18.1 勾股定理同步练习
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18.1 勾股定理同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：,,
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，已知，则a=( )
A. 1 B. 5 C. 10 D. 25
2．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要( )
A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元
3．如图：图形A的面积是( )
A. 225 B. 144 C. 81 D. 无法确定
4．如图，一艘船以6海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘船以2.5海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距( )
A. 13海里 B. 10海里 C. 6.5海里 D. 5海里
5．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若，则AD的长为( )
A. B. 4 C. D.
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝60°，则AB的长为( )
A. 12米 B. 6米 C. 6米 D. 2米
8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3， )，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )
A. B. C. D. 2
9．如图，△ABC为等边三角形，过点B作BD⊥AC于点D，过D作DE∥BC，且DE＝CD，连接CE、BE，若AB＝8，则BE的长为 （ ）．
A. 10 B. C. D. 12
10．如图，一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12 m，高5 m，要从点A环绕油罐建梯子，正好到达点A的正上方的点B，则梯子最短需要( )
A. 12 m B. 13 m C. 17 m D. 20 m
二、填空题
11．如图，已知OA＝OB，BC＝1，则数轴上的点A所表示的数是__________.
12．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为_________．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝ 3 cm，CD⊥AB于点D，则CD的长为___________．
14．如图所示的阴影部分是两个正方形,其他部分是一个正方形和两个直角三角形,则两个阴影正方形面积的和为_________.
三、解答题
15．如图，已知CD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠D＝90°，BD＝DC，求AC的长．
16．一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？
17．如图，在中，AD是BC边上的高， ，求BC的长结果保留根号
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，CD=PC=2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
19．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100 km到达C点，求A，C两点之间的距离．
20．如图， 中， ， ， ， 、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（）当秒时，求的长．
（）求出发时间为几秒时， 第一次能形成等腰三角形？
（）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
参考答案
1．B
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，b=12，c=13，∴a===5．故选B．
点睛：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
2．C
【解析】如图，作CD⊥AB交BA延长线于点D，
∵∠BAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠DCA=30°，
∵CA=30m，∴DA=15m，∴DC2=302－152=675，∴CD=15m，
∴S△ABC=AB·CD=×20×15=150m2，
∴至少需要花费150a元.
故选C.
点睛：本题关键在于构造辅助线借助勾股定理求出三角形的高进而求出三角形的面积.
3．C
【解析】解：由勾股定理得，A的面积=225﹣144=81．故选C．
4．A
【解析】如图，设2小时后，向东北方向航行的船到达点B处，向东南方向航行的船到达点C处，连接BC，
由题意可知：∠BAC=90°，AB=6×2=12，AC=2.5×2=5，
∴BC=，即离开港口2小时后，两船相距13海里.
故选A.
5．A
【解析】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中：DO2=DC2﹣CO2；
∴AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2= AB2 +DC2﹣（BO2+CO2）=18，∴AD==．故选A．
点睛：本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是在Rt△AOB、Rt△DOC中分别表示出AO2、DO2，需要我们熟练掌握勾股定理的表达形式．
6．C
【解析】解：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，∴ ，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为=13﹣8=5．故选C．
点睛：本题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题的关键．
7．B
【解析】如图，由题意可知，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6米，
∴∠CAB=30°，
∴AC=2BC=12（米），
∴AB=（米）.
故选B.
8．B
【解析】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x轴交于点N，
∵B（3， ），∴OA=3，AB=，∴OB=2，∴∠BOA=30°，
∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，∴AM=1.5，∠OAM=60°，∴∠ADN=30°，
∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，∴AN=1.5，DN=，
∴CN=3－－1.5=1，
∴CD2=CN2+DN2=12+（）2=，∴CD=.
故选B.
点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.
9．B
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠ACB=60°，
又∵DE=DC，
∴△CDE为等边三角形；
过点E作EH⊥BC于H，
，
∵BD⊥AC，
∴CD=AC=AB=4，
又∵△CDE为等边三角形，
∴CE=CD=4，
∵∠ECH=60°，
∴EH=EC sin60°=4×=，CH=EC cos60°=2，BH=10，
∴BE===.
故选：B.
点睛：本题主要考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形.解题时应注意：有一个角时60°的等腰三角形是等边三角形.
10．B
【解析】将圆柱形油罐的侧面展开如图所示，由题意可知，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m，
∴由勾股定理可得：AB=（m），即梯子最短需要13m.
故选B.
点睛：本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题转化到Rt△ABC中，这样就可利用“勾股定理”求出AB的长度，从而得到梯子的最短长度.
11．-
【解析】∵OC=2，BC=1，∴OB=，
∴OA=OB=，
∴点A所表示的数是－.
点睛：本题关键在判断A所表示的数的时候注意符号问题.
12．10．
【解析】∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，
∴BD=8，AB===10．
故答案：10.
13．2.4cm
【解析】如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝ 3 cm，
∴BC=，
∵CD⊥AB于点D，
∴S△ABC=AB·CD=AC·BC=6，
即； CD=6，解得：CD=2.4（cm）.
故答案为：2.4cm.
点睛：本题的解题要点是：首先在Rt△ABC中，由勾股定理求得BC的长，再结合“直角三角形的面积既等于两直角边乘积的一半，也等于斜边和斜边上的高的乘积的一半”列出关于CD的方程，就可使问题得到解决.
14．64
【解析】解：两个阴影正方形的面积和为172﹣152=64．故答案为：64．
15．2
【解析】试题分析：首先由勾股定理可得BC2＝BD2＋DC2，AC2＝AB2＋BC2，则AC2＝AB2＋BD2＋DC2，又由BD＝DC可得AC2＝AB2＋2CD2＝42＋2×62＝88，求出AC即可.
试题解析：
在Rt△BDC和Rt△ABC中，BC2＝BD2＋DC2，AC2＝AB2＋BC2，
则AC2＝AB2＋BD2＋DC2，
又∵BD＝DC，
∴AC2＝AB2＋2CD2＝42＋2×62＝88，
∴AC＝2，即AC的长为2.
点睛：本题关键在于借助勾股定理找出线段之间的关系式求解.
16．这个零件符合要求.
【解析】试题分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.
试题解析：解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°.
在△BDC中,
BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.
所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°.
因此这个零件符合要求.
17．
【解析】试题分析：分别在Rt△ABD和Rt△ADC中根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求得BD、CD的长，则BC=BD+DC，由此其值就可以得到了．
试题解析：解：∵AD是BC边上的高，∠C=60°，∴∠CAD=30°，∴CD=AC．在Rt△ACD中，根据勾股定理，AC2﹣CD2=AD2，（2CD）2﹣CD2=AD2，∴CD=．∵AD是BC边上的高，∠B=45°，∴∠BAD=45°，∴BD=AD=2，∴BC=BD+CD=．
点睛：本题考查了勾股定理，求一般三角形的边常用的方法就是作高，从而把一般三角形的问题转化到直角三角形中进行求解．
18．135°
【解析】试题分析：根据同角的余角相等求出∠ACP=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACP和△BCD全等，判断出△PCD是等腰直角三角形，再根据全等三角形对应边相等可得AP=BD，然后利用勾股定理逆定理判断出△BPD是直角三角形，∠BPD=90°，再根据∠BPC=∠BPD+∠CPD代入数据计算即可得解．
试题解析：
解：连接BD.
∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，
∴△CPD为等腰直角三角形．
∴∠CPD＝45°.
∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD.
∵CA＝CB，
∴△CAP≌△CBD(SAS)．
∴DB＝PA＝3.
在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8.
又∵PB＝1，DB2＝9，
∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.
∴∠DPB＝90°.
∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.
19．200 km．
【解析】试题分析：
由题意易证：△ABC中，∠ABC=90°，这样在△ABC中由勾股定理结合AB=，BC=100，即可求出AC的长.
试题解析：
∵AD∥BE，
∴∠DAB＋∠ABC＋∠CBF＝180°.
又∵由题意可得∠DAB＝60°，∠CBF＝30°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝ （km），即A、C两点间的距离为200km.
20．（）2；（）s;（）为， ， 时为等腰三角形．
【解析】分析：（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
本题解析：
解：（），
，
∵，
．
（）由题得： 即，
，
即出发时间为时， 是等腰三角形．
（）分种情况：
①当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
②当时，
，
∴．
③当时，过点作于，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为， ， 时为等腰三角形．
点睛：本题考查了勾股定理、三角形的面积及三角形的判定与性质；本题有一定的难度，注意分类讨论的思想.
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18.1 勾股定理同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：,,
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，已知，则a=( )
A. 1 B. 5 C. 10 D. 25
2．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要( )
A.450a元 B.225a元 C.150a元 D.300a元
3．如图：图形A的面积是( )
A. 225 B. 144 C. 81 D. 无法确定
4．如图，一艘船以6海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一艘船以2.5海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距( )
A. 13海里 B. 10海里 C. 6.5海里 D. 5海里
5．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若，则AD的长为( )
A. B. 4 C. D.
6．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 （ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6米，∠ACB＝60°，则AB的长为( )
A. 12米 B. 6米 C. 6米 D. 2米
8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3， )，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )
A. B. C. D. 2
9．如图，△ABC为等边三角形，过点B作BD⊥AC于点D，过D作DE∥BC，且DE＝CD，连接CE、BE，若AB＝8，则BE的长为 （ ）．
A. 10 B. C. D. 12
10．如图，一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12 m，高5 m，要从点A环绕油罐建梯子，正好到达点A的正上方的点B，则梯子最短需要( )
A. 12 m B. 13 m C. 17 m D. 20 m
二、填空题
11．如图，已知OA＝OB，BC＝1，则数轴上的点A所表示的数是__________.
12．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为_________．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝ 3 cm，CD⊥AB于点D，则CD的长为___________．
14．如图所示的阴影部分是两个正方形,其他部分是一个正方形和两个直角三角形,则两个阴影正方形面积的和为_________.
三、解答题
15．如图，已知CD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠D＝90°，BD＝DC，求AC的长．
16．一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？
17．如图，在中，AD是BC边上的高， ，求BC的长结果保留根号
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，CD=PC=2，CD⊥CP，求∠BPC的度数．
19．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了 km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100 km到达C点，求A，C两点之间的距离．
20．如图， 中， ， ， ， 、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（）当秒时，求的长．
（）求出发时间为几秒时， 第一次能形成等腰三角形？
（）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
参考答案
1．B
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，b=12，c=13，∴a===5．故选B．
点睛：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
2．C
【解析】如图，作CD⊥AB交BA延长线于点D，
∵∠BAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠DCA=30°，
∵CA=30m，∴DA=15m，∴DC2=302－152=675，∴CD=15m，
∴S△ABC=AB·CD=×20×15=150m2，
∴至少需要花费150a元.
故选C.
点睛：本题关键在于构造辅助线借助勾股定理求出三角形的高进而求出三角形的面积.
3．C
【解析】解：由勾股定理得，A的面积=225﹣144=81．故选C．
4．A
【解析】如图，设2小时后，向东北方向航行的船到达点B处，向东南方向航行的船到达点C处，连接BC，
由题意可知：∠BAC=90°，AB=6×2=12，AC=2.5×2=5，
∴BC=，即离开港口2小时后，两船相距13海里.
故选A.
5．A
【解析】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中：DO2=DC2﹣CO2；
∴AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2= AB2 +DC2﹣（BO2+CO2）=18，∴AD==．故选A．
点睛：本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是在Rt△AOB、Rt△DOC中分别表示出AO2、DO2，需要我们熟练掌握勾股定理的表达形式．
6．C
【解析】解：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，∴ ，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为=13﹣8=5．故选C．
点睛：本题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题的关键．
7．B
【解析】如图，由题意可知，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，BC=6米，
∴∠CAB=30°，
∴AC=2BC=12（米），
∴AB=（米）.
故选B.
8．B
【解析】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x轴交于点N，
∵B（3， ），∴OA=3，AB=，∴OB=2，∴∠BOA=30°，
∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，∴AM=1.5，∠OAM=60°，∴∠ADN=30°，
∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，∴AN=1.5，DN=，
∴CN=3－－1.5=1，
∴CD2=CN2+DN2=12+（）2=，∴CD=.
故选B.
点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.
9．B
【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠ACB=60°，
又∵DE=DC，
∴△CDE为等边三角形；
过点E作EH⊥BC于H，
，
∵BD⊥AC，
∴CD=AC=AB=4，
又∵△CDE为等边三角形，
∴CE=CD=4，
∵∠ECH=60°，
∴EH=EC sin60°=4×=，CH=EC cos60°=2，BH=10，
∴BE===.
故选：B.
点睛：本题主要考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形.解题时应注意：有一个角时60°的等腰三角形是等边三角形.
10．B
【解析】将圆柱形油罐的侧面展开如图所示，由题意可知，在△ABC中，∠C=90°，BC=5m，AC=12m，
∴由勾股定理可得：AB=（m），即梯子最短需要13m.
故选B.
点睛：本题的解题要点是：将圆柱的侧面展开，结合题意就可将问题转化到Rt△ABC中，这样就可利用“勾股定理”求出AB的长度，从而得到梯子的最短长度.
11．-
【解析】∵OC=2，BC=1，∴OB=，
∴OA=OB=，
∴点A所表示的数是－.
点睛：本题关键在判断A所表示的数的时候注意符号问题.
12．10．
【解析】∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，
∴BD=8，AB===10．
故答案：10.
13．2.4cm
【解析】如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝ 3 cm，
∴BC=，
∵CD⊥AB于点D，
∴S△ABC=AB·CD=AC·BC=6，
即； CD=6，解得：CD=2.4（cm）.
故答案为：2.4cm.
点睛：本题的解题要点是：首先在Rt△ABC中，由勾股定理求得BC的长，再结合“直角三角形的面积既等于两直角边乘积的一半，也等于斜边和斜边上的高的乘积的一半”列出关于CD的方程，就可使问题得到解决.
14．64
【解析】解：两个阴影正方形的面积和为172﹣152=64．故答案为：64．
15．2
【解析】试题分析：首先由勾股定理可得BC2＝BD2＋DC2，AC2＝AB2＋BC2，则AC2＝AB2＋BD2＋DC2，又由BD＝DC可得AC2＝AB2＋2CD2＝42＋2×62＝88，求出AC即可.
试题解析：
在Rt△BDC和Rt△ABC中，BC2＝BD2＋DC2，AC2＝AB2＋BC2，
则AC2＝AB2＋BD2＋DC2，
又∵BD＝DC，
∴AC2＝AB2＋2CD2＝42＋2×62＝88，
∴AC＝2，即AC的长为2.
点睛：本题关键在于借助勾股定理找出线段之间的关系式求解.
16．这个零件符合要求.
【解析】试题分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.
试题解析：解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°.
在△BDC中,
BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.
所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°.
因此这个零件符合要求.
17．
【解析】试题分析：分别在Rt△ABD和Rt△ADC中根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求得BD、CD的长，则BC=BD+DC，由此其值就可以得到了．
试题解析：解：∵AD是BC边上的高，∠C=60°，∴∠CAD=30°，∴CD=AC．在Rt△ACD中，根据勾股定理，AC2﹣CD2=AD2，（2CD）2﹣CD2=AD2，∴CD=．∵AD是BC边上的高，∠B=45°，∴∠BAD=45°，∴BD=AD=2，∴BC=BD+CD=．
点睛：本题考查了勾股定理，求一般三角形的边常用的方法就是作高，从而把一般三角形的问题转化到直角三角形中进行求解．
18．135°
【解析】试题分析：根据同角的余角相等求出∠ACP=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACP和△BCD全等，判断出△PCD是等腰直角三角形，再根据全等三角形对应边相等可得AP=BD，然后利用勾股定理逆定理判断出△BPD是直角三角形，∠BPD=90°，再根据∠BPC=∠BPD+∠CPD代入数据计算即可得解．
试题解析：
解：连接BD.
∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，
∴△CPD为等腰直角三角形．
∴∠CPD＝45°.
∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD.
∵CA＝CB，
∴△CAP≌△CBD(SAS)．
∴DB＝PA＝3.
在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8.
又∵PB＝1，DB2＝9，
∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.
∴∠DPB＝90°.
∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.
19．200 km．
【解析】试题分析：
由题意易证：△ABC中，∠ABC=90°，这样在△ABC中由勾股定理结合AB=，BC=100，即可求出AC的长.
试题解析：
∵AD∥BE，
∴∠DAB＋∠ABC＋∠CBF＝180°.
又∵由题意可得∠DAB＝60°，∠CBF＝30°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝ （km），即A、C两点间的距离为200km.
20．（）2；（）s;（）为， ， 时为等腰三角形．
【解析】分析：（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．
本题解析：
解：（），
，
∵，
．
（）由题得： 即，
，
即出发时间为时， 是等腰三角形．
（）分种情况：
①当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
②当时，
，
∴．
③当时，过点作于，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为， ， 时为等腰三角形．
点睛：本题考查了勾股定理、三角形的面积及三角形的判定与性质；本题有一定的难度，注意分类讨论的思想.
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