一平行线等分线段定理
[对应学生用书P1]
1．平行线等分线段定理
(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)用符号语言表述：已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.
[说明]
(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的．
(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等．
2．平行线等分线段定理的推论
文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 在△ABC中，若AB′＝B′B，B′C′平行于BC交AC于点C′，则AC′＝C′C
推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 在梯形ABCD中，AD∥BC，若AE＝EB，EF平行于BC交DC于F点，则DF＝FC
[对应学生用书P1]
平行线等分线段定理
[例1] 已知如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.
求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.
[思路点拨] 直接利用平行线等分线段定理即可．
[证明] ∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，
∴A1B1＝B1C1.
∵直线l2∥l3∥l4且BC＝CD，
∴B1C1＝C1D1，
∴A1B1＝B1C1＝C1D1.
平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．
1．已知：如图，l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误的是( )
A．由AB＝BC可得FG＝GH
B．由AB＝BC可得OB＝OG
C．由CE＝2CD可得CA＝2BC
D．由GH＝FH可得CD＝DE
解析：OB、OG不是一条直线被平行线组截得的线段．
答案：B
2．如图，已知线段AB，求作线段AB的五等分点．
作法：如图，(1)作射线AC；
(2)在射线AC上依任意长顺次截取AD＝DE＝EF＝FG＝GH；
(3)连接HB；
(4)过点G，F，E，D分别作HB的平行线GA1，FA2，EA3，DA4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4.
则A1，A2，A3，A4就是所求的五等分点．
证明：过点A作MN∥HB，
则MN∥DA4∥EA3∥FA2∥GA1∥HB.
又AD＝DE＝EF＝FG＝GH，
∴AA4＝A4A3＝A3A2＝A2A1＝A1B(平行线等分线段定理)．
平行线等分线段定理推论1的运用
[例2] 如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延长线于E.
求证：AG＝2DE.
[思路点拨] →→→
[证明] 在△AEC中，
∵AF＝FC，GF∥EC，
∴AG＝GE.
∵CE∥FB，
∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E.
又BD＝DC，
∴△BDG≌△CDE.
故DG＝DE，即GE＝2DE，
因此AG＝2DE.
此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．
3.如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E，AD＝6，求BE的长．
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，BC＝AD.
又因为AB∥DC，OE∥AB，
所以DC∥OE∥AB.
又因为AD＝6，
所以BE＝EC＝BC＝AD＝3.
4．已知：AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.
求证：AF＝AC.
证明：如图，过D作DG∥BF交AC于G.
在△BCF中，D是BC的中点，
DG∥BF，
∴G为CF的中点．即CG＝GF.
在△ADG中，E是AD的中点，EF∥DG，
∴F是AG的中点．即AF＝FG.
∴AF＝AC.
平行线等分线段定理推论2的运用
[例3] 已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点，求证： AM＝BM.
[思路点拨] 解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件．
[证明] 过点M作ME∥BC交AB于点E，
∵AD∥BC，
∴AD∥EM∥BC.
又∵M是CD的中点，
∴E是AB的中点．
∵∠ABC＝90°，
∴ME垂直平分AB.
∴AM＝BM.
有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．
5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．
解：结论成立．证明如下：
过点M作ME⊥AB于点E，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∵ME⊥AB，∴ME∥BC∥AD.
∵AM＝BM，且ME⊥AB，
∴E为AB的中点，∴M为CD的中点．
6．已知：如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′；
求证：A′D′＝B′C′.
证明：∵ ABCD的对角线AC，BD交于O点，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，
∴AA′∥OO′∥CC′.∴O′A′＝O′C′.
同理：O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.
[对应学生用书P3]
一、选择题
1．梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF＝2 cm，则AB＋CD等于( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
解析：由梯形中位线定理知EF＝(AB＋CD)，
∴AB＋CD＝4 cm.
答案：D
2．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的( )
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
解析：∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，
即BF＝FD.
又DC＝BD，∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
答案：A
3．梯形的中位线长为15 cm，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )
A．12 cm 18 cm B．20 cm 10 cm
C．14 cm 16 cm D．6 cm 9 cm
解析：如图，设MP∶PN＝2∶3，则MP＝6 cm，PN＝9 cm.
∵MN为梯形ABCD的中位线，在△BAD中，MP为其中位线，
∴AD＝2MP＝12 cm.
同理可得BC＝2PN＝18 cm.
答案：A
4．梯形的一腰长10 cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为( )
A．30 cm2 B．40 cm2
C．50 cm2 D．60 cm2
解析：如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm，
∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．
∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE
＝×5×24＝60 (cm2)．
答案：D
二、填空题
5．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A′、B′、C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝，则B′C′＝________.
解析：直接利用平行线等分线段定理．
答案：
6.如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2 cm，则AC＝______；若BD＝10 cm，则EF＝________.
解析：由E是AB的中点，EF∥BD，
得EG＝AD＝FD＝2 cm，
结合CD＝AD，
可以得到F、D是AC的三等分点，
则AC＝3EG＝6(cm)．
由EF∥BD，得EF＝BD＝5(cm)．
答案：6 cm 5 cm
7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，EF∥BC，G是BC边上任一点，如果S△GEF＝2 cm2，那么梯形ABCD的面积是________cm2.
解析：因为E为AB的中点，EF∥BC，
所以EF为梯形ABCD的中位线，
所以EF＝(AD＋BC)，
且△EGF的高是梯形ABCD高的一半，
所以S梯形ABCD＝4S△EGF＝4×2
＝8(cm2)．
答案：8
三、解答题
8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE、CD交于点F.
求证：F是CD的中点．
证明：如图，过D作DG∥AE交BC于G，
在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE，
∴BG＝GE.
∵E是BC的三等分点，
∴BG＝GE＝EC.
在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF，
∴DF＝CF.
即F是CD的中点．
9．如图，先把矩形纸片ABCD对折后展开，并设折痕为MN；再把点B叠在折痕线上，得到Rt△AB1E.沿着EB1线折叠，得到△EAF.求证：△EAF是等边三角形．
证明：因为AD∥MN∥BC，AM＝BM，
所以B1E＝B1F.
又因为∠AB1E＝∠B＝90°，
所以AE＝AF，所以∠B1AE＝∠B1AF.
根据折叠，得∠BAE＝∠B1AE，
所以∠BAE＝∠B1AE＝∠B1AF＝30°，
所以∠EAF＝60°，所以△EAF是等边三角形．
10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.
求证：EF＝FC.
证明：法一：如图，连接BE交AF于O，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BO＝OE.
又∵AF∥BC，
∴EF＝FC.
法二：如图，延长ED交BC于点H，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥ED，AB∥DH，
AB＝ED.
又∵AF∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴AB＝DH.
∴ED＝DH.
∴EF＝FC.
法三：如图，延长EA交CB的延长线于M，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥EA，AE＝BD.
又AD∥BC.
∴四边形AMBD是平行四边形．
∴AM＝BD.
∴AM＝AE.
∴EF＝FC.三相似三角形的判定及性质
1．相似三角形的判定
[对应学生用书P7]
1．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．相似三角形的判定定理
(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．
(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
[说明] 1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．
2．引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可以判定两直线平行．
3．直角三角形相似的判定定理
(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似．
(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
[说明] 对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．
[对应学生用书P8]
相似三角形的判定
[例1] 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.
[思路点拨] 已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.
[证明] ∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴∠A＝∠CBD.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.
判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．
1．如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：△AED与△AFG相似，△AED与△ABC相似，△AFG与△ABC相似．
答案：C
2．如图，O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，
∴DE＝AB，EF＝BC，FD＝CA.
∴＝＝＝.
∴△DEF∽△ABC.
3．如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于E，F在AD上，且AD2＝AF·AB，求证：△AEF∽△ACD.
证明：∵DE∥BC，∴＝.①
∵AD2＝AF·AB，∴＝.②
由①②两式得＝，
又∠A为公共角，∴△AEF∽△ACD.
直角三角形相似的判定
[例2] 如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
[思路点拨] 由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明＝即可．
[证明] 在正方形ABCD中，
∵Q是CD的中点，∴＝2.
∵＝3，∴＝4.
又BC＝2DQ，∴＝2.
在△ADQ和△QCP中，
＝＝2，∠C＝∠D＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
直角三角形相似的判定方法：
(1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定．
(2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似．
4．如图，∠C＝90°，D是AC上的一点，DE⊥AB于E，求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DEA＝∠C.
∵∠A＝∠A.
∴△ADE∽△ABC
5．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形．
解：∵∠ACE为公共角，由直角三角形判定定理1，知Rt△FDC∽Rt△ACE.
又∠A为公共角，∴Rt△ABD∽Rt△ACE.
又∵∠A＋∠ACE＝90°，∠A＋∠ABD＝90°，
∴∠ACE＝∠ABD.∴Rt△FBE∽Rt△ACE.
故共有三个直角三角形，即Rt△ABD，Rt△FBE，
Rt△FCD与Rt△ACE相似.
相似三角形的应用
[例3] 如图，D为△ABC的边AB上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.
求证：GH∥AB.
[思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式＝成立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝∠EBD即可．
[证明] ∵DE∥BC，
∴＝＝，即＝.
又∵DF∥AC，∴＝.
∴＝.∴＝.
又∠GEH＝∠DEB，
∴△EGH∽△EDB.
∴∠EHG＝∠EBD.
∴GH∥AB.
不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系．
6．如图，△ABC的三边长是2、6、7，△DEF的三边长是4、12、14，且△ABC与△DEF相似，则∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝________.
＝＝＝________.
解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F.
＝＝＝.
答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF
7.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.
(1)求证：△CDE∽△FAE；
(2)当E是AD的中点，且BC＝2CD时，
求证：∠F＝∠BCF.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
又∵点F在BA的延长线上，
∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE.
∴△CDE∽△FAE.
(2)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
由△CDE∽△FAE，得＝.
∴CD＝FA.
∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD.
又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF.
8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于F.
求证：＝.
证明：∵E是Rt△ADC斜边AC上的中点，
∴AE＝EC＝ED.
∴∠EDC＝∠C＝∠BDF.
又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠C.
∴∠BAD＝∠BDF.
又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，
∴＝.
又在Rt△ABD与Rt△CBA中，＝，
∴＝.
[对应学生用书P10]
一、选择题
1．如图所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：根据相似三角形的判定定理可得：
△OEF∽△OBC(∵EF∥BC)；
△CHG∽△CBO(∵HG∥OB)；
△OAD∽△OBC(∵AD∥BC)．
故与△BOC相似的三角形共有3个．
答案：C
2．下列判断中，不正确的是( )
A．两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似
B．斜边和一直角边长分别是2，4和，2的两个直角三角形相似
C．两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似
D．两个等腰直角三角形相似
解析：由直角三角形相似判定定理知A、B、D正确．
答案：C
3．如图，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( )
A.＝
B.＝
C．AC2＝CD·CB
D．CD2＝AC·AB
解析：∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.
答案：C
4.如图，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得＝，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
解析：因为∠A＝∠C，＝＝2，
所以△AED∽△CBD.
答案：B
二、填空题
5．如图，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于点O，则图中与△ABC相似的三角形共有________个，它们分别是____________________．
解析：与△ABC相似的有△GFC，△OGE，△ADE.
答案：3 △GFC，△OGE，△ADE
6．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.
解析：由题设可求得AB＝5，
∵Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴＝.∴AD＝＝.
又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴＝.∴BD＝＝.
答案：
7．已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.
解析：连接AF.
∵EF⊥AD，AE＝ED，
∴AF＝DF，
∠FAD＝∠FDA.
又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF，
∠FDA＝∠BAD＋∠B，
且∠DAC＝∠BAD，
∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB，
∴△AFC∽△BFA.
∴＝.
∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.
∴AF＝6，即DF＝6.
答案：6
三、解答题
8．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，E在AB的延长线上，且BE＝AB，求证：△ADC∽△ACE.
证明：∵D是AB的中点，∴＝.
∵AB＝AC，∴＝.
∵ BE＝AB，∴＝.
又AB＝AC，∴＝.
∴＝.
又∠A为公共角，∴△ADC∽△ACE.
9.如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC.
求证：AE·CE＝DE·EF.
证明：∵AB·CD＝DE·AC
∴＝.
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴△ACB∽△DCE.
∴∠A＝∠D.
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.
∴＝.
∴AE·CE＝DE·EF.
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE是∠CAB的角平分线，CD与AE相交于点F，EG⊥AB于G.求证：EG2＝FD·EB.
证明：因为∠ACE＝90°，CD⊥AB，
所以∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°.
因为∠AFD＝∠CFE，
所以∠FAD＋∠CFE＝90°.
又因为∠CAE＝∠FAD，
所以∠AEC＝∠CFE.
所以CF＝CE.
因为AE是∠CAB的平分线，EG⊥AB，EC⊥AC，
所以EC＝EG，CF＝EG.
因为∠B＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CAB＝90°，
所以∠ACF＝∠B.因为∠CAF＝∠BAE，
所以△AFC∽△AEB，＝.
因为CD⊥AB，EG⊥AB，
所以Rt△ADF∽Rt△AGE.
所以＝，＝.
所以CF·EG＝FD·EB，EG2＝FD·EB.
2．相似三角形的性质
[对应学生用书P11]
1．相似三角形的性质定理
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
相似三角形周长的比等于相似比．
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
[说明] 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．
[对应学生用书P11]
利用相似三角形性质计算
[例1] 已知如图，△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若S△ABC＝36 cm2，S△AEF＝4 cm2，求sin A的值．
[思路点拨] 由题目条件证明△AEC∽△AFB，得AE∶AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，进而求出线段EC与AC的比值．
[解] ∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，
∴∠AEC＝∠AFB＝90°.
又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB.
∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB.
∴()2＝＝.
∴＝＝.
设AE＝k，
则AC＝3k，
∴EC＝2k.
∴sin A＝＝.
利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．
1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点．AB＝8 cm，AC＝10 cm，若△ADE和△ABC相似，且S△ABC∶S△ADE＝4∶1，则AE＝________cm.
解析：因为△ADE∽△ABC，且S△ABC∶S△ADE＝4∶1，所以其相似比为2∶1，即＝或＝，所以AE＝5或4(cm)．
答案：5或4
2.如图，在 ABCD中，AE∶EB＝2∶3.
(1)求△AEF与△CDF周长的比；
(2)若S△AEF＝8，求S△CDF.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD.∵＝，
∴＝，即＝.∴＝.
又由AB∥CD知△AEF∽△CDF，
∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.
(2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，
又S△AEF＝8，∴S△CDF＝50.
利用相似三角形的性质解决实际问题
[例2] 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？
[思路点拨] 此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．
[解] 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x米，才能看到水塔．
连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于G，交AB于H，则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．
∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.
∴AH∶DG＝FH∶FG.
即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)，
解得x＝55.2(米)．
故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔．
此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．
INCLUDEPICTURE "../../../题组集训.TIF" \* MERGEFORMAT
3.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．
解：设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.
因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.
所以＝.
所以＝，
解得x＝(mm)，
2x＝ (mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm和 mm.
4．已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，和它相似的另一个三角形的最长边为12 cm，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积．
解：设边长为3 cm,4 cm,5 cm的三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，因为该三角形为直角三角形，
所以R＝，且(3＋4＋5)r＝×3×4，即r＝1.
∴S内切圆＝π(cm2)，S外接圆＝π·()2＝(cm2)．
又两三角形的相似比为，
∴S′内切圆＝()2S内切圆＝(cm2)，
S′外接圆＝()2S外接圆＝36π(cm2)．
[对应学生用书P12]
一、选择题
1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，则DB等于( )
A．2 cm B．6 cm
C．4 cm D．8 cm
解析：由DE∥BC，
得△ADE∽△ABC，
∴＝.
∴＝＝.
∴DB＝4×2＝8(cm)．
答案：D
2．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( )
A．13和22 B．14和21
C．15和20 D．16和19
解析：由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得．
∴周长之比＝.又l1＋l2＝35，
∴l1＝15，l2＝20，即两个三角形的周长分别为15,20.
答案：C
3．如图所示，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
解析：∵△CBF∽△CDE，∴＝.
∴BF＝＝＝1.8.
答案：D
4．如图，是一个简单的幻灯机，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m，幻灯片上小树的高度是10 cm，则屏幕上小树的高度是( )
A．50 cm B．500 cm
C．60 cm D．600 cm
解析：图中的两个三角形相似．设屏幕上小树的高度为x cm，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得＝，解得x＝60 cm.
答案：C
二、填空题
5．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12 cm，面积为6 cm2，则这块土地的实际周长是________m，实际面积是________m2.
解析：这块土地的实际形状与地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为，则实际周长是12×500＝6 000(cm)＝60 m；实际面积是6×5002＝1 500 000(cm2)＝150 m2.
答案：60 150
6．如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．
解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE.
∴BF∶AE＝BG∶GA＝3∶1.
∵D为AC中点，∴＝＝1.
∴AE＝CF.
∴BC∶AE＝2∶1.∵BC＝10，∴AE＝5.
答案：5
7．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40 cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________．
解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD，
所以△ABE∽△DBA.
所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
因为S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
所以AB∶DB＝1∶.
设AB＝k cm，DB＝k cm，
则AD＝2k cm.
因为S矩形ABCD＝40 cm2，
所以k·2k＝40，所以k＝2(cm)．
所以BD＝k＝10 (cm)．AD＝4(cm)．
又因为S△ABD＝BD·AE＝20，
所以·10·AE＝20.
所以AE＝4(cm)．
答案：4 cm
三、解答题
8．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AB中点，E是AC上的点，BE、CD交于M.若AC＝3AE，求∠EMC的度数．
解：如图，作EF⊥BC于F，
设AB＝AC＝3，
则AD＝，BC＝3，
CE＝2，EF＝FC＝.
∴BF＝BC－FC＝2.
∴EF∶BF＝∶2＝1∶2＝AD∶AC.
∴△FEB∽△ADC.∴∠2＝∠1.
∵∠EMC＝∠2＋∠MCB，
∴∠EMC＝∠1＋∠MCB＝∠ACB＝45°.
9.如图， ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求 ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD.
∴∠ABF＝∠E.
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝()2＝，
＝()2＝.
∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△BCE－S△DEF＝16.
∴S ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
10．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：
(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果无关的结论．
(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：(1)由题意可知：AQ＝6－t(cm)，AP＝2t(cm)．
若△QAP为等腰直角三角形，
则AQ＝AP，即t＝2(s)．
(2)S四边形QAPC＝S矩形ABCD－S△DQC－S△PBC
＝12×6－×12×t－×6×(12－2t)
＝72－6t－36＋6t＝36(cm2)，
结论：无论P、Q运动到何处，
S四边形QAPC都不变，为36 cm2.
(3)①△QAP∽△ABC，
∴＝.∴＝.
∴t＝1.2 s.
②△QAP∽△CBA，
∴＝.∴＝.∴t＝3 s.
即t为1.2 s或3 s时，
以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．二平行线分线段成比例定理
[对应学生用书P4]
1．平行线分线段成比例定理
(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)图形语言：
如图l1∥l2∥l3，
则有：＝，
＝，
＝.
变式有：＝，＝，＝.
[说明] “对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段．如图中AB和DE；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比．
2．平行线分线段成比例定理的推论
(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
(2)图形语言：如图l1∥l2∥l3，
则有：＝，＝，＝.
3．平行线分线段成比例定理的作用
平行线分线段成比例定理及推论是研究下一节相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系．
[对应学生用书P5]
平行线分线段成比例定理
[例1] 已知：如图，AD∥BE∥CF，EG∥FH.
求证：＝.
[思路点拨] 由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与， 均相等的公共比例式．
[证明] ∵AD∥BE∥CF，∴＝.
又∵EG∥FH，∴＝.
∴＝.
平行线分线段成比例定理的解题思路
(1)观察图形和已知条件，找出图中的三条平行线和被平行线所截的两条直线；
(2)分析截线上的对应线段，写出相应的比例关系；
(3)灵活运用比例性质或“中间比”进行线段比的转化，达到求线段比或证明线段成比例的目的；
(4)注意定理基本图形的几种变式情形，在复杂图形中识别能够应用定理的图形．
1．如图，AD∥EF∥BC，＝，DF＝4 cm，则FC＝________cm.
解析：∵AD∥EF∥BC，∴＝.
又＝，DF＝4 cm，
∴FC＝6 cm.
答案：6
2．已知：如图所示，l1∥l2∥l3，
＝.
求证：＝.
证明：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝.
∴＝，则＝，
即＝.∴＝.
平行线分线段成比例定理的推论
[例2] 已知：如图，点E是 ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：OB2＝OE·OF.
[思路点拨] 利用AB∥CE，AF∥BC得出所要比例关系．
[证明] 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AD∥BC.
由AB∥CE，得＝.
由AF∥BC，得＝.
所以＝(等量代换)．
即OB2＝OE·OF.
运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或求线段的长度时，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，在解答过程中要灵活应用比例性质．
3．已知：如图，D为BC的中点，AG∥BC，求证：＝.
证明：因为AG∥BC，
所以＝，＝，
又BD＝DC，所以＝.
4.如图，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12 cm，求AE，DG的长．
解：∵AE∥CF，
∴＝.
∴AE＝·CF.
∵AB∶BC＝1∶2，CF＝12 cm，
∴AE＝×12＝6 (cm)．
∵CF∥DG，∴＝.
∵＝，∴＝.
∴DG＝·CF＝×12＝30(cm).
通过添加平行线构造基本图形寻找公共比
[例3] 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证：＝.
[思路点拨] 由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．
[证明] 作EH∥AB交AC于点H，
则＝，∴＝.
同理：＝，∴＝.
∵△BDC为直角三角形，
且E为BC边中点，
∴BE＝CE＝DE.
∴＝.∴＝.
证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．
INCLUDEPICTURE "../../../题组集训.TIF" \* MERGEFORMAT
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在AB，CD上，且EF∥BC，若＝，AD＝8 cm，BC＝18 cm，求EF长．
解：作AG∥DC分别交BC，EF于G，H，
∴AD＝HF＝GC＝8 cm.
BG＝18－8＝10(cm)．
∵＝，∴＝.
∴＝＝.
∴EH＝×BG＝×10＝4(cm)．
∴EF＝EH＋HF＝4＋8＝12(cm)．
6．如图所示，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求＋的值．
解：过点D作DG∥AB交EC于G，
则＝＝＝，而＝，
即＝，所以AE＝DG.
从而有AF＝DF，EF＝FG＝CG，
故＋＝＋
＝＋1＝.
[对应学生用书P6]
一、选择题
1．如图，在△ACE中，B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是( )
A．BD∥CE ＝
B．BD∥CE ＝
C．BD∥CE ＝
D．BD∥CE ＝
解析：由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A、B、C都是正确的，D是错误的．
答案：D
2．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是( )
A．10 B．12
C．16 D．18
解析：∵AB∥EF∥CD，∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴EF＝AB＝×20＝16.
答案：C
3．如图，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－的值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：∵DC∥BN，∴＝.
又BM∥AD，∴＝.
∴－＝－＝＝＝1.
答案：C
4．如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是( )
A．5∶12 B．5∶13
C．5∶19 D．5∶21
解析：如图，作MN∥AD交DC于N，
∴＝.
又∵AM＝ME，
∴DN＝NE＝DE＝.
∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.
∵PD∥MN∥QC，
∴＝＝＝.
答案：C
二、填空题
5．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________.
解析：∵DE∥BC，
∴＝＝.
∵BF∶EF＝3∶2，
∴AC∶AE＝3∶2.
答案：3∶2
6．如图，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为________．
解析：由AE∶EC＝7∶3，
得EC∶AC＝3∶10.
根据MN∥DE∥BC，
可得DB∶AB＝EC∶AC＝3∶10.
答案：3∶10
7．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE的延长线交BC于点F，则＝________.
解析：过点D作DM∥AF交BC于点M.
∵点E是BD的中点，
∴在△BDM中，BF＝FM，
∵点D是AC的中点，
∴在△CAF中，CM＝MF.
∴＝＝.
答案：
8．如图所示，DE∥BC，EF∥DC，求证：AD2＝AF·AB.
证明：因为DE∥BC，
所以＝(平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例)．
因为EF∥DC，
所以＝.
所以＝，即AD2＝AF·AB.
三、解答题
9．如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15 cm，AF＝4 cm，求BE和DE的长．
解：∵DE∥AC，∴∠3＝∠2.
又AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3，即AE＝ED.
∵DE∥AC，EF∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形．
∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.
设AE＝DE＝FC＝x.
由EF∥BC得＝，即＝，
解之得x1＝6，x2＝－10(舍去)．
∴DE＝6 cm，BE＝15－6＝9 cm.
10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.
(1)求证：EO＝OF；
(2)求＋的值；
(3)求证：＋＝.
解：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥AD∥BC.
∵EF∥BC，∴＝，＝.
∵EF∥AD∥BC，∴＝.
∴＝.∴EO＝OF.
(2)∵EO∥AD.∴＝.
由(1)知＝，
∴＋＝＋＝＝1.
(3)证明：由(2)知＋＝1，
∴＋＝2，又EF＝2EO，
∴＋＝2.
∴＋＝.四直角三角形的射影定理
[对应学生用书P14]
1．射影
(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．
(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．
2．射影定理
(1)文字语言：
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，
则有CD2＝AD·BD，
AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB.
[对应学生用书P14]
射影定理的有关计算
[例1] 如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．
[思路点拨] 在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
[解] ∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，
∴CD＝＝2(cm)．
∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，
∴AC＝＝4(cm)．
∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，
∴BC＝＝4(cm)．
故CD、AC、BC的长分别为2 cm,4 cm,4 cm.
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．
解：由射影定理，得BC2＝BD·AB，
∴BC＝＝＝2.
又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25.
且AC2＝AB2－BC2，
∴AC＝＝＝5.
∵CD2＝AD·BD，
∴CD＝＝＝10.
2．已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.
求：(1)AD∶BD的值；
(2)若AB＝25 cm，求CD的长．
解：(1)∵AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB，
∴＝.
∴＝()2＝( )2＝.
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，
∴AD＝×25＝9(cm)，
BD＝×25＝16(cm)．
∴CD＝＝＝12(cm).
与射影定理有关的证明问题
[例2] 如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．
求证：AF·AC＝BG·BE.
[思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．
[证明] ∵CD垂直平分AB，
∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF·AC＝AD2，
BG·BE＝DB2.
∵AD2＝DB2，
∴AF·AC＝BG·BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．
3．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．
求证：CA·CD＝BC·AD.
证明：由射影定理知：
CD2＝AD·BD，
CA2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB.
∴CA·CD＝＝AD·，
BC·AD＝AD·.
即CA·CD＝BC·AD.
4．Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、F在斜边BC上．
求证：EF2＝BE·FC.
证明：过点A作AH⊥BC于H.
则DE∥AH∥GF.
∴＝，＝.
∴＝.
又∵AH2＝BH·CH，
∴DE·GF＝BE·FC.
而DE＝GF＝EF，
∴EF2＝BE·FC.
[对应学生用书P15]
一、选择题
1．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，则DE＝( )
A．1.24 cm B．1.26 cm
C．1.28 cm D．1.3 cm
解析：如图，∵∠A＝∠A，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，
∴＝，
DE＝＝＝1.28.
答案：C
2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
解析：设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.
答案：C
3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为( )
A．7.2 cm2 B．6 cm2
C．12 cm2 D．24 cm2
解析：长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)，
∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．
答案：B
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6 cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是( )
A．6 cm B．3 cm
C．18 cm D．3 cm
解析：∵AD∶DB＝1∶2，
∴可设AD＝t，DB＝2t.
又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，
∴2t2＝36，∴t＝3(cm)，即AD＝3 cm.
答案：B
二、填空题
5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．
解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．
答案：
6．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．
解析：因为四边形ABCD为矩形，
所以∠A＝∠D＝90°.
因为∠BEF＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.
因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.
所以△ABE∽△DEF.
答案：①③
7．在△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝6，BD＝12，则CD＝__________，AC＝__________，AB2∶AC2＝__________.
解析：如图，AB2＝AD2＋BD2，
又AD＝6，BD＝12，
∴AB＝6.
由射影定理可得，AB2＝BD·BC，
∴BC＝＝15.
∴CD＝BC－BD＝15－12＝3.
由射影定理可得，AC2＝CD·BC，
∴AC＝＝3.
∴＝＝＝＝4.
答案：3 3 4∶1
三、解答题
8．如图：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE是Rt△BCD斜边BC上的高，若BE＝6，CE＝2.
求AD的长是多少．
解：因为在Rt△BCD中，DE⊥BC，所以由射影定理可得：CD2＝CE·BC，
所以CD2＝16，
因为BD2＝BE·BC，
所以BD＝＝4.
因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
CD⊥AB，
所以由射影定理可得：
CD2＝AD·BD，
所以AD＝＝＝.
9．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，且CD2＝AD·BD，求证：∠ACB＝90°.
证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠BDC＝90°.
又∵CD2＝AD·BD，
即AD∶CD＝CD∶BD，
∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD＝∠BCD.
又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD
＝∠ACD＋∠CAD＝90°.
10．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
解：(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，
则BC＝8x，
过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x.
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得：x1＝0(舍去)，x2＝2.
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于F点，
∴AC2＝AF·AB.
∴AF＝＝＝(cm)；
同理：BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.
[对应学生用书P16]
近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．
1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
解析：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，
得EF＝(CD＋AB)，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，
于是两梯形的面积比为
(3＋4)h∶(2＋3)h＝7∶5.
答案：7∶5
2.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．
解析：连接AC，BC，则∠ACB＝90°.
设AD＝2，则AB＝6，
于是BD＝4，OD＝1.
如图，由射影定理得CD2＝AD·BD＝8，则CD＝2.
在Rt△OCD中，DE＝＝＝.
则CE＝＝ ＝，
EO＝OC－CE＝3－＝.
因此＝＝8.
答案：8
[对应学生用书P16]
平行线分线段相关定理
平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．
[例1] 如图，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC.
求证：EG∥BH.
[证明] ∵DE∥BC，
∴＝.
∵DH∥GC，∴＝.
∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG.
∴＝.∴EG∥BH.
[例2] 如图，直线l分别交△ABC的边BC，CA，AB于点D，E，F，且AF＝AB，BD＝BC，试求.
[解] 作CN∥AB交DF于点N，并作EG∥AB交BC于点G，由平行截割定理，知＝，＝，
两式相乘，得·＝·，
即＝·.
又由AF＝AB，得＝2，
由BD＝BC，得＝，
所以＝2×＝.
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质揭示了形状相同，大小不一定相等的两个三角形之间的边、角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．
[例3] 如图所示，AD、CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.
求证：PQ＝CF.
[证明] ∵AD、CF是△ABC的两条高线，
∴∠ADB＝∠BFC＝90°.
又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.
∴＝.
又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.
∴＝.∴＝.∴＝.
又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.
[例4] 四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠BCD，CE⊥AD于点E，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积．
[解] 如图，延长CB、DA交于点F，
又CE平分∠BCD，CE⊥AD.
∴△FCD为等腰三角形，E为FD的中点．
∴S△FCD＝FD·CE
＝×2ED·CE
＝2S△CED＝2，
EF＝ED＝2AE.
∴FA＝AE＝FD.
又∵AB∥CD，
∴△FBA∽△FCD.
∴＝()2＝()2＝.
∴S△FBA＝×S△FCD＝.
∴S四边形ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA
＝2－1－＝.
射影定理
射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．
[例5] 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F.
求证：CE2＝BD·DF.
[证明] ∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC.∴＝.
同理：CD∥EF，∴＝.
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB.
∴＝.
∴＝.
∴CE2＝BD·DF.
[对应学生用书P41]
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是( )
A．AB＝2A′B′ B．3A′B′＝B′C′
C．BC＝B′C′ D．AB＝A′B′
解析：∵AA′∥BB′∥CC′，∴＝＝.
∴3A′B′＝B′C′.
答案：B
2.如图，∠ACB＝90°.CD⊥AB于D，AD＝3、CD＝2，则AC∶BC的值是( )
A．3∶2 B．9∶4
C.∶ D.∶
解析：Rt△ACD∽Rt△CBD，∴＝＝.
答案：A
3．在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若BD＝3 cm，AC＝2 cm，则CD和BC的长分别为( )
A. cm和3 cm
B．1 cm和 cm
C．1 cm和3 cm
D. cm和2 cm
解析：设AD＝x，
则由射影定理得x(x＋3)＝4，
即x＝1(负值舍去)，
则CD＝＝(cm)，
BC＝＝＝2(cm)．
答案：D
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，则DE的值为( )
A. B.
C. D.
解析：AC2＝CD·BC，
即52＝2×BC，
∴BC＝.
∴AB＝＝ ＝.
∵＝，∴DE＝.
答案：A
5．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①由∠B＝∠ACD，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似；②由∠ADC＝∠ACB，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似；③＝，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC2＝AD·AB可得＝，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似．
答案：C
6.如图，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为( )
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶5
解析：由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8
得S△ADE∶S△ABC＝1∶9.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴()2＝＝.
∴＝，＝.
答案：C
7．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是( )
A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝
D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°
解析：A中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，
∴△ABC∽△DEF；
B中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4；
∴△ABC∽△EFD；
D中＝，∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF；
而C中不能保证三边对应成比例．
答案：C
8．在Rt△ACB中，∠C＝90°.CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是( )
A. B.
C. D．2
解析：由射影定理得
CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶4.
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，
∴CD2＝4x2，
∴CD＝2x，tan∠BCD＝＝＝.
答案：C
9.在 ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝( )
A．4∶10∶25 B．4∶9∶25
C．2∶3∶5 D．2∶5∶25
解析：∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF.
∴＝＝.
∴＝()2＝.
又△DEF和△BEF等高．
∴＝＝＝.
答案：A
10．如图，已知a∥b，＝，＝3.则AE∶EC＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵a∥b，∴＝，＝.
∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.
又＝，
∴＝＝.∴＝.∴＝.
∴＝＝.
答案：A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长∶△ABC的周长等于________．
解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵BD＝2AD，∴AB＝3AD.∴＝.
∴＝＝.
答案：
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5， DE＝6，则BF＝________.
解析：∵DE∥BC，
∴＝，∴BC＝DE·＝6×＝10，
又DF∥AC，∴DE＝FC＝6.
∴BF＝BC－FC＝4.
答案：4
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于点O，直线AO与DE、BC分别交于N、M，若DN∶MC＝1∶4，则NE∶BM＝________，AE∶EC＝________.
解析：＝＝，
∴＝＝.
∴＝＝.
又＝＝，
∴＝＝.
∴AE∶EC＝1∶3.
答案：1∶4 1∶3
14．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE＝8.7 m，窗口高AB＝1.8 m，那么窗口底边离地面的高BC等于________m.
解析：∵BD∥AE，∴＝.
∴BC＝.
∵AB＝1.8 m，DE＝2.7 m，CE＝8.7 m，
∴CD＝CE－DE＝8.7－2.7＝6(m)．
∴BC＝＝4(m)．
答案：4
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，BC的中点为D，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点M、N.
求证：MN∥BC.
证明：∵MD平分∠ADB，
∴＝.
∵ND平分∠ADC，∴＝.
∵BD＝DC，
∴＝＝＝.
∴MN∥BC.
16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：BP2＝PE·PF.
证明：连接PC，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD是△ABC的对称轴，
故PC＝PB，
∠PCE＝∠ABP.
∵CF∥AB，
∴∠PFC＝∠ABP，
故∠PCE＝∠PFC，
∵∠CPE＝∠FPC，
∴△EPC∽△CPF，
故＝，
即PC2＝PE·PF，
∴BP2＝PE·PF.
17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB、DC于E、F，交DA、BC的延长线于G、H.
(1)求证：PE·PG＝PF·PH；
(2)当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给出证明．
解：(1)证明：∵AB∥CD，∴＝.
∵AD∥BC，∴＝，
∴＝.∴PE·PG＝PH·PF.
(2)关系式为PC2＝PE·PG.
证明：由题意可得到右图，
∵AB∥CD，
∴＝.
∵AD∥BC，∴＝.
∴＝，即PC2＝PE·PG.
18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m、20 m的梯形空地上种植花木(如图)．
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单位为8元/m2，当△AMD地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
解：(1)∵四边形ABCD为梯形，∴AD∥BC.
∴△AMD∽△CMB，∴＝()2＝.
∵种植△AMD地带花费160元，
∴S△AMD＝＝20(m2)．
∴S△CMB＝80(m2)．
∴△CMB地带的花费为80×8＝640元．
(2)＝＝＝2，
∴S△ABM＝2S△AMD＝40(m2)．
同理：S△DMC＝40(m2)．
所剩资金为：1600－160－640＝800元，
而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)．
故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．[对应学生用书P16]
近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．
1.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
解析：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，
得EF＝(CD＋AB)，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，
于是两梯形的面积比为
(3＋4)h∶(2＋3)h＝7∶5.
答案：7∶5
2.如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．
解析：连接AC，BC，则∠ACB＝90°.
设AD＝2，则AB＝6，
于是BD＝4，OD＝1.
如图，由射影定理得CD2＝AD·BD＝8，则CD＝2.
在Rt△OCD中，DE＝＝＝.
则CE＝＝ ＝，
EO＝OC－CE＝3－＝.
因此＝＝8.
答案：8
[对应学生用书P16]
平行线分线段相关定理
平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．
[例1] 如图，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC.
求证：EG∥BH.
[证明] ∵DE∥BC，
∴＝.
∵DH∥GC，∴＝.
∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG.
∴＝.∴EG∥BH.
[例2] 如图，直线l分别交△ABC的边BC，CA，AB于点D，E，F，且AF＝AB，BD＝BC，试求.
[解] 作CN∥AB交DF于点N，并作EG∥AB交BC于点G，由平行截割定理，知＝，＝，
两式相乘，得·＝·，
即＝·.
又由AF＝AB，得＝2，
由BD＝BC，得＝，
所以＝2×＝.
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质揭示了形状相同，大小不一定相等的两个三角形之间的边、角关系．其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．
[例3] 如图所示，AD、CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.
求证：PQ＝CF.
[证明] ∵AD、CF是△ABC的两条高线，
∴∠ADB＝∠BFC＝90°.
又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.
∴＝.
又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC.
∴＝.∴＝.∴＝.
又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.
[例4] 四边形ABCD中，AB∥CD，CE平分∠B CD，CE⊥AD于点E，DE＝2AE，若△CED的面积为1，求四边形ABCE的面积．
[解] 如图，延长CB、DA交于点F，
又CE平分∠BCD，CE⊥AD.
∴△FCD为等腰三角形，E为FD的中点．
∴S△FCD＝FD·CE
＝×2ED·CE
＝2S△CED＝2，
EF＝ED＝2AE.
∴FA＝AE＝FD.
又∵AB∥CD，
∴△FBA∽△FCD.
∴＝()2＝()2＝.
∴S△FBA＝×S△FCD＝.
∴S四边形ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA
＝2－1－＝.
射影定理
射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．
[例5] 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F.
求证：CE2＝BD·DF.
[证明] ∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC.∴＝.
同理：CD∥EF，∴＝.
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB.
∴＝.
∴＝.
∴CE2＝BD·DF.
[对应学生用书P41]
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝1∶3，那么下列等式成立的是( )
A．AB＝2A′B′ B．3A′B′＝B′C′
C．BC＝B′C′ D．AB＝A′B′
解析：∵AA′∥BB′∥CC′，∴＝＝.
∴3A′B′＝B′C′.
答案：B
2.如图，∠ACB＝90°.CD⊥AB于D，AD＝3、CD＝2，则AC∶BC的值是( )
A．3∶2 B．9∶4
C.∶ D.∶
解析：Rt△ACD∽Rt△CBD，∴＝＝.
答案：A
3．在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若BD＝3 cm，AC＝2 cm，则CD和BC的长分别为( )
A. cm和3 cm
B．1 cm和 cm
C．1 cm和3 cm
D. cm和2 cm
解析：设AD＝x，
则由射影定理得x(x＋3)＝4，
即x＝1(负值舍去)，
则CD＝＝(cm)，
BC＝＝＝2(cm)．
答案：D
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，则DE的值为( )
A. B.
C. D.
解析：AC2＝CD·BC，
即52＝2×BC，
∴BC＝.
∴AB＝＝ ＝.
∵＝，∴DE＝.
答案：A
5．如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④AC2＝AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①由∠B＝∠ACD，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似；②由∠ADC＝∠ACB，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似；③＝，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC2＝AD·AB可得＝，再加上公共角∠A＝∠A，可得两个三角形相似．
答案：C
6.如图，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为( )
A．1∶4 B．1∶3
C．1∶2 D．1∶5
解析：由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8
得S△ADE∶S△ABC＝1∶9.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴()2＝＝.
∴＝，＝.
答案：C
7．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是( )
A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝
D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°
解析：A中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，
∴△ABC∽△DEF；
B中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4；
∴△ABC∽△EFD；
D中＝，∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF；
而C中不能保证三边对应成比例．
答案：C
8．在Rt△ACB中，∠C＝90°.CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是( )
A. B.
C. D．2
解析：由射影定理得
CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶4.
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，
∴CD2＝4x2，
∴CD＝2x，tan∠BCD＝＝＝.
答案：C
9.在 ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE、BE、BD且AE、BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝( )
A．4∶10∶25 B．4∶9∶25
C．2∶3∶5 D．2∶5∶25
解析：∵AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF.
∴＝＝.
∴＝()2＝.
又△DEF和△BEF等高．
∴＝＝＝.
答案：A
10．如图，已知a∥b，＝，＝3.则AE∶EC＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵a∥b，∴＝，＝.
∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.
又＝，
∴＝＝.∴＝.∴＝.
∴＝＝.
答案：A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么△ADE的周长∶△ABC的周长等于________．
解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵BD＝2AD，∴AB＝3AD.∴＝.
∴＝＝.
答案：
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF＝________.
解析：∵DE∥BC，
∴＝，∴BC＝DE·＝6×＝10，
又DF∥AC，∴DE＝FC＝6.
∴BF＝BC－FC＝4.
答案：4
13．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD相交于点O，直线AO与DE、BC分别交于N、M，若DN∶MC＝1∶4，则NE∶BM＝________，AE∶EC＝________.
解析：＝＝，
∴＝＝.
∴＝＝.
又＝＝，
∴＝＝.
∴AE∶EC＝1∶3.
答案：1∶4 1∶3
14．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE＝8.7 m，窗口高AB＝1.8 m，那么窗口底边离地面的高BC等于________m.
解析：∵BD∥AE，∴＝.
∴BC＝.
∵AB＝1.8 m，DE＝2.7 m，CE＝8.7 m，
∴CD＝CE－DE＝8.7－2.7＝6(m)．
∴BC＝＝4(m)．
答案：4
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，BC的中点为D，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点M、N.
求证：MN∥BC.
证明：∵MD平分∠ADB，
∴＝.
∵ND平分∠ADC，∴＝.
∵BD＝DC，
∴＝＝＝.
∴MN∥BC.
16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，求证：BP2＝PE·PF.
证明：连接PC，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD是△ABC的对称轴，
故PC＝PB，
∠PCE＝∠ABP.
∵CF∥AB，
∴∠PFC＝∠ABP，
故∠PCE＝∠PFC，
∵∠CPE＝∠FPC，
∴△EPC∽△CPF，
故＝，
即PC2＝PE·PF，
∴BP2＝PE·PF.
17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB、DC于E、F，交DA、BC的延长线于G、H.
(1)求证：PE·PG＝PF·PH；
(2)当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给出证明．
解：(1)证明：∵AB∥CD，∴＝.
∵AD∥BC，∴＝，
∴＝.∴PE·PG＝PH·PF.
(2)关系式为PC2＝PE·PG.
证明：由题意可得到右图，
∵AB∥CD，
∴＝.
∵AD∥BC，∴＝.
∴＝，即PC2＝PE·PG.
18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m、20 m的梯形空地上种植花木(如图)．
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单位为8元/m2，当△AMD地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
解：(1)∵四边形ABCD为梯形，∴AD∥BC.
∴△AMD∽△CMB，∴＝()2＝.
∵种植△AMD地带花费160元，
∴S△AMD＝＝20(m2)．
∴S△CMB＝80(m2)．
∴△CMB地带的花费为80×8＝640元．
(2)＝＝＝2，
∴S△ABM＝2S△AMD＝40(m2)．
同理：S△DMC＝40(m2)．
所剩资金为：1600－160－640＝800元，
而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)．
故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．[对应学生用书P37]
1．正射影的概念
给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．
一个图形上点A′所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．
2．平行射影
设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．
一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别
正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．
4．两个定理
(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则
①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．
②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．
③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．
[对应学生用书P37]
平行射影
[例1] 如果椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行射影是( )
A．椭圆 B．圆
C．线段 D．射线
[思路点拨] 要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．
[解析] 因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．
[答案] A
平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．
1．下列说法正确的是( )
A．平行射影是正射影
B．正射影是平行射影
C．同一个图形的平行射影和正射影相同
D．圆的平行射影不可能是圆
解析：正射影是平行射影的特例，则选项A不正确，选项B正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，则选项C不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项D不正确．
答案：B
2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________．
解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．
答案：一条线段或梯形
3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)．
(1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形；
(2)当∠BAC＝60°时，AB、AC与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos∠BA′C.
解：(1)证明：∵AB>A′B，AC>A′C，
∴A′B2＋A′C2
∴cos ∠BA′C＝<0.
∴∠BA′C为钝角．∴△A′BC为钝角三角形．
(2)由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.
设AA′＝1，则A′B＝，A′C＝1，AC＝，AB＝2，
∴BC＝
＝ ，
cos ∠BA′C＝＝.
平面与圆柱面的截线
[例2] 如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1、F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1、F2为焦点的椭圆．
[思路点拨] 证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．
[证明] 如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点为F1、F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1、K2，则PK1、PK2分别是两球面的切线，切点为K1、K2.
根据切线长定理的空间推广 ，
知PF1＝PK1，PF2＝PK2，
所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2.
由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．
(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．
(2)该题使用了切线长定理的空间推广 (从球外一点引球的切线，切线长都相等)．
4．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．
解析：由2a＝6，即a＝3，又e＝cos 45°＝，
故b＝c＝ea＝×3＝，即为圆柱面的半径．
答案：
5．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴、短轴和离心率．
解：由题意可知椭圆的短轴为2b＝2×2，
∴短轴长为4.
设长轴长为2a，则有＝sin 30°＝，
∴2a＝4b＝8.e＝＝.
∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为.
平面与圆锥面的截线
[例3] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．
[思路点拨] 本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin双球法．
[证明] 如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．
当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切于圆S1、S2.
在截面的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.
由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．
6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：由α＝＝25°，φ＝30°，φ>α，
∴截线是椭圆．
答案：B
7．如图，已知平面π与圆锥的轴的夹角为β，圆锥母线与轴的夹角为α，α＝β，求证：平面π与圆锥的交线为抛物线．
证明：当β＝α时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合．在圆锥内嵌入一个Dandelin球与圆锥交线为圆S.记圆S所在平面为π′，π与π′的交线记为m.球切π于F1点．
在截口上任取一点P，过P作PA⊥m于A，过P作PB⊥平面π′于B，过P作圆锥的母线交平面π′于C，连接AB，PF1，BC.
由切线长定理，PF1＝PC.
∵PB平行于圆锥的轴，∴∠APB＝β，∠BPC＝α.
在Rt△ABP中，PA＝，
在Rt△BCP中，PC＝.
∵α＝β，∴PC＝PA.∴PF1＝PA，即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等．∴截口曲线为抛物线．
[对应学生用书P39]
一、选择题
1．一条直线在一个面上的平行投影是( )
A．一条直线 B．一个点
C．一条直线或一个点 D．不能确定
解析：当直线与面垂直时，平行投影可能是点．
答案：C
2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是( )
A．三角形 B．一直线
C．三角形或一直线 D．以上均不正确
解析：当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．
答案：D
3．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
解析：显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．
答案：D
4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为( )
A. B.
C．1 D.
解析：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝＝.
答案：B
二、填空题
5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.
解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．
答案：圆 圆或椭圆
6．有下列说法
①矩形的平行射影一定是矩形；
②梯形的平行射影一定是梯形；
③平行四边形的平行射影可能是正方形；
④正方形的平行射影一定是菱形；
其中正确命题有________．(填上所有正确说法的序号)
解析：利用平行射影的概念和性质进行判断．
答案：③
7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．
解析：如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线，由对称性知AB过圆柱的几何中心O.由O1O⊥OD，O1C⊥OA，故∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，
所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，则AO＝O1O.
故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.
显然AB即为椭圆的长轴，所以AB＝13.
答案：13
三、解答题
8．△ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A、B、C在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′、B′、C′，若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．
解：由条件可知A′B′＝A′C′，
∴∠B′A′C′＝90°.
设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，
A′C′2＝4－(5－x)2，
由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，
得2×[4－(x－5)2]＝4，x＝5±.
即A到α的距离为5±.
9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．
解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则b＝3，
a＝＝3×2＝6，
∴c2＝a2－b2＝62－33＝27.
∴两焦点间距离2c＝2＝6.
10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，AB、CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线？
解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，
则侧面展开图的中心角为＝π，
∴圆锥的半顶角α＝.
连接OE，∵O、E分别是AB、VB的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE＝∠AVO＝.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
∴CD⊥平面VAB.
∴平面CDE⊥平面VAB.
即平面VAB为截面CDE的轴面，
∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为.
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，
故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．
模块综合检测
[对应学生用书P45]
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中只有x个三角形与△ABC相似，则x的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD、△BCD均与△ABC相似．
答案：B
2．已知：如图， ABCD中，EF∥AC交AD、DC于E、F，AD，BF的延长线交于M，则下列等式成立的是( )
A．AD2＝AE·AM
B．AD2＝CF·DC
C．AD2＝BC·AB
D．AD2＝AE·ED
解析：∵在 ABCD中，
∴AD∥BC，AB∥DC.
∵DF∥AB，∴＝.
∵DM∥BC，∴＝.
∵EF∥AC，∴＝.
∴＝，∴AD2＝AE·AM.
答案：A
3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( )
A．射影为线段时，线段的长为8
B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8
C．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8
D．射影为圆时，圆的直径可能为4
解析：由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.
答案：D
4．如图，用平面去截圆锥，所得截面的形状是( )
解析：用平面去截圆锥，如题图：平面与圆锥的侧面截得一条弧线，与底面截得一条线段，所以截面的形状应该是D.
答案：D
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝50°，则∠BOC的度数为( )
A．50° B．25°
C．40° D．60°
解析：因为PA，PB是⊙O的切线，
所以∠OAP＝∠OBP＝90°，
而∠P＝50°，
所以∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°，
又因为AC是⊙O的直径，
所以∠BOC＝180°－130°＝50°.
答案：A
6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
解析：∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，
∴∠POC＝2∠A＝70°.
∵OC⊥PC，∴∠P＝90°－∠POC＝20°.
答案：B
7．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于( )
A．30° B．35°
C．40° D．45°
解析：∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD，
由此得∠ACO＝∠CAD.
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠CAO.
故AC平分∠DAB，∴∠CAO＝40°.
又∠ACO＝∠CAO，∴∠ACO＝40°.
答案：C
8.(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.
则所有正确结论的序号是( )
A．①② B．③④
C．①②③ D．①②④
解析：因为∠BAD＝∠FBD，∠DBC＝∠DAC，
又AE平分∠BAC，即∠BAD＝∠DAC，
所以∠FBD＝∠DBC，
所以BD平分∠CBF，结论①正确；
易证△ABF∽△BDF，所以＝，
所以AB·BF＝AF·BD，结论④正确；
由切割线定理，得BF2＝AF·DF，结论②正确；由相交弦定理，得AE·DE＝BE·CE，结论③错误．选D.
答案：D
9．如图，P为圆外一点，PA切圆于点A，PA＝8，直线PCB交圆于C，B两点，且PC＝4， AD⊥BC，垂足为点D，∠ABC＝α，∠ACB＝β，连接AB，AC，则等于( )
A. B.
C．2 D．4
解析：由PA2＝PC·PB，
有64＝4PB，∴PB＝16.
又∠ABC＝α，∠ACB＝β，AD⊥BC，
∴AB＝，AC＝.
在△PAB和△PCA中，∠B＝∠PAC，∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA.
∴＝，即＝.∴＝.
答案：B
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：
①∠B＋∠DAC＝90°，②∠B＝∠DAC，③＝，④AB2＝BD·BC.其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
解析：验证法：①不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，则∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C，不能判定∠BAD＋∠DAC等于90°；而②中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，则△ABC∽△DAC，又△DAC为直角三角形，所以△ABC为直角三角形；在③中，由＝可得△ACD∽△BAD，则∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，所以∠BAD＋∠DAC＝90°；而④中AB2＝BD·BC，即＝，∠B为公共角，则△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．所以正确命题有3个．
答案：A
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(广东高考)如图，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
解析：如图，连接OA.
由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是PA＝OAtan 60°＝.
答案：
12．如图，AB是⊙O的直径，＝，AB＝10，BD＝8，则cos ∠BCE＝________.
解析：如图，连接AD.
则∠ADB＝90°，且∠DAC＝∠B，
所以cos ∠BCE＝cos ∠DAB
＝＝＝.
答案：
13．如图，AB是直径，CD⊥AB于D，CD＝4，AD∶DB＝3∶1，则直径的长为________．
解析：因为AB是直径，CD⊥AB于D，
所以CD2＝AD·BD.
因为AD∶DB＝3∶1，设DB＝x，则AD＝3x.
所以(4)2＝3x·x.所以x＝4.所以AB＝16.
答案：16
14.如图，△ABC中，AD∥BC，连接CD交AB于E，且AE∶EB＝1∶2，过E作EF∥BC交AC于F，若S△ADE＝1，则S△AEF＝________.
解析：∵AD∥BC，∴△ADE∽△BCE.
∴＝＝.
∵EF∥AD，∴＝＝.
∵△ADE与△AFE的高相同，
∴＝＝.
∴S△AEF＝.
答案：
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，EF∥BC交AB于F，FG∥BD交AD于G.
求证：AG＝DG.
证明：∵AD∥EF∥BC，E是CD的中点，
∴F是AB的中点．
又∵FG∥BD，∴G是AD的中点．
∴AG＝DG.
16．(本小题满分12分)如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B，C两点．
(1)证明：O，D，B，C四点共圆；
(2)设∠DBC＝50°，∠ODC＝30°，求∠OEC的大小．
解：(1)证明连接OA，OC，则OA⊥EA.
由射影定理得EA2＝ED·EO.
由切割线定理得EA2＝EB·EC，
故ED·EO＝EB·EC，
即＝，
又∠DEB＝∠OEC，
所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE，
因此O，D，B，C四点共圆．
(2)连接OB.因为∠OEC＋∠OCB＋∠COE＝180°，结合(1)得∠OEC＝180°－∠OCB－∠COE
＝180°－∠OBC－∠DBE
＝180°－∠OBC－(180°－∠DBC)
＝∠DBC－∠ODC＝20°.
17．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.
(1)证明：∠D＝∠E;
(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．
证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，
所以∠D＝∠CBE.
由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.
(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．
又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，
故OM⊥AD，即MN⊥AD.
所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.
又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.
由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．
18．(本小题满分14分)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE·EB＝EF·EP；
(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，
∴DE∶CE＝EF∶ED.
∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.
∴∠P＝∠EDF.
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴DE∶PE＝EF∶EA.
即EF·EP＝DE·EA.
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB.
∴CE·EB＝EF·EP.
(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，
∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.
∵CE·EB＝EF·EP，
∴9×6＝4×EP.
解得：EP＝.
∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.
由切割线定理得：PA2＝PB·PC，
∴PA2＝×.∴PA＝.一圆周角定理
[对应学生用书P18]
1．圆周角定理
文字语言 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
图形语言
符号语言 在⊙O中，所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC，∠BOC，则有∠BAC＝∠BOC
作用 确定圆中两个角的大小关系
2．圆心角定理
文字语言 圆心角的度数等于它所对弧的度数
图形语言
符号语言 A，B是⊙O上两点，则弧的度数等于∠AOB的度数
作用 确定圆弧或圆心角的度数
3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
[说明] (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；
(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．
[对应学生用书P18]
与圆周角定理相关的证明
[例1] 如图，已知：△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC.
[思路点拨] 证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．
[证明] 如图，延长AD、AE分别交⊙O于F、G，连接BF、CG，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴BF＝CG，＝，
∴∠FBD＝∠GCE.
又∵BD＝CE，
∴△BFD≌△CGE，∴∠F＝∠G，
∴＝，∴AB＝AC.
(1)有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相等的常见策略．
(2)若已知条件中出现直径，则常用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题．
1.如图，OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D.
求证：D是AB的中点．
证明：连接OD、BE.
因为∠ADO＝∠ABE＝90°，
所以OD和BE平行．
又因为O是AE的中点，
所以D是AB的中点．
2．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．
求证：∠BAE＝∠DAC.
证明：连接BE，
因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高，
所以∠ADC＝90°.
所以∠ADC＝∠ABE.
因为∠E＝∠C，
所以∠BAE＝90°－∠E，
∠DAC＝90°－∠C.
所以∠BAE＝∠DAC.
3．已知⊙O中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，AD交⊙O于E.
求证：AB2＝AD·AE.
证明：如图，
∵AB＝AC，∴＝.
∴∠ABD＝∠AEB.
在△ABE与△ADB中，
∠BAE＝∠DAB，
∠AEB＝∠ABD，
∴△ABE∽△ADB.
∴＝，即AB2＝AD·AE.
利用圆周角进行计算
[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于E，且AE＝BE.
(1)求证：＝；
(2)如果sin ∠FBC＝，AB＝4，求AD的长．
[思路点拨] BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ABC.
[解] (1)证明：如图，
连接AC.
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
又AD⊥BC，垂足为D，
∴∠1＝∠3.
在△AEB中，AE＝BE，
∴∠1＝∠2.
∴∠2＝∠3，即A＝A.
(2)设DE＝3x，
∵AD⊥BC，sin∠FBC＝，
∴BE＝5x，BD＝4x.
∵AE＝BE，
∴AE＝5x，AD＝8x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝4，
∴(8x)2＋(4x)2＝(4)2，
解得x＝1，
∴AD＝8.
与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
4．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )
A．40° B．25°
C．50° D．60°
解析：连接OB.因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝40°.
答案：A
5.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，
求∠BAC的大小．
解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，
所以＝，即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·AC·sin ∠BAC，且S＝AD·AE，
所以AB·AC·sin ∠BAC＝AD·AE.
则sin ∠BAC＝1.
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC＝90°.
[对应学生用书P20]
一、选择题
1．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为( )
A．25° B．50°
C．75° D．100°
解析：由圆周角定理得∠A＝∠BOC＝25°.
答案：A
2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
解析：由推论1知：
∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，
∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，
∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.
答案：B
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为( )
A. B．2
C．2 D．4
解析：由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.
答案：B
4.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，则tan ∠BPD等于( )
A. B.
C. D.
解析：连接BD，则∠BDP＝90°.
∵△CPD∽△APB，∴＝＝.
在Rt△BPD中，cos ∠BPD＝＝，
∴tan ∠BPD＝.
答案：D
二、填空题
5．在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________．
解析：由圆周角定理，
得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°.
∴AB＝BC.
∴△ABC为等边三角形．
∴周长等于9.
答案：9
6．如图，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是________．
解析：因为OD平分∠BOC，
且∠BOC＝90°，
所以∠BOD＝∠BOC＝45°，
所以∠OAD＝∠BOD＝22.5°.
在Rt△AEO中，∠AOE＝90°，
则∠AEO＝90°－∠OAE＝67.5°.
答案：67.5°
7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝________.
解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC，
又△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACE，
∴＝，
∴AE＝＝9.
答案：9
三、解答题
8.(2012·江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.
求证：∠E＝∠C.
解：连结OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，
所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.
因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
9．如图，已知△ABC内接于圆，D为中点，连接AD交BC于E.
求证：(1)＝；
(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.
证明：(1)连接CD.
∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，
∴△ABE∽△CDE.∴＝.
(2)连接BD.
∵＝，
∴AE·DE＝BE·EC.
∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE
＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①
在△ABD与△AEC中，∵D为的中点，
∴∠1＝∠2.
又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴△ABD∽△AEC.∴＝，
即AB·AC＝AD·AE②
由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.
10．如图，已知A，B，C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径．
(1)求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的值；
(2)若⊙O的半径为，AD与EC交于点M，且E，D为弧AC的三等分点，求MD的长．
解：(1)连接OB，OD，OE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E
＝(∠COD＋∠DOE＋∠EOA＋∠AOB＋∠BOC)
＝×360°＝180°.
(2)连接OM和CD，因为AC为⊙O的直径，
所以∠ADC＝90°，又E，D为的三等分点，
所以∠A＝∠ECA＝∠EOA＝××180°＝30°，
所以OM⊥AC.因为⊙O的半径为，即OA＝，
所以AM＝＝＝1.
在Rt△ADC中，AD＝AC·cos∠A＝2××＝.
则MD＝AD－AM＝.三圆的切线的性质及判定定理
[对应学生用书P25]
1．切线的性质
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法
(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．
其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．
[说明] 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．
[对应学生用书P25]
圆的切线的性质
[例1] 如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．
[思路点拨] ⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径．
[解] 连接OE，
∵AB与⊙O切于点E，
∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.
∵∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴Rt△ACB∽Rt△AEO，
∴＝.
∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，
∴＝，
∴OE＝.
即⊙O的半径为.
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1．如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C＝( )
A．20° B．25°
C．40° D．50°
解析：连接OB，因为AB切⊙O于点B，所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°.
又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，
所以∠C＝∠AOB＝25°.
答案：B
2.如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径．PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1.
(1)求∠P的度数；
(2)求DE的长．
解：(1)连接OC.
∵C为切点，∴OC⊥PC，△POC为直角三角形．
∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，
∴sin ∠P＝＝.∴∠P＝30°.
(2)∵BD⊥PD，∴在Rt△PBD中，
由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，
得BD＝.
连接AE.则∠AEB＝90°，∴AE∥PD.
∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin 30°＝1，
∴DE＝BD－BE＝.
圆的切线的判定
[例2] 已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．
[思路点拨]
→→
→→.
[证明] 如图，连接OB，OC，OD，OD交BC于E.
∵∠DCB是所对的圆周角，
∠BOD是所对的圆心角，
∠BCD＝45°，
∴∠BOD＝90°.
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB
＝60°－45°＝15°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，
从而∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.
在△OEC中，因为∠EOC＝∠ECO＝30°，
∴OE＝EC，
在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°.
∴BE＝2OE＝2EC，
∴＝＝，
∴AB∥OD，∴∠ABO＝90°，
故AB是△BCD的外接圆的切线．
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．
3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，怎样证明：AB是△BCD的外接圆的切线．
证明：作直径BE，连接DE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＋∠DBE＝90°.
∵∠C＝∠E，∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＋∠DBE＝90°.
即∠ABE＝90°.
∴AB是△BCD的外接圆的切线．
4.如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin B＝，∠D＝30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若AC＝6，求AD的长．
解：(1)证明：如图，连接OA，
∵sin B＝，∴∠B＝30°，
∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°，
∴AD是⊙O的切线．
(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，
∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，
∴AD＝AO＝6.
圆的切线的性质和判定的综合考查
[例3] 如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．
[思路点拨] (1)连接OD，证明OD⊥DE；
(2)作DG⊥AB.
[证明] (1)连接OD，
∵D是中点，
∴∠1＝∠2.
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．
(2)过D作DG⊥AB，
∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3.
在Rt△ODG中，OG＝＝4，
∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB.
∴＝.
∴＝.∴BF＝.
对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．
5.如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G，若小圆的半径为2，EF＝4，试求EG的长．
解：连接GC，则GC⊥ED.
∵EF和小圆切于C，
∴EF⊥CD，EC＝EF＝2.
又CD＝4，∴在Rt△ECD中，
有ED＝
＝ ＝2.
由射影定理可知EC2＝EG·ED，
∴EG＝＝＝.
6．如图，以Rt△ABC直角边AC上一点O为圆心，OC为半径的⊙O与AC的另一个交点为E，D为斜边AB上一点且在⊙O上，AD2＝AE·AC.
(1)证明：AB是⊙O的切线；
(2)若DE·OB＝8，求⊙O的半径．
解：(1)证明：连接OD，CD，
∵AD2＝AE·AC，
∴＝.又∵∠DAE＝∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，∴∠ADE＝∠ACD.
∵OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC，
又∵CE是⊙O的直径，
∴∠ODE＋∠CDO＝90°，∴∠ODA＝90°，
∴AB是⊙O的切线．
(2)∵AB，BC是⊙O的切线，
∴OB⊥DC，∴DE∥OB，∴∠CED＝∠COB，
∵∠EDC＝∠OCB，∴△CDE∽△BCO，
∴＝，DE·OB＝2R2＝8，
∴⊙O的半径为2.
[对应学生用书P27]
一、选择题
1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案：C
2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D.AB＝6，BC＝8，则BD等于( )
A．4 B．4.8
C．5.2 D．6
解析：∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC.
∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.
∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
∴BD＝＝4.8.
答案：B
3.如图，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是( )
A．72° B．63°
C．54° D．36°
解析：连接OB.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.
又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，
∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.
答案：B
4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin ∠ACO等于( )
A. B.
C. D.
解析：连接BD，则BD⊥AC.
∵AD＝DC，∴BA＝BC，
∴∠BCA＝45°.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBC＝90°.
∴sin ∠BCO＝＝＝，
cos ∠BCO＝＝＝.
∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)
＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO
＝×－×＝.
答案：A
二、填空题
5．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2为半径作⊙M.若点M在OB边上运动，则当OM＝________时，⊙M与OA相切．
解析：若⊙M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.
过M作MN⊥OA于点N，
则MN＝2.
在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，
∴OM＝2MN＝2×2＝4.
答案：4
6．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.
解析：AB＝＝.
由AB2＝PB·BC，
∴BC＝3，Rt△ABC中，
AC＝＝2.
∴R＝.
答案：
7．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.
解析：连接OC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.
又∠DCA＋∠ACO＝90°，
∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＝∠OCB，
∵OC＝3，BC＝3，
∴△OCB是正三角形．
∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.
∴∠DAC＝30°.
在Rt△ACB中，AC＝＝3，
DC＝ACsin 30°＝.
答案：30°
三、解答题
8.如图所示，D是⊙O的直径AB的延长线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30 °.
求证：PA＝PD.
证明：如图，连接OP，
∵PD是⊙O的切线，P为切点．
∴PO⊥PD.
∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.
又∵OA＝OP，
∴∠A＝∠APO＝30°.
∴∠A＝∠D.∴PA＝PD.
9.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.
求证：(1)DE⊥AC；
(2)BD2＝CE·CA.
证明：(1)连接OD，AD.
∵DE是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DE.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.又AB＝AC，
∴BD＝DC.
∴OD∥AC.∴DE⊥AC.
(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△CDE∽△CAD.
∴＝.∴CD2＝CE·CA.
∴BD＝DC.∴BD2＝CE·CA.
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC＝30°，DE＝1 cm，求BD的长．
解：(1)证明：连接OA.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠OAD＝∠EDA.
∴OA∥CE.
∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，
∴∠OAE＝∠DEA＝90°.
∴AE⊥OA.
∴AE是⊙O的切线．
(2)∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°.
∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.
∴∠BDE＝120°.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°.
∴∠ABD＝∠EAD＝30°.
在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE.
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE.
∵DE的长是1 cm，
∴BD的长是4 cm.二圆内接四边形的性质及判定定理
[对应学生用书P21]
1．圆内接四边形的性质
(1)圆的内接四边形对角互补．
如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.
2．圆内接四边形的判定
(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
[对应学生用书P21]
圆内接四边形的性质
[例1] 如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证：∠DEA＝∠DFA.
[思路点拨] 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．
[证明] 连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．
所以∠DEA＝∠DFA.
圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．
1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,5x，
则由∠A＋∠C＝180°，
可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°.
∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，
∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.
2．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AC＝3 cm，AD＝2 cm，求DE的长．
解：(1)证明：
∵∠ABC＝∠2，
∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4.
∴AB＝AC.
(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC，
∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB.
∴＝.
∵AB＝AC＝3，AD＝2，
∴AE＝＝.
∴DE＝－2＝(cm).
圆内接四边形的判定
[例2] 如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.
求证：E，D，P，F四点共圆．
[思路点拨] 可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可．
[证明] 如图，连接PF，
∵AP⊥BC，F为AC的中点，
∴PF＝AC.
∵FC＝AC，
∴PF＝FC.
∴∠FPC＝∠C.
∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．
∴EF∥CD，ED∥FC.
∴四边形EDCF为平行四边形，
∴∠FED＝∠C.
∴∠FPC＝∠FED.
∴E，D，P，F四点共圆．
证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
3．判断下列各命题是否正确．
(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；
(2)矩形有唯一的外接圆；
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆．
解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．
4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：
(1)D、E、F、G四点共圆；
(2)G、B、C、F四点共圆．
证明：(1)如图，
连接GF，
由DF⊥AB，EG⊥AC，
知∠GDF＝∠GEF＝90°，
∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．
(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，
∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.
∴G、B、C、F四点共圆.
圆内接四边形的综合应用
[例3] 如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.
求证：PM⊥CD.
[思路点拨] ⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．
[证明] 如图，
分别连接AB，AE，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABP＝∠D.
∵A、E、B、P四点共圆，
∴∠ABP＝∠AEP.
∴∠AEP＝∠D.
∴A、E、M、D四点共圆．
∴∠PMC＝∠DAE.
∵PE是⊙O1的直径，
∴EA⊥PA.
∴∠PMC＝∠DAE＝90°.
∴PM⊥CD.
此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．
5.如图，P点是等边△ABC外接圆的上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.
求证：(1)∠D＝∠CBP；
(2)AC2＝CP·CD.
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝60°.
∴∠DBC＝120°.
又∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.
∴∠BPC＝∠DBC.
又∵∠DCB＝∠BCP，
∴△BCP∽△DCB.
∴∠D＝∠CBP.
(2)由(1)知△BCP∽△DCB，
∴＝.
∴CB2＝CP·CD.
又CB＝AC，∴AC2＝CP·CD.
6．如图，在正三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P.
求证：(1)四点P，D，C，E共圆；
(2)AP⊥CP.
解：(1)证明：在△ABC中，
由BD＝BC，CE＝CA知：
△ABD≌△BCE，
即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180°，
所以四点P，D，C，E共圆．
(2)如图，连接DE.
在△CDE中，CD＝2CE，
∠ACD＝60°，
由余弦定理知∠CED＝90°.
由四点P，D，C，E共圆知，
∠DPC＝∠DEC，
所以AP⊥CP.
[对应学生用书P24]
一、选择题
1．设四边形ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：
①sin A＝sin C，②sin A＋sin C＝0，③cos B＋cos D＝0，④cos B＝cos D.
其中恒成立的关系式的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为圆内接四边形的对角互补，
故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不为0°或180°，
故①式恒成立，②式不成立．
同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．
④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．
答案：B
2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2
C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对
解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．
答案：B
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
A．20° B．40°
C．80° D．100°
解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，
又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.
答案：C
4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；
③∠A的外角与∠C的外角互补；
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
答案：B
二、填空题
5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.
解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴＝，
即＝，∴EF＝3.
答案：3
6．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，
BD＝________.
解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6.
又∵CD平分∠ACB.
即∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD.
∴BD＝ ＝5.
答案：6 5
7．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB＝________，∠ADB＝________.
解析：∵∠C和∠AOB分别是所对的圆周角与圆心角，
∴∠AOB＝2∠C＝68°.
∵周角是360°，劣弧AB的度数为68°，∴优弧AB的度数为292°.
∴∠ADB＝×292°＝146°.
答案：68° 146°
三、解答题
8.已知：如图，E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，对角线AC与BD相交于O点，求证：E，F，G，H共圆．
证明：法一：连接EF、FG、GH、HE.
∵E、F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC.同理EH∥BD.
∴∠HEF＝∠AOB.
∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°.
同理∠FGH＝90°.
∴∠HEF＋∠FGH＝180°.
∴E、F、G、H共圆．
法二：
连接OE、OF、OG、OH.
∵四边形ABCD为菱形．
∴AC⊥BD，
AB＝BC＝CD＝DA.
∵E、F、G、H分别为菱形ABCD各边的中点，
∴OE＝AB，OF＝BC，
OG＝CD，OH＝DA.
∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴E，F，G，H在以O点为圆心，以OE为半径的圆上．
故E，F，G，H四点共圆．
9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
证明：(1)因为EC＝ED，
所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC＝∠EBA.
故ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.
因为EF＝EG，
故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，
故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，
所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．
(1)求∠ACB.
(2)求△ABD的最大面积．
解：(1)连接OA、OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.
Rt△AOE中，OA＝2.
AE＝AB＝×2＝.
所以sin ∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.
又∠ADB＝∠AOB，
∴∠ADB＝60°.
又四边形ACBD为圆内接四边形，
∴∠ACB＋∠ADB＝180°.
从而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.
(2)作DF⊥AB，垂足为F，则
S△ABD＝AB·DF＝×2×DF＝DF.
显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，
从而S△ABD取得最大值．
此时DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝3，
即△ABD的最大面积是3.五与圆有关的比例线段
[对应学生用书P31]
1．相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.
2．割线有关定理
(1)割线定理：
①文字叙述：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
②图形表示：
如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有：PA·PB＝PC·PD.
(2)切割线定理：
①文字叙述：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②图形表示：
如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.
3．切线长定理
(1)文字叙述：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
(2)图形表示：
如图：⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
[对应学生用书P32]
相交弦定理
[例1] 如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C、D两点，垂足是点E.
求证：PC·PD＝AE·AO.
[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．
[证明] 连接OP，
∵P为AB的中点，
∴OP⊥AB，AP＝PB.
∵PE⊥OA，
∴AP2＝AE·AO.
∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，
∴PD·PC＝AE·AO.
(1)相交弦定理的运用往往与相似三角形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．
(2)由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．
1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．
则CD＝3＋1＋1＝5.
答案：B
2.如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM、PN的延长线分别交⊙O于Q、R.
求证：PM·MQ＝PN·NR.
PM·MQ＝PN·NR.
割线定理、切割线定理
[例2] 如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.
证明：(1)AD·AE＝AC2；
(2)FG∥AC.
[思路点拨] (1)利用切割线定理；
(2)证△ADC∽△ACE.
[证明] (1)∵AB是⊙O的一条切线，
ADE是⊙O的割线，
∴由切割线定理得AD·AE＝AB2.
又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.
(2)由(1)得＝，
又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE.
∴∠ADC＝∠ACE.
又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.
∴FG∥AC.
(1)割线定理、切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形知识结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
(2)切割线定理可以看成是割线定理的特殊情况，当两条割线中的一条变成切线时，即为切割线定理．
3．如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.
解析：∵PD∶DB＝9∶16，
不妨设PD＝9a，DB＝16a(a>0)，∴PB＝25a.
由切割线定理知PA2＝PD·PB，
即9＝9a×25a，∴a＝.
∴PD＝.在直角三角形PAB中，PA＝3，
PB＝5，可知AB＝4.
答案： 4
4.如图，AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求：
(1)BC的长；
(2)⊙O的半径r.
解：(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.
根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)，
解得x＝，∴BC＝3x＝3.
(2)在Rt△ABC中，
AC＝＝，
由割线定理，得
CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，
CN＝，BC＝3，CM＝BC－BM＝3－＝2，AC＝，
∴CD＝＝，
∴r＝(AC－CD)
＝＝.
切线长定理
[例3] 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A、B两点的切线分别交于点E、F，AF与BE交于点P.
求证：∠EPC＝∠EBF.
[思路点拨] →→→→
[证明] ∵EA，EF，FB是⊙O的切线，
∴EA＝EC，FC＝FB.
∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，
∴EA⊥AB，FB⊥AB.
∴EA∥FB.∴＝.∴＝.
∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.
运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．
5．两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB＝( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：如图，连接OO′，O′A.
∵OA为⊙O′的切线，
∴∠OAO′＝90°.
又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切，
∴OO′＝2O′A.
∴sin ∠AOO′＝＝.
∴∠AOO′＝30°.
又由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60°.
答案：B
6.已知：如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于L，M，N，P.
求证：AD＋BC＝AB＋CD.
证明：由圆的切线长定理得
CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN，
∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC，
CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD，
∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC)
＝(AL＋ND)＋(BL＋CN)
＝(AL＋BL)＋(ND＋CN)
＝AB＋CD，
即AD＋BC＝AB＋CD.
[对应学生用书P33]
一、选择题
1．自圆外一点所作过圆心的割线长是12 cm，圆的半径为4 cm，则过此点所引的切线长为( )
A．16 cm B．4 cm
C．4 cm D．以上答案都不对
解析：设切线长为x cm，由切割线定理得x2＝(12－2×4)×12，故x＝4.
答案：B
2．点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则( )
A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PB
C．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB
解析：根据OC⊥CP，可知C为过PC点弦的中点，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB.
答案：D
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )
A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2
解析：在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.
答案：A
4.已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B、A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于( )
A．20 B．10
C．5 D．8
解析：∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，
∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，
即DT＝＝＝6；
因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.
设PB＝x，
则在Rt△PDT中，
PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.
由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，
所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，
解得x＝20，即PB＝20.
答案：A
二、填空题
5．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．
解析：根据相交弦定理，AM·BM＝()2，
所以＝6，CD＝12.
答案： 12
6.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠ABP＝∠C，又因为∠ABP＝∠ABD，所以∠ABD＝∠C，又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以＝，所以AB＝＝.
答案：
7.如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，PA＝7，在劣弧上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长是________．
解析：由切线长定理知， PB＝PA＝7，且DA＝DC，EC＝EB，
所以△PDE的周长为PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋CE＋PE＝PA＋PB＝14.
答案：14
三、解答题
8.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，求EF的长．
解：因为CD⊥AB于G，F为CG的中点，所以G为CD的中点，即CD＝8，FD＝6.
又因为AF·FE＝CF·FD，即3×EF＝2×6，
所以EF＝4.
9.已知：如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，PO＝13 cm，⊙O半径r＝5 cm，求△PDE的周长．
解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，
∴DA＝DC，EB＝EC.
∴△PDE的周长为PA＋PB＝2PA.
连接OA，则OA⊥PA.
∴PA＝＝＝12 cm.
∴△PDE的周长为24 cm.
10．如图，已知⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．
解：(1)证明：连接AB.
∵AC为⊙O1的切线，
∴∠BAC＝∠D.
又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.
∴AD∥EC.
(2)设PB＝x，PE＝y，
由相交弦定理，得PB·PE＝PA·PC，
则x·y＝6×2，∴xy＝12.①
∵AD∥EC，∴＝，
即＝.∴9＋x＝3y.②
由①②解得或(舍去)．
∴DE＝9＋3＋4＝16.
∵AD为⊙O2的切线，
∴由切割线定理，得AD2＝DB·DE＝9×16.
∴AD＝12.四弦切角的性质
[对应学生用书P28]
弦切角定理
(1)文字语言叙述：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(2)图形语言叙述：
如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.
[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．
[对应学生用书P29]
弦切角定理
[例1] (2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.
[思路点拨] 利用弦切角定理．
[证明] (1)因为＝，
所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，
故∠ACE＝∠ABC，
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB.
故＝，
即BC2＝BE·CD.
利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．
1．如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________.
解析：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.
又∵EF与⊙O相切于点C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°.
答案：34°
2.如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：
(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；
(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.
证明：(1)∵CD切⊙O于M点，
∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.
∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.
∴∠A＝∠B，故AM＝MB.
(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.
∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B，
∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.
3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.
(1)求证：AD⊥CD；
(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．
解：(1)证明：如图，连接BC.
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCA＝∠B.
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB.
∴∠ADC＝∠ACB.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.
(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB.
∴＝，
∴AC2＝AD·AB.
∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.
运用弦切角定理证明比例式或乘积式
[例2] 如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.
求证：CD2＝CE·CF.
[思路点拨] →
→→
[证明] 连接CA、CB.
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠CAP＝∠CBA，
∠CBP＝∠CAB.
又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，
∴Rt△CAE∽Rt△CBD，
Rt△CBF∽Rt△CAD，
∴＝，＝，
∴＝，即CD2＝CE·CF.
证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．
4．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求证：AC2＝AE·AB.
证明：连接BC.
△ACE∽△ABC
＝ AC2＝AB·AE.
5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF，EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)求证：DF2＝AF·BE.
证明：(1)∵⊙O切BC于D，
∴∠CAD＝∠CDF.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠BAD＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠CDF.
∴EF∥BC.
(2)连接DE，
∵⊙O切BC于D，
∴∠BAD＝∠BDE.
由(1)可得∠BDE＝∠FAD，
又∵⊙O内接四边形AEDF，
∴∠BED＝∠DFA.
∴△BED∽△DFA.
∴＝.
又∵∠BAD＝∠CAD，
∴DE＝DF.∴DF2＝AF·BE.
[对应学生用书P30]
一、选择题
1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则( )
A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠P
C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA
解析：由弦切角定理知∠PCA＝∠B.
答案：C
2．如图，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于( )
A．14° B．38°
C．52° D．76°
解析：∵EC为⊙O的切线，
∴∠BCE＝∠BAC＝∠BOC＝38°.
答案：B
3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2 B．3
C．2 D．4
解析：连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴AC2＝AD·AB＝12，
即AC＝2.
答案：C
4．如图，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：连接BC.
∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.
∴BC＝BP＝1.
由△BCP∽△CAP得
PC2＝PB·PA，
即AC2＝PB·PA.
而AC2＝AB2－BC2，
设⊙O半径为r，
则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.
答案：A
二、填空题
5.如图，已知AB与⊙O相切于点M，且＝，且，为圆周长，则∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝________.
解析：弦切角等于所夹弧所对的圆周角，等于所夹弦所对圆心角度数的一半．
答案：45° 135° 45° 90°
6．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.
解析：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∠ACE＝40°，
∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.
答案：80°
7.如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
解析：连接OC，
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.
∵PB＝OB＝2，OC＝2.
∴PC＝2.
∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝＝.
答案：
三、解答题
8.如图所示，⊙O1与⊙O2交于 A、B两点，过⊙O1上一点P作直线PA、PB分别交⊙O2于点C和点D，EF切⊙O1于点P.
求证：EF∥CD.
证明：如图，连接AB，
∵EF是⊙O切线，
∴∠FPA＝∠PBA.
又在⊙O2中，ABCD为⊙O内接四边形，
∴∠C＝∠ABP.∴∠FPA＝∠C.
∴EF∥CD.
9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm，
求AE的长．
解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，
所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，＝，
AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6 cm，BC＝4 cm，
所以6·(6－AE)＝16.
所以AE＝ cm.
10.如图，△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠CBD；
(2)求证：AB·BE＝AE·DC.
证明：(1)∵BE为圆O的切线，
∴∠EBD＝∠BAD，
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EBD＝∠CAD，
又∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠EBD＝∠CBD.
(2)在△EBD和△EAB中，
∠E＝∠E，∠EBD＝∠EAB，
∴△EBD∽△EAB，
∴＝，
∴AB·BE＝AE·BD，
又∵AD平分∠BAC, ∴BD＝DC，
故AB·BE＝AE·DC.[对应学生用书P35]
近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．
1．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．
解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.
答案：
2.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，
所以∠DAC＝∠BAD，从而＝.
因此BE＝EC.
(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.
因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
解：(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知＝，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝ 90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.
由BD＝BE，有CE＝DC.
又BC2＝DB·BA＝2DB2，
所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，
故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
[对应学生用书P35]
圆内接四边形的判定与性质
圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一，近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判定和性质．
[例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F.
求证：C、D、E、F四点共圆．
[证明] 连接EF，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以∠B＋∠C＝180°.
因为四边形ABFE内接于圆，
所以∠B＋∠AEF＝180°.
所以∠AEF＝∠C.
所以C、D、E、F四点共圆．
[例2] 如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )
A．120° B．136°
C．144° D．150°
[解析] 由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，
而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，
且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°.
又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.
[答案] C
直线与圆相切
直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．
[例3] 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半径．
[解] (1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∴∠OAB＋∠PAB＝
∠OBA＋∠PBA，
即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.
又OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.如图．
∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段AB.
∴∠PAO＝∠PDA＝90°.
又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA.
∴＝.∴AP2＝PO·DP.
又∵OD＝BC＝，∴PO(PO－OD)＝AP2.
即PO2－PO＝()2，解得PO＝2.
在Rt△APO中，OA＝＝1，
即⊙O的半径为1.
与圆有关的比例线段
圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．
[例4] 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．
[解] 设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，
即4(4＋x)＝x(x＋10)，
化简得x2＋6x－16＝0，
解得x＝2或x＝－8(舍去)，
即CD＝6，CE＝12.
连接AB，因为CA为小圆的直径，
所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，
则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，
则CD2＋DE2＝CE2，
所以62＋DE2＝122，
所以DE＝6.
[例5] △ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．
求证：DC2＝AC·CM.
[证明] 连接AD、OD.
∵AB是直径，∴AD⊥BC.
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA.
又AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD.
则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.
∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.
则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.
[对应学生用书P43]
(时间：90分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( )
A．2个锐角和2个钝角 B．1个锐角和3个钝角
C．1个钝角和3个锐角 D．都是锐角或都是钝角
解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．
答案：A
2.如图，在⊙O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数是( )
A．60° B．50°
C．45° D．30°
解析：∠BCD＝∠DAE＝80°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°.
答案：B
3．如图所示，在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
解析：作OC⊥AB于C，则BC＝，
在Rt△BOC中cos ∠B＝＝.
∴∠B＝30°.
∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°.
答案：C
4.如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：过O作OH⊥CD，连接OD，
则DH＝CD，
由相交弦定理知，
AE·BE＝CE·DE.
设CE＝4x，则DE＝9x，
∴4×4＝4x×9x，解得x＝，
∴OH＝＝ ＝.
答案：A
5.如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，且PB＝BC，PA＝3，那么BC的长为( )
A. B．2
C．3 D．3
解析：根据切割线定理PA2＝PB·PC，
所以(3)2＝2PB2.所以PB＝3＝BC.
答案：C
6．两个同心圆的半径分别为3 cm和6 cm，作大圆的弦MN＝6 cm，则MN与小圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：作OA⊥MN于A.连接OM.
则MA＝MN＝3.
在Rt△OMA中，
OA＝＝3(cm)．
∴MN与小圆相切．
答案：A
7.如图，PAB，PDC是⊙O的割线，连接AD，BC，若PD∶PB＝1∶4，AD＝2，则BC的长是( )
A．4 B．5
C．6 D．8
解析：由四边形ABCD为⊙O的内接四边形可得∠PAD＝∠C，∠PDA＝∠B.
∴△PAD∽△PCB.∴＝＝.
又AD＝2，∴BC＝8.
答案：D
8．已知⊙O的两条弦AB，CD交于点P，若PA＝8 cm，PB＝18 cm，则CD的长的最小值为( )
A．25 cm B．24 cm
C．20 cm D．12 cm
解析：设CD＝a cm，CD被P分成的两段中一段长x cm，另一段长为(a－x) cm.则x(a－x)＝8×18，
即8×18≤()2＝a2.
所以a2≥576＝242，即a≥24.
当且仅当x＝a－x，即x＝a＝12时等号成立．
所以CD的长的最小值为24 cm.
答案：B
9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB＝10，tan ∠BAC＝，则阴影部分的面积为( )
A.π B.π－24
C．24 D.π＋24
解析：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵tan ∠BAC＝，
∴sin ∠BAC＝.
又∵sin ∠BAC＝，AB＝10，
∴BC＝×10＝6.
AC＝×BC＝×6＝8，
∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6
＝π－24.
答案：B
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以A为圆心、AC为半径的圆交AB于F，交BA的延长线于E，CD⊥AB于D，给出四个等式：
①BC2＝BF·BA；②CD2＝AD·AB；
③CD2＝DF·DE；④BF·BE＝BD·BA.
其中能够成立的有( )
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确，
又由BC2＝BE·BF，BC2＝BD·BA，
得BE·BF＝BD·BA，故④正确．
答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)
11．四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝120°，OB＝1，则∠BAD＝________，∠BCD＝________，的长＝________.
解析：∠BAD＝∠BOD＝60°，
∠BCD＝180°－∠BAD＝120°，
由圆的半径OB＝1，∠BOD＝，
∴的长为.
答案：60° 120°
12．(陕西高考)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.
答案：5
13.如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC，BC，AB分别与⊙O切于点D，E，F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半径为2，则BC＝________.
解析：如图所示，分别连接OD，OE，OF.
∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC，
∴四边形OECD是正方形．
设BF＝x，则BE＝x.
∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2，
∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10，
∴BC＝12.
答案：12
14．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.
解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，
∴ED2＝EA·EB.
又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，
又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.
在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.
由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.
∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；
(2)PB平分∠ABD.
证明：(1)连接OP，
因为AC⊥l，BD⊥l，
所以AC∥BD.
又OA＝OB，PC＝PD，
所以OP∥BD，从而OP⊥l.
因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．
(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，
所以∠BPD＝∠BAP.
又∠BPD＋∠PBD＝90°，
∠BAP＋∠PBA＝90°，
所以∠PBA＝∠PBD，
即PB平分∠ABD.
16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.
证明：(1)AC·BD＝AD·AB；
(2)AC＝AE.
证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，
同理∠ACB＝∠DAB，
所以△ACB∽△DAB.从而＝，
即AC·BD＝AD·AB.
(2)由AD与⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD，
又∠ADE＝∠BDA，得
△EAD∽△ABD.从而＝，
即AE·BD＝AD·AB.
结合(1)的结论，AC＝AE.
17.(本小题满分12分)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD交于点F.
(1)证明：A，E，F，M四点共圆；
(2)证明：AC2＋BF·BM＝AB2.
证明：(1)连接AM，则∠AMB＝90°.
∵AB⊥CD，∴∠AEF＝90°.
∴∠AMB＋∠AEF＝180°，
即A，E，F，M四点共圆．
(2)连接CB，由A，E，F，M四点共圆，
得BF·BM＝BE·BA.
在Rt△ACB中，BC2＝BE·BA，AC2＋CB2＝AB2，
∴AC2＋BF·BM＝AB2.
18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径；
(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.
由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，
又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，
所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.
由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，
从而Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB＝∠CBA.
又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.
由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．
于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.