3.1 数系的扩充
学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．21世纪教育网版权所有
知识点一 复数的概念及代数表示
思考1 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
思考2 若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
1．复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做______________，满足i2＝________.全体复数所组成的集合叫做__________，记作C.21cnjy.com
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的____________，a与b分别叫做复数z的________与________．www.21-cn-jy.com
知识点二 复数的分类
思考1 复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？
思考2 实数集R和复数集C有怎样的关系？
1．复数a＋bi(a，b∈R)
2．集合表示：
知识点三 复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是________________．2·1·c·n·j·y
类型一 复数的基本概念
例1 下列命题中，正确命题的个数是________．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
⑤－1没有平方根．
反思与感悟 (1)正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的真假性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的真假性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)复数的实部与虚部的确定方法
首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．
跟踪训练1 若复数z＝3＋bi>0(b∈R)，则b的值是________．
类型二 复数的分类
例2 实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 把例2中的“z”换成“z＝lg m＋(m－1)i”，分别求相应问题．
类型三 复数相等
例3 已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求实数m的值．【来源：21·世纪·教育·网】
反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．21·世纪*教育网
跟踪训练3 已知＝(x2－2x－3)i(x∈R)，求x的值．
1．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为________．
2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是____________．
3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝__________.
4．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是________．www-2-1-cnjy-com
5．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 没有．
思考2 有解，但不在实数范围内．
1．虚数单位 －1 复数集
2．代数形式 实部 虚部
知识点二
思考1 b＝0.
思考2 R?C.
1．实数 虚数
知识点三
a＝c且b＝d
题型探究
例1 0
解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．21教育网
②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③是假命题．
④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④是假命题．
⑤－1的平方根为±i，所以⑤是假命题．
跟踪训练1 0
解析 只有实数才可比较大小，既然有z＝3＋bi>0，则说明z＝3＋bi是实数，故b＝0.
例2 解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，
解得m＝0或m＝－2.
跟踪训练2 解 (1)当即m＝1时，复数z是实数．
(2)当m－1≠0且m>0时，即m>0且m≠1时，复数z是虚数．
(3)当lg m＝0且m－1≠0时，此时无解，即无论实数m取何值均不能表示纯虚数．
例3 解 由题设知3∈M，
∴(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3.
根据复数相等的定义，
∴∴
∴m＝－1.
跟踪训练3 解 ∵x∈R，∴∈R，
由复数相等的条件得：
解得x＝3.
达标检测
1．2
解析 i，(1－)i是纯虚数，2＋，0,0.618是实数，8＋5i是虚数．
2．2－2i
解析 2i－的虚部为2，i＋2i2的实部为－2，
∴所求的复数z＝2－2i.
3．2＋i
解析 由i2＝－1得xi－i2＝1＋xi，即1＋xi＝y＋2i，根据两个复数相等的充要条件得∴x＋yi＝2＋i.21·cn·jy·com
4．③
解析 当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．
5．解 (1)当z为实数时，则
∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有
∴即a≠±1且a≠6.
∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
3.2 复数的四则运算（一）
学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.理解共轭复数的概念及应用．21世纪教育网版权所有
知识点一 复数的加减法
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
思考1 多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
思考2 复数的加法满足交换律和结合律吗？
1．复数的加法、减法法则
(1)条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)．
(2)加法法则：z1＋z2＝__________________，
减法法则：z1－z2＝__________________.
2．运算律
(1)交换律：z1＋z2＝____________.
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝________________.
知识点二 复数的乘法
思考 如何规定两个复数相乘？
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________________.
2．乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝__________
结合律
(z1z2)z3＝__________
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝____________
知识点三 共轭复数
思考 复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积．
1．定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数是＝____________.21教育网
2．关系：若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1，z2互为共轭复数?________________
3．当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说实数的共轭复数仍是它本身．
类型一 复数的加减法运算
例1 已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2且z＝13－2i，求z1，z2.21·cn·jy·com
反思与感悟 (1)复数的加减法可以推广到多个复数连续加减．
(2)把i看成一个字母，复数的加减法可以类比多项式的合并同类项．
跟踪训练1 (1)计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)．
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
类型二 复数的乘法运算
例2 (1)若复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝________.
(2)若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.
反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．第(2)题利用复数相等条件求a，b.
(2)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2 (1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，则复数(z1－z2)i的实部与虚部分别为________．21·世纪*教育网
(2)(－＋i)(＋i)(1＋i)＝________.
类型三 共轭复数
例3 复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数．
反思与感悟 (1)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键．
(2)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋bi，则·z＝a2＋b2，②z∈R?z＝.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3 若把例题中复数z满足的条件改为“3z＋(－2)i＝2－(1＋z)i”，试求复数z.
1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝____________.
2．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z·－z－1＝________.
3．设复数z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，若z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝____________.
4．计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)．
1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．21cnjy.com
2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．www-2-1-cnjy-com
3．理解共轭复数的性质：
(1)z∈R?＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2-1-c-n-j-y
思考2 满足．
1．(2)(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i
2．(1)z2＋z1 (2)z1＋(z2＋z3)
知识点二
思考 类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．21*cnjy*com
1．(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3
知识点三
思考 两复数实部相等，虚部互为相反数；z1·z2＝a2＋b2，积为实数．
1．a－bi
2．a＝c且b＝－d.
题型探究
例1 解 z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
跟踪训练1 解 (1)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 009－2 010＋2 011)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 011－2 012)i＝1 006－1 007i.2·1·c·n·j·y
(2)由z＋1－3i＝5－2i，得
z＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i＝4＋i.
例2 (1)－1 (2)4
解析 (1)∵(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(m3＋1)i，
又∵(m2＋1)(1＋mi)是实数，
∴m3＋1＝0，则m＝－1.
(2)∵a＋bi＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i，
∴a＝1，b＝3.
∴a＋b＝4.
跟踪训练2 (1)1，－2 (2)－＋i
解析 (1)由题意得，z1－z2＝－2－i，
则(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i，
∴(z1－z2)i的实部是1，虚部是－2.
(2)原式＝[(－－)＋(－)i](1＋i)
＝(－＋i)(1＋i)
＝(－－)＋(－)i
＝－＋i.
例3 解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
∵z·＋2iz＝4＋2i，
∴x2＋y2＋2i(x＋yi)＝4＋2i，
因此(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
得
∴或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
因此z的共轭复数＝1－3i或＝1＋i.
跟踪训练3 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
∵3z＋(－2)i＝2－(1＋z)i，
∴3(a＋bi)＋(a－2－bi)i＝2(a－bi)－(1＋a＋bi)i，
∴3a＋b＋(3b＋a－2)i＝2a＋b－(2b＋a＋1)i，
∴
解得a＝0且b＝，故所求的复数z＝.
达标检测
1．4＋2i
解析 z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i.
2．－i
解析 ∵z＝1＋i，∴＝1－i，
∴z·＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.
3．－1＋10i
解析 ∵z1＋z2＝x＋2i＋(3－yi)＝(x＋3)＋(2－y)i，
∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i(x，y∈R)，
由复数相等定义，得x＝2，且y＝8，
∴z1－z2＝2＋2i－(3－8i)＝－1＋10i.
4．解 (1)原式＝1－i2＋(－1)＋i＝1＋i.
(2)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i.
3.2 复数的四则运算（二）
学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解复数的乘方，正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解i幂的周期性．
知识点一 复数的乘方与in(n∈N*)的周期性
思考 计算i5，i6，i7，i8的值，你能推测in(n∈N*)的值有什么规律吗？
1．复数范围内正整数指数幂的运算性质
对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N*，有zmzn＝zm＋n，(zm)n＝________，(z1z2)n＝zz.
2．虚数单位in(n∈N*)的周期性
i4n＝__________，i4n＋1＝__________，i4n＋2＝__________，i4n＋3＝__________.
知识点二 复数的除法
思考 如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商．且x＋yi＝＝＋i.21世纪教育网版权所有
类型一 i的运算性质
例1 计算下列各式的值．
(1)1＋i＋i2＋…＋i2 017.(2)(1－)2 014＋(1－i)2 014.(3)(－＋i)3.21教育网
反思与感悟 (1)虚数单位i的性质：
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．
②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(2)复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i等一些重要结论简化运算．21cnjy.com
(3)设ω＝－＋i，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝.
跟踪训练1 计算下列各式：
(1)i2 006＋(＋i)8－()50.
(2)(－1－i)3＋(－1＋i)3.
类型二 复数的除法
例2 (1)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝__________.
(2)复数z＝的共轭复数是____________．
反思与感悟 (1)这类问题求解的关键在于“分母实数化”类似于根式除法的分母“有理化”．
(2)复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式．
跟踪训练2 (1)设i是虚数单位，则＝________.
(2)复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，则z＝________.
类型三 复数四则运算的综合应用
例3 计算下列各式：
(1)＋(5＋i2)－()2；
(2).
反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．
(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．
①＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；
②记住一些简单结论如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等．
跟踪训练3 复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
1．设i为虚数单位，则复数＝____________.
2.＋＝______________.
3．如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实数b＝________.
4．设z1＝i＋i2＋i3＋…＋i11，z2＝i1·i2…i12，则z1·z2＝________.
5．计算：(1)若＝－i，求实数a的值；
(2)若复数z＝，求＋3i.
1．熟练掌握乘除法运算规则．求解运算时要灵活运用in的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．21·cn·jy·com
2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i，＝i，－b＋ai＝i(a＋bi)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．
3．在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现如“i2＝1”，“i4＝－1”．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 i5＝i，i6＝－1，i7＝－i，i8＝1，推测i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．
1．zmn
2．1 i －1 －i
知识点二
思考 通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式再把分子与分母都乘c－di，化简后可得结果．
题型探究
例1 解 (1)原式＝＝＝1＋i.
(2)1－＝1＋＝1＋i且(1±i)2＝±2i.
∴原式＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007
＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i3－21 007i3＝0.
(3)(－＋i)3＝(－＋i)2(－＋i)
＝(－－i)(－＋i)＝1.
跟踪训练1 解 (1)i2 006＋(＋i)8－()50
＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[]25
＝i2＋(4i)4－i25＝－1＋256－i＝255－i.
(2)原式＝23(－－i)3＋23(－＋i)3
＝23×1＋23×1＝16.
例2 (1)1＋i (2)－1－i
解析 (1)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i.
(2)∵z＝＝＝＝－1＋i，
∴z的共轭复数＝－1－i.
跟踪训练2 (1)－1 (2)2＋i
解析 (1)∵＝＝＝－i，
∴＝i3(－i)＝－i4＝－1.
(2)∵＝＝＝＝2－i，
∴复数z＝2＋i.
例3 解 (1)＋(5＋i2)－()2
＝＋(5－1)－＝i＋4－i＝4.
(2)原式＝＝
＝＝·(2i)2·i＝－4i.
跟踪训练3 解 ＝
＝＝＝1－i.
∵a是纯虚数，设a＝mi(m∈R，且m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋
＝－2i＋＝－2i＋
＝－＋(－2)i<0，
∴得m＝4，
∴a＝4i.
达标检测
1．－6－5i
解析 ＝＝－(5i－6i2)＝－(5i＋6)＝－6－5i.
2.＋i
解析 原式＝＋
＝＋＝＋i＝＋i.
3．－
解析 ＝＝＝－i.由题意知，2－2b＝4＋b，得b＝－.
4．1
解析 z1＝(i＋i2＋i3＋i4＋…＋i8)＋(i9＋i10＋i11)＝0－1＝－1.
z2＝i1＋2＋…＋12＝i78＝－1，∴z1z2＝1.
5．解 (1)依题意，得2＋ai＝－i(1＋i)＝2－i，
∴a＝－.
(2)∵z＝＝
＝i(1＋i)＝－1＋i，
∴＝－1－i，
∴＋3i＝－1＋2i.
3.3 复数的几何意义
学习目标 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．【出处：21教育名师】
知识点一 复数的几何意义
思考1 复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序数对(a，b)有怎样的对应关系？
思考2 有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
思考3 复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？
思考4 复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)、向量三者有何关系？
1．复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做__________，x轴叫做________，y轴叫做________．21教育名师原创作品
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)向量.
知识点二 复数的模及意义
1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记为|z|.
2．公式：|z|＝.
3．几何意义：复数z对应点Z到原点O的距离．
知识点三 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
思考3 类比绝对值|x－x0|的几何意义，说明|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义．
1.如图所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线，以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2.则向量与复数__________________相对应；向量与复数________________相对应．
2．|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
类型一 复数与复平面内点的对应
例1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．21教育网
反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．www.21-cn-jy.com
跟踪训练1 设复数z＝(m∈R)在复平面内对应的点为Z.
(1)若点Z在虚轴上，求m的值；
(2)若点Z位于第一象限，求m的取值范围．
类型二 复数的模及其几何意义
例2 已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小；
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？
反思与感悟 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量的模，复数的模可以比较大小．
(2)复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解．21世纪教育网版权所有
跟踪训练2 (1)已知0
(2)若|z|的取值范围是(1)中所求，则复数z对应的点Z的集合是什么图形．
类型三 复数加减法的几何意义
例3 在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．2·1·c·n·j·y
反思与感悟 (1)根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则．21·cn·jy·com
(2)复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可靠．
跟踪训练3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
1．设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
2．复数z＝－1在复平面内，则z所对应的点在第________象限．
3．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是____________．
4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决．复数几何意义的应用，关键是抓住复数与点的一一对应．【来源：21·世纪·教育·网】
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．21·世纪*教育网
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 一一对应．
思考2 一一对应．
思考3 能一一对应．
思考4 复数z＝a＋bi可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，也可以用向量来表示，三者的关系是一一对应的．www-2-1-cnjy-com
1．复平面 实轴 虚轴
知识点三
思考1
如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有＝(a，b)，＝(c，d)，由向量加法的几何意义＋＝(a＋c，b＋d)，所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．21cnjy.com
思考2
z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行，所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.2-1-c-n-j-y
思考3 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
1．z1＋z2 z1－z2
题型探究
例1 解 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.
解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得
∴
∴－1(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，
故m＝2.
跟踪训练1 解 z＝＝＝＋i，
(1)∵点Z在虚轴上，
∴＝0，则m＝－2.
(2)点Z位于第一象限，则m＋2>0且1－2m>0，
解得－2例2 解 (1)由复数模的定义：
|z1|＝|－i|＝2，|z2|＝|－＋i|＝1.
∴|z1|>|z2|.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则1≤|z|≤2.
∴1≤x2＋y2≤4.
因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合．21*cnjy*com
∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示．
跟踪训练2 解 (1)由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可得|z|＝.
因为0故1<|z|＝<.
(2)由(1)知1<|z|<，易得满足条件1<|z|<的点Z的集合是以原点为圆心、分别以1和为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图：【来源：21cnj*y.co*m】
例3 解 由复数加减法几何意义：
对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1，根据向量的平行四边形法则，得＝＋.【版权所有：21教育】
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|
＝|6＋2i|＝2.
跟踪训练3 解 方法一 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.②
由①②得2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
方法二 设O为坐标原点，
z1、z2、z1＋z2在复平面内对应的点分别为A、B、C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝＝.
达标检测
1．5
解析 z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
2．二
解析 ∵z＝－1＝i－1，
∴复数z对应的点为(－1,1)在第二象限．
3．－6－8i
解析 因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.
4．9
解析 ∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，
∴m－3＝2，解得m＝9.
第3章 数系的扩充与复数的引入
学习目标 1.掌握复数的代数表示形式及其有关概念.2.掌握复数的模的概念及其计算公式，会用复数模的几何意义解题.3.理解复数加减法的几何意义，并能进行复数的加减乘除运算．21教育网
知识点一 复数的有关概念
1．定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做________，b叫做________．(i为虚数单位)21cnjy.com
2．分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数?________
a＋bi为虚数?________
a＋bi为纯虚数?________________
3.复数相等：a＋bi＝c＋di?______________________(a，b，c，d∈R)．
4．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?________________(a，b，c，d∈R)．
5．模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作______________或________，即|z|＝|a＋bi|＝______________(a，b∈R)．www.21-cn-jy.com
知识点二 复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点____________及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．【来源：21·世纪·教育·网】
知识点三 复数的运算
1．运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
2．几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝__________________，＝________________.21·世纪*教育网
类型一 分类讨论思想的应用
例1 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
反思与感悟 往往以复数分类为载体考查分类讨论思想，
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
其中纯虚数中“b≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意．
跟踪训练1 (1)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为________．
(2)若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则________．
类型二 复数的四则运算
例2 (1)计算：＋()3 204；
(2)已知复数z满足(z＋)－3z·i＝1－3i，求复数z.
反思与感悟 (1)进行复数乘除运算，注意i的性质的活用．(2)设出复数的代数形式，转化为实数运算．(3)设ω＝－±i，ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝.
跟踪训练2 计算：(1)；
(2)＋()2 006.
类型三 数形结合思想的应用
例3 若i为虚数单位，如图所示复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是________．
反思与感悟 根据图形观察Z点的坐标，则复数z易得，根据复数的四则运算求出，则它对应的点由该复数的实部和虚部惟一确定．21·cn·jy·com
跟踪训练3 已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
1．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝____________.2·1·c·n·j·y
2．设i为虚数单位，则＋＋＋＝________.
3．若复数z＝(a－2)＋3i(a∈R)是纯虚数，则＝____________.
4．已知z＝m＋3＋(2m＋1)i(－2≤m≤1)，则|z|的最大值是________．
1．准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．
2．复数四则运算要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式．
3．复数几何意义在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．21世纪教育网版权所有
答案精析
问题导学
知识点一
1．实部 虚部
2．b＝0 b≠0 a＝0且b≠0
3．a＝c且b＝d
4．a＝c，b＝－d
5．|a＋bi| |z|
知识点二
Z(a，b)
知识点三
1．(a±c)＋(b±d)i (ac－bd)＋(bc＋ad)i ＋i(c＋di≠0)
2.＋ －
题型探究
例1 解 (1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．
(3)当即k＝4时，该复数为纯虚数．
跟踪训练1 (1)2 (2)a≠－1
解析 (1)方法一 ＝＝为纯虚数，所以2－a＝0，a＝2.
方法二 ＝为纯虚数，所以a＝2.
(2)a2－a－2≠0或
a≠－1且a≠2或a＝2.
综上可知，a≠－1.
例2 解 (1)＋()3 204
＝＋[]1 602
＝＋()1 602＝i＋(－i)1 602＝i＋i2＝－1＋i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，
代入条件得2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，
∴解得
∴z＝±i.
跟踪训练2 解 (1)＝
＝－＝2(－＋i)＝－1＋i.
(2)＋()2 006＝＋
＝－＝i－＝i－i＝0.
例3 H
解析 由图示可知，z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i，
∴该复数在复平面内对应的点的坐标是(2，－1)，即点H.
跟踪训练3 解 (1)方法一 z1＝i(1－i)3＝(i＋1)(1－i)2
＝2(1－i)＝2－2i，
|z1|＝＝2.
方法二 |z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.
(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.
达标检测
1．－2＋3i
解析 ∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)，
∴z2＝－2＋3i.
2．0
解析 ＋＋＋＝－i－1＋i＋1＝0.
3.－i
解析 ∵z＝a－2＋3i(a∈R)是纯虚数，
∴a＝2，
∴＝＝＝－i.
4．5
解析 |z|＝＝，
∵－2≤m≤1，
∴m＝1时，|z|max＝5.
