值问题
例2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
　
反思与感悟　对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
　
类型二　由函数的最值求参数
例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．www.21-cn-jy.com
　
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．2-1-c-n-j-y
跟踪训练3　设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0　
类型三　与最值有关的恒成立问题
例4　设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
　
反思与感悟　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
跟踪训练4　已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(　　)
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
3．已知函数f(x)＝ax3＋c，f′(1)＝6，且函数f(x)在[1,2]上的最大值为20，则c＝________.
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
5．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．【来源：21cnj*y.co*m】
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．【出处：21教育名师】
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
答案精析
问题导学
知识点
思考1　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2　存在，f(x)min＝f(a)，
f(x)max＝f(x3)．
思考3　比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．
梳理　(1)连续不断　(2)①极值点
②极值点　端点　最大值　最小值
题型探究
例1　解　(1)f(x)＝2x3－12x，
所以f′(x)＝6x2－12
＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，
f(－)＝8，
所以当x＝时，
f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，x∈[0,2π]，
令f′(x)＝0，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f()
＝＋，
f()＝－，
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
跟踪训练1　解　∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)
＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，
f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
例2　解　f′(x)＝ex－2ax－b，
则g(x)＝ex－2ax－b，
g′(x)＝ex－2a，x∈[0,1]，
当g′(x)min＝e0－2a＝1－2a≥0，
即a≤时，
g(x)在[0,1]上单调递增，
故g(x)min＝g(0)＝1－b；
当g′(x)min＝g′(0)＝1－2a<0，
g′(x)max＝g′(1)＝e－2a>0，
即得x＝ln 2a，
当x(x∈(0,1])变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
0
(0，ln 2a)
ln 2a
(ln 2a,1)
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
?↘
极小值
↗
g(x)min＝g(ln 2a)＝eln 2a－2aln 2a－b
＝2a－2aln 2a－b；
当g′(x)max＝g′(1)＝e－2a≤0，
即a≥时，
g(x)在[0,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(0)＝1－b；
当＝2a－2aln 2a－b；
当a≥时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
跟踪训练2　解　(1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，
f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，即3x2－2ax＝0，
解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
例3　解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12a
x＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
?↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.21教育网
又f(－1)＝－7a＋3，
f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.21cnjy.com
又f(－1)＝－7a－29，
f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
跟踪训练3　解　f′(x)＝－x2＋x＋2a，
令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
当x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)时，
f′(x)<0，
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，
即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，
故a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
例4　解　(1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，所以g(x)＝ln x＋，
所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.21·cn·jy·com
(2)因为g(a)－g(x)<对任意x>0成立，
即ln a0成立．
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0即a的取值范围为(0，e)．
跟踪训练4　解　因为f′(x)＝＋ln x－1＝ln x＋，
所以xf′(x)＝xln x＋1，
所以xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a.
令g(x)＝ln x－x，则g′(x)＝－1.
当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，
g′(x)≤0，
所以x＝1是g(x)的极大值点也为最大值点，
所以g(x)≤g(1)＝－1.
所以a≥g(x)max＝－1.
综上可知，a的取值范围是.
当堂训练
1．D　[f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.]2·1·c·n·j·y
2．C　[因为y′＝1－cos x，
当x∈时，y′>0，
则函数y在区间上为增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，
故选C.]
3．4
解析　∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，
即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.
4．B　[∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，∴a>0，
又∵函数在(0,1)上有最小值，
∴0<<1，所以05．[e，＋∞)
解析　由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)，
由g′(x)＝0，得x＝e或x＝0(舍去)，
当00；
当x>e时，g′(x)<0，
∴当x＝e时，g(x)取得最大值为g(e)＝e，∴a≥e.
3．3.3　导数的实际应用
学习目标　1.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　几何中的最值问题
命题角度1　平面几何中的最值问题
例1　某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．21cnjy.com
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
　
反思与感悟　平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1　如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．21·cn·jy·com
　
命题角度2　立体几何中的最值问题
例2　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.2·1·c·n·j·y
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
　
　
反思与感悟　(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
跟踪训练2　周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm3.21·世纪*教育网
类型二　实际生活中的最值问题
命题角度1　利润最大问题
例3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
　
　
反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：21*cnjy*com
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3　某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？www.21-cn-jy.com
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)www-2-1-cnjy-com
　
　
命题角度2　费用(用料)最省问题
例4　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．【来源：21cnj*y.co*m】
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．【出处：21教育名师】
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练4　现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)【版权所有：21教育】
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的是(　　)21教育名师原创作品
A．6时 B．7时 C．8时 D．9时
3．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为(　　)21*cnjy*com
A．2 m3 B．3 m3 C．4 m3 D．5 m3
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
答案精析
知识梳理
知识点
1．优化问题
3．数学建模
题型探究
例1　解　(1)BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)，
则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)
＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)，
令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝，
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
θ
(0，)

(，π)
S′
＋
0
－
S
↗
极大值
↘
所以当θ＝时，Smax＝3 750 m2，
此时AB＝150 m，
即点A到北京路一边l的距离为150 m.
跟踪训练1　解　设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)
＝16x－12x2＋2x3，
y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，
令y′＝0，解得x＝2±，
∵0∵当00，函数单调递增；
当2－∴当x＝2－时，矩形的面积有最大值为.
例2　解　(1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，
高为(30－x)cm，
所以包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×()2＝1 800，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积为V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0令V′<0，得20所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.21教育网
跟踪训练2　π
解析　设矩形的长为x cm，
则宽为(10－x)cm (0由题意可知，圆柱体积为
V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.
∴V′＝20πx－3πx2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝，
且当x∈(0，)时，V′(x)>0，
当x∈(，10)时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)max＝π cm3.
例3　解　(1)因为当x＝5时，y＝11，
所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
跟踪训练3　解　(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．21世纪教育网版权所有
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)，则g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又当00；当2例4　解　(1)设隔热层厚度为x cm，
由题设知，每年能源消耗费用为
C(x)＝，
又C(0)＝8，所以k＝40，
因此C(x)＝.
而隔热层建造费用为C1(x)＝6x.
所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当00，
故x＝5为f(x)的极小值点也为最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
答　当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
跟踪训练4　解　(1)依题意得
y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(0(2)由(1)知，y′＝－＋300，
令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35]，
所以函数在定义域内没有极值点．
又当0所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
答　为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
当堂训练
1．C　[∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)·(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，又当x∈(0,9)时，
y′>0，
x∈(9，＋∞)时，y′<0，
∴当x＝9时函数取最大值，故选C.]
2．C　[因为y′＝－t2－t＋36
＝－(t2＋4t－96)
＝－(t＋12)(t－8)，
当t∈(6,8)时，y′>0，当t∈(8,9)时，
y′<0，
故当t＝8时，y取极大值也为最大值．]
3．B　[设长方体的宽为x(m)，
则长为2x(m)，高为h＝
＝－3x(m)(0故长方体的体积为V(x)＝2x2(－3x)
＝9x2－6x3(0从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．
当00；当1故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积为V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．]
4．160
解析　设底面长为x，由题意得底面宽为.
设总造价为y，则y＝20x×＋10×1×(2x＋2×)，
即y＝20x＋＋80，
则y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.
∴当x＝2时，ymin＝160(元)．
5．解　(1)设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)
＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,21]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?↘
极小值
↗
极大值
↘
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．
第三单元 导数及其应用
学习目标　1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．21世纪教育网版权所有
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递________
f′(x)<0
单调递________
知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．
知识点三　函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．21cnjy.com
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　函数与其导函数之间的关系
例1　已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是(　　)21教育网
反思与感悟　研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考察其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)21·世纪*教育网
类型二　构造函数求解
命题角度1　比较函数值的大小
例2　已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)2-1-c-n-j-y
A．aC．a反思与感悟　本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练2　已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上恒有f(x)>f′(x)．若a＝，b＝，则a与b的大小关系为________．(用“>”连接)【来源：21cnj*y.co*m】
命题角度2　求解不等式
例3　定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)2ex的解集为(　　)【出处：21教育名师】
A．(－∞，0) B．(－∞，2)
C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
反思与感悟　根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)＝，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围．21教育名师原创作品
跟踪训练3　函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)21*cnjy*com
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
命题角度3　利用导数证明不等式
例4　已知x>1，证明不等式x－1>ln x.
　
　
反思与感悟　利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式．
(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出．
(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．
跟踪训练4　证明：当x>0时，2＋2x<2ex.
　
类型三　利用导数研究函数的极值与最值
例5　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．【版权所有：21教育】
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
　
反思与感悟　(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练5　已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间及极值；
(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)
A. B. C. D.
2．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
3．若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________．
4．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
5．已知x>0，求证：x>sin x.
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．21·cn·jy·com
答案精析
知识梳理
知识点一
增　减
知识点二
(1)f′(x)>0　f′(x)<0
(2)f′(x)<0　f′(x)>0
知识点三
2．极值　f(a)，f(b)　最大　最小
题型探究
例1　C　[当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，
排除A、B选项．
当10，
∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.]
跟踪训练1　A　[∵函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，
且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x>－2时，f′(x)>0；
当x＝－2时，f′(x)＝0；
当x<－2时，f′(x)<0.
∴当－2当x＝－2时，xf′(x)＝0；
当x<－2时，xf′(x)>0.
由此观察四个选项，故选A.]
例2　B　[令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数．
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∵f′(x)＋<0，
∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．
∵∴g()又∵g(x)是偶函数，
∴g(－)＝g()，g(ln )＝g(ln 2)，
∴g(－)故选B.]
跟踪训练2　a>b
解析　设g(x)＝，
则当x≥0时，g′(x)＝<0，
所以g(x)在[0，＋∞)上是减函数，
所以g(2)>g(3)，即>，
所以a>b.
例3　C　[设g(x)＝，
则g′(x)＝.
∵f(x)∴g′(x)>0，即函数g(x)单调递增．
∵f(0)＝2，∴g(0)＝＝2，
则不等式等价于g(x)>g(0)．
∵函数g(x)单调递增，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.]
跟踪训练3　B　[令g(x)＝f(x)－2x－4，∵f′(x)>2，
则g′(x)＝f′(x)－2>0.
又由g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
得g(x)>0，即g(x)>g(－1)的解为x>－1，
∴f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．]
例4　证明　设f(x)＝x－1－ln x，x∈(1，＋∞)，
则f′(x)＝1－＝，
因为x∈(1，＋∞)，
所以f′(x)＝>0，
即函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
又x>1，
所以f(x)>f(1)＝1－1－ln 1＝0，
即x－1－ln x>0，所以x－1>ln x.
跟踪训练4　证明　设f(x)＝2＋2x－2ex，
则f′(x)＝2－2ex＝2(1－ex)．
当x>0时，ex>e0＝1，
∴f′(x)＝2(1－ex)<0.
∴函数f(x)＝2＋2x－2ex在(0，＋∞)上是减函数．
∴f(x)即当x>0时，2＋2x－2ex<0，
∴2＋2x<2ex.
例5　解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.2·1·c·n·j·y
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，
得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
↘
－2
↗
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，
f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；
当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则即
解得－2即实数c的取值范围为(－2,0]．
跟踪训练5　解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b
＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，
∴解得a＝1，b＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，
令f′(x)<0，得－40，
得x<－4或x>4.
∴f(x)的单调递减区间为(－4,4)，单调递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，
f(x)极小值＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，
f(1)＝－47，f(5)＝－115，
∴当x∈[1,5]时，函数的最大值为－47，最小值为－128.
当堂训练
1．C　[由题意可知f(0)＝0，f(1)＝0，
f(2)＝0，
可得1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，
解得b＝－3，c＝2，
所以函数的解析式为
f(x)＝x3－3x2＋2x，
所以f′(x)＝3x2－6x＋2.
令3x2－6x＋2＝0，
可得x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝4－2×＝.]
2．C　[由条件，得
[]′＝<0.
∴在(a，b)上是减函数，
∴<<，
∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．]
3．－5
解析　∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x.
∵f′(2)＝0，∴c＋4＝0，∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x，
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.
4．20
解析　由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，
f(x)max＝f(－1)＝1，
由题意知，|f(x1)－f(x2)|max
＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.
5．证明　设f(x)＝x－sin x(x>0)，
则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝0，
∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴x>sin x(x>0)．
第三单元 导数及其应用
1　巧用法则求导数
导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．
1．函数和(或差)的求导法则
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)
例1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝＋ln x；
(2)f(x)＝cos x－－1.
解　(1)f′(x)＝－＋.
(2)f′(x)＝－sin x－ .
点评　记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．21教育网
2．函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
例2　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2ex；
(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解　(1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′
＝2xex＋x2ex.
(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
点评　特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)．
同时要记住结论：若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．21cnjy.com
3．函数商的求导法则
′＝(g(x)≠0)
例3　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝tan x；
(3)f(x)＝＋ .
解　(1)f′(x)＝()′＝
＝.
(2)f′(x)＝(tan x)′＝()′
＝＝.
(3)因为f(x)＝＋＝
＝，
所以f′(x)＝()′＝＝.
点评　应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率．2-1-c-n-j-y
4．分式求导
对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．
例4　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝.
分析　直接求导，或比较烦杂，或无从下手，这时，我们不妨利用数学运算法则将其分解，那么“曙光就在前头”．21*cnjy*com
解　(1)因为y＝＝x－1＋，
所以y′＝1＋＝1－.
(2)因为y＝
＝x2＋x3＋x4，
所以y′＝2x＋3x2＋4x3.
点评　本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”．【版权所有：21教育】
2　利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．www-2-1-cnjy-com
1．已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．
例1　曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为(　　)
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
解析　由f′(x)＝3x2－6x知，曲线在点(1，－1)处的斜率为k＝f′(1)＝－3.
所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2.故选B.
答案　B
2．已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2　求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)·(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
解得x0＝1或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)
或y－(－＋1)＝(－2)·(x＋)，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－，)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．
3．已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例3　求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝－.
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
又已知切线过点(2,0)，把它代入上述方程，
得－＝－(2－x0)．
解得x0＝1，y0＝＝1，
所以所求切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
点评　点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．
4．求两条曲线的公切线
例4　已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
分析　设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．
解　设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－x＋4x2－4)．由C1：y＝x2，得y′＝2x，21教育名师原创作品
则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x.由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，
则与C2相切于点Q的切线方程为
y＝－2(x2－2)x＋x－4.
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评　公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解．
3　利用导数研究函数单调性常见题型
1．运用导数求函数的单调区间
利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，得单调区间．【来源：21·世纪·教育·网】
例1　求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
解　由已知，得当f′(x)＝(ex－1)(x＋1)＝0时，有x＝0或x＝－1.
当x<－1时，f′(x)>0；当－1当x>0时，f′(x)>0.
故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)．
点评　单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“∪”连接，中间用“，”或“和”连接．2·1·c·n·j·y
例2　已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为________．
分析　先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f′(x)<0即可．
解析　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x＋3－.
令f′(x)<0，即2x＋3－＝<0，
结合定义域知，x>0且2x2＋3x－2<0，
解得0答案　(0，)
点评　求解该类问题时要注意两点：①不要忽视定义域；②如有多个单调递增(减)区间，不要把这些区间取并集．
2．证明不等式
例3　求证：当x>1时，ln x>－.
分析　可构造函数f(x)＝ln x－(－)，由于f(1)＝0，故若能证明f(x)为(1，＋∞)上的增函数，即证明在(1，＋∞)上，导函数f′(x)>0恒成立即可．
证明　令f(x)＝ln x－(－)，则有f(1)＝0.
因为f′(x)＝＋x＝>0(x∈(1，＋∞))，
所以函数f(x)为(1，＋∞)上的增函数，
又f(1)＝0，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0恒成立，
即ln x>－.
点评　证明不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)的一般方法：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与0的大小，进而说明F(x)>0在(a，b)内恒成立即可．
3．求参数的取值范围
例4　已知函数f(x)＝x3－ax2＋1.
(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围．
分析　注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆．
解　(1)由f(x)的单调递减区间为(0,2)可知，0与2是方程f′(x)＝3x2－2ax＝0的两根，
故有3×22－2a×2＝0，解得a＝3.
(2)由函数f(x)在区间(0,2)内单调递减可知，
f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)内恒成立，
即2a≥3x在区间(0,2)内恒成立．
因为x∈(0,2)，所以3x∈(0,6)，故2a≥6，即a≥3.
经验证a＝3时满足题意，故a的取值范围为[3，＋∞)．
点评　若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则有f′(x)≥0(f′(x)≤0)对x∈D恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解．也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解．
4　巧用导数求极值
1．函数的极值点的判定方法
设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法：(1)如果在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值．极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值．
2．极值常见题型详解
(1)利用导数求函数的极值
例1　求函数f(x)＝xln x的极值点．
解　f′(x)＝ln x＋1，x>0.
而f′(x)>0?ln x＋1>0?x>，
f′(x)<0?ln x＋1<0?0所以f(x)在(0，)上是递减的，在(，＋∞)上是递增的．
所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
点评　求极值问题一定注意函数的定义域，所以在定义域内研究函数的极值是求极值时应注意的知识点，再利用求极值的步骤求解即可．
(2)含参数的极值问题
例2　设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax.讨论函数f(x)的单调区间和极值．
解　由已知，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是递增的，无极值；
②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝.
当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是递增的；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)是递减的．
所以当x＝时，f(x)有极大值，
极大值为f()＝ln －1＝－ln a－1.
综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，无极值；
当a>0时，f(x)的递增区间为(0，)，
递减区间为(，＋∞)，极大值为－ln a－1.
点评　本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏．
(3)极值问题的逆向考查
例3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　　)　　　　　　　　　　　　
A．－ B．－2
C．－2或－ D．不存在
解析　由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
所以
解得或　经检验满足题意，
所以＝－.故选A.
答案　A
点评　本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件．如果不满足，需要舍去．21·cn·jy·com
5　分类讨论思想在导数中如何应用
分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？【出处：21教育名师】
1．按导数为零的根的大小来分类
例1　设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值．
解　f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，
解得x＝a或x＝.
当a>，即a>0，x∈(－∞，)时，f′(x)<0，
x∈(，a)时，f′(x)>0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a3，在x＝a处取得极大值0.
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
x∈(a，)时，f′(x)>0，x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a3，在x＝a处取得极小值0.
点评　本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类．21*cnjy*com
2．按是否为二次函数来分类
例2　已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a≤)，讨论f(x)的单调性．
解　f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，
(1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当01>0，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(1，－1)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(－1，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减；
③当a<0时，－1<0<1，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0点评　由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围．21·世纪*教育网
3．按最值来分类
例3　设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
解　令g(x)＝f(x)－ax，
则g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以当a≤2时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax.
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln <0，x2＝ln >0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数．
所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2.
点评　本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论．
小结　通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论．
6　导数计算中的易错点
1．对定义理解不透
例1　已知函数f(x)＝3x4－2x3＋5，
则 ＝________.
错解　因为f′(x)＝12x3－6x2，
所以原式＝f′(1)＝6.故填6.
剖析　在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪种增量形式，相应的Δy也应选择对应的形式，本题Δy中x的增量为2Δx，则分母也应为2Δx.
正解　因为f′(x)＝12x3－6x2，
所以原式＝ ·2＝2f′(1)＝12.
故填12.
答案　12
2．对导数的几何意义理解有误
例2　已知曲线y＝f(x)＝x3－3x，求过点A(2,2)且与该曲线相切的切线方程．
错解　因为点A(2,2)在曲线y＝f(x)＝x3－3x上，
且f′(x)＝3x2－3，所以f′(2)＝9.
所以所求切线方程为y－2＝9(x－2)，
即9x－y－16＝0.
剖析　上述解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k应是切点处的导数，而点A(2,2)虽在曲线上，但不一定是切点，故本题应先设切点，再求斜率k.
正解　设切点为P(x0，x－3x0)，又y′＝3x2－3.
所以在点x0处的切线方程为
y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
又因为切线过点A(2,2)，
所以2－(x－3x0)＝(3x－3)(2－x0)，
即(x0－2)2(x0＋1)＝0，解得x0＝2或x0＝－1.
故切线方程为9x－y－16＝0或y＝2.
3．求导时混淆了常量与变量
例3　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝a2＋x2；
(2)f(x)＝eπx.
错解　(1)f′(x)＝(a2＋x2)′＝2a＋2x.
(2)f′(x)＝(eπx)′＝(eπ)′x＋(x)′eπ＝eπx＋eπ.
剖析　(1)求导是对自变量的求导，要看清表达式中的自变量．本题的自变量是x，而a是常量．
(2)中误把常数eπ当作了变量．
正解　(1)f′(x)＝(a2＋x2)′＝2x.
(2)f′(x)＝(eπx)′＝eπ(x)′＝eπ.
4．混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”
例4　已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(1，－1)作曲线f(x)的切线，求此切线方程．
错解　因为点M在曲线上，所以M为切点，
又f′(x)＝6x2－3，
所以切线的斜率为k＝f′(1)＝6－3＝3，
所以由点斜式可求得切线方程为y＝3x－4.
剖析　错解直接把M看成是切点，对于此类问题应着重考虑点是否为切点，若已知点是切点，则错解中的方法就是正确的；否则，就要设出切点，由切点写出切线方程，再将已知点代入求得切点坐标进而得到切线方程．21世纪教育网版权所有
正解　设切点坐标为N(x0,2x－3x0)，f′(x)＝6x2－3，
所以切线的斜率为k＝f′(x0)＝6x－3，
所以切线方程为y－(2x－3x0)＝(6x－3)·(x－x0)．
又点M在切线上，
所以有－1－(2x－3x0)＝(6x－3)(1－x0)，
解得x0＝1或x0＝－，
故切线方程为3x－y－4＝0或3x＋2y－1＝0.
5．公式或法则记忆不准
例5　已知函数f(x)＝x2＋exln x＋＋3，则f′(2)等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．(ln 2＋)e2＋3 B．0
C.e2＋3 D．e2＋3
错解　因为f′(x)＝(x2)′＋(ex)′(ln x)′＋()′＋(3)′＝2x＋ex·－，
所以f′(2)＝e2＋3.
故选C.
剖析　基本初等函数的求导公式和求导法则，是求较复杂函数的基础，上述函数就是四个基本函数y＝ex，y＝ln x，y＝xu，y＝C的和与积构成的，因此求导时需利用求导法则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，而不是直接求两个函数导数的乘积．www.21-cn-jy.com
正解　因为f′(x)＝(x2)′＋(exln x)′＋()′＋(3)′
＝2x＋(ex)′·ln x＋ex(ln x)′－＝2x＋exln x＋－，
所以f′(2)＝(ln 2＋)e2＋3.
故选A.
答案　A
点评　基本初等函数的求导公式中指数与对数函数的求导公式相对较难，而在加、减、乘、除四种求导法则中一定要注意对乘、除两种法则记忆的准确性．【来源：21cnj*y.co*m】
第三单元 导数及其应用
学习目标　1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　在x＝x0处的导数
1．定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是li ＝________________，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．21cnjy.com
2．几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线________．
知识点二　导函数
当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的__________(简称________)，f′(x)＝y′＝____________.www.21-cn-jy.com
知识点三　基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝C(C为常数)
y′＝________
y＝xu(u∈Q*)
y′＝________
y＝sin x
y′＝________
y＝cos x
y′＝________
y＝ax
y′＝________(a>0，a≠1)
y＝ex
y′＝________
y＝logax
y′＝________(a>0且a≠1，x>0)
y＝ln x
y′＝________
知识点四　导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝________
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝____________
商的导数
′＝________________(g(x)≠0)
知识点五　函数的单调性、极值与导数
1．函数的单调性与导数
如果在(a，b)内，________，则f(x)在此区间内单调递增；________，则f(x)在此区间内单调递减．2·1·c·n·j·y
2．函数的极值与导数
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有________，则称函数f(x)在点x0处取____________，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．21·世纪*教育网
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．
知识点六　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
1．求f(x)在开区间(a，b)内所有____________．
2．计算函数f(x)在极值点和________________，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．www-2-1-cnjy-com
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　导数几何意义的应用
例1　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
　
反思与感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一类类型．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.2-1-c-n-j-y
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由．21*cnjy*com
　
类型二　函数的单调性与导数
例2　已知函数f(x)＝.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若对任意t∈[，2]，f(t)>t恒成立，求实数a的取值范围．
　
反思与感悟　(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
(4)求参数的范围时常用到分离参数法．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．【来源：21cnj*y.co*m】
　
类型三　函数的极值、最值与导数
例3　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值．【出处：21教育名师】
(1)求f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值．
　
反思与感悟　(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.【版权所有：21教育】
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
　
　
类型四　分类讨论思想
例4　已知函数f(x)＝－1.
(1)试判断函数f(x)的单调性；
(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；
(3)试证明：对?n∈N＋，不等式ln()e<.
　
　
反思与感悟　(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．21·cn·jy·com
(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类．
(3)分类讨论的基本原则是不重不漏．
跟踪训练4　设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数)．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；
(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；
(3)是否存在a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　 )
A．－ B. C．－ D..
2．如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
3．体积为16π的圆柱，它的半径为________时，圆柱的表面积最小．
4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为________．
5．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．21教育名师原创作品
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
　
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．21*cnjy*com
2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．
答案精析
知识梳理
知识点一
1．  
2．斜率
知识点二
导函数　导数　li 
知识点三
0　uxu－1　cos x　－sin x　axln a
ex　　
知识点四
f′(x)±g′(x)　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

知识点五
1．f′(x)>0　f′(x)<0
2．f(x)f(x0)　极小值
知识点六
1．极值点
2．端点的函数值
题型探究
例1　解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，
f′(x)＝1－(x>0),
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0.
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
∵当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　解　(1)因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，
所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.
(2)因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程．
设切点坐标为(x0,3x＋6x0＋12)，又因为g′(x0)＝6x0＋6，
所以切线方程为
y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)．
将点(0,9)代入，
得9－3x－6x0－12＝－6x－6x0，
所以3x－3＝0，得x0＝±1.
当x0＝1时，g′(1)＝12，g(1)＝21，切点坐标为(1,21)，
所以切线方程为y＝12x＋9；
当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，
所以切线方程为y＝9.
下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：
因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.
由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.
所以y＝12x＋9不是公切线．
由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；
当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，
所以y＝9是公切线．
综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线．
例2　解　(1)当a＝1时，f(x)＝，
∴f′(x)＝.
由f′(x)>0，得x<2，
由f′(x)<0，得x>2.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)．
(2)若对任意t∈[，2]，
f(t)>t恒成立，
则当x∈[，2]时，>x恒成立，
即当x∈[，2]时，a>ex＋恒成立．
设g(x)＝ex＋，x∈[，2]，
则g′(x)＝ex－，x∈[，2]．
设h(x)＝ex－，
∵h′(x)＝ex＋>0在x∈[，2]上恒成立，
∴h(x)在[，2]上单调递增，
即g′(x)＝ex－在[，2]上单调递增．
∵g′()＝e－4<0，
g′(2)＝e2－>0，
∴g′(x)＝ex－在[，2]上有零点m，
∴g(x)＝ex＋在[，m]上单调递减，在[m,2]上单调递增，
∴即
∴a>e2＋.
即实数a的取值范围为(e2＋，＋∞)．
跟踪训练2　解　(1)求导得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
即3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，
所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
即a＝3符合题意．
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞)．
例3　解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以f′(1)＝3＋2a＋b，
故过曲线上P点的切线方程为
y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
已知该切线方程为y＝3x＋1，
所以即
因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0，
即－4a＋b＝－12，
解方程组得
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4
＝(3x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝.
当x∈[－3，－2)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，)时，f′(x)<0；
当x∈(，1]时，f′(x)>0.
所以f(x)的单调递增区间为[－3，－2)和(，1]，单调递减区间为(－2，)．
又f(－2)＝13，f()＝，f(－3)＝8，f(1)＝4，
所以f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13.
跟踪训练3　解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2，
解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，
则f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
例4　(1)解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．
由已知f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得1－ln x＝0，所以x＝e.
因为当00，
当x>e时，f′(x)＝<0，
所以函数f(x)在(0，e]上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减．
(2)解　由(1)知函数f(x)在(0，e]上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
①当0<2m≤e，即0f(x)在[m,2m]上单调递增，
所以f(x)max＝f(2m)＝－1；
②当m≥e时，f(x)在[m,2m]上单调递减．
所以f(x)max＝f(m)＝－1；
③当m当m≤x0，
当e所以f(x)max＝f(e)＝－1.
(3)证明　由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，
f(x)max＝f(e)＝－1，
所以在(0，＋∞)上恒有f(x)＝－1≤－1，
即≤，当且仅当x＝e时“＝”成立，
所以对?x∈(0，＋∞)恒有ln x≤x.
因为>0，≠e，
所以ln<·?ln()e<，
即对?n∈N＋，不等式ln()e<恒成立．
跟踪训练4　解　(1)设x∈(0,1]，
则－x∈[－1,0)．
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，
即当x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax.
(2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下：
f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，
∴－3x2∈[－3,0)．
又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上单调递增．
(3)当a>3时，f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1.
∴a＝2与a>3矛盾．
当0≤a≤3时，令f′(x)＝a－3x2＝0，
得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)在上单调递增．
当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递减．
又函数f(x)在x＝处连续，
∴f(x)max＝f＝－3＋a＝1.解得a＝.
当a<0时，f′(x)＝a－3x2<0，
∴f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)在(0,1]上无最大值．
综上，存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1.
当堂训练
1．B　[y′＝
＝，故y′|x＝＝，
∴曲线在点M处的切线的斜率为.]
2．A　[由f(x)与f′(x)的关系可知选A.]
3．2
解析　设圆柱底面半径为r，母线长为l.
∴16π＝πr2l，即l＝，
则S表面积＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋，
由S′＝4πr－＝0，得r＝2.
∴当r＝2时，圆柱的表面积最小．
4．3
解析　由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，
∴a≤3x2，∴a≤3，∴a的最大值为3.
5．解　(1)f′(x)＝－＋.
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
则f′(x)＝－－＋
＝＝.
令f′(x)＝0，
解得x1＝1，x2＝－(舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．21教育网
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值．
2．1.1　椭圆及其标准方程
学习目标　1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　椭圆的定义
观察图形，回答下列问题：
思考1　如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？21世纪教育网版权所有
　
　
思考2　图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？
　
　
梳理　把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个________叫做椭圆的焦点，________________________叫做椭圆的焦距．
知识点二　椭圆的标准方程
思考1　椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？
思考2　椭圆定义中，为什么要限制常数|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|?
　
　
梳理　
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
a，b，c
的关系
类型一　椭圆的标准方程
命题角度1　求椭圆的标准方程
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B(，)；
(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．
　
　
　
反思与感悟　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程．
特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．21·cn·jy·com
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
　
　
命题角度2　由标准方程求参数(或其取值范围)
例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．
反思与感悟　(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．
(2)＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________．
(2)若椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.
类型二　椭圆定义的应用
命题角度1　椭圆图中的焦点三角形问题
例3　如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．21教育网
引申探究　
在例3中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．　
　
　
反思与感悟　(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
(2)焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan .
跟踪训练3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．21cnjy.com
　
　
命题角度2　与椭圆有关的轨迹问题
例4　如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．2·1·c·n·j·y
　
　
反思与感悟　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a，b，c.21·世纪*教育网
跟踪训练4　已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．www-2-1-cnjy-com
　
　
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
2．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(±，0) B．(0，±)
C．(±，0) D．(±，0)
3．设α∈(0，)，方程＋＝1是表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为(　　)
A．(0，] B．(，)
C．(0，) D．[，)
4．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
5．焦点在坐标轴上，且经过A(－，2)和B(，1)两点，求椭圆的标准方程．
1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．2-1-c-n-j-y
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　椭圆．
思考2　笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．
梳理　定长(大于|F1F2|)　定点　两焦点间的距离
知识点二
思考1　椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.www.21-cn-jy.com
思考2　只有当2a>|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，满足条件的点不存在．21*cnjy*com
梳理　F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　c2＝a2－b2
题型探究
例1　解　(1)方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴
解得
这与a>b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)，
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴
解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1，
综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.
方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴∴
故椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
由椭圆的定义可得
2a＝＋
，
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　由题意可设椭圆的标准方程为
＋＝1，
将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得
＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练1　解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋
＝2，
即a＝.又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴∴
∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
∴代入得∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例2　(0,1)
解析　∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
将方程改写为＋＝1，
∴有解得0跟踪训练2　(1)(7,10)　(2)3或5
例3　解　在椭圆＋＝1中，a＝，
b＝2，
∴c＝＝1.
又∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2， ①
由余弦定理知，
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·
cos 30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4， ②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|
＝20， ③
③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4.
引申探究　
解　由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为|PB|＋|PF2|＋|BF2|
＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝2a＋2a＝4a＝4.
跟踪训练3　解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
从而|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos 120°，
又由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|，
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，
解得|PF1|＝，
所以△PF1F2的面积S＝×|PF1|·|F1F2|sin 120°
＝××2×＝.
例4　解　∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，
∴|AQ|＝|PQ|，
∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6，
∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
且2a＝6,2c＝4，
∴点Q的轨迹方程为＋＝1.
跟踪训练4　解　如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
∴|PB|＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距
|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
当堂训练
1．D　2.C　3.C　4.25
5．解　设椭圆的标准方程为
mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
∵A(－，2)和B(，1)两点在椭圆上，
∴解得
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2．1.2　椭圆的几何性质(一)
学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　椭圆的简单几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，C2：＋＝1.
思考1　怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？
　
　
思考2　椭圆具有对称性吗？
　
　
思考3　椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？　
　
　
梳理　
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
焦点
焦距
|F1F2|＝2c
(c＝)
|F1F2|＝2c
(c＝)
范围
对称性
关于________________对称
顶点
轴
长轴长________，短轴长________
知识点二　椭圆的离心率
思考　观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
　
　
　
梳理　(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的____________．
(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆．21世纪教育网版权所有
类型一　椭圆的几何性质
例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
引申探究　
已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．　
　
　
反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．　21教育网
　
　
类型二　求椭圆的离心率
命题角度1　焦点三角形的性质
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．21cnjy.com
反思与感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝ 求解．
跟踪训练2　已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若∠BAF2＝60°，|AB|＝|AF2|，则椭圆的离心率为________．
命题角度2　利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例3　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．21·cn·jy·com
反思与感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．www.21-cn-jy.com
跟踪训练3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，且∠BAO＋∠BFO＝90°(O为坐标原点)，则椭圆的离心率e＝________.2·1·c·n·j·y
类型三　利用几何性质求椭圆的标准方程
例4　(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
　
反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练4　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
　
　
　
1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)
A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
3．设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是________．
4．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为____________．21·世纪*教育网
5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．www-2-1-cnjy-com
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．2-1-c-n-j-y
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点为(4,0)与(－4,0)．21*cnjy*com
思考2　有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
思考3　C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；
C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
梳理　F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　|x|≤a，|y|≤b　|x|≤b，|y|≤a　x轴、y轴和原点　(±a,0)，(0，±b)　(0，±a)，(±b,0)　2a　2b【来源：21cnj*y.co*m】
知识点二
思考　如图所示，在Rt△BOF2中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0梳理　(1)离心率　(2)(0,1)　扁　0
题型探究
例1　解　已知方程化成标准方程为＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，
四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．
引申探究　
解　把椭圆的方程化为标准方程＋＝1，
可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，
短半轴长b＝2.
又得半焦距c＝＝＝.
所以椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－，0)，(，0)．四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e＝＝.
跟踪训练1　解　椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，
顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
(2)当m>4时，长轴长和短轴长分别为，4，
焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)，
顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2,0)，B2(2,0)．
例2　－1
解析　方法一　如图，
∵△DF1F2为正三角形，
N为DF2的中点，
∴F1N⊥F2N，
∵|NF2|＝c，
∴|NF1|＝

＝＝c，
则由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，
∴c＋c＝2a，
∴e＝＝＝－1.
方法二　注意到焦点三角形NF1F2中 ，∠NF1F2＝30°，
∠NF2F1＝60°，∠F1NF2＝90°，
则由离心率的三角形式，可得
e＝＝
＝
＝
＝＝－1.
跟踪训练2　
解析　如图所示，∵∠BAF2＝60°，
|AB|＝|AF2|，
∴△ABF2是等边三角形，
∴△ABF2的周长＝3|AF2|
＝4a，
∴|AF2|＝，∴|AF1|＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得(2c)2＝()2＋()2－2×××cos 60°，
化为a2＝3c2，解得e＝＝.
例3　(1)
解析　直线AB：x＝c，代入＋＝1，
得y＝±，
∴A(c，)，B(c，－)．
∴kBF1＝＝＝－，
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)，
令x＝0，则y＝－，
∴D(0，－)，∴kAD＝＝.
由于AD⊥BF1，∴－·＝－1，
∴3b4＝4a2c2，
∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac，
∴e2＋2e－＝0，
∴e＝
＝，
∵e>0，∴e＝＝＝.
(2)[，1)
解析　椭圆＋＝1(a>b>0)，－b≤y≤b.
由题意知，以F1F2为直径的圆至少与椭圆有一个公共点，
则c≥b，即c2≥b2，所以c2≥a2－c2，
所以e2≥1－e2，即e2≥.
又0所以e的取值范围是[，1)．
跟踪训练3　
例4　解　(1)∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性，知|B1F|＝|B2F|，
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.
|FA|＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
跟踪训练4　解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有
解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同理可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，
∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求的椭圆方程为＋＝1.
当堂训练
1．B　2.D　3.[－5,5]　4.＋＝1　5.(0，±)
2.1.2　椭圆的几何性质(二)
学习目标　1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考1　判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．
　
　
思考2　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？　21教育网
　
　
梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考1　直线与椭圆有几种位置关系？
　
　
思考2　如何判断直线y＝2x＋1与椭圆4x2＋y2＝4的位置关系？
　
梳理　直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1的位置关系的判定
联立消去y得关于x的一元二次方程．
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ________0
相切
一解
Δ________0
相离
无解
Δ________0
知识点三　直线与椭圆的相交弦
思考　若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？　
　
　
梳理　弦长公式：(1)|AB|＝＝|x1－x2|＝；
(2)|AB|＝ |y1－y2|
＝ 
(直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程得到．21cnjy.com
类型一　直线与椭圆的位置关系
命题角度1　直线与椭圆位置关系判断
例1　直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
反思与感悟　直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)
联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：
(1)Δ>0?直线与椭圆相交?有两个公共点．
(2)Δ＝0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点．
(3)Δ<0?直线与椭圆相离?无公共点．
跟踪训练1　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围．　21·cn·jy·com
　
命题角度2　距离的最值问题
例2　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．　
　
　
反思与感悟　本题通过对图形的观察分析，将求最短距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．
跟踪训练2　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？　www-2-1-cnjy-com
　
　
类型二　弦长与中点弦问题
例3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
　
　
反思与感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．2-1-c-n-j-y
跟踪训练3　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．【来源：21cnj*y.co*m】
　
　
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
引申探究　
在例4中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．　【版权所有：21教育】
　
　
反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．21教育名师原创作品
跟踪训练4　若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．21*cnjy*com
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－＜a＜ B．a＜－或a＞
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
2．若直线y＝x＋与椭圆x2＋＝1(m>0且m≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为(　　)
A．1 B.
C．2 D．2
3．设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于(　　)21*cnjy*com
A．0 B．2 C．4 D．－2
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，
且|MN|＝，求直线l的方程． 　
　
　
1．直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝＝21世纪教育网版权所有
＝ ·
＝ 
＝ ·(k为直线斜率)．
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
2．解决椭圆中点弦问题的二种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外．
思考2　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
知识点二
思考1　有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．
思考2　联立
得8x2＋4x－3＝0，
Δ＝42－4×8×(－3)>0，
所以直线y＝2x＋1与椭圆4x2＋y2＝4相交．
梳理　>　＝　<
知识点三
思考　有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得．www.21-cn-jy.com
题型探究
例1　A　[直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．]2·1·c·n·j·y
跟踪训练1　解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，21·世纪*教育网
解得k＜－或k＞.
即k的取值范围为
∪.
例2　解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
由图可知y＝x－4距l最近，故最短距离d＝＝＝，
P点为切点，即P.
跟踪训练2　解　如图，由直线l的方程与椭圆的方程可知，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0. ①
由方程组
消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0. ②
令方程②的根的判别式Δ＝0，
得64k2－4×25×(k2－225)＝0. ③
解方程③得k1＝25或k2＝－25.
由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.【出处：21教育名师】
直线m与直线l间的距离d＝＝.
所以，最小距离是.
例3　解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.【来源：21·世纪·教育·网】
于是|AB|＝
＝ 
＝
＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，
则其方程为y－2＝k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式相减得＋＝0，
整理得kAB＝＝－，
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－，
于是直线AB的方程为
y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
跟踪训练3　解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)·(y1－y2)＝0. ①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，
∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又|AB|＝|x2－x1|
＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·. ②
将b＝a代入②式，解得a＝，
∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二　由
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率k＝－1，
∴|AB|＝
＝
＝·.
∵|AB|＝2，
∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，
y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝＝，将其代入①式得，
a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
例4　解　(1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以|AB|＝
＝
＝
＝ 
＝ .
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
引申探究　
解　可求得O到AB的距离d＝，
又|AB|＝，
∴S△AOB＝|AB|·d
＝··
＝ 
≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，上式取“＝”，
此时m＝±∈[－，]．
∴所求直线方程为x－y±＝0.
跟踪训练4　6
当堂训练
1．A　2.D　3.D　4.x－2y＋3＝0
5．解　设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，
得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)(－)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，
所以k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
2．2.1　双曲线及其标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　双曲线的定义
观察图形，思考下列问题
思考1　图中动点M的几何性质是什么？
　
　
思考2　若||MF1|－|MF2||＝|F1F2|，则动点M的轨迹是什么？
　
　
梳理　把平面内到两个定点F1，F2的距离的________________等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做________________，________________叫做双曲线的焦距．21·cn·jy·com
知识点二　双曲线的标准方程
思考1　双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？　
　
　
思考2　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，对于双曲线，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？
　
　
梳理　
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b2
类型一　求双曲线的标准方程
例1　求下列双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)，且焦点在坐标轴上．
　
　
反思与感悟　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．www.21-cn-jy.com
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程．
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．　
　
　
类型二　双曲线的定义及应用
命题角度1　双曲线的焦点三角形
例2　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
引申探究
本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．21cnjy.com
反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系．2·1·c·n·j·y
跟踪训练2　已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)．　www-2-1-cnjy-com
　
命题角度2　与双曲线有关的轨迹问题
例3　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．2-1-c-n-j-y
反思与感悟　定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．
(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
跟踪训练3　在△ABC中，已知A(－2，0)，B(2，0)，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹方程．【来源：21·世纪·教育·网】
　
1．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．线段
C．双曲线 D．两条射线
2．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)21*cnjy*com
A．4 B．8
C．24 D．48
3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)
A. B．1或－2
C．1或 D．1
4．若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
　
　
(3)以椭圆＋＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，)．
　
　
1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．21·世纪*教育网
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.【来源：21cnj*y.co*m】
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．【出处：21教育名师】
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　||MF1|－|MF2||＝常数(常数|F1F|或|F2F|)且常数<|F1F2|.
思考2　以F2为端点的一条射线．
梳理　差的绝对值　双曲线的焦点
两焦点间的距离
知识点二
思考1　双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．
思考2　以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B.
题型探究
例1　解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的方程为－＝1.
方法二　由椭圆方程＋＝1知焦点在y轴上，
设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．
因为双曲线过点(－2，)，所以－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，
∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
因为点P(3，)，Q(－，5)在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线方程为－＝1.
跟踪训练1　解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍)．
∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知
解得
故双曲线的方程为－＝1.
例2　(1)4a＋2m　(2)16
解析　(1)由双曲线的定义，
知|AF1|－|AF2|＝2a，
|BF1|－|BF2|＝2a.
又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，
所以△ABF1的周长为
|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.
(2)由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义和余弦定理，
得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
引申探究
解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36. ①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝100. ②
将②代入①得|PF1|·|PF2|＝32，
所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝16.
跟踪训练2　解　设双曲线的另一个焦点为F2，连接PF2，ON是三角形PF1F2的中位线，
所以|ON|＝|PF2|，
因为||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝10，
所以|PF2|＝2或18，|ON|
＝|PF2|＝1或9.
例3　x2－＝1(x≤－1)
解析　如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件 |MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|, 因为|MA|＝|MB|，21世纪教育网版权所有
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝2，这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2且2<6＝|C1C2|.
根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－＝1 (x≤－1)．
跟踪训练3　解　由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．21教育网
因为2sin A＋sin C＝2sin B，
所以2a＋c＝2b，即b－a＝，
从而有|CA|－|CB|＝|AB|
＝2<|AB|.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
因为a＝，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝6，
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
当堂训练
1．D　2.C　3.D　4.A
5．解　(1)由题设知，a＝3，c＝4，
由c2＝a2＋b2，
得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上，
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8.因为过(3，)点，
所以－＝1，
解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
2．2.2　双曲线的几何性质
学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．21cnjy.com
知识点一　双曲线的几何性质
类比椭圆的几何性质，结合图象得到双曲线的几何性质如下表：
标准方程
－＝1
(a＞0，b＞0)
－＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
对称性
对称轴：________
对称中心：________
对称轴：________
对称中心：________
顶点坐标
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二　双曲线的离心率
思考1　如何求双曲线的渐近线方程？
　
　
思考2　椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？21·cn·jy·com
　
　
梳理　双曲线的半焦距c与实半轴a的比叫做双曲线的　　　　，其取值范围是________．e越大，双曲线的开口________．www.21-cn-jy.com
类型一　已知双曲线的标准方程求其简单性质
例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程
　
反思与感悟　由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
　
　
类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
　
　
反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a，b，写出方程．2·1·c·n·j·y
(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
③渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；
(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
　
　
类型三　与双曲线有关的离心率问题
例3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率．
(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x；
(2)双曲线－＝1(0　
　
反思与感悟　求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0跟踪训练3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．2-1-c-n-j-y
　
　
类型四　直线与双曲线的位置关系
例4　已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1.
(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；
(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；
(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围．
　
反思与感悟　直线与双曲线的位置关系问题的求解要注意常用方法的应用，即将直线方程代入双曲线的标准方程，得到一元二次方程，这个方程的根就是直线与双曲线交点的横(纵)坐标．利用根与系数的关系可以解决有关弦长、弦中点、轨迹等问题．21世纪教育网版权所有
(1)直线与双曲线的位置的判断方法
直线与双曲线位置关系的判定有时通过联立方程组求解，有时也要结合图形进行求解．
联立消去y，
得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2＝0.①
当b2－a2k2＝0时，①式为一次方程，仅有一解，此时直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个公共点，相交；【来源：21cnj*y.co*m】
当b2－a2k2≠0时，
若Δ>0，直线与双曲线有两个公共点，相交；
若Δ＝0，直线与双曲线有一个公共点，相切；
若Δ<0，直线与双曲线没有公共点，相离．
(2)对于弦长的问题，通常结合两点间的距离公式或弦长公式求解．
跟踪训练4　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于不同的两点A，B，求双曲线C的离心率e的取值范围．【出处：21教育名师】
　
　
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．4
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　)
A．－4 B．－3
C．2 D．1
3．已知双曲线－＝1(a＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　)
A. B.
C. D.
4．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为____________．【来源：21·世纪·教育·网】
5．若双曲线的顶点在坐标轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程．
　
1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．21*cnjy*com
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．【版权所有：21教育】
答案精析
问题导学
知识点一
x≥a或x≤－a　y≥a或y≤－a
坐标轴　原点　坐标轴　原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
知识点二
思考1　将方程－＝1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0得±＝0，如图，作直线±＝0，在双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线．21教育名师原创作品
思考2　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.21*cnjy*com
当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．
梳理　离心率　(1，＋∞)　越开阔
题型探究
例1　解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，
所以a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；
焦点坐标为(－，0)，(，0)；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
跟踪训练1　解　把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.
由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；
c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x.
例2　解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝，
且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6?λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
将点M(2，－2)代入双曲线方程，
得λ＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练2　解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由e2＝，得＝，
设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1 ②.
将(3,9)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
将(3,9)代入②，得k＝9.
故所求双曲线方程为－＝1.
(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为
y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝. ①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝. ③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1. ④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
例3　解　(1)若焦点在x轴上，
则＝，
∴e＝ ＝；
若焦点在y轴上，则＝，
即＝，
∴e＝ ＝.
综上可知，双曲线的离心率为或.
(2)依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，
得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴3()2－10×＋3＝0.
解得＝或＝3.
又∵0∴e＝ ＝2.
跟踪训练3　解　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±；
∴|PF1|＝.
由双曲线对称性，知|PF2|＝|QF2|.
又∠PF2Q＝90°，
∴|F1F2|＝|PQ|＝|PF1|，
∴＝2c，则b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，
∴()2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0，
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
例4　解　把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，
整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
(1)∵直线与双曲线有两个公共点，
∴判别式Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，
且3－a2≠0，得－故当－(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，
∴或3－a2＝0，
故当a＝±或a＝±时，
直线与双曲线只有一个公共点．
(3)∵直线双曲线没有公共点，
∴∴a>或a<－.
故当a>或a<－时，直线与双曲线没有公共点．
跟踪训练4　解　(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1(a>0)中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.21教育网
因为双曲线C与直线l相交于不同两点，
所以解得0又双曲线的离心率e＝＝ ，
所以e>且e≠.
当堂训练
1．C　2.A　3.C　4.y＝±x
5．解　由题设，①当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵2a＝8，∴a＝4，由e＝＝，
得c＝5，
∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.
此时双曲线标准方程为－＝1.
②当焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
同理可求得a＝4，b2＝9.
此时双曲线标准方程为－＝1.
因此所求双曲线标准方程为－＝1或－＝1.
2．3.1　抛物线及其标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　抛物线的定义
思考1　如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？21cnjy.com
　
　
思考2　抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
　
　
梳理　从定义可以看出，抛物线不是双曲线的一支，双曲线有渐近线，而抛物线没有．
对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则，动点的轨迹是一条________．
知识点二　抛物线的标准方程
思考1　抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
　
　
思考2　抛物线标准方程的特点？
　
　
　
思考3　已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
　
　
梳理　抛物线的标准方程有四种类型
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦点坐标




准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
类型一　抛物线标准方程及求解
命题角度1　由抛物线方程求焦点坐标或准线方程
例1　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程．
(1)y2＝－6x；(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；(4)y2＝a2x(a≠0)．　
　
反思与感悟　如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．21·cn·jy·com
跟踪训练1　(1)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　)
A. B.
C．1 D.
(2)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝_____________________________________，
准线方程为____________．
命题角度2　求解抛物线标准方程
例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为(－2,0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2,3)；
(4)焦点到准线的距离为.
　
反思与感悟　求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．
跟踪训练2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 过点(3，－4)；
(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
　
　
类型二　抛物线定义的应用
例3　已知点A(3,2)，点M到F的距离比它到y轴的距离大.
(1)求点M的轨迹方程；
(2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
　
　
反思与感悟　(1)抛物线定义具有判定和性质的双重作用．本题利用抛物线的定义求出点的轨迹方程，又利用抛物线的定义，“化曲折为平直”，将两点间的距离的和转化为点到直线的距离求得最小值，这是平面几何性质的典型运用．21教育网
(2)通过利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，从而简化问题的求解过程．在解决抛物线问题时，一定要善于利用其定义解题．
跟踪训练3　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是(　　)www.21-cn-jy.com
A. B．3 C. D.
1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　)
A．4 B．2 C．1 D．8
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)21世纪教育网版权所有
A．2 B．3 C. D.
5．若抛物线y2＝－2px (p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．2·1·c·n·j·y
　
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F(，0)，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F(0，)，准线方程为y＝－.【来源：21·世纪·教育·网】
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.www-2-1-cnjy-com
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　平面内到一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．21*cnjy*com
思考2　不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线．
梳理　直线
知识点二
思考1　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向．
思考2　(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.【来源：21cnj*y.co*m】
思考3　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．【出处：21教育名师】
题型探究
例1　解　(1)由方程y2＝－6x，知抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为(－，0)，准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，
知抛物线开口向下，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为(0，－)，准线方程为y＝.
(3)将y＝4x2化为x2＝y，
知抛物线开口向上，
2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.
(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝，＝，
所以焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.
跟踪训练1　(1)B　(2)2　x＝－1
例2　解　(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，
∴抛物线标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，
∴p＝2，
∴抛物线标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2,22＝n·3，
∴m＝，n＝.
∴所求抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，
可知p＝.
∴所求抛物线方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
跟踪训练2　解　(1)方法一　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0)．2-1-c-n-j-y
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
方法二　设抛物线的方程为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0)．
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
例3　解　(1)由于动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等，由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px (p>0)的形式，而＝，∴p＝1,2p＝2，故轨迹方程为y2＝2x.【版权所有：21教育】
(2)如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0＝2，21教育名师原创作品
即M(2,2)．
跟踪训练3　A　[如图，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离等于点P到焦点F的距离．因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 ＝.]21*cnjy*com
当堂训练
1．A　2.D
3．C　[如图，F(，0)，
过A作AA′⊥准线l，
∴|AF|＝|AA′|，
∴x0＝x0＋＝x0＋，
∴x0＝1.]
4．A　[如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离21·世纪*教育网
d＝＝2.]
5．解　由抛物线定义，设焦点为F.
则该抛物线准线方程为x＝，由题意设点M到准线的距离为|MN|，
则|MN|＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10，∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y0)代入抛物线方程，得y0＝±6.
∴M点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
2．3.2　抛物线的几何性质(一)
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．2-1-c-n-j-y
知识点一　抛物线的几何性质
思考1　类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？
　
　
　
思考2　类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？21*cnjy*com
　
　
　
思考3　参数p对抛物线开口大小有何影响？
　
　
　
梳理　
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
离心率
e＝________
知识点二　焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p>0)
|AB|＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
|AB|＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
|AB|＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
|AB|＝p－(y1＋y2)
类型一　由抛物线的几何性质求标准方程
例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．21教育网
引申探究　
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)www.21-cn-jy.com
A．8p2　　　 B．4p2
C．2p2　　　 D．p2
　
反思与感悟　把握三个要点确定抛物线的几何性质
(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负．
(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．
(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程．【来源：21·世纪·教育·网】
　
类型二　抛物线的焦点弦问题
例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
引申探究
本例中，若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，求∠A1FB1.
　
反思与感悟　(1)抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．
①若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝x0＋；
②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x0；
③若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝y0＋；
④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y0
(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
跟踪训练2　直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________．21·cn·jy·com
类型三　抛物线的实际应用
例3　某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？21·世纪*教育网
　
反思与感悟　在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练3　如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度从警戒线开始上升，则再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O的)
　
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A．(，±) B．(，±)
C．(，) D．(，)
3．已知过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则AB的值为________．【出处：21教育名师】
4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)
5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；
(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．
　
　
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．【版权所有：21教育】
2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．21教育名师原创作品
3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　范围、对称性、顶点、离心率．
思考2　范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．
思考3　参数p(p>0)对抛物线开口大小有影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．21世纪教育网版权所有
梳理　(0,0)　1
题型探究
例1　解　由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点F(，0)．直线l：x＝，
所以A，B两点坐标为(，m)，(，－m)，
所以|AB|＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以·||·2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究　
B　[因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.21*cnjy*com
由方程组
得或
所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．
所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.]
跟踪训练1　解　设抛物线的方程为
y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．
因为点P到对称轴距离为6，
所以y0＝±6.
因为点P到准线距离为10，
所以|x0＋|＝10. ①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0， ②
由①②，得或
或或
所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
例2　解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，
所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝5.
而|AB|＝|AF|＋|BF|
＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，2·1·c·n·j·y
所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
引申探究
解　由抛物线定义|AA1|＝|AF|，得
∠AA1F＝∠AFA1，
又AA1∥x轴，
∴∠OFA1＝∠AA1F，
∴∠OFA1＝∠AFA1，
同理得∠OFB1＝∠BFB1，
∴∠A1FO＋
∠B1FO＝90°，
即∠A1FB1＝90°.
跟踪训练2　x＋y－1＝0或x－y－1＝0
例3　解　以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系．(如图)
设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，
由题意知A(4，－5)在抛物线上，
故16＝－2p×(－5)?p＝，
则抛物线的方程是x2＝－y(－4≤x≤4)，
设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B，B′时，木船开始不能通航．设B(2，y′)，
∴22＝－y′?y′＝－.
∴＋0.75＝2.
故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航．
跟踪训练3　解　设所求抛物线的解析式为y＝ax2.
设D(5，b)，则B(10，b－3)，
把D、B的坐标分别代入y＝ax2
得
解得∴y＝－x2.
∵b＝－1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，＝5.
即再持续5小时水位到达拱桥顶．
当堂训练
1．C　2.B　3.10　4.②⑤
5．解　(1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.
因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.21cnjy.com
2．3.2　抛物线的几何性质(二)
学习目标　1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　直线与抛物线的位置关系
思考1　直线与抛物线有哪几种位置关系？
　
思考2　若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
　
　
梳理　(1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数．
位置关系
公共点个数
相交
________________公共点
相切
________________公共点
相离
________公共点
(2)直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴________________，此时直线与抛物线有________个公共点．
类型一　直线与抛物线的位置关系
例1　已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？21世纪教育网版权所有
　
　
　
反思与感悟　直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．21教育网
跟踪训练1　平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.21cnjy.com
(1)求曲线C的方程；
(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；
(3)设直线l：y＝x＋m，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？
　
　
类型二　与弦长中点弦有关的问题
例2　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．21·cn·jy·com
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
　
反思与感悟　中点弦问题有两种解法：
(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由k＝求斜率，再由点斜式求解．
(2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．
跟踪训练2　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.www.21-cn-jy.com
　
类型三　抛物线性质的综合应用
命题角度1　抛物线中的定点(定值)问题
例3　已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
反思与感悟　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值．2·1·c·n·j·y
　
　
命题角度2　对称问题
例4　在抛物线y2＝4x上恒有两点A，B关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．
　
反思与感悟　轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练4　已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，求A，B两点间的距离．21·世纪*教育网
　
1．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有(　　)
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
2．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于(　　)www-2-1-cnjy-com
A．2∶ B．1∶2
C．1∶ D．1∶3
3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，设C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)2-1-c-n-j-y
A. B.
C. D.
4．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________．21*cnjy*com
5．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线的方程．【来源：21cnj*y.co*m】
　
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．【出处：21教育名师】
答案精析
问题导学
知识点
思考1　三种：相离、相切、相交．
思考2　不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
梳理　(1)有两个或一个　有且只有一个　无　(2)两　一　没有　平行或重合　一
题型探究
例1　解　由方程组
消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16(1－k2)．
(1)若直线与抛物线有两个交点，
则k2≠0且Δ>0，
即k2≠0且16(1－k2)>0，
解得k∈(－1,0)∪(0,1)．
所以当k∈(－1,0)∪(0,1)时，
直线l和抛物线C有两个交点．
(2)若直线与抛物线有一个交点，
则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，
解得k＝0或k＝±1.
所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点．
(3)若直线与抛物线无交点，
则k2≠0且Δ<0.
解得k>1或k<－1.
所以当k>1或k<－1时，
直线l和抛物线C无交点．
跟踪训练1　解　(1)x2＝4y.
(2)设点P(x0，)，
点P到直线y＝x－2的距离为
＝
＝
当x0＝2时，取得最小值，此时P(2,1)．
(3)由得x2－4x－4m＝0，
Δ＝42－4×(－4m)≥0，m≥－1.
所以当m≥－1时，直线l和曲线C有交点．
例2　解　(1)由于抛物线的焦点为(1,0)，
所以＝1，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1， ①
y＝4x2， ②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①得，(y1＋y2)(y2－y1)
＝4(x2－x1)，
所以＝2.
所以所求直线AB的方程为
y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
跟踪训练2　解　方法一　由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为
y－1＝k(x－4)．由
得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0. ①
设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22，
∴|P1P2|＝ 
＝ ＝.
方法二　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)，又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率k＝3，
所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴|P1P2|＝ 
＝ ·
＝.
例3　(1)解　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明　因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为
y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
跟踪训练3　证明　方法一　设AB的斜率为k，则AC的斜率为－k.
AB：y－2＝k(x－4)与y2＝x联立得
y－2＝k(y2－4)，即ky2－y－4k＋2＝0.
∵y＝2是此方程的一个解，
∴2yB＝，∴yB＝，
∴xB＝y＝，
∴B(，)．
∵kAC＝－k，
∴以－k代替k代入B点坐标得
C(，)．
∴kBC＝
＝－，为定值．
方法二　设B(y，y1)，C(y，y2)，
则kBC＝＝.
∵kAB＝＝，
kAC＝＝，
由题意得kAB＝－kAC，
∴＝－，则y1＋y2＝－4，
则kBC＝－，为定值．
例4　解　因为A，B两点关于直线y＝kx＋3对称，
所以可设直线AB的方程为x＝－ky＋m.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
把直线AB的方程代入抛物线方程，
得y2＋4ky－4m＝0，
设AB的中点坐标为M(x0，y0)，
则y0＝＝－2k，x0＝2k2＋m.
因为点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，
所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，
即m＝－.
因为直线AB与抛物线y2＝4x交于A，B两点，
所以Δ＝16k2＋16m>0，
把m＝－代入，
化简，得<0，
所以<0.
因为k2－k＋3>0，所以<0，
解得－1跟踪训练4　解　由题意可设l：y＝x＋b，把直线方程代入y＝－x2＋3中，
得x2＋x＋b－3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝x1＋b＋x2＋b＝(x1＋x2)＋2b＝2b－1.
所以AB的中点坐标为(－，b－)，
因为该点在直线x＋y＝0上．
所以－＋(b－)＝0，得b＝1.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝
＝＝3.
所以A，B两点间的距离为3.
当堂训练
1．B
2．C　[如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，
所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.
由△MHN∽△FOA，
则＝＝，
则|MH|∶|MN|＝1∶，
即|MF|∶|MN|＝1∶.]
3．D　4.16
5．解　设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴|AB|＝
＝3，
即5[()2－16]＝45，
∴a＝4或a＝－36.
∴所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.
第二单元 圆锥曲线与方程
1　椭圆的定义在解题中的妙用
椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．【来源：21·世纪·教育·网】
1．求最值
例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)【出处：21教育名师】
A．2 B. C. D．5
解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　C
2．求动点坐标
例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．
解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
由解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，
此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，
即所求点的坐标为(±3,0)．
答案　(±3,0)
点评　由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合均值不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．
3．求焦点三角形面积
例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
解　由已知得a＝2，b＝，
所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|， ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|. ②
将②代入①，得|PF1|＝.
所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.
点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.
从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．
2　如何求椭圆的离心率
1．由椭圆的定义求离心率
例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，半焦距为c，由题
意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.
∴|AF2|＝c，
|AF1|＝2c·sin 60°＝c.
∴|AF1|＋|AF2|
＝2a＝(＋1)c.
∴e＝＝＝－1.
答案　－1
点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．
2．解方程(组)求离心率
例2　椭圆＋＝1 (a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)、B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.2·1·c·n·j·y
解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，
∴|a－c|＝，
即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.
又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.
两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，
解得e＝或e＝(舍去)．
答案　
3．利用数形结合求离心率
例3　在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.
解析　如图所示，切线PA、PB互相垂直，PA＝PB.
又OA⊥PA，OB⊥PB，OA＝OB，
则四边形OAPB是正方形，
故OP＝OA，
即＝a，∴e＝＝.
答案　
4．综合类
例4　设M为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．21世纪教育网版权所有
解　由正弦定理得＝＝
＝＝，
∴e＝＝＝＝.
点评　此题可推广为若∠MF1F2＝α，∠MF2F1＝β，则椭圆的离心率e＝.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　3　活用双曲线定义妙解题
在解双曲线中的有关求离心率、最值等问题时，若能灵活应用双曲线的定义，能把大题化为小题，起到事半功倍的作用．下面举例说明．www-2-1-cnjy-com
1．求焦点三角形的周长
例1　过双曲线－＝1左焦点F1的直线与左支交于A、B两点，且弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________．
解析　由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝8，
|BF2|－|BF1|＝8，
两式相加得|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)
＝|AF2|＋|BF2|－|AB|＝16，
从而有|AF2|＋|BF2|＝16＋6＝22，
所以△ABF2的周长为
|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝22＋6＝28.
答案　28
点评　与焦点有关的三角形周长问题，常借助双曲线的定义解决，注意解决问题时的拼凑技巧．
2．最值问题
例2　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求|PM|＋|PF|的最小值．21·世纪*教育网
解　设双曲线的左焦点为F′，
则F′(－2,0)，
由双曲线的定义知：|PF′|－|PF|＝2a＝2，所以|PF|＝|PF′|－2，
所以|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PF′|－2，要使|PM|＋|PF|取得最小值，只需|PM|＋|PF′|取得最小值，由图可知，当P、F′、M三点共线时，|PM|＋|PF′|最小，此时|MF′|＝2，
故|PM|＋|PF|的最小值为2－2.
点评　本题利用双曲线的定义对F的位置进行转换，然后再根据共线易求得最小值．另外同学们不妨思考一下：①若将M坐标改为M(1,1)，其他条件不变，如何求解呢？②若P是双曲线左支上一动点，如何求解呢？
3．求离心率范围
例3　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，试求双曲线离心率的取值范围．
解　因为|PF1|＝4|PF2|，点P在双曲线的右支上，
所以设|PF2|＝m，则|PF1|＝4m，
由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝4m－m＝2a，
所以m＝a.
又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
即4m＋m≥2c，
所以m≥c，
即a≥c，所以e＝≤.
又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为1点评　本题利用双曲线的定义及三角形的两边之和与第三边之间的关系建立了关于双曲线基本量a，c的不等关系，使问题得以巧妙地转化、获解．21cnjy.com
4　解析几何中的定值与最值问题的解法
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．21*cnjy*com
例1　已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．
证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，∴y0＝－x0.
∴直线ON的方向向量为＝，
∵∥a，∴＝.
∵a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，
又直线方程为y＝x－c.
联立得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∵x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，则由＝λ＋μ，
得代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2　已知抛物线y2＝2px (p>0)上有两个动点A、B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF|成等差数列．21·cn·jy·com
求证：线段AB的垂直平分线经过定点(x0＋p,0)．
证明　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义，知
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋.
因为|AF|、|MF|、|BF|成等差数列，
所以2|MF|＝|AF|＋|BF|，即x0＝.
设AB的中点为(x0，t)，t＝.
则kAB＝＝＝＝.
所以线段AB的垂直平分线方程为y－t＝－(x－x0)，
即t[x－(x0＋p)]＋py＝0.
所以线段AB的垂直平分线过定点(x0＋p,0)．
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．
例3　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析　设右焦点为F′，由题意可知F′坐标为(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，|PF′|＋|PA|最小需P、F′、A三点共线，最小值即4＋|F′A|＝4＋＝4＋5＝9.
答案　9
点评　“化曲为直”法求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．
例4　已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；
当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
5　圆锥曲线中存在探索型问题的求解方法
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本文仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．
1．常数存在型问题
例1　直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．www.21-cn-jy.com
分析　先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB中点坐标为.
依题设有＝2·，
即y1＋y2＝2(x1＋x2)， ①
又A，B在直线y＝ax＋1上，
∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2， ②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2， ③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝， ④
把④代入③，得(2－a)·＝2，
解之得a＝，经检验符合题意，
∴kAB＝，而kl＝2，
∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.21教育网
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
解　(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p) (p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q.
3．直线存在型问题
例3　试问是否能找到一条斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆＋y2＝1交于两个不同的点M，N，且使M，N到点A(0，1)的距离相等，若存在，试求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的直线l存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解　设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只要AP⊥MN即可．
由得(1＋3k2)x2＋6mkx＋3m2－3＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则xP＝＝－，yP＝kxP＋m＝，
∴kAP＝.∵AP⊥MN，
∴＝－ (k≠0)，故m＝－.
由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)
＝9(1＋3k2)·(1－k2)>0，得－1故当k∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l.
6　圆锥曲线中的易错点剖析
1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误
例1　长为a的线段AB，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB的中点P的轨迹方程．
错解　如图所示，设A(0，y)，B(x,0)．由中点坐标公式可得P点坐标为，连接OP，由直角三角形斜边上的中线性质有
|OP|＝|AB|＝a.
故2＋2＝2，
即所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
错因分析　求轨迹方程，即求轨迹上任意一点的坐标所满足的方程，并检验以方程的解为坐标的点是否都是轨迹上的点，因此，应设轨迹上任意一点的坐标为?x，y?.上述解法是因为动点坐标设的不对，即运用方法不当而导致错误.
正解　设中点P(x，y)，A(0，m)，B(n,0)，
则m2＋n2＝a2，x＝，y＝，
于是所求轨迹方程为x2＋y2＝a2.
2．忽视定义中的条件而致误
例2　平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为(　　)
A．椭圆 B．圆
C．直线 D．线段
错解　根据椭圆的定义，点M的轨迹为椭圆，故选A.
错因分析　在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF1|＋|MF2|>|F1F2|，亦即2a>2c.而本题中|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
正解　因为点M到两定点F1，F2的距离之和为|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案　D
3．忽视标准方程的特征而致误
例3　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.∴m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解　由于y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
4．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误
例4　正方形ABCD的A，B两点在抛物线y＝x2上，另两点C，D在直线y＝x－4上，求正方形的边长．21教育名师原创作品
错解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，
即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
错因分析　在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2－x－b＝0的判别式Δ>0，以此来限制b的取舍.
正解　∵AB与直线y＝x－4平行，∴设AB的直线方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
|AB|2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，即b2－8b＋12＝0，
解得b＝2或b＝6，∵Δ＝1＋4b>0，∴b>－.
∴b＝2或b＝6都满足Δ>0，∴b＝2或b＝6.
∴|AB|＝3或|AB|＝5.
7　圆锥曲线中的数学思想方法的应用
1．方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．【来源：21cnj*y.co*m】
例1　已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1 (a>b>0)相交于A，B两点，且a＝2b，若|AB|＝2，求椭圆的方程．
解　由
消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得
x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝2，
∴ ·＝2，
即·＝2，
解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
2．函数思想
很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．
例2　若点(x，y)在＋＝1 (b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
解　∵＋＝1 (b>0)，
∴x2＝4≥0，
即－b≤y≤b.
∴x2＋2y＝4＋2y
＝－＋2y＋4＝－2＋4＋.
当≤b，即0b，即b>4时，若y＝b，2-1-c-n-j-y
则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.
综上所述，x2＋2y的最大值为
3．转化和化归思想
在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．21*cnjy*com
例3　如图所示，已知椭圆＋＝1，直线l：x＝12，P是l上任意一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在线段OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上运动时，求点Q的轨迹方程．【版权所有：21教育】
解　设P(12，yP)，R(xR，yR)，Q(x，y)，∠POx＝α.
∵|OR|2＝|OQ|·|OP|，
∴2＝·.
由题意知xR>0，x>0，∴x＝x·12. ①
又∵O，Q，R三点共线，
∴kOQ＝kOR，即＝. ②
由①②得y＝. ③
∵点R(xR，yR)在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1. ④
由①③④得2(x－1)2＋3y2＝2 (x>0)，
∴点Q的轨迹方程是2(x－1)2＋3y2＝2 (x>0)．
4．分类讨论思想
本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论．
例4　求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．
分析　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ (λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．
解　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ (λ≠0)，
即－＝1 (λ≠0)．
当λ>0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当λ<0时，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的方程为
－＝1或－＝1.
5．数形结合思想
利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．
例5　在△ABC中，BC边固定，顶点A在移动，设|BC|＝m，当三个角满足条件|sin C－sin B|＝|sin A|时，求顶点A的轨迹方程．
解　以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，如图所示：
则B，C.
设点A坐标(x，y)，由题设，
得|sin C－sin B|＝|sin A|.
根据正弦定理，得||AB|－|AC||＝m.
可知点A在以B、C为焦点的双曲线上．
这里2a＝m，∴a＝.又c＝m，
∴b2＝c2－a2＝－＝m2.
故所求点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)．
第二单元 圆锥曲线与方程
学习目标　1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
知识点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹
平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹
平面内到一个定点F和一条定直线l(F?l)距离相等的点的轨迹
标准方程
＋＝1或＋＝1(a>b>0)
－＝1或－＝1(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
知识点二　椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．21教育网
(1)焦点三角形的面积S＝b2tan .
(2)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.
知识点三　双曲线及渐近线的设法技巧
1．由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．如双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝________；双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为－＝0(a>0，b>0)，即y＝________.21·cn·jy·com
2．如果双曲线的渐近线方程为±＝0，它的双曲线方程可设为________________．
知识点四　求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．www.21-cn-jy.com
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
知识点五　三法求解离心率
1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．【来源：21·世纪·教育·网】
2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．21·世纪*教育网
知识点六　直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．www-2-1-cnjy-com
2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
类型一　圆锥曲线的定义及应用
例1　已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)21*cnjy*com
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随m，n变化而变化
反思与感悟　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1　抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
A．x1，x2，x3成等差数列
B．y1，y2，y3成等差数列
C．x1，x3，x2成等差数列
D．y1，y3，y2成等差数列
类型二　圆锥曲线的方程及几何性质
命题角度1　求圆锥曲线的方程
例2　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p等于(　　)
A．1 B. C．2 D．3
反思与感悟　一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．【版权所有：21教育】
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系．
跟踪训练2　设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　)21教育名师原创作品
A．y2＝4x或y2＝8x
B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x
D．y2＝2x或y2＝16x
命题角度2　求圆锥曲线的离心率
例3　如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．
反思与感悟　求圆锥曲线离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．21*cnjy*com
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
跟踪训练3　已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
类型三　直线与圆锥曲线的位置关系
例4　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足|MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值．
　
　
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练4　如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
　
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
　
1．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
2．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是(　　)
A．2 B.
C. D.
3．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)21cnjy.com
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是(　　)【出处：21教育名师】
A．2p B．4p
C．6p D．8p
5．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．
答案精析
知识梳理
知识点三
1．±x　±x
2.－＝λ(λ≠0)
题型探究
例1　B　[设P为双曲线右支上的一点．
对于椭圆＋y2＝1(m>1)，c2＝m－1，
|PF1|＋|PF2|＝2，
对于双曲线－y2＝1，c2＝n＋1，
|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
|F1F2|2＝(2c)2＝2(m＋n)，
而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2
＝|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，故选B.]
跟踪训练1　A　[如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义可知
|AF|＝|AA′|，
|BF|＝|BB′|，
|CF|＝|CC′|.
∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.
又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，
|CC′|＝x3＋，
∴2(x2＋)＝x1＋＋x3＋
?2x2＝x1＋x3，
故选A.]
例2　C　[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，y2＝2px的准线方程为x＝－.
∵双曲线的离心率为2，
∴e＝ ＝2，
即＝±，
∴渐近线方程为y＝±x，
由得y＝－p，
∴|AB|＝p，
S△OAB＝××p＝，
解得p＝2.]
跟踪训练2　C　[由抛物线C的方程为
y2＝2px(p＞0)，
知焦点F(，0)．
设M(x，y)，由抛物线性质|MF|＝x＋＝5，
可得x＝5－.
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为＝.
由已知，得圆半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
则M(5－，4)，代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.
所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]
例3　
解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，
|F1F2|＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，21世纪教育网版权所有
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，2·1·c·n·j·y
所以|AF2|－|AF1|＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
跟踪训练3　
解析　抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，又△FAB为直角三角形，则只有∠AFB＝90°，如图，则A(－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2＝，2-1-c-n-j-y
于是c＝
＝.
故e＝＝.
例4　解　(1)由题意知，
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与椭圆的方程得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为(，)．
①当k≠0时，AB的中垂线方程为
y－＝－(x－)，
因为|MA|＝|MB|，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程得，
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或.
跟踪训练4　解　(1)因为2c＝2，
所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，
所以b2＝1，a2＝2.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1.(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·<0，
即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝.
由＋<0，
得m2<k2＋.
依题意且满足(*)得，m2<，
故实数m的取值范围是(－，)．
当堂训练
1．D　2.C　3.B　4.B　5.2