2018版高中数学全一册学案（打包31套）苏教版选修1_1

1．1.1　四种命题
学习目标　1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．
知识点一　命题的概念
思考　给出下列语句：
(1)若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
(2)3＋6＝7；
(3)偶函数的图象关于y轴对称；
(4)5能被4整除．
请你找出上述语句的特点．
　
　
梳理　(1)定义：能够判断________的语句．
(2)分类
①真命题：判断为________的语句．
②假命题：判断为________的语句．
(3)形式：____________.
知识点二　四种命题的概念
思考　给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
　
　
梳理　一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，原命题：若p则q.
(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________________，那么这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做____________，另一个命题叫做原命题的____________．
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的____________．
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的________________和________________，这两个命题叫做________________．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的________________．
知识点三　四种命题的关系
思考1　为了书写方便常把p与q的否定分别记作“非p”和“非q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？
　
　
思考2　原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与原命题的否命题呢？
　
　
梳理　(1)四种命题之间的关系如下所示：
(2)四种命题的真假关系
①如果两个命题互为逆否命题，那么它们有________的真假性；
②如果两个命题为互逆命题或互否命题，那么它们的真假性________关系．
类型一　命题及其真假的判定
例1　判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．
(1)求证是无理数；
(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；
(3)你是高一学生吗？
(4)一个正整数不是质数就是合数；
(5)x＋y是有理数，则x、y都是有理数；
(6)60x＋9>4.
　
　
　
　
　
反思与感悟　判断一个语句是否为命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
跟踪训练1　下列语句是否为命题？若是，判断其真假，若不是，说明理由．
(1)x>1或x＝1；
(2)如果x＝1，那么x>3；
(3)方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2；
(4)x2－5x＋6＝0.
　
　
　
类型二　四种命题及其相互关系
命题角度1　四种命题的概念
例2　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题：
(1)若x∈A，则x∈A∪B；
(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；
(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.
　
　
反思与感悟　四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练2　命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是________．(填序号)
①若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数；
②若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数；
③若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数；
④若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数．
命题角度2　四种命题真假的判断
例3　下列命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．
其中是真命题的是________．
反思与感悟　要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．
跟踪训练3　下列命题中为真命题的是________．(填序号)
①“正三角形都相似”的逆命题；
②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；
③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
类型三　等价命题的应用
例4　已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
　
　
　
反思与感悟　(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题的真假容易判断时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．
跟踪训练4　证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
　
　
1．下列语句是命题的是________．
①若a>b，则a2>b2；
②a2>b2；
③方程x2－x－1＝0的近似根；
④方程x2－x－1＝0有根吗？
2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是________________．
3．已知直线l1：x＋ay＋1＝0，直线l2：ax＋y＋2＝0，则命题“若a＝1或a＝－1，则直线l1与l2平行”的否命题为__________________________________．
4．下列命题：
①“全等三角形的面积相等”的逆命题；
②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；
③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．
其中真命题的个数是________．
5．已知命题“若m－11．根据命题的意义，可以判断真假的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
提醒：完成作业　第1章　§1.1　1.1.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考　上述语句能够判断真假．
梳理　(1)真假　(2)①真　②假
(3)若p则q
知识点二
思考　命题(1)的条件和结论恰好是命题(2)的结论和条件．命题(1)的条件和结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．
梳理　(1)结论和条件　互逆命题　原命题　逆命题　(2)互否命题　否命题　(3)结论的否定　条件的否定　互为逆否命题　逆否命题
知识点三
思考1　逆命题：若q则p.否命题：若非p则非q.逆否命题：若非q则非p.
思考2　互逆、互否、互为逆否．
梳理　(1)q　p　逆否　互否　非p　非q　互逆　非q　非p(2)①相同
②没有
题型探究
例1　解　(1)是祈使句，不是命题．
(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．
(3)是疑问句，不是命题．
(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．
(5)是假命题，如x＝，y＝－.
(6)不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立．
跟踪训练1　解　(1)不是命题，由于x的值不确定，因此无法作出判断．
(2)是命题，且是假命题，已经明确指定了x的值．
(3)是命题，且是假命题，因为还有一根是x＝3.
(4)不是命题，因为x的值不确定．
例2　解　(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A；
否命题：若x?A，则x?A∪B；
逆否命题：若x?A∪B，则x?A.
(2)逆命题：若a＋b是偶数，
则a，b都是偶数；
否命题：若a，b不都是偶数，
则a＋b不是偶数；
逆否命题：若a＋b不是偶数，
则a，b不都是偶数．
(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，
则a>b；
否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B；
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，
则a≤b.
跟踪训练2　②
例3　①②③
跟踪训练3　②③
例4　证明　原命题的逆否命题：已知a，b，c∈R，若a，b，c都大于或等于，则a＋b＋c≥1.由条件知a≥，b≥，c≥，三式相加得a＋b＋c≥1.
显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题，即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
跟踪训练4　证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1
＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，
则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题正确．
当堂训练
1．①　2.若tan α≠1，则α≠
3．若a≠1且a≠－1，则直线l1与l2不平行
4．2　5.[1,2]
1．1.2　充分条件和必要条件
学习目标　1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假．
知识点一　充分条件与必要条件的概念
给出下列命题：
(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；
(2)若ab＝0，则a＝0.
思考1　你能判断这两个命题的真假吗？
　
　
思考2　命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？
　
　
梳理　
命题真假
“若p则q”为真命题
“若p则q”为假命题
推出关系
p____q
p ____q
条件关系
p是q的______条件
q是p的______条件
p不是q的______条件
q不是p的______条件
知识点二　充要条件的概念
思考1　命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？
　
思考2　若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？
梳理　一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作________．此时，我们说，p是q的________________，简称充要条件．
知识点三　常见的四种条件
1．从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件
如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”
原命题
逆命题
条件p与结论q的关系
结论
真
假
p是q成立的充分不必要条件
假
真
p是q成立的必要不充分条件
真
真
p是q成立的充要条件
假
假
p是q成立的既不充分又不必要条件
2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
前提：设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}．
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件
类型一　充要条件的判断
例1　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)
(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；
(3)p：a>b，q：ac>bc.
　
　
　
反思与感悟　充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法：
①如果命题：“若p则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．
②如果命题：“若p则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1　对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“|a|>|b|”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中为真命题的是________．
类型二　充分条件、必要条件的应用
例2　设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足x2－6x＋5<0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
引申探究
若本例中条件改为：“若p是q的必要不充分条件”，结论又如何？
　
　
　
反思与感悟　(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；若p是q的充分不必要条件，则A?B.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
跟踪训练2　已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．
　
　
类型三　充要条件的证明
例3　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
引申探究
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
　
　
反思与感悟　(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么．
(2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件?结论是证充分性，由结论?条件是证必要性．
跟踪训练3　求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．
　
　
1．设M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
2．“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是___________________________________．
3．下列四个结论中，正确的有________．
①“x2>9”是“x3<－27”的必要不充分条件；
②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；
③“a2>b2”是“a>b的充分不必要条件”；
④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
4．若“x2>1”是“x5．是否存在实数p，使得x2－x－2>0的一个充分条件是4x＋p<0，若存在，求出p的取值范围，否则，说明理由．
　
　
　
1．充分条件、必要条件的判断方法：
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，要证p?q，只需证它的逆否命题非q?非p即可；同理要证p?q，只需证非q?非p即可．所以p?q，只需非q?非p.
(3)利用集合间的包含关系进行判断．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
提醒：完成作业　第1章　§1.1　1.1.2
答案精析
问题导学
思考1　(1)真命题，(2)假命题．
思考2　命题(1)中只要满足条件x>a2＋b2，必有结论x>2ab；命题(2)中满足条件ab＝0，不一定有结论a＝0，还可能b＝0.
梳理　?　?　充分　必要　充分　必要
知识点二
思考1　只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立．
思考2　因为p?q且q?p，所以p是q的充分条件也是必要条件；同理，q是p的充分条件，也是必要条件．
梳理　p?q　充分必要条件
知识点三
1．p?q，但q?p　q?p，但?q
p?q，q?p，即p?q　p?q，q?p
题型探究
例1　解　(1)因为x＝1或x＝2?x－1
＝，
x－1＝?x＝1或x＝2，
所以p是q的充要条件．
(2)因为m>0?方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，
方程x2＋x－m＝0有实根，
即Δ＝1＋4m≥0?m>0.
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为a>b?ac>bc，
ac>bc?a>b，
所以p是q的既不充分又不必要条件．
跟踪训练1　②④
例2　解　设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a0}，
B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1∵p是q的充分不必要条件，∴A?B，
则得1≤a≤.
经检验知，a＝1和满足已知条件，
故实数a的取值范围是[1，]．
引申探究
解　由例2知，A＝{x|a0}，
B＝{x|1∵p是q的必要不充分条件，∴B?A，
则此不等式无解．
故不存在实数a，使p是q的必要不充分条件．
跟踪训练2　解　由(x－a)2<1，
得x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，
∴a－1又由x2－5x－24<0，得－3∵M是N的充分条件，∴M?N，
∴　
解得－2≤a≤7.
故a的取值范围是－2≤a≤7.
例3　证明　充分性：
∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根．
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系，得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，
即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
引申探究
证明　必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0，
∴必要性成立．
充分性：
∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)·(ax＋a＋b)＝0，
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴充分性成立．
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
跟踪训练3　解　当a＝0时，2x＋1>0不恒成立．
当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立
??a>1.
所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1.
当堂训练
1．充分不必要　2.a<－1　3.①④　4.－1
5．解　由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1.
令A＝{x|x>2或x<－1}．
由4x＋p<0，得B＝.
由题意得B?A，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1?x2－x－2>0，
∴当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的一个充分条件．
1.2 简单的逻辑联结词
学习目标　1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题．
知识点一　p∧q
思考1　观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
　
思考2　分析思考1中三个命题的真假？
　
　
梳理　(1)定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．
(2)命题p∧q的真假判断
命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p、命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题p∧q的真值表可以简单归纳为“一假则假，真真才真”．
知识点二　p∨q
思考1　观察三个命题：①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？
　
　
思考2　思考1中的真假性是怎样的？
　
　
梳理　(1)定义
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”．
(2)命题p∨q的真假判断
我们将命题p、命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”．
知识点三　綈p
思考　观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？并指出其真假：
(1)p：5是25的算术平方根，q：5不是25的算术平方根；
(2)p：y＝tan x是偶函数，q：y＝tan x不是偶函数．
　
梳理　(1)定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“________”，读作“________”或“____________”．
(2)命题綈p的真假判断
因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：
p
綈p
真
假
假
真
命题綈p的真值表可以归纳为“不可同真同假”．
类型一　用逻辑联结词联结组成新命题
例1　分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
(3)p：正△ABC的三内角都相等，q：正△ABC有一个内角是直角．
　
　
反思与感悟　解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p、q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p、q中的条件或结论合并．
跟踪训练1　指出下列命题分别由“p且q”“p或q”“非p”中的哪种形式构成，并写出其中的命题p，q：
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)方程x2－3＝0没有有理根；
(3)如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二、三象限．
　
　
类型二　含有逻辑联结词命题的真假
例2　分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数．
　
　
反思与感悟　判断含逻辑联结词命题的真假的步骤
(1)逐一判断命题p、q的真假．
(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假．
跟踪训练2　指出下列命题的形式及命题的真假：
(1)48是16与12的公倍数；
(2)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；
(3)相似三角形的周长相等或对应角相等．
　
　
　
　
类型三　用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围
例3　已知a>0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；
命题q：不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，(綈p)∨(綈q)也为真命题，求实数a的取值范围．
　
　
反思与感悟　由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假．反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．
跟踪训练3　已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．
　
　
　
1．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为____________________________________．
2．已知p：??{0}，q：{1}∈{1,2}．则在四个命题p，q，p∧q，p∨q中，真命题有________个．
3．命题s具有“p或q”的形式，已知“p且r”是真命题，那么s是________命题．(填“假”“真”)
4．已知命题p：若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为零；命题q：若a＞b，则＜.
给出下列四个复合命题：
①p且q；②p或q；③非p；④非q.
其中真命题是________．(只填序号)
5．分别判断由下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假：
(1)p：函数y＝x2和函数y＝2x的图象有两个交点；
q：函数y＝2x是增函数；
(2)p：??{0}；q：0∈?.
　
　
　
　
　
　
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．
2．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真．类比集合知识，“綈p”就相当于集合p在全集U中的补集?Up.因此(綈p)∧p为假，(綈p)∨p为真．
3．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．
提醒：完成作业　第1章　§1.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思．
思考2　命题①②③均为真．
梳理　(1)p∧q　p且q
知识点二
思考1　命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题．
思考2　①③为真命题，②为假命题．
梳理　(1)p∨q　p或q
知识点三
思考　两组命题中，命题q都是命题p的否定．
(1)中p真，q假．
(2)中p假，q真．
梳理　(1)綈p　非p　p的否定
题型探究
例1　解　(1)p∨q：π是无理数或e不是无理数；
p∧q：π是无理数且e不是无理数；
綈p：π不是无理数．
(2)p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；
p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；
綈p：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．
(3)p∨q：正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；
p∧q：正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；
綈p：正△ABC的三个内角不都相等．
跟踪训练1　解　(1)“p且q”的形式．其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．
(2)“非p”的形式．p：方程x2－3＝0有有理根．
(3)“p或q”的形式．其中p：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第二象限，q：如果xy<0，则点P(x，y)的位置在第三象限．
例2　解　(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
跟踪训练2　解　(1)这个命题是“p∧q”的形式．其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题．
(2)这个命题是“綈p”的形式．其中p：方程x2＋x＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x2＋x＋3＝0没有实数根”是真命题．
(3)这个命题是“p∨q”的形式．其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题．
例3　解　∵y＝ax在R上为增函数，
∴命题p：a>1.
∵不等式x2－ax＋1>0在R上恒成立，
∴应满足Δ＝a2－4<0，即0∴命题q：0由p∨q为真命题，则p、q中至少有一个为真，
由(綈p)∨(綈q)也为真，则綈p、綈q中至少有一个为真，
∴p、q中有一真、一假．
①当p真，q假时，∴a≥2；
②当p假，q真时，∴0综上可知，a的取值范围为{a|a≥2或0跟踪训练3　解　∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，
设两根为x1，x2，则
得m>2，
∴p：m>2.
又方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，
∴Δ＝16(m－2)2－4×4<0，
得1∴q：1∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p与q中一真一假．
当p真，q假时，
∴m≥3；
当p假，q真时，
∴1综上可知，m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
当堂训练
1．“x>5或x＝5”　2.2　3.真　4.②④
5．解　(1)∵命题p是真命题，命题q是真命题，
∴p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题．
(2)∵p是真命题，q是假命题，
∴p且q为假命题，p或q为真命题，非p为假命题．
1．3.1　量　词
学习目标　1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．
知识点一　全称量词与全称命题
思考　观察下列命题：
①每一个三角形都有内切圆；
②所有实数都有算术平方根；
③对一切有理数x,5x＋2还是有理数．
以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．
　
　
　
梳理　(1)
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
符号
全称命题p
含有________的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为________
(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“?x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“?x∈M，p(x)不成立”．
知识点二　存在量词与存在性命题
思考　观察下列命题：
①有些矩形是正方形；
②存在实数x，使x>5；
③至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.
以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假．
　
　
　
梳理　(1)
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
符号
存在性命题
含有________的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为________
(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题．
类型一　全称命题与存在性命题的识别
例1　判断下列语句是全称命题，还是存在性命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
　
　
(3)对任意a，b∈R，若a>b，则<；
(4)有一个函数既是奇函数又是偶函数．
　
　
　
　
反思与感悟　判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路
跟踪训练1　判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“?”或“?”表示下列命题：
(1)自然数的平方大于或等于零；
(2)对每一个无理数x，x2也是无理数；
(3)有的函数既是奇函数又是增函数；
(4)对于数列，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.
　
　
　
类型二　全称命题与存在性命题的真假判断
例2　判断下列命题的真假，并给出证明：
(1)?x∈(5，＋∞)，f(x)＝x2－4x－2>0；
(2)?x∈(3，＋∞)，f(x)＝x2－4x－2>0；
(3)?a∈Z，a2＝3a－2；
(4)?a≥3，a2＝3a－2；
(5)设A、B、C是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点P，使得PA＝PB＝PC.
　
　
　
　
　
反思与感悟　要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定存在性命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
跟踪训练2　有下列四个命题：①?x∈R,2x2－3x＋4>0；②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③?x∈N，x2≤x；④?x∈N*，x为29的约数，其中真命题的个数为________．
类型三　全称命题、存在性命题的应用
例3　(1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；
(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
　
　
　
反思与感悟　有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
跟踪训练3　当命题(1)?x∈R，sin x＋cos x>m；(2)?x∈R，sin x＋cos x>m分别为真命题时，m的取值范围分别是(1)______________，(2)______________．
1．下列命题是“?x∈R，x2>3”的表述方法的有________．
①有一个x∈R，使得x2>3；
②对有些x∈R，使得x2>3；
③任选一个x∈R，使得x2>3；
④至少有一个x∈R，使得x2>3.
2．下列命题中全称命题的个数是________．
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°.
3．下列存在性命题是假命题的是________．
①存在x∈Q，使2x－x3＝0；②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数．
4．对任意的x>3，x>a都成立，则a的取值范围是________．
5．用量词符号“?”“?”表述下列命题：
(1)凸n边形的外角和等于2π.
(2)有一个有理数x满足x2＝3.
　
　
　
　
1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．
3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．
提醒：完成作业　第1章　§1.3　1.3.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考　命题①②③分别使用量词“每一个”“所有”“一切”．
命题①③是真命题，命题②是假命题．三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题②为假命题．
梳理　(1)?　全称量词
?x∈M，p(x)
知识点二
思考　命题①②③分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”．命题①②是真命题，命题③是假命题．三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可．所以命题①②是真命题，而对任意实数x，x2－2x＋2都大于0，所以命题③为假命题．
梳理　(1)?　存在量词
?x∈M，p(x)
题型探究
例1　解　(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故是全称命题．
(2)含有存在量词“有些”，故是存在性命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)含有存在量词“有一个”，故是存在性命题．
跟踪训练1　解　(1)是全称命题，表示为?x∈N，x2≥0.
(2)是全称命题，?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
(3)是存在性命题，?f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数．
(4)是存在性命题，?n∈N*，|an－1|＜0.01，其中an＝.
例2　解　(1)真命题．∵f(x)＝x2－4x－2在(2，＋∞)上单调递增，
∴对(5，＋∞)内的每一个x，都有f(x)>f(5)>0，因此(1)是真命题．
(2)假命题.4∈(3，＋∞)，
但f(4)＝－2<0，因此(2)是假命题．
(3)真命题.1是整数且12＝3×1－2，因此(3)是真命题．
(4)假命题．∵a2＝3a－2只有两个实数根，a＝1或a＝2，
∴当a≥3时，a2≠3a－2，
因此(4)是假命题．
(5)真命题．A、B、C三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是△ABC外接圆的圆心，则PA＝PB＝PC，
因此(5)是真命题．
跟踪训练2　3
例3　(1)(－∞，1)　(2)m<－
跟踪训练3　(1)(－∞，－)
(2)(－∞，)
当堂训练
1．①②④　2.2　3.②　4.(－∞，3]
5．解　(1)?x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.
(2)?x∈Q，x2＝3.
1．3.2　含有一个量词的命题的否定
学习目标　1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．
知识点一　全称命题与存在性命题的否定
思考1　写出下列命题的否定：
①所有的矩形都是平行四边形；
②有些平行四边形是菱形．
　
　
思考2　对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？
　
　
思考3　对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？
　
　
梳理　(1)
命题
命题的表述
全称命题p
?x∈M，p(x)
全称命题的否定綈p
存在性命题p
?x∈M，p(x)
存在性命题的否定綈p
(2)常见的命题的否定形式
原语句
是
都是
>
至少有一个
至多有一个
对任意x∈A使p(x)为真
否定形式
知识点二　含有一个量词的命题p的否定真假性判断
对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断綈p的真假，二是用p与綈p的真假性相反来判断．
类型一　全称命题的否定
例1　写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；
(2)p：等圆的面积相等，周长相等；
(3)p：偶数的平方是正数．
　
　
　
反思与感悟　(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．全称命题的否定的真假性与全称命题相反．
跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：
(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字都不等于3；
(3)p：在数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.
　
　
　
　
类型二　存在性命题的否定
例2　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x∈R，x2＋1<0；
(4)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
引申探究
若本例(2)改为“某些平行四边形是正方形”，写出该命题的否定并判断真假．
　
　
　
跟踪训练2　写出下列存在性命题的否定：
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：有一个素数含三个正因数．
　
类型三　含量词命题的否定的应用
例3　已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：?x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若(綈p)∧(綈q)为真命题，求实数a的取值范围．
　
反思与感悟　若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——存在性命题为真命题解决．同理，若存在性命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3　已知命题p：?x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是__________________________．
2．对下列命题的否定说法错误的是________．
①p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数；②p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形；④p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：?x∈R，x2＋x＋2＞0.
3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则綈p为________________．
4．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________．
5．已知命题“存在x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
提醒：完成作业　第1章　§1.3　1.3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　①并非所有的矩形都是平行四边形．
②每一个平行四边形都不是菱形．
思考2　不能．
思考3　不能．
梳理　(1)?x∈M，綈p(x)　?x∈M，綈p(x)　(2)不是　不都是　≤　一个也没有　至少有两个　存在x∈A使p(x)为假
题型探究
例1　解　(1)綈p：存在n∈Z，使n?Q，这是假命题．
(2)綈p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3)綈p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
跟踪训练1　解　(1)綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)綈p：?x∈Z，x2的个位数字等于3.
(3)綈p：在数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．
(4)綈p：存在被5整除的整数，末位不是0.
例2　解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．命题的否定是假命题．
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定是“不存在x∈R，使x2＋1<0”，即“?x∈R，x2＋1≥0”．由于x2＋1≥1>0，因此命题的否定是真命题．
(4)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．
当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．
引申探究
解　命题的否定是“没有一个平行四边形是正方形”，即“每一个平行四边形都不是正方形”，假命题．
跟踪训练2　解　(1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)綈p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)綈p：每一个素数都不含三个正因数．
例3　解　∵p：?x∈R，ax2＋2x＋1≠0，
q：?x∈R，ax2＋ax＋1≤0，
∴綈p：?x∈R，ax2＋2x＋1＝0，
綈q：?x∈R，ax2＋ax＋1>0.
由(綈p)∧(綈q)为真命题知，綈p与綈q都是真命题．
由綈p为真命题，得a＝0或
故a≤1.
由綈q为真命题，得a＝0或
故0≤a＜4.
∴解得0≤a≤1.
故实数a的取值范围是[0,1]．
跟踪训练3　(0,1)
当堂训练
1．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
2．③　3.?x∈A,2x?B
4．所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
5．(－1,3)
第一章 常用逻辑用语
1　怎样解逻辑用语问题
1．利用集合理清关系
充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．下面通过使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：
①A是B的充分条件，即A?B.(如图1)
②A是B的必要条件，即B?A.(如图2)
③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)
④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非公共元素．(如图4)
或
图4
例1　设集合A，B是全集U的两个子集，则A?B是(?UA)∪B＝U的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
解析　当A?B时，如图1所示，则(?UA)∪B＝U成立；当A＝B时，如图2所示，则(?UA)∪B＝(?UB)∪B＝U成立，即当(?UA)∪B＝U成立时，可有A?B.
故A?B是(?UA)∪B＝U的充分不必要条件．
答案　充分不必要
2．抓住量词，对症下药
全称命题与存在性命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．
例2　(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为______________．
(2)已知命题p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”与命题q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围为____________．
解析　(1)将命题p转化为“当x∈[1,2]时，
(x2－a)min≥0”，即1－a≥0，
即a≤1.
由命题q知，方程有解，即Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0，
解得a≤－1或a≥2.综上所述，a≤－1.
(2)命题p转化为“当x∈[1,2]时，(x2－a)max≥0”，
即4－a≥0，即a≤4.
命题q：a≤－1或a≥2.
综上所述，a≤－1或2≤a≤4.
答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4]
点评　认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．
3．挖掘等价转化思想，提高解题速度
在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．
例3　设p：q：x2＋y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要条件，求r的取值范围．
分析　“q是綈p的充分不必要条件”等价于“p是綈q的充分不必要条件”．设p、q对应的集合分别为A、B，则可由A??RB出发解题．
解　设p、q对应的集合分别为A、B，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A表示平面区域，点集?RB表示到原点距离大于r的点的集合，即圆x2＋y2＝r2外的点的集合．
∵A??RB表示区域A内的点到原点的最近距离大于r，
∴直线3x＋4y－12＝0上的点到原点的最近距离大于等于r.
∵原点O到直线3x＋4y－12＝0的距离为
d＝＝，
∴r的取值范围为0点评　若直接解的话，q是綈p的充分不必要条件即为
x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q是綈p的充分不必要条件”等价转化为“p是綈q的充分不必要条件”，更好地体现了等价转化思想．
2　辨析“命题的否定”与“否命题”
一、知识梳理
1．定义
定义
命题的否定
对原命题的结论进行否定得到的新命题
否命题
对原命题的条件和结论同时否定得到的新命题
2.真假关系表
原命题、命题的否定与否命题的真假关系表：

原命题
否定
否命题
真
假
与原命题的真假没有关系
假
真
3.常用正面叙述词语及它的否定
词语
等于
大于(>)
小于(<)
是
都是
词语的否定
不等于
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
不都是
词语
至多有
一个
至少有
一个
任意的
所有的
至多有
n个
p且q
p或q
词语的
否定
至少有
两个
一个也
没有
某个
某些
至少有
n＋1个
非p或
非q
非p
且非q
二、典例剖析
例1　写出下列各命题的否定形式及否命题：
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若x，y都是奇数，则x＋y是奇数．
分析　分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．
解　(1)命题的否定：面积相等的三角形不是全等三角形；
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
(2)命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0；
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.
(3)命题的否定：若x，y都是奇数，则x＋y不是奇数；
否命题：若x，y不都是奇数，则x＋y不是奇数．
点评　首先掌握“命题的否定”和“否命题”的区别和联系，把握关键词的否定，然后分清命题的条件和结论即可．
例2　写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：
(1)若x2<4，则－2(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.
分析　依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．
解　(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”；
命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．
通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．
(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”；
命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．
由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假．
3　判断条件四策略
1．定义法
定义法是判断充要条件最基本、最适用的方法．步骤如下：
(1)分清条件与结论(p与q)；
(2)找推式：即判断p?q及q?p的真假；
(3)下结论：?p是q的充分不必要条件，?p是q的必要不充分条件，
?p是q的充要条件，
?p是q的既不充分又不必要条件．
例1　设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的______________条件．
解析　条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.
若x∈M，则x不一定属于P，
即x不一定属于P∩M，所以p?q；
若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q?p.
综上可知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．
答案　必要不充分
2．利用传递性
充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p?q，q?r，则p?r.
例2　如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的________条件．
解析　依题意知，有A?B?C?D且A?B?CD?D，由命题的传递性可知D?A，但A?D.于是A是D的必要不充分条件．
答案　必要不充分
3．集合法
适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况．
P＝{p}，Q＝{q}，利用集合间的包含关系加以判断，具体情况如下：
(1)若P?Q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)若P?Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；
(3)若P＝Q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；
(4)P?Q且Q?P，则p是q的既不充分又不必要条件．
例3　设p：(2x＋1)20)，q：(x－1)(2x－1)>0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．
解析　由题意得p：q：x>1或x<.
∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q，
∴≤或≥1，
解得m≤2.
又∵m>0，∴0答案　(0,2]
4．等价法
适用于“直接从正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法．
(1)綈q是綈p的充分不必要条件?p是q的充分不必要条件；
(2)綈q是綈p的必要不充分条件?p是q的必要不充分条件；
(3)綈q是綈p的充要条件?p是q的充要条件；
(4)綈q是綈p的既不充分又不必要条件?p是q的既不充分又不必要条件．
例4　给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的______________条件．
解析　因为綈p是q的必要不充分条件，所以綈q是p的必要不充分条件，即p是綈q的充分不必要条件．
答案　充分不必要
4　充分必要条件知识交汇例析
充分必要条件是逻辑关系的重要知识点，主要用来讨论条件和结论的关系，是理解或判断一个命题与其相关命题之间关系的重要工具，也是命题转化的主要依据．充分必要条件问题几乎可以融汇所有不同的数学知识，因此用途极为广泛．下面通过具体例子进行分析．
1．与集合的交汇
例1　若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的__________条件．
解析　当m＝2时，集合A＝{1,4}，又B＝{2,4}，
所以A∩B＝{4}．
当A∩B＝{4}时，
m2＝4，m＝2或m＝－2，
所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．
答案　充分不必要
2．与函数性质的交汇
例2　已知函数f(x)＝则“－2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的____________条件．
解析　因为当－2≤a≤0时，0≤－≤1，－≥，所以当x≥1时，f(x)单调递增；当x<1时，f(x)不一定单调递增，故“－2≤a≤0”不是“f(x)在R上单调递增”的充分条件．当f(x)在R上单调递增时，则
?－≤a<0，
所以“－2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件．
答案　必要不充分
3．与不等式的交汇
例3　“1解析　因为x>0，所以2x＋≥2.又a>1，所以2>2>1，所以“1答案　充分不必要
4．与平面向量的交汇
例4　若a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的________条件．
解析　f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·b·x＋b2.
如果函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，由此求得a·b＝0，即a⊥b.反之，也成立．所以“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件．
答案　充要
5．与数列的交汇
例5　设{an}是等比数列，则“a1解析　由a10时，q>1；当a1<0时，0答案　充要
6．与三角函数的交汇
例6　在△ABC中，“A>”是“sin A>”的__________条件．
解析　在△ABC中，当A>且A∈时，sin A<，故“A>”不是“sin A>”的充分条件．但当sin A>时，A>一定成立，所以“A>”是“sin A>”的必要不充分条件．
答案　必要不充分
7．与立体几何的交汇
例7　已知E，F，G，H是空间四个点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的____________条件．
解析　由空间点的位置关系知，E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH不相交，反之，未必成立，故甲是乙成立的充分不必要条件．
答案　充分不必要
5　命题和充要条件错误剖析
1．考虑不周出错
例1　判断命题的真假：函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1.
错解　因为函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，所以Δ＝22－4×(－1)×a＝0，即a＝－1.所以该命题是真命题．
剖析　出现上述错解的主要原因是由于没考虑到函数f(x)的最高次项系数含字母参数a，应对字母参数是否为零进行讨论．
正解　当a＝0时，函数f(x)为一次函数，此时函数只有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，所以Δ＝22－4×(－1)×a＝0，即a＝－1.所以，函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.故原命题为假命题．
2．否命题否定错误
例2　写出命题“若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零”的否命题．
错解　否命题为：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全不为零．
剖析　否命题是将原命题的条件和结论分别否定．错解是条件没有否定，而结论否定为“不全为零”，却错误地写为“全不为零”．
正解　该命题的否命题为：“若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m、n、a、b不全为零”．
3．判断充要条件时出错
例3　(1)设x∈R，则x>2成立的必要条件有________．(填上所有正确的序号)
①x>1；②x<1；③x>3；④x<3；⑤x>0.
错解　因为x>3?x>2，所以x>2的一个必要条件为x>3.
答案　③
剖析　错解的主要原因是没弄清“a是b的必要条件”和“a的必要条件是b”的真正含义，前者等价于b?a；后者等价于“b是a的必要条件”，即a?b.
正解　因为x>2?x>1，所以x>2的一个必要条件为x>1.同理x>2?x>0，所以x>2的一个必要条件为x>0.
答案　①⑤
(2)命题p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是命题q：“a·b>0”的__________条件．
错解　若向量a与向量b的夹角θ为锐角，
则cos θ＝>0，即a·b>0；反之也成立，所以p是q的充要条件．
答案　充要
剖析　判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误．
正解　若向量a与向量b夹角θ为锐角，则cos θ＝>0?a·b>0；而当a·b>0时，θ＝0°也成立，但此时a与b夹角不为锐角．故p是q的充分不必要条件．
答案　充分不必要
6　例析逻辑用语中的常见误区
误区1　所有不等式、集合运算式都不是命题
例1　判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假：
(1)x＋2>0；　(2)x2＋2>0；
(3)A∩B＝A∪B；　(4)A?A∪B.
错解　(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．
剖析　(1)中含有未知数x，且x不确定，所以x＋2的值也不确定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；
(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．
(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；
若A?B，则A∩B＝A?A∪B＝B.
由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．
(4)A为A∪B的子集，故A?A∪B成立，故(4)为真命题．
正解　(2)、(4)是命题，且都为真命题．
误区2　原命题为真，其否命题必为假
例2　判断下列命题的否命题的真假：
(1)若a＝0，则ab＝0；
(2)若a2>b2，则a>b.
错解　(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；
(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．
剖析　否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．
正解　(1)否命题：若a≠0，则ab≠0，是假命题；
(2)否命题：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．
误区3　用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论
例3　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出p∨q.
(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出p∧q.
错解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.
(2)p∧q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．
剖析　(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p∨q”，“p∧q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．
正解　(1)p∨q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.
(2)p∧q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．
误区4　对含有一个量词的命题否定不完全
例4　已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.
错解一　綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.
错解二　綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.
剖析　该命题是存在性命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是存在性命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．
正解　綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.
误区5　忽略了隐含的量词
例5　写出下列命题的否定：
(1)p：若2x>4，则x>2；
(2)p：可以被5整除的数末位是0；
(3)p：能被8整除的数也能被4整除．
错解　(1)綈p：若2x>4，则x≤2.
(2)綈p：可以被5整除的数末位不是0.
(3)綈p：能被8整除的数不能被4整除．
剖析　由于有些全称命题或存在性命题隐含了量词，从而导致未变化量词而直接否定结论出现错误．
正解　(1)綈p：存在x，使得若2x>4，则x≤2.
(2)綈p：存在可以被5整除的数末位不是0.
(3)綈p：存在能被8整除的数不能被4整除.
7　解“逻辑”问题的三意识
1．转化意识
由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．
例1　证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
分析　本题直接证明原命题是真命题，显然不太容易，可考虑转化为证明它的逆否命题是真命题．
证明　命题“若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1”的逆否命题是“a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝0”．由a－b＝1，得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0.
∵原命题的逆否命题是真命题，
∴原命题也是真命题．
故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
例2　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
分析　将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．
解　解不等式x2－8x－20>0，
得p：A＝{x|x>10或x<－2}；
解不等式x2－2x＋1－a2>0，
得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q，但q? p，说明A?B.
于是有或解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
2．简化意识
判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．
例3　已知命题p：函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，命题q：函数y＝－(5－2a)x是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是________．
分析　先将命题p，q等价转化，再根据题意构建关于a的关系式，从而得到a的取值范围．
解析　函数y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域为R，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中，Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1；
函数y＝－(5－2a)x是减函数?5－2a>1?a<2，
即q真?a<2.
由p或q为真命题，p且q为假命题知，命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．
答案　(1,2)
点评　若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．
3．反例意识
在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．
例4　设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．
①A?B?对任意x∈A，都有x?B；
②A?B?A∩B＝?；
③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
分析　画出表示A?B的Venn图进行判断．
解析　画出Venn图，如图1所示，则A?B?存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．
A?B?B?A不成立的反例如图2所示．同理可得B?A?A?B不成立．故③是假命题．
综上知，真命题的序号是④.
答案　④
第一章 常用逻辑用语
学习目标　1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．
知识点一　四种命题的关系
原命题与________________为等价命题，____________与否命题为等价命题．
知识点二　充分条件、必要条件的判断方法
1．直接利用定义判断：即若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)
2．利用等价命题的关系判断：p?q的等价命题是綈q?綈p，即若綈q?綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件：
(1)前提：设A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}．
(2)结论：
①若________，则p是q的充分条件，若________，则p是q的充分不必要条件；
②若________，则p是q的必要条件，若________，则p是q的必要不充分条件；
③若________，则p，q互为充要条件；
④若________且________，则p是q的既不充分又不必要条件．
知识点三　简单的逻辑联结词
1．命题中的“________”“________”“________”叫做逻辑联结词．
2．简单复合命题的真假判断
①p与綈p真假性相反；
②p∨q一真就真，两假才假；
③p∧q一假就假，两真才真．
知识点四　全称命题与存在性命题
1．全称命题与存在性命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
2．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
类型一　四种命题及其关系
例1　写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
　
　
反思与感悟　(1)四种命题的改写步骤
①确定原命题的条件和结论．
②逆命题：把原命题的条件和结论交换．
否命题：把原命题中的条件和结论分别否定．
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件，否定了的条件作结论．
(2)命题真假的判断方法
跟踪训练1　下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C|>0，则C>0.
其中正确结论的个数是________．
类型二　充分条件与必要条件
命题角度1　充分条件与必要条件的判断
例2　(1)“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的____________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
(2)设p：2x>1，q：1反思与感悟　条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
跟踪训练2　a<0，b<0的一个必要条件为________．
①a＋b<0；②a－b>0；③>1；④＜－1.
命题角度2　充分条件与必要条件的应用
例3　设命题p：x2－5x＋6≤0；命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
　
　
反思与感悟　利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练3　已知p：2x2－9x＋a<0，q：2　
　
类型三　逻辑联结词与量词的综合应用
例4　已知p：?x∈R，mx2＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．
反思与感悟　解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练4　已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
　
　
　
　
1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是____________．
2．已知命题p：?n∈N,2n>1 000，则綈p为________________．
3．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
5．已知p：≤x≤1，q：(x－a)(x－a－1)>0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题条件的否定作为条件，将原命题结论的否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p则q”，则该命题的否命题是“若綈p则綈q”；命题的否定为“若p则綈q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定为“不都是”，“全是”的否定为“不全是”，“至少有一个”的否定为“一个也没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”．
提醒：完成作业　第1章　章末复习课
答案精析
知识梳理
知识点一
若p则q　若q则p　若綈p则綈q
若綈q则綈p　逆否命题　逆命题
知识点二
3．(2)①A?B　A?B　②B?A　B?A　③A＝B　④A?B　B?A
知识点三
1．且　或　非
题型探究
例1　解　逆命题：若x＝2且y＝－1，
则＋(y＋1)2＝0，真命题．
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1，真命题．
逆否命题：若x≠2或y≠－1，
则＋(y＋1)2≠0，真命题．
跟踪训练1　2
例2　(1)充分不必要　(2)必要不充分
跟踪训练2　①
例3　解　方法一　命题p：x2－5x＋6≤0，
解得2≤x≤3，
∴p：2≤x≤3；
命题q：(x－m)(x－m－2)≤0，
解得m≤x≤m＋2，∴q：m≤x≤m＋2.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
∴或
解得1≤m≤2.
∴实数m的取值范围是[1,2]．
方法二　∵命题p：2≤x≤3，
命题q：m≤x≤m＋2，
綈p：x<2或x>3，
綈q：xm＋2.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴{x|xm＋2}?{x|x<2或x>3}，
故解得1≤m≤2.
∴实数m的取值范围是[1,2]．
跟踪训练3　解　∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件．
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则解得a≤9，
∴实数a的取值范围是(－∞，9]．
例4　[1，＋∞)
跟踪训练4　解　由方程2x2＋ax－a2＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a.
∴当命题p为真命题时，
≤1或|－a|≤1，
∴|a|≤2.
又“只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0”，
即函数y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，
∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴当命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．
当堂训练
1．“若x≤y，则x2≤y2”
2．?n∈N,2n≤1 000　3.②③
4．(－∞，0]　5.[0，]
3．1.1　平均变化率
学习目标　1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率(重点).2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义(难点).3.了解平均变化率的正负(易混点)．
知识点一　函数的平均变化率
在吹气球时，气球的半径r(单位：dm)与气球空气容量(体积)V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝ .
思考1　当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？
　
　
思考2　当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？
　
　
梳理　一般地，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________，其中________________是函数值的改变量．
知识点二　平均变化率的意义
思考　如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？
　
梳理　平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝________________为割线AB的斜率．
类型一　求函数的平均变化率
例1　(1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率.
(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化率最大？
　
　
反思与感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
类型二　平均变化率的应用
例2　在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
　
　
反思与感悟　(1)结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.
(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
跟踪训练2　2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：
(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？
(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？
(3)从2012年11月至2013年2月间，与从2013年1月至2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？
　
　
1．若函数f(x)＝x2的图象上存在点P(1,1)及邻近的点Q(1＋Δx,1＋Δy)，则的值为________．
2．圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．
4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
5．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)
　
　
1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．
2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．
提醒：完成作业　第3章　§3.1　3.1.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　平均膨胀率为≈＝0.62 (dm/L)．
思考2　平均膨胀率为.
梳理　
Δy＝f(x2)－f(x1)
知识点二
思考　如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．
如用比值近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率．
梳理　＝
题型探究
例1　解　(1)因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
＝
＝2Δx＋4x1＋3.
①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，
＝21.
②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx
＝0.02＋1.9＝1.92.
＝2Δx＋4x1＋3＝19.2.
(2)在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1跟踪训练1　(1)Δx　(2)　
例2　解　(1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为＝4.05 m/s.
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2 m/s.
跟踪训练2　解　(1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．
(2)由图可知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增幅最大．
(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝＝sB－sC，显然kBC>kAB，即sB－sC>，
所以在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．
当堂训练
1．2＋Δx　2.0.4π　3.－1　4.[x3，x4]
5．解　甲企业生产效益的平均变化率为＝.
乙企业生产效益的平均变化率为＝.
∵>，
∴甲企业的生产效益较好．
3．1.2　瞬时变化率——导数(一)
学习目标　1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．
知识点一　曲线上一点处的切线
思考　如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
　
　
梳理　可以用逼近的方法来计算切线的斜率，
设P(x，f(x))，Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，
则割线PQ的斜率为kPQ＝.
当Δx无限趋近于0时，____________无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的________．
知识点二　瞬时速度与瞬时加速度
思考　瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？
　
　
梳理　(1)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移s(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的________________，即位移对于时间的________________．
(2)如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的________________，即速度对于时间的________________．
知识点三　函数的导数
思考1　函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？
　
　
思考2　导数f′(x0)有什么几何意义？
　
梳理　设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处________，并称常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作________．
类型一　求曲线在某点处的切线斜率
例1　如图，已知曲线y＝x3上一点P，求：
(1)点P处的切线的斜率；
(2)点P处的切线方程．
　
　
　
反思与感悟　解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．
跟踪训练1　若曲线f(x)＝x2－1在点P处的切线的斜率为k，且k＝2，则点P的坐标为__________．
类型二　求瞬时速度、瞬时加速度
例2　已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)求质点M在t＝2 s时的瞬时加速度．
　
　
反思与感悟　(1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．
(2)求瞬时加速度：①求平均加速度；②令Δt→0，求出瞬时加速度．
跟踪训练2　质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
　
　
　
　
　
类型三　求函数在某点处的导数
例3　求函数y＝在x＝1处的导数．
　
　
反思与感悟　根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)得导数，当Δx→0时，→f′(x0)．
关键是在求时，要注意分式的通分、无理式的分子有理化等常用技巧的使用．
跟踪训练3　利用定义求函数y＝x＋在x＝1处的导数．
　
1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________．
2．任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
3．已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则点P坐标为____________．
5．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx趋近于零时，无限趋近于常数________．
1．曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．
2．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度．
提醒：完成作业　第3章　§3.1　3.1.2(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考　当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线．
梳理　　斜率
知识点二
思考　瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．
梳理　(1)瞬时速度　瞬时变化率
(2)瞬时加速度　瞬时变化率
知识点三
思考1　函数f(x)在点x0附近的平均变化率为＝，
当Δx→0时，→A，
A就是f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
思考2　f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
梳理　　可导
f′(x0)
题型探究
例1　解　(1)由y＝x3，得
＝
＝×
＝×[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，
当Δx无限趋近于0时，趋近于x2，
即y′＝x2.
y′|x＝2＝22＝4.
即点P处的切线的斜率为4.
(2)在点P处的切线方程为y－＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
跟踪训练1　(1,0)
例2　解　＝
＝
＝6t＋3Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝6×2＋3×0.01
＝12.03 (cm/s2)．
(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2 s时的瞬时加速度为12 cm/s2.
跟踪训练2　解　∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1
＝4aΔt＋a(Δt)2，
∴＝4a＋aΔt.
当Δt→0时，→4a.
∵在t＝2 s时，瞬时速度为8 m/s，
∴4a＝8，∴a＝2.
例3　解　Δy＝－1，
＝
＝
＝.
当Δx→0时，＝无限趋近于，
∴y＝在x＝1处的导数为.
跟踪训练3　解　∵Δy＝(x＋Δx)＋－
＝Δx－，
∴＝1－，
从而，当Δx→0时，
1－→1－，
∴函数f(x)在x＝1处的导数为0.
当堂训练
1．8　2.3　3.4＋Δt　4　4.(3,30)
5．－11
3．1.2　瞬时变化率——导数(二)
学习目标　1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义和极限形式的意义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．
知识点一　导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．相应地，切线方程为____________________．
知识点二　导数与导函数的关系
思考　导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？
　
　
梳理　(1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内________都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是________________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作________．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f′(x0)的意义
f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的____________．
类型一　求函数的导函数
例1　求函数y＝－x2＋3x的导函数．
　
　
反思与感悟　利用导数的定义求函数的导数是求函数的导数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值．
跟踪训练1　求函数f(x)＝x－的导函数．
　
　
类型二　导数几何意义的应用
命题角度1　求曲线过某点的切线方程
例2　求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程．
　
　
反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0)；
(2)建立方程f′(x0)＝；
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪训练2　求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
　
　
命题角度2　导数几何意义在图象上的应用
例3　已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
反思与感悟　(1)弄清导数与切线的斜率及倾斜角的关系是解答此类题的关键．
(2)导数与函数图象升降的关系
①若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，
则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的；
②导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
跟踪训练3　若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是________．

1．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．
2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)＝________.
3．已知y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
4．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________.
5．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
提醒：完成作业　第3章　§3.1　3.1.2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
斜率　f′(x0)
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
知识点二
思考　函数f(x)在一点处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x＝x0的函数值．
f(x)在x＝x0的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
梳理　(1)任一点　自变量x　f′(x)　(2)函数值
题型探究
例1　解　∵＝
＝3－2x－Δx，
∴当Δx→0时，3－2x－Δx→3－2x，
故函数f(x)的导函数为f′(x)＝3－2x.
跟踪训练1　解　∵Δy＝(x＋Δx)－－
＝Δx＋，
∴＝1＋，
∴当Δx→0时，1＋→1＋，
∴函数f(x)的导函数为f′(x)＝1＋.
例2　解　设切线在抛物线上的切点为(x0，x)，
则＝
＝x0＋Δx.
当Δx→0时，＝x0＋Δx无限趋近于x0，
所以切线的斜率为x0.
则＝x0，
即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1.
即切线过抛物线y＝x2上的点(7，)，(1，)，
故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，
化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程．
跟踪训练2　解　设切点为(x0，x＋x0＋1)，
＝
＝2x0＋1＋Δx.
当Δx→0时，＝2x0＋1＋Δx无限趋近于2x0＋1，
∴切线的斜率为2x0＋1，
则k＝＝，
∴2x0＋1＝.
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.
例3　k1>k3>k2
解析　由导数的几何意义，可得k1>k2.
∵k3＝表示割线AB的斜率，
∴k1>k3>k2.
跟踪训练3　①
当堂训练
1．f′(xA)3．2.1　常见函数的导数
学习目标　1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数．
知识点一　幂函数与一次函数的导数
思考1　函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
　
　
思考2　你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及(x)′＝x归纳出f(x)＝xn的导数有怎样的规律吗？
　
　
梳理　(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数)．
(2)(xα)′＝α·xα－1(α为常数)．
知识点二　基本初等函数的求导公式
思考1　计算过程(cos )′＝－sin ＝－正确吗？
　
　
思考2　如何利用(ln x)′推出(logax)′？
　
　
梳理　
原函数
导函数
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝xα(α为常数)
f′(x)＝αxα－1
类型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝2sin cos ；(5)y＝logx；(6)y＝3x.
　
　
　
　
　
　
反思与感悟　若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)y＝(1－)(1＋)＋；
(2)y＝2cos2－1.
　
　
类型二　导数公式的综合应用
命题角度1　利用导数公式解决切线问题
例2　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
　
　
　
反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上；
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练2　已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
　
　
　
命题角度2　利用导数公式求最值问题
例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
　
　
反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3　已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
　
　
1．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.
2．下列结论：①(sin x)′＝－cos x；②′＝；
③(log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的结论是________．
3．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为__________．
4．设正弦函数y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．
5．求下列函数的导数．
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos(－x)．
　
　
1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
提醒：完成作业　第3章　§3.2　3.2.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；
当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快．
思考2　f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.
知识点二
思考1　不正确．因为cos ＝为常数，其导数为0.
思考2　(logax)′＝′＝(ln x)′＝·＝.
题型探究
例1　解　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5
＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x
＝x＝ .
(4)∵y＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝cos x.
(5)y′＝(logx)′＝＝－.
(6)y′＝(3x)′＝3xln 3.
跟踪训练1　解　(1)∵y＝(1－)(1＋)＋
＝＋＝＝x，
∴y′＝－x.
(2)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
例2　解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点为(x0，y0)，则PQ的斜率为k＝＝1，
而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，
即x0＝－.
所以切点为(－，)．
所以所求切线方程为
y－＝(－1)(x＋)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
解　因为y′＝(x2)′＝2x，
设切点为M(x0，y0)，
则y′|＝2x0，
又因为PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以k＝2x0＝1，
即x0＝.
所以切点为M(，)．
所以所求切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.
跟踪训练2　解　设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|＝cos x0，k2＝y′|＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的．
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
例3　解　依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，
∴x0＝，
∴切点坐标为(，)，
∴所求的最短距离d＝＝.
跟踪训练3　解　设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k＝ y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得M(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，
∴AB为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，
故点M(1,1)即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
当堂训练
1.　2.④　3.(2,1)
4．[0，]∪[，π)
5．解　(1)y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，
∴y′＝(x－5)′＝－5x－6＝－.
(3)∵y＝＝x，
∴y′＝(x)′＝x＝.
(4)y′＝.
(5)y′＝5xln 5.
(6)∵y＝cos(－x)＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
3．2.2　函数的和、差、积、商的导数
学习目标　1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点一　和、差的导数
已知f(x)＝x，g(x)＝.
思考1　f(x)，g(x)的导数分别是什么？
　
思考2　试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．
　
　
梳理　和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
知识点二　积、商的导数
已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3.
思考1　试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．
　
　
思考2　求H(x)＝x2sin x，M(x)＝，Q(x)＝3sin x的导数．
　
　
　
梳理　(1)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝________________；
②[Cf(x)]′＝________.
(2)商的导数
[]′＝______________(g(x)≠0)．
(3)注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，[]′≠.
类型一　导数运算法则的应用
例1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xln x＋2x；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝x2·ex.
　
　
　
反思与感悟　(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；(4)y＝xsin x－.
　
　
　
类型二　导数运算法则的综合应用
命题角度1　利用导数求函数解析式
例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.
　
　
　
反思与感悟　(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数．(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练2　已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)＝________.
命题角度2　与切线有关的问题
例3　已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
　
　
　
反思与感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3　(1)设曲线y＝在点(，2)处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
1．函数y＝(＋1)(－1)的导数等于________．
2．函数y＝的导数是________________．
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为______________________________．
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f′()＝________.
5．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．
提醒：完成作业　第3章　§3.2　3.2.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　f′(x)＝1，g′(x)＝－.
思考2　∵Δy＝(x＋Δx)＋－(x＋)
＝Δx＋，
∴＝1－.
∴当Δx→0时，1－→1－.
∴Q′(x)＝1－.
同理，H′(x)＝1＋.
知识点二
思考1　f′(x)＝2x，g′(x)＝cos x，
φ′(x)＝0.
思考2　H′(x)＝2xsin x＋x2cos x，
M′(x)＝
＝＝，
Q′(x)＝3cos x.
梳理　(1)①f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　②Cf′(x)　(2)
题型探究
例1　解　(1)f′(x)＝(ax3＋bx2＋c)′
＝(ax3)′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx.
(2)f′(x)＝(xln x＋2x)′
＝(xln x)′＋(2x)′
＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2
＝ln x＋1＋2xln 2.
(3)方法一　f′(x)＝()′
＝
＝＝.
方法二　∵f(x)＝＝
＝1－，
∴f′(x)＝(1－)′＝(－)′
＝－＝.
(4)f′(x)＝(x2·ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex＝ex·(2x＋x2)．
跟踪训练1　解　(1)∵y＝2x－3x＋x－1＋x，
∴y′＝3x＋x－x－2－x.
(2)方法一　y′＝
＝＝.
方法二　y＝＝
＝1－，
y′＝(1－)′＝()′
＝
＝.
(3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′
＝3x2＋18x＋23.
(4)y′＝(xsin x)′－()′
＝x′sin x＋x(sin x)′－
＝sin x＋xcos x－.
例2　解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，
即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x，
得f(e)＝－2e＝－2e，
f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，
得f(e)(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
跟踪训练2　
例3　解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
跟踪训练3　(1)1　(2)4
当堂训练
1．1　2.
3．y＝2x＋1　4.－　5.－2
3．3.1　单调性
学习目标　1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间．
知识点　函数的单调性与导函数正负的关系
思考1　观察下列各图，完成表格内容
函数及其图象
切线斜率k正负
导数正负
单调性
正
[1，＋∞)上单调______
R上单调________
负
(0，＋∞)上单调______
(0，＋∞)上单调______
(－∞，0)上单调______
思考2　依据上述分析，可得出什么结论？
　
梳理　(1)
导数值
切线的斜率
倾斜角
曲线的变化趋势
函数的单调性
>0
________0
______角
单调______
<0
________0
______角
单调______
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递________
f′(x) ≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零
单调递________
f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间上都不恒为零
常函数
f′(x)＝0
类型一　求函数的单调区间
命题角度1　求不含参数的函数的单调区间
例1　求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
　
　
　
反思与感悟　求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．
跟踪训练1　求函数f(x)＝的单调区间．
　
　
　
命题角度2　求含参数的函数的单调区间
例2　讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性．
引申探究
若将本例改为f(x)＝ax2－ln x(a∈R)呢？
　
　
　
反思与感悟　(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中x∈R，t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间．
　
　
　
类型二　证明函数的单调性问题
例3　证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．
　
　
反思与感悟　关于利用导数证明函数单调性的问题：
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
跟踪训练3　证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．
　
　
类型三　已知函数的单调性求参数范围
例4　已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．
　
　
　
反思与感悟　已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝x3－ax2－(a＋1)x＋2在区间[1,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
　
　
1．关于函数f(x)＝1－x－sin x，下列说法正确的是________．(填序号)
①在(0,2π)上是增函数；
②在(0,2π)上是减函数；
③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数；
④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数．
2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是________．
3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为________．
4．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．
5．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间．
　
　
　
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
提醒：完成作业　第3章　§3.3　3.3.1
答案精析
问题导学
知识点
思考1　正　递增　正　正　递增　负　递减　负　负　递减　负　负　递减
思考2　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，
①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；
②如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减．
梳理　(1)>　锐　上升　递增　<　钝
下降　递减　(2)增　减
题型探究
例1　解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝6x－＝
＝，
由x>0，解f′(x)>0，得x>；
由x<0，解f′(x)<0，得0所以函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
跟踪训练1　解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
例2　解　函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝.
设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；
当a>0时，由g(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．
当x∈(0，)时，g(x)<0，
即f′(x)<0；
当x∈(，＋∞)时，g(x)>0，
即f′(x)>0.
所以当a>0时，函数f(x)在区间(0，)上为减函数，在区间(，＋∞)上为增函数．
综上，当a＝0时，函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调增区间是(，＋∞)，单调减区间是(0，)．
引申探究
解　f′(x)＝2ax－＝，
当a≤0时，且x∈(0，＋∞)，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；
当a>0时，令f′(x)＝0，
解得x＝或－(舍去)．
当x∈(0，)时，f′(x)<0，
∴f(x)为减函数；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)为增函数．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；
当a>0时，f(x)在(0，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数．
跟踪训练2　解　f′(x)＝12x2＋6tx－6t2
＝6(x＋t)(2x－t)，
令f′(x)＝0，得x1＝－t，x2＝.
当t<0，x∈(，－t)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－∞，)时，f′(x)>0，
此时f(x)为增函数，
同理当x∈(－t，＋∞)时，f(x)也为增函数．
∴当t<0时，f(x)的增区间为(－∞，)和(－t，＋∞)，
f(x)的减区间为(，－t)；
当t>0，x∈(－t，)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数，
当x∈(－∞，－t)和x∈(，＋∞)时，
f′(x)>0，此时f(x)为增函数，
∴当t>0时，f(x)的增区间为(－∞，－t)，(，＋∞)，
f(x)的减区间为(－t，)．
综上所述，①当t<0时，f(x)的单调增区间是(－∞，)，(－t，＋∞)，单调减区间是(，－t)．
②当t>0时，f(x)的单调增区间是(－∞，－t)，(，＋∞)，单调减区间是(－t，)．
例3　证明　f′(x)＝，
又x∈，
则cos x<0，sin x>0，
∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．
跟踪训练3　证明　∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
又0∴f′(x)＝>0，故f(x)在区间(0，e)上是增函数．
例4　解　f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵当x∈[2，＋∞)时，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))，有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是(－∞，16]．
跟踪训练4　解　方法一　f′(x)＝x2－ax－(a＋1)，
因为函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以f′(x)≤0，即x2－ax－(a＋1)≤0，解得a≥x－1.
因为在[1,2]上，a≥x－1恒成立，
所以a≥(x－1)max＝1.
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
方法二　f′(x)＝(x＋1)[x－(a＋1)]，
由于函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以f′(x)≤0，当a>－2时，解得－1≤x≤a＋1，
即减区间为[－1，a＋1]，则[1,2]?[－1，a＋1]，得a≥1.
当a≤－2时，解得减区间为[a＋1，－1]，
则函数f(x)不可能在[1,2]上为减函数，故a≥1.
所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．
当堂训练
1．②　2.④　3.　4.[3，＋∞)
5．解　f′(x)＝ex＋(x－k)ex
＝(x－k＋1)ex，
当x当x>k－1时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞)．
3．3.2　极大值与极小值
学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一　函数极值的概念
函数y＝f(x)的图象如图所示．
思考1　函数在x＝a处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？
　
　
思考2　f′(a)为多少？在x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？
　
　
思考3　函数在x＝b处的情况呢？
　
　
梳理　(1)极小值点与极小值
函数y＝f(x)在x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f(x)在x＝b处的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．________________、________________统称为极值点，____________和____________统称为极值．
知识点二　求函数y＝f(x)极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0的左侧f′(x)________0，右侧f′(x)________0，那么f(x0)是极小值．
类型一　求函数的极值和极值点
例1　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝＋3ln x.
　
　
　
反思与感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
　
　
　
类型二　已知函数极值求参数
例2　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
引申探究
1．若本例(2)中函数的极大值点是－1，求a的值．
2．若例(2)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围．
反思与感悟　已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
　
　
　
类型三　函数极值的综合应用
例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
　
　
　
反思与感悟　用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
　
　
1．已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有________个极大值点，________个极小值点．
2．函数f(x)＝x3ex的极值点x0＝________.
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为_______________．
4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
5．已知关于x的函数f(x)＝－x3＋bx2＋cx＋bc，若函数f(x)在x＝1处取得极值－，则b＝________，c＝________.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
提醒：完成作业　第3章　§3.3　3.3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　函数在x＝a处的函数值比它在x＝a附近的其他点的函数值都小．
思考2　f′(a)＝0，在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
思考3　函数在x＝b处的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
梳理　(2)极大值点　极小值点　极大值　极小值
知识点二
(1)>　<　(2)<　>
题型探究
例1　解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，
得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值3
↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值．
跟踪训练1　解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，①
又f(0)＝b＝4，②
由①②可得a＝b＝4.
(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4
＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln 2)
－ln 2
(－ln 2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
例2　(1)2　9　(2)(－∞，1)
引申探究
1．解　f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值．
2．解　由题意得方程x2－2x＋a＝0有两不等正根，设为x1，x2，
则
解得0故a的取值范围是(0,1)．
跟踪训练2　解　(1)因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，
所以f′(x)＝＋2bx＋1.
依题意得f′(1)＝f′(2)＝0，
即
解方程组得a＝－，b＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝－ln x－x2＋x(x>0)，
故f′(x)＝－－x＋1
＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值－ln 2.
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．
例3　解　(1)f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知，y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
跟踪训练3　解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，)
(，4)
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
↘
－16－m
↗
则函数g(x)的极大值为g()＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得
解得－16当堂训练
1．2　2　2.－3　3.(－∞，－3)∪(6，＋∞)　4.9　5.－1　3
3．3.3　最大值与最小值
学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点　函数的最大值与最小值
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
　
　
思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
　
　
思考3　函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
　
　
思考4　怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
　
　
梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________________的曲线，那么它必有最大值与最小值．
(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；
②将函数y＝f(x)的____________与________处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是____________，最小的一个是____________．
类型一　求函数的最值
命题角度1　不含参数的函数求最值
例1　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
　
　
　
反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1　求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．
　
　
　
命题角度2　含参数的函数求最值
例2　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
　
　
　
反思与感悟　由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练2　在例2中，将区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？
　
　
　
类型二　由函数的最值求参数
例3　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
　
　
反思与感悟　已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3　设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0　
　
类型三　函数最值的综合应用
例4　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
　
　
反思与感悟　(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
跟踪训练4　已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围．
　
　
1．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①有最大值，但无最小值；②有最大值，也有最小值；
③无最大值，但有最小值；④既无最大值，也无最小值．
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是________．
3．函数f(x)＝x3－x2－x＋t在区间[0,2]上的最小值为3，则函数在[0,2]上的最大值为________．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a＝________.
5．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
提醒：完成作业　第3章　§3.3　3.3.3
答案精析
问题导学
知识点
思考1　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2　存在，f(x)min＝f(a)，
f(x)max＝f(x3)．
思考3　不一定，也可能是区间端点的函数值．
思考4　比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．
梳理　(1)连续不断　(2)①极值　②各极值　端点　最大值　最小值
题型探究
例1　解　(1)f(x)＝2x3－12x，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0,2π]，
解得x＝π或x＝π.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，
f(π)＝＋，
f(π)＝π－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
跟踪训练1　解　∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)
＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，
f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
例2　解　令f′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
跟踪训练2　解　令f′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝a.
①当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；
②当a≤－1，即a≤－时，
f(x)在[－1,0]上单调递减，
从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；
③当－1f(x)在上单调递增；在上单调递减，
则f(x)max＝f＝－a3.
综上所述，
f(x)max＝
例3　解　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，
f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，
f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，
f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，
b＝－29.
跟踪训练3　解　f′(x)＝－x2＋x＋2a，
令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
当x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)时，
f′(x)<0；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，
即f(4)所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，
故a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
例4　解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)
＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，
t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
单调递增
1－m
单调递减
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，
只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
跟踪训练4　解　由2xln x≥－x2＋ax－3，
则a≤2ln x＋x＋.
设h(x)＝2ln x＋＋x(x>0)．
则h′(x)＝，
令h′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝4.
∴a≤h(x)min＝4.
∴a的取值范围是(－∞，4]．
当堂训练
1．④　2.π　3.6　4.－　5.(7，＋∞)
3.4 导数在实际生活中的应用
学习目标　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点　生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为________________．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的______________过程．
类型一　几何中的最值问题
命题角度1　平面几何中的最值问题
例1　某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
　
反思与感悟　平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1　如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．
　
　
　
命题角度2　立体几何中的最值问题
例2　请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
　
　
反思与感悟　(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题．
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
跟踪训练2　周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm3.
类型二　实际生活中的最值问题
命题角度1　利润最大问题
例3　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
　
　
反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
　
　
　
　
命题角度2　费用(用料)最省问题
例4　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
　
　
　
反思与感悟　(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练4　某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560＋48x)元．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
　
　
　

1．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________时．
2．用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________ m3.
3．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝
则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是________．
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
　
　
　
　
　
　
　
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
提醒：完成作业　第3章　§3.4
答案精析
知识梳理
知识点
1．优化问题
3．数学建模
题型探究
例1　解　(1)BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ
＝100＋100cos θ，θ∈(0，π)．
则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)
＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．
令S′＝0，
得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，
此时θ＝.
当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：
θ
(0，)
(，π)
S′
＋
0
－
S
↗
极大值
↘
所以，当θ＝时，S取得最大值为Smax＝3 750 m2，
此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.
跟踪训练1　解　设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴BC＝4－2x，BA＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，
y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，
令y′＝0，解得x＝2±，
∵0∵当00，函数单调递增；
当2－∴当x＝2－时，矩形的面积有最大值.
例2　解　(1)由题意知，包装盒的底面边长为x cm，
高为(30－x)cm，
所以包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×()2
＝8×225，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.
(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0令V′<0，得20所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒的底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.
跟踪训练2　π
例3　解　(1)当0W＝xR(x)－(10＋2.7x)
＝8.1x－－10，
当x>10时，
W＝xR(x)－(10＋2.7x)
＝98－－2.7x，
所以W＝
(2)①当0由W′＝8.1－＝0，得x＝9.
当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10]时，W′<0.
所以当x＝9时，W取得最大值，
即Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时，W＝98－(＋2.7x)
≤98－2 ＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，
W取得最大值38.
综合①②知，当x＝9(千件)时，W取得最大值为38.6万元．
答　当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
跟踪训练3　解　(1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答　当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
例4　解　(1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x
＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5(x＝－舍去)，
当0当50，
故x＝5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
答　当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
跟踪训练4　解　设该楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，
则f(x)＝560＋48x＋＝560＋48x＋，x≥10，
f′(x)＝48－，
令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；当10≤x<15时，f′(x)<0.
所以当x＝15时，f(x)取得最小值，
即f(15)＝2 000.
答　为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建15层．
当堂训练
1．8　2.8　3.300　4.160
5．解　(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)
＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,21]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．
习题课 导数的应用
学习目标　1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．
知识点一　函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递________
f′(x)<0
单调递________
知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．
知识点三　函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
2．将函数y＝f(x)的________与端点处的函数值________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．
类型一　数形结合思想的应用
例1　已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________．

反思与感悟　解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：
(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的．
(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点．
跟踪训练1　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是________．
类型二　构造函数求解
命题角度1　比较函数值的大小
例2　已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋<0，若a＝f()，b＝－f(－)，c＝(ln )f(ln )，则a，b，c的大小关系是________．
反思与感悟　本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数．
跟踪训练2　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．
命题角度2　求解不等式
例3　定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)2ex的解集为________．
反思与感悟　根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)＝，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围．
跟踪训练3　设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数．当x>0时，f(x)＋x·f′(x)>0，且f(1)＝0，则不等式x·f(x)>0的解集为________．
命题角度3　利用导数证明不等式
例4　已知x>1，证明不等式x－1>ln x.
　
　
反思与感悟　利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；
(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；
(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立．
跟踪训练4　证明：当x>0时，2＋2x<2ex.
　
　
类型三　利用导数研究函数的极值与最值
例5　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
　
　
反思与感悟　(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练5　已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间及极值；
(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值．
　
　
1．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________．(填序号)
2．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________．
3．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
4．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a①f(x)g(x)>f(b)g(b)；②f(x)g(a)>f(a)g(x)；
③f(x)g(b)>f(b)g(x)；④f(x)g(x)>f(a)g(a)．
5．已知x>0，求证：x>sin x.
　
导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
提醒：完成作业　第3章　习课题
答案精析
知识梳理
知识点一
增　减
知识点二
(1)f′(x)>0　f′(x)<0
(2)f′(x)<0　f′(x)>0
知识点三
2．极值　f(a)，f(b)　最大　最小
题型探究
例1　④　跟踪训练1　①
例2　bb>c
例3　(0，＋∞)　跟踪训练3　(1，＋∞)
例4　证明　设f(x)＝x－1－ln x，x∈(1，＋∞)，
则f′(x)＝1－＝，
因为x∈(1，＋∞)，
所以f′(x)＝>0，
即函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
又x>1，所以f(x)>f(1)＝1－1－ln 1＝0，
即x－1－ln x>0，所以x－1>ln x.
跟踪训练4　证明　设f(x)＝2＋2x－2ex，
则f′(x)＝2－2ex＝2(1－ex)．
当x>0时，ex>e0＝1，
∴f′(x)＝2(1－ex)<0.
∴函数f(x)＝2＋2x－2ex在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x)即当x>0时，2＋2x－2ex<0，
∴2＋2x<2ex.
例5　解　(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，
得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
2
↘
－2
↗
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，
f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则解得－2即实数c的取值范围为(－2,0]．
跟踪训练5　解　(1)∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b
＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，
∴解得a＝1，b＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4；
令f′(x)<0，得－4令f′(x)>0，得x<－4或x>4.
∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，
f(x)极小值＝f(4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f(4)＝－128，
f(1)＝－47，f(5)＝－115，
∴函数的最大值为－47，最小值为－128.
当堂训练
1．③　2.－37　3.(－∞，)　4.③
5．证明　设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数，
又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴x>sin x(x>0)．
第三章 导数及其应用
1　巧用法则求导数
导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．
1．函数和(或差)的求导法则
(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)
例1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝＋ln x；
(2)y＝x3－2x＋3.
解　(1)f′(x)＝－＋.
(2)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
点评　记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．
2．函数积的求导法则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
例2　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2ex；
(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解　(1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′
＝2xex＋x2ex.
(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)·(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
点评　特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)．同时要记住结论：若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．
3．函数商的求导法则
′＝(g(x)≠0)
例3　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tan x；
(3)f(x)＝＋ .
解　(1)f′(x)＝()′＝
＝.
(2)f′(x)＝(tan x)′＝()′
＝＝.
(3)因为f(x)＝＋＝＝，
所以f′(x)＝()′＝＝.
点评　应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率．
4．分式求导
对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．
例4　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝.
解　(1)因为y＝＝x－1＋，
所以y′＝1＋＝1－.
(2)因为y＝＝x2＋x3＋x4，
所以y′＝2x＋3x2＋4x3.
点评　本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”.
2　导数计算中的“陷阱”
导数的计算是导数学习中的一个重要方面．但由于同学们不能熟记公式及法则，不能理解公式中的对应量的含义，不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误．下面对求导过程中的常见错误进行梳理，希望对同学们有所帮助．
1．未能区分好变量与常量而致错
例1　求f(x)＝ax＋cos a的导数(其中a为常数)．
错解　f′(x)＝axln a－sin a.
错因分析　本题错在忽视变量ax与常量cos a的不同，常量的导数应为0.
正解　f′(x)＝axln a.
2．忽视导数定义中严谨结构
例2　已知函数f(x)＝2x3＋5，求当Δx→0时，趋近于何值．
错解一　因为＝
＝＝24＋12Δx＋2Δx2.
当Δx→0时，→24.所以→24.
错解二　因为＝24＋12Δx＋2Δx2，
当Δx→0时，→24.
所以→3×24＝72.
错因分析　未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实际上中增量Δx分子与分母要一致，这与用哪个字母没关系．
正解　因为＝24＋12Δx＋2Δx2，
当Δx→0时，→24.
所以→(－3)×24＝－72.
3．混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数
例3　已知f(x)＝，求f′(2 015)．
错解　∵f(2 015)＝＝0，
∴f′(2 015)＝(0)′＝0.
错因分析　f′(2 015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数，应先求f′(x)，再求f′(2 015)．
正解　∵f′(x)＝，
∴f′(2 015)＝－＝－.
指点迷津　上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解，因此大家学习中应注重基础，注重知识生成及本质规律．错误并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教训．
3　导数运算的常用技巧
同学们是否有这样的感受，求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时，仍然很困难，甚至无从下手？
虽然掌握了基础知识，但还要掌握一定的方法和技巧，方能彻底解决问题，下面举几例来说明．
1．多项式函数展开处理
例1　求f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)的导数．
分析　若f(x)的表达式为两个因式相乘可以展开求导，也可以不展开而利用积的求导法则，但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导．
解　∵f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)＝x3－6x2＋11x－6，
∴f′(x)＝3x2－12x＋11.
2．分式函数化整式函数
例2　求函数f(x)＝的导数．
分析　如果直接利用积与商的求导法则，运算将很烦琐，不如先看分子、分母有无公因式可约分．
解　∵f(x)＝＝
＝x2＋1(x≠－2)．
∴f′(x)＝(x2＋1)′＝2x(x≠－2)．
3．无理函数化有理函数
例3　求函数y＝＋的导数．
分析　直接利用商的求导法则，运算量很大，且容易出错，不妨先通分变“无理”为“有理”．
解　∵y＝＝＝－2，
∴y′＝(－2)′＝－＝.
整体总评　上述三个实例虽然细节处理不相同，但都体现了化归思想这一重要方法，先变形(化简)再解决问题；当然化归是为了更简捷、更方便处理问题，化归不一定要化简到最简单，而是化归到最合适．比如求tan x的导数，tan x本身形式已较简单，但仍然用不上所学知识，因此可考虑将tan x变形为，从而使问题得到解决，总之同学们要明确化归的目的，是为更容易用所学知识解决问题.
4　导数妙求数列前n项和
数列的求和是数列中特别重要的一个知识块，如我们常用的求和方法有公式求和、分组求和、裂项求和、错位相减求和、倒序相加求和等，但同学们想过用导数法求和吗？下面的例子将为我们展示导数法求和的魅力．
例　已知x≠0，求数列{nxn－1}的前n项和Sn.
解　对于{anbn}的求和，若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，一般用错位相减法求和，但计算量较大，且很容易出错，此时我们可构造函数fn(x)＝xn，则f′n(x)＝nxn－1.
∴Sn＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝(x＋x2＋x3＋…＋xn)′.
讨论如下：(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
(2)当x≠1时，Sn＝′
＝.
感悟　本题用导数方法让人耳目一新，但需要注意的是导数加法法则仅对有限项成立．

5　利用导数求切线方程
曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f′(x0)的几何意义为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳．
1．已知切点，求曲线的切线方程
此类题只需求出曲线的导数f′(x)，并代入点斜式方程即可．
例1　曲线f(x)＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为________________．
解析　由f′(x)＝3x2－6x知，
在点(1，－1)处的斜率k＝f′(1)＝－3.
所以切线方程为y－(－1)＝－3(x－1)，
即y＝－3x＋2.
答案　y＝－3x＋2
2．已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例2　求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2.
所以切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)·(x－x0)．
又知切线过点(1，－1)，
所以－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1，或x0＝－.
故所求切线方程为y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，
或y－(－＋1)＝(－2)·(x＋)，
即x－y－2＝0，或5x＋4y－1＝0.
点评　可以发现直线5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－，)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．
3．已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例3　求过点(2,0)且与曲线f(x)＝相切的直线方程．
解　设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为f′(x0)＝－.
所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，
得－＝－(2－x0)．
解得x0＝1，y0＝＝1，即x＋y－2＝0.
点评　点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性．
4．求两条曲线的公切线
例4　已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－x2＋4x－4，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
分析　设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．
解　设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－x＋4x2－4)．由C1：y＝x2，得y′＝2x，
则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x，由C2：y＝－x2＋4x－4，得y′＝－2x＋4，
则与C2相切于点Q的切线方程为
y＝－2(x2－2)x＋x－4.
因为两切线重合，所以2x1＝－2(x2－2)，且－x＝x－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
点评　公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解．
6　导数中的分类讨论思想
分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？
1．按导数为零的根的大小来分类
例1　设函数f(x)＝－x(x－a)2(x∈R)，其中a∈R且a≠0，求函数f(x)的极大值和极小值．
解　f′(x)＝－(3x－a)(x－a)，令f′(x)＝0，
解得x＝a或x＝.
当a>，即a>0，x∈(－∞，)时，f′(x)<0，
x∈(，a)时，f′(x)>0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极小值－a3，在x＝a处取得极大值0.
当a<，即a<0，x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，
x∈(a，)时，f′(x)>0，x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，
因此，函数f(x)在x＝处取得极大值－a3，在x＝a处取得极小值0.
点评　本题对f(x)求导后，得到一个二次函数，令f′(x)＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类．
2．按是否为二次函数来分类
例2　已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a≤)，讨论f(x)的单调性．
解　f′(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)，
(1)当a＝0时，h(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，此时f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
(2)当a≠0时，由f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－1，
①当a＝，即x1＝x2时，h(x)≥0恒成立，
此时f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当01>0，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(1，－1)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(－1，＋∞)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减；
③当a<0时，－1<0<1，
x∈(0,1)时，h(x)>0，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增；
当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当0点评　由于f′(x)的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围．
3．按最值来分类
例3　设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
解　令g(x)＝f(x)－ax，
则g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立)，
所以当a≤2时，g′(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax.
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为x1＝ln <0，x2＝ln >0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数．
所以当x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2.
点评　本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论．
小结　通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论.

7　“极值点类型”大揭密
通过求导，我们能够探索函数极值的情况，根据对多种题型的分析，可从极值的有无和多少进行分类，有的函数仅有唯一极值点，有的函数无极值点，有的却有两个或两个以上的极值点，这些数量的不同从哪里体现出来呢？下面通过三个实例来讨论．
1．破解无极值点类型
例1　若已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)在x∈(－1,1)内没有极值点，试求实数a的取值范围．
分析　“没有极值点”即导数方程在区间(－1,1)内无解；在实数集上无解，或在实数集上有解但其根均在区间(－1,1)之外．
解析　由题意，得f′(x)＝3x2＋2ax－a2，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－a.
依题意知，两根不在区间(－1,1)内，
则
所以a≥3，因此a的取值范围为[3，＋∞)．
点评　本题还可以利用补集思想，先求出函数在(－1,1)内有极值点时a的取值范围，再取其补集即可．
2．破解唯一极值点类型
例2　若函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b，其中a，b∈R，仅在x＝0处存在极值，则实数a的取值范围是________．
分析　问题中的“仅”即“存在且唯一”的意思，由此可得对应符号语言．
解析　由题意f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)，而已知函数f(x)仅在x＝0处存在极值，这说明方程4x2＋3ax＋4＝0要么无解，要么有两个相同实数根，因此它的判别式Δ＝(3a)2－64≤0，解得－≤a≤，即a的取值范围是[－，]．
答案　[－，]
点评　对于导函数为三次函数的情形，要充分对三次式进行因式分解，这样便于显现出f′(x)＝0的根的情况．
3．破解多个极值点类型
例3　如果函数f(x)＝ax5－bx3＋c(a>0)在x＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a，b，c的值．
分析　本题主要考查利用函数的极值来确定参数的值，解决本题的关键是运用待定系数法求a，b，c的值．
解　∵y′＝5ax4－3bx2，令y′＝0，即5ax4－3bx2＝0，
∴x2(5ax2－3b)＝0.
∴x2＝0或5ax2－3b＝0.
∵x＝±1是极值点，
∴5a(±1)2－3b＝0，∴5a＝3b.
∴极值点可能为x＝0，x＝±1.
∵a>0，∴y′＝5ax2(x2－1)．
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
无极值
↘
极小值
↗
由上表可知，当x＝－1时，f(x)有极大值，
当x＝1时，f(x)有极小值．
∴?
经检验a＝3，b＝5，c＝2符合题意．
点评　对于导函数的零点较多时，要充分利用表格寻找极值点．
8　导数应用中的常见误区
虽然导数确实为我们解决函数问题带来了便利，但如果混淆某些概念，忽视了定理的应用条件，就会得出错误的结论．本文将介绍在解题中出现的几种典型错误，以帮助大家走出误区，加深对概念的理解．
1．误把切点当极值点
例1　已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在x＝1处的切线方程是y＝x－2，求f(x)的解析式．
错解　f′(x)＝4ax3＋2bx.
将x＝1代入y＝x－2中，得y＝－1.
由题意知，即
解得a＝2，b＝－4，c＝1.因此f(x)＝2x4－4x2＋1.
剖析　本题错在将切点当做极值点，得到f′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．
正解　f′(1)表示函数f(x)的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f′(1)＝1，再联立f(0)＝1，f(1)＝－1便可得到正确答案：a＝，b＝－，c＝1，因此f(x)＝x4－x2＋1.
2．误把零点当极值点
例2　求函数f(x)＝x4－x3的极值，并说明是极小值还是极大值．
错解　f′(x)＝4x3－3x2，令f′(x)＝0，
即当4x3－3x2＝0，得x1＝0，x2＝.
所以f(0)＝0，f()＝－，
又f()剖析　本题错在将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值．
正解　f′(x)＝4x3－3x2，令f′(x)＝0，
即4x3－3x2＝0时，得x1＝0，x2＝.
当x变化时，f(x)、f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
f(x)
↘
不是极值点
↘
极小值
↗
由上表可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，)上还是减函数，所以x＝0不是函数的极值点，而函数f(x)在区间(0，)上是减函数，在区间(，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝处取得极小值，极小值为－.
3．误把必要不充分条件当作充要条件
例3　已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围．
错解　f′(x)＝3ax2＋6x－1.
∵f(x)在R上是减函数，
∴f′(x)<0，即3ax2＋6x－1<0在x∈R上恒成立，
∴a<0且Δ＝36＋12a<0，因此a<－3.
剖析　f(x)在R上是减函数是f′(x)<0的必要不充分条件，而不是充要条件，实际上f(x)在R上是减函数可能存在着f′(x)＝0的情况，只要f′(x)不恒为0即可，本题可采用先由f′(x)≤0求解，然后验证f′(x)＝0的特殊情况即可．
正解　由f′(x)≤0，即不等式3ax2＋6x－1≤0在x∈R上恒成立，于是a<0且Δ＝36＋12a≤0，解得a≤－3.
当a＝－3时，f(x)＝－3x3＋3x2－x＋1＝－3(x－)3＋，显然是R上的减函数，故a≤－3符合题意．
点评　上述三个例题虽然错误根源不同，但为了防止出错，我们应该正确理解有关概念，掌握概念之间的区别和联系．在例3中我们应加强检验的意识．
第三章 导数及其应用
学习目标　1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题．
知识点一　在x＝x0处的导数
1．定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，若Δx无限趋于0时，比值＝_______________无限趋近于一个常数A，称函数y＝f(x)在x＝x0处可导．________为f(x)在x＝x0处的导数．
2．几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线________．
3．物理意义：瞬时速度、瞬时加速度．
知识点二　基本初等函数的求导公式
函数
导数
y＝C
y′＝________
y＝xα(α为常数)
y′＝________
y＝sin x
y′＝________
y＝cos x
y′＝________
y＝ax(a>0且a≠1)
y′＝________
y＝ex
y′＝________
y＝logax(a>0且a≠1)
y′＝________
y＝ln x
y′＝________
知识点三　导数的运算法则
和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝____________
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝____________
商的导数
′＝________________(g(x)≠0)
知识点四　函数的单调性、极值与导数
1．函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值与导数
(1)极大值：在x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时，________，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
(2)极小值：在x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
知识点五　求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的________．
2．将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
特别提醒　(1)关注导数的概念、几何意义
利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知，若切点未知，则设出切点，用切点坐标表示切线斜率．
(2)正确理解单调性与导数、极值与导数的关系
①当函数在区间(a，b)上为增函数时，f(x)≥0；
②f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x0处取极值的必要条件．
类型一　导数几何意义的应用
例1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
　
　
　
反思与感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1　求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．
　
　
　
类型二　函数的单调性与导数
例2　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，x∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．
　
　
反思与感悟　(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
(4)求参数的范围时常用到分离参数法．
跟踪训练2　设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
　
　
类型三　函数的极值、最值与导数
例3　已知f(x)＝x－1＋，
(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求f(x)的极值；
(3)当a＝1时，直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求实数k的取值范围．
　
　
　
反思与感悟　(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．
跟踪训练3　已知a，b为常数且a>0，f(x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋b.
(1)函数f(x)的极大值为2，求a、b间的关系式；
(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－，求a、b的值．
　
　
类型四　导数与函数、不等式的综合应用
例4　设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；
(3)当a＝时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．
　
　
　
反思与感悟　不等式恒成立问题，关键是确定函数在给定区间的最值，这时往往需要分类讨论，函数的零点与方程根的问题，注意数形结合思想的应用．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，x2＋ln x　
　
1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________米/秒．
2．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的单调递减区间为________．
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝________，b＝________.
4．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．
5．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
　
　
　
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．
提醒：完成作业　第3章　章末复习课
答案精析
知识梳理
知识点一
1.　常数A
2．斜率
知识点二
0　αxα－1　cos x　－sin x　axln a
ex　　
知识点三
f′(x)±g′(x)　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
知识点四
1．f′(x)>0　f′(x)<0
2．(1)f′(x)>0　f′(x)<0
(2)f′(x)<0　f′(x)>0
知识点五
1．极值
2．端点处函数值f(a)，f(b)
题型探究
例1　解　(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9
＝(x＋a)2－a2－9，
∴f′(x)min＝－a2－9，
由题意知，－a2－9＝－10，
∴a＝1或－1(舍去)．
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1.
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
跟踪训练1　解　设切点坐标为P(x0，y0)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x，则切线的斜率为k＝y′|＝3x2＋6x|＝3x＋6x0.
又∵直线2x－6y＋1＝0的斜率为k′＝，
∴k·k′＝(3x＋6x0)×＝－1，
解得x0＝－1，
∴y0＝－3，即P(－1，－3)．
又k＝－3，
∴切线方程为y＋3＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋6＝0.
例2　解　(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋1.
当Δ≤0，即a2≤3时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增．
当a2>3时，令f′(x)＝0，求得两根为x＝.
即f(x)在(－∞，)内是增函数，
在(，)内是减函数，
在(，＋∞)内是增函数．
所以函数f(x)在(－∞，)和(，＋∞)内是增函数；
在(，)内是减函数．
(2)若函数在区间(－，－)内是减函数，
则f′(x)＝3x2＋2ax＋1的两根在区间(－，－)外，
即解得a≥2，
故a的取值范围是[2，＋∞)．
跟踪训练2　解　(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
(2)由(1)得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，
单调递减区间为(0，a)．
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即当x∈(－2，－1)时，a<(x＋)max＝－2，
当且仅当x＝即x＝－时等号成立．
所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．
例3　解　f′(x)＝1－.
(1)∵f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
∴由f′(1)＝0，得a＝e.
(2)①当a≤0时，f′(x)>0，y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，
所以y＝f(x)无极值；
②当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，y＝f(x)在(－∞，ln a)上递减；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，y＝f(x)在(ln a，＋∞)上递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，y＝f(x)无极值；
当a>0时，y＝f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
(3)当a＝1时，f(x)＝x－1＋.
直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点等价于关于x的方程kx－1＝x－1＋在R上没有实数解，
即关于x的方程(k－1)x＝(*)在R上没有实数解．
①当k＝1时，方程(*)为＝0，在R上没有实数解；
②当k≠1时，方程(*)为＝xex.
令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex，
令g′(x)＝0，得x＝－1.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减↘
－
增↗
当x＝－1时，g(x)min＝－，
从而g(x)∈[－，＋∞)．
所以当∈(－∞，－)时，方程(*)没有实数解，
解得k∈(1－e,1)．
综上，k的取值范围为(1－e,1]．
跟踪训练3　解　(1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，
因为a>0，所以x1当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增↗
极大值
减↘
极小值
增↗
所以当x＝－1时，f(x)有极大值2，
即3a＋2b＝3.
(2)当0在(a,3]上为增函数，所以f(a)为最小值，
f(a)＝－a3－a2＋b.
即－a3－a2＋b＝－，
又b＝.
于是有a3＋3a2＋3a－26＝0，
即(a＋1)3＝27，a＝2，b＝－；
当a>3时，由(1)知，f(x)在[0,3]上为减函数，即f(3)为最小值，f(3)＝－，从而求得a＝，不合题意，舍去．
综上a＝2，b＝－.
例4　解　(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2
＝－(x－a)(x－3a)．
令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a)
a
(a，3a)
3a
(3a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数；在(a,3a)上是增函数．
当x＝a时，f(x)取得极小值，
f(x)极小值＝f(a)＝b－a3；
当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b.
(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a.
因为0所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数．
当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，
f′(a＋1)＝2a－1；
当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，
f′(a＋2)＝4a－4.
于是有即≤a≤1.
又因为0(3)当a＝时，f(x)＝－x3＋x2－x＋b.
f′(x)＝－x2＋x－，由f′(x)＝0，
即－x2＋x－＝0，
解得x1＝，x2＝2，
即f(x)在上是减函数，
在上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．
要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，
即f(x)在[1,2)，(2,3]上各有一个实根，
于是有即
解得0跟踪训练4　解　(1)当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
(2)设g(x)＝x3－x2－ln x(x>1)，
则g′(x)＝2x2－x－.
因为当x>1时，
g′(x)＝>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝>0，
即x3－x2－ln x>0，
所以x2＋ln x故当x>1时，x2＋ln x当堂训练
1．5　2.(，1)　3.－3　－9
4．[3，＋∞)
5．解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
所以f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－16a＝(6－8a)(x－1)，
由点(0,6)在切线上，
可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.
综上，f(x)的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，单调减区间为(2,3)，f(x)的极大值为＋6ln 2，极小值为2＋6ln 3.
2.1 圆锥曲线
学习目标　1.掌握圆锥曲线的类型及其定义、几何图形和标准方程，会求简单圆锥曲线的方程.2.通过对圆锥曲线性质的研究，感受数形结合的基本思想和理解代数方法研究几何性质的优越性．
知识点一　椭圆的定义
思考　命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和为PA＋PB＝2a (a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的什么条件？
　
　
梳理　平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(________)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2称为椭圆的________，两焦点之间的距离称为椭圆的________．
知识点二　双曲线的定义
思考1　取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？【出处：21教育名师】
　
思考2　在双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a　
　
梳理　平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(____________)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1，F2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
知识点三　抛物线的定义
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
思考1　画出的曲线是什么形状？
　
　
思考2　DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？
　
　
思考3　点D在移动过程中，满足什么条件？
　
　
梳理　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的________，定直线l叫做抛物线的________．www.21-cn-jy.com
类型一　椭圆定义的应用
例1　在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．
(1)顶点A的轨迹是什么？
(2)指出轨迹的焦点和焦距．
　
　
反思与感悟　本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．21·cn·jy·com
跟踪训练1　在△ABC中，BC＝24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求△ABC的重心的轨迹方程．21*cnjy*com
　
　
类型二　双曲线定义的应用
例2　如图，已知动圆C与圆F1，F2均外切(圆F1与圆F2相离)，试问：动点C的轨迹是什么曲线？
　
引申探究
若把本例中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？
　
　
　
反思与感悟　判断动点轨迹是双曲线应满足三个条件：
(1)动点P到两定点的距离之差是否为常数；
(2)该常数是否小于两定点之间的距离；
(3)其差是否加上绝对值．
跟踪训练2　在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且|sin C－sin B|＝sin A，则顶点A的轨迹是什么？21世纪教育网版权所有
　
类型三　抛物线定义的应用
例3　若动圆与定圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹．
引申探究
点P到点F(2,0)的距离比它到直线l：x＝－3的距离小1，则点P的轨迹是________．
　
　
反思与感悟　判断点的轨迹是抛物线注意应满足两点：
(1)判断动点到定点与到定直线的距离相等．
(2)要特别注意定点不在定直线上．
跟踪训练3　若动点P(x，y)满足＝，则动点P(x，y)的轨迹是______________________________．21教育网
1．动点M到定点A(，0)，B(－，0)的距离之和是2，则动点M的轨迹是__________．
2．已知两点F1(－5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是____________．21·世纪*教育网
3．到定点A(4,0)和到定直线l：x＝－4的距离相等的点的轨迹是__________．
4．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹为________．(从圆、椭圆、双曲线或抛物线中选一个)2-1-c-n-j-y
5.如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内有一定点B(3,0)．动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，试判断圆心P的轨迹．【来源：21cnj*y.co*m】
　
　
　
　
1．在椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数2．在双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．2·1·c·n·j·y
3．在抛物线定义中F?l.若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．
提醒：完成作业　第2章　§2.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考　必要不充分条件．
仅当2a>AB时，P点的轨迹是椭圆；
而当2a＝AB时，P点的轨迹是线段AB；
当2a梳理　大于F1F2　焦点　焦距
知识点二
思考1　如图，曲线上的点满足条件：MF1－MF2＝常数．如果改变一下位置，使MF2－MF1＝常数．可得到另一条曲线．【版权所有：21教育】
思考2　若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一支．
只有当2aF1F2时，满足条件的点不存在．21教育名师原创作品
梳理　小于F1F2的正数　焦点　焦距
知识点三
思考1　抛物线．
思考2　是．AB是直角三角形的一条直角边．
思考3　DA＝DC.
梳理　焦点　准线
题型探究
例1　解　(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理，可得AC＋AB＝2BC.【来源：21·世纪·教育·网】
又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，
所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．
(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.
跟踪训练1　解　有一定长线段BC，两边上的中线长均与定点B、C和△ABC的重心有关系，因此考虑以BC的中点为原点建立坐标系．如图所示，21*cnjy*com
以线段BC所在的直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系．设M是△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线．由重心的性质知，BM＝BD，CM＝CE.于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>BC＝24.根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．
例2　解　设动圆C的半径为R，圆F1，F2的半径分别为r1，r2，易知CF1＝R＋r1，CF2＝R＋r2.
所以CF1－CF2＝r1－r2.
又CF1－CF2＝r1－r2故动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线靠近F2的一支．
引申探究
解　设动圆C的半径为R，
圆F1，F2的半径分别为r1，r2.
易知CF1＝R－r1，CF2＝R－r2，
CF2－CF1＝r1－r2故动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线靠近F1的一支．
跟踪训练2　解　因为|sin C－sin B|＝sin A，
由正弦定理，可得|AB－AC|＝BC＝m，且m所以点A的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC的两个交点)．
例3　解　如图所示，
设动圆O′的半径为r，则动圆的圆心O′到点(2,0)的距离为r＋1，点O′到直线x＝－1的距离为r，从而可知点O′到点(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等．由抛物线定义可知，动圆圆心O′的轨迹是抛物线．21cnjy.com
引申探究
抛物线
跟踪训练3　过点(0,2)且与直线x＋y－2＝0垂直的一条直线
当堂训练
1．椭圆　2.双曲线　3.抛物线　4.抛物线
5．解　由题意知A(－3,0)，
PA＝10－r，PB＝r，
则PA＋PB＝10>AB＝6，
满足椭圆的定义，
故点P的轨迹是以A，B两点为焦点的椭圆．
2．2.1　椭圆的标准方程
学习目标　1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是否是椭圆．
知识点一　椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆，这两个________叫做椭圆的焦点，________________叫做椭圆的焦距．
知识点二　椭圆的标准方程
思考1　在椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？
　
思考2　怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在的坐标轴？
　
梳理　椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
__________(a>b>0)
__________(a>b>0)
图形
焦点坐标
a，b，c的关系
类型一　椭圆的标准方程
命题角度1　求椭圆的标准方程
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B(， )；
(2)经过点(3，)，且与椭圆＋＝1有共同的焦点．
　
　
　
反思与感悟　求椭圆标准方程的方法
(1)定义法
即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．
(2)待定系数法
①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程．
特别提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．
跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)．
　
　
　
　
命题角度2　由标准方程求参数(或其取值范围)
例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．
反思与感悟　(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．
(2)＋＝1表示椭圆的条件是
表示焦点在x轴上的椭圆的条件是
表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________．
(2)若椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.
类型二　椭圆定义的应用
命题角度1　由椭圆的定义确定轨迹方程
例3　如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．
　
　
　
反思与感悟　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.
跟踪训练3　 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
　
　
命题角度2　椭圆中的焦点三角形
例4　如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
　
引申探究　
在本例中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连结BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．
　
　
反思与感悟　(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于PF1(或PF2)的方程求得PF1(或PF2)；有时把PF1·PF2看成一个整体，运用公式PF＋PF＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
(2)焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan .
跟踪训练4　设F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1>PF2，求的值．
　
　
1．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是________．
2．在椭圆的标准方程中，a＝6，b＝，则椭圆的标准方程是________________．
3．若△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________________．
4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的__________条件．
5．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2的面积是________．
1．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．
2．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．
提醒：完成作业　第2章　§2.2　2.2.1
答案精析
问题导学
知识点一
常数(大于F1F2)　定点F1，F2　两焦点间的距离
知识点二
思考1　在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间的距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
思考2　谁的分母大焦点在谁轴上．
梳理　＋＝1　＋＝1
(－c,0)与(c,0)　(0，－c)与(0，c)
c2＝a2－b2
题型探究
例1　解　(1)方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴
解得
这与a>b相矛盾，故应舍去．
当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴
解得
∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.
综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.
方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．
∵A(0,2)，B(，)在椭圆上，
∴∴
故椭圆的标准方程为x2＋＝1.
(2)方法一　椭圆＋＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，
由椭圆的定义，可得
2a＝＋，
∴2a＝12，即a＝6.
∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二　由题意可设椭圆的标准方程为
＋＝1，
将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得
＋＝1，
解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练1　解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知，
2a＝ ＋ ＝2，
即a＝.又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴∴
∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
∴代入得
∴
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例2　0跟踪训练2　(1)(7,10)　(2)3或5
例3　解　∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，
∴AQ＝PQ.
∴AQ＋BQ＝PQ＋BQ＝6＞AB＝4，
∴点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，
且2a＝6,2c＝4，
∴a＝3，c＝2，即b2＝a2－c2＝5，
∴点Q的轨迹方程为＋＝1.
跟踪训练3　解　如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，
∴PB＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距为PA＝10－r，
即PA＋PB＝10(大于AB＝6)，
∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝AB＝6，
∴a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
例4　解　在椭圆＋＝1中，a＝，
b＝2，
∴c＝＝1.
又∵P在椭圆上，
∴PF1＋PF2＝2a＝2.①
由余弦定理知，
PF＋PF－2PF1·PF2·cos 30°
＝F1F＝(2c)2＝4.②
①式两边平方，得
PF＋PF＋2PF1·PF2＝20.③
③－②，得(2＋)PF1·PF2＝16，
∴PF1·PF2＝16(2－)．
∴＝PF1·PF2·sin 30°
＝8－4.
引申探究　
解　由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为PB＋PF2＋BF2
＝(PF1＋PF2)＋(BF1＋BF2)
＝2a＋2a＝4a＝4.
跟踪训练4　解　当∠PF2F1＝90°时，
由
得PF1＝，PF2＝，∴＝.
当∠F1PF2＝90°时，同理求得PF1＝4，PF2＝2，
∴＝2.
综上，＝或2.
当堂训练
1．2　2.＋＝1或＋＝1
3.＋＝1(y≠0)　4.充要　5.6
2．2.2　椭圆的几何性质(一)
学习目标　1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一　椭圆的几何性质
已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：＋＝1，C2：＋＝1.
思考1　怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标分别是什么？
　
　
思考2　椭圆具有对称性吗？
　
　
思考3　椭圆C1、C2中x，y的取值范围分别是什么？
　
梳理　
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
焦点
焦距
F1F2＝2c
(c＝)
F1F2＝2c
(c＝)
范围
对称性
关于____________对称
顶点
轴
长轴长________，短轴长________
知识点二　椭圆的离心率
思考　观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？
　
　
梳理　(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的________．
(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆．
类型一　由椭圆方程研究其几何性质
例1　求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
引申探究　
已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
　
反思与感悟　解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．
　
　
类型二　求椭圆的离心率
命题角度1　与焦点三角形有关的求离心率问题
例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
反思与感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝ 求解．
跟踪训练2　设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
命题角度2　利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)
例3　(1)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2 作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．
(2)若椭圆＋＝1(a>b>0)上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°(F1，F2为椭圆的两个焦点)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
反思与感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．
跟踪训练3　若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
类型三　利用几何性质求椭圆的标准方程
例4　(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．
　
　
　
反思与感悟　此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．
跟踪训练4　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.
　
　
1．椭圆＋＝1的上顶点与右顶点之间的距离为________．
2．若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为________________________．
3．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
4．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是________________．
5．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
提醒：完成作业　第2章　§2.2　2.2.2(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点坐标为(0,4)与(0，－4)；令y＝0，得x＝±5，即椭圆与x轴的交点坐标为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点坐标为(0,5)与(0，－5)，与x轴的交点坐标为(4,0)与(－4,0)．
思考2　有．问题中两椭圆都是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
思考3　C1：－5≤x≤5，－4≤y≤4；
C2：－4≤x≤4，－5≤y≤5.
梳理　F1(－c,0)，F2(c,0)　F1(0，－c)，F2(0，c)　|x|≤a，|y|≤b　|x|≤b，|y|≤a　x轴、y轴和原点　(±a,0)，(0，±b)　(0，±a)，(±b,0)　2a　2b
知识点二
思考　如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0梳理　(1)离心率　(2)(0,1)　扁　0
题型探究
例1　解　将椭圆方程化成标准方程为＋＝1，
于是a＝4，b＝3，c＝＝.
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，
离心率e＝＝.又知焦点在x轴上，
∴两个焦点坐标分别是F1(－，0)和F2(，0)，
四个顶点坐标分别是A1(－4,0)，A2(4,0)，B1(0，－3)和B2(0,3)．
引申探究　
解　把椭圆的方程化为标准方程为＋＝1，
可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长为a＝3，
短半轴长为b＝2.
又得半焦距为c＝＝＝.
所以椭圆的长轴长为2a＝6，短轴长为2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－，0)，(，0)；四个顶点的坐标分别是(－3，0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率e＝＝.
跟踪训练1　解　将椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.
(1)当0焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．
顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0, )．
(2)当m>4时，长轴长和短轴长分别为，4.
焦点坐标为F1(0，－)，F2(0，)．
顶点坐标为A1(0，－)，A2(0，)，B1(－2,0)，B2(2,0)．
例2　－1
跟踪训练2　
例3　(1)　(2)[，1)
跟踪训练3　
例4　解　(1)∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3.
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3.
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的对称性知，B1F＝B2F.
又B1F⊥B2F，
∴△B1FB2为等腰直角三角形，
∴OB2＝OF，即b＝c.
又FA＝－，
即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，
将上面三式联立，得
解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
跟踪训练4　解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意有解得
∴椭圆方程为＋＝1.
同理可得当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意有∴b＝c＝6，
∴a2＝b2＋c2＝72，
∴所求椭圆方程为＋＝1.
当堂训练
1.　2.＋＝1或＋＝1　3.(0，±)　4.[4－2，4＋2]　5.
2．2.2　椭圆的几何性质(二)
学习目标　1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．
知识点一　点与椭圆的位置关系
思考1　判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系．
　
　
思考2　类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？
　
　
梳理　设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
＋>1
P在椭圆上
＋＝1
P在椭圆内
＋<1
知识点二　直线与椭圆的位置关系
思考1　直线与椭圆有几种位置关系？
　
　
思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？
　
　
梳理　直线与椭圆的三种位置关系
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ＝0
相离
无解
Δ<0
知识点三　直线与椭圆的相交弦
思考　若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？
　
　
梳理　弦长公式：(1)AB＝＝|x1－x2|＝；
(2)AB＝ |y1－y2|
＝
(直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)．
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到．
类型一　直线与椭圆的位置关系
命题角度1　直线与椭圆位置关系的判定
例1　若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
　
反思与感悟　判断直线与椭圆的位置关系的方法
跟踪训练1　当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.
(1)无公共点；
(2)有且仅有一个公共点；
(3)有两个公共点．
　
　
命题角度2　距离的最值问题
例2　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
　
　
　
反思与感悟　本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；(3)直线与椭圆相离?Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．
跟踪训练2　已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
　
　
　
类型二　弦长及中点问题
例3　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．
(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；
(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．
　
　
反思与感悟　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练3　已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
　
　
　
类型三　椭圆中的最值(或范围)问题
例4　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
引申探究　
在本例中，若设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求△AOB面积的最大值及△AOB面积最大时的直线方程．
　
　
　
反思与感悟　解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练4　直线y＝b与椭圆＋y2＝1交于A，B两点，记△AOB的面积为S.求在0　
　
1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是__________．
2．过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则AB＝________.
3．椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1－y2|的值为________．
4．过点P(－1,1)的直线交椭圆＋＝1于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，则AB所在的直线方程为________________．
5．直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且MN＝，求直线l的方程．
　
　
1．直线与椭圆相交弦长的有关问题
(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．
(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB＝＝
＝ ·
＝
＝ ·(k为直线斜率)．
(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
2．解决椭圆中点弦问题的二种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
提醒：完成作业　第2章　§2.2　2.2.2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　当x＝1时，得y2＝，
故y＝±，而2>，故点在椭圆外．
思考2　当P在椭圆外时，＋>1；
当P在椭圆上时，＋＝1；
当P在椭圆内时，＋<1.
知识点二
思考1　有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．
思考2　联立消去y得关于x的一元二次方程．
知识点三
思考　有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得；另一种方法是利用弦长公式可求得．
题型探究
例1　解　因为直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，点(0,1)在椭圆＋＝1上或其内部就能满足题意，
所以解得1≤m<5.
跟踪训练1　解　由
得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－100(16m2－144)
＝576(－m2＋25)．
(1)由Δ<0，解得m<－5或m>5.
(2)由Δ＝0，解得m＝±5.
(3)由Δ>0，解得－5例2　解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m.
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
?m2＝16?m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4.
显然y＝x－4距l最近，
此时最短距离为d＝＝＝，
切点为P.
跟踪训练2　解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0.
联立方程
得9y2－2ay＋a2－8＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，
解得a＝3或a＝－3.
∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，
最小距离为d＝＝.
由得
即P(－，)．
例3　解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，
即y＝x.由消去y可得x2－18＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.
于是AB＝
＝
＝ ×
＝×6＝3.
所以线段AB的长度为3.
(2)方法一　当直线l的斜率不存在时，不合题意．
所以直线l的斜率存在．
设l的斜率为k，则其方程为
y－2＝k(x－4)．
联立
消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
由于AB的中点恰好为P(4,2)，
所以＝＝4，
解得k＝－，且满足Δ>0.
此时直线的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有
两式相减，得＋＝0，
整理得kAB＝＝－.
由于P(4,2)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是kAB＝－＝－.
于是直线AB的方程为
y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
跟踪训练3　解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，
得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，
∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
∵直线x＋y－1＝0的斜率为k＝－1，
又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|
＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0，可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，
解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋＝1.
方法二　由
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率为k＝－1.
∴AB＝
＝
＝·.
∵AB＝2，
∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝＝，将其代入①式，
得a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
例4　解　(1)由
得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以AB＝
＝
＝
＝
＝ .
所以当m＝0时，AB最大，此时直线方程为y＝x.
引申探究　
解　可求得O到AB的距离为d＝.
又AB＝，
∴S△AOB＝AB·d
＝··
＝
≤·＝，
当且仅当－m2＝m2时，上式取“＝”，
此时m＝±∈[－，]．
即△AOB的面积的最大值为.
此时直线方程为x－y±＝0.
跟踪训练4　解　设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)．
由＋b2＝1，解得x1,2＝±2，
所以S＝b·|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1.
当且仅当b＝时，S取到最大值1.
当堂训练
1．(1,3)∪(3，＋∞)　2.1　3.
4．x－2y＋3＝0
5．解　设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y并化简，
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由MN＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，
所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
即(1＋k2)(－)2＝，
化简得k4＋k2－2＝0，
所以k2＝1，即k＝±1.
所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
2．3.1　双曲线的标准方程
学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一　双曲线的定义
思考　已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？
(1)|－|＝6；
(2)－＝6.
　
　
梳理　把平面内与两个定点F1，F2距离的________________等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做________________，________________叫做双曲线的焦距．
知识点二　双曲线的标准方程
思考1　双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
　
思考2　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OB＝b吗？
　
　
　
梳理　
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
F1F2＝2c，c2＝a2＋b2
类型一　求双曲线的标准方程
例1　求下列双曲线的标准方程：
(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)，且焦点在坐标轴上．
　
　
　
反思与感悟　待定系数法求方程的步骤
(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
跟踪训练1　根据条件求双曲线的标准方程：
(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；
(3))已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．
　
　
　
类型二　由方程判断曲线的形状
例2　已知0°<α<180°，当α变化时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线怎样变化？
　
　
　
反思与感悟　像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x2和y2的系数的正负来确定；②定量：以a、b的大小来确定．
跟踪训练2　已知曲线－＝1.
(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；
(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标．
　
　
　
　
　
　
类型三　双曲线的定义及应用
命题角度1　焦点三角形问题
例3　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，AB＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．
引申探究
在本例(2)中，若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．
(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法
(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出PF1·PF2的值；
④利用公式＝×PF1·PF2sin∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式＝×F1F2×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a的变形使用，特别是与PF＋PF，PF1·PF2间的关系．
跟踪训练3　已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左，右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝________.
命题角度2　由双曲线定义求轨迹方程
例4　已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
反思与感悟　定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间距离的大小问题．
(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
跟踪训练4　设F1，F2是双曲线－＝1的左，右焦点，P是双曲线左支上一点．若PF1、PF2、F1F2成等差列，且公差大于0，则∠F1PF2＝________.
1．已知双曲线中的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________________________．
2．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a＝________.
3．若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
4．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积为________．
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
　
　
　
　
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
(3)以椭圆＋＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，)．
　
　
　
　
　
1．在双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a(2a2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．
如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．
提醒：完成作业　第2章　§2.3　2.3.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考　(1)∵|－|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，F1F2＝10，
∴|PF1－PF2|＝6故点P的轨迹是双曲线．
(2)∵－表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)、F2(4，0)的距离之差，F1F2＝8，
∴PF1－PF2＝6故点P的轨迹是双曲线的右支．
梳理　差的绝对值　双曲线的焦点　两焦点间的距离
知识点二
思考1　在双曲线标准方程中，x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x2的系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．
思考2　以双曲线与x轴的交点A为圆心，以线段OF2为半径画圆交y轴于点B，此时OB＝b.
题型探究
例1　解　(1)方法一　椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有
解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由椭圆方程＋＝1知，焦点在y轴上，
设所求双曲线方程为－＝1(16<λ<25)．
因为双曲线过点(－2，)，
所以－＝1，
解得λ＝20或λ＝7(舍去)，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，
所以b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
因为点P(3，)，Q(－，5)在双曲线上，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练1　解　(1)设双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知－＝1，∴－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍)．
∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点P(4，－2)和点Q(2，2)在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，
故可设双曲线的标准方程为－＝1.
由题意，知
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
例2　解　(1)当0°<α<90°时，方程为＋＝1.
①当0°<α<45°时，0<<，方程表示焦点在y轴上的椭圆．
②当α＝45°时，方程表示圆x2＋y2＝.
③当45°<α<90°时，>>0，方程表示焦点在x轴上的椭圆．
(2)当α＝90°时，方程为y2＝1.方程表示两条平行直线y＝±1.
(3)当90°<α<180°时，方程为－＝1，方程表示焦点在y轴上的双曲线．
跟踪训练2　解　(1)当曲线为椭圆时，依题意得
解得m<0，即m的取值范围为(－∞，0)．
此时，椭圆的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0)．
(2)当曲线为双曲线时，依题意得(16－m)m>0，
解得0此时，双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为(±4,0)．
例3　(1)4a＋2m　(2)16
引申探究
解　由双曲线方程知a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a＝6，
所以PF＋PF－2PF1·PF2＝36.①
在Rt△F1PF2中，由勾股定理，
得PF＋PF＝F1F＝(2c)2＝100.②
将②代入①，得PF1·PF2＝32.
所以＝PF1·PF2＝16.
跟踪训练3　4
例4　x2－＝1(x≤－1)
跟踪训练4　120°
当堂训练
1.－＝1或－＝1　2.1
3．(5,10)　4.24
5．解　(1)由题设知，a＝3，c＝4.
由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5,6)在双曲线上，
所以2a＝|－|
＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
则有a2＋b2＝c2＝8.因为过点(3，)，
所以－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
2．3.2　双曲线的几何性质
学习目标　1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．
知识点一　双曲线的几何性质
思考　类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些几何性质？
　
　
梳理　
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
对称性
对称轴：________
对称中心：________
对称轴：________
对称中心：________
顶点坐标
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二　双曲线的离心率
思考1　如何求双曲线的渐近线方程？
　
思考2　在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？
　
　
梳理　双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的________，其取值范围是________．e越大，双曲线的张口________．
知识点三　双曲线的相关概念
1．双曲线的对称中心叫做双曲线的________．
2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做________双曲线，它的渐近线方程是________．
类型一　已知双曲线的标准方程研究几何性质
例1　求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．
　
　
反思与感悟　已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的要先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
跟踪训练1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
　
　
　
　
类型二　由双曲线的几何性质确定标准方程
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
　
　
反思与感悟　(1)求双曲线的标准方程的步骤：①确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；②设双曲线的标准方程；③根据已知条件或几何性质列方程，求待定系数；④求出a，b，写出方程．
(2)①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ②与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝；
(3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
　
　
类型三　求双曲线的离心率
例3　分别求适合下列条件的双曲线的离心率：
(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x；
(2)双曲线－＝1(0　
　
　
　
反思与感悟　求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0跟踪训练3　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
　
　
类型四　直线与双曲线的位置关系
例4　斜率为2的直线l被双曲线－＝1截得的弦长为，求l的方程．
引申探究
若某直线l与本例中的双曲线相交，求以点P(3，1)为中点的直线l的方程．
　
　
反思与感悟　(1)求弦长的两种方法
①距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
②弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.
特别提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况．
(2)中点弦问题
与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决．
跟踪训练4　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．
　
1．双曲线的一个顶点坐标为(－1,0)，一条渐近线方程为y＝－2x，则双曲线方程为____________．
2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a＝________.
3．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为________．
4．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
5．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．
1．渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．
提醒：完成作业　第2章　§2.3　2.3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考　范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
梳理　x≥a或x≤－a　y≥a或y≤－a
坐标轴　原点　坐标轴　原点
A1(－a，0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
知识点二
思考1　将方程－＝1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0，得±＝0，如图，作直线±＝0，当双曲线－＝1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，但始终不会相交，把这两条直线叫做双曲线的渐近线．
思考2　双曲线－＝1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e＝，则＝＝.
当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大．
梳理　离心率　(1，＋∞)　越大
知识点三
1．中心
2．等轴　y＝±x
题型探究
例1　解　将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，
∴a2＝4，b2＝12，
∴a＝2，b＝2，
∴c＝＝＝4.
∴双曲线的实轴长为2a＝4，虚轴长为2b＝4；
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)；顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)；渐近线方程为y＝±x；离心率e＝2.
跟踪训练1　解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1.
∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)；
焦点坐标为(－，0)，(，0)；
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
例2　解　(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2b＝12，＝，
且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6?λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
将点(2，－2)代入双曲线方程，
得λ＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练2　解　(1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由e2＝，得＝，
设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
∴设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1②.
将(3,9)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；
将(3,9)代入②，得k＝9.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)．
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
例3　解　(1)若焦点在x轴上，
则＝，
∴e＝ ＝；
若焦点在y轴上，则＝，
即＝，
∴e＝ ＝.
综上可知，双曲线的离心率为或.
(2)依题意得直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，
得＝c，
即ab＝c2，∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0，
∴32－10×＋3＝0.
解得＝或＝3.
又∵0∴e＝ ＝2.
跟踪训练3　解　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程，得
－＝1，解得y＝±.
∴PF1＝.
由双曲线对称性，PF2＝QF2且∠PF2Q＝90°，
知F1F2＝PQ＝PF1，
∴＝2c，则b2＝2ac，
∴c2－2ac－a2＝0，
∴2－2×－1＝0，
即e2－2e－1＝0，
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
∴所求双曲线的离心率为1＋.
例4　解　设直线l的方程为y＝2x＋m.
由
得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)．
∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝5(x1－x2)2
＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵AB＝，∴m2－6(m2＋2)＝6，
解得m＝±.
由(*)式得Δ＝24m2－240，
把m＝±代入上式得Δ>0.
∴m的值为±，
∴所求l的方程为y＝2x±.
引申探究
解　设相交的两点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则
①－②，可得
－＝0.③
∵P为AB的中点，且P的坐标为(3,1)，
∴即
将其代入③式，得2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，
即k＝＝2，
故直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即y＝2x－5.
经检验知y＝2x－5符合题意．
跟踪训练4　解　(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
所以
解得0又双曲线的离心率e＝＝ ，
所以e>且e≠.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为P为直线与y轴的交点，
所以P(0,1)．
因为＝，
所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程①的两根，
且1－a2≠0，
所以x2＝－，x＝－.
消去x2得－＝.
由a>0，解得a＝.
当堂训练
1．x2－＝1　2.－4　3.　4.(±，0)　5.y＝±x
2．4.1　抛物线的标准方程
学习目标　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题．
知识点　抛物线的标准方程
思考1　在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？
　
　
思考2　已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？
　
　
梳理　抛物线的标准方程有四种类型
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
焦点坐标
准线方程

类型一　求抛物线的标准方程
例1　分别根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)；
(2)准线方程为y＝；
(3)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5；
(4)过点A(2,3)．
　
　
　
　
反思与感悟　求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．
跟踪训练1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1) 过点(3，－4)；
(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上，且焦点在坐标轴上；
(3)焦点到准线的距离为.
　
　
类型二　求抛物线的焦点坐标及准线方程
例2　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－6x；　(2)3x2＋5y＝0；
(3)y＝4x2；　(4)y2＝a2x(a≠0)．
引申探究
若将本例(4)中条件改为y＝ax2(a≠0)，结果又如何？
反思与感悟　如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向．一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．
跟踪训练2　若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为____________．
类型三　抛物线定义的应用
命题角度1　与抛物线有关的轨迹方程
例3　若位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
　
　
反思与感悟　满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简．
跟踪训练3　平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
　
　
命题角度2　利用抛物线定义求最值
例4　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若点B的坐标为(3,2)．求PB＋PF的最小值．
　
　
　
反思与感悟　解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题．
跟踪训练4　已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
1．抛物线y＝x2的准线方程是________．
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
3．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为x＝－1.________.
(2)焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2.________.
4．若椭圆＋＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为________．
5．若抛物线y2＝－2px (p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
　
　
　
1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点坐标为F(，0)，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点坐标为F(0，)，准线方程为y＝－.
2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF＝x0＋.
3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题．
提醒：完成作业　第2章　§2.4　2.4.1
答案精析
问题导学
知识点
思考1　p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向．
思考2　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上．若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
梳理　　
　　x＝－
x＝　y＝－　y＝
题型探究
例1　解　(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，
且－＝－2，则p＝4.
所以，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y.
(2)因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面，
且＝，则p＝.
所以，所求抛物线的标准方程为x2＝－y.
(3)由焦点到准线的距离为5知，p＝5.
又焦点在x轴负半轴上，
所以，所求抛物线的标准方程为y2＝－10x.
(4)由题意知，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)．将点A(2,3)的坐标代入，
得32＝m·2或22＝n·3，
∴m＝或n＝.
所以，所求抛物线方程为y2＝x或x2＝y.
跟踪训练1　解　(1)方法一　
∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝－2p1y (p1>0)．
把点(3，－4)分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
方法二　∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的方程为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0)．
把点(3，－4)分别代入，
可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0，得y＝－5；令y＝0，
得x＝－15.
∴抛物线的焦点坐标为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，
故所求抛物线的标准方程为y2＝2x或y2＝－2x或x2＝2y或x2＝－2y.
例2　解　(1)由方程y2＝－6x知，抛物线开口向左，
2p＝6，p＝3，＝，
所以焦点坐标为(－，0)，准线方程为x＝.
(2)将3x2＋5y＝0变形为x2＝－y，
知抛物线开口向下，2p＝，p＝，
＝，
所以焦点坐标为(0，－)，准线方程为y＝.
(3)将y＝4x2变形为x2＝y，
知抛物线开口向上，2p＝，p＝，＝，
所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.
(4)由方程y2＝a2x(a≠0)知，抛物线开口向右，
2p＝a2，p＝，＝，
所以焦点坐标为(，0)，
准线方程为x＝－.
引申探究
解　y＝ax2可变形为x2＝y，
所以焦点坐标为(0，)，
准线方程为y＝－.
跟踪训练2　2　x＝－1
例3　解　由于位于y轴右侧的动点M到F(，0)的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F(，0)的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
跟踪训练3　解　由题意知，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝
例4　解　(1)如图，
易知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，准线方程是x＝－1.由抛物线的定义知，点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为＝，即点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为.
(2)如图，
把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±2.因为2>2，所以点B在抛物线内部．过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连结P1F.此时，由抛物线定义知，P1Q＝P1F.所以PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝3＋1＝4，
即PB＋PF的最小值为4.
跟踪训练4　2
当堂训练
1．y＝－1　2.6
3．(1)y2＝4x　(2)y2＝－4x　4.
5．解　由抛物线定义，设焦点为F.
则该抛物线的准线方程为x＝.由题意设点M到准线的距离为MN，
则MN＝MF＝10，即－(－9)＝10，
∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝－4x.
将M(－9，y0)代入抛物线方程，
得y0＝±6.
∴M点的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
2．4.2　抛物线的几何性质(一)
学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．
知识点一　抛物线的几何性质
思考1　类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点坐标吗？
　
　
思考2　参数p对抛物线开口大小有何影响？
　
　
梳理　
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形
性质
范围
对称轴
顶点
离心率
e＝________
知识点二　焦点弦
设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
y2＝2px(p>0)
AB＝x1＋x2＋p
y2＝－2px(p>0)
AB＝p－(x1＋x2)
x2＝2py(p>0)
AB＝y1＋y2＋p
x2＝－2py(p>0)
AB＝p－(y1＋y2)
类型一　由抛物线的几何性质求标准方程
例1　已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
引申探究　
等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是________．
　
　
反思与感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
(1)定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向．
(2)设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程．
(3)寻关系：根据条件列出关于p的方程．
(4)得方程：解方程，将p代入所设方程为所求．
跟踪训练1　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴的距离分别为10和6，求抛物线的方程．
　
类型二　抛物线的焦点弦问题
例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
　
反思与感悟　(1)抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点.
①若抛物线y2＝2px(p>0)，则PF＝x0＋；
②若抛物线y2＝－2px(p>0)，则PF＝－x0；
③若抛物线x2＝2py(p>0)，则PF＝y0＋；
④若抛物线x2＝－2py(p>0)，则PF＝－y0
(2)过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p.然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
跟踪训练2　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝p，求AB所在直线的方程．
　
　
　
类型三　抛物线在实际生活中的应用
例3　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面的部分为0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
　
　
　
　
反思与感悟　涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．
跟踪训练3　如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为原点O)
　
　
　
1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线方程为________．
2．顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是________．
3．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则AB＝________.
5．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
符合抛物线方程为y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)
1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用．
提醒：完成作业　第2章　§2.4　2.4.2(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　范围x≥0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0)．
思考2　参数p(p>0)对抛物线开口大小的影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大．
梳理　x≥0，y∈R　x≤0，y∈R　x∈R，y≥0　x∈R，y≤0　x轴　y轴　(0,0)
1
题型探究
例1　解　由题意设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，
焦点坐标为F(，0)．直线l：x＝，
所以A，B两点的坐标为(，m)，(，－m)，
所以AB＝2|m|.
因为△OAB的面积为4，
所以·||·2|m|＝4，
所以m＝±2.
所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.
引申探究　4p2
跟踪训练1　解　设抛物线的方程为y2＝2ax(a≠0)，点P(x0，y0)．
因为点P到对称轴距离为6，
所以y0＝±6.
因为点P到准线距离为10，
所以|x0＋|＝10.①
因为点P在抛物线上，所以36＝2ax0，②
由①②，得或或或
所以所求抛物线的方程为y2＝±4x或y2＝±36x.
例2　解　(1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率为k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5.
而AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p，所以AB＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线定义知，AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
跟踪训练2　解　如图所示，
抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
A，B到准线的距离分别为dA，dB.
由抛物线的定义知，
AF＝dA＝x1＋，
BF＝dB＝x2＋，
于是AB＝x1＋x2＋p＝p，
x1＋x2＝p.
当x1＝x2时，AB＝2p所以直线AB与Ox不垂直．
设直线AB的方程为y＝k(x－)．
由得
k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，
x1＋x2＝＝p，
解得k＝±2，
所以直线AB的方程为y＝2(x－)或y＝－2(x－)．
例3　解　如图，
以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面的部分为0.75 m，所以h＝|yA|＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航．
跟踪训练3　解　设所求抛物线的方程为y＝ax2.
设D(5，b)，则B(10，b－3)．
把D、B的坐标分别代入y＝ax2，得
解得∴y＝－x2.
∵b＝－1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
∴t＝＝5小时．
即再持续5小时到达拱桥顶．
当堂训练
1．y2＝－4x　2.x2＝±16y
3．(，±)　4.8　5.②⑤
2．4.2　抛物线的几何性质(二)
学习目标　1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题．
知识点一　直线与抛物线的位置关系
思考1　若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？
　
思考2　直线与抛物线的位置关系与公共点个数．
　
　
梳理　直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有________个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有________个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴________________，此时直线与抛物线有________个公共点．
知识点二　抛物线中的弦长与中点弦问题
1．相交弦长
弦长公式：d＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.
2．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
由①②得(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)．③
∵kAB＝，④
y1＋y2＝2y0，⑤
由③④⑤得kAB＝，即弦AB的斜率只与焦参数________和弦AB中点的________坐标有关．
类型一　直线与抛物线的位置关系
例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l和C只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？
　
　
跟踪训练1　平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y＝－1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线y＝x－2的距离最短，求出P点的坐标；
(3)设直线l：y＝x＋m，当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？
　
　
类型二　与弦长、中点弦有关的问题
例2　已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．
(1)求抛物线E的方程；
(2)求直线AB的方程．
　
　
反思与感悟　中点弦问题解题策略方法
跟踪训练2　已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.
　
类型三　抛物线中的定点(定值)问题
例3　已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；
(2)求证：直线AB过定点．
　
　
　
反思与感悟　在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化．
跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．
(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；
(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．
　
　
1．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a＝________.
2．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得线段的中点坐标是________．
3．过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________．
4．若抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，且AB＝4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为________．
5．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长AB＝3，求此抛物线的方程．
　
　
　
求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化．
提醒：完成作业　第2章　§2.4　2.4.2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1　不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点．
思考2　
位置关系
公共点个数
相交
有两个或一个公共点
相切
有且只有一个公共点
相离
无公共点
梳理　两　一　没有　平行或重合　一
知识点二
2．p　纵
题型探究
例1　解　将l与C的方程联立，
得消去y，
可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，(*)
当k＝0时，方程(*)只有一个解为x＝.
∴直线l与抛物线C只有一个公共点(，1)，
此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，
Δ＝(2k－4)2－4k2＝4k2－16k＋16－4k2＝－16k＋16.
①当Δ>0，即k<1且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，l与C只有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；
③当Δ<0，即k>1时，直线l与C没有公共点．
所以，当k＝0或1时，l和C只有一个公共点；
当k<1且k≠0时，l与C有两个公共点；
当k>1时，l和C没有公共点．
跟踪训练1　解　(1)依题意知曲线C是抛物线，设其方程为x2＝2py(p>0)．由定义可得＝1，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)设点P(x0，y0)，则有x＝4y0.点P到直线y＝x－2的距离为d，由点到直线的距离公式，得
d＝＝
＝，
所以当x0＝2，y0＝1，即P的坐标为(2,1)时，点P到直线y＝x－2的距离最短，最短距离为.
(3)由题意，联立y＝x＋m和x2＝4y，
消去y并整理得x2－4x－4m＝0，
因为直线与曲线C有交点，
所以Δ＝(－4)2＋16m≥0，解得m≥－1.
例2　解　(1)由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，
所以＝1，p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝4x1，①
y＝4x2，②
且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
由②－①，
得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，
所以＝2.
所以直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
跟踪训练2　解　方法一　由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y－1＝k(x－4)．由
得ky2－6y－24k＋6＝0.
当k≠0时，Δ＝62－4k(－24k＋6)>0.①
设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
∴y1＋y2＝，y1y2＝.
∵P1P2的中点为(4,1)，
∴＝2，∴k＝3，适合①式．
∴所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴P1P2＝
＝ ＝.
方法二　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
则y＝6x1，y＝6x2，
∴y－y＝6(x1－x2)．
又y1＋y2＝2，
∴＝＝3，
∴所求直线的斜率为k＝3，
所求直线方程为y－1＝3(x－4)，
即3x－y－11＝0.
由得y2－2y－22＝0，
∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22，
∴P1P2＝
＝ ·
＝.
例3　(1)解　设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则有kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，
所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，
所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，
所以y1y2＝－4p2，
所以x1x2＝4p2.
(2)证明　因为y＝2px1，y＝2px2，
所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，
所以kAB＝，
故直线AB的方程为
y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，
所以y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0)．
跟踪训练3　解　(1)由题意知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，
消去x，得y2－4ty－4b＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
∵·＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，
∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．
当堂训练
1.　2.(3,2)　3.16　4.1
5．解　设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
消去y得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256>0，
得a>0或a<－32.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝4，
∴AB＝＝3，
即5[()2－16]＝45，
∴a＝4或a＝－36，且都符合题意．
∴所求抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.
2.5 圆锥曲线的共同性质
学习目标　1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．
知识点　圆锥曲线的统一定义
思考　如何求圆锥曲线的统一方程呢？
　
　
梳理　(1)圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比等于________．当________时，它表示椭圆；当________时，它表示双曲线；当________时，它表示抛物线．其中________是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的________，定直线l是圆锥曲线的________．
(2)椭圆＋＝1(a>b>0)的准线方程为x＝±，＋＝1(a>b>0)的准线方程为y＝±.
双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.
类型一　已知准线求圆锥曲线的方程
例1　双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过点A(2，3)，求双曲线的方程．
　
　
反思与感悟　(1)在本例中，两准线间的距离是一个定值，不论双曲线位置如何，均可使用．
(2)已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个：①利用统一定义，②直接列出基本量a，b，c，e的关系式．
跟踪训练1　已知A、B是椭圆＋＝1上的点，F2是椭圆的右焦点，且AF2＋BF2＝a，AB的中点N到椭圆左准线的距离为，求此椭圆方程．
　
　
　
类型二　圆锥曲线统一定义的应用
例2　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．
(1)求MA＋MB的最大值和最小值；
(2)求MB＋MA的最小值及此时点M的坐标．
　
　
反思与感悟　(1)解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义．
(2)圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程．
跟踪训练2　试在抛物线y2＝4x上求一点A，使点A到点B(，2)与到焦点的距离之和最小．
　
　
类型三　焦点弦问题
例3　椭圆C的一个焦点为F1(2,0)，相应准线方程为x＝8，离心率e＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C所得的弦长．
　
　
　
反思与感悟　(1)本例(2)中若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些．
(2)对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便．
跟踪训练3　已知椭圆的一个焦点是F(3,1)，相应于F的准线为y轴，l是过点F且倾斜角为60°的直线，l被椭圆截得的弦AB的长是，求椭圆的方程．
　
　
　
1．椭圆＋＝1的准线方程是____________．
2．如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的________倍．
3．若双曲线－＝1左支上的一点P到左焦点的距离为15，则点P到右准线的距离为________．
4．已知椭圆方程为＋＝1，右焦点为F，A(2,1)为其内部一点，P为椭圆上一动点，为使PA＋2PF最小，P点坐标为__________．
5．在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x＝，且它的一个顶点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为____________．

1．在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性．
2．在已知准线方程时，一般转化为的数量关系，结合其他条件求出基本量a，b，c.若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型．
3．根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程．
提醒：完成作业　第2章　§2.5
答案精析
问题导学
知识点
思考　如图，过点M作MH⊥l，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知M∈{M|FM＝eMH}．
取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系．设点M的坐标为(x，y)，则
OM＝.①
设直线l的方程为x＝－p，
则MH＝|x＋p|.②
把①、②代入OM＝eMH，
得＝e|x＋p|.
两边平方，化简得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.
这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程．
梳理　(1)常数e　01
e＝1　e　焦点　准线
题型探究
例1　解　(1)若焦点在x轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得
∴a2＝2c，b2＝c2－a2＝c2－2c.
代入－＝1，
整理得c2－14c＋33＝0，
∴c＝3或c＝11.
∴a2＝6，b2＝3或a2＝22，b2＝99.
∴双曲线的方程为－＝1或－＝1.
(2)若焦点在y轴上，则设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知得－＝1.
将a2＝2c，b2＝c2－2c代入－＝1得，
2c2－13c＋66＝0，Δ<0，此方程无实数解．
综合(1)(2)可知，双曲线的方程为
－＝1或－＝1.
跟踪训练1　解　设F1为左焦点，连结AF1，BF1，
则根据椭圆定义知，
AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2
＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－a＝a.
再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1、d2、d3，由梯形中位线定理，得d1＋d2＝2d3＝3.
而已知b2＝a2，
∴c2＝a2.∴离心率e＝，
由统一定义AF1＝ed1，BF1＝ed2，
∴AF1＋BF1＝a＝e(d1＋d2)＝，
∴a＝1，∴椭圆方程为x2＋＝1.
例2　解　(1)如图所示，由＋＝1得a＝5，b＝3，c＝4.
所以A(4,0)为椭圆的右焦点，F(－4,0)为椭圆的左焦点．
因为MA＋MF＝2a＝10，
所以MA＋MB＝10－MF＋MB.
因为|MB－MF|≤BF
＝＝2，
所以－2≤MB－MF≤2.
故10－2≤MA＋MB≤10＋2，
即MA＋MB的最大值为10＋2，
最小值为10－2.
(2)由题意得椭圆的右准线l的方程为x＝.
由图可知点M到右准线的距离为MM′，
由圆锥曲线的统一定义得＝e＝，
所以MA＝MM′.
所以MB＋MA＝MB＋MM′.
由图可知当B，M，M′三点共线时，MB＋MM′最小，
即BM′＝－2＝.
当y＝2时，有＋＝1，
解得x＝±(负值舍去)，
即点M的坐标为(，2)．
故MB＋MA的最小值为，
此时点M的坐标为(，2)．
跟踪训练2　解　由已知易得点B在抛物线内，＝1，准线方程为x＝－1，过点B作C′B⊥准线l于C′，直线BC′交抛物线于A′，则A′B＋A′C′为满足题设的最小值．
因为C′B∥x轴，B点的坐标为(，2)，
所以A′点的坐标为(x,2)．
又因点A′在抛物线上，所以A′(1,2)即为所求A点，此时最小值为BC′＝＋1.
例3　解　(1)设椭圆上任一点P(x，y)，由统一定义得＝，
两边同时平方，
得4[(x－2)2＋y2]＝(8－x)2，
化简得＋＝1.
(2)由(1)知椭圆的另一个焦点坐标为F2(－2，0)，过F2且倾斜角为45°的直线方程为y＝x＋2，由曲线＋＝1联立消去y，得7x2＋16x－32＝0.设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，AB＝AF2＋BF2＝a＋ex1＋a＋ex2＝2a＋e(x1＋x2)＝2×4＋(x1＋x2)＝.
跟踪训练3　解　设椭圆离心率为e，M(x，y)为椭圆上任一点，
由统一定义＝e，
得＝e，
整理得(x－3)2＋(y－1)2＝e2x2.①
∵直线l的倾斜角为60°，
∴直线l的方程为y－1＝(x－3)，②
①②联立得(4－e2)x2－24x＋36＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，
∴AB＝e(x1＋x2)＝e·＝，
∴e＝，
∴椭圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝x2，
即＋＝1.
当堂训练
1．x＝±　2.9　3. 4.　5.x±y＝0
第二章 圆锥曲线与方程
1　圆锥曲线定义的妙用
1．求动点轨迹
例1　一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－6x＋5＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为________________．
解析　x2＋y2＝1是圆心为原点，半径为1的圆，x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程为(x－3)2＋y2＝4，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆．设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则?PA－PO＝1答案　双曲线的一支
2．解三角形
例2　已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，的值等于________．
解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CA＋CB＝2a，而AB＝2c，所以＝＝＝3.
答案　3
3．求离心率
例3　如图，F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________．
解析　由椭圆可知AF1＋AF2＝4，F1F2＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以AF＋AF＝F1F＝12，
所以2AF1·AF2＝(AF1＋AF2)2－(AF＋AF)
＝16－12＝4，
所以(AF2－AF1)2＝AF＋AF－2AF1·AF2
＝12－4＝8，
所以AF2－AF1＝2.
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
答案　
例4　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析　由双曲线的定义有PF1－PF2＝2a.
又∵PF1＝4PF2，
∴PF1＝a，PF2＝a.
在△PF1F2中，应有PF1＋PF2≥F1F2，
即a≥2c，∴e≤，
又e>1，∴离心率e的取值范围是(1，]．
答案　(1，]
4．求最值
例5　线段AB＝4，PA＋PB＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是________．
解析　由于PA＋PB＝6>4＝AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点，A、B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.
答案　
例6　已知F是双曲线－y2＝1的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求PM＋PF的最小值．
解　设双曲线的左焦点为F′，如图所示，则F′(－2,0)．
由双曲线的定义知，
PF′－PF＝2a＝2，
所以PF＝PF′－2，
所以PM＋PF＝PM＋PF′－2，
要使PM＋PF取得最小值，只需PM＋PF′取得最小值，
由图可知，当P、F′、M三点共线时，PM＋PF′最小，
此时MF′＝2，
故PM＋PF的最小值为2－2.
2　抛物线的焦点弦性质
例1　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线相交，两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明：
(1)AB＝x1＋x2＋p；
(2)通径长为2p；
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(4)若直线AB的倾斜角为θ，则AB＝；
(5)以AB为直径的圆与准线相切；
(6)＋＝.
证明　(1)由定义可得
AB＝AF＋FB＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
(2)过焦点F(，0)与x轴垂直的直线被抛物线截得的弦长为2p.
(3)①当AB⊥x轴时，易得A(，p)，B(，－p)，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝.
②当AB的斜率存在时，设为k(k≠0)，
则直线AB的方程为y＝k(x－)，
代入抛物线方程y2＝2px，
消元得y2＝2p(＋)，即y2－－p2＝0，
∴y1y2＝－p2，x1x2＝.
综合①②知，x1x2＝，y1y2＝－2p2.
(4)①当θ＝90°时，k不存在，易得
A(，p)，B(，－p)，
AB＝2p＝＝.
②当θ≠90°时，k＝tan θ，
直线AB方程为y＝tan θ(x－)，
联立方程组，由根与系数的关系，得
AB＝p＋x1＋x2＝.
(5)如图，
MM1＝＝＝，
故以AB为直径的圆与准线相切．
(6)∵AF＝x1＋，BF＝x2＋，
∴＋＝＋
＝
＝
＝
＝＝.
例2　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
证明：(1)若AO交准线于C，则直线CB平行于抛物线的对称轴；
(2)过B作BC⊥准线l，垂点为C，则AC过原点O.
证明　(1)设直线AB的方程为x＝my＋，
代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2.
由y＝x，x＝－联立，得C(－，－)，
yC＝＝－＝－＝＝y2，
∴BC∥x轴．
(2)设直线AB的方程为x＝my＋，
代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－p2.
∵BC∥x轴，∴C(－，y2)，即C(－，－)，
kOC＝＝＝×＝＝kOA，
∴O∥O且公共点为O，
∴直线AC过点O.
例3　设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．
由＋＋＝0，知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，
即x1＋x2＋x3＝3，
||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.
答案　6
　　　　　　3 巧解直线和椭圆位置关系问题——“设而不求”法的应用
在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．
当直线和椭圆相交时要切记Δ>0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．
例　已知椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，过点A(－a,0)，B(0，b)的直线的倾斜角为，原点到该直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率大于零的直线过D(－1,0)与椭圆分别交于点E，F，若＝2，求直线EF的方程；
(3)对于D(－1,0)，是否存在实数k，使得直线y＝kx＋2分别交椭圆于点P，Q，且DP＝DQ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
思路点拨　
解　(1)由＝，ab＝××，得a＝，b＝1，所以椭圆的方程是＋y2＝1.
(2)设EF：x＝my－1(m>0)，代入＋y2＝1，
得(m2＋3)y2－2my－2＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
由＝2，得y1＝－2y2，
由y1＋y2＝－y2＝，y1y2＝－2y＝，
得(－)2＝，
∴m＝1，m＝－1(舍去)，直线EF的方程为x＝y－1，
即x－y＋1＝0.
(3)记P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′)．
将y＝kx＋2代入＋y2＝1，
得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，(*)
x1′，x2′是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则
xM＝＝－，yM＝kxM＋2＝.
由DP＝DQ，得DM⊥PQ，
∴kDM＝＝＝－，
∴3k2－4k＋1＝0，得k＝1或k＝.
但k＝1，k＝均不能使方程(*)有两相异实根，
∴满足条件的k不存在.
4　解析几何中的定值与最值问题
1．定点、定值问题
对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．
例1　已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A，B两点，＋与a＝(3，－1)共线．设M为椭圆上任意一点，且＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．
证明　∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，
则＝，此时λ＝1，μ＝0，
∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.
设椭圆方程为＋＝1 (a>b>0)，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，AB的中点为N(x0，y0)，
∴
①－②得＋＝0，
即＝－＝－，
又∵kAB＝＝1，
∴y0＝－x0，
∴直线ON的方向向量为＝.
∵∥a，∴＝.
∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2.
又直线方程为y＝x－c，
联立方程得
得4x2－6cx＋3c2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝c，x1x2＝＝c2.
又设M(x，y)，则由＝λ＋μ，
得
代入椭圆方程整理得
λ2(x＋3y)＋μ2(x＋3y)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2.
又∵x＋3y＝3b2，x＋3y＝3b2，
x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．
例2　已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.
(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
(2)设点A关于原点O的对称点是B，求PB的最小值及相应的P点坐标．
(1)证明　∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.
当x1≠x2时，由得
＝－·.
设线段PQ的中点为N(1，n)，
∴kPQ＝＝－，
∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，
∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一个定点A(，0)；
当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A(，0)．
综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A(，0)．
(2)解　由于点B与点A关于原点O对称，
故点B(－，0)．
∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，
∴x1＝2－x2∈[0,2]，
PB2＝(x1＋)2＋y＝(x1＋1)2＋≥，
∴当点P的坐标为(0，±)时，PBmin＝.
2．最值问题
解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．
例3　已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．
解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，
由题意有－|x|＝1.
化简得y2＝2x＋2|x|.
当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0.
所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x (x≥0)和y＝0 (x<0)．
(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．
由
得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，
所以x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.
因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝||·||＋||·||
＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1
＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1
＝8＋4≥8＋4×2 ＝16.
当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取得最小值16.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　5　圆锥曲线中存在探索型问题
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．下面仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开讨论．
1．常数存在型问题
例1　直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线y＝2x对称？请说明理由．
分析　先假设实数a存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解　设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点坐标为.
依题设有＝2·，即y1＋y2＝2(x1＋x2)．①
又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，
∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2.②
由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，
即(2－a)(x1＋x2)＝2，③
联立得(3－a2)x2－2ax－2＝0，
∴x1＋x2＝.④
把④代入③，得(2－a)·＝2，
解得a＝，经检验符合题意，
∴kAB＝，而kl＝2，∴kAB·kl＝×2＝3≠－1.
故不存在满足题意的实数a.
2．点存在型问题
例2　在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆与直线y＝x相切于原点O，椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
(1)求圆C的方程；
(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析　假设满足条件的点Q存在，根据其满足的几何性质，求出Q的坐标，则点Q存在，若求不出Q的坐标，则点Q就不存在．
解　(1)由题意知圆心在y＝－x上，
设圆心的坐标是(－p，p) (p>0)，
则圆的方程可设为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，
由于O(0,0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.
(2)椭圆＋＝1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知，2a＝10，a＝5，
∴椭圆右焦点为F(4,0)．
假设存在异于原点的点Q(m，n)，使QF＝OF，
则有且m2＋n2≠0，
解得
故圆C上存在满足条件的点Q，点Q的坐标为.
3．直线存在型问题
例3　已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A(0,2)，离心率为.
(1)求椭圆P的方程；
(2)是否存在过点E(0，－4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足·＝.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)设椭圆P的方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得b＝2，e＝＝，
∴a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，则c2＝4，∴c＝2，a＝4，
∴椭圆P的方程为＋＝1.
(2)假设存在满足题意的直线l.易知当直线l的斜率不存在时，·＝－12≠，不满足题意．
故可设直线l的方程为y＝kx－4，R(x1，y1)，T(x2，y2)．
∵·＝，∴x1x2＋y1y2＝.
由
得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0，
由Δ>0得(－32k)2－4(3＋4k2)×16>0，
解得k2>.①
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16，
故x1x2＋y1y2＝＋－＋16＝，
解得k2＝1，②
由①②解得k＝±1，
∴直线l的方程为y＝±x－4.
故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6　圆锥曲线中的易错点剖析
1．忽视定义中的条件而致误
例1　平面内一点M到两定点F1(0，－4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为________．
错解　根据椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆．
错因分析　在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即MF1＋MF2>F1F2，即2a>2c.而在本题中MF1＋MF2＝F1F2，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.
正解　因为点M到两定点F1，F2的距离之和为F1F2，所以点M的轨迹是线段F1F2.
答案　线段
2．忽视标准方程的特征而致误
例2　设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
错解　抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线方程为y＝－.
又与直线y＝1的距离为3的直线为y＝－2或y＝4.
故－＝－2或－＝4.
所以m＝8或m＝－16.
所以抛物线的标准方程为y＝8x2或y＝－16x2.
错因分析　错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2＝y的形式，再求解.
正解　方程y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
3．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而致误
例3　正方形ABCD的A，B两点在抛物线y＝x2上，另两点C，D在直线y＝x－4上，求正方形的边长．
错解　∵AB与直线y＝x－4平行，
∴设直线AB的方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
得AB2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，
即b2－8b＋12＝0，解得b＝2或b＝6，
∴AB＝3或AB＝5.
错因分析　在考虑直线AB与抛物线相交时，必须有方程x2－x－b＝0的判别式Δ>0，以此来限制b的取舍.
正解　∵AB与直线y＝x－4平行，
∴设直线AB的方程为y＝x＋b，A(x1，x)，B(x2，x)，
则由?x2－x－b＝0，
∵Δ＝1＋4b>0，∴b>－.
AB2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2(1＋4b)．
∵AB与直线y＝x－4间的距离为d＝，
∴2(1＋4b)＝，
即b2－8b＋12＝0，解得b＝2或b＝6，
∵b＝2或b＝6都满足Δ>0，∴b＝2或b＝6.
∴AB＝3或AB＝5.
7　圆锥曲线中的数学思想方法
1．方程思想
方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．在本章中，方程思想的应用最为广泛．
例1　已知直线y＝－x＋2和椭圆＋＝1 (a>b>0)相交于A，B两点，且a＝2b，若AB＝2，求椭圆的方程．
解　由
消去y并整理，得x2－4x＋8－2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵AB＝2，
∴ ·＝2，
即·＝2，
解得b2＝4，故a2＝4b2＝16.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
2．函数思想
很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．
这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法．
例2　若点(x，y)在＋＝1 (b>0)上运动，求x2＋2y的最大值．
解　∵＋＝1 (b>0)，
∴x2＝4≥0，即－b≤y≤b.
∴x2＋2y＝4＋2y
＝－＋2y＋4＝－2＋4＋.
当≤b，即0若y＝，则x2＋2y取得最大值，
其最大值为4＋；
当>b，即b>4时，若y＝b，
则x2＋2y取得最大值，其最大值为2b.
综上所述，x2＋2y的最大值为
3．分类讨论思想
在本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论．
例3　求与双曲线－y2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程．
分析　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ (λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．
解　由题意可设所求双曲线的方程为－y2＝λ (λ≠0)，
即－＝1 (λ≠0)．
当λ>0时，c2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，
∴所求双曲线的方程为－＝1.
当λ<0时，c2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，
即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为－＝1.
综上所述，所求双曲线的方程为
－＝1或－＝1.
第二章 圆锥曲线与方程
学习目标　1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法．
知识点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹
平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹
标准
方程
＋＝1或＋＝1
(a>b>0)
－＝1或－＝1
(a>0，b>0)
y2＝2px或y2＝－2px或x2＝2py或x2＝－2py
(p>0)
关系式
a2－b2＝c2
a2＋b2＝c2
图形
封闭图形
无限延展，但有渐近线y＝±x或y＝±x
无限延展，没有渐近线
变量
范围
|x|≤a，|y|≤b或|y|≤a，|x|≤b
|x|≥a或|y|≥a
x≥0或x≤0或y≥0或y≤0
对称性
对称中心为原点
无对称中心
两条对称轴
一条对称轴
顶点
四个
两个
一个
离心率
e＝，且0e＝，且e>1
e＝1
决定形状的因素
e决定扁平程度
e决定开口大小
2p决定开口大小
知识点二　焦点三角形
1．椭圆的焦点三角形
设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且∠F1PF2＝α，则△PF1F2为焦点三角形(如图)．
(1)焦点三角形的面积为S＝b2tan .
(2)焦点三角形的周长为L＝2a＋2c.
2．双曲线的焦点三角形
焦点三角形的面积为S＝.
知识点三　求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤．
1．定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
2．定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)．
3．定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
知识点四　离心率
1．定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
2．方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
3．几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
知识点五　直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．
2．直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．
类型一　圆锥曲线的定义及应用
例1　设F1，F2为曲线C1：＋＝1的左，右两个焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
反思与感悟　涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决．
跟踪训练1　已知椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是____________．
类型二　圆锥曲线的性质及其应用
例2　(1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线的斜率为______________．
(2)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．
反思与感悟　有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．
跟踪训练2　已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是____________________________________．
类型三　直线与圆锥曲线的位置关系
例3　已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点P到左，右两焦点F1，F2的距离之和为2，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0，)满足MA＝MB，求直线l的斜率k的值．
　
　
　
反思与感悟　解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．
跟踪训练3　如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且与n＝(，－1)共线．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线y＝kx＋m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
　
　
　
1．已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．
2．设椭圆＋＝1 (m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为__________．
3．以抛物线y2＝4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．
4．若抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离的和是5，则线段AB的中点P到y轴的距离是________．
5．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．
在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，“设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的繁杂、琐碎问题．
提醒：完成作业　第2章　章末复习课
答案精析
题型探究
例1　
跟踪训练1　直角三角形
例2　(1)±　(2)
跟踪训练2　
例3　解　(1)由题意知，
PF1＋PF2＝2a＝2，
所以a＝.
又因为e＝＝，
所以c＝×＝1，
所以b2＝a2－c2＝2－1＝1，
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知椭圆的右焦点为F2(1,0)，直线斜率显然存在，
设直线的方程为y＝k(x－1)，
两交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立直线与椭圆的方程，
得
化简得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
所以x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.
所以AB的中点坐标为(，)．
①当k≠0时，AB的中垂线方程为y－＝－(x－)，
因为MA＝MB，
所以点M在AB的中垂线上，
将点M的坐标代入直线方程，得
＋＝，
即2k2－7k＋＝0，
解得k＝或k＝；
②当k＝0时，AB的中垂线方程为x＝0，满足题意．
所以斜率k的取值为0，或.
跟踪训练3　解　(1)因为2c＝2，
所以c＝1.
又＝(－a，b)，且∥n，
所以b＝a，所以2b2＝b2＋1，
所以b2＝1，a2＝2.
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把直线方程y＝kx＋m代入椭圆方程＋y2＝1，
消去y，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
Δ＝16k2－8m2＋8>0，
即m2<2k2＋1.(*)
因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
所以·<0，
即x1x2＋y1y2<0.
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝.
由＋<0，
得m2依题意且满足(*)得，m2<，
故实数m的取值范围是(－，)．
当堂训练
1.　2.＋＝1　3.x2－＝1
4．2　5.3x＋4y－13＝0