1．1.1 函数的平均变化率
明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
1．函数的平均变化率
已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx(或[x0＋Δx，x0])之间的平均变化率．
2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义
＝表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的斜率．
[情境导学]
某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？
探究点一 函数的平均变化率
思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？
答 如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．
如用比值近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率．
思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？
答 如果问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．
思考3 平均变化率有什么几何意义？
答 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率．
x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为
＝1(千克/月)．
从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为
＝＝0.4(千克/月)．
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 如图是函数y＝f(x)的图象，则：
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
答案 (1) (2)
解析 (1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝.
所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.
探究点二 求函数的平均变化率
例2 已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：
(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．
解 (1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为
＝＝4；
(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为
＝＝3；
(3)函数f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为
＝＝2.1；
(4)函数f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为＝＝2.001.
反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
跟踪训练2 求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？
解 在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝＝6＋Δx；
对任意Δx有，k1
∴在x＝3附近的平均变化率最大．
思考 一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？
答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k，即一次函数的平均变化率是定值．
探究点三 平均变化率的应用
例3 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？
解 由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
则<，
所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．
反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．
跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
解 甲赚钱的平均速度为＝＝(万元/月)，乙赚钱的平均速度为(万元/月)．
因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，
所以乙的经营成果比甲的好．
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
答案 B
解析 ＝＝4.1.
2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________．
答案 2
3．已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)
＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
[呈重点、现规律]
1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．
2．求函数f(x)的平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(3)得平均变化率＝.
1.1.2 瞬时速度与导数
明目标、知重点 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．
1．瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率，当Δt→0时的极限，即v＝ ＝ .
2．瞬时变化率
一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是 ＝ .
3．导数的概念
一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记为f′(x0)，即f′(x0)＝ ＝ .
4．导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称
f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数．
探究点一 瞬时速度
思考1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态？平均速度能否精确反映它的运动状态？
答 用0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度来粗略地描述其运动状态．
在0≤t≤0.5这段时间里，＝＝4.05(m/s)；
在1≤t≤2这段时间里，＝＝－8.2(m/s)．
平均速度不能精确反映其运动状态，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
易知h()＝h(0)，＝＝0，
而运动员依然是运动状态．
思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．
如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，看平均速度的变化趋势，用式子
表示，这就是物体在t＝2时的瞬时速度．
例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 m/s.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0?
解 火箭的运动方程为h(t)＝100t－gt2，
火箭向上位移是初速度引起的位移(100t)与重力引起的位移的合成．
在t附近的平均变化率为
＝
＝100－gt－gΔt.
当Δt→0时，上式趋近于100－gt.
可见t时刻的瞬时速度h′(t)＝100－gt.
令h′(t)＝100－gt＝0，
解得t＝≈≈10.2(s)．
所以火箭熄火后约10.2 s向上速度变为0.
反思与感悟 瞬时速度是平均速度在Δt→0时的极限值．要求瞬时速度，可以先求平均速度．
思考3 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？
答 火箭向上速度变为0，意味着火箭处于上升阶段的最高点处，即火箭达到了最大高度，由例1知火箭熄火后上升的时间为t＝，所以火箭熄火后上升的最大高度h＝100×－g×2＝≈510.2(m)．
跟踪训练1 质点M按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，
∴＝4a＋aΔt.在t＝2时，瞬时速度为 ＝4a，
即4a＝8，∴a＝2.
探究点二 导数的定义
思考1 从平均速度当Δt→0时是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？
答 对函数y＝f(x)来说，f(x)在点x＝x0附近改变Δx时，平均变化率为.
当Δx→0时，如果平均变化率趋于一个常数l，则l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．
思考2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？
答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
思考3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？
答 若函数f(x)在区间(a，b)内可导，对(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，f′(x)就叫函数y＝f(x)的导函数．
函数f(x)在点x＝x0处的导数是导函数y＝f′(x)在x＝x0处的函数值．
例2 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝，
而f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)
＝－(Δx)2－Δx，于是
f′(2)＝＝(－Δx－1)＝－1.
反思与感悟 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪训练2 利用导数的定义求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋ax＋b在x＝0处的导数；
(2)y＝在x＝2处的导数．
解 (1)∵Δy＝f(0＋Δx)－f(0)＝(0＋Δx)2＋a(0＋Δx)＋b－02－a·0－b＝(Δx)2＋a(Δx)，
∴＝＝Δx＋a，
∴y′|x＝0＝ ＝ (Δx＋a)＝a.
(2)∵Δy＝－＝－2，
∴＝＝
＝.
∴f′(2)＝＝ ＝.
探究点三 导数的实际应用
例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10 cm，加热后铁板会膨胀．当温度为t℃时，边长变为10(1＋at) cm，a为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．
解 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为
ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2
＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，
因此＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
令Δt→0，得S′＝200(a＋a2t)．
所以铁板对温度的膨胀率为200(a＋a2t)．
反思与感悟 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：
平均变化率＝，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．
跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解 在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)．
根据导数的定义，＝
＝
＝＝Δx－3，
所以，f′(2)＝ ＝ (Δx－3)＝－3.
同理可得，f′(6)＝5.在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．
1．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
A．at0 B．－at0 C.at0 D．2at0
答案 A
解析 ＝＝aΔt＋at0，∴li ＝at0.
2．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案 B
3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3 C．2 D．－2
答案 B
解析 ∵＝＝－Δx－3，
∴li ＝－3.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案 －
解析 f′(1)＝ ＝
＝ ＝－.
[呈重点、现规律]
1．瞬时速度是平均速度当Δt→0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx→0时的极限值．
2．利用导数定义求导数的步骤：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率；
(3)取极限得导数f′(x0)＝ .
1．1.3 导数的几何意义
明目标、知重点 1.理解导数的几何意义.2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
1.割线斜率与切线斜率
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝.
当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
[情境导学]
如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．
探究点一 导数的几何意义
思考1 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？
答 当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
答 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．
例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．
解 我们用曲线h(t)在t0，t1，t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
(1)当t＝t0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于t轴．所以，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
(2)当t＝t1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t1附近单调递减．
(3)当t＝t2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲线下降，即函数h(t)在t＝t2附近也单调递减．
从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢．
反思与感悟 导数与函数图象升降的关系：
若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)<0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
跟踪训练1 (1)根据例1的图象，描述函数h(t)在t3和t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．
解 函数h(t)在t3、t4处的切线的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近单调递增，且曲线h(t)在t3附近比在t4附近递增得快．
(2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
答案 A
解析 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．
探究点二 求切线的方程
思考1 怎样求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
答 根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
思考2 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？
答 曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
例2 已知曲线y＝x2，求：
(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)曲线过点P(3,5)的切线方程．
解 (1)设切点为(x0，y0)，
∵y′|x＝x0＝
＝ ＝2x0，∴斜率k＝2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，
设切点为(x0，y0)
由(1)知，k＝2x0，
∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)①
再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x②
联立①，②得，x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，
此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
此时切线方程为y－25＝10(x－5)，
即10x－y－25＝0.
综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
反思与感悟 求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标．
跟踪训练2 已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵f′(x)＝
＝
＝3x2－4x，
∴k＝f′(x0)＝3x－4x0.
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点的坐标为(－，)或(2,3)．
当切点为(－，)时，有＝4×(－)＋a，
解得a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴当a＝时，切点坐标为(－，)；
当a＝－5时，切点坐标为(2,3)．
1．已知曲线f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )
A．4 B．16 C．8 D．2
答案 C
解析 f′(2)＝
＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，即k＝8.
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
答案 A
解析 由题意，
知k＝ ＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．
答案 (3,30)
解析 设点P(x0,2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝ ＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16得x0＝3，
∴P(3,30)．
[呈重点、现规律]
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
1．2.1 常数函数与幂函数的导数
1．2.2 导数公式表及数学软件的应用
明目标、知重点 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．几个常用函数的导数
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c
y′＝0
y＝xn(n∈N＋)
y′＝nxn－1
y＝xμ(x>0，μ≠0且μ∈Q)
y′＝μxμ－1
y＝sin x
y′＝cos_x
y＝cos x
y′＝－sin_x
y＝ax(a>0，a≠1)
y′＝axln_a
y＝ex
y′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1，x>0)
y′＝
y＝ln x
y′＝
[情境导学]
在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题．
探究点一 几个常用函数的导数
思考1 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数y＝f(x)的导函数？利用定义求下列常用函数的导数：
①y＝c，②y＝x，③y＝x2，④y＝，⑤y＝.
答 (1)计算，并化简；
(2)观察当Δx趋近于0时，趋近于哪个定值；
(3)趋近于的定值就是函数y＝f(x)的导函数．
①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，④y′＝ ＝
＝ ＝－(其它类同)，
⑤y′＝.
思考2 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数．
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
(3)函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3，y′＝4.
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示这三条直线的斜率．
(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．
函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少得越慢．
思考3 画出函数y＝的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．
答 函数y＝的图象如图所示，结合函数图象及其导数y′＝－发现，当x<0时，随着x的增加，函数y＝减少得越来越快；当x>0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢．
点(1,1)处切线的斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y＝－x＋2.
探究点二 基本初等函数的导数公式
思考 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度．
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝；(4)y＝；
(5)y＝log3x.
解 (1)y′＝0；
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(3)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－4；
(4)y′＝()′＝()′＝＝；
(5)y′＝(log3x)′＝.
反思与感悟 对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，然后利用公式求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝()x；(3)y＝x；(4)y＝logx.
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝()xln ＝－()xln 2；
(3)∵y＝x＝x，∴y′＝；
(4)y′＝＝－.
例2 判断下列计算是否正确．
求y＝cos x在x＝处的导数，过程如下：
y′|x＝＝′＝－sin ＝－.
解 错误．应为y′＝－sin x，
∴y′|x＝＝－sin ＝－.
反思与感悟 函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x＝x0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导．
跟踪训练2 求函数f(x)＝ln x在x＝1处的导数．
解 f′(x)＝(ln x)′＝，∴f′(1)＝1，
∴函数f(x)在x＝1处的导数为1.
探究点三 导数公式的综合应用
例3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝ y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，
∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程．
解 由题意知：
y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，
∴当x＝－1时，y′取最小值为3，即最小的斜率为3.此时切点坐标为(－1，－14)．
∴斜率最小的切线方程为y＋14＝3(x＋1)，
即3x－y－11＝0.
1．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；
②若y＝，则y′＝；
③若y＝，则y′＝－2x－3；
④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①y＝＝x－3，
则y′＝－3x－4＝－；
②y＝＝，则y′＝·≠；
③y＝＝x－2，则y′＝－2x－3；
④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，
∴f′(1)＝3.
∴①③④正确．
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于( )
A. B．0
C. D.
答案 A
解析 ∵f′(x)＝()′＝，
∴f′(3)＝＝.
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．[0，]∪[，π) B．[0，π)
C．[，] D．[0，]∪[，]
答案 A
解析 ∵(sin x)′＝cos x，
∵kl＝cos x，
∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，]∪[，π)．
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
答案 e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×|－e2|＝e2.
[呈重点、现规律]
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
1.2.3 导数的四则运算法则(一)
明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)，
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
[情境导学]
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本节要研究的问题．
探究点一 导数的运算法则
思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数？
答 利用导数的运算法则．
思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？
答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及′＝的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；
(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x3－2x＋3；
(2)y＝(x2＋1)(x－1)；
(3)y＝3x－lg x.
解 (1)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.
(2)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1
∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.
(3)函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差．由导数公式表分别得出
f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝，
利用函数差的求导法则可得
(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－.
反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)f(x)＝2－2sin2.
解 (1)∵y＝＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
(2)∵f(x)＝2－2sin2＝1＋cos x，
∴f′(x)＝－sin x.
例2 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x·tan x；
(2)f(x)＝.
解 (1)f′(x)＝(x·tan x)′＝()′
＝
＝＝.
(2)∵f(x)＝＝＝1－，
∴f′(x)＝(1－)′＝(－)′
＝－＝.
反思与感悟 本题是基本函数积(商)的求导问题，对于不属于基本函数的函数通过变形转化成基本初等函数，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝x(1＋＋)；
(2)y＝1＋sin cos ；
(3)y＝(＋1)(－1)．
解 (1)y＝x(1＋＋)＝x＋2＋，
∴y′＝1－.
(2)y＝1＋sin cos ＝1＋sin x，
∴y′＝cos x.
(3)∵y＝(＋1)(－1)＝－＋，
∴y′＝(－)′＋()′＝
＝－(1＋)．
探究点二 导数的应用
例3 (1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．
答案 3x－y＋1＝0
解析 y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即3x－y＋1＝0.
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．
答案 (－2,15)
解析 设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知，k＝3x－10＝2，
∴x＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.
∴P点的坐标为(－2,15)．
(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．
解 ∵s(t)＝＋2t2＝－＋2t2＝－＋2t2，
∴s′(t)＝－＋2·＋4t，
∴s′(3)＝－＋＋12＝，
即物体在t＝3 s时的瞬时速度为 m/s.
反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，即k＝f′(x0)；瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数，即v＝s′(t0)．
跟踪训练3 求满足下列条件的f(x)的解析式：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解 (1)依题意，可设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0.
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0，
可建立方程组
解得
∴f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由f′(x)为一次函数，知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
将f(x)，f′(x)代入方程得
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使方程对任意x都成立，则需要a＝b，b＝2c，c＝1.
解得a＝2，b＝2，c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
1．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．函数y＝的导数是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y′＝′＝
＝.
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝.
4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
解 因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，
所以a＋b＋c＝1.
因为y′＝2ax＋b，
所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a＋b＝1.
又曲线过点(2，－1)，
所以4a＋2b＋c＝－1.
由解得
所以a、b、c的值分别为3、－11、9.
[呈重点、现规律]
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．
1．3.1 利用导数判断函数的单调性
明目标、知重点 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
函数的导数与单调性的关系
1．由区间(a，b)内函数的导数的符号判断函数的单调性：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
2.若函数f(x)在(a，b)内存在导函数且单调递增(递减)，则对一切x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)任一子区间内f′(x)不恒为零．
3．利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，即单调区间一定是定义域的子区间．当函数y＝f(x)有多个单调区间时，不能用“∪”或“或”把单调区间连起来，而应用“，”或“和”连起来．
[情境导学]
以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
答 (1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.
思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
答 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．
小结 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
答 不一定．对于任意x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)的任何一子区间内f′(x)恒等于零．
函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
思考4 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．
答 不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
例1 已知导函数f′(x)的下列信息：
当10；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状．
解 当10，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．
反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．
跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．
解 f′(x)图象的大致形状如下图：
注：图象形状不唯一．
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(0(3)f(x)＝3x2－2ln x；
(4)f(x)＝3tx－x3
解 (1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得x<－3，或x>2，
由f′(x)<0解得－3故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2)．
(2)f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，
故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)
(3)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或0又∵x>0，∴0∴f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
(4)f′(x)＝3t－3x2.
令f′(x)≥0时，得3t－3x2≥0，即t≥x2，
∴当t≤0时，无解；
当t>0时，函数的单调递增区间是[－，]．
令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，
当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，
函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
当t>0时，函数的单调递减区间是(－∞，－]，[，＋∞)．
综上所述，当t≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；
当t>0时，函数的单调增区间是[－，]，单调减区间是(－∞，－]，[，＋∞)．
反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤：
(1)先确定f(x)的定义域；(2)再求导数f′(x)；(3)后解f′(x)>0定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．
跟踪训练2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝x3－x2－x.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
由f′(x)>0得－，
又∵x>0，∴x>，
∴函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0得x<－或0又∵x>0，
∴0∴函数f(x)的单调递减区间为.
(2)f′(x)＝3x2－2x－1
＝(3x＋1)(x－1)．
由f′(x)>0得x<－或x>1；
由f′(x)<0得－故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－，1)．
探究点二 函数的变化快慢与导数的关系
思考 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内的图象“平缓”．
例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．
解 (1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.
反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之亦行．
跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
答案 D
解析 从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓．
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
答案 A
解析 ∵f′(x)＝1＋>0，
∴函数在(0,6)上单调递增．
2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．
3．函数f(x)＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
答案 (－∞，－1)
解析 f′(x)＝，令f′(x)<0得x<－1或4．(1)函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
(2)函数y＝x3－x的单调递增区间为______，单调递减区间为________．
答案 (1)(2，＋∞) (－∞，2)
(2)和
解析 (1)y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；
令y′<0，得x<2，
所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为(2，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，2)．
(2)y′＝3x2－1，令y′>0，得x>或x<－；
令y′<0，得－所以y＝x3－x的单调递增区间为和，单调递减区间为(－，)．
[呈重点、现规律]
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
1.3.2 利用导数研究函数的极值(一)
明目标、知重点 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
1．极值点与极值
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)．并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．
极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．
2．求函数f(x)极值的方法
第1步 求导数f′(x)；
第2步 求方程f′(x)＝0的所有实数根；
第3步 考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化．如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值．
[情境导学]
在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．
探究点一 函数的极值与导数的关系
思考1 如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？
答 以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
小结 思考1中点d叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(d)叫做函数y＝f(x)的极小值；点e叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(e)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
思考2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．
思考3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．
答 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)的符号不同．
例如，函数f(x)＝x3可导，且在x＝0处满足f′(0)＝0，但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．
例1 求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．
解 f′(x)＝x2－4.
解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.
由f′(x)>0，得x<－2或x>2；
由f′(x)<0，得－2当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
单调递减↘
－
单调递增↗
由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝；
当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.
反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．
跟踪训练1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由．
(1)y＝8x3－12x2＋6x＋1；
(2)y＝x|x|；
(3)y＝1－(x－2).
解 (1)∵y′＝24x2－24x＋6，
令y′＝0，即24x2－24x＋6＝0，解得x＝，
当x>时，y′>0；当x<时，y′>0.
∴此函数无极值．
(2)令y＝x|x|＝0，则x＝0，且y＝
当x>0时，y＝x2是单调增函数；
当x<0时，y＝－x2也是单调增函数．
故函数y＝x|x|在x＝0处无极值．
另外，∵当x>0时，y′＝2x，y′＝0无解，
当x<0时，y′＝－2x，y′＝0也无解，
∴函数y＝x|x|没有极值．
(3)当x≠2时，有y′＝－(x－2).
当x＝2时，y′不存在，因此，y′在x＝2处不可导．
但在点x＝2处的左右附近y′均存在，当x<2时，f′(x)>0；当x>2时，f′(x)<0.
故y＝f(x)在点x＝2处取极大值，且极大值为f(2)＝1.
探究点二 利用函数极值确定参数的值
思考 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？
答 解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．
例2 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
解 因为f(x)在x＝－1时有极值0，
且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解之得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．
跟踪训练2 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解 (1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解方程组得，a＝－，b＝－.
(2)由(1)可知f(x)＝－ln x－x2＋x，
且函数f(x)＝－ln x－x2＋x的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，
x＝2是函数f(x)的极大值点．
探究点三 函数极值的综合应用
例3 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围．
解 (1)因为f(x)＝－x3＋ax2＋b，
所以f′(x)＝－3x2＋2ax＝－3x(x－)．
当a＝0时，f′(x)＝－3x2≤0，函数f(x)没有单调递增区间；当a>0时，令f′(x)>0，即－3x(x－)>0，解得00，即－3x(x－)>0，解得(2)由(1)知，a∈[3,4]时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(－∞，0)和(，＋∞)．
所以f(x)极大值＝f()＝＋b，
f(x)极小值＝f(0)＝b.
由于对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，
所以即解得－因为对任意a∈[3,4]，b>－恒成立，
所以b>(－)max＝－＝－4.
所以实数b的取值范围为(－4,0)．
反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．
跟踪训练3 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
因为当x>或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；
单调递减区间为(－，)．
当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；
当x＝时，f(x)有极小值5－4.
(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．
所以，当5－4＜a＜5＋4时，
直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，
即方程f(x)＝a有三个不同的实根．
1．“可导函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，
不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
2.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
答案 C
解析 f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．－1C．a<－1或a>2 D．a<－3或a>6
答案 D
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
答案 (－∞，－1)
解析 y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)．
由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.
5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
答案 －2解析 f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，
∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2[呈重点、现规律]
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
1．3.2 利用导数研究函数的极值(二)
明目标、知重点 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．
4．极值与最值的意义
(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；
(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．
[情境导学]
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在
某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．
探究点一 求函数的最值
思考1 如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？
答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．
思考2 观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？
答 函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．
思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？
答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．
小结 求一个函数在闭区间上的最值步骤：
(1)求导，确定函数在闭区间上的极值点．
(2)求出函数的各个极值和端点处的函数值．
(3)比较大小，确定结论．
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
解 (1)f(x)＝2x3－12x，
∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增↗
极大值
单调递减↘
极小值
单调递增↗
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递减区间为(－，)．
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝π或x＝π.
计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f(π)＝＋，
f(π)＝π－.
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
反思与感悟 (1)求函数的最值，求极值是关键的一环．若仅是求最值，则简化为：
①求出导数为零的点．
②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值．
(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得．
跟踪训练1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3－4x＋4，x∈[0,3]；
(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．
解 (1)∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
∵f(2)＝－，f(0)＝4，f(3)＝1，
∴函数f(x)在[0,3]上的最大值为4，最小值为－.
(2)∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)，
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
探究点二 含参数的函数的最值问题
例2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax.
因为f′(1)＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.
(2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
当0<<2，即0f(x)在上单调递减，在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练2 求函数f(x)＝x3－4x＋4在[0，a](a>0)上的最大值和最小值．
解 f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
因为0≤x≤a，所以当0所以f(x)在区间[0，a]上是减函数．
所以当x＝a时，f(x)取最小值f(a)＝a3－4a＋4；
当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝4.
当a>2时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2，a)
a
f′(x)
－
＋
f(x)
4
减函数
－
增函数
a3－4a＋4
从上表可知：当x＝2时，f(x)取最小值f(2)＝－，f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个．
所以当2当a>2时，f(x)的最大值为f(a)＝a3－4a＋4.
综上可得：
当0当2当a>2时，f(x)min＝－，f(x)max＝a3－4a＋4.
探究点三 函数最值的应用
思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？
答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题．
如f(x)>0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可．
如f(x)<0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可．
以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．
例3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
(1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)解 (1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2,3)时，f′(x)>0.
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9.
∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，
∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
跟踪训练3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
单调递增
1－m
单调递减
∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
∵h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，
∴只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故实数m的取值范围是(1，＋∞)
1．函数y＝f(x)在[a，b]上( )
A．极大值一定比极小值大
B．极大值一定是最大值
C．最大值一定是极大值
D．最大值一定大于极小值
答案 D
解析 由函数的最值与极值的概念可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值一定大于极小值．
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)
时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.
3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B.－1
C．π D．π＋1
答案 C
解析 因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
4．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
答案 －71
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.
[呈重点、现规律]
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
1．3.3 导数的实际应用
明目标、知重点 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
导数在实际问题中的应用
1．在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．
2．求实际问题的最大(小)值，导数是解决方法之一．要建立实际问题的数学模型．写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，然后再利用导数研究函数的最值．
[情境导学]
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．
探究点一 面积、体积的最值问题
思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？
答 (1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．
(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．
(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．
(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解 设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为
S(x)＝(x＋4)－128
＝2x＋＋8，x>0.
求导数，得
S′(x)＝2－.
令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
于是宽为＝＝8.
当x∈(0,16)时，S′(x)<0；
当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．
反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．
答案 32,16
解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.
∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．
探究点二 利润最大问题
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解 由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2
＝0.8π，0令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.
当r＝2时，f′(r)＝0.
当r∈(0,2)时，f′(r)<0；
当r∈(2,6)时，f′(r)>0.
因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．
∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
半径为6 cm时，利润最大．
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
探究点三 费用(用材)最省问题
例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，
则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y，由题意，得
y＝y1·＝，
∴y′＝
＝.
令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，
即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；
当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，
即y在(8，v0]上为减函数，
∴当v＝v0时，ymin＝(元)．
综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，
为32 000元；
当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．
反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．
跟踪训练3 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD＝2x，梯形的面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值．
解 (1)依题意，以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)，则点C的横坐标为x.
设点C的纵坐标为y，则(x，y)满足方程＋＝1(y>0)，
解得y＝2(0所以S＝(2x＋2r)·2
＝2(x＋r)·，
其定义域为{x|0(2)记f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0则f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．
令f′(x)＝0，得x＝r，或x＝－r(舍去)．
因为当00；
当r所以f(r)是f(x)的最大值．
因此，当x＝r时，S也取得最大值，最大值为 ＝r2，即梯形面积S的最大值为r2.
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A．4 B．6
C．4.5 D．8
答案 A
解析 设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
答案 B
解析 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0解 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝×
＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
[呈重点、现规律]
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
1．4.1 曲边梯形面积与定积分(一)
明目标、知重点 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．
2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝(xi)Δx，克服弹簧的拉力的变力所做的功：W＝(xi)Δx.
[情境导学]
任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？
探究点一 求曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
答 (如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．
求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．
思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？
答 都能求出S＝.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．
解 (1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间：
[0，]，[，]，[，]，…，[，]，…，[，1]，
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
在区间[，](i＝1,2，…，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度Δx＝作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即
ΔSi≈()2·.
(3)求和
曲边梯形的面积近似值为
S＝Si≈()2·
＝0·＋()2·＋()2·＋…＋()2·
＝[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
(4)取极限
曲边梯形的面积为
S＝ (1－)(1－)＝.
反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
解 ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
由，
得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2] n等分，
则Δx＝， 取ξi＝.
(2)近似代替求和
Sn＝]2·
＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
(3)取极限
S＝Sn＝ (1－)(1－)＝.
∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，
即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.
探究点二 求变力做功
思考 求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？
答 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．
例2 如图，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置e m处，求克服弹力所做的功．
解 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx(N)，其中k为比例系数．
将[0，e]n等分，记Δx＝，分点依次为x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝e.
当n很大时，在分段[xi，xi＋1]所用的力约为kxi，所做的功ΔWi≈kxiΔx＝kxi.
则从0到e所做的总功W近似地等于
Wi＝xi·Δx＝··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝·＝.
∴弹簧从平衡位置拉长到e处所做的功为：
W＝Wi＝.
答 克服弹力所做的功为 J.
反思与感悟 以“不变代变”的方法，把变力做功问题转化为求常力做功问题．
跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？
解 (1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为ΔSi(i＝1,2，…，n)，则显然有S＝Si.
(2)近似代替
取ξi＝(i＝1,2，…，n)．于是
ΔSi≈ΔS′i＝v()·Δt＝[3()2＋2]·
＝＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Sn＝S′i＝(＋)＝(12＋22＋…＋n2)＋4
＝·＋4
＝8(1＋)(1＋)＋4.
从而得到S的近似值S≈Sn.
(4)取极限
S＝Sn＝[8(1＋)(1＋)＋4]＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为12 km.
1．把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
2．函数f(x)＝x2在区间上( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
答案 D
解析 当n很大，即Δx很小时，在区间[，]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
答案 C
4．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为[1，]，[，]，[，]，[，]，[，2]，
于是所求平面图形的面积近似等于
(1＋＋＋＋)＝×＝1.02.
[呈重点、现规律]
求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)求和：(ξi)·；
(4)取极限：s＝(ξi)·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二)
明目标、知重点 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．
定积分的概念、几何意义及性质
定积分
概念
定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0这里a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分?f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.
基本性质
?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k为常数)；
?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx；
?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a探究点一 定积分的概念
思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．
思考2 怎样正确认识定积分?f(x)dx?
答 (1)定积分?f(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外?f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．
(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而?f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．
(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．
例1 利用定积分的定义，计算?x3dx的值．
解 令f(x)＝x3.
(1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
?x3dx≈Sn＝f()·Δx
＝ ()3·
＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.
(3)取极限
?x3dx＝Sn＝ (1＋)2＝.
反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．
(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．
跟踪训练1 用定义计算?(1＋x)dx.
解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为
Δx＝.
(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋.
(3)取极限：S＝ ＝2＋＝.
因此?(1＋x)dx＝.
探究点二 定积分的几何意义
思考1 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么?f(x)dx表示什么？
答 当函数f(x)≥0时，定积分?f(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a思考2 当f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，?f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？
答 如果在区间[a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．
由于>0，f(ξi)≤0，故
f(ξi)≤0.从而定积分?f(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即?f(x)dx＝－S.
当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分?f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即?f(x)dx＝－S1＋S2－S3.
例2 用定积分的几何意义求：
(1)(3x＋2)dx；
(2)
(3) (|x＋1|＋|x－1|－4)dx；
(4)dx(b>a)．
解 (1)如图1阴影部分面积为＝，
从而(3x＋2)dx＝.
(2)如图2，由于A的面积等于B的面积，
从而＝0.
(3)令f(x)＝|x＋1|＋|x－1|－4，作出f(x)在区间[－3,3]上的图象，如图3所示，易知定积分－3f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．
∵阴影部分的面积S1＝S3＝1，S2＝6，
∴ (|x＋1|＋|x－1|－4)dx＝1＋1－6＝－4.
(4)令y＝f(x)＝，则有(x－)2＋y2＝()2(y≥0)，f(x)表示以(，0)为圆心，半径为的上半圆，而这个上半圆的面积为S＝πr2＝()2＝，
由定积分的几何意义可知dx＝.
反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪训练2 利用几何意义计算下列定积分：
(1)?dx；(2)?(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S＝·π·32.
由定积分的几何意义知?dx＝π.
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
?(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴?(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.
探究点三 定积分的性质
思考1 定积分的性质可作哪些推广？
答 定积分的性质的推广
①?[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx±…±?fn(x)dx；
②?f(x)dx＝?c1af(x)dx＋?c2c1f(x)dx＋…＋?bcnf(x)dx(其中n∈N＋)．
思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？
答 奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则?f(x)dx＝0.
②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则?g(x)dx＝2?g(x)dx.
例3 计算?(－x3)dx的值．
解 如图，
由定积分的几何意义得?dx＝＝，
?x3dx＝0，由定积分性质得
?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝.
反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．
跟踪训练3 已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝，求：
(1)?3x3dx；(2)?6x2dx；(3)?(3x2－2x3)dx.
解 (1)?3x3dx＝3?x3dx＝3(?x3dx＋?x3dx)
＝3×(＋)＝12；
(2)?6x2dx＝6?x2dx＝6(?x2dx＋?x2dx)
＝6×(＋)＝126；
(3)?(3x2－2x3)dx＝?3x2dx－?2x3dx
＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2×
＝7－＝－.
1．下列结论中成立的个数是( )
①?x3dx＝·；
②?x3dx＝·；
③?x3dx＝·.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ②③成立．
2．定积分?f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案 A
3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①?xdx________?x2dx；
②?dx________?2dx.
答案 ①> ②<
4．若?x2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 令f(x)＝x2.
(1)分割
将区间[0，T]n等分，则Δx＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝()2·＝2＝(12＋22＋…＋n2)
＝·＝(1＋)(2＋)．
(3)取极限
S＝ ×2＝＝9,
∴T3＝27，∴T＝3.
[呈重点、现规律]
1．定积分?f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．
1.4.2 微积分基本定理(一)
明目标、知重点 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
1．微积分基本定理
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则?f(x)dx＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?f(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则?f(x)dx＝0.
[情境导学]
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算?x3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系？我们能否利用这种联系求定积分？
探究点一 微积分基本定理
思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？
答 由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，
通过求定积分的几何意义，可得s＝?v(t)dt＝?y′(t)dt，
所以?v(t)dt＝?y′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．
小结 (1)如果f(x)在区间[a，b]上可积，且F′(x)＝f(x)，则?f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理．
(2)运用微积分基本定理求定积分?f(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．
思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？
答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
不影响，因为?f(x)dx＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)．
例1 计算下列定积分：
(1)?dx；(2)?(2x－)dx；(3)?(cos x－ex)dx.
解 (1)因为(ln x)′＝，
所以?dx＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2.
(2)因为(x2)′＝2x，()′＝－，
所以?(2x－)dx＝?2xdx－?dx
＝x2|＋|＝(9－1)＋(－1)＝.
(3)?(cos x－ex)dx＝?cos xdx－?exdx
＝sin x|－ex|＝－1.
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
跟踪训练1 计算下列定积分：
(1)(x－1)5dx；
(3)dx.
解 (1)因为′＝(x－1)5，
所以(x－1)5dx＝
＝×(2－1)6－×(1－1)6＝.
(2)因为′＝sin3xcos x，
所以＝
＝sin4－sin40＝.
(3)令f(x)＝＝－，
取F(x)＝ln x－ln(x＋1)＝ln ，
则F′(x)＝－.
所以dx＝(－)dx
＝＝ln .
探究点二 分段函数的定积分
例2 已知函数f(x)＝先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
解 图象如图．
＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.
反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．
跟踪训练2 设f(x)＝
求?f(x)dx.
解 ?f(x)dx＝?x2dx＋?(cos x－1)dx
＝x3|＋(sin x－x)|＝sin 1－.
探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：
?sin xdx，?sin xdx，?sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
解 因为(－cos x)′＝sin x，
所以?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；
?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；
?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：
定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
反思与感悟 求平面图形面积的步骤：
(1)画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标．
(2)将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积．
(3)确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．
跟踪训练3 求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
解 所求面积为
S＝?π－|sin x|dx
＝－?0－sin xdx＋?sin xdx－?ππsin xdx
＝1＋2＋(1－)＝4－.
1．定积分?(2x＋ex)dx的值为( )
A．e＋2 B．e＋1
C．e D．e－1
答案 C
解析 ?(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝e.故选C.
2．若?(2x＋)dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 ?(2x＋)dx＝?2xdx＋?dx
＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a
＝3＋ln 2，
解得a＝2.
3．?(x2－x)dx＝________.
答案
解析 ?(x2－x)dx＝?x2dx－?xdx
＝|－|＝－＝.
4．已知f(x)＝，计算?f(x)dx.
解
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以
即?f(x)dx＝－π2－1.
[呈重点、现规律]
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
1．4.2 微积分基本定理(二)
明目标、知重点 会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．
1．曲边梯形的面积
(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝?f(x)dx.
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝－?f(x)dx.
2．两函数图象围成图形的面积
当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝?[f(x)－g(x)]dx.(如图)
探究点一 求不分割型图形的面积
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
例1 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．
解 方法一 如图，由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.
故所求的面积
S＝(2x－x)dx＋(2x－x2)dx＝＋＝－0＋(4－)－(1－)＝.
方法二 由于点D的横坐标也是2，
故S＝(2x－x)dx－(x2－x)dx
＝－＝2－(－2)＋(－)＝.
方法三 因为′＝，
′＝－，
故所求的面积为
S＝(y－)dy＋
(－)dy
＝＋
＝＋(×8－×16)－(－)＝.
反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤：
(1)根据题意画出图形；
(2)找出范围，确定积分上、下限；
(3)确定被积函数；
(4)将面积用定积分表示；
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
解 由
得或，
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，
根据图形可得S＝?(－x＋2)dx－?(x2－4)dx
＝(2x－x2)|－(x3－4x)|
＝－(－)＝.
探究点二 分割型图形面积的求解
思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求？
答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．
例2 计算由直线y＝x－4，曲线y＝以及x轴所围图形的面积S.
解 方法一 作出直线y＝x－4，曲线y＝的草图．
解方程组
得直线y＝x－4与曲线y＝交点的坐标为(8,4)．
直线y＝x－4与x轴的交点为(4,0)．
因此，所求图形的面积为
S＝S1＋S2
＝?dx＋
＝x|＋x|－(x－4)2|
＝.
方法二 把y看成积分变量，则
S＝?(y＋4－y2)dy＝(y2＋4y－y3)|＝.
反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁锁，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练2 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
解 画出图形，如图所示．
解方程组
及
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝?[－(－x)]dx＋?[(2－x)－(－x)]dx
＝?(＋x)dx＋?(2－x＋x)dx
＝(＋x2)|＋(2x－x2＋x2)|
＝＋＋(2x－x2)|
＝＋6－×9－2＋
＝.
探究点三 定积分的综合应用
例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程．
解 如图，设切点A(x0，y0)，
其中x0≠0，
由y′＝2x，过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x，
令y＝0，得x＝，即C(，0)，
设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC，
∵S曲边△AOB＝
S△ABC＝|BC|·|AB|
＝(x0－)·x＝x.
∴S＝x－x＝x＝.
∴x0＝1，
从而切点为A(1,1)，
切线方程为2x－y－1＝0.
反思与感悟 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．
跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积
S＝?(x－x2)dx＝|＝.
又
由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，
所以，＝?(x－x2－kx)dx
＝|
＝(1－k)3.
又知S＝，所以(1－k)3＝，
于是k＝1－ ＝1－.
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝?[f(x)－g(x)]dx S＝?(2－2x＋8)dx
① ②
S＝?f(x)dx－?f(x)dx
③ ④
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
答案 D
解析 ①应是S＝?[f(x)－g(x)]dx，
②应是S＝?2dx－?(2x－8)dx，
③和④正确，故选D.
2．曲线y＝cos x(0≤x≤π)与坐标轴所围图形的面积是( )
A．2 B．3
C. D．4
答案 B
解析
＝sin －sin 0－sin ＋sin
＝1－0＋1＋1＝3.
3．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为________．
答案
解析 解方程组得
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0)．
∴S＝?(2x－x2)dx＝(x2－x3)|
＝(4－)－0＝.
4．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
答案
解析 由图形可得
S＝?(x2＋4－5x)dx＋?(5x－x2－4)dx
＝(x3＋4x－x2)|＋(x2－x3－4x)|
＝＋4－＋×42－×43－4×4－＋＋4
＝.
[呈重点、现规律]
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．
第一章 导数及其应用
题型一 导数与曲线的切线
利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
例1 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2(1)解 由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.
又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，
且极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4，
f(x)无极大值．
(2)证明 令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0.
故g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1>0，
因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2跟踪训练1 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．
解 依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，
∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，
∵l与圆相切，
∴＝?a＝，
∴a的值为.
题型二 导数与函数的单调性
求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝(x－3)ex，x∈(0，＋∞)；
(2)f(x)＝x(x－a)2.
解 (1)f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，又x∈(0，＋∞)，
∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)．
(2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R，
由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a.
①当a>0时，x1∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，
单调递减区间为(，a)．
②当a<0时，x1>x2，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，
单调递减区间为(a，)．
③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是单调递增的．
综上，a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(a，＋∞)，单调递减区间为(，a)；
a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(，＋∞)，单调递减区间为(a，)；
a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)．
跟踪训练2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝sin x，x∈[0,2π]；
(2)y＝xlnx.
解 (1)函数的定义域是[0,2π]，
f′(x)＝cos x，令cos x>0，
解得2kπ－当x∈[0,2π]时，0令cos x<0，解得因此，f(x)的单调递增区间是(0，)和(，2π)，单调递减区间是(，)．
(2)函数的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1，令ln x＋1>0得x>e－1，
因此，f(x)的单调递增区间是(e－1，＋∞)，单调递减区间是(0，e－1)．
题型三 数形结合思想在导数中的应用
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极植与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；
特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一个点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
例3 设解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
f(0)＝b，f(a)＝－b，f(－1)＝－1－a＋b，
f(1)＝1－a＋b.
因为故最大值为f(0)＝b＝1，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.故a＝，b＝1.
跟踪训练3 已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有( )
A．a>0，b>0 B．a<0，b<0
C．a<0，b>0 D．a>0，b<0
答案 B
解析 由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，
∴a<0.
又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，
∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，
∴b<0.
题型四 定积分及其应用
定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限．
例4 如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.
解 由得x＝1或x＝4，故A(1，－1)，B(4,2)，如图所示，
S＝2?dx＋?(－x＋2)dx
跟踪训练4 在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小．
解 面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t围成的面积，
即S1＝t·t2－?x2dx＝t3.
面积S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，
即S2＝?x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积S为：
S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，
由S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0，
得t＝0，或t＝.
由于当0当0，
所以S(t)在0在所以当t＝时，S最小，即图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．
[呈重点、现规律]
1．函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．
2．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．
