(共22张PPT)
2.4三角形中位线
数学湘教版 八年级下
导入新知
问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么
A
B
新知讲解
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线
∵ D、E分别为AB、AC的中点
∴ DE为△ABC的中位线
D
A
C
B
E
F
三角形的中位线和三角形的中线不同。
注意
同理DF、EF也为△ABC的中位线。
三条中位线
（1）相同之处——都和边的中点有关；
（2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点。
C
B
A
E
D
C
B
A
D
中线DC
中位线DE
新知讲解
如图，EF是△ABC的一条中位线. EF∥BC吗？ 你能猜测出EF和BC具有怎样的位置关系和数量关系吗？为什么？
探究
新知讲解
这个猜测正确吗？你能证明吗？
我猜测EF//BC
我量得EF=1cm，BC=2cm，猜测EF=
新知讲解
新知讲解
已知：在△ABC 中，EF是△ABC 的中位线
求证：EF∥BC，且EF=BC.
证明一： 将△AEF绕点F旋转180°，设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E，F，G 在一条直线上.
由于旋转不改变图形的形状和大小，
所以有CG=AE =BE，GF =EF，∠G =∠AEF.
则 EA∥ CG， 即 BE ∥CG.
新知讲解
∴ 四边形 BCGE 是平行四边形.
∴ EG BC.
又 ∵ EF=FG，
∴ EF=EG=BC.
∴EF BC.
//
=
//
=
证明二：
在△AEF和△CFG中
∴△ADE≌△CFE，
∴CG=AE , ∠A=∠ACG
∴CF=BE,CF//BE
∴四边形BCGE是平行四边形
∴EF//BC,EF=EG=BC
延长EF到G,使EF=FG , 连接CG
新知讲解
新知讲解
三角形的中位线的定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
用符号语言表示
∵AE=EB AF=FC
∴ EF∥BC，EF=BC.
表示位置关系------平行于第三边；
表示数量关系------等于第三边的一半。
应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个。
说明：
①如果三边的长分别为a、b、c，那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？
思考：
知识拓展
解：∵DE,DF,EF分别为BC,AC,AB的中位线
∴DE=BC,DF=
设BC=a,AC=b,AB=c
∵△ABC的周长=AB+BC+AC
=a+b+c
∴△DEF的周长=
=
②已知三角形的面积是S, 顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少？
解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE=BC，DF=AC，EF=AB，
∵DE//BC
∴△BDF,△CEF和△DEF的高相等
∴=
∴
同理可得：
∴ =
即==
知识拓展
新知讲解
例、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
新知讲解
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC
又∵HG是△DAC的一条中位线，
∴HG∥AC，且HG=AC
∴EF∥HG，EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形。
解：连接AC.
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形。
学以致用
在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。
C
D
E
如果DE=20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？
如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？
解：AB的距离是40m
理由如下：
∵DE是△ABC的中线 ∴DE=
∵DE=20m ∴AB=40m
巩固提升
1.如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2、由三角形的三条中位线围成的三角形的周长是6，则这个三角形的周长是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
C
D
巩固提升
3.如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是__________ .
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC，若AB＝10，则EF的长是__________.
平行四边形
5
巩固提升
5、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，点D是AB的中点，BC=20，AC=14，求DE的长.
巩固提升
解：在△ACE和△FCE中，
∴△ACE≌△FCE(ASA).
∴AE=EF，AC=CF=14.
又AD=BD，
∴DE=BF=(BC-CF)=(20-14)=3.
课堂小结
三角形中位线
1.三角形中位线
3.三角形的中位线定理的应用
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
表示位置关系------平行于第三边；
表示数量关系------等于第三边的一半。
谢谢
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2.4中心对称和中心对称图形练习题
一、选择题
1. 如图，DE是△ABC的中位线，则△ABC与△ADE的周长的比是 ( )
A．1:2 B．2:1 C．1:3 D．3:121教育网
2.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为( )21·cn·jy·com
A．50° B．60° C．70° D．80°
3. 如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4. 如图所示，已知点E、F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G，FG=3，则CF的长为（ ） 2·1·c·n·j·y
A．4 B．4.5 C．6 D．9
5. 如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，再连结第三个三角形三边的中点构成第四个三角形，…，依此类推，则第n个三角形的周长为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．()n－2 B．()n－1 C．()n D．()n＋1
二、填空题
6. 如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于 米．www.21-cn-jy.com
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD=5cm，则EF= cm．www-2-1-cnjy-com
8. 如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝ .2-1-c-n-j-y
9. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC上的中点，AB＝5，CD＝7，则四边形EFGH的周长为____．21*cnjy*com
10. 如图所示，已知点分别是中边的中点，相交于点，，则的长为 .
三、解答题
11. 如图，△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC，AE⊥CD于E，F是BC中点.
求证：BD=2EF.
12. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF∥AB交BC于F，若EF=3，求AB的长.21·世纪*教育网
13. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．
14.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点. 若AB=BC=3DE=12，21世纪教育网版权所有
求四边形DEFG的周长.
答案：
1．B
2．C
3．D
4. D
5.B
6．1.2
7．解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD=AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB=2CD=2×5=10cm，
∴EF=×10=5cm．
故答案为：5
8． 1∶4
9．12
10. 6
11. 解析：【解答】证明：∵AD=AC，AE⊥CD，∴CE=DE.
又∵F是BC中点，∴BD=2EF.
12. 解：过D作DG∥AB交BC于G，∵AD∥BC，AB∥DG，
∴四边形ABGD是平行四边形，∴AB=DG.
∵EF∥AB，∴EF∥DG，∵DE=CE，∴GF=CF.
∴EF是△CDG的中位线，∴EF=DG.
∴DG=2EF=6，即AB=6.
（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
由（1）可知，BM=AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN2=BM2+MN2，
由（1）可知MN=BM=AC=1，
∴BN=
14.答案：25
解析：【解答】∵AB=BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4.
∵AD⊥BC，G是AB的中点，∴DG=AB=6.
∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，
∴FG=BC=9，EF=AB=6.
∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25.
【分析】直接运用三角形中位线性质定理求出GE和EF的值，利用直角三角形的性质求出DG的值，即可求出周长.21cnjy.com
A
F
E
C
B
F
E
D
C
B
A
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湘教版数学八年级下册2.4三角形的中位线课时教学设计
课题 三角形中位线 单元 2 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 利用多媒体课件，创设问题情境，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维
能力目标 借助动手操作及动画变换等形式的直观演示，引导学生通过观察、实验、猜测、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力，掌握三角形中位线定理
知识目标 1.知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同； 2.理解三角形中位线定理，并能运用它解决有关问题。
重点 掌握和运用三角形中位线性质
难点 三角形中位线定理的证明及应用
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 问题：A、B两点被池塘隔开,如何测量A、B两点距离呢？为什么 学生：积极思考带着问题参与新课. 通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 探究 三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。∵ D、E分别为AB、AC的中点 ∴ DE为△ABC的中位线 同理DF、EF也为△ABC的中位线。 注意:三角形的中位线和三角形的中线不同（1）相同之处——都和边的中点有关；（2）不同之处： 三角形中位线的两个端点都是边的中点； 三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点。 探究如图，EF是△ABC的一条中位线. EF∥BC吗？ 你能猜测出EF和BC具有怎样的位置关系和数量关系吗？为什么？这个猜测正确，你能证明吗？已知：在△ABC 中，EF是△ABC 的中位线求证：EF∥BC，且EF=BC. 解：将△AEF绕点F旋转180°，设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E，F，G 在一条直线上. 由于旋转不改变图形的形状和大小， 所以有CG=AE =BE，GF =EF，∠G =∠AEF. 则 EA∥ CG， 即 BE ∥CG.∴ 四边形 BCGE 是平行四边形.∴ EG=BC，EG//BC. 又 ∵ EF=FG，∴ EF=EG=BC.∴EF= BC,EF//BC证明二：延长EF到G,使EF=FG , 连接CG在△AEF和△CFG中∴△ADE≌△CFE，∴CG=AE , ∠A=∠ACG∴CF=BE,CF//BE∴四边形BCGE是平行四边形∴EF//BC,EF=EG=BC三角形的中位线的定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半用符号语言表示∵AE=EB AF=FC∴ EF∥BC，EF=BC.说明：表示位置关系------平行于第三边；表示数量关系------等于第三边的一半应用时要具体分析，需要哪一个就用哪一个。思考：①如果三边的长分别为a、b、c，那么顺次连接各边中点所得的三角形周长是多少？②已知三角形的面积是S, 顺次连接各边中点所得的三角形面积是多少？例、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形。练一练：如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？解：在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。如果DE=20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？ 教师提出问题，引导学生观察得出三角形中位线的定义，并且能区分中位线和中线观察图形，思考拼图成平行四边形的方法。引导学生观察拼图演示，循 循善导学生思考问题，激发和鼓励学生 大胆猜想自主归纳并组织语言作答，交流与讨论，在教师的引导下探究中位线性质的证明方法。启发学生分析，引导学生归纳探究三角形中位线与第三边的关系，层层理清命题证明的思路，简化证明方法。 学生试着分析这两个问题，得出结论。教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，教师渗透综合分析法。学生口答，教师板书解题过程。回到问题，解决问题学生自主解答 让学生动手动脑，自主发现和认识中位线定义。 并运用了类比和比较的方式，让学生加深对定义的理解让学生在特定的数学活动中经历三角形中位线性质定理的形成过程，通过操作、观察、分析、推理、归纳总结出了一般性的结论。师生共同完成推理过程。让学生体会一题多解的数学思想，引导学生多角度多方位思考问题培养学生独立思考，总结归纳的能力。学生审题是解题的关键，通过运用三角形中位线的性质学会解决简单的实际问题，培养了学生的应用意识。将图形与证明、图形的变换进行有机的整合，同时训练学生能够清晰有条理的表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据的意识。让学生自己动手解答问题，检验知识的掌握情况。
巩固提升 1.如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为( ) A.30° B.60° C.120° D.150°答案：C2、由三角形的三条中位线围成的三角形的周长是6，则这个三角形的周长是( ) A.6 B.8 C.10 D.12答案：D3.如图，顺次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是__________ .答案：平行四边形4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF= / BC，若AB＝10，则EF的长是__________.答案：55、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，AE⊥CE，延长AE交BC于点F，点D是AB的中点，BC=20，AC=14，求DE的长. 答案：解：在△ACE和△FCE中，∴△ACE≌△FCE(ASA). ∴AE=EF，AC=CF=14. 又AD=BD， ∴DE=BF=(BC-CF)=(20-14)=3. 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？ 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 2.4三角形的中位线三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
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