课件36张PPT。第二章——圆锥曲线与方程2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程[学习目标]
1.了解椭圆的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a (a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件.
若|PA|＋|PB|＝2a (a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆.
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆；
而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB；
当2a<|AB|时，P点无轨迹.
所以命题甲不是命题乙的充分条件.
综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件.
答案 B[预习导引]
1.椭圆：平面内与两个定点F1，F2的
的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .距离之和等于定长(大于|F1F2|)焦距焦点2.椭圆的标准方程(0，－c)(0，c)c2＝a2－b2c2＝a2－b2(－c,0)(c,0)要点一 用待定系数法求椭圆的标准方程
例1 (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点 ，求它的标准方程；解 方法一 因为椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的定义知所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.解 方法一 当椭圆的焦点在x轴上时，∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，当椭圆的焦点在y轴上时，∵椭圆经过两点(2,0)、(0,1)，与a>b矛盾，故舍去.方法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n).
∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，规律方法 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应分焦点在x轴上和焦点在y轴上进行讨论，但要注意a>b>0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.跟踪演练1 求适合下列条件的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；
解 因为椭圆的焦点在x轴上，所以a＝5，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.(2)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.
解 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.要点二 椭圆定义的应用
例2 如图所示，点P是椭圆 上的一点，
F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积.又∵P在椭圆上，由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4 ②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20 ③规律方法 在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系.在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.跟踪演练2 已知椭圆的方程为 ，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图).求△PF1F2的面积.在△PF1F2中，由勾股定理可得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4.要点三 与椭圆有关的轨迹问题
例3 已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC
的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
解 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示.
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0).
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(不包括与x轴的两交点)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10；
由a＝5，c＝4，得
b2＝a2－c2＝25－16＝9.
又因为点A不在x轴上，规律方法 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.特别注意点A不在x轴上，因此y≠0.跟踪演练3 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|).
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.
∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，
∴动点M的轨迹是线段F1F2.1234D2.若方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A.－9C.16812341234即实数m的取值范围是8n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12341234答案 C12341234则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.
∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，
∴|BN|＝2|DF2|，
|AN|＝2|DF1|，
∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.
答案 12课堂小结
1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在.
2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解.3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，从而简化运算.课件34张PPT。第二章——圆锥曲线与方程2.1.2 椭圆的几何性质(一)[学习目标]
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
观察椭圆 (a>b>0)的形状，你能从图中看出x和y的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上有哪些特殊点？答案 (1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；
(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b).[预习导引]
1.椭圆的几何性质2a2bx轴、y轴原点(0,1)2.离心率的作用
当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；椭圆离心率越
，则椭圆越接近于圆.接近1接近0要点一 椭圆的几何性质
例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3).规律方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据标准方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪演练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
解 椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为要点二 由椭圆的几何性质求方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为 ，焦距为8.(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .??∴?
从而b2＝9，规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b.跟踪演练2 椭圆过点(3,0)，离心率e＝ ，求椭圆的标准方程.解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点.
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，要点三 求椭圆的离心率
例3 设F1，F2分别是椭圆E： (a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
解 由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.解 设|F1B|＝k，
则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.
而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形.?1234解析 由题意知椭圆焦点在y轴上，
且a＝13，b＝10，1234答案 D2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )12341234解析 ∵x－2y＋2＝0，答案 D3.若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )1234解析 由题意有2a＋2c＝2(2b)，
即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，
消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，1234答案 B1234C课堂小结
1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式.
2.根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法.在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距.
3.求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.课件40张PPT。第二章——圆锥曲线与方程2.1.2 椭圆的几何性质(二)[学习目标]
1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.
2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答案 直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断.
Δ>0?直线和椭圆相交；Δ＝0?直线和椭圆相切；
Δ<0?直线和椭圆相离.[预习导引]两一无>＝<要点一 直线与椭圆的位置关系
例1 在椭圆 上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0?m2＝16?m＝±4，规律方法 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.跟踪演练1 已知椭圆 ，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？解 如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交.设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0. ②4x－5y＋k＝0令方程②的根的判别式Δ＝0，
得64k2－4×25(k2－225)＝0. ③
解方程③得k1＝25，或k2＝－25.
由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.要点二 直线与椭圆的相交弦问题(1)求椭圆的方程；解 由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.规律方法 处理直线与椭圆相交问题的通法是联立直线与椭圆的方程，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.可得x2－18＝0，消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.解 方法一 设l的斜率为k，
则其方程为y－2＝k(x－4).由于AB的中点恰好为P(4,2)，即x＋2y－8＝0.方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于P(4,2)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，即x＋2y－8＝0.要点三 椭圆中的最值(或范围)问题
例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，∴当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.规律方法 解析几何中的综合性问题很多.而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围.
解 ∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：1234D12341234答案 B∴Δ>0，即16m2－4m(m＋3)>0，∴m>1或m<0.
又∵m>0，∴m>1且m≠3.1234C12341234解析 由条件可得F1(－3,0)，PF1的中点在y轴上，答案 A课堂小结
解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2；
(5)把待求量用x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2表示出，进而求解.课件37张PPT。第二章——圆锥曲线与方程2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程[学习目标]
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.
2.掌握双曲线的标准方程.
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.[预习导引]
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.差的绝对值焦点2.双曲线的标准方程(0，－c)(0，c)a2＋b2要点一 求双曲线的标准方程
例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程.解 方法一 若焦点在x轴上，若焦点在y轴上，设双曲线的方程为方法二 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0).
∵P、Q两点在双曲线上，?∵双曲线经过点(－5,2)，规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可分焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法.要点二 双曲线定义的应用
例2 如图，若F1，F2是双曲线 的两个焦点.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，
解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10 或22.(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积.
解 将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|
＝36＋2×32＝100.又|F1F2|＝2c＝10，
在△F1PF2中，由余弦定理得由∠F1PF2是△PF1F2的内角，
∴∠F1PF2＝90°，规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a).
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.跟踪演练2 已知双曲线 的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|＝64，?解 以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平
分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，规律方法 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程.
求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪演练3 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，
半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，1234解析 由题意知34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.B2.若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线
D.焦点在x轴上的双曲线12341234解析 将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断.∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.
∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.答案 C123412341234答案 D1234解析 根据双曲线的定义可得.D课堂小结
1.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a (0<2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线，当2a＝0时表示线段F1F2的垂直平方线.
2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.
如果焦点不确定要分类讨论后再用待定系数法求解或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解.课件39张PPT。第二章——圆锥曲线与方程2.2.2 双曲线的几何性质[学习目标]
1.掌握双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.
2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.
3.能区别椭圆与双曲线的性质.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
答案 (1)范围：x≥a或x≤－a；
(2)对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的；
(3)顶点：双曲线有两个顶点A1(－a,0)，A2(a,0).[预习导引]
1.双曲线的几何性质坐标轴原点?等长y＝±x要点一 已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；规律方法 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质.跟踪演练1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.∴a2＝4，b2＝12，焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，要点二 根据双曲线的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：解 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，?由①②联立，无解.若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∵A(2，－3)在双曲线上，跟踪演练2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.(2)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.解 方法一 (首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点P(2，－1)在渐近线y＝－3x的上方还是下方)如图所示，x＝2与y＝－3x交点为Q(2，－6)，P(2，－1)在Q(2，－6)的上方，所以焦点在x轴上.方法二 由渐近线方程y＝±3x，要点三 直线与双曲线的位置关系
例3 直线l在双曲线 上截得的弦长为4，其斜率为2，求l的方程.解 设直线l的方程为y＝2x＋m，设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]规律方法 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系，根的判别式的应用.若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解.解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，1234∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.DA.实半轴长相等 B.虚半轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等12341234解析 因为0可知左焦点(－c,0)在该直线上，
所以－2c＋10＝0.所以c＝5.1234答案 A课堂小结
1.渐近线是双曲线特有的性质，把双曲线的标准方程 (a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是其渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一步.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.课件34张PPT。第二章——圆锥曲线与方程2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程[学习目标]
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线的方程.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三
角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，
并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另
一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，
上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.画出的曲线是什么形状？
点D在移动过程中，满足什么条件？
答案 抛物线 |DA|＝|DC|[预习导引]
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .距离相等焦点准线2.抛物线标准方程的几种形式y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)要点一 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点为(－2,0)；∴抛物线标准方程为y2＝－8x.(2)准线为y＝－1；∴抛物线标准方程为x2＝4y.(3)过点A(2,3)；解 由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2,22＝n·3，?∴所求抛物线方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0).跟踪演练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1) 过点(3，－4)；
解 方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，方法二 设抛物线的方程为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0).(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解 令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.要点二 抛物线定义的应用
例2 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标.解 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题.将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，∴A在抛物线内部.得x＝2.
∴点P坐标为(2,2).规律方法 要注意抛物线的定义在解题中的作用，灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等.跟踪演练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )解析 如图，由抛物线定义知
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，
则所求距离之和的最小值转化为求
|PA|＋|PF|的最小值，则当点P在第一象限且A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值.∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|要点三 抛物线的实际应用
例3 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所
形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，
所以抛物线的方程为x2＝－5y，
点A(－4，y0)在抛物线上，所以管柱OA的长为1.8 m.规律方法 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.跟踪演练3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分高为0.75 m，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系.(如图)
设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，
由题意知A(4，－5)在抛物线上，设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B′时，木船开始不能通航.设B(2，y′)，故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航.12341.已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为( )
A.x2＝－28y B.y2＝28x
C.y2＝－28x D.x2＝28y1234解析 抛物线开口向右，方程为y2＝2px (p>0)的形式，方程为y2＝28x.答案 B2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线
上，则抛物线方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝4x
C.y2＝2x D.y2＝±8x12341234即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.答案 D12341234解析 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为到点F的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到直线l1的距离答案 A12341234过A作AA′⊥准线l，
∴|AF|＝|AA′|，∴x0＝1.答案 C课堂小结
1.抛物线的定义中不可忽略条件：点F不在直线l上.
2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.为避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my (m≠0).课件37张PPT。第二章——圆锥曲线与方程2.3.2 抛物线的几何性质[学习目标]
1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？
答案 (1)范围：x≥0，y∈R；
(2)对称性：抛物线y2＝2px (p>0)关于x轴对称；
(3)顶点：抛物线y2＝2px(p>0)的顶点是坐标原点；
(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫抛物线的离心率.用e表示，由定义可知e＝1.[预习导引]
1.抛物线的几何性质x≥0x≤0y≥0y≤0?x1＋x2＋p3.直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程
的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 ，此时直线与抛物线有 个公共点.直线斜率不存在时，依据图象判断公共点个数.k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0一没有两平行或重合一要点一 抛物线的几何性质
例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，
其准线方程分别为x＝－3或x＝3.规律方法 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.且抛物线的焦点在x轴正半轴上，要点二 抛物线的焦点弦问题
例2 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在直线的方程及|P1P2|.解 设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2).∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.规律方法 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.跟踪演练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
解 因为直线l的倾斜角为60°，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝5，∴|AB|＝5＋3＝8.(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，要点三 直线与抛物线的位置关系
例3 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解 由题意，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0. ①(1)当k＝0时，由方程①得y＝1.(2)当k≠0时，方程①的判别式为
Δ＝－16(2k2＋k－1).
1°由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，2°由Δ>0，得2k2＋k－1<0，3°由Δ<0，即2k2＋k－1>0，综上，我们可得规律方法 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.跟踪演练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解.∴直线BC的斜率为定值.12341.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.y2＝8x或y2＝－8x D.x2＝8y或x2＝－8y
解析 设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，p＝4.C2.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )12341234解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，答案 B1234?1234解析 因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.设此直线与抛物线相切有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.1234?答案 C12344.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝01234解析 设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，答案 A课堂小结
1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.
2.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3.直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.课件28张PPT。第二章——圆锥曲线与方程1知识网络 系统盘点，提炼主干2要点归纳 整合要点，诠释疑点3题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程，能够用“坐标法”研究椭圆的基本性质，能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.
2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.题型一 圆锥曲线定义的应用
研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题.解析 设点B为椭圆的左焦点，则B(－3,0)，点M(1,2)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，跟踪演练1 抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )
A.x1，x2，x3成等差数列 B.y1，y2，y3成等差数列
C.x1，x3，x2成等差数列 D.y1，y3，y2成等差数列
解析 如图，过A、B、C分别作准线的垂线，
垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义：∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，
∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.答案 A题型二 有关圆锥曲线性质的问题
有关求圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等是考试中常见的问题，只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解.C解析 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，答案 D题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题
1.直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点.其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行.2.有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题.
3.这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等.(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围.得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ>0，即m2<3k2＋1. ①又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN.将②代入①得2m>m2，解得0∴AP⊥MN，由m2<3k2＋1，解得－1设直线AB的方程为y＝kx＋m.∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，此时Δ＝12(3k2＋1－m2)>0，当k＝0时，|AB|＝3.综上所述，|AB|max＝2.
∴当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值课堂小结
1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现.
2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，高考对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一个是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.3.圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，高考对此进行重点考查，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等为主进行交汇命题.
4.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线、圆锥曲线的对称轴等都是直线.高考不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题.5.高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.
