8.3 完全平方公式与平方差公式（2）同步练习

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8.3 完全平方公式与平方差公式（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１.平方差公式:两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差．
即(a＋b)(a－b)＝a２－b２．
2.两个两项式相乘,如果符 合平方差公式,则可直接运用平 方差公式进行计算较简便．
3.在计算过程中,可将有些多项式看成一个整体,逆用平方差公式可以使计算简化,从而快捷地得到答案．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．下列运用平方差公式计算，错误的是（ ）．
A. B.
C. D.
2．已知，则的值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
3．计算的结果是（ ）
A. B. C. D. 以上答案都不对
4．[（c2)2+（a2)2][（c2)2-（a2)2]等于（ ）
A. c -a2 B. 4c2 -a8 C. c8 -a8 D. c2 -a4
5．计算20172－2016×2018＋(－1)2017的结果是( )
A. 0 B. 1 C. －1 D. 3
6．用简便方法计算40×39，变形正确的是( )
A. (40＋)(39＋) B. (40＋)(40－)
C. (40＋)(40－) D. (40－)(40－)
7．如果(2x＋3y)M＝9y2－4x2，那么M表示的式子为( )
A. 2x＋3y B. 2x－3y C. －2x－3y D. －2x＋3y
8．若， ，则a－b的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
9．设x+y+z=6，x+y-z=7，则 （x+y）-z的值是（ ）
A. 13 B. 42 C. 1 D. 30
10．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，则他们两人谁摆的面积大？（ ）
A. 小刚 B. 小明 C. 同样大 D. 无法比较
二、填空题
11．102×98等于_______；
12．（-x+2y）（-x-2y）等于_______；
13．在一个边长为11.75cm的正方形纸板内，剪去一个边长为8.25cm的正方形，剩下部分的面积等于__cm2.
14．如图，从边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是_____________
15．已知是三角形的三边，那么代数式的值_______0（填>或<号）
16．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________） 2-（__________） 2．
三、解答题
17．计算．
(1)(0.25x-)(0.25x+0.25)；
(2)(x-2y)(-2y-x)-(3x+4y)(-3x+4y)；
(3)(2a+b-c-3d) (2a-b-c+3d)；
(4)(x-2)(16+x4)(2+x)(4+x2)．
18．先化简,再求值:(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷(-a2b)2,其中ab=-.
19．用简便方法计算：1002－992＋982－972＋…22－12
20．某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢 相差多少平方米
21．探究活动：
（）如图①，可以求出阴影部分的面积是__________．（写成两数平方差的形式）
（）如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是__________．（写成多项式乘法的形式）
（）比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式__________．
知识应用，运用你所得到的公式解决以下问题：
（）计算： ．
（）若， ，求的值．
22．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘 数”．如：4＝22-02，12＝42-22，20＝62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
(1)28和2012这两个数是神秘数吗 为什么
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗 为什么
(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗 为什么
参考答案
1．C
【解析】根据“平方差公式： ”分析可知，四个选项中，计算正确的是A、B、D，错误的是C.
故选C.
2．D
【解析】∵，
∴=.
故选D.
3．A
【解析】原式=
=
=.
故选A.
4．C
【解析】根据平方差公式和幂的乘方法则可得：[（c2)2+（a2)2][（c2)2-（a2)2]= =c8 -a8，故选C.
点睛：本题考查了平方差公式的运用，两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2，正确运用平方差公式是解本题的关键．解题时注意运算顺序.
5．A
【解析】试题解析：20172－2016×2018＋(－1)2017
=20172－（2017-1）（2017+1）－1
=20172－20172+1-1
=0.
故选A.
6．B
【解析】试题解析：运用平方差进行变形为：40×39=(40＋)(40－).
故选B.
7．D
【解析】试题解析：∵（3y+ 2x）（3y-2x）=9y2-4x2，
∴M表示的式子为3y-2x，即-2x+3y．
故选D．
8．B
【解析】∵， ，
∴由a2 b2=(a+b)(a b)得到： =（a-b），
∴a－b=.
故选：B.
9．B
【解析】解：（x+y）2-z2=（x+y+z）（x+y-z）=42．故选B．
10．B
【解析】试题解析：设三个木棒的长度分别为x﹣1、x和x+1，
则小明所摆正方形的面积为x2，小刚所摆长方形的面积为（x+1）（x﹣1），
∵x2﹣（x+1）（x﹣1）=x2﹣（x2﹣1）=x2﹣x2+1=1＞0，
∴x2＞（x+1）（x﹣1），
∴小明所摆的正方形的面积大于小刚所摆长方形的面积，
故选B．
11．9996
【解析】102×98=（100+2）×（100-2）=10000-4=9996.
12．x2-4y2
【解析】根据平方差公式可得：（-x+2y）（-x-2y）=x2-4y2.
点睛：本题考查了平方差公式的运用，两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差，即(a+b)(a-b)=a2-b2，正确运用平方差公式是解本题的关键．
13．70
【解析】试题解析：剩下部分的面积是11.752-8.252=（11.75+8.25）（11.75-8.25）=20×3.5=70，
故答案为：70．
14．
【解析】大正方形的面积 小正方形的面积=a2 b2，
矩形的面积=(a+b)(a b)，
故a2 b2=(a+b)(a b).
故答案为： .
点睛：本题主要考查平方差公式的几何意义，用这两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键.
15．<
【解析】a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．
∴a2-2ab+b2-c2＜0．
故答案是：<．
16． m n+p+q
【解析】(m+n+p+q)(m-n-p-q)=[m+(n+p+q)][m-(n+p+q)]= ，故答案为(1)m，(2)n+p+q.
点睛：本题主要考查了平方差公式，平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，多项式与多项相乘时，要注意观察能否将其中符号相同的项结合成为一项后，再运用平方差公式运算.
17．(1) x2- (2)8x2-l2y2 (3)(2a-c)2-( b-3d)2 (4)x8-256
【解析】试题分析：
（1）把小数化为分数，提公因式后用平方差公式计算；
（2）先用平方差公式进行计算，再去括号，合并同类项；
（3）先分组[(2a-c)+(b-3d)][(2a-c)-(c-3d)]，再用平方差公式运算；
（4）将原式化为(x-2)(x+2)(x2+4)(x4+16)，再用平方差公式运算.
试题解析：
（1）原式===；
（2）原式=(-2y+x)(-2y-x)-(4y+3x)(4y-3x)= =；
（3）原式=[(2a-c)+(b-3d)][(2a-c)-(b-3d)]= ；
（4）原式=(x-2)(x+2)(x2+4)(x4+16)=x8-256.
18．5.
【解析】试题分析：本题考查了整式的化简求值，根据平方差公式，单项式乘以多项式，单项式除以单项式将所给多项式化简，然后代入求值.
解:原式=4-a2+a2-5ab+3a5b3÷a4b2=4-2ab.
当ab=-时,原式=4+2×=5.
19．5050
【解析】试题分析：分别将相邻的两个利用平方差公式进行简便计算，从而将原式转化为1到100的加法计算，从而得出答案．
试题解析：原式=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+…(2+1)×(2-1)=100+99+98+97+…2+1＝5050．
20．改建后的操场比原来的面积小了25平方米
【解析】试题分析：
设操场原来的边长为x米，用含x的式子分别表示出操场原来的面积和改建后的面积，再比较这两个面积的大小.
试题解析：
设操场原来的边长为x米，则原面积为x2平方米，改建后的面积为(x+5)(x-5)平方米，根据题意，得
(x+5)( x-5)- x2＝(x2-52)- x2＝-25．
答：改建后的操场比原来的面积小了25平方米．
21．（）；（）；（）（4）.
【解析】试题分析:根据图形面积公式可得,探究活动:（）,（）,（）,
根据平方差公式进行计算即可.
试题解析:探究活动:（）,（）,（）,
知识应用:（）,
（）∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
22．(1)28和2012都是神秘数 (2)这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数(3)两个连续奇数的平方差不是神秘数．
【解析】试题分析：
（1）将神秘数4开始，将一些神秘数写成如下的形式4=2×2＝22-02，12＝2×6＝42-22，20＝2×10＝62-42，…，则可判断28和2012这两个数是不是神秘数；
（2）将这两个数平方相减，判断它们的差是不是4的倍数；
（3）用n表示出两个连续奇数，求出它们的平方差，判断它们的差是不是4的奇数倍.
(1)找规律：4=2×2＝22-02，12＝2×6＝42-22，20＝2×10＝62-42，
28=2×14＝82-62，…，2012=2×1006＝5042-5022，所以28和2012都是神秘数．
(2)(2k+2)2-(2k)2＝4(2k+1)，因此由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．
(3)由(2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为2k+1是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数．另一方面，设两个连续奇数为2n+1和2n-1，则(2n+1) 2-(2n-1) 2=8n，即两个连续奇数的平方差是8的倍数．因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数．
点睛：本题主要考查了平方差公式的应用，这是一个阅读理解的题型，首先要能理解题目中所定义的神秘数的特征是能表示为两个连续偶数的平方差，根据神秘数的特征，将神秘数用平方差公式表示后观察它的倍数关系的特点即可求解.
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