课件35张PPT。3.1 数系的扩充第3章 数系的扩充与复数的引入学习目标
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数.答案知识点一 复数的概念及代数形式梳理 (1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 .a叫做复数的实部，b叫做复数的 .
②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式.
(2)复数集
①定义： 所组成的集合叫做复数集.
②表示：通常用大写字母 表示.虚数单位虚部全体复数zz＝a＋biC思考 由4>2能否推出4＋i>2＋i?答案 不能.当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.答案知识点二 两个复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是 .a＝c且b＝d梳理 1.复数(a＋bi，a，b∈R)知识点三 复数的分类2.集合表示：题型探究例1 已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________.类型一 复数的概念答案解析(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.跟踪训练1 下列命题：
①1＋i2＝0；
②若a∈R，则(a＋1)i为纯虚数；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小.
是真命题的为________.(填序号)答案解析①④解析 ②当a＝－1时，(a＋1)i＝0，所以②错；
③当x＝i，y＝1时，x2＋y2＝0，所以③错.
所以①④正确.类型二 复数的分类解答例2 求当实数m为何值时，z＝ ＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)虚数；解 复数z是虚数的充要条件是∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数.解答(2)纯虚数.解 复数z是纯虚数的充要条件是∴当m＝3时，复数z是纯虚数.解答引申探究
1.若本例条件不变，m为何值时，z为实数.∴当m＝－2时，复数z是实数.2.已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝ ＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数.解得m＝3或－2.3或－2答案解析利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.解答 跟踪训练2 实数m为何值时，复数z＝ ＋(m2＋2m－3)i分别是：(1)实数；即m－1≠0，解得m＝－3.解答 (2)虚数；即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.(3)纯虚数.且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.类型三 复数相等例3 (1)已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则
m的值(或取值范围)是________.答案解析解答 (2)已知xi＋2y－3x－yi＝1－i，求实数x，y的值.解 ∵xi＋2y－3x－yi＝1－i，
∴2y－3x＋(x－y)i＝1－i，解得x＝1，y＝2.两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.解答解 ∵M∪P＝P，∴M?P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.当堂训练答案234512解析23451答案2－2i∴所求的复数z＝2－2i.解析23451答案解析3.若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝_______.解析 由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，2＋i∴x＋yi＝2＋i.23451答案4.已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
⑤若当a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是____.0解析23451解析 根据复数的有关概念判断命题的真假.
①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数；
②是假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0；解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数；④是假命题，因为没有强调a，b∈R；
⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立.23451解答5.已知复数z＝ ＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；∴当a＝6时，z为实数.23451解答(2)虚数；∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数.23451解答(3)纯虚数.∴不存在实数a使z为纯虚数.1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.
2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.本课结束课件33张PPT。3.2 复数的四则运算(一)第3章 数系的扩充与复数的引入学习目标
1.掌握复数代数形式的加减运算.
2.理解复数乘法运算法则，并能进行复数的乘法运算.
3.理解共轭复数的概念并能灵活运用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.答案知识点一 复数的加减法已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？答案 满足.梳理 (1)复数的加法、减法法则
①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数).
②加法法则：z1＋z2＝ ，
减法法则：z1－z2＝ .
(2)运算律
①交换律：z1＋z2＝ .
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ .(a＋c)＋(b＋d)iz2＋z1(a－c)＋(b－d)iz1＋(z2＋z3)思考 如何规定两个复数相乘？答案 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并.答案知识点二 复数的乘法(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ .
(2)乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有梳理 (ac－bd)＋(ad＋bc)iz2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3知识点三 共轭复数思考 复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积.答案 两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为实数.答案(1)定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数是 ＝ .
(2)关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数? .
(3)当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝ ，也就是说实数的共轭复数仍是它本身.梳理 a－bia＝c且b＝－d题型探究例1 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.类型一 复数的加减法运算解答解 z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.引申探究
若本例中z＝1，求z1，z2.解答解 结合本例知，
z＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝1，(1)复数的加减法可以推广到多个复数连续加减.
(2)把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项.跟踪训练1 (1)计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i).解答解 原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 011－2 012) i
＝1 006－1 007i.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.解 由z＋1－3i＝5－2i，得
z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.类型二 复数的乘法运算例2 (1)若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝________.解析 ∵(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(m3＋1)i，
又∵(m2＋i)(1＋mi)是实数，
∴m3＋1＝0，则m＝－1.－1答案解析(2)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝____.解析 ∵a＋bi＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，
∴a＝1，b＝3.
∴a＋b＝4.4答案解析(1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简.
(2)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算.混合运算的顺序与实数的运算顺序一样.跟踪训练2 (1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，则复数(z1－z2)i的实部与虚部分别为________.解析 由题意得，z1－z2＝－2－i，
则(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i，
∴(z1－z2)i的实部是1，虚部是－2.1，－2答案解析答案解析类型三 共轭复数例3 复数z满足z· ＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数.解答∴x2＋y2＋2i(x＋yi)＝4＋2i，
因此(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴z＝1＋3i或z＝1－i.(1)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决问题的关键.
(2)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋bi，则 ·z＝a2＋b2；②z∈R?z＝ .跟踪训练3 若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋( －2)i＝2 －(1＋z)i”，试求复数z.解答解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝a－bi.∴3(a＋bi)＋(a－2－bi)i＝2(a－bi)－(1＋a＋bi)i，
∴3a＋b＋(3b＋a－2)i＝2a＋b－(2b＋a＋1)i，当堂训练答案23451解析1.若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝_________.解析 z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i.4＋2i23451答案解析－i23451答案解析3.设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝____________.解析 ∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，
由复数相等定义，得x＝2，且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.－1＋10i23451答案4.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝_____.-1解析解析 ∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，23451解答5.计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；解 原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i.(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i).解 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i.1.复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形.
2.复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数.3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R? ＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据.本课结束课件32张PPT。3.2 复数的四则运算(二)第3章 数系的扩充与复数的引入学习目标
1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解复数的乘方及正整数指数幂的运算律在复数范围内的应用.
2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.
3.了解i幂的周期性.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测in(n∈N*)的值有什么规律吗？答案 i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，
推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*).答案知识点一 复数的乘方与in(n∈N*)的周期性梳理 (1)复数范围内正整数指数幂的运算性质
对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝ ，(z1z2)n＝
.
(2)虚数单位in(n∈N*)的周期性
i4n＝ ，i4n＋1＝ ，i4n＋2＝ ，i4n＋3＝ .zmn－11－ii思考 如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？答案 通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成 的形式再把分子与分母都乘c－di，化简后可得结果.答案知识点二 复数的除法梳理 题型探究例1 计算下列各式的值.
(1)1＋i＋i2＋…＋i2 017；类型一 i的运算性质解答∴原式＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007
＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i3－21 007i3＝0.解答(1)虚数单位i的性质
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*).
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).
(2)复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i等一些重要结论简化运算.跟踪训练1 计算下列各式：解答＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.解答＝23×1＋23×1＝16.类型二 复数的除法解答(2)若az＋b＝1－i，求实数a与b的值.解 a(1＋i)＋b＝1－i，即a＋b＋ai＝1－i，解答(1)这类问题求解的关键在于“分母实数化”，类似于根式除法的分母“有理化”.
(2)复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式.－1答案解析答案解析2＋i∴复数z＝2＋i.类型三 复数四则运算的综合应用例3 计算下列各式：解答解答(1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减.
(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；解答∵a是纯虚数，设a＝mi(m∈R，且m≠0)，则∴a＝4i.当堂训练答案23411－3i解析2341答案解析－6－5i2341答案解析2341答案4.设z1＝i＋i2＋i3＋…＋i11，z2＝i1·i2…i12，则z1·z2＝_____.1解析解析 z1＝(i＋i2＋i3＋i4＋…＋i8)＋(i9＋i10＋i11)＝0－1＝－1.
z2＝i1＋2＋…＋12＝i78＝－1，
∴z1z2＝1.1.熟练掌握乘除法运算规则.求解运算时要灵活运用in的周期性.此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立.2.在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答.在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，
＝－i， ＝i，－b＋ai＝i(a＋bi).利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错.
3.在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现如“i2＝1”，“i4＝－1”.本课结束课件42张PPT。3.3 复数的几何意义第3章 数系的扩充与复数的引入学习目标
1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.
2.了解复数的加减运算的几何意义.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.答案知识点一 复数的几何意义梳理 (1)复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 .
(2)复数的几何意义复平面实轴虚轴知识点二 复数的模及意义3.几何意义：复数z对应点Z到原点O的距离.知识点三 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设 分别与复数a＋bi，c＋di对应，答案所以 与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行.思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答案 z1－z2可以看作z1＋(－z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图).
图中 对应复数z1， 对应复数z2，
则 对应复数z1－z2.答案梳理 z1＋z2z1－z2题型探究例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的值或取值范围.类型一 复数与复平面内点的对应解答解 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意，得m2－m－2＝0.
解得m＝2或m＝－1.∴－1
(3)由已知，得m2－m－2＝m2－3m＋2，
故m＝2.引申探究
本例中若复数z对应的点在虚轴的正半轴上，求实数m的值.解答即m＝－1.按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.跟踪训练1 设复数z＝ (m∈R)在复平面内对应的点为Z.
(1)若点Z在虚轴上，求m的值；解答∵点Z在虚轴上，解答解 点Z位于第一象限，则m＋2>0且1－2m>0，(2)若点Z位于第一象限，求m的取值范围.类型二 复数的模及其几何意义解答解 由复数模的定义可知，(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则1≤|z|≤2.
∴1≤x2＋y2≤4.
∵x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，
x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合，
∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2
为半径的圆所夹的圆环，如图所示.解答(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量 的模，复数的模可以比较大小.
(2)复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解.解答跟踪训练2 (1)已知0由复数的几何意义，解答解 根据复数加减法的几何意义，∴∠AOC＝30°.
同理得∠BOC＝30°，∴|z1－z2|＝1.解答则△AOB为等边三角形，∴∠AOC＝30°，
取AB与OC的交点为D，(1)技巧：
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点.
①四边形OACB为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.答案解析答案解析(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________.(－∞，1)解析 z2－z1＝1＋(a－1)i，
由题意知，a－1<0，即a<1.当堂训练答案2341－1解析1.若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.解析 z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，
由题意得a＋1＝0，则a＝－1.52341答案解析2.已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.52341答案解析3＋i52341答案4.设i是虚数单位，则复数 在复平面内所对应的点位于第________象限.二解析故其对应的点为(－1,1)，其位于第二象限.52341解答5.已知i是虚数单位，且复数z满足(z－3)(2－i)＝5.
(1)求z及|z－2＋3i|；解 ∵(z－3)(2－i)＝5，＝(2＋i)＋3＝5＋i.5解答(2)若z·(a＋i)是纯虚数，求实数a的值.解 由(1)可知，z＝5＋i，
∴z·(a＋i)＝(5＋i)(a＋i)＝(5a－1)＋(a＋5)i.
又∵z·(a＋i)是纯虚数，∴5a－1＝0且a＋5≠0，234151.复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决.复数几何意义的应用，关键是抓住复数与点的一一对应.2.复数的模(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.本课结束课件33张PPT。章末复习课第3章 数系的扩充与复数的引入学习目标
1.掌握复数的代数表示形式及其有关概念.
2.掌握复数的四则运算.
3.理解复数的几何意义.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做 ，b叫做 .
(i为虚数单位)
(2)分类：实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R).a＝c且b＝da＝c，b＝－d|a＋bi||z|2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点 及平面向量 ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.Z(a，b)(a±c)＋(b±d)i(ac－bd)＋(bc＋ad)i(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即 题型探究例1 已知复数z＝a2－a－6＋ i，分别求出满足下列条件的实数a的值：(1)z是实数；类型一 复数的概念解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.解答(2)z是虚数；解 由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.解答(3)z是0.解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.引申探究
例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.解 由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数.解答(1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；解 因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，解答解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.(2)z为虚数.解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，解答类型二 复数的运算解答解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.∴a＝－1，即z＝－1＋3i.解答复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.解答解 z1＝z2(2＋i)，
(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，所以z2(5＋5i)＝±50，类型三 数形结合思想的应用一答案解析根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论.跟踪训练3 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝
－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设 对应的复数为z.
(1)求复数z；解答解 由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1－2sin2θ·i.(2)若复数z对应的点P在直线y＝ x上，求θ的值.解答解 由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).当堂训练1.若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是____.答案23451解析123451解析答案1－2i解析 设z＝a＋bi(a，b是实数)，即2a＋2bi＋a－bi＝3－2i，
∴3a＝3，b＝－2，
解得a＝1，b＝－2，
∴z＝1－2i.3.计算(5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝________.23451答案－10i解析解析 (5－5i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋(－5－1－4)i＝－10i.4.已知x，y∈R，i为虚数单位，(x－2)i＋3－y＝－1＋i，则x－y－(x＋y)i＝__________.23451答案－1－3i解析23451解答23451可设z＝x－2i，可得x＝2.
因为复数(z＋ai)2＝(2－2i＋ai)2
＝－a2＋4a＋4(a－2)i，
因为复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，23451即2所以实数a的取值范围为(2,4).1.准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.
2.复数四则运算要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.
3.复数几何意义在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.本课结束