课件35张PPT。3.1.1 平均变化率第3章 §3.1 导数的概念1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的
平均变化率(重点).
2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，
说明平均变化率的实际意义(难点).
3.了解平均变化率的正负(易混点)．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 函数的平均变化率思考 1
当空气容量V从0增加到1 L时，气球的平均膨胀率是多少？答案思考 2
当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？答案梳理Δy＝f(x2)－f(x1)知识点二 平均变化率的意义思考
如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答案如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．梳理题型探究例1 (1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.类型一 求函数的平均变化率解答因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x ＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21， ＝21.②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.解答在x＝1附近的平均变化率为在x＝2附近的平均变化率为在x＝3附近的平均变化率为由于k1
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则 ＝________.答案解析Δx(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区
间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区
间[0,2]上的平均变化率为________．答案解析例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；类型二 平均变化率的应用解答(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．解答(1)结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.
(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．跟踪训练2 2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：
(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？解答在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？解答(3)从2012年11月至2013年2月间，与从2013年1月至2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？解答所以在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．当堂训练123451.若函数f(x)＝x2的图象上存在点P(1,1)及邻近的点Q(1＋Δx，1＋Δy)，则 的值为________.答案解析2＋Δx12345∵S＝πr2，2.圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________.0.4π答案解析123453.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________.答案解析－1123454.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.答案解析[x3，x4]由平均变化率的定义可知，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为123455.甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)解答123451.准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值.涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法.
2.函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等.解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的.本课结束课件34张PPT。3.1.2 瞬时变化率——导数(一)第3章 §3.1 导数的概念1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.
2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 曲线上一点处的切线思考
如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？答案当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线．梳理可以用逼近的方法来计算切线的斜率，设P(x，f(x))，Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，斜率知识点二 瞬时速度与瞬时加速度思考
瞬时速度和瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？答案瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率，瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．梳理瞬时速度瞬时变化率瞬时加速度瞬时变化率知识点三 函数的导数思考1
函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答案A就是f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．思考2
导数f′(x0)有什么几何意义？答案f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．梳理f′(x0)可导题型探究类型一 求曲线在某点处的切线斜率解答＝22＝4.即点P处的切线的斜率为4.解答(2)点P处的切线方程．即12x－3y－16＝0.解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．跟踪训练1 若曲线f(x)＝x2－1在点P处的切线的斜率为k，且k＝2，则点P的坐标为__________．答案解析(1,0)设点P的坐标为(x0，y0)，在点P邻近的点Q的坐标为(x0＋Δx，y0＋Δy)，当Δx→0时，kPQ＝2x0＋2Δx无限趋近于2x0，即为曲线在点P处的切线的斜率，所以有2x0＝2，解得x0＝1，则y0＝0，所以点P的坐标为(1,0)．例2 已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)，
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求 ；类型二 求瞬时速度、瞬时加速度解答当t＝2，Δt＝0.01时，(2)求质点M在t＝2 s时的瞬时加速度．解答当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2 s时的瞬时加速度为12 cm/s2.(1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．跟踪训练2 质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．解答∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
∵在t＝2 s时，瞬时速度为8 m/s，
∴4a＝8，∴a＝2.
例3 求函数y＝ 在x＝1处的导数．类型三 求函数在某点处的导数解答根据导数的定义，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；跟踪训练3 利用定义求函数y＝x＋ 在x＝1处的导数．解答
∴函数f(x)在x＝1处的导数为0.当堂训练123451.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________.答案解析8当Δx无限趋近于0时，8＋2Δx无限趋近于8，
∴曲线f(x)在点A处的切线斜率为8.123452.任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________.3答案解析123453.已知物体运动的速度与时间之间的关系：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________.答案解析4＋Δt4故在时间段[1,1＋Δt]内的平均加速度为4＋Δt，在t＝1时的瞬时加速度是4.123454.已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则点P坐标为____________.答案解析(3,30)＝4x0＋4＋2Δx，无限趋近于4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).12345答案解析－111.曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率.
2.瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度.本课结束课件29张PPT。3.1.2 瞬时变化率——导数(二)第3章 §3.1 导数的概念1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义和极限形式
的意义，并掌握导数的几何意义.
2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 ．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ．斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)知识点二 导数与导函数的关系思考
导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？答案函数f(x)在一点处的导数f′(x0)是f(x)的导函数f′(x)在x＝x0的函数值．
f(x)在x＝x0的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．梳理(1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内 都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 ．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f′(x0)的意义
f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的 ．自变量x任一点f′(x) 函数值题型探究类型一 求函数的导函数例1 求函数y＝－x2＋3x的导函数．＝3－2x－Δx，∴当Δx→0时，3－2x－Δx→3－2x，
故函数f(x)的导函数为f′(x)＝3－2x.解答利用导数的定义求函数的导数是求函数的导数的基本方法，此方法还能加深对导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值．跟踪训练1 求函数f(x)＝x－ 的导函数．解答类型二 导数几何意义的应用命题角度1 求曲线过某点的切线方程解答化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即为所求的切线方程．过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，y0)；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．解答
设切点为(x0，x02＋x0＋1)，∴切线的斜率为2x0＋1，
解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，
过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0；
当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，
过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.命题角度2 导数几何意义在图象上的应用例3 已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)k1>k3>k2由导数的几何意义，可得k1>k2.∴k1>k3>k2.答案解析(1)弄清导数与切线的斜率及倾斜角的关系是解答此类题的关键．
(2)导数与函数图象升降的关系
①若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的；
②导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．跟踪训练3 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是________．
依题意得y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有①满足．答案解析①当堂训练123451.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是_______________.答案解析f′(xA)∴x0＝1.即切点坐标为(1,1).
∴2－4＋P＝1，即P＝3.设切点坐标为(x0,1)，12345答案解析15.设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝____.令2a＝2，得a＝1.1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.本课结束课件36张PPT。3.2.1 常见函数的导数第3章 §3.2 导数的运算1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数.
2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求
某些函数的导数．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 幂函数与一次函数的导数思考1
函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？答案当k>0时，函数增加的快慢与系数k有关，k越大，增加的越快；
当k<0时，函数减少的快慢与|k|有关，|k|越大，函数减少的越快．思考2
你能结合x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2及( )′＝
归纳出f(x)＝xn的导数有怎样的规律吗？答案f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.梳理(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地C′＝0(C为常数)．
(2)(xα)′＝α·xα－1(α为常数)．知识点二 基本初等函数的求导公式思考1 答案思考2
如何利用(ln x)′推出(logax)′？答案梳理题型探究类型一 利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x12；y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.解答解答解答解答解答解答(6)y＝3x.y′＝(3x)′＝3xln 3.若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：解答解答∴y′＝(cos x)′＝－sin x.类型二 导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．解答因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．即4x＋4y＋1＝0.引申探究 若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解答
因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上；
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解答
设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的．
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′| ＝cos x0，
k2＝y′| ＝－sin x0.命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．依题意知抛物线y＝x2与直线x－y－2＝0平行的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，解答利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P，使△ABP的面积最大．解答设M(x0，y0)为切点，过点M与直线l平行的直线斜率k＝y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得M(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，
∴AB为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，
故点M(1,1)即为所求弧 上的点，使△ABP的面积最大．当堂训练123451.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.答案解析12345④答案解析123453.在曲线y＝ 上求一点P，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P的坐标为_______.答案解析y′＝(4x－2)′＝－8x－3，设点P(x0，y0)，(2,1)123454.设正弦函数y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的
倾斜角的范围是______________.答案解析∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，12345解答y′＝0.解答12345解答(4)y＝lg x；解答12345解答∴y′＝(sin x)′＝cos x.(5)y＝5x；解答y′＝5xln 5.1.利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.本课结束课件40张PPT。3.2.2 函数的和、差、积、商的导数第3章 §3.2 导数的运算1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导
数运算法则求函数的导数．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 和、差的导数思考1
f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案思考2 答案梳理和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．知识点二 积、商的导数思考1
试求f′(x)，g′(x)，φ′(x)．答案已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3.f′(x)＝2x，g′(x)＝cos x，φ′(x)＝0. 思考2 答案H′(x)＝2xsin x＋x2cos x，梳理(1)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝ ；
②[Cf(x)]′＝ ．
(2)商的导数f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)题型探究类型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ ax3＋bx2＋c；解答(2)f(x)＝xln x＋2x；解答f′(x)＝(xln x＋2x)′＝(xln x)′＋(2x)′
＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2＝ln x＋1＋2xln 2.解答解答f′(x)＝(x2·ex)′＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′
＝2x·ex＋x2·ex＝ex·(2x＋x2)．(4)f(x)＝x2·ex.(1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：解答解答方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.解答解答类型二 导数运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f(x)＝ ＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；解答 f(1)＝－2，(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.解答
由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x] ′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，解得a＝d＝1，b＝c＝0.(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数．
(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值．完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，
则f′(1)＝________.
答案解析令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，命题角度2 与切线有关的问题例3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.解答(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.解答(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．答案解析1(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为_____．答案解析因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知，g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.4当堂训练12345所以y′＝x′－1′＝1.1答案解析12345答案解析123453.曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为____________.答案解析y＝2x＋1∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.12345答案解析12345答案解析－2求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.本课结束课件43张PPT。3.3.1 单调性第3章 §3.3 导数在研究函数中的应用1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明
一些简单的不等式.
3.会求函数的单调区间．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 函数的单调性与导函数正负的关系思考1
观察下列各图，完成表格内容正递增正负正递增递减负负递减递减负负思考2
依据上述分析，可得出什么结论？ 答案一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上，
①如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增；
②如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减．梳理 (1)><锐钝上升下降递增递减(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：增减题型探究类型一 求函数的单调区间例1 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．解答命题角度1 求不含参数的函数的单调区间f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)．求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；
(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数．解答函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．命题角度2 求含参数的函数的单调区间例2 讨论函数f(x)＝x2－aln x(a≥0)的单调性．解答函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0，得2x2＝a.
当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；综上，当a＝0时，函数f(x)的单调增区间是(0，＋∞)；引申探究 若将本例改为f(x)＝ax2－ln x(a∈R)呢？解答当a≤0时，且x∈(0，＋∞)，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；
当a>0时，令f′(x)＝0，综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数；(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练2 已知函数f(x)＝4x3＋3tx2－6t2x＋t－1，其中x∈R，t∈R.当t≠0时，求f(x)的单调区间．解答
f′(x)＝12x2＋6tx－6t2＝6(x＋t)(2x－t)，同理当x∈(－t，＋∞)时，f(x)也为增函数．
类型二 证明函数的单调性问题解答则cos x<0，sin x>0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，关于利用导数证明函数单调性的问题：
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.跟踪训练3 证明：函数f(x)＝ 在区间(0，e)上是增函数．
证明又00，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵当x∈[2，＋∞)时，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．解答方法一 f′(x)＝x2－ax－(a＋1)，
因为函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以f′(x)≤0，即x2－ax－(a＋1)≤0，解得a≥x－1.
因为在[1,2]上，a≥x－1恒成立，
所以a≥(x－1)max＝1.
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
方法二 f′(x)＝(x＋1)[x－(a＋1)]，
由于函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，
所以f′(x)≤0，当a>－2时，解得－1≤x≤a＋1，即减区间为[－1，a＋1]，则[1,2]?[－1，a＋1]，得a≥1.
当a≤－2时，解得减区间为[a＋1，－1]，
则函数f(x)不可能在[1,2]上为减函数，故a≥1.
所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．当堂训练12345当x∈(0,2π)时，f′(x)＝－1－cos x≤0，
所以f(x)在(0,2π)上是减函数.②1.关于函数f(x)＝1－x－sin x，下列说法正确的是_____.(填序号)
①在(0,2π)上是增函数；
②在(0,2π)上是减函数；
③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数；
④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数.答案解析12345原函数的单调性是当x<0时，f(x)单调递增；
当x>0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，
故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋，－，＋.2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是________.答案解析④123453.函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为________.f(x)的定义域为{x|x>0}，答案解析123454.若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为____________.[3，＋∞)y′＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
由题意知x∈(0,2)，y′≤0，答案解析f′(x)＝ex＋(x－k)ex＝(x－k＋1)ex，
当x当x>k－1时，f′(x)>0，
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞).12345解答5.求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间.1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.本课结束课件43张PPT。3.3.2 极大值与极小值第3章 §3.3 导数在研究函数中的应用1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极
值与导数的关系，并会灵活应用.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 函数极值的概念思考1
函数在x＝a处的函数值与附近的函数值有什么大小关系？函数y＝f(x)的图象如图所示．答案函数在x＝a处的函数值比它在x＝a附近的其他点的函数值都小．思考2
f′(a)为多少？在x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？答案f′(a)＝0，在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.思考3
函数在x＝b处的情况呢？答案函数在x＝b处的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，且在x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.梳理
(1)极小值点与极小值
函数y＝f(x)在x＝a处的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f(x)在x＝b处的函数值f(b)比它在x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 、 统称为极值点， 和 统称为极值．极大值点极小值点极大值极小值知识点二 求函数y＝f(x)极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0的左侧f′(x) 0，右侧f′(x) 0，那么f(x0)是极小值．><><题型探究类型一 求函数的极值和极值点例1 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；解答函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；当x＝1时，f(x)取极小值－6.解答令f′(x)＝0，得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此当x＝1时，f(x)有极小值3，无极大值．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根；
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒 在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练1 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4， ①
又f(0)＝b＝4， ②
由①②可得a＝b＝4.解答(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解答f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
解f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，
在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．类型二 已知函数极值求参数例2 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝__，b＝___.29答案解析
∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.(2)若函数f(x)＝ x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为_________．
∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.(－∞，1)答案解析引申探究 1.若本例(2)中函数的极大值点是－1，求a的值.
解答f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值.2.若例(2)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围.
解答由题意得方程x2－2x＋a＝0有两不等正根，设为x1，x2，故a的取值范围是(0,1).已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.跟踪训练2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
解答因为f(x)＝aln x＋bx2＋x，(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
解答当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.类型三 函数极值的综合应用解答例3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解答(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.由(1)的分析知，y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根.用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.解答由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，＝x2＋x＋3＋m，
由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：当堂训练12345由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，若在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值.设函数f′(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值.21.已知函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有______个极大值点，________个极小值点.答案解析212345f′(x)＝3x2ex＋x3ex＝x2ex(3＋x)，
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，
当x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，
∴x0＝－3是f(x)的极值点.2.函数f(x)＝x3ex的极值点x0＝________.答案解析－3123453.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为______________________.f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.答案解析(－∞，－3)∪(6，＋∞)123454.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为_____.9f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.答案解析12345答案解析－1312345若b＝1，c＝－1，
则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；
若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，
当－3＜x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0.1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.本课结束课件42张PPT。3.3.3 最大值与最小值第3章 §3.3 导数在研究函数中的应用1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 函数的最大值与最小值思考1
观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2
结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．思考3
函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值．思考4
怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．梳理
(1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值与最小值．
(2)求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 ．连续不断各极值极值端点最大值最小值题型探究类型一 求函数的最值例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；解答命题角度1 不含参数的函数求最值f(x)＝2x3－12x，当x＝3时，f(x)取得最大值18.所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.解答求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．跟踪训练1 求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.解答例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．解答命题角度2 含参数的函数求最值从而f(x)max＝f(0)＝0.从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪训练2 在例2中，将区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？解答从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；类型二 由函数的最值求参数例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解答
由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．解答f′(x)＝－x2＋x＋2a，当x∈(－∞，x1)，(x2，＋∞)时，f′(x)<0；
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)．故a＝1，x2＝2，类型三 函数最值的综合应用例4 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；解答∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解答令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，
∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)．(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练4 已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围．解答由2xln x≥－x2＋ax－3，令h′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)min＝h(1)＝4.
∴a≤h(x)min＝4.
∴a的取值范围是(－∞，4]．当堂训练12345f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故④正确.④1.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)，则下列说法正确的是_____.(填序号)
①有最大值，但无最小值；②有最大值，也有最小值；
③无最大值，但有最小值；④既无最大值，也无最小值.答案解析12345
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.2.函数y＝x－sin x，x∈ 的最大值是_____.答案解析π123453.函数f(x)＝x3－x2－x＋t在区间[0,2]上的最小值为3，则函数在[0,2]上的最大值为______.答案解析6f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝ 或x＝1.因为在[0,1)上，f′(x)<0；在(1,2]上，f′(x)>0，所以当x＝1时，函数f(x)取极小值，也是最小值，则f(1)＝1－1－1＋t＝3，所以t＝4，又函数f(x)在两端点处的函数值为f(0)＝4，f(2)＝8－4－2＋4＝6，所以函数在[0,2]上的最大值为6.123454.已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为 ，则a＝________.当a≤－1时，最大值为4，不符合题意.
当－1所以f(x)max＝f(a)，答案解析12345答案解析(7，＋∞)可求得f(x)max＝f(2)＝7.
∴对于任意x∈[－1,2]，f(x)7.∵f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值.
2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.本课结束课件52张PPT。3.4 导数在实际生活中的应用第3章 导数及其应用1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点 生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .
2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.
3.解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题数学建模题型探究类型一 几何中的最值问题例1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度).
(1)将S表示为θ的函数；命题角度1 平面几何中的最值问题解答BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，θ∈(0，π).＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π).解答(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1).
令S′＝0，当θ变化时，S′，S的变化情况如下表：此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.跟踪训练1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.解答设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴BC＝4－2x，BA＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，
y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，例2 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，
则x应取何值？命题角度2 立体几何中的最值问题解答当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x＝15.(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解答令V′>0，得0(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体
积的最大值为________ cm3.答案解析设矩形的长为x cm，则宽为(10－x)cm (0由题意可知圆柱体积
V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.
∴V′＝20πx－3πx2，类型二 实际生活中的最值问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销
售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解答命题角度1 利润最大问题
当0当x∈(0,9)时，W′>0；当x∈(9,10]时，W′<0.
所以当x＝9时，W取得最大值，综合①②知，当x＝9(千件)时，W取得最大值为38.6万元.答 当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.解答所以a＝2.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；命题角度2 费用(用料)最省问题解答
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.解答
当00，答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.跟踪训练4 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该块空地上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为(560＋48x)元.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？解答设该楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，令f′(x)＝0，得x＝15.
当x>15时，f′(x)>0；当10≤x<15时，f′(x)<0.
所以当x＝15时，f(x)取得最小值，即f(15)＝2 000.
答 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建15层.当堂训练123451.在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该
路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为 ，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________时.答案解析812345当t∈(6,8)时，y′>0；当t∈(8,9)时，y′<0，
故t＝8时，y取最大值.12345设长方体的底面边长为x m，则高为(6－2x)m，
∴0则长方体的体积为V(x)＝x2·(6－2x)＝6x2－2x3，V′(x)＝12x－6x2.
令V′(x)＝0，得x＝2或x＝0(舍去).
∴当x∈(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x∈(2,3)时，函数V(x)是减函数，
∴当x＝2时，V(x)max＝4×2＝8(m3).2.用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为________ m3.8答案解析12345答案解析30012345令P′(x)＝0，得x＝300.123454.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元.答案解析16012345令y′＝0，得x＝2.
所以当x＝2时，ymin＝160(元).123455.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；解答设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2.
若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].1234512345(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解答根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：12345故当x＝12时，f(x)取得极大值.因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.本课结束课件48张PPT。第3章 导数及其应用习题课 导数的应用1.能利用导数研究函数的单调性.
2.理解函数的极值、最值与导数的关系.
3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用．学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)增减解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值．知识点二 求函数 y＝f(x)的极值的方法f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>01.求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.
2.将函数y＝f(x)的 与端点处的函数值 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值.知识点三 函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法极值f(a)，f(b)最大最小题型探究类型一 数形结合思想的应用例1 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________.④答案解析解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意：
(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的.
(2)对于函数的图象，函数重点考查递增区间和递减区间，进而确定极值点.跟踪训练1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是______.①答案解析∵函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，
且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x>－2时，f′(x)>0；
当x＝－2时，f′(x)＝0；
当x<－2时，f′(x)<0.
∴当－2当x＝－2时，xf′(x)＝0；
当x<－2时，xf′(x)>0.
由此观察四个选项，故①符合.类型二 构造函数求解命题角度1 比较函数值的大小b令g(x)＝xf(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数.g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0；
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数.
∵g(x)是偶函数，本例中根据条件构造函数g(x)＝xf(x)，通过g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数.a>b>c答案解析令g′(x)>0，解得x令g′(x)<0，解得x>e，
∴g(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，
而5>4>3>e，
∴g(5)命题角度2 求解不等式(0，＋∞)例3 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)2ex的解集为__________.答案解析∵f(x)0，即函数g(x)单调递增.
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，则不等式等价于g(x)>g(0).
∵函数g(x)单调递增，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞).跟踪训练3 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)为其导函数.当x>0时，f(x)＋x·f′(x)>0，且f(1)＝0，则不等式x·f(x)>0的解集为__________.(1，＋∞)答案解析令g(x)＝xf(x).
当x>0时，g′(x)＝(xf(x))′＝f(x)＋xf′(x)>0，
∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，
则g(－x)＝(－x)f(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
∴g(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增.
∵f(1)＝0，则g(1)＝1×f(1)＝0，
由xf(x)>0，即g(x)>g(1)，得x>1，
∴xf(x)>0的解集为(1，＋∞).
命题角度3 利用导数证明不等式例4 已知x>1，证明不等式x－1>ln x.证明设f(x)＝x－1－ln x，x∈(1，＋∞)，即函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
又x>1，所以f(x)>f(1)＝1－1－ln 1＝0，
即x－1－ln x>0，所以x－1>ln x.利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；
(2)利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出；
(3)证明函数y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)即可证得原不等式成立.跟踪训练4 证明：当x>0时，2＋2x<2ex.证明设f(x)＝2＋2x－2ex，
则f′(x)＝2－2ex＝2(1－ex).
当x>0时，ex>e0＝1，
∴f′(x)＝2(1－ex)<0.
∴函数f(x)＝2＋2x－2ex在(0，＋∞)上是减函数，
∴f(x)即当x>0时，2＋2x－2ex<0，
∴2＋2x<2ex.类型三 利用导数研究函数的极值与最值例4 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行.
(1)求函数f(x)的解析式；解答因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)求函数f(x)在区间[0，t](0由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.
因为f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.解答令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).
当x∈[1,2)时，g′(x)<0；当x∈(2,3]时，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，即实数c的取值范围为(－2,0].(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练5 已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图象关于原点成中心对称.
(1)求a，b的值；解答∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称，
则f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3＋(a－1)x2－48(a－2)x＋b＝－ax3－(a－1)x2－48(a－2)x－b，
于是2(a－1)x2＋2b＝0恒成立，(2)求f(x)的单调区间及极值；由(1)得f(x)＝x3－48x，
∴f′(x)＝3x2－48＝3(x＋4)(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝－4，x2＝4；令f′(x)<0，得－40，得x<－4或x>4.
∴f(x)的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)，
∴f(x)极大值＝f(－4)＝128，f(x)极小值＝f(4)＝－128.解答(3)当x∈[1,5]时，求函数的最值.由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，则f(4)＝－128，f(1)＝－47，f(5)＝－115，∴函数的最大值为－47，最小值为－128.解答当堂训练123451.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；则上述判断中正确的是________.(填序号)③答案解析12345由导函数的图象知，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x＝－2时，f(x)取极小值；
当x＝2时，f(x)取极大值；
当x＝4时，f(x)取极小值.
所以只有③正确.12345f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在x∈[0,2]上单调递减，在[－2,0]上单调递增，
∴f(x)的最大值为f(0)＝m＝3，
f(x)的最小值为f(－2)＝－16－24＋3＝－37.2.已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，则此函数在[－2,2]上的最小值为________.答案解析－37123453.已知函数f(x)＝ 在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为
__________.答案解析12345由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，
知f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，123454.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a①f(x)g(x)>f(b)g(b)；
②f(x)g(a)>f(a)g(x)；
③f(x)g(b)>f(b)g(x)；
④f(x)g(x)>f(a)g(a).答案解析③1234512345证明设f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0对x∈(0，＋∞)
恒成立，
∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数，
又f(0)＝0，
∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴x>sin x(x>0).5.已知x>0，求证：x>sin x.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.本课结束课件58张PPT。第3章 导数及其应用章末复习课1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.
2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函
数的导数.
3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的
极值和最值.
4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.学习目标题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 在x＝x0处的导数常数A2.几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线 .
3.物理意义：瞬时速度、瞬时加速度.斜率知识点二 基本初等函数的求导公式0αxα－1cos x－sin xaxln aex知识点三 导数的运算法则f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)1.函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值与导数
(1)极大值：在x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
(2)极小值：在x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.知识点四 函数的单调性、极值与导数f′(x)>0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>01.求函数y＝f(x)在(a，b)内的 .
2.将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别提醒 (1)关注导数的概念、几何意义
利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知，若切点未知，则设出切点，用切点坐标表示切线斜率.
(2)正确理解单调性与导数、极值与导数的关系
①当函数在区间(a，b)上为增函数时，f(x)≥0；
②f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x0处取极值的必要条件.知识点五 求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤极值端点处函数值 f(a)，f(b)题型探究类型一 导数几何意义的应用解答∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
∴f′(x)min＝－a2－9，
由题意知，－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去).
故a＝1.解答由(1)得a＝1.
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.(2)求f(x)在x＝3处的切线方程.利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 ＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.跟踪训练1 求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程.设切点坐标为P(x0，y0)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x，则切线的斜率为k＝y′| ＝3x2＋6x| ＝3x ＋6x0.解得x0＝－1，∴y0＝－3，即P(－1，－3).
又k＝－3，∴切线方程为y＋3＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋6＝0.解答类型二 函数的单调性与导数例2 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，x∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；解答因为f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋1.
当Δ≤0，即a2≤3时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增.解答(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.
(4)求参数的范围时常用到分离参数法.解答f′(x)＝x2－ax＋b，解答由(1)得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，
单调递减区间为(0，a).(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解答类型三 函数的极值、最值与导数∵f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
∴由f′(1)＝0，得a＝e.解答解答(2)求f(x)的极值；①当a≤0时，f′(x)>0，y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，
所以y＝f(x)无极值；
②当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，y＝f(x)在(－∞，ln a)上递减；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，y＝f(x)在(ln a，＋∞)上递增，
故f(x)在x＝ln a处取得极小值f(ln a)＝ln a，无极大值.
综上，当a≤0时，y＝f(x)无极值；
当a>0时，y＝f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值.(3)当a＝1时，直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求实数k的取值范围.解答令g(x)＝xex，则有g′(x)＝(1＋x)ex，
令g′(x)＝0，得x＝－1.
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：解得k∈(1－e,1).
综上，k的取值范围为(1－e,1].(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负.
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.解答f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，
因为a>0，所以x1在(a,3]上为增函数，所以f(a)为最小值，于是有a3＋3a2＋3a－26＝0，类型四 导数与函数、不等式的综合应用解答f′(x)＝－x2＋4ax－3a2
＝－(x－a)(x－3a).
令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数；在(a,3a)上是增函数.
当x＝a时，f(x)取得极小值，当x＝3a时，f(x)取得极大值，f(x)极大值＝f(3a)＝b.(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取值范围；f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其对称轴为x＝2a.
因为0所以f′(x)在区间[a＋1，a＋2]上是减函数.
当x＝a＋1时，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1；
当x＝a＋2时，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.解答(3)当a＝ 时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围.解答要使f(x)＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，
即f(x)在[1,2)，(2,3]上各有一个实根，不等式恒成立问题，关键是确定函数在给定区间的最值，这时往往需要分类讨论，函数的零点与方程根的问题，注意数形结合思想的应用.解答当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).解答所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数.当堂训练12345s′＝－1＋2t，则s′(3)＝－1＋2×3＝5，
所以物体在3秒末的瞬时速度为5 米/秒.1.一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 米/秒.答案解析512345f′(x)＝3x2＋2bx＋c，2.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的单
调递减区间为 .∴f′(x)＝3x2－4x＋1，由f′(x)<0即3x2－4x＋1<0，答案解析3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝ ，b＝ .12345答案解析f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意可知，3x2＋2ax＋b＝0的两根为－1和3，
由根与系数的关系，得－3－94.若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为 .[3，＋∞)y′＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
由题意知，x∈(0,2)，y′≤0，
即x(3x－2a)≤0，答案解析12345123455.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值；解答因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，12345令x＝1，得f(1)＝16a，
f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，12345(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解答12345令f′(x)＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当22.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.
3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.本课结束