一 圆周角定理
[对应学生用书P18]
1．圆周角定理
文字语言 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
图形语言
符号语言 在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC
作用 确定圆中两个角的大小关系
2．圆心角定理
文字语言 圆心角的度数等于它所对弧的度数
图形语言
符号语言 A，B是⊙O上两点，则弧的度数等于∠AOB的度数
作用 确定圆弧或圆心角的度数
3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
[说明] (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；
(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．
[对应学生用书P18]
与圆周角定理相关的证明
[例1] 如图，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC.
[思路点拨] 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．
[证明] 如图，延长AD、AE分别交⊙O于F、G，连接BF、CG，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴BF＝CG，＝，
∴∠FBD＝∠GCE.
又∵BD＝CE，
∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，
∴＝，∴AB＝AC.
(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．
(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．
1.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.
求证：D是AB的中点．
证明：连接OD、BE.
因为∠ADO＝∠ABE＝90°，
所以OD和BE平行．
又因为O是AE的中点，
所以D是AB的中点．
2．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．
求证：∠BAE＝∠DAC.
证明：连接BE，
因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高，
所以∠ADC＝90°.
所以∠ADC＝∠ABE.
因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝90°－∠E，
∠DAC＝90°－∠C.
所以∠BAE＝∠DAC.
3．已知⊙O中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，AD交⊙O于E.
求证：AB2＝AD·AE.
证明：如图，
∵AB＝AC，∴＝.
∴∠ABD＝∠AEB.
在△ABE与△ADB中，
∠BAE＝∠DAB，
∠AEB＝∠ABD，
∴△ABE∽△ADB.
∴＝，即AB2＝AD·AE.
利用圆周角进行计算
[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE.
(1)求证：＝；
(2)如果sin ∠FBC＝，AB＝4，求AD的长．
[思路点拨] BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ABC.
[解] (1)证明：如图，
连接AC.
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
又AD⊥BC，垂足为D，
∴∠1＝∠3.
在△AEB中，AE＝BE，
∴∠1＝∠2.
∴∠2＝∠3，即A＝A.
(2)设DE＝3x，
∵AD⊥BC，sin∠FBC＝，
∴BE＝5x，BD＝4x.
∵AE＝BE，
∴AE＝5x，AD＝8x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝4，
∴(8x)2＋(4x)2＝(4)2，
解得x＝1，
∴AD＝8.
与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
4．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )
A．40° B．25°
C．50° D．60°
解析：连接OB.因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°.
答案：A
5.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，
求∠BAC的大小．
解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，
所以＝，即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·AC·sin ∠BAC，且S＝AD·AE，
所以AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE.
则sin ∠BAC＝1.
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC＝90°.
[对应学生用书P20]
一、选择题
1．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为( )
A．25° B．50°
C．75° D．100°
解析：由圆周角定理得∠A＝∠BOC＝25°.
答案：A
2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：由推论1知：
∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，
∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，
∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.
答案：B
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.
答案：B
4.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，则tan ∠BPD等于( )
A. B.
C. D.
解析：连接BD，则∠BDP＝90°.
∵△CPD∽△APB，∴＝＝.
在Rt△BPD中，cos ∠BPD＝＝，
∴tan ∠BPD＝.
答案：D
二、填空题
5．在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________．
解析：由圆周角定理，
得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°.
∴AB＝BC.
∴△ABC为等边三角形．
∴周长等于9.
答案：9
6．如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是________．
解析：因为OD平分∠BOC，
且∠BOC＝90°，
所以∠BOD＝∠BOC＝45°，
所以∠OAD＝∠BOD＝22.5°.
在Rt△AEO中，∠AOE＝90°，
则∠AEO＝90°－∠OAE＝67.5°.
答案：67.5°
7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝________.
解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC，
又△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACE，
∴＝，
∴AE＝＝9.
答案：9
三、解答题
8.(2012·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.
求证：∠E＝∠C.
解：连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.
因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
9．如图，已知△ABC内接于圆，D为中点，连接AD交BC于E.
求证：(1)＝；
(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.
证明：(1)连接CD.
∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，
∴△ABE∽△CDE.∴＝.
(2)连接BD.
∵＝，
∴AE·DE＝BE·EC.
∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE
＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①
在△ABD与△AEC中，∵D为的中点，
∴∠1＝∠2.
又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴△ABD∽△AEC.∴＝，
即AB·AC＝AD·AE②
由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.
10．如图，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径．
(1)求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的值；
(2)若⊙O的半径为，AD与EC交于点M，且E，D为弧AC的三等分点，求MD的长．
解：(1)连接OB，OD，OE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E
＝(∠COD＋∠DOE＋∠EOA＋∠AOB＋∠BOC)
＝×360°＝180°.
(2)连接OM和CD，因为AC为⊙O的直径，
所以∠ADC＝90°，又E，D为的三等分点，
所以∠A＝∠ECA＝∠EOA＝××180°＝30°，
所以OM⊥AC.因为⊙O的半径为，即OA＝，
所以AM＝＝＝1.
在Rt△ADC中，AD＝AC·cos∠A＝2××＝.
则MD＝AD－AM＝.三 圆的切线的性质及判定定理
[对应学生用书P25]
1．切线的性质
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法
(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．
其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．
[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．
[对应学生用书P25]
圆的切线的性质
[例1] 如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．
[思路点拨] ⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径．
[解] 连接OE，
∵AB与⊙O切于点E，
∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.
∵∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴Rt△ACB∽Rt△AEO，
∴＝.
∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，
∴＝，
∴OE＝.
即⊙O的半径为.
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1．如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝( )
A．20° B．25°
C．40° D．50°
解析：连接OB，因为AB切⊙O于点B，所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°.
又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，
所以∠C＝∠AOB＝25°.
答案：B
2.如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径．PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1.
(1)求∠P的度数；
(2)求DE的长．
解：(1)连接OC.
∵C为切点，∴OC⊥PC，△POC为直角三角形．
∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，
∴sin ∠P＝＝.∴∠P＝30°.
(2)∵BD⊥PD，∴在Rt△PBD中，
由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，
得BD＝.
连接AE.则∠AEB＝90°，∴AE∥PD.
∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin 30°＝1，
∴DE＝BD－BE＝.
圆的切线的判定
[例2] 已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．
[思路点拨]
→→
→→.
[证明] 如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.
∵∠DCB是所对的圆周角，
∠BOD是所对的圆心角，
∠BCD＝45°，
∴∠BOD＝90°.
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB
＝60°－45°＝15°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，
从而∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.
在△OEC中，因为∠EOC＝∠ECO＝30°，
∴OE＝EC，
在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°.
∴BE＝2OE＝2EC，
∴＝＝，
∴AB∥OD，∴∠ABO＝90°，
故AB是△BCD的外接圆的切线．
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．
3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，怎样证明：AB是△BCD的外接圆的切线．
证明：作直径BE，连接DE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＋∠DBE＝90°.
∵∠C＝∠E，∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＋∠DBE＝90°.
即∠ABE＝90°.
∴AB是△BCD的外接圆的切线．
4.如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝，∠D＝30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若AC＝6，求AD的长．
解：(1)证明：如图，连接OA，
∵sin B＝，∴∠B＝30°，
∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°，
∴AD是⊙O的切线．
(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，
∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，
∴AD＝AO＝6.
圆的切线的性质和判定的综合考查
[例3] 如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．
[思路点拨] (1)连接OD，证明OD⊥DE；
(2)作DG⊥AB.
[证明] (1)连接OD，
∵D是中点，
∴∠1＝∠2.
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．
(2)过D作DG⊥AB，
∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3.
在Rt△ODG中，OG＝＝4，
∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB.
∴＝.
∴＝.∴BF＝.
对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．
5.如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G，若小圆的半径为2，EF＝4，试求EG的长．
解：连接GC，则GC⊥ED.
∵EF和小圆切于C，
∴EF⊥CD，EC＝EF＝2.
又CD＝4，∴在Rt△ECD中，
有ED＝
＝ ＝2.
由射影定理可知EC2＝EG·ED，
∴EG＝＝＝.
6．如图，以Rt△ABC直角边AC上一点O为圆心，OC为半径的⊙O与AC的另一个交点为E，D为斜边AB上一点且在⊙O上，AD2＝AE·AC.
(1)证明：AB是⊙O的切线；
(2)若DE·OB＝8，求⊙O的半径．
解：(1)证明：连接OD，CD，
∵AD2＝AE·AC，
∴＝.又∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，∴∠ADE＝∠ACD.
∵OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC，
又∵CE是⊙O的直径，
∴∠ODE＋∠CDO＝90°，∴∠ODA＝90°，
∴AB是⊙O的切线．
(2)∵AB，BC是⊙O的切线，
∴OB⊥DC，∴DE∥OB，∴∠CED＝∠COB，
∵∠EDC＝∠OCB，∴△CDE∽△BCO，
∴＝，DE·OB＝2R2＝8，
∴⊙O的半径为2.
[对应学生用书P27]
一、选择题
1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案：C
2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D.AB＝6，BC＝8，则BD等于( )
A．4 B．4.8
C．5.2 D．6
解析：∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC.
∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.
∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
∴BD＝＝4.8.
答案：B
3.如图，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是( )
A．72° B．63°
C．54° D．36°
解析：连接OB.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.
又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，
∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.
答案：B
4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin ∠ACO等于( )
A. B.
C. D.
解析：连接BD，则BD⊥AC.
∵AD＝DC，∴BA＝BC，
∴∠BCA＝45°.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBC＝90°.
∴sin ∠BCO＝＝＝，
cos ∠BCO＝＝＝.
∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)
＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO
＝×－×＝.
答案：A
二、填空题
5．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2为半径作⊙M.若点M在OB边上运动，则当OM＝________时，⊙M与OA相切．
解析：若⊙M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.
过M作MN⊥OA于点N，
则MN＝2.
在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，
∴OM＝2MN＝2×2＝4.
答案：4
6．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.
解析：AB＝＝.
由AB2＝PB·BC，
∴BC＝3，Rt△ABC中，
AC＝＝2.
∴R＝.
答案：
7．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.
解析：连接OC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.
又∠DCA＋∠ACO＝90°，
∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＝∠OCB，
∵OC＝3，BC＝3，
∴△OCB是正三角形．
∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.
∴∠DAC＝30°.
在Rt△ACB中，AC＝＝3，
DC＝ACsin 30°＝.
答案：30°
三、解答题
8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.
求证：PA＝PD.
证明：如图，连接OP，
∵PD是⊙O的切线，P为切点．
∴PO⊥PD.
∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.
又∵OA＝OP，
∴∠A＝∠APO＝30°.
∴∠A＝∠D.∴PA＝PD.
9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.
求证：(1)DE⊥AC；
(2)BD2＝CE·CA.
证明：(1)连接OD，AD.
∵DE是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DE.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.又AB＝AC，
∴BD＝DC.
∴OD∥AC.∴DE⊥AC.
(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△CDE∽△CAD.
∴＝.∴CD2＝CE·CA.
∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．
解：(1)证明：连接OA.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠OAD＝∠EDA.
∴OA∥CE.
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，
∴∠OAE＝∠DEA＝90°.
∴AE⊥OA.
∴AE是⊙O的切线．
(2)∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°.
∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.
∴∠BDE＝120°.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°.
∴∠ABD＝∠EAD＝30°.
在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE.
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE.
∵DE的长是1 cm，
∴BD的长是4 cm.二 圆内接四边形的性质及判定定理
[对应学生用书P21]
1．圆内接四边形的性质
(1)圆的内接四边形对角互补．
如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.
2．圆内接四边形的判定
(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
[对应学生用书P21]
圆内接四边形的性质
[例1] 如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证：∠DEA＝∠DFA.
[思路点拨] 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．
[证明] 连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．
所以∠DEA＝∠DFA.
圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．
1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,5x，
则由∠A＋∠C＝180°，
可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°.
∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，
∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.
2．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AC＝3 cm，AD＝2 cm，求DE的长．
解：(1)证明：
∵∠ABC＝∠2，
∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4.
∴AB＝AC.
(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC，
∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB.
∴＝.
∵AB＝AC＝3，AD＝2，
∴AE＝＝.
∴DE＝－2＝(cm).
圆内接四边形的判定
[例2] 如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.
求证：E，D，P，F四点共圆．
[思路点拨] 可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可．
[证明] 如图，连接PF，
∵AP⊥BC，F为AC的中点，
∴PF＝AC.
∵FC＝AC，
∴PF＝FC.
∴∠FPC＝∠C.
∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．
∴EF∥CD，ED∥FC.
∴四边形EDCF为平行四边形，
∴∠FED＝∠C.
∴∠FPC＝∠FED.
∴E，D，P，F四点共圆．
证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
3．判断下列各命题是否正确．
(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；
(2)矩形有唯一的外接圆；
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆．
解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．
4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：
(1)D、E、F、G四点共圆；
(2)G、B、C、F四点共圆．
证明：(1)如图，
连接GF，
由DF⊥AB，EG⊥AC，
知∠GDF＝∠GEF＝90°，
∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．
(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，
∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.
∴G、B、C、F四点共圆.
圆内接四边形的综合应用
[例3] 如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.
求证：PM⊥CD.
[思路点拨] ⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．
[证明] 如图，
分别连接AB，AE，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABP＝∠D.
∵A、E、B、P四点共圆，
∴∠ABP＝∠AEP.
∴∠AEP＝∠D.
∴A、E、M、D四点共圆．
∴∠PMC＝∠DAE.
∵PE是⊙O1的直径，
∴EA⊥PA.
∴∠PMC＝∠DAE＝90°.
∴PM⊥CD.
此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．
5.如图，P点是等边△ABC外接圆的上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.
求证：(1)∠D＝∠CBP；
(2)AC2＝CP·CD.
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝60°.
∴∠DBC＝120°.
又∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.
∴∠BPC＝∠DBC.
又∵∠DCB＝∠BCP，
∴△BCP∽△DCB.
∴∠D＝∠CBP.
(2)由(1)知△BCP∽△DCB，
∴＝.
∴CB2＝CP·CD.
又CB＝AC，∴AC2＝CP·CD.
6．如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P.
求证：(1)四点P，D，C，E共圆；
(2)AP⊥CP.
解：(1)证明：在△ABC中，
由BD＝BC，CE＝CA知：
△ABD≌△BCE，
即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180°，
所以四点P，D，C，E共圆．
(2)如图，连接DE.
在△CDE中，CD＝2CE，
∠ACD＝60°，
由余弦定理知∠CED＝90°.
由四点P，D，C，E共圆知，
∠DPC＝∠DEC，
所以AP⊥CP.
[对应学生用书P24]
一、选择题
1．设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：
①sin A＝sin C，②sin A＋sin C＝0，③cos B＋cos D＝0，④cos B＝cos D.
其中恒成立的关系式的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为圆内接四边形的对角互补，
故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不为0°或180°，
故①式恒成立，②式不成立．
同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．
④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．
答案：B
2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2
C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对
解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．
答案：B
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
A．20° B．40°
C．80° D．100°
解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，
又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.
答案：C
4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；
③∠A的外角与∠C的外角互补；
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
答案：B
二、填空题
5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.
解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴＝，
即＝，∴EF＝3.
答案：3
6．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，
BD＝________.
解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6.
又∵CD平分∠ACB.
即∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD.
∴BD＝ ＝5.
答案：6 5
7．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB＝________，∠ADB＝________.
解析：∵∠C和∠AOB分别是所对的圆周角与圆心角，
∴∠AOB＝2∠C＝68°.
∵周角是360°，劣弧AB的度数为68°，∴优弧AB的度数为292°.
∴∠ADB＝×292°＝146°.
答案：68° 146°
三、解答题
8.已知：如图，E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，对角线AC与BD相交于O点，求证：E，F，G，H共圆．
证明：法一：连接EF、FG、GH、HE.
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC.同理EH∥BD.
∴∠HEF＝∠AOB.
∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°.
同理∠FGH＝90°.
∴∠HEF＋∠FGH＝180°.
∴E、F、G、H共圆．
法二：
连接OE、OF、OG、OH.
∵四边形ABCD为菱形．
∴AC⊥BD，
AB＝BC＝CD＝DA.
∵E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，
∴OE＝AB，OF＝BC，
OG＝CD，OH＝DA.
∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴E，F，G，H在以O点为圆心，以OE为半径的圆上．
故E，F，G，H四点共圆．
9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
证明：(1)因为EC＝ED，
所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC＝∠EBA.
故ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.
因为EF＝EG，
故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，
故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，
所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．
(1)求∠ACB.
(2)求△ABD的最大面积．
解：(1)连接OA、OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.
Rt△AOE中，OA＝2.
AE＝AB＝×2＝.
所以sin ∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.
又∠ADB＝∠AOB，
∴∠ADB＝60°.
又四边形ACBD为圆内接四边形，
∴∠ACB＋∠ADB＝180°.
从而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.
(2)作DF⊥AB，垂足为F，则
S△ABD＝AB·DF＝×2×DF＝DF.
显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，
从而S△ABD取得最大值．
此时DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝3，
即△ABD的最大面积是3.五 与圆有关的比例线段
[对应学生用书P31]
1．相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.
2．割线有关定理
(1)割线定理：
①文字叙述：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
②图形表示：
如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.
(2)切割线定理：
①文字叙述：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②图形表示：
如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.
3．切线长定理
(1)文字叙述：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
(2)图形表示：
如图：⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
[对应学生用书P32]
相交弦定理
[例1] 如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E.
求证：PC·PD＝AE·AO.
[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．
[证明] 连接OP，
∵P为AB的中点，
∴OP⊥AB，AP＝PB.
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE·AO.
∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，
∴PD·PC＝AE·AO.
(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．
(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．
1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．
则CD＝3＋1＋1＝5.
答案：B
2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.
求证：PM·MQ＝PN·NR.
PM·MQ＝PN·NR.
割线定理、切割线定理
[例2] 如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.
证明：(1)AD·AE＝AC2；
(2)FG∥AC.
[思路点拨] (1)利用切割线定理；
(2)证△ADC∽△ACE.
[证明] (1)∵AB是⊙O的一条切线，
ADE是⊙O的割线，
∴由切割线定理得AD·AE＝AB2.
又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.
(2)由(1)得＝，
又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE.
∴∠ADC＝∠ACE.
又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.
∴FG∥AC.
(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．
3．如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.
解析：∵PD∶DB＝9∶16，
不妨设PD＝9a，DB＝16a(a>0)，∴PB＝25a.
由切割线定理知PA2＝PD·PB，
即9＝9a×25a，∴a＝.
∴PD＝.在直角三角形PAB中，PA＝3，
PB＝5，可知AB＝4.
答案： 4
4.如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求：
(1)BC的长；
(2)⊙O的半径r.
解：(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.
根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)，
解得x＝，∴BC＝3x＝3.
(2)在Rt△ABC中，
AC＝＝，
由割线定理，得
CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，
CN＝，BC＝3，CM＝BC－BM＝3－＝2，AC＝，
∴CD＝＝，
∴r＝(AC－CD)
＝＝.
切线长定理
[例3] 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A、B两点的切线分别交于点E、F，AF与BE交于点P.
求证：∠EPC＝∠EBF.
[思路点拨] →→→→
[证明] ∵EA，EF，FB是⊙O的切线，
∴EA＝EC，FC＝FB.
∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，
∴EA⊥AB，FB⊥AB.
∴EA∥FB.∴＝.∴＝.
∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.
运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．
5．两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：如图，连接OO′，O′A.
∵OA为⊙O′的切线，
∴∠OAO′＝90°.
又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切，
∴OO′＝2O′A.
∴sin ∠AOO′＝＝.
∴∠AOO′＝30°.
又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60°.
答案：B
6.已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P.
求证：AD＋BC＝AB＋CD.
证明：由圆的切线长定理得
CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN，
∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，
CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，
∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC)
＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)
＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)
＝AB＋CD，
即AD＋BC＝AB＋CD.
[对应学生用书P33]
一、选择题
1．自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm，圆的半径为4 cm，则过此点所引的切线长为( )
A．16 cm B．4 cm
C．4 cm D．以上答案都不对
解析：设切线长为x cm，由切割线定理得x2＝(12－2×4)×12，故x＝4.
答案：B
2．点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则( )
A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PB
C．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB
解析：根据OC⊥CP，可知C为过PC点弦的中点，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB.
答案：D
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )
A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2
解析：在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.
答案：A
4.已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B、A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于( )
A．20 B．10
C．5 D．8
解析：∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，
∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，
即DT＝＝＝6；
因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.
设PB＝x，
则在Rt△PDT中，
PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.
由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，
所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，
解得x＝20，即PB＝20.
答案：A
二、填空题
5．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．
解析：根据相交弦定理，AM·BM＝()2，
所以＝6，CD＝12.
答案：12
6.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠ABP＝∠C，又因为∠ABP＝∠ABD，所以∠ABD＝∠C，又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以＝，所以AB＝＝.
答案：
7.如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，PA＝7，在劣弧上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长是________．
解析：由切线长定理知，PB＝PA＝7，且DA＝DC，EC＝EB，
所以△PDE的周长为PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋CE＋PE＝PA＋PB＝14.
答案：14
三、解答题
8.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，求EF的长．
解：因为CD⊥AB于G，F为CG的中点，所以G为CD的中点，即CD＝8，FD＝6.
又因为AF·FE＝CF·FD，即3×EF＝2×6，
所以EF＝4.
9.已知：如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，PO＝13 cm，⊙O半径r＝5 cm，求△PDE的周长．
解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，
∴DA＝DC，EB＝EC.
∴△PDE的周长为PA＋PB＝2PA.
连接OA，则OA⊥PA.
∴PA＝＝＝12 cm.
∴△PDE的周长为24 cm.
10．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．
解：(1)证明：连接AB.
∵AC为⊙O1的切线，
∴∠BAC＝∠D.
又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.
∴AD∥EC.
(2)设PB＝x，PE＝y，
由相交弦定理，得PB·PE＝PA·PC，
则x·y＝6×2，∴xy＝12.①
∵AD∥EC，∴＝，
即＝.∴9＋x＝3y.②
由①②解得或(舍去)．
∴DE＝9＋3＋4＝16.
∵AD为⊙O2的切线，
∴由切割线定理，得AD2＝DB·DE＝9×16.
∴AD＝12.四 弦切角的性质
[对应学生用书P28]
弦切角定理
(1)文字语言叙述：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(2)图形语言叙述：
如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.
[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．
[对应学生用书P29]
弦切角定理
[例1] (2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.
[思路点拨] 利用弦切角定理．
[证明] (1)因为＝，
所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB.
故＝，
即BC2＝BE·CD.
利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．
1．如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________.
解析：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.
又∵EF与⊙O相切于点C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°.
答案：34°
2.如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：
(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；
(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.
证明：(1)∵CD切⊙O于M点，
∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.
∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.
∴∠A＝∠B，故AM＝MB.
(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.
∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B，
∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.
3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.
(1)求证：AD⊥CD；
(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．
解：(1)证明：如图，连接BC.
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCA＝∠B.
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB.
∴∠ADC＝∠ACB.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.
(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB.
∴＝，
∴AC2＝AD·AB.
∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.
运用弦切角定理证明比例式或乘积式
[例2] 如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.
求证：CD2＝CE·CF.
[思路点拨] →
→→
[证明] 连接CA、CB.
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠CAP＝∠CBA，
∠CBP＝∠CAB.
又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，
∴Rt△CAE∽Rt△CBD，
Rt△CBF∽Rt△CAD，
∴＝，＝，
∴＝，即CD2＝CE·CF.
证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．
4．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求证：AC2＝AE·AB.
证明：连接BC.
△ACE∽△ABC
＝ AC2＝AB·AE.
5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF，EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)求证：DF2＝AF·BE.
证明：(1)∵⊙O切BC于D，
∴∠CAD＝∠CDF.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠BAD＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠CDF.
∴EF∥BC.
(2)连接DE，
∵⊙O切BC于D，
∴∠BAD＝∠BDE.
由(1)可得∠BDE＝∠FAD，
又∵⊙O内接四边形AEDF，
∴∠BED＝∠DFA.
∴△BED∽△DFA.
∴＝.
又∵∠BAD＝∠CAD，
∴DE＝DF.∴DF2＝AF·BE.
[对应学生用书P30]
一、选择题
1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则( )
A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠P
C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA
解析：由弦切角定理知∠PCA＝∠B.
答案：C
2．如图，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于( )
A．14° B．38°
C．52° D．76°
解析：∵EC为⊙O的切线，
∴∠BCE＝∠BAC＝∠BOC＝38°.
答案：B
3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2 B．3
C．2 D．4
解析：连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴AC2＝AD·AB＝12，
即AC＝2.
答案：C
4．如图，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：连接BC.
∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.
∴BC＝BP＝1.
由△BCP∽△CAP得
PC2＝PB·PA，
即AC2＝PB·PA.
而AC2＝AB2－BC2，
设⊙O半径为r，
则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.
答案：A
二、填空题
5.如图，已知AB与⊙O相切于点M，且＝，且，为圆周长，则∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝________.
解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．
答案：45° 135° 45° 90°
6．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.
解析：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∠ACE＝40°，
∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.
答案：80°
7.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
解析：连接OC，
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.
∵PB＝OB＝2，OC＝2.
∴PC＝2.
∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝＝.
答案：
三、解答题
8.如图所示，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，过⊙O1上一点P作直线PA、PB分别交⊙O2于点C和点D，EF切⊙O1于点P.
求证：EF∥CD.
证明：如图，连接AB，
∵EF是⊙O切线，
∴∠FPA＝∠PBA.
又在⊙O2中，ABCD为⊙O内接四边形，
∴∠C＝∠ABP.∴∠FPA＝∠C.
∴EF∥CD.
9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，
求AE的长．
解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，
所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，＝，
AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，
所以6·(6－AE)＝16.
所以AE＝ cm.
10.如图，△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠CBD；
(2)求证：AB·BE＝AE·DC.
证明：(1)∵BE为圆O的切线，
∴∠EBD＝∠BAD，
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EBD＝∠CAD，
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠EBD＝∠CBD.
(2)在△EBD和△EAB中，
∠E＝∠E，∠EBD＝∠EAB，
∴△EBD∽△EAB，
∴＝，
∴AB·BE＝AE·BD，
又∵AD平分∠BAC, ∴BD＝DC，
故AB·BE＝AE·DC.第二讲 直线与圆的位置关系
[对应学生用书P35]
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．
1．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．
解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.
答案：
2.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝ 90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.
由BD＝BE，有CE＝DC.
又BC2＝DB·BA＝2DB2，
所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，
故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
[对应学生用书P35]
圆内接四边形的判定与性质
圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一，近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判定和性质．
[例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F.
求证：C、D、E、F四点共圆．
[证明] 连接EF，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以∠B＋∠C＝180°.
因为四边形ABFE内接于圆，
所以∠B＋∠AEF＝180°.
所以∠AEF＝∠C.
所以C、D、E、F四点共圆．
[例2] 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )
A．120° B．136°
C．144° D．150°
[解析] 由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，
而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，
且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°.
又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.
[答案] C
直线与圆相切
直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．
[例3] 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半径．
[解] (1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∴∠OAB＋∠PAB＝
∠OBA＋∠PBA，
即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.
又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图．
∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段AB.
∴∠PAO＝∠PDA＝90°.
又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA.
∴＝.∴AP2＝PO·DP.
又∵OD＝BC＝，∴PO(PO－OD)＝AP2.
即PO2－PO＝()2，解得PO＝2.
在Rt△APO中，OA＝＝1，
即⊙O的半径为1.
与圆有关的比例线段
圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．
[例4] 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．
[解] 设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，
即4(4＋x)＝x(x＋10)，
化简得x2＋6x－16＝0，
解得x＝2或x＝－8(舍去)，
即CD＝6，CE＝12.
连接AB，因为CA为小圆的直径，
所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，
则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，
则CD2＋DE2＝CE2，
所以62＋DE2＝122，
所以DE＝6.
[例5] △ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．
求证：DC2＝AC·CM.
[证明] 连接AD、OD.
∵AB是直径，∴AD⊥BC.
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA.
又AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD.
则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.
∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.
则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.
[对应学生用书P43]
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( )
A．2个锐角和2个钝角 B．1个锐角和3个钝角
C．1个钝角和3个锐角 D．都是锐角或都是钝角
解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．
答案：A
2.如图，在⊙O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数是( )
A．60° B．50°
C．45° D．30°
解析：∠BCD＝∠DAE＝80°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°.
答案：B
3．如图所示，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，
在Rt△BOC中cos ∠B＝＝.
∴∠B＝30°.
∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°.
答案：C
4.如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：过O作OH⊥CD，连接OD，
则DH＝CD，
由相交弦定理知，
AE·BE＝CE·DE.
设CE＝4x，则DE＝9x，
∴4×4＝4x×9x，解得x＝，
∴OH＝＝ ＝.
答案：A
5.如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，且PB＝BC，PA＝3，那么BC的长为( )
A. B．2
C．3 D．3
解析：根据切割线定理PA2＝PB·PC，
所以(3)2＝2PB2.所以PB＝3＝BC.
答案：C
6．两个同心圆的半径分别为3 cm和6 cm，作大圆的弦MN＝6 cm，则MN与小圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：作OA⊥MN于A.连接OM.
则MA＝MN＝3.
在Rt△OMA中，
OA＝＝3(cm)．
∴MN与小圆相切．
答案：A
7.如图，PAB，PDC是⊙O的割线，连接AD，BC，若PD∶PB＝1∶4，AD＝2，则BC的长是( )
A．4 B．5
C．6 D．8
解析：由四边形ABCD为⊙O的内接四边形可得∠PAD＝∠C，∠PDA＝∠B.
∴△PAD∽△PCB.∴＝＝.
又AD＝2，∴BC＝8.
答案：D
8．已知⊙O的两条弦AB，CD交于点P，若PA＝8 cm，PB＝18 cm，则CD的长的最小值为( )
A．25 cm B．24 cm
C．20 cm D．12 cm
解析：设CD＝a cm，CD被P分成的两段中一段长x cm，另一段长为(a－x) cm.则x(a－x)＝8×18，
即8×18≤()2＝a2.
所以a2≥576＝242，即a≥24.
当且仅当x＝a－x，即x＝a＝12时等号成立．
所以CD的长的最小值为24 cm.
答案：B
9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB＝10，tan ∠BAC＝，则阴影部分的面积为( )
A.π B.π－24
C．24 D.π＋24
解析：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵tan ∠BAC＝，
∴sin ∠BAC＝.
又∵sin ∠BAC＝，AB＝10，
∴BC＝×10＝6.
AC＝×BC＝×6＝8，
∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6
＝π－24.
答案：B
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以A为圆心、AC为半径的圆交AB于F，交BA的延长线于E，CD⊥AB于D，给出四个等式：
①BC2＝BF·BA；②CD2＝AD·AB；
③CD2＝DF·DE；④BF·BE＝BD·BA.
其中能够成立的有( )
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确，
又由BC2＝BE·BF，BC2＝BD·BA，
得BE·BF＝BD·BA，故④正确．
答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)
11．四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝120°，OB＝1，则∠BAD＝________，∠BCD＝________，的长＝________.
解析：∠BAD＝∠BOD＝60°，
∠BCD＝180°－∠BAD＝120°，
由圆的半径OB＝1，∠BOD＝，
∴的长为.
答案：60° 120°
12．(陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.
答案：5
13.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC，BC，AB分别与⊙O切于点D，E，F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.
解析：如图所示，分别连接OD，OE，OF.
∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，
∴四边形OECD是正方形．
设BF＝x，则BE＝x.
∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，
∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，
∴BC＝12.
答案：12
14．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.
解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，
∴ED2＝EA·EB.
又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，
又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.
在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.
由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.
∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；
(2)PB平分∠ABD.
证明：(1)连接OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD.
又OA＝OB，PC＝PD，
所以OP∥BD，从而OP⊥l.
因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．
(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD＝∠BAP.
又∠BPD＋∠PBD＝90°，
∠BAP＋∠PBA＝90°，
所以∠PBA＝∠PBD，
即PB平分∠ABD.
16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.
证明：(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.
证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，
同理∠ACB＝∠DAB，
所以△ACB∽△DAB.从而＝，
即AC·BD＝AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，
又∠ADE＝∠BDA，得
△EAD∽△ABD.从而＝，
即AE·BD＝AD·AB.
结合(1)的结论，AC＝AE.
17.(本小题满分12分)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.
(1)证明：A，E，F，M四点共圆；
(2)证明：AC2＋BF·BM＝AB2.
证明：(1)连接AM，则∠AMB＝90°.
∵AB⊥CD，∴∠AEF＝90°.
∴∠AMB＋∠AEF＝180°，
即A，E，F，M四点共圆．
(2)连接CB，由A，E，F，M四点共圆，
得BF·BM＝BE·BA.
在Rt△ACB中，BC2＝BE·BA，AC2＋CB2＝AB2，
∴AC2＋BF·BM＝AB2.
18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，
又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.
