课件43张PPT。3.1.1 函数的平均变化率
3.1.2 瞬时速度与导数1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值y的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案
思考3 答案
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数值自变量斜率知识点二 瞬时变化率思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.
答案思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？?答案梳理
(1)物体运动的瞬时速度
设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当 时，当Δt趋近
于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率为 趋近于
常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度.t0到t0＋Δt(2)函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化
率 趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬
时变化率.知识点三 函数在某一点处的导数与导函数思考 f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值.f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数.f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值.答案梳理
(1)函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的 称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，
记作 ，即f′(x0)＝ .瞬时变化率f′(x0)或y′|(2)导函数定义
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个 ，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数.记为f′(x)(或y′x、y′).
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)| .确定的导数f′(x)题型探究类型一 函数的平均变化率解答
因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.?解答
由于k1
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；答案解析
Δx(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变
化率为___；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为____.答案解析
类型二 求瞬时速度例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解答∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.引申探究
1.若本例的条件不变，试求物体的初速度.解答
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.
2.若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，解答则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题.
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).解答跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2附近的平均变化率类型三 求函数在某一点处的导数?
解答求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；解答跟踪训练3 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.
当堂训练12345
1.一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是
A.0.4 B.2
C.0.3 D.0.2答案解析√√12345答案12345
答案解析3.当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为_____.12345
164.函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________.答案解析12345?2
由题意知，－a＝－2，∴a＝2.答案解析本课结束课件41张PPT。第三章 §3.1 导数3.1.3 导数的几何意义1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求简单函数的导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求
其方程.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线.思考1 割线PPn的斜率kn是多少？答案
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理
(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在 的切线.
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜
率k，即k＝ .
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为_________
.点P处y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)题型探究类型一 求切线方程解答
将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点坐标为P(2,4).∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是____.－3答案解析∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.解答
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程.过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0).(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.解答
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线的斜率为k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线的斜率为k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.类型二 求切点坐标例3 已知曲线y1＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解答
引申探究
1.若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.解答
2.若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程.解答当x0＝0时，两条平行切线方程分别为y＝－1，y＝1.曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.
∴所求两平行切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0).
(2)求导函数f′(x).
(3)求切线的斜率f′(x0).
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.解答跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标.
设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0).
当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.当a＝－5时，切点坐标为(2,3).类型三 导数几何意义的应用例4 已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________.(请用“>”连接)k1>k3>k2答案解析
由导数的几何意义，可得k1>k2.∴k1>k3>k2.导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合. 跟踪训练4 (1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是答案解析
依题意知，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A满足.(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________.答案解析－7
＝4x0＝8.
∴x0＝2，∴点P的坐标为(2,8＋a).
将x＝2，y＝8＋a代入8x－y－15＝0，得a＝－7.当堂训练12345
1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为
A.4 B.16 C.8 D.2答案解析√
123452.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1√答案解析12345√
答案解析又∵直线倾斜角的范围为[0°，180°)，
∴倾斜角为135°.4.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.12345
答案解析－2由导数的几何意义，知f(x)在x＝1处的斜率为－2.123455.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________.答案解析(3,30)
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.本课结束课件33张PPT。3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.2 导数公式表?学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 常数与幂函数的导数012x知识点二 基本初等函数的导数公式表0uxu－1cos x－sin xaxln aex题型探究类型一 利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；解答y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.解答解答
解答
解答y′＝(3x)′＝3xln 3.(6)y＝3x.解答若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导.3答案解析
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；因为(2ex)′＝2ex，所以④正确；因为(2x)′＝2xln 2，所以⑥错误.类型二 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题
例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由.题意解答题意 利用导数公式求解切线问题
因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线.即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程.因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′| ＝2x0.解答解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.解答跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′| ＝cos x0，k2＝y′|
＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的.
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.命题角度2 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.解答
利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P，使△ABP的面积最大.解答
设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率为k＝ y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1，故可得M(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，
故点M(1,1)即为所求弧 上的点，使△ABP的面积最大.当堂训练12345√答案解析
√12345答案解析
12345
3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝ .答案解析12345
解析12345?y′＝0.解答?
解答12345
(4)y＝lg x；
解答解答12345y′＝5xln 5.?
解答(5)y＝5x；解答?本课结束课件40张PPT。第三章 §3.2 导数的运算3.2.3 导数的四则运算法则1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数
运算法则求函数的导数.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 和、差的导数?思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案?思考2 ?答案
思考3 Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？答案Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.梳理
和、差的导数
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x).知识点二 积、商的导数已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3.思考1 试求f′(x)，g′(x)，φ′(x).答案f′(x)＝2x，g′(x)＝cos x，φ′(x)＝0.思考2 ?
答案梳理 (1)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝ .
②[Cf(x)]′＝ .
(2)商的导数f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)题型探究类型一 导数运算法则的应用?解答
f′(x)＝(xln x＋2x)′＝(xln x)′＋(2x)′
＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2＝ln x＋1＋2xln 2.(2)f(x)＝xln x＋2x；解答
解答f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2).解答(4)f(x)＝x2·ex.(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分.
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导.跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝xtan x；
解答?
解答(3)f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；方法一 f′(x)＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴f′(x)＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.解答
解答类型二 导数运算法则的综合应用?
解答(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.解答
由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又因为f′(x)＝xcos x，解得a＝d＝1，b＝c＝0.(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数.(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值.完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则. 答案解析
命题角度2 与切线有关的问题
例3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b.
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.解答(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.解答(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行恒等变换，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.答案1解析
4因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知，g′(1)＝2.又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 .解析答案当堂训练12345√D项，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.答案解析12345y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).2.设y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x B.－2exsin x
C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)答案解析√12345
答案解析√12345
答案解析√12345
解答由题意，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，解得b＝0，c＝1.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些与切线斜率、瞬时速度等有关的问题.本课结束课件43张PPT。第三章 §3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性1.理解导数与函数单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察下列各图，完成表格内容.正递增正负正递增递减负负递减负负递减思考2 依据上述分析，可得出什么结论？答案一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增.
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减.梳理 ><锐钝上升递增下降递减知识点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案如图所示，函数y＝f(x)在区间(0，b)或(a,
0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，
在区间(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝
对值较小，图象“平缓”.梳理
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”.题型探究类型一 利用导数判断函数的单调性
证明则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0，关于利用导数证明函数单调性的问题
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f′(x)≥(或≤)0.?
证明故f(x)在区间(0，e)上是增函数.类型二 利用导数求函数的单调区间命题角度1 不含参数的函数求单调区间
例2 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.解答
f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞).求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.
解答函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3，
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)，(2,3).命题角度2 含参数的函数求单调区间
例3 讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性.解答
函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误.
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.?解答(2)求函数f(x)的单调递增区间.解答
当a>1时，由f′(x)>0，得x>a或0此时f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，(0,1)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当00，得x>1或0此时f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，(0，a)；
当a≤0时，由f′(x)>0，得x>1，此时f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
综上，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，(0,1)；
当a＝1时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当0当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).类型三 含参数函数的单调性例4 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是_________.[1，＋∞)
答案解析引申探究
试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.
f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，当k≤0时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)；解答(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准.
(2)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.
(3)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.解答
要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，∵x2>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∴a≤(2x3)min.设y＝2x3，
∵y＝2x3在[2，＋∞)上单调递增，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当堂训练12345√?答案解析123452.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是答案解析√12345原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增，
当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增.
故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.故选C.12345
√答案解析12345
√答案解析∵函数f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，
∴f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0在R上恒成立，12345f′(x)＝ex＋(x－k)ex＝(x－k＋1)ex，
当x当x>k－1时，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，k－1)，
单调递增区间为(k－1，＋∞).5.求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间.解答1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.本课结束课件45张PPT。第三章 §3.3 导数的应用3.3.2 利用导数研究函数的极值(一)1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值
与导数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 函数极值的概念思考1 函数在点x＝a处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？函数y＝f(x)的图象如图所示.函数在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.答案思考2 f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？答案f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.思考3 函数在点x＝b处的情况呢？答案函数在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.梳理
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个 .
与 统称为极值. 与 统称为极值点.极大值极大值点极小值极小值点极大值极小值极大值点极小值点知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极小值.><<>题型探究类型一 求函数的极值和极值点解答例1 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.解答
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x).
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.跟踪训练1 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；因为f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
所以f′(0)＝a＋b－4＝4， ①
又f(0)＝b＝4， ②
由①②可得a＝b＝4.解答(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解答f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2).
解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln 2)上单调递减.
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2).类型二 已知函数极值求参数例2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.解答
因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.引申探究
若本例的条件改为“x＝－3，x＝－1是f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2的两个极值点”，求常数a，b的值.解答
已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求：
(1)x0的值；解答由图象可知，在区间(－∞，1)上f′(x)＞0，在区间(1,2)上f′(x)＜0，在区间(2，＋∞)上f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，因此f(x)在x＝1处取得极大值，所以x0＝1.(2)a，b，c的值.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，
解答类型三 函数极值的综合应用例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；解答
f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.解答由(1)的分析知，y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图
所示.
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根.利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.解答
由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
当堂训练123451.如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是
①f(x)在(－3,1)上为增函数；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上是增函数；
④x＝2是f(x)的极小值点.
A.①②③ B.②③
C.③④ D.①③④答案解析√12345当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，故①不正确；
x＝－1是f(x)的极小值点，故②正确；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，故③正确；
x＝2是f(x)的极大值点，故④不正确.12345√由f′(x)＝x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2，
∴函数f(x)的极大值与极小值的和为f(－2)＋f(2)＝8.解析答案12345因为f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
则f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.3.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于
A.2 B.3 C.4 D.5答案解析√12345f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.4.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
A.－1C.a<－1或a>2 D.a<－3或a>6答案解析√12345
?解答12345(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.解答12345
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：12345
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1，＋∞).1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.本课结束课件46张PPT。第三章 §3.3 导数的应用3.3.2 利用导数研究函数的极值(二)1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 函数的最值思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).答案思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).思考3 怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.梳理
(1)函数的最大(小)值的存在性
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值.
(2)求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤如下：
①求f(x)在开区间(a，b)内所有 ；
②计算函数f(x)在 和 处的函数值，其中最大的一个为 ，最小的一个为 .连续不断极值点极值点端点最大值最小值题型探究类型一 求函数的最值命题角度1 不含参数的函数最值问题
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解答f(x)＝2x3－12x，
当x＝3时，f(x)取得最大值18.解答
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.求解函数在闭区间上的最值，需注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.跟踪训练1 求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值.∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1).
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.解答命题角度2 含参数的函数最值问题
例2 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数.
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.解答f′(x)＝ex－2ax－b，则g(x)＝ex－2ax－b，
g′(x)＝ex－2a，x∈[0,1]，
g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)min＝g(0)＝1－b；
当g′(x)min＝g′(0)＝1－2a<0，
g′(x)max＝g′(1)＝e－2a>0，
当x(x∈(0,1])变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：g(x)min＝g(ln 2a)＝eln 2a－2aln 2a－b
＝2a－2aln 2a－b；g(x)在[0,1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.跟踪训练2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
3x－y－2＝0.解答(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值.解答
令f′(x)＝0，即3x2－2ax＝0，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.从而f(x)max＝f(0)＝0.
类型二 由函数的最值求参数例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解答
由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.解答
f′(x)＝－x2＋x＋2a，当x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2).
类型三 与最值有关的恒成立问题例4 设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值；解答
由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间.
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.?解答
即ln a0成立.
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0即a的取值范围为(0，e).分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4 已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围.解答
所以xf′(x)＝xln x＋1，
所以xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln x－x≤a.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，
所以x＝1是g(x)的极大值点也为最大值点，
所以g(x)≤g(1)＝－1.
所以a≥g(x)max＝－1.当堂训练123451.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)
A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值答案解析√f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.12345√
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.解析答案12345∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.3.已知函数f(x)＝ax3＋c，f′(1)＝6，且函数f(x)在[1,2]上的最大值为20，则c＝____.答案解析412345∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
∴a>0，
又∵函数在(0,1)上有最小值，
√答案解析12345?[e，＋∞)答案解析12345
12345
∴a≥e.1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.
2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.本课结束课件47张PPT。第三章 导数及其应用3.3.3 导数的实际应用1.能利用导数解决实际问题.
2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点 生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .
2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.
3.解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题数学建模题型探究类型一 几何中的最值问题命题角度1 平面几何中的最值问题
例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.
如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京
路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过
点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进
行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单
位：弧度).
(1)将S表示为θ的函数；解答
BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)，＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π).(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.解答
S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)，当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：此时AB＝150 m，
即点A到北京路一边l的距离为150 m.平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.解答
设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，
y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，
命题角度2 立体几何中的最值问题
例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧
面积S最大，则x应取何值？解答
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解答?(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题.
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱
体积的最大值为________ cm3.答案解析
设矩形的长为x cm，则宽为(10－x)cm (0由题意可知，圆柱体积为V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.
∴V′＝20πx－3πx2.类型二 实际生活中的最值问题解答
所以a＝2.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本.
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.跟踪训练3 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？解答设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.?解答
?解答
设隔热层厚度为x cm，又C(0)＝8，所以k＝40，而隔热层建造费用为C1(x)＝6x.
所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.
解答当00，
故x＝5为f(x)的极小值点也为最小值点，答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.跟踪训练4 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；解答
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解答
令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去).
因为函数的定义域为(0,35]，
所以函数在定义域内没有极值点.
又当00，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，又当x∈(0,9)时，y′>0，
x∈(9，＋∞)时，y′<0，
∴当x＝9时函数取最大值，故选C.答案解析12345答案解析√
12345当t∈(6,8)时，y′>0，当t∈(8,9)时，y′<0，
故当t＝8时，y取极大值也为最大值.123453.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为
A.2 m3 B.3 m3
C.4 m3 D.5 m3答案解析√12345
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去).12345
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积为V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3).4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元.12345
答案解析160∴当x＝2时，ymin＝160(元).5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；12345设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].解答(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？12345根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
解答故当x＝12时，f(x)取得极大值.
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x).
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.本课结束课件44张PPT。第三章 导数及其应用习题课 导数的应用1.能利用导数研究函数的单调性.
2.理解函数的极值、最值与导数的关系.
3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)增减知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0知识点三 函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法1.求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.
2.将函数y＝f(x)的 与端点处的函数值 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值.极值f(a)，f(b)最大最小题型探究 类型一 函数与其导函数之间的关系例1 已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是答案解析当0∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，
排除A、B选项.
当10，
∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考察其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致. 跟踪训练1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是答案解析∵函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，
且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x>－2时，f′(x)>0；
当x＝－2时，f′(x)＝0；
当x<－2时，f′(x)<0.
∴当－2当x＝－2时，xf′(x)＝0；
当x<－2时，xf′(x)>0.
由此观察四个选项，故选A. 类型二 构造函数求解答案解析
令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数.
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数.
本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数.
答案解析a>b 命题角度2 求解不等式
例3 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)满足f(x)2ex的解集为
A.(－∞，0) B.(－∞，2)
C.(0，＋∞) D.(2，＋∞)解析答案
∵f(x)0，即函数g(x)单调递增.则不等式等价于g(x)>g(0).
∵函数g(x)单调递增，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.? 令g(x)＝f(x)－2x－4，∵f′(x)>2，
则g′(x)＝f′(x)－2>0.
又由g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
得g(x)>0，即g(x)>g(－1)的解为x>－1，
∴f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).跟踪训练3 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为
A.(－1,1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.(－∞，＋∞)答案解析命题角度3 利用导数证明不等式
例4 已知x>1，证明不等式x－1>ln x.证明
设f(x)＝x－1－ln x，x∈(1，＋∞)，即函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
又x>1，所以f(x)>f(1)＝1－1－ln 1＝0，
即x－1－ln x>0，所以x－1>ln x.利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式.
(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出.
(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立.跟踪训练4 证明：当x>0时，2＋2x<2ex.证明设f(x)＝2＋2x－2ex，
则f′(x)＝2－2ex＝2(1－ex).
当x>0时，ex>e0＝1，∴f′(x)＝2(1－ex)<0.
∴函数f(x)＝2＋2x－2ex在(0，＋∞)上是减函数.
∴f(x)即当x>0时，2＋2x－2ex<0，
∴2＋2x<2ex.类型三 利用导数研究函数的极值与最值例5 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行.
(1)求函数f(x)的解析式；因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.解答(2)求函数f(x)在区间[0，t](0由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.解答
令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，解得－2即实数c的取值范围为(－2,0].(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练5 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称.
(1)求a，b的值；
∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，解答(2)求f(x)的单调区间及极值；
由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4，令f′(x)<0，得－40，得x<－4或x>4.
∴f(x)的单调递减区间为(－4,4)，单调递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.解答(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值.
由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，
∴当x∈[1,5]时，函数的最大值为－47，最小值为－128.解答当堂训练12345答案解析√
12345由题意可知f(0)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0，
可得1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，
所以函数的解析式为f(x)＝x3－3x2＋2x，
所以f′(x)＝3x2－6x＋2.123452.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(a)√答案解析
∴f(x)g(b)>f(b)g(x).12345∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，
∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x.
∵f′(2)＝0，∴c＋4＝0，∴c＝－4，
∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x，
∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为
f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.3.若函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为________.答案解析－54.函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________.12345由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，f(x)max＝f(－1)＝1，
由题意知，|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.20答案解析12345设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上单调递增，
又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴x>sin x(x>0).5.已知x>0，求证：x>sin x.证明导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.本课结束课件60张PPT。第三章 导数及其应用章末复习课1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.
2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函
数的导数.
3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的
极值和最值.
4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 在x＝x0处的导数斜率知识点二 导函数当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的 (简称
)，f′(x)＝y′＝ .导函数导数知识点三 基本初等函数的导数公式0uxu－1cos x－sin xaxln aex知识点四 导数的运算法则f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)知识点五 函数的单调性、极值与导数1.函数的单调性与导数
如果在(a，b)内， ，则f(x)在此区间内单调递增； ，则f(x)在此区间内单调递减.
2.函数的极值与导数
已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极大值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有 ，则称函数f(x)在点x0处取 ，记作y极小值＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.
极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.f′(x)>0f′(x)<0f(x)f(x0)极小值知识点六 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤1.求f(x)在开区间(a，b)内所有 .
2.计算函数f(x)在极值点和 ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.极值点端点的函数值题型探究类型一 导数几何意义的应用解答例1 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,
∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.(2)求函数f(x)的极值.解答
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
∵当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.?跟踪训练1 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；解答因为f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0，
所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，说明理由.解答
因为直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程.当x0＝1时，g′(1)＝12，g(1)＝21，切点坐标为(1,21)，
所以切线方程为y＝12x＋9；
当x0＝－1时，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切点坐标为(－1,9)，
所以切线方程为y＝9.
下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：
因为f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12.
由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；
当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.
所以y＝12x＋9不是公切线.
由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；
当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，
所以y＝9是公切线.
综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.类型二 函数的单调性与导数解答
由f′(x)>0，得x<2，由f′(x)<0，得x>2.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞).解答
(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.
(4)求参数的范围时常用到分离参数法.跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；解答求导得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立.
即3x2－a≥0在R上恒成立，
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上单调递增，符合题意.
所以a的取值范围是(－∞，0].(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，即a＝3符合题意.
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减，且a的取值范围是[3，＋∞).解答类型三 函数的极值、最值与导数例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值.
(1)求f(x)的表达式；解答
因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以f′(1)＝3＋2a＋b，
故过曲线上P点的切线方程为
y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，
已知该切线方程为y＝3x＋1，因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0，
即－4a＋b＝－12，
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值.解答
由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，当x∈[－3，－2)时，f′(x)>0；所以f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13.(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负.
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.
解答
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解答令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.
因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去.
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数.
所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.类型四 分类讨论思想?解答
函数f(x)的定义域是(0，＋∞).令f′(x)＝0，得1－ln x＝0，所以x＝e.所以函数f(x)在(0，e]上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减.(2)设m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值；解答
由(1)知函数f(x)在(0，e]上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，f(x)在[m,2m]上单调递增，②当m≥e时，f(x)在[m,2m]上单调递减.当m≤x0，
当e由(1)知，当x∈(0，＋∞)时，
(1)分类讨论即分别归类再进行讨论，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略.
(2)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要再分类.
(3)分类讨论的基本原则是不重不漏.设x∈(0,1]，则－x∈[－1,0).
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，
即当x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax.跟踪训练4 设函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a为实数).
(1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式；解答f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下：
f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，
∴－3x2∈[－3,0).
又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0.
∴f(x)在(0,1]上单调递增.(2)若a>3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论；解答(3)是否存在a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值1?解答当a>3时，f(x)在(0,1]上单调递增，
∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1.
∴a＝2与a>3矛盾.
当0≤a≤3时，令f′(x)＝a－3x2＝0，
当a<0时，f′(x)＝a－3x2<0，
∴f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)在(0,1]上无最大值.当堂训练12345
答案解析√答案解析123452.如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是√由f(x)与f′(x)的关系可知选A.12345答案解析23.体积为16π的圆柱，它的半径为 时，圆柱的表面积最小.
设圆柱底面半径为r，母线长为l.∴当r＝2时，圆柱的表面积最小.由题意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)，
∴a≤3x2，∴a≤3，∴a的最大值为3.3123454.已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上单调递增，则a的最大值为 .答案解析12345
解答12345
(2)求函数f(x)的极值.解答当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数.
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，无极大值.1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点.
2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.
3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.本课结束