8.4 因式分解（3）同步练习
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8.4 因式分解（3）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.因式分解有时无法直接用提公因式法或公 ( http: / / www.21cnjy.com )式法分解因式,需先分组,分组后利用提公因式法 或运用公式法继续分解,如ax＋ay＋bx＋by＝ (a＋b)(x＋y) ．
2.借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我 ( http: / / www.21cnjy.com )们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）． 21·世纪*教育网
3．因式分解的一般步骤为:一提、二套、三分 ( http: / / www.21cnjy.com )组．即首先考虑的是公因式,再看能不能用公式,若前两者都不行,再考虑能不能用分组分解法分解因式． 21*cnjy*com
4．分解因式一直分解到每个因式都不能再分解为止．
基础知识和能力拓展精练
一、择选题
1．下列分解因式正确的是( )
A. m3-m=m(m-1 ( http: / / www.21cnjy.com ))(m+1) B. x2-x-6=x(x-1)-6 C. 2a2+ab+a=a(2a+b) D. x2-y2=(x-y)2
2．若(x－3)(x＋5)是x2＋px＋q的因式，则q为( )
A. －15 B. －2 C. 8 D. 2
3．已知不论x为何值，x2-kx-15=(x+5)(x-3)，则k值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 5 D. -3
4．下列因式分解错误的是（ ）
A. 3x2－6xy＝3x(x－3y) B. x2－9y2＝(x－3y)(x+3y)
C. 4x2+4x+1＝(2x+1)2 D. x2－y2+2y-1＝(x+y+1)(x－y－1)【来源：21cnj*y.co*m】
5．因式分解： 的结果为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6．因式分解：x2－2x＋（x－2）＝__________．
7．若a＋2c＝3b，则a2－9b2＋4c2＋4ac＝________．
8．分解因式: a2 2ab+b2 c2 =_________________ ． y2 7y+12=_____________ ．
9．（2017广西百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
( http: / / www.21cnjy.com )
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣521教育名师原创作品
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：，则．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：______．www.21-cn-jy.com
三、解答题
10．（1）；（2）；（3）；(4)
11．在多项式x+1，x+2，x+3， ( http: / / www.21cnjy.com )x2+2x﹣3，x2+2x﹣1，x2+2x+3中，哪些是多项式（x2+2x）4﹣10（x2+2x）2+9的因式？
12．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小矩形，且> ．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为10，四个正方形的面积和为58，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
=
====
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式： ；
（2）已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽．
14．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：
（）用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式．
（）求证： ， 取任何实数时，多项式的值总为正数．
15．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”.
（1）求证：对任意“好数”m，m2-64一定为20的倍数；
（2）若m=p2-q2，且p，q为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定： ，例如68=182-162，称数对（18,16）为“友好数对”，则，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值.
16．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： ＝
＝
＝＝
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
17．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
参考答案
1．A
【解析】m3－m=m（m2－1）=m（m+1）（m－1），所以A选项正确；
x2－x－6=（x－3）（x+2）所以B选项错误；
2a2+ab+a=a（2a+b+1），所以C选项错误；
x2－y2=（x+y）（x－y），所以D选项错误.
故选A.
点睛：因式分解的时候优先提取公因式，提取公因式以后若括号里面还能因式分解，则要继续因式分解，直到不能因式分解为止.21教育网
2．A
【解析】∵(x－3)(x＋5)=x2＋2x-15=x2＋px＋q，
∴q=-15.
故选A.
点睛: 根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解是解决这类问题的基本思路．【出处：21教育名师】
3．B
【解析】∵x2-kx-15=(x+5)(x-3)=x2+2x-15，
∴k=-2.
故选B.
点睛：因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k的值即可．
4．D
【解析】对于A，3x2－6xy＝3x(x－3y)，分解正确；
对于B，x2－9y2＝(x－3y)(x+3y)，分解正确；
对于C，4x2+4x+1＝(2x+1)2，分解正确.
对于D，x2－y2+2y-1＝(x+y+1)(x－y－1) ,不能分解因式；
故选D.
5．D
【解析】A.原式=x2 +17x 18；
B.原式=x2+11x+18；
C.原式=x2+3x 18；
D.原式=x2+7x 18.
故选：D.
6．（x＋1）（x－2）．
【解析】原式-x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1)，
故答案为：（x-2）(x+1).
7．0
【解析】a2－9b2＋4c2＋4ac
=a2＋4c2＋4ac－9b2
=(a+2c)2-(3b)2
=(a+2c+3b)(a+2c-3b)
∵a＋2c＝3b，
∴原式=(a+2c+3b)(a+2c-3b)= =(3b+3b)(3b-3b)=0.
点睛：本题考查了分组分解法分解因式 ( http: / / www.21cnjy.com )及整体代入法求代数式的值.先把a2＋4c2＋4ac作为一组，利用完全平方公式可分解为(a+2c)2，从而原式变为(a+2c)2-(3b)2，再利用平方差公式可分解为(a+2c+3b)(a+2c-3b)，然后把a＋2c＝3b代入即可.21*cnjy*com
8． (a-b+c)(a-b-c) (y-3)(y-4)
【解析】分析：本题是考查的因式分解中的公式法进行因式分解.
解析：a2 2ab+b2 c2= y2 7y+12= .
故答案为(1). (a-b+c)(a-b-c) (2). (y-3)(y-4).
9．（x+3）（3x﹣4）．
【解析】试题解析：=（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）．
10．（1）（x-y）(2a+3b ( http: / / www.21cnjy.com )）；（2）(25a2+81b2)(5a+9b)(5a-9b)；（3）-a(1+a)2；（4）(x-4)(x-3)
【解析】试题分析：（1）先改变符号，再提出公因式提出即可；（2）利用平方差公式进行两次分解即可；（3）先提出-a,再把括部分用完全平方式因式分解；（4）直接利用十字相乘法因式分解即可.21世纪教育网版权所有
试题解析：（1）原式==
（2）原式==(25a2+81b2) (25a2-81b2) =(25a2+81b2)(5a+9b)(5a-9b)
（3）原式== -a(1+a)2
（4）原式=(x-4)(x-3)
11．答案见解析.
【解析】试题分析：
把多项式（x2+2x）4﹣10（x2+2x）2+9因式分解后，再来求解.
试题解析：
（x2+2x）4﹣10（x2+2x）2+9=[（x2+2x）2﹣1][（x2+2x）2﹣9]
=（x2+2x+1）（x2+2x﹣1）（x2+2x+3）（x2+2x﹣3）
=（x+1）2（x2+2x﹣1）（x2+2x+3）（x﹣1）（x+2），
x+1，x+2，x2+2x﹣1，x2+2x+3是多项式（x2+2x）4﹣10（x2+2x）2+9的因式．
12．（1） (m＋2n)(2m＋n)；（2）42 cm.
【解析】试题分析：（1）根据图象由长方形面积 ( http: / / www.21cnjy.com )公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．www-2-1-cnjy-com
试题解析：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得，2m2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．【版权所有：21教育】
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．
13．（1）； （2）长为时这个长方形的宽为
【解析】试题分析：按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
试题解析：(1)
=
====
(2) ∵
=
=
∴长为时这个长方形的宽为．
14．（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法把x2+y2-4x-6y+15变形成（x-2）2+（y-3）2+2，再根据平方的非负性，可得答案．21·cn·jy·com
试题解析：解：（）
．
（）证明：
．
∵， ，
∴．
故， 取任何实数时，多项式的值总为正数．
15．（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：
（1）设的十位数字为，则由题意可得： ，由此可得： ，由此可得一定是20的倍数；
（2）设的十位数字为，则由题意可得： ，结合，且为正整数及分=1或2或3或4进行讨论求得符合条件的的值，再求得对应的H（m）的值并比较大小即可求得本题答案.2·1·c·n·j·y
试题解析：
（1）设的十位数字为，则由题意可得： ，
∴，
∵为两位正整数的十位数字，
∴是整数，
∴是20的倍数；
（2）设的十位数字为，则由题意可得： ，
∵，且为正整数，
∴，
又∵，
∴①当时， ，此时没有满足条件的；
②当时， ，此时满足条件的是数对（8，6），即，故H（28）=；
③当时， ，此时没有满足条件的；
④当时， ，此时满足条件的有数对（7，1）、（8，4）、（13，11），即，故H（48）=或H（48）=或H（48）=；21cnjy.com
综上所述，∵，
∴小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值为.
点睛：（1）个位数为8的两位正整数可表示为： ，其中为正整数，且；（2）解第1小题这类题通常需把所涉及的数用代数式表达出来，再通过分解因式即可完成证明；（3）解第2小题时，抓住：“， ， 为正整数， ”这几个条件综合分析即可找到所有符合条件的，再分别求出对应的H（m）=并比较大小即可得到本题答案.2-1-c-n-j-y
16．（1） ；（2）；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
试题解析：解：（1）
=
=
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
=
=
=
=
（3）证明：
=
=
∵≥0， ≥0，
∴．
∴x，y取任何实数时，多项式的值总是正数．
点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．
17．(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】试题分析：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
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8.4 因式分解（3）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.因式分解有时无法直接用提公因式法或公 ( http: / / www.21cnjy.com )式法分解因式,需先分组,分组后利用提公因式法 或运用公式法继续分解,如ax＋ay＋bx＋by＝ (a＋b)(x＋y) ．
2.借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我 ( http: / / www.21cnjy.com )们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）． 21·世纪*教育网
3．因式分解的一般步骤为:一提、二套、三分 ( http: / / www.21cnjy.com )组．即首先考虑的是公因式,再看能不能用公式,若前两者都不行,再考虑能不能用分组分解法分解因式． 21*cnjy*com
4．分解因式一直分解到每个因式都不能再分解为止．
基础知识和能力拓展精练
一、择选题
1．下列分解因式正确的是( )
A. m3-m=m(m-1 ( http: / / www.21cnjy.com ))(m+1) B. x2-x-6=x(x-1)-6 C. 2a2+ab+a=a(2a+b) D. x2-y2=(x-y)2
2．若(x－3)(x＋5)是x2＋px＋q的因式，则q为( )
A. －15 B. －2 C. 8 D. 2
3．已知不论x为何值，x2-kx-15=(x+5)(x-3)，则k值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 5 D. -3
4．下列因式分解错误的是（ ）
A. 3x2－6xy＝3x(x－3y) B. x2－9y2＝(x－3y)(x+3y)
C. 4x2+4x+1＝(2x+1)2 D. x2－y2+2y-1＝(x+y+1)(x－y－1)【来源：21cnj*y.co*m】
5．因式分解： 的结果为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6．因式分解：x2－2x＋（x－2）＝__________．
7．若a＋2c＝3b，则a2－9b2＋4c2＋4ac＝________．
8．分解因式: a2 2ab+b2 c2 =_________________ ． y2 7y+12=_____________ ．
9．（2017广西百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
( http: / / www.21cnjy.com )
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣521教育名师原创作品
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：，则．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：______．www.21-cn-jy.com
三、解答题
10．（1）；（2）；（3）；(4)
11．在多项式x+1，x+2，x+3， ( http: / / www.21cnjy.com )x2+2x﹣3，x2+2x﹣1，x2+2x+3中，哪些是多项式（x2+2x）4﹣10（x2+2x）2+9的因式？
12．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为、宽为的全等小矩形，且> ．（以上长度单位：cm）
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为10，四个正方形的面积和为58，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
=
====
问题解决：
（1）请你按照上面的方法分解因式： ；
（2）已知一个长方形的面积为，长为，求这个长方形的宽．
14．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：
根据以上材料，解答下列问题：
（）用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式．
（）求证： ， 取任何实数时，多项式的值总为正数．
15．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”.
（1）求证：对任意“好数”m，m2-64一定为20的倍数；
（2）若m=p2-q2，且p，q为正整数，则称数对(p,q)为“友好数对”，规定： ，例如68=182-162，称数对（18,16）为“友好数对”，则，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值.
16．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式, 我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： ＝
＝
＝＝
根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：
老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：
（3）求证：x，y取任何实数时，多项式的值总为正数．
17．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
参考答案
1．A
【解析】m3－m=m（m2－1）=m（m+1）（m－1），所以A选项正确；
x2－x－6=（x－3）（x+2）所以B选项错误；
2a2+ab+a=a（2a+b+1），所以C选项错误；
x2－y2=（x+y）（x－y），所以D选项错误.
故选A.
点睛：因式分解的时候优先提取公因式，提取公因式以后若括号里面还能因式分解，则要继续因式分解，直到不能因式分解为止.21教育网
2．A
【解析】∵(x－3)(x＋5)=x2＋2x-15=x2＋px＋q，
∴q=-15.
故选A.
点睛: 根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解是解决这类问题的基本思路．【出处：21教育名师】
3．B
【解析】∵x2-kx-15=(x+5)(x-3)=x2+2x-15，
∴k=-2.
故选B.
点睛：因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k的值即可．
4．D
【解析】对于A，3x2－6xy＝3x(x－3y)，分解正确；
对于B，x2－9y2＝(x－3y)(x+3y)，分解正确；
对于C，4x2+4x+1＝(2x+1)2，分解正确.
对于D，x2－y2+2y-1＝(x+y+1)(x－y－1) ,不能分解因式；
故选D.
5．D
【解析】A.原式=x2 +17x 18；
B.原式=x2+11x+18；
C.原式=x2+3x 18；
D.原式=x2+7x 18.
故选：D.
6．（x＋1）（x－2）．
【解析】原式-x(x-2)+(x-2)=(x-2)(x+1)，
故答案为：（x-2）(x+1).
7．0
【解析】a2－9b2＋4c2＋4ac
=a2＋4c2＋4ac－9b2
=(a+2c)2-(3b)2
=(a+2c+3b)(a+2c-3b)
∵a＋2c＝3b，
∴原式=(a+2c+3b)(a+2c-3b)= =(3b+3b)(3b-3b)=0.
点睛：本题考查了分组分解法分解因式 ( http: / / www.21cnjy.com )及整体代入法求代数式的值.先把a2＋4c2＋4ac作为一组，利用完全平方公式可分解为(a+2c)2，从而原式变为(a+2c)2-(3b)2，再利用平方差公式可分解为(a+2c+3b)(a+2c-3b)，然后把a＋2c＝3b代入即可.21*cnjy*com
8． (a-b+c)(a-b-c) (y-3)(y-4)
【解析】分析：本题是考查的因式分解中的公式法进行因式分解.
解析：a2 2ab+b2 c2= y2 7y+12= .
故答案为(1). (a-b+c)(a-b-c) (2). (y-3)(y-4).
9．（x+3）（3x﹣4）．
【解析】试题解析：=（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）．
10．（1）（x-y）(2a+3b ( http: / / www.21cnjy.com )）；（2）(25a2+81b2)(5a+9b)(5a-9b)；（3）-a(1+a)2；（4）(x-4)(x-3)
【解析】试题分析：（1）先改变符号，再提出公因式提出即可；（2）利用平方差公式进行两次分解即可；（3）先提出-a,再把括部分用完全平方式因式分解；（4）直接利用十字相乘法因式分解即可.21世纪教育网版权所有
试题解析：（1）原式==
（2）原式==(25a2+81b2) (25a2-81b2) =(25a2+81b2)(5a+9b)(5a-9b)
（3）原式== -a(1+a)2
（4）原式=(x-4)(x-3)
11．答案见解析.
【解析】试题分析：
把多项式（x2+2x）4﹣10（x2+2x）2+9因式分解后，再来求解.
试题解析：
（x2+2x）4﹣10（x2+2x）2+9=[（x2+2x）2﹣1][（x2+2x）2﹣9]
=（x2+2x+1）（x2+2x﹣1）（x2+2x+3）（x2+2x﹣3）
=（x+1）2（x2+2x﹣1）（x2+2x+3）（x﹣1）（x+2），
x+1，x+2，x2+2x﹣1，x2+2x+3是多项式（x2+2x）4﹣10（x2+2x）2+9的因式．
12．（1） (m＋2n)(2m＋n)；（2）42 cm.
【解析】试题分析：（1）根据图象由长方形面积 ( http: / / www.21cnjy.com )公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可；
（2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可．www-2-1-cnjy-com
试题解析：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）；
（2）依题意得，2m2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．【版权所有：21教育】
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键．
13．（1）； （2）长为时这个长方形的宽为
【解析】试题分析：按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．
试题解析：(1)
=
====
(2) ∵
=
=
∴长为时这个长方形的宽为．
14．（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法把x2+y2-4x-6y+15变形成（x-2）2+（y-3）2+2，再根据平方的非负性，可得答案．21·cn·jy·com
试题解析：解：（）
．
（）证明：
．
∵， ，
∴．
故， 取任何实数时，多项式的值总为正数．
15．（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：
（1）设的十位数字为，则由题意可得： ，由此可得： ，由此可得一定是20的倍数；
（2）设的十位数字为，则由题意可得： ，结合，且为正整数及分=1或2或3或4进行讨论求得符合条件的的值，再求得对应的H（m）的值并比较大小即可求得本题答案.2·1·c·n·j·y
试题解析：
（1）设的十位数字为，则由题意可得： ，
∴，
∵为两位正整数的十位数字，
∴是整数，
∴是20的倍数；
（2）设的十位数字为，则由题意可得： ，
∵，且为正整数，
∴，
又∵，
∴①当时， ，此时没有满足条件的；
②当时， ，此时满足条件的是数对（8，6），即，故H（28）=；
③当时， ，此时没有满足条件的；
④当时， ，此时满足条件的有数对（7，1）、（8，4）、（13，11），即，故H（48）=或H（48）=或H（48）=；21cnjy.com
综上所述，∵，
∴小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值为.
点睛：（1）个位数为8的两位正整数可表示为： ，其中为正整数，且；（2）解第1小题这类题通常需把所涉及的数用代数式表达出来，再通过分解因式即可完成证明；（3）解第2小题时，抓住：“， ， 为正整数， ”这几个条件综合分析即可找到所有符合条件的，再分别求出对应的H（m）=并比较大小即可得到本题答案.2-1-c-n-j-y
16．（1） ；（2）；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得答案；
（2）根据配方法，可得平方差公式，再根据平方差公式，可得答案；
（3）根据交换律、结合率，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
试题解析：解：（1）
=
=
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）
=
=
=
=
（3）证明：
=
=
∵≥0， ≥0，
∴．
∴x，y取任何实数时，多项式的值总是正数．
点睛：本题考查了配方法，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2配方是解题关键．
17．(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.
【解析】试题分析：（1） ( http: / / www.21cnjy.com )直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；
（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；
（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．
试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8．
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