1．1.1 四种命题
[学习目标] 1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义.2.会分析四种命题的相互关系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题．www.21-cn-jy.com
知识点一 命题的概念
(1)定义：能够判断真假的语句叫做命题．
(2)真假命题：命题中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
(3)命题的一般形式：命题的一般形式为“若p，则q”．通常，命题中的p是命题的条件，q是命题的结论．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点二 四种命题及其表示
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么，对p和q进行“换位”和“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题：www-2-1-cnjy-com
原命题：若p则q；
逆命题：将条件和结论“换位”，即若q则p；
否命题：条件和结论“换质”，即分别否定；
逆否命题：条件和结论“换位”又“换质”，即分别否定，且位置互换．
知识点三 四种命题的相互关系
(1)四种命题的相互关系
(2)四种命题的真假关系
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：
①原命题为真，它的逆命题不一定为真．
②原命题为真，它的否命题不一定为真．
③原命题为真，它的逆否命题一定为真．
题型一 命题及其真假的判定
例1 判断下列语句是不是命题，若是，判断真假，并说明理由．
(1)求证是无理数．
(2)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
(3)你是高一学生吗？
(4)一个正整数不是质数就是合数．
(5)x＋y是有理数，则x、y也都是有理数．
(6)60x＋9>4.
解 (1)祈使句，不是命题．
(2)是真命题，因为x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0对于x∈R，不等式恒成立．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是假命题，正整数1既不是质数，也不是合数．
(5)是假命题，如x＝，y＝－.
(6)不是命题，这种含有未知数的语句，未知数的取值能否使不等式成立，无法确定．
反思与感悟 判断一个语句是不是命题，关键看两点：第一是否对一件事进行了判断；第二能否判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1 下列语句是不是命题，若是命题，试判断其真假．
(1)4是集合{1,2,3}的元素；(2)三角函数是函数；(3)2比1大吗？(4)若两条直线不相交，则两条直线平行．21·世纪*教育网
解 (1)是命题，且是假命题；(2)是陈述句，并且可以判断真假，是命题，且是真命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)是命题，且是假命题．21*cnjy*com
题型二 四种命题的关系
例2 下列命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．
其中是真命题的是________．
答案 ①②③
解析 ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.
反思与感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．
跟踪训练2 下列命题为真命题的是________．(填序号)
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
答案 ①③④
解析 ①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题．③原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又是无理数，∴x－是无理数，不是有理数，故为真命题．正确的命题为①③④.【来源：21cnj*y.co*m】
题型三 等价命题的应用
例3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．【出处：21教育名师】
解 原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．【版权所有：21教育】
判断真假如下：
函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．21教育名师原创作品
反思与感悟 因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性．这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法．2-1-c-n-j-y
跟踪训练3 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解 方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4，
∵m>0，∴Δ>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．21cnjy.com
写出原命题的否命题(逆否命题)时出错
要写出一个命题的否命题，需既否定条件，又否定结论．对条件和结论要进行正确的否定，如：“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，避免出现因不能正确否定条件和结论而出现错误．21·cn·jy·com
例4 写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题．
错解 原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y全不为0”；
原命题的逆否命题为：“若x，y全不为0，则x2＋y2≠0”．
正解 原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”；
原命题的逆否命题为：“若x，y不全为0，则x2＋y2≠0”．
易错警示
错误原因
纠错心得
错解主要是对原命题中的结论否定错误，对“x，y全为0”的否定应为“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0”.
在写命题的否命题(逆否命题)时，应注意：一是分清已知命题的条件和结论；二是掌握一些常用的词语的否定.
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是________．(填序号)
①若a?A，则b?B; ②若a∈A，则b?B；
③若b∈B，则a?A; ④若b?B，则a?A.
答案 ②
解析 命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“?”互为否定形式．
2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是______．(填序号)
①若A∪B＝B，则A∩B＝A；
②若A∩B≠A，则A∪B≠B；
③若A∪B≠B，则A∩B≠A；
④若A∪B≠B，则A∩B＝A.
答案 ③
解析 注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．
3．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________，它是________命题(填“真”或“假”)．21世纪教育网版权所有
答案 若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线 假
4．给出以下命题：
①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
其中为真命题的是________．
答案 ③
解析 ①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”．假命题．
②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”．假命题．
③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．
5．“若sin α＝，则α＝”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”)．21教育网
答案 若α≠，则sin α≠ 假
解析 逆否命题是“若α≠，则sin α≠”是假命题．
1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：
(1)找出命题的条件p和结论q；
(2)写出条件p的否定非p和结论q的否定非q；
(3)按照四种命题的结构写出所求命题．
2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．
3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．
第2课时 充要条件
[学习目标] 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，使学生明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假．2-1-c-n-j-y
知识点一 充要条件
一般地，如果既有p?q，又有q?p 就记作_p?q.
此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．2·1·c·n·j·y
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
思考 (1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
答案 (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q，故此说法正确．
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系
如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：
原命题
逆命题
p与q的关系
真
真
p是q的充要条件
q是p的充要条件
真
假
p是q的充分不必要条件
q是p的必要不充分条件
假
真
p是q的必要不充分条件
q是p的充分不必要条件
假
假
p是q的既不充分也不必要条件
q是p的既不充分也不必要条件
知识点三 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
题型一 充要条件的判断
例1 (1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件．
答案 充要
解析 解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；
②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
③p：|x|>3，q：x2>9.
解 ①在△ABC中，显然有∠A>∠B?sin A>sin B，
所以p是q的充要条件．
②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p?q；若a＝b＝0，
则a2＋b2＝0，即q?p，故p?q，所以p是q的充要条件．
③由于p：|x|>3?q：x2>9，所以p是q的充要条件．
反思与感悟 判断p是q的充要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立．若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p?q及q?p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是________．
①ab＝0 ②ab>0
③a2＋b2＝0 ④a2＋b2>0
(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________．
答案 (1)④ (2)a<－1
解析 (1)a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
(2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1.21教育网
题型二 充要条件的证明
例2 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
证明 ①必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
?
即
解得k<－2.
②充分性：当k<－2时，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1
＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2
＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，
∴x1－1>0，x2－1>0.
∴x1>1，x2>1.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.
反思与感悟 一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p?q.21cnjy.com
跟踪训练2 求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
证明 ①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
题型三 充要条件的应用
例3 已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件．
解 设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1，x2，由题意知??
?
?m≥6.
即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6.
反思与感悟 求充要条件常用下列两种方法：
(1)先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．www.21-cn-jy.com
(2)变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．
跟踪训练3 求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．
解 当a＝0时，2x＋1>0不恒成立．
当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立．
??a>1.
所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1.
1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________条件．
答案 充分不必要
解析 当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的________．
答案 充分不必要
解析 a＝3时，A＝{1,3}，A?B，当A?B时，a＝2或3.
3．已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的________条件．21·cn·jy·com
答案 充要
解析 a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得＝，∴a＝±2.∴α是β的充要条件【来源：21·世纪·教育·网】
4．已知直线l1：x＋ay＋6＝0和直线l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________.21·世纪*教育网
答案 －1
解析 由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，
又a×2a－3×6≠0，所以a≠3，所以a＝－1.
5．命题p：x>0，y<0，命题q：x>y，>，则p是q的________条件．
答案 充要
解析 当x>0，y<0时，x>y且>成立，
当x>y且>时，得?
所以p是q的充要条件．
1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．www-2-1-cnjy-com
1.2 简单的逻辑联结词
[学习目标] 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假．21·世纪*教育网
知识点一 “p且q”
“p且q”就是用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∧q.
知识点二 “p或q”
“p或q”就是用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到的新命题，记作p∨q.
知识点三 命题的否定
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作非p，读作“非p”或“p的否定”．
知识点四 含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
非p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
思考 (1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？
(2)命题的否定与否命题有什么区别？
答案 (1)生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或”则表示可兼有但不一定必须兼有．
(2)命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论．
题型一 p∧q命题及p∨q命题
例1 分别写出下列命题构成的“p∧q”“p∨q”的形式，并判断它们的真假．
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；
(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；
(3)p：是无理数，q：是实数；
(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．
解 (1)p∧q：函数y＝3x2是偶函数且是增函数；
∵p真，q假，∴p∧q为假．
p∨q：函数y＝3x2是偶函数或是增函数；
∵p真，q假，∴p∨q为真．
(2)p∧q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；
∵p真，q真，∴p∧q为真．
p∨q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；
∵p真，q真，∴p∨q为真．
(3)p∧q：是无理数且是实数；
∵p真，q真，∴p∧q为真．
p∨q：是无理数或是实数；
∵p真，q真，∴p∨q为真．
(4)p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；
∵p真，q真，∴p∧q为真．
p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；
∵p真，q真，∴p∨q为真．
反思与感悟 (1)判断p∧q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，然后根据真值表“一假则假，全真则真”进行判断．21教育网
(2)判断p∨q形式的命题的真假，首先判断命题p与命题q的真假，只要有一个为真，即可判定p∨q形式命题为真，而p与q均为假命题时，命题p∨q为假命题，可简记为：有真则真，全假为假．21cnjy.com
跟踪训练1 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：
(1)李明是男生且是高一学生．
(2)方程2x2＋1＝0没有实数根．
(3)12能被3或4整除．
解 (1)是“p且q”形式．
其中p：李明是男生；q：李明是高一学生．
(2)是“非p”形式．其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
(3)是“p或q”形式．其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．
题型二 非p命题
例2 写出下列命题的否定形式．
(1)面积相等的三角形都是全等三角形；
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；
(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.
解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形．
(2)若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零．
(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0.
反思与感悟 非p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写非p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“非p∨非q”等．21·cn·jy·com
跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：y ＝ sin x 是周期函数；
(2)p：3＜2；
(3)p：空集是集合A的子集；
(4)p：5不是75的约数．
解 (1) 非p：y ＝ sin x不是周期函数．命题p是真命题，非p是假命题；
(2) 非p：3≥2.命题p是假命题，非p是真命题；
(3) 非p：空集不是集合A的子集．命题p是真命题，非p是假命题；
(4) 非p：5是75的约数．命题p是假命题，非p是真命题．
题型三 p∨q、p∧q、非p命题的综合应用
例3 已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p∨q”与“非q”同时为真命题，求实数a的取值范围．
解 命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于
?，解得a≤－1.
命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，等价于a＝0或
由于?解得0
所以0≤a<4.
因为“p∨q”与“非q”同时为真命题，即p真且q假，
所以解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
反思与感悟 由真值表可判断p∨q、p∧q、非p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，非p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．2·1·c·n·j·y
跟踪训练3 已知命题p：方程x2＋ax＋1＝0有两个不等的实根；命题q：方程4x2＋2(a－4)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
解 ∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假，
由a2－4>0得a>2或a<－2.
由4(a－4)2－4×4<0得2①若p真q假，则有
∴a<－2或a≥6；
②若p假q真，则有通过分析可知不存在这样的a.
综上，a<－2或a≥6.
命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>
sin B”的充要条件，则下列四个命题正确的是________．(填序号)
①p真q假 ②p∧q为真
③p∨q为假 ④p假q真
答案 ④
解析 命题p假，命题q真．
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为________．
答案 4
解析 ①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；www.21-cn-jy.com
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
3．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．
则在命题①p1∨p2，②p1∧p2，③(非p1)∨p2和④p1∧(非p2)中，为真命题的是________．
答案 ①④
解析 p1是真命题，则非p1为假命题；p2是假命题，则非p2为真命题；
∴①p1∨p2是真命题，②p1∧p2是假命题，
∴③(非p1)∨p2为假命题，④p1∧(非p2)为真命题．
∴为真命题的是①④.
4．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是________．
①p假q真 ②“p∨q”为真
③“p∧q”为真 ④“非p”为真
答案 ②
解析 由(x＋2)(x－3)<0得－2∵1∈(－2,3)，∴p真．
∵?≠{0}，∴q为假，
∴“p∨q”为真．
5．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是________．21世纪教育网版权所有
①p为真 ②綈p为假 ③p∧q为假 ④p∨q为真
答案 ③
解析 函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假．【来源：21·世纪·教育·网】
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．www-2-1-cnjy-com
2．判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p∧q”，“p∨q”的真假．
p∧q为真?p和q同时为真，
p∨q为真?p和q中至少一个为真．
3．若命题p为真，则“非p”为假；若p为假，则“非p”为真，类比集合知识，“非p”就相当于集合p在全集U中的补集?Up.因此(非p)∧p为假，(非p)∨p为真．
4．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．
1．3.1 量 词
[学习目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．21*cnjy*com
知识点一 全称量词和全称命题
(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“?”表示．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．
知识点二 存在量词和存在性命题
(1)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“?”表示．【版权所有：21教育】
(2)存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题．存在性命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．
思考 (1)在全称命题和存在性命题中，量词是否可以省略？
(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？
答案 (1)在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．
(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“?x∈N，x≥0”．21教育网
题型一 全称量词与全称命题
例1 试判断下列全称命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2>0；
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题．21教育名师原创作品
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
(3)由于?α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．2-1-c-n-j-y
反思与感悟 判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．21*cnjy*com
跟踪训练1 试判断下列全称命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋1≥2；
(2)任何一条直线都有斜率；
(3)每个指数函数都是单调函数．
解 (1)由于?x∈R，都有x2≥0，
因而有x2＋1≥1，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题．
(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题．
(3)无论底数a＞1或是0题型二 存在量词与存在性命题
例2 判断下列存在性命题的真假：
(1)?x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)有一个实数α，tanα无意义；
(4)?x∈R，cosx＝.
解 (1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
∴“?x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)真命题，当α＝时，tanα无意义.
(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而>1，
∴不存在x∈R，使cosx＝，
∴“?x∈R，cosx＝”是假命题．
反思与感悟 判定存在性命题真假的方法：代入法：在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假．www-2-1-cnjy-com
跟踪训练2 试判断下列存在性命题的真假：
(1)?x∈Q，x2＝3；
(2)?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；
(3)?x∈R，tanx＝1；
(4)?x∈R，lgx＝0.
解 (1)由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，21cnjy.com
所以命题“?x∈Q，x2＝3”为假命题．
(2)因为x>0，y>0，所以x2＋y2>0，所以“?x，y为正实数，使x2＋y2＝0”为假命题．
(3)当x＝时，tan＝1，所以“?x∈R，tanx＝1”为真命题．
(4)当x＝1时，lg1＝0，所以“?x∈R，lgx＝0”为真命题．
题型三 全称命题、存在性命题的应用
例3 (1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；
(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由ax2＋2x＋a<0，得a(x2＋1)<－2x，
∵x2＋1>0，∴a<－＝－，
当x>0时，x＋≥2，∴－≥－1，
当x<0时，x＋≤－2，∴－≤1，
∴－的最大值为1.
又∵?x∈R，使ax2＋2x＋a<0成立，
∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1)．
(2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立．
②当m＋1≠0，则
??综上，m<－.
反思与感悟 有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；www.21-cn-jy.com
(2)若命题p：＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围．
解 (1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，【出处：21教育名师】
解得a≥，∴实数a的取值范围为[，＋∞)．
(2)由＝sinx－cosx，
得＝sinx－cosx，
∴＝sinx－cosx，
即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，
∴sinx≥cosx.
结合三角函数图象得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，此即为所求x的取值范围．
即p：?x∈[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，有＝sinx－cosx是真命题．
1．下列命题是全称命题的个数为________．
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°.
答案 2
解析 ①③是全称命题．
2．下列命题中，不是全称命题的是________．
①任何一个实数乘以0都等于0；
②自然数都是正整数；
③每一个向量都有大小；
④一定存在没有最大值的二次函数．
答案 ④
解析 ④是存在性命题．
3．下列存在性命题是假命题的是________．
①存在x∈Q，使2x－x3＝0；
②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；
③有的素数是偶数；
④有的有理数没有倒数．
答案 ②
解析 对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立．
4．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是________．
①存在一个α，使tan(90°－α)＝tanα；
②存在实数x，使sinx＝；
③对一切α，sin(180°－α)＝sinα；
④对一切α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
答案 ①
解析 含有存在量词的命题只有①②，
而sinx0≤1，所以sinx0＝不成立，故选①.
5．已知命题p：?x∈(－∞，0)，2x<3x，命题q：?x∈(0，)，cosx<1，则下列命题为真命题的是________．21世纪教育网版权所有
①p∧q ②p∨(非q)
③(非p)∧q ④p∧(非q)
答案 ③
解析 当x<0时，2x<3x不成立，
∴p为假命题，非p为真命题，
而x∈(0，)时，cosx<1成立，∴q为真命题．
1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2·1·c·n·j·y
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．【来源：21·世纪·教育·网】
3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．21·世纪*教育网
1．3.2 含有一个量词的命题的否定
[学习目标] 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．21教育名师原创作品
知识点一 全称命题的否定
全称命题p：?x∈M，p(x)，
它的否定非p：?x∈M，非p(x)．
知识点二 存在性命题的否定
存在性命题p：?x∈M，p(x)，
它的否定非p：?x∈M，非p(x)．
知识点三 全称命题与存在性命题的关系
全称命题的否定是存在性命题．
存在性命题的否定是全称命题．
思考 (1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？
(2)对省略量词的命题怎样否定？
答案 (1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．21cnjy.com
(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或存在性命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题．反之，亦然．
题型一 全称命题的否定
例1 写出下列全称命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解 (1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．
(2)是全称命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．
(3)是全称命题，其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在．
(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
反思与感悟 全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
解 (1)非p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)非p：有些自然数的平方不是正数．
(3)非p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)非p：存在实数x，使得x2＋1<0.
题型二 存在性命题的否定
例2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
解 (1) 非p：?x>1，x2－2x－3≠0.(假)．
(2) 非p：所有的素数都不是奇数．(假)．
(3) 非p：所有的平行四边形都是矩形．(假)．
反思与感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：?x0∈M，p(x0)成立?非p：?x∈M，非p(x)成立．21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)?x，y∈Z，使得x＋y＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．21教育网
(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．2·1·c·n·j·y
(3)命题的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．【来源：21·世纪·教育·网】
题型三 存在性命题、全称命题的综合应用
例3 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.www-2-1-cnjy-com
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
反思与感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.2-1-c-n-j-y
跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R)．
(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；
(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围．
(1)证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，
∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，
∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立，
∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，
∴即
解得a≤－，
即实数a的取值范围是(－∞，－]．
1．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“非p”形式的命题是______________________________________．21·cn·jy·com
答案 对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
解析 命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即非p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．21·世纪*教育网
2．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A,2x∈B，则非p是________________．www.21-cn-jy.com
答案 非p：?x∈A,2x?B
解析 命题p：?x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定非p应为?x∈A,2x?B.
3．对下列命题的否定说法错误的是________．
①p：能被2整除的数是偶数；非p：存在一个能被2整除的数不是偶数
②p：有些矩形是正方形；非p：所有的矩形都不是正方形
③p：有的三角形为正三角形；非p：所有的三角形不都是正三角形
④p：?n∈N,2n≤100；非p：?n∈N,2n>100.
答案 ③
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故③错误．【来源：21cnj*y.co*m】
4．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________．
答案 ?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0
解析 全称命题的否定是存在性命题．
全称命题：?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：?x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.
5．命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________．
答案 有的向量与零向量不共线
解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题“有的向量与零向量不共线”．【出处：21教育名师】
1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．21*cnjy*com
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
2．通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．【版权所有：21教育】
第1章 常用逻辑用语
1．要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换．
2．正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．21世纪教育网版权所有
3．有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．
4．常用“都是”表示全称肯定，它的存在性否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示．
5．在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．
6．否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若非p，则非q”，其命题的否定为“若p，则非q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．
1．转化与化归思想
将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等．通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化．21*cnjy*com
例1 判断下列命题的真假．
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；
(2)若x?A∩B，则x?A且x?B；
(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.
解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．21教育网
(2)该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．
(3)该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，故原命题为假．
跟踪训练1 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2(其中r>0)；
(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1.
解 (1)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，所以c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，说明圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件．
(2) 非q：x＝－1且y＝－1，非p：x＋y＝－2.
∵非q?非p，而非pD?/非q，∴非q是非p的充分不必要条件，从而，p是q的充分不必要条件．
例2 设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a当a＝1时，1即p为真命题时，实数x的取值范围是1由解得
即2所以q为真时，实数x的取值范围是2若p∧q为真，则?2所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2) 非p是非q的充分不必要条件，
即非p?非q且非qD?/非p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是(1,2]．
跟踪训练2 命题p：?x∈R，x2＋1>a，命题q：a2－4>0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．www-2-1-cnjy-com
解 若p为真命题，则a<1；
若q为真命题，则a2>4，即a>2或a<－2.
由已知条件知：p与q一真一假，
当p为真，q为假时有：所以－2≤a<1，
当q为真，p为假时有：所以a>2，
综上所述，－2≤a<1或a>2.
2．分类讨论思想
分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语一章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏．
例3 已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．
解 方法一 由题意知，p和q有且只有一个为真．p为真时，0＜a＜1；∵y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a－3)2－4＞0，得a＜或a＞，即q为真时，0(1)当p为真，且q为假时，a∈(0,1)∩([，1)∪(1，])，即a∈[，1)．
(2)当p为假，且q为真时，a∈(1，＋∞)∩，即a∈(，＋∞)．
综上，a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
方法二 ∵A＝{a|p(a)}＝{a|0}，
∴p和q有且只有一个为真?a∈A∪B且a?A∩B，
故a的取值范围为[，1)∪(，＋∞)．
跟踪训练3 命题p：函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的定义域为R；命题q：函数g(x)＝在(2，＋∞)上是增函数．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
解 当p为真命题时，ax2＋2x＋1>0恒成立，
∴即解得∴a>1.
当q为真命题时，g(x)＝＝1＋在(2，＋∞)上是增函数，
∴a＋2<0，即a<－2.
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p与q一真一假，
∴a的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．
3．数形结合思想
“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上．21·cn·jy·com
例4 设函数f(x)＝|log2x|，则f(x)在区间(m,2m＋1)(m>0)上不是单调函数的充要条件是________．21·世纪*教育网
答案 0解析 作出函数f(x)＝|log2x|的图象如图所示，
可得
故00)上不是单调函数的充要条件．故填0跟踪训练4 已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．2-1-c-n-j-y
答案 (，1)
解析 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为(，1)．【来源：21cnj*y.co*m】
4．反证法
反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论．www.21-cn-jy.com
从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则非q”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p，则非q”为假，从而可以得出“若p，则q”为真，达到证明的目的．反证法是高中数学解题的一种基本方法．【出处：21教育名师】
例5 如果a，b，c，d为实数，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，求证a，b，c，d中至少有一个负数．【版权所有：21教育】
证明 假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，则a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.21教育名师原创作品
因为a＋b＝1，c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1.
因为a，b，c，d均为非负数，于是bc＋ad≥0，
故由上式可以知道ac＋bd≤1，
这与已知条件的ac＋bd>1矛盾，
所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数．
跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．
已知：在△ABC中，∠BAC>90°，D是BC边上的中点，
求证：AD证明 假设AD≥BC.
①若AD＝BC，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知∠BAC＝90°，与题设矛盾．所以AD≠BC.2·1·c·n·j·y
②若AD>BC，因为BD＝DC＝BC，
所以在△ABD中，AD>BD，
从而∠B>∠BAD，同理∠C>∠CAD.
所以∠B＋∠C>∠BAD＋∠CAD，
即∠B＋∠C>∠BAC.
因为∠B＋∠C＝180°－∠BAC，
所以180°－∠BAC>∠BAC.
故∠BAC<90°，与题设矛盾．
由①②知AD
1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查．
考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐．该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系．21cnjy.com
体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求．解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决．21*cnjy*com
2．充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径．通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解．
3．正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p、q，只要有一个命题为假，p∧q就为假；只要有一个为真，p∨q就为真，非p与p真假相对．另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆．
4．解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与存在性命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明存在性命题为真．
