陕西省黄陵中学2017-2018学年高二（普通班）下学期开学考试数学（理）试题

高二普通班开学考试数学试题（理）
第Ⅰ卷（共60分）
第I卷（选择题60分）
选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。)
1.设命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.下列说法正确的是（ ）
A．若命题：，，则:，；
B．命题已知，若，则或是真命题；
C．设，则是的充分不必要条件；
D．、，如果，则的否命题是，如果，则
4.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
5.如图，面,B为AC的中点， ，且P到直线BD的距离为则的最大值为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
6.如图，在长方体中，点分别是棱上的动点， ,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（　　）
A. B. 7
C. D. 9
8.已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形， 平面， ，则该球的表面积为（ ）
B. C. D.
9．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为(　　)?
A．7 B．8 C．9 D．10
10．正方体 的棱长为1，O是底面 的中心，则O到平面
的距离为(　　)
B． C． D．
11．已知直线的斜率为，它与抛物线相交于A，B两点，为抛物线的焦点， 若
,则＝（ ）
A． B． C． D．
12．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点,使得 ，若这样的直线有且仅有两条,则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某人骑电动车以的速度沿正北方向的公路行驶，在点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是
14.若不等式的解集为，则不等式的解集为
15.抛物线的一条弦过焦点，且，则抛物线的方程为
16.以下四个关于圆锥曲线命题：
①“曲线为椭圆”的充分不必要条件是“”；
②若双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为；
③抛物线的准线方程为；
④长为6的线段的端点分别在、轴上移动，动点满足，则动点的轨迹方程为,其中正确命题的序号为
三、解答题（本大题共6小题，共70分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（本小题满分10分）设：实数满足，其中；：实数满足.
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）某学校为了解该校教师对教工食堂的满意度情况，随机访问了50名教师.根据这50名教师对该食堂的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）从评分在的受访教师中，随机抽取2人，求此2人的评分都在的概率.
19、（本小题满分12分）
有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用表示结果，其中表示第1颗出现的点数（面朝下的数字），表示第2颗出现的点数（面朝下的数字）.
（1）求事件“点数之和不小于4”的概率；
（2）求事件“点数之积能被2或3整除”的概率.
20、（本小题满分12分）
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)：
若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．
21. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22. 已知椭圆的离心率是，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线与椭圆交于两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当实数变化时，求的最大值；
（3）求面积的最大值．
答案
1-4:DBCC 5-8.BBCA 9-12 DADB
14、 15、 16、③④
17.解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0，又a>0，所以a当a＝1时，1由q为真时，实数x的范围是 x3，
若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是(1,3)．
(2) ：x≤a或x≥3a，：x<-2或x>3，
由是的充分不必要条件，有
得018.解：(1)因为(0.004＋0.006＋0.018＋a×2＋0.028)×10＝1，
所以a＝0.022
(2)受访教师中评分在[50，60)的有：
50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访教师中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2…8分
从这5名受访教师中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}
又因为所抽取2人的评分都在[50，60)的结果有3种，即{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，故所求的概率为
19.解（1）所有的基本事件为（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个
“点数之和不小于4”包含的基本事件为（1,3），（1,4），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4）共13个，
所以P（点数之和不小于4）=
（2）“点数之积不能被2或3整除”的对立事件只含一个基本事件（1,1）
所以P（点数之积能被2或3整除）=
20、　(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝.
∴选中的“高个子”有12×＝2(人)，
“非高个子”有18×＝3(人)．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有一名‘高个子’被选中”，
则P(A)＝1－＝1－＝.
∴至少有一人是“高个子”的概率是.
(2)依题意，ξ的取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
∴ξ的分布列如下：
ξ
0
1
2
3
P
21. （1）因为底面是正方形，所以，
因为侧棱平面，平面，所以，
又因为平面平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
（2）
设，则平面，所以，
过作，垂足为，连接，则平面，
又因为平面，所以，所以为二面角的平面角．
在中，为中点，，
又因为，
所以，所以．
故二面角的余弦值为．
22.解：（1）由题意得，得，从而，
所以椭圆的方程为；
（2）设，联立消去，整理得，
由题意知，
所以，，
所以，
所以当且仅当时，有最大值；
（3）点到直线的距离为，从而的面积为
，
（当且仅当，即时，等号成立．）
所以面积的最大值为．