2.1 圆锥曲线
[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．
知识点一 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
知识点二 双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点三 抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
思考
1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？
答案 不是，是线段F1F2.
2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？
答案 是双曲线一支．
题型一 椭圆定义的应用
例1 在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sinB，sinA，sinC成等差数列．
(1)顶点A的轨迹是什么？
(2)指出轨迹的焦点和焦距．
解 (1)由sinB，sinA，sinC成等差数列，得sinB＋sinC＝2sinA．由正弦定理可得AB＋AC＝2BC.
又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，
所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．
(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.
反思与感悟 本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．
跟踪训练1 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．
证明 设MB＝r.
∵圆M与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距MA＝10－r，
即MA＋MB＝10(大于AB)．
∴圆心M的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．
题型二 双曲线定义的应用
例2 已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．
解 由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r.
因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①
又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②
②－①得MC2－MC1＝2，且2
所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．
反思与感悟 设动圆半径为r，利用动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得两个等式，相减后消去r，得到点M的关系式．注意到MC2－MC1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C1与圆C2相切于点(－1,0)，所以M的轨迹不过(－1,0)．
跟踪训练2 在△ABC中，BC固定，顶点A移动．设BC＝m，且|sinC－sinB|＝sinA，则顶点A的轨迹是什么？
解 因为|sinC－sinB|＝sinA，由正弦定理可得|AB－AC|＝BC＝m，且m所以点A的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC的两交点)．
题型三 抛物线定义的应用
例3 已知动点M的坐标(x，y)满足方程2(x－1)2＋2(y－1)2＝(x＋y＋6)2，试确定动点M的轨迹．
解 方程可变形为＝1，
∵表示点M到点(1,1)的距离，
表示点M到直线x＋y＋6＝0的距离，
又由＝1知点M到定点(1,1)的距离等于点M到直线x＋y＋6＝0的距离．
由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．
反思与感悟 若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．
跟踪训练3 点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．
答案 抛物线
解析 将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．
1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．
答案 椭圆或线段或不存在
解析 当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．
2．已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．
答案 以A、B为焦点的双曲线的右支
(除去点(3,0))
解析 如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．
3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．
答案 以O、A为焦点的椭圆
解析 ∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.
∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为________．
答案 抛物线
解析 依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．
5．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是________________．
答案 抛物线
解析 到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．
1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．
2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．
4．抛物线定义中F l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．2．2.1 椭圆的标准方程
[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．
知识点一 椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
焦点 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c)
a、b、c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2
思考 (1)椭圆定义中，将“大于F1F2”改为“等于F1F2”或“小于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？
答案 (1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．
(2)a，b的值及焦点所在的位置．
题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
解 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝10，所以a＝5.
又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．
跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程．
解 方法一 (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
依题意有解得
此时不符合a>b>0，所以方程组无解．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
题型二 椭圆定义的应用
例2 已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足PF1＋PF2＝2F1F2.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
解 (1)依题意知F1F2＝2，
PF1＋PF2＝2F1F2＝4>2＝F1F2，
∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，
且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，
故所求点P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设m＝PF1，n＝PF2，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
F1F＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，
∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos 120°)，解得mn＝12.
∴＝mnsin∠F1PF2＝×12sin 120°＝3.
反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF1·PF2看作一个整体来处理．
跟踪训练2
如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．求△AF1B的周长．
解 由题意知，点A，B在椭圆＋＝1上，
所以a＝5，
故有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，
AF2＋BF2＝AB，
所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB
＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2
＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)
＝2a＋2a＝20.
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
例3 已知B、C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
解 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
由BC＝8可知点B(－4,0)，C(4,0)．
由AB＋AC＋BC＝18得AB＋AC＝10>8＝BC，
因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，
得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
反思与感悟 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．
跟踪训练3 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴PB＝r.
又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，
∴两圆的圆心距PA＝10－r，
即PA＋PB＝10(大于AB＝6)．
∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
∴2a＝10,2c＝AB＝6.
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.
1．设F1，F2为定点，F1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝6，则动点M的轨迹是________．
答案 线段
解析 ∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，
∴动点M的轨迹是线段．
2．已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是________．
答案 2
解析 由题意得，椭圆标准方程为x2＋＝1，
又其一个焦点坐标为(0,1)，故－1＝1，解得k＝2.
3．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是________三角形．
答案 直角
解析 根据椭圆的定义知PF1＋PF2＝8.
又PF1－PF2＝2，所以PF1＝5，PF2＝3.
而F1F2＝4，所以F1F＋PF＝PF，
所以△PF1F2是直角三角形．
4．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的________条件．
答案 充要
解析 方程可化为＋＝1.
若m>n>0，则0<<，可得方程为焦点在y轴上的椭圆．
若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则>>0，可得m>n>0.
5．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则PF1·PF2＝________.
答案 48
解析 依题意知，a＝7，b＝2，c＝＝5，
F1F2＝2c＝10.
由于PF1⊥PF2，
所以由勾股定理得PF＋PF＝F1F，
即PF＋PF＝100.
又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝14，
∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，
即196－2PF1·PF2＝100.解得PF1·PF2＝48.
1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，
当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；
当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．
3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．2.2.2 椭圆的几何性质(一)
[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象．
知识点一 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (±，0) (0，±)
焦距 F1F2＝2
对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率 e＝∈(0,1)
知识点二 离心率的作用
当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆．
题型一 椭圆的简单几何性质
例1 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标．
解 把已知方程化成标准方程为＋x2＝1，
则a＝5，b＝1.
所以c＝＝2，
因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，
两个焦点分别是F1(0，－2)，F2(0,2)，
椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0)．
反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质．
跟踪训练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
解 椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为
＋＝1.
∵m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝.
∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)．
离心率e＝＝＝.
题型二 由椭圆的几何性质求方程
例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；
(2)已知椭圆的离心率为e＝，短轴长为8.
解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝＝＝，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是＋＝1.
(2)由e＝＝得c＝a，
又2b＝8，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法．
跟踪训练2 椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．
解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，
∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，
∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，
∵e＝＝，∴c＝a，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴a2＝3b2＝27，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
题型三 求椭圆的离心率
例3 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a，b，c.
则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，
且△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，F1F＋MF＝MF，
即4c2＋b2＝MF.
而MF1＋MF2＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.
反思与感悟 求椭圆离心率的方法：
①直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝ 求解．
②若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．
跟踪训练3 已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求椭圆 C的离心率．
解 若焦点在x轴上，得
解得
∴c＝＝＝2，
∴e＝＝；
若焦点在y轴上，得
得∴c＝＝＝10，
∴e＝＝＝.
故椭圆C的离心率为.
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．
答案 (0，±)
解析 由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2. 如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为________．
答案
解析 ∵x－2y＋2＝0，
∴y＝x＋1，而＝，
即 ＝，∴＝，＝.
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
答案
解析 由题意有，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，
又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，
即5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．
4．若焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．
答案
解析 ∵焦点在y轴上，∴0∴a＝，b＝，∴c＝，
又e＝＝，∴＝，解得m＝.
5．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为________．
答案 10,6，
解析 由题意，将椭圆方程化为标准式为＋＝1，
由此可得a＝5，b＝3，c＝4，
∴2a＝10,2b＝6，e＝.
1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．2．2.2 椭圆的几何性质(二)
[学习目标] 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题．
知识点一 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋＝1；
点P在椭圆内部 ＋<1；
点P在椭圆外部 ＋>1.
知识点二 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ＝0
相离 无解 Δ<0
知识点三 弦长公式
设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则AB＝，
∴AB＝
＝
＝，
或AB＝
＝
＝ .
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得．
题型一 直线与椭圆的位置关系
例1 在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，
代入＋＝1，
并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，
Δ＝9m2－16(m2－7)＝0
m2＝16 m＝±4，
故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，
显然y＝x－4距l最近，
d＝＝＝，
切点为P.
反思与感悟 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交 Δ>0；(2)直线与椭圆相切 Δ＝0；(3)直线与椭圆相离 Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．
跟踪训练1 已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．
解 设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，
联立方程得9y2－2ay＋a2－8＝0，
Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，
∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，
最小距离为d＝＝.
由得即P(－，)．
题型二 直线与椭圆的相交弦问题
例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
解 由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
所以x1＋x2＝＝8，所以k＝－.
所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.
反思与感悟 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．
跟踪训练2 在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程．
解 方法一 如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，
则点M(2,1)显然不可能为这条弦的中点．
故可设弦所在的直线方程为y＝k(x－2)＋1，
代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，
即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，
∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k2＋4k＋3)>0，
又x1＋x2＝＝4，解得k＝－，满足Δ>0.
∴直线方程为x＋2y－4＝0.
方法二 设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，
故有x＋4y＝16，x＋4y＝16，
两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
∵点M(2,1)是PQ的中点，故x1≠x2，
两边同除(x1－x2)得，(x1＋x2)＋4(y1＋y2)＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－.
∴弦所在的直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
题型三 椭圆中的最值(或范围)问题
例3 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解 (1)由 得5x2＋2mx＋m2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，
所以AB＝
＝＝
＝ ＝.
所以当m＝0时，AB最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.
反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
跟踪训练3 如图，点A是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9.
(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．
解 ∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°，
即△BAP是等腰直角三角形，||＝||.
∵·＝9，
∴||||cos 45°＝||2cos 45°＝9，
∴||＝3.
(1)∵P(0,1)，∴||＝1，||＝2，
即b＝2，且B(3,1)．
∵B在椭圆上，∴＋＝1，得a2＝12，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：
＋＝1，解得a2＝.
∵a2>b2>0，∴>(3－t)2>0.
∴>1，即－1＝>0，
∴所求t的取值范围是01．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
答案
解析 由 (3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
∴Δ>0，∴m>1或m<0.
又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3.
2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为________．
答案
解析 将方程化为标准形式＋＝1，
因为m>0，所以a2＝，b2＝，
所以c2＝a2－b2＝－＝，
所以e＝＝＝＝.
3．椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1－y2|的值为________．
答案
解析 易知△ABF2的内切圆的半径r＝，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝lr＝×2c×|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝.
4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是____________．
答案
解析 设P(x，y)，
则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案 0解析 设M(x，y)，∵·＝0，
∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝c2，点M的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F1F2为圆的直径．
由题意知，椭圆上的点P总在圆外，所以OP>c恒成立，
由椭圆性质知OP≥b，∴b>c，∴a2>2c2，
∴()2<，∴0解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用根与系数的关系设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．2．3.1 双曲线的标准方程
[学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．
知识点一 双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 F1F2＝2c
a、b、c的关系 c2＝a2＋b2
思考 (1)双曲线定义中，将“小于F1F2”改为“等于F1F2”或“大于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？
答案 (1)当距离之差等于F1F2时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于F1F2时，动点的轨迹不存在．
(2)a，b的值及焦点所在的位置．
题型一 求双曲线的标准方程
例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(3，)，Q(－，5)；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解 (1)方法一 若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
由于点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上，
所以解得 (舍去)．
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
－＝1(a>0，b>0)，
将P、Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 设双曲线方程为＋＝1(mn<0)．
∵P、Q两点在双曲线上，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)方法一 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
则有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
方法二 ∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，从而简化求解过程．
跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)．
解 (1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，
又知焦点在x轴上，且c＝5，
所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为焦点在x轴上，
可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
将点(4，－2)和(2，2)代入方程得
解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
题型二 双曲线定义的应用
例2 若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．
解 双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义得|MF1－MF2|＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2)将|PF2－PF1|＝2a＝6两边平方得
PF＋PF－2PF1·PF2＝36，
∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2
＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，
∴∠F1PF2＝90°，
∴＝PF1·PF2
＝×32＝16.
反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1－PF2|＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1－PF2|＝2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．
跟踪训练2 已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解 由－＝1得，a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线的定义和余弦定理得PF1－PF2＝±6，
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°，
所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝64，
所以＝PF1·PF2·sin∠F1PF2
＝×64×＝16.
题型三 与双曲线有关的轨迹问题
例3 如图，在△ABC中，已知AB＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
解 以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)．
由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)．
∵2sin A＋sin C＝2sin B，
∴2BC＋AB＝2AC，
从而有AC－BC＝AB＝2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6，
即所求轨迹方程为－＝1(x>)．
反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
跟踪训练3 如图所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，
∴MF2－MF1＝3<10＝F1F2.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≤－)．
1．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是________．(填序号)
①双曲线 ②双曲线的一支
③不存在 ④一条射线
答案 ②
解析 因为PF1－PF2＝4，且4由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支．
2．椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是________．
答案 ±3
解析 由题意知，34－n2＝n2＋16，
∴2n2＝18，n2＝9.∴n＝±3.
3．双曲线－＝1的焦距为________．
答案 4
解析 由标准方程得a2＝10，b2＝2，
所以c2＝a2＋b2＝12，c＝2，
所以焦距2c＝4.
4．已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为______________________．
答案 －＝1或－＝1
解析 当焦点在x轴上时，方程为－＝1，
当焦点在y轴上时，方程为－＝1.
5．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左，右焦点，则PF1－PF2＝________.
答案 －8
解析 将x2－y2＝16化为标准形式为－＝1，
所以a2＝16,2a＝8，
因为P点在双曲线左支上，
所以PF1－PF2＝－8.
1．双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a (2a2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解．2．3.2 双曲线的几何性质
[学习目标] 1.了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质．
知识点一 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a
对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
实轴和虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
知识点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.
思考 (1)椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围一样吗？
(2)若双曲线确定，则渐近线确定吗？反过来呢？
答案 (1)不一样．椭圆的离心率01.
(2)当双曲线的方程确定后，其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线却对应着无数条双曲线，如具有相同的渐近线y＝±x的双曲线可设为－＝λ(λ≠0，λ∈R)，当λ>0时，焦点在x轴上，当λ<0时，焦点在y轴上．
题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质
例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
解 将9y2－4x2＝－36化为标准方程－＝1，
即－＝1，
∴a＝3，b＝2，c＝.
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x.
反思与感悟 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．
跟踪训练1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率．
解 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程－＝1，
∴a2＝4，b2＝12，∴a＝2，b＝2，
∴c＝＝＝4.
∴双曲线的实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4.
焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－2)，A2(0,2)，渐近线方程为y＝±x，离心率e＝2.
题型二 根据双曲线的几何性质求标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；
(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．
解 (1)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，
又＝，∴a＝5，b＝＝12，
故其标准方程为－＝1.
(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.②
联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝.③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，
∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求出来．当双曲线的渐近线方程为y＝±x时，可以将方程设为－＝λ(λ≠0)．
跟踪训练2 根据条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)；
(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)．
解 (1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
由题意可知－＝λ，解得λ＝.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(16－k>0，4＋k>0)，
∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1，
解得k＝4或k＝－14(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 直线与双曲线的位置关系
例3 直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l的方程．
解 设直线l的方程为y＝2x＋m，
由得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由根与系数的关系，
得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2)．
又y1＝2x1＋m，y2＝2x2＋m，
∴y1－y2＝2(x1－x2)，
∴AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2
＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝5[m2－4×(m2＋2)]．
∵AB＝4，∴m2－6(m2＋2)＝16.
∴3m2＝70，m＝±.
由(*)式得Δ＝24m2－240，把m＝±代入上式，
得Δ>0，∴m的值为±.
∴所求直线l的方程为y＝2x±.
反思与感悟 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．
跟踪训练3 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求实数a的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，若＝，求a的值．
解 (1)将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1(a>0)，
得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.
依题意有
∴0(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依题意得P(0,1)，
因为＝，所以(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．
由此得x1＝x2.
由于x1，x2是方程(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，
所以x2＝－，x＝－.
消去x2得－＝.由a>0，解得a＝.
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．
答案 2
解析 ∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F到
x－y＝0的距离为＝2.
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为________．
答案 －
解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，
又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，
∴m＝－.
3．双曲线－＝1的渐近线方程为________．
答案 3x±4y＝0
解析 由－＝1得a2＝16，b2＝9，
∴渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.
4．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为________．
答案 －＝1
解析 双曲线C的渐近线方程为－＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴－＝0，即a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20.
5．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．
答案
解析 设双曲线的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，
虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，
因为c>b，所以只有∠B1F1B2＝60°，
∴tan 30°＝，∴c＝b，
又a2＝c2－b2＝2b2，∴e＝＝＝.
1.渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程－＝1 (a>0，b>0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．
2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．2．4.1 抛物线的标准方程
[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．
知识点一 抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) (，0) x＝－
y2＝－2px(p>0) (－，0) x＝
x2＝2py(p>0) (0，) y＝－
x2＝－2py(p>0) (0，－) y＝
思考 (1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
答案 (1)焦点到准线的距离．
(2)不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
题型一 求抛物线的标准方程
例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)焦点为(－2,0)；
(2)准线为y＝－1；
(3)过点A(2,3)；
(4)焦点到准线的距离为.
解 (1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，
∴p＝4，
∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.
(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝4y.
(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，
将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，
∴m＝或n＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.
(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.
反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．
跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 过点(3，－4)；
(2) 焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px (p>0)或x2＝
－2p1y (p1>0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax (a≠0)或x2＝by (b≠0)．
把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
题型二 抛物线定义的应用
例2 如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求此时P点坐标．
解 如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，
抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求PA＋PF的最小值的问题可转化为求PA＋d的最小值的问题．
将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部．
设抛物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为.即PA＋PF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.
∴点P坐标为(2,2)．
反思与感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．
跟踪训练2 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为________．
答案
解析 如图，由抛物线定义知
PA＋PQ＝PA＋PF，
则所求距离之和的最小值转化为求PA＋PF的最小值，
则当A、P、F三点共线时，PA＋PF取得最小值．
又A(0,2)，F(，0)，
∴(PA＋PF)min＝AF
＝ ＝.
题型三 抛物线的实际应用
例3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解 以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则点B的坐标为，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
∵点B在抛物线上，
∴2＝－2p·，解得p＝，
∴抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.
∴点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.
解得a>12.21，∵a取整数，
∴a的最小整数值为13.
反思与感悟 以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，抛物线的应用主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标．
跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
(1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)
解 (1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，如图所示，因为点C(5，－5)在抛物线上，解得p＝，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h米，则DB＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．
1．抛物线y＝－x2的准线方程是________．
答案 y＝2
解析 将y＝－x2化为标准形式x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.
2．过抛物线y2＝8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．
答案 16
解析 由y2＝8x得焦点坐标为(2,0)，
由此直线方程为y＝x－2，
由联立得x2－12x＋4＝0，
设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程知x1＋x2＝12，
∴弦长AB＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.
3．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为________．
答案 y2＝±8x
解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线－＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
答案 2
解析 易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，
如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，
其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点．
由图可知，距离和的最小值，
即F到直线l1的距离
d＝＝2.
5．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.
答案 4
解析 由双曲线－＝1得标准形式为－＝1，
由此c2＝3＋，
左焦点为(－ ，0)，
由y2＝2px得准线为x＝，
∴－ ＝－，
∴p＝4.
1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上．
2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型．因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my (m≠0)．2.4.2 抛物线的几何性质
[学习目标] 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题．
知识点一 抛物线的几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
性质 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
知识点二 焦点弦
直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋，BF＝x2＋，故AB＝x1＋x2＋p.
知识点三 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．
思考 (1)抛物线x2＝2py(p>0)有几条对称轴？是不是中心对称图形？
(2)影响抛物线开口大小的量是什么？是如何影响的？
答案 (1)有一条对称轴即y轴，不是中心对称图形．
(2)影响抛物线开口大小的量是参数p.p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
题型一 抛物线的几何性质
例1 已知双曲线方程是－＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．
解 因为双曲线－＝1的右顶点坐标为(2，0)，所以＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．
解 (1)当抛物线的焦点在x轴上时，
设其标准方程为y2＝mx(m≠0)．
将点M(1，－2)代入，得m＝4.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x；
(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2＝ny(n≠0)．
将点M(1，－2)代入，得n＝－.
∴抛物线的标准方程为x2＝－y.
故所求的抛物线的标准方程为y2＝4x或x2＝－y.
准线方程为x＝－1或y＝.
题型二 抛物线的焦点弦问题
例2 已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且AB＝p，求AB所在的直线方程．
解 由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则AB＝2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以AB＝
＝
＝ ·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为y＝2
或y＝－2.
反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
解 (1)因为直线l的倾斜角为60°，
所以其斜率k＝tan 60°＝，
又F.
所以直线l的方程为
y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，
而AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p.
∴AB＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，
所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，
又准线方程是x＝－，
所以M到准线的距离等于3＋＝.
题型三 直线与抛物线的位置关系
例3 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：
(1)一个公共点？
(2)两个公共点？
(3)没有公共点？
解 将直线l和抛物线C的方程联立得
消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)
当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝，此时y＝1.
∴直线l与抛物线C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2，
①当Δ>0，即k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；
②当Δ＝0，即k＝1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；
③当Δ<0，即k>1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离．
综上所述，(1)当k＝1或k＝0时，直线l与抛物线C有一个公共点；
(2)当k<1且k≠0时，直线l与抛物线C有两个公共点；
(3)当k>1时，直线l与抛物线C没有公共点．
反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．
跟踪训练3 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
所以直线BC的斜率为定值．
1．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为________．
答案 y2＝8x或y2＝－8x
解析 设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依题意得x＝，代入y2＝2px或y2＝－2px得|y|＝p，
∴2|y|＝2p＝8，p＝4.
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________．
答案 (，±)
解析 由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上，而F(，0)，所以的P的横坐标为，代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为(，±)．
3．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为________．
答案 (，1)
解析 因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.
则 4x2－4x－m＝0.①
设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0，
即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.
将m＝－1代入①式，x＝，y＝1，
故所求点的坐标为(，1)．
4．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是________．
答案 6x－4y－3＝0
解析 设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y2＝2x的焦点F(，0)，所以3×－2×0＋c＝0，
所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.
5．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
答案 －
解析 由消去y得ax2－x－1＝0，
∵直线与抛物线相切，∴a≠0且Δ＝1＋4a＝0.
∴a＝－.
1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．
(2)代数法：设直线l的方程为y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2＋Bx＋C＝0(或Ay2＋By＋C＝0)．
相交：①有两个交点：②有一个交点：A＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；
相切：有一个公共点，即
相离：没有公共点，即
直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．2.5 圆锥曲线的统一定义
[学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．
知识点一 圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．
01时，它表示双曲线；
e＝1时，它表示抛物线．
知识点二 准线方程
对于椭圆＋＝1 (a>b>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：x＝，与F′(－c，0)对应的准线方程是l′：x＝－；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为y＝±.
思考
1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？
答案 .
2．动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？
答案 当F l时，动点M轨迹是圆锥曲线．当F∈l时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线．
题型一 统一定义的简单应用
例1 椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为________．
答案 8
解析 如图所示，PF1＋PF2＝2a＝10，e＝＝，
而＝e＝，∴PF1＝2，
∴PF2＝10－PF1＝10－2＝8.
反思与感悟 椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．
一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．
跟踪训练1 已知椭圆＋＝1上一点P到右焦点F2的距离为b(b>1)，求P到左准线的距离．
解 方法一 由＋＝1，得a＝2b，c＝b，e＝.
由椭圆第一定义，
PF1＋PF2＝2a＝4b，得PF1＝4b－PF2＝4b－b＝3b.
由椭圆第二定义，＝e，d1为P到左准线的距离，
∴d1＝＝2b，即P到左准线的距离为2b.
方法二 ∵＝e，d2为P到右准线的距离．
e＝＝，∴d2＝＝b.
又椭圆的两准线的距离为2·＝b，
∴P到左准线的距离为b－b＝2b.
题型二 应用统一定义转化求最值
例2 已知椭圆＋＝1内有一点P(1，－1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MP＋2MF之值为最小．
解 设d为M到右准线的距离．
∵e＝＝，＝，
∴＝d，即d＝2MF(如图)．
故MP＋2MF＝MP＋d≥PM′.
显然，当P、M、M′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(，－1)．
反思与感悟 本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形，形象直观，使问题得到简捷的解决．
跟踪训练2 已知双曲线－＝1的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M，使MA＋MF的值最小，并求这个最小值．
解 过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MN＝(如图)．
又a＝3，b＝4，c＝5，e＝，
∴MN＝MF，∴MA＋MF＝MA＋MN，显然当M、N、A三点共线时MA＋MN＝AN为最小，即MA＋MF取得最小值，此时AN＝9－＝9－＝，
∴MA＋MF的最小值为，此时点M(，2)．
题型三 圆锥曲线统一定义的综合应用
例3 已知A、B是椭圆＋＝1上的点，F2是右焦点，且AF2＋BF2＝a，AB的中点N到左准线的距离等于，求此椭圆方程．
解 设F1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF1＋BF1＝2a－AF2＋2a－BF2＝4a－(AF2＋BF2)＝4a－a＝a.
再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有d1＋d2＝2d3＝3，而已知b2＝a2，
∴c2＝a2，∴离心率e＝，
由统一定义AF1＝ed1，BF1＝ed2，
∴AF1＋BF1＝e(d1＋d2)＝，
又AF1＋BF1＝a，∴a＝1，
∴椭圆方程为x2＋＝1.
反思与感悟 在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．
跟踪训练3 设P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点，F1为其左焦点．
(1)求PF1的最小值和最大值；
(2)在椭圆＋＝1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直．
解 (1)对应于F1的准线方程为x＝－，
根据统一定义：＝e，
∴PF1＝a＋ex0.又－a≤x0≤a，
∴当x0＝－a时，(PF1)min＝a＋×(－a)＝a－c；
当x0＝a时，(PF1)max＝a＋·a＝a＋c.
(2)∵a2＝25，b2＝5，∴c2＝20，e2＝.
∵PF＋PF＝F1F，∴(a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2.
将数据代入得25＋x＝40.∴x0＝±.
代入椭圆方程得P点的坐标为，，，.
1．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为________．
答案 －1解析 由题意得解得即－12．已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|1＋2|的最小值是________．
答案 2
解析 设P(x0，y0)，则1＝(－1－x0，－y0)，2＝(1－x0，－y0)，∴1＋2＝(－2x0，－2y0)，∴|1＋2|＝＝2 ＝2 .
∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|1＋2|取最小值为2.
3．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
答案 (0，)
解析 ∵·＝0，
∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则OP>c恒成立，
由椭圆性质知OP≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴()2<，∴e＝<.
又∵04．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－＝1(m＞0，n＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是________．
答案
解析 由题意，得
由②④可得m2＋n2＝2n2－2m2，
即n2＝3m2，⑤
⑤代入②得4m2＝c2 c＝2m，⑥
⑥代入③得4m2＝am a＝4m.
所以椭圆的离心率e＝＝.
5．已知抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为________．
答案 4
解析 由抛物线定义知点M到准线x＝－1的距离为5，
所以点M到y轴的距离为4.
1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．
2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．2．6.1 曲线与方程
[学习目标] 1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义．
知识点 曲线的方程、方程的曲线
如果曲线C上点的坐标(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x，y)＝0的曲线．
思考 (1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
答案 (1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
题型一 曲线与方程的概念
例1 (1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么下列说法正确的是________．(填序号)
①曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0；
②凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
③不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0；
④不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0.
答案 ③
(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
解 ①与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
②第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
反思与感悟 判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：
一是检验点的坐标是否适合方程；
二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．
跟踪训练1 判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y＝；
(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.
解 (1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝的解，则y0＝，即x＋y＝r2.两边开平方取算术平方根，得＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点(，－r)在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y＝，而应是y＝±.
(2)不正确．直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解．然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2.
题型二 由方程判断其表示的曲线
例2 方程(2x＋3y－5)(－1)＝0表示的曲线是什么？
解 因为(2x＋3y－5)(－1)＝0，
所以可得或者－1＝0，即2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.
反思与感悟 判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．
跟踪训练2 “(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0”，其表示什么曲线？
解 因为(2x＋3y－5)[log2(x＋2y)－3]＝0，
所以可得或者x＋2y＝8，即2x＋3y－5＝0(x<10)或者x＋2y＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x<10)(去除端点)和一条直线x＋2y＝8.
题型三 曲线与方程关系的应用
例3 若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a) (a∈R)，求k的取值范围．
解 ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，
∴a2＋a2＋2a＋k＝0.
∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋)2＋.
∴k≤，∴k的取值范围是(－∞，]．
反思与感悟 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
跟踪训练3 (1)已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是________．
答案 a>1
解析 ∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.
(2)已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，求b的取值范围．
解 由方程组
得
消去x，得到2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．
l与C有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，
可得
解得1≤b<.
所以b的取值范围为[1，)．
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2 ”的________条件．
答案 必要不充分
解析 ∵y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，
∴点M在曲线y2＝4x上时，
点M不一定在y＝－2上．
反之，点M在y＝－2上时，点M一定在y2＝4x上．
2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．
答案 四个点
解析 由已知得∴
即或或或
3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是________．(填序号)
答案 ④
解析 对于①，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除①；
对于②，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除②；
对于③，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除③.
4．已知0≤α<2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．
答案 或
解析 由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝.
又0≤α<2π，∴α＝或α＝.
5．过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________．
答案 x＋y－1＝0
解析 设M(x，y)，如图，
由直角三角形的性质可知
PM＝MO，
即(x－1)2＋(y－1)2＝x2＋y2，
∴x＋y－1＝0.
1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．
3．方程表示的曲线的判断步骤：
4．判断方程表示曲线的注意事项：
(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．
(2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．2．6.2 求曲线的方程
[学习目标] 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．
知识点一 坐标法和解析几何
借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法就叫坐标法．用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何．
知识点二 解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；
(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．
知识点三 求曲线的方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系；
(2)设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；
(3)列出符合条件P(M)的方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
思考 (1)求曲线的方程的步骤是否可以省略？
(2)求曲线的方程和求轨迹一样吗？
答案 (1)可以省略．如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤说明，如有特殊情况，可以适当说明．另外，也可以根据情况省略步骤“写集合”，直接列出曲线方程．
(2)不一样．若是求轨迹则要先求出方程，再说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚．
题型一 直接法求曲线方程
例1 动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于－，求动点M的轨迹方程．
解 如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)．
设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA＝，kMB＝(x≠±a)．
∵kMA·kMB＝－，
∴·＝－，
化简得：x2＋2y2＝a2(x≠±a)．
∴点M的轨迹方程为x2＋2y2＝a2(x≠±a)．
反思与感悟 直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少．
跟踪训练1 已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．
解 如图，设C(x，y)，
则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．
∵∠C为直角，∴⊥，即·＝0.
∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.
化简得x2＋y2＝1.
∵A、B、C三点要构成三角形，
∴A、B、C三点不共线，∴y≠0.
∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
题型二 定义法求曲线方程
例2 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
解 如图，设OQ为过O点的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，设M为OC的中点，则M的坐标为(，0)．
∵∠OPC＝90°，
∴动点P在以点M(，0)为圆心，OC为直径的圆上，
由圆的方程得(x－)2＋y2＝(0反思与感悟 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程．利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征．
跟踪训练2 已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程．
解 作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知
OM＝AB＝3.
所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，
故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.
题型三 代入法求曲线方程
例3 已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，点M和定点B(3，0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程．
解 设P(x，y)，M(x0，y0)，
∵P为MB的中点，∴
即
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1.
∴P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
反思与感悟 代入法求轨迹方程就是利用所求动点P(x，y)与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点P的坐标(x，y)表示相关动点Q的坐标(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲线方程即可求得动点P的轨迹方程．
跟踪训练3 已知△ABC的两顶点A，B的坐标分别为A(0，0)，B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
解 设G(x，y)为△ABC的重心，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得
所以
因为顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，
所以3y＝(3x－6)2＋3，
整理，得y＝3(x－2)2＋1.
故点M的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.
求曲线方程忽略限制条件致错
例4 直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．
错解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，得OP2＝OM2＋MP2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
整理得(x－)2＋y2＝.
正解 设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，
再由OM⊥MP，得OP2＝OM2＋MP2，
∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25，
整理得(x－)2＋y2＝.
∵点M应在圆内，∴所求的轨迹为圆内的部分．
解方程组
得两曲线交点的横坐标为x＝，
故点M的轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0≤x<)．
易错警示
错误原因 纠错心得
错解中未注意到点M应在圆内，故所求的轨迹应为圆内的部分，此时应考虑0≤x<. 求曲线方程时，要注意准确确定范围，能挖掘出题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免考虑不全面而致错.
1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是________．(填序号)
①一条直线 ②一条直线去掉一点
③一个点 ④两个点
答案 ②
解析 注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉．
2．到点(－1,0)与直线x＝3的距离相等的点的轨迹方程为________．
答案 y2＝－8x＋8
解析 由已知得＝|x－3|，
变形为：y2＝－8x＋8.
3．下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的点是________．(填序号)
①(2，－2) ②(4，－3)
③(3,10) ④(－2,5)
答案 ③
解析 依次把四个点代入x2－xy＋2y＋1，当x＝3，y＝10时，x2－xy＋2y＋1＝0.
4．在第四象限内，到原点的距离为2的点M的轨迹方程是________．(填序号)
①x2＋y2＝4 ②x2＋y2＝4(x>0)
③y＝－ ④y＝－(0答案 ④
解析 设M(x，y)，由MO＝2得，x2＋y2＝4，
又∵点M在第四象限，∴y＝－(05．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且PA＝1，则动点P的轨迹方程是__________________．
答案 (x－1)2＋y2＝2
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，半径r＝1，
则PB2＝PA2＋r2.
∴PB2＝2.
∴动点P的轨迹方程为：(x－1)2＋y2＝2.
1.坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．
2．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x′，y′)等．
3．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．
4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．2.6.3 曲线的交点
[学习目标] 1.掌握直线与曲线的交点的求解方程.2.会求曲线与曲线的交点问题.3.会解决有关曲线的交点的实际应用．
知识点一 直线与曲线的交点
求解直线与曲线的交点问题时通常将直线方程与曲线方程联立起来后得到一个二次方程．利用二次方程的判别式确定交点的个数．
Δ>0 两个交点
Δ＝0 一个交点
Δ<0 无交点
知识点二 曲线与曲线的交点
(1)判断曲线与曲线的交点个数，通常将两曲线方程联立起来解方程组得交点坐标．
(2)可以将两条曲线画在同一坐标系内确定两曲线的交点个数．
思考
1．直线与椭圆有几个交点？
答案 两个交点、一个交点和无交点．
2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？
答案 直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点．
题型一 直线与曲线的交点问题
例1 k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？
解 依题意得方程组
①代入②整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0.
∵Δ＝(12k)2－4×6(2＋3k2)＝24(3k2－2)，
∴当3k2－2>0，即k>或k<－时，直线与曲线有两个公共点；
当3k2－2＝0，即k＝±时，直线与曲线仅有一个公共点；
当3k2－2<0，即－反思与感悟 直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x(或y)后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系．
跟踪训练1 直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C分别相切、相交、相离？
解 将直线l和抛物线C的方程联立
①式代入②式，并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
(1)当k≠0时，是一元二次方程，
∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．
当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切．
当Δ>0，即k<1时，l与C相交．
当Δ<0，即k>1时，l与C相离．
(2)当k＝0时，直线l：y＝1与曲线C：y2＝4x相交．
综上所述，当k<1时，l与C相交，当k＝1时，l与C相切，当k>1时，l与C相离．
题型二 弦长问题
例2 顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为，求抛物线方程．
解 设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，
由方程组
消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直线与抛物线有两个交点，
∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.
设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝(x1－x2)，
弦长为AB＝
＝＝
＝.
∵AB＝，
∴＝，
即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12.
∴所求抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y.
反思与感悟 求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB＝|x1－x2|＝|y1－y2|及公式|x1－x2|＝较为简单．
跟踪训练2 已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，若AB＝5，求实数b的值．
解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程组消去y，整理得2x2＋bx－2＝0.①
∵x1、x2是关于x的方程①的两根，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1.
又AB＝，其中k＝2，代入则有
AB＝·＝5，∴b2＝4，则b＝±2.
故所求b的值为±2.
题型三 与弦的中点有关的问题
例3 抛物线y2＝8x上有一点P(2,4)，以点P为一个顶点，作抛物线的内接△PQR，使得△PQR的重心恰好是抛物线的焦点，求QR所在的直线的方程．
解 抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)．
∵F为△PQR的重心，∴QR的中点为M(2，－2)，
如图所示．
设Q(x1，y1)、R(x2，y2)，
则有
①－②，得y－y＝8(x1－x2)．
又y1＋y2＝－4，
∴直线QR的斜率为k＝＝＝＝－2.
∴QR所在直线的方程为y＋2＝－2(x－2)，
即2x＋y－2＝0.
反思与感悟 本题设出Q、R的坐标，得出y＝8x1，y＝8x2，再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．
跟踪训练3 直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，AB中点坐标为(3,2)，求直线l的方程．
解 设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2，相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，
又因为y1＋y2＝4，所以kAB＝＝1.
所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．
答案 －1
解析 2a＝c＋c，e＝＝－1.
2．已知两条直线2x－y＋m＝0与x－y－1＝0的交点在曲线x2＋y2＝1上，则m的值为________．
答案 －1或－2
解析 由
得交点为(－m－1，－m－2)将交点代入方程x2＋y2＝1中得(－m－1)2＋(－m－2)2＝1，
化简得：m2＋3m＋2＝0，∴m＝－1或m＝－2.
3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为________．
答案
解析 由题意得PF2＝，PF1＝，
由椭圆定义得＝2a,3b2＝3a2－3c2＝2a2，
则此椭圆的离心率e为.
4．双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e＝，则此双曲线的方程是____________．
答案 －＝1
解析 焦点坐标为(0,10)，
故c＝10，a＝6，b＝8.
5．抛物线x2＝－4y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB＝________.
答案 4
解析 由抛物线方程x2＝－4y得p＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A，B两点的纵坐标都为－1，从而AB＝|y1|＋|y2|＋p＝1＋1＋2＝4.
1.解方程组时，若消去y，得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，这时，要考虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．
2．求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组
消去y，得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，设其两根为x1，x2，则P1P2＝|x1－x2|＝＝.
3．求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求)．即设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是圆锥曲线mx2＋ny2＝1上两点，P0(x0，y0)是弦P1P2的中点，则由mx＋ny＝1，mx＋ny＝1相减，
得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0，从而kP1P2＝＝－.第2章 圆锥曲线与方程
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质
椭圆 双曲线 抛物线
几何条件 与两个定点的距离的和等于常数 与两个定点的距离的差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定直线的距离相等
标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
图形
顶点坐标 (±a,0)(0，±b) (±a,0) (0,0)
对称轴 x轴，长轴长2a；y轴，短轴长2b x轴，实轴长2a；y轴，虚轴长2b x轴
焦点坐标 (±c,0)c＝ (±c,0)c＝ (，0)
离心率 01，e＝ e＝1
准线 x＝± x＝± x＝－
渐近线 y＝±x
2.曲线与方程
(1)曲线与方程：如果曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．
(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e；当01时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，与圆锥曲线D的方程联立可得(消去y)ax2＋bx＋c＝0(*)．
(1)当a≠0时，若关于x的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切．
(2)当a＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点．
1．数形结合思想
“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单．
例1 双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且PF1＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为________．
答案 (1,3]
解析 如图所示，
由PF1＝2PF2知P在双曲线的右支上，
则PF1－PF2＝2a，
又PF1＝2PF2，
∴PF1＝4a，PF2＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝－＝－，
∵0<∠F1PF2≤π，
且当点P是双曲线的顶点时，∠F1PF2＝π，
∴－1≤cos∠F1PF2<1，
∴－1≤－<1，由e>1，解得1跟踪训练1 抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若AF，BF，CF成等差数列，则下列说法正确的是________．
①x1，x2，x3成等差数列
②y1，y2，y3成等差数列
③x1，x3，x2成等差数列
④y1，y3，y2成等差数列
答案 ①
解析 如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知：
AF＝AA′，BF＝BB′，CF＝CC′.
∵2BF＝AF＋CF，
∴2BB′＝AA′＋CC′.
又∵AA′＝x1＋，BB′＝x2＋，CC′＝x3＋，
∴2(x2＋)＝x1＋＋x3＋ 2x2＝x1＋x3.
2．分类讨论思想
分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果．如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论．
例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，求此双曲线的离心率．
解 当双曲线的焦点在x轴上时，由已知可得＝，
∵c2＝a2＋b2，∴e2＝2＝＝1＋＝，
∴双曲线的离心率e＝；
同理，当焦点在y轴上时，可求得离心率e＝.
故双曲线的离心率为或.
跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P(2，－6)；
(2)椭圆过点P(3,0)，且e＝.
解 (1)设椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)．
由已知得a＝2b.①
∵椭圆过点P(2，－6)，∴＋＝1或＋＝1.②
由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)当焦点在x轴上时，∵椭圆过点P(3,0)，∴a＝3.
又＝，∴c＝.
∴b2＝a2－c2＝3.
此时椭圆的标准方程为＋＝1.
当焦点在y轴上时，∵椭圆过点P(3,0)，∴b＝3.
又＝，∴＝，∴a2＝27.
此时椭圆的标准方程为＋＝1.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
3．函数与方程思想
圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口．用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器．我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．
方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．
例3 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①
∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.
由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝a.
直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.
又AB＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝2－4·.②
将b＝a代入②式，解得a＝，∴b＝.
∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.
方法二 由
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
且直线AB的斜率k＝－1，
∴AB＝
＝
＝·.
∵AB＝2，
∴＝2，
∴＝1.①
设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝，将其代入①式得，a＝，b＝.
∴所求椭圆的方程为＋y2＝1.
跟踪训练3 若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.
答案 3
解析 由离心率公式，有＝2(a>0)，
得a＝3.
4．化归与转化思想
将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想．一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式．转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性．
例4 已知点A(4，－2)，F为抛物线y2＝8x的焦点，点M在抛物线上移动，当MA＋MF取最小值时，点M的坐标为________．
答案 (，－2)
解析 过点M作准线l的垂线，垂足为E，由抛物线定义知MF＝ME.
当点M在抛物线上移动时，MF＋MA的值在变化，
显然M移到M′，AM′∥Ox时，
A，M，E共线，此时ME＋MA最小，
把y＝－2代入y2＝8x，得x＝，
∴M(，－2)．
跟踪训练4 已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)．
(1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；
(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当AM＝AN时，求实数m的取值范围．
解 (1)由题意得，
a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，
∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
即(x＋)(x－)＋y·y＝0，
化简得＋y2＝1，
∴点Q的轨迹C的方程为＋y2＝1.
(2)由
得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，
∴Δ>0，即m2<3k2＋1.①
(ⅰ)当k≠0时，设弦MN的中点为P(xP，yP)，xM、xN分别为点M、N的横坐标，则xP＝＝－，
从而yP＝kxP＋m＝，
kAP＝＝－，
又AM＝AN，∴AP⊥MN.
则－＝－，即2m＝3k2＋1，②
将②代入①得2m>m2，解得0由②得k2＝>0，解得m>，
故m的取值范围是.
(ⅱ)当k＝0时，AM＝AN，
∴AP⊥MN，m2<3k2＋1即为m2<1，解得－1综上，当k≠0时，m的取值范围是，
当k＝0时，m的取值范围是(－1,1)．
1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点．
2．圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查．
3．虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线．考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题．
4．考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程．
5．对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．