课件46张PPT。2.1.1 合情推理第2章 2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？答案答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理.梳理
(1)推理
从一个或几个 得出另一个 的思维过程称为推理.
(2)归纳推理
①定义：从 中推演出 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理.
②思维过程：
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.新命题已知命题个别事实一般性(3)归纳推理的特点
①归纳推理的前提是几个已知的 ，归纳所得的结论是尚属未知的 ，该结论超越了前提所包容的范围.
②由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过 和实践检验.
③归纳推理是一种具有创造性的推理.一般现象特殊现象猜测逻辑证明科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？知识点二 类比推理思考 答案 类比推理.答案梳理
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的 ，推演出它们在其他方面也 ，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.相似或相同相似或相同根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理. 和_____
都是数学活动中常用的合情推理.知识点三 合情推理类比归纳推理推理题型探究命题角度1 数、式中的归纳推理
例1 (1)观察下列等式：类型一 归纳推理据此规律，第n个等式可为_______________________________________
________.答案解析解析 等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等
式右边应为(2)已知f(x)＝ ，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，则
f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________.答案解析又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，引申探究
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N*)的表达式.解答又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论.
(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.答案解析跟踪训练1 观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33 ＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式是_________________________________________.13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析 观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，
等式右边分别是这几个数的和的平方，
因此可得第四个等式是13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.例2 如图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成.通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有___根；第n个图形中，火柴杆有_____根.答案解析命题角度2 图形中的归纳推理133n＋1解析 设an表示第n个图形中的火柴杆数，
易知a1＝4，a2＝4＋3＝7，a3＝7＋3＝10，a4＝10＋3＝13，…，
∴an＝3n＋1.图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系.
(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.5n＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，
从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.答案解析命题角度1 数列中的类比推理类型二 类比推理答案解析例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，
________，________， 成等比数列.解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，
因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：跟踪训练3 若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝
(n∈N*)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，
且cn>0，则有数列dn＝___________(n∈N*)也是等比数列.答案解析解析 数列{an}(n∈N*)是等差数列，类比猜想：若数列{cn}是各项均为正数的等比数列，例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.解答命题角度2 几何中的类比推理解 如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
设a，b，c分别表示3条边的长度，
由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，
图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：跟踪训练4 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.解答解 在长方形ABCD中，于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明如下：当堂训练1.由数列1,10,100,1 000，…，猜测该数列的第n项可能是________.答案23451解析 该数列可整理为100，101，102，103，….解析10n－12.我们知道：在平面内，点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝
，通过类比的方法，可求得在空间中，点(2,4,1)到直线x＋
2y＋2z＋3＝0的距离为___.23451解析答案523451可知在空间中，23451答案解析3.观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为
_________________________________________.(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析 从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，
其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，
右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，
则照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1).234514.按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________.23451答案解析40解析 图1中的点数为4＝1×4，
图2中的点数为8＝2×4，
图3中的点数为12＝3×4，
所以第10个图中的圆点的个数为10×4＝40.5.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.234511∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V1，V2，答案解析1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为本课结束课件31张PPT。2.1.2 演绎推理第2章 2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.理解演绎推理的意义.
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 演绎推理思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除.答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论.答案梳理 (1)含义：根据已有的事实和正确的结论(包括 、 、 等)，按照严格的逻辑法则得到 的推理过程.
(2)特点：①演绎的前提是 ，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.
②在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系.
③演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.定义公理定理新结论一般性原理三段论式推理是演绎推理的主要形式，常用的格式为：知识点二 三段论M－P(M是P)三段论中包含了3个命题，第一个命题称为 ，它提供了一个______的原理；第二个命题叫 ，它指出了一个特殊对象.这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题—— .在运用三段论推理时，常采用省略大前提或小前提的表达方式.对于复杂的论证，常采用一连串的三段论，并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.大前提一般性小前提结论题型探究例1 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；解答类型一 演绎推理与三段论解 平行四边形的对角线互相平分， (大前提)
菱形是平行四边形， (小前提)
菱形的对角线互相平分. (结论)(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；解 等腰三角形的两底角相等， (大前提)
∠A，∠B是等腰三角形的两底角， (小前提)
∠A＝∠B. (结论)解答(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.解 在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，
(大前提)
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)， (小前提)
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列. (结论)解答用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练1 (1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是_____.答案(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为
大前提：_______________________________________.
小前提：______________________.
结论：_______________________________.②一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线命题角度1 用三段论证明几何问题类型二 三段论的应用证明例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.证明 因为同位角相等，两直线平行， (大前提)
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， (小前提)
所以FD∥AE. (结论)
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， (大前提)
DE∥BA，且FD∥AE， (小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形. (结论)
因为平行四边形的对边相等， (大前提)
ED和AF为平行四边形AFDE的对边， (小前提)
所以ED＝AF. (结论)(1)用“三段论”证明命题的格式×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路；
②找出每一个结论得出的原因；
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.跟踪训练2 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明 证明 因为三角形的中位线平行于底边， (大前提)
点E、F分别是AB、AD的中点， (小前提)
所以EF∥BD. (结论)
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，
(大前提)
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD， (小前提)
所以EF∥平面BCD. (结论)例3 设函数f(x)＝ ，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R， (大前提)
因为f(x)的定义域为R， (小前提)
所以x2＋ax＋a≠0恒成立. (结论)
所以Δ＝a2－4a<0，
所以0
即当01)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.证明证明 方法一 (定义法)
任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，且a>1，所以 >1，
而－10，x2＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.
方法二 (导数法)又因为a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.当堂训练1.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数.以上推理________.
①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确.答案23451解析③解析 由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数.故小前提不正确，故填③.23451解析2.三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的.”中的小前提是________.解析 本题中①为大前提，③为小前提，②为结论.答案③3.若大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a∈R，结论：a2>0，那么这个演绎推理错在_______.(填“大前提”，“小前提”或“推理过程”)23451答案大前提解析解析 当a＝0时，a2＝0，因此大前提错误.4.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”写成三段论，则大前提：__________________________；小前提：_________________________；结论：___________________________________.23451答案函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数5.设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.23451证明证明 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，
那么方程有两个相异实根. (大前提)
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0， (小前提)
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根. (结论)1.演绎推理是一种由一般性命题推演出特殊性命题的推理方法.演绎推理的前提是一般性的原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中.在数学中，证明命题的正确性都是使用演绎推理，而合情推理一般不能用于命题的证明.
2.“三段论”是演绎推理的一般模式
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——据一般原理，对特殊情况作出的判断.
3.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.本课结束课件32张PPT。2.1.3 推理案例赏析第2章 2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用，特点以及两者之间的联系.
2.掌握合情推理和演绎推理研究某些数学问题的思路与方法，提高分析问题、探究问题的能力.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 合情推理与演绎推理的区别与联系根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程三段论由一般到特殊的推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确按照严格的逻辑法则推理，有利于培养和提高逻辑证明的能力题型探究解答类型一 归纳推理的应用引申探究
在例1基础上，数列{bn}满足bn＝an－ ，试求数列{bn}的最大项.解答故数列{bn}的最大项为a1＝1. 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.跟踪训练1 下列图形中线段有规则地排列，猜出第n个图形中线段的条数为________.解析 第1个图只有一条线段，第2个图比第1个图增加4条线段，即线段上的端点上各增加2条，第3个图比第2个图增加8条线段，第4个图比第3个图增加2×8＝24(条)线段，
则第n个图形中线段的条数为1＋22＋23＋24＋…＋2n＝ －1
＝2n＋1－3.答案解析2n＋1－3类型二 类比推理的应用例2 通过计算可得下列等式：
23－13＝3×12＋3×1＋1，
33－23＝3×22＋3×2＋1，
43－33＝3×32＋3×3＋1，
…，
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，
得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝ n(n＋1)(2n＋1).
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值.解答解 ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，
34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，
44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
…，
(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.
将以上各式两边分别相加，
得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n，∴13＋23＋…＋n3(1)首先，找准类比点，再将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移.
(2)类比推理所得结论不一定正确，在进行类比推理时，要抓住类比的“核心”.跟踪训练2 如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当 时，其离心率为 ，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可
推算出“黄金双曲线”的离心率e＝________.解析 由题意，得b2＋c2＋c2＝(c＋a)2，
即c2－ac－a2＝0，
所以e2－e－1＝0，
又e＞1，解得e＝ . 答案解析类型三 合情推理与演绎推理的综合应用解答证明：如图，设点C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.合情推理是提出猜想、提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想、判断猜想的正确性，通过合情推理得到的猜想缺少证明过程是不完整的，平时解题都是二者的结合.跟踪训练3 读下列不等式的证法，再解决后面的问题.解答证明：构造函数f(x)＝(x－m1)2＋(x－m2)2，因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，(1)若m1，m2，…，mn∈R，m1＋m2＋…＋mn＝1，请写出上述结论的推广式；解 已知m1，m2，…，mn∈R，且m1＋m2＋…＋mn＝1.(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明.解答解 构造函数f(x)＝(x－m1)2＋(x－m2)2＋…＋(x－mn)2，因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，当堂训练1.若“f′(x0)＝0，则x0是函数y＝f(x)的极值点，因为f(x)＝x3中，f′(x)＝3x2且f′(0)＝0，所以0是f(x)＝x3的极值点”.在此“三段论”中，其中________错误.答案23451解析大前提解析 f′(x0)＝0，x0不一定是f(x)的极值点，还需看x0附近左右导数符号是否异号.
∴大前提不正确.23451解析2.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数.因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，
故g(－x)＝－g(x).答案－g(x)3.对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是31，则m的值为_____.23451答案6解析解析 ∵23＝3＋5，是从3开始的2个奇数的和；
33＝7＋9＋11，是从5的下一个奇数7开始的3个奇数的和；…；
而31之前除了1以外的奇数有14个，又2＋3＋4＋5＝14，
∴63＝31＋33＋35＋37＋39＋41.
故m的值应为6.4.下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________.23451答案n2解析解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16.
猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.5.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想.23451解答把结论类比到四面体P－ABC中，
我们猜想，在三棱锥P－ABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.解 如图，在Rt△ABC中，1.归纳推理和类比推理是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.从推理形式和所得结论的正确性讲，演绎推理与合情推理存在差异，从数学发现与认识事物的过程发挥的作用看，合情推理与演绎推理是相辅相成、相互为用的，合情推理提出猜想、发现结论，为演绎推理确定了目标和方向.演绎推理不仅为合情推理提供了前提，而且对合情推理的结果进行“判决”和证明.两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向前发展.本课结束课件32张PPT。2.2.1 直接证明第2章 2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.答案 利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论.答案梳理 (1)综合法的定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.知识点二 分析法可用下面的方法进行.只需证明6＜7，显然6＜7成立，思考 上述证明过程从哪里开始？证明思路是什么？答案 从结论开始，逐步寻求结论成立的充分条件，它的思维特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，执果索因.答案梳理 (1)分析法的定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法.题型探究例1 已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.证明类型一 综合法证明 ∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，
∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，
即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
又∵a，b，c互不相等，
∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.命题角度1 用综合法证明不等式用综合法证明不等式时常用的结论证明又a，b，c为不全相等的正实数，且上述三式等号不能同时成立，例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β).证明证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)
＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.
所以原等式成立.命题角度2 用综合法证明等式证明三角恒等式的主要依据
(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式.
(2)和、差、倍角的三角函数公式.
(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理.
(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.证明证明 在△ABC中，由正弦定理及已知，得于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.因为－π从而B－C＝0，所以B＝C.类型二 分析法证明分析法的应用范围及方法证明 只需证0<2，而0<2显然成立，证明 要证tan Atan B>1，证明(2)在锐角△ABC中，求证：tan Atan B>1.∵A，B均为锐角，∴cos A>0，cos B>0.
即证sin Asin B>cos Acos B，
即cos Acos B－sin Asin B<0，
只需证cos(A＋B)<0.
∵△ABC为锐角三角形，∴90°∴cos(A＋B)<0，因此tan Atan B>1.当堂训练1.设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex (x<0)，则a与b的大小关系为________.答案23451解析a＞b解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
b＝exb.23451解析答案c3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a、b、c应满足的条件为______________.23451答案b2＋c2＜a2解析23451答案<23451证明∵x，y是正实数，且x＋y＝1，∴y＝1－x，即证(1＋x)(1－x＋1)≥9x(1－x)，
即证2＋x－x2≥9x－9x2，
即证4x2－4x＋1≥0，
即证(2x－1)2≥0，此式显然成立.
∴原不等式成立.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.本课结束课件32张PPT。2.2.2 间接证明第2章 2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”思考 王戎的论述运用了什么论证方法？答案 实质运用反证法的思想.答案知识点 间接证明梳理 (1)间接证明
①定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.
②常用方法：反证法.
(2)反证法
①基本过程：反证法证明时，要从 开始，经过 ，导致 ，从而达到 (即肯定原命题).否定结论正确推理逻辑矛盾新的否定②证题步骤：反设——假设 不成立，即假定原结论的反面为真；
归谬——从 和 出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
存真——由 ，断定 不真，从而肯定原结论成立. 命题的结论反设已知条件矛盾结果反设题型探究例1 设{an}是公比为q的等比数列，q≠1，证明：数列{an＋1}不是等比数列.证明类型一 用反证法证明否定性命题证明 假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾.
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列.(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
(2)用反证法证明数学命题的步骤证明∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac， ②∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立.类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题证明例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明 假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，
所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.即3>3，矛盾.
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明引申探究
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于 .证明 假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于 .∵a，b，c都是小于1的正数，
∴1－a,1－b,1－c都是正数.用反证法证题时，如果要证明的命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.证明 跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和，得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.类型三 用反证法证明唯一性命题证明例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根.
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 ＝3, ＝3，两式相除得 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立，从而原命题得证.用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.跟踪训练3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，
设α、β为其中的两个实根.因为α≠β ，不妨设α<β，
又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，
所以f(α)这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，
所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.当堂训练1.“a＜b”的反面应是___________.答案23451a＝b或a＞b23451答案2.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设_______________.至少有两个钝角23451答案解析③①都大于2；②都不小于2；③至少有一个不小于2；④至少有一个不大于2.解析 假设三个数都小于2，23451答案4.用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________________________.a，b，c中至少有一个偶数解析解析 a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”.23451证明∴方程2x＝3至少有一个实根.
设x1，x2是方程2x＝3的两个不同实根，5.证明：方程2x＝3有且仅有一个实根.由①－②得，2(x1－x2)＝0，
∴x1＝x2，
这与x1≠x2矛盾.
∴方程2x＝3有且仅有一个实根成立.1.反证法证明的3个步骤
(1) 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
(2) 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
(3) 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.
2.反证法与逆否命题区别
反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题.反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾.因此，反证法与证明逆否命题是不同的.本课结束课件37张PPT。章末复习课第2章 推理与证明学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳、类比进行简单的推理.
2.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法，并会利用分析法和综合法证明简单的问题.
3.了解反证法的思想，并能灵活应用.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理
①定义：从个别事实中推演出 的结论的推理称为归纳推理.归纳推理的思维过程大致是： → → .
②特点：由 到整体、由 到一般的推理.
(2)类比推理
①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程为： → → .
②特点：类比推理是由 到 的推理.一般性实验、观察概括、推广猜测一般性结论部分个别观察、比较联想、类推猜测新的结论特殊特殊(3)合情推理
合情推理是根据 、 、 ，以及个人的 和直觉等推测某些结果的推理过程. 和 都是数学活动中常用的合情推理.
2.演绎推理
(1)演绎推理
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法叫演绎推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.已有的事实正确的结论实验和实践的结果经验归纳推理类比推理一般特殊(2)“三段论”是演绎推理的一般模式
①大前提——已知的 ；
②小前提——所研究的 ；
③结论——根据一般原理，对 作出的判断.
3.直接证明
(1)综合法
①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法.③思维过程：由因导果.一般原理特殊情况特殊情况(2)分析法
①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止，这种证明方法常称为分析法.③思维过程：执果索因.
4.间接证明
用反证法来证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).题型探究例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f(n)(n∈N*)与组的编号数n的关系式为________.类型一 合情推理的应用解析 由于1＝13 ,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，
猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.f(n)＝n3答案解析解答(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体下面对①的猜想进行证明.
如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，面ABC，面ABD，面ACD为三个两两垂直的侧面.设AB＝a，AC＝b，AD＝c，即所证猜想为真命题.(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有
____________个小正方形.答案解析解析 第1个图有3个正方形记作a1，
第2个图有3＋3个正方形记作a2，
第3个图有6＋4个正方形记作a3，
第4个图有10＋5个正方形记作a4，
…，
正方形的个数构成数列{an}，
则a2－a1＝3， (1)
a3－a2＝4, (2)
a4－a3＝5, (3)
? ?
an－an－1＝n＋1， (n－1)(1)＋(2)＋…＋(n－1)，得an－a1＝3＋4＋5＋…＋(n＋1)，(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________________________
.答案 数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1类型二 综合法与分析法证明证明 方法一 (综合法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，方法二 (分析法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以原不等式成立.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.跟踪训练2 已知x>0，y>0，求证：(x2＋y2) >(x3＋y3) . 证明证明 要证明(x2＋y2) >(x3＋y3) ，
只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2.
只需证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，
只需证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.
又x>0，y>0，∴x2y2>0，
∴只需证3x2＋3y2>2xy.
∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy，
∴3x2＋3y2>2xy成立，
故(x2＋y2) >(x3＋y3) .类型三 反证法证明因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根.证明证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，
而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，
即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，
故原命题成立.当堂训练1.A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎，则_____必定是在撒谎.答案23451解析C解析 假设C没有撒谎，则C真，此时A假并且B假.
由于A假，则可知B真，这与B假矛盾，
所以假设是错误的，C没有撒谎不成立，则C一定撒谎.23451解析答案4解析 ∵a>b>c，
∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，
且a－c＝a－b＋b－c.故k的最大正整数为4.3.已知在△ABC中，AD⊥BC于D，三边是a，b，c，则有a＝ccos B＋bcos C.类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：在四面体P－ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角P－AB－C，P－BC－A，P－AC－B的度数分别是α，β，γ，则S＝________________________.23451答案S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ4.如图，这是一个正六边形的序列：23451则第n个图形的边数为________.答案5n＋1解析解析 图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，
则图(n)的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.23451证明证明 因为a⊥b，所以a·b＝0，平方得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|≤2(|a|2＋|b|2)，
只需证|a|2＋|b|2－2|a|·|b|≥0成立.
即只需证(|a|－|b|)2≥0，它显然成立.
故原不等式得证.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.本课结束