课件27张PPT。1.1.1 函数的平均变化率第一章 §1.1 导 数学习目标
1.理解并掌握平均变化率的概念.
2.会求函数在指定区间上的平均变化率.
3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案答案 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案答案 对山路AB来说，用 可近似地刻画其陡峭程度.函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]或[x0＋Δx，x0]的平均变化率
(1)条件：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).梳理(2)结论：当Δx≠0时，商： 称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上的平均变化率.
(3)实质： 的改变量与 的改变量 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.之比 函数值自变量题型探究例1 已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；解答类型一 求函数的平均变化率解 因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.解答解 因为f(x0＋Δx)－f(x0)求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤：跟踪训练1 如图是函数y＝f(x)的图象，则：
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为___；答案解析(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为___.答案解析例2 已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝ 时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大？类型二 比较平均变化率的大小解答解 函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝－2x0－Δx.∴函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大.比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两个不同点处的平均变化率.
(2)作差(或作商)，并对差式(或商式)作合理变形，以便探讨差的符号(或商与1的大小).
(3)下结论. 跟踪训练2 甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的大小关系是A.v甲>v乙
B.v甲
C.v甲＝v乙
D.不确定答案解析解析 由题图知，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，当堂训练1.如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a等于
A.－3 B.2
C.3 D.－2答案23451解析解析 根据平均变化率的定义可知，√2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则 等于
A.4 B.4x
C.4＋2Δx D.4＋2(Δx)2答案√23451解析解析 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2
＝4Δx＋2(Δx)2，
∴ ＝4＋2Δx.3.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是
A.1 B.－1
C.2 D.－2答案√23451解析4.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.答案23451[x3，x4]解析解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别是结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].5.计算函数f(x)＝x2在区间[1,1＋Δx](Δx>0)上的平均变化率，其中Δx的值为：
(1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01.解答23451(1)当Δx＝2时，平均变化率的值为4.
(2)当Δx＝1时，平均变化率的值为3.
(3)当Δx＝0.1时，平均变化率的值为2.1.
(4)当Δx＝0.01时，平均变化率的值为2.01.1.函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率在实际问题中表示事物变化的快慢.
2.求函数f(x)的平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0).
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0.本课结束课件32张PPT。1.1.2 瞬时速度与导数第一章 §1.1 导 数学习目标
1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.
2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.
3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.
4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 瞬时速度与瞬时变化率试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.答案一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移，t表示时间.思考2 当Δt趋近于0时思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一速度？答案答案 当Δt趋近于0时， 趋近于－6，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度.瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体运动的瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率 趋近于某个常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度.梳理(2)函数的瞬时变化率
设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率 趋近于一个常数l，则常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率.上述过程，通常也记作 .知识点二 y＝f(x)在点x0处的导数(1)函数y＝f(x)在点x0处的导数定义式：
f′(x0)= .(2)实质：函数y＝f(x)在点x0处的导数即函数y＝f(x)在点x0处的 .瞬时变化率思考1 知识点三 导函数如何求f′(1)，f′(0)，f′( )，f′(a)(a∈R)?答案对于函数f(x)＝－x2＋2.思考2 若a是一变量，则f′(a)是常量吗？答案答案 f′(a)＝－2a，说明f′(a)不是常量，而是关于a的函数.导函数的概念
(1)函数可导的定义
如果f(x)在开区间 内 都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导.
(2)导函数的定义
①条件：f(x)在区间(a，b)可导.
②定义：对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是，在区间(a，b)内 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数.
③导函数记法： .(a，b)梳理每一点xf′(x)f′(x)或y′(或yx′)题型探究例1 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.解答类型一 求瞬时速度∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.引申探究
1.若例1中的条件不变，试求物体的初速度.解答解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.2.若例1中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解答解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.∴2t0＋1＝9，∴t0＝4.
即物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.(1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误.
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；跟踪训练1 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.解答解 质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2 s处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2 s附近的平均变化率为类型二 求函数在某一点处的导数答案解析解答(1)求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差，二比，三极限.(2)瞬时变化率的变形形式跟踪训练2 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.解答又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.当堂训练1.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2 (a，b为常数)，则
A.f′(x)＝a B.f′(x)＝b
C.f′(x0)＝a D.f′(x0)＝b√答案23451解析A.9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B.9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C.9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D.9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率答案√234513.函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为____.答案1623451解析4.一物体的运动方程为s(t)＝t2－3t＋2，则其在t＝_____时的瞬时速度为1.23451答案2解析解析 设物体在t＝t0时的瞬时速度为1，解得t0＝2.5.已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是___.答案解析234514＋Δt4利用导数定义求导数三步曲
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；本课结束课件42张PPT。1.1.3 导数的几何意义第一章 §1.1 导 数学习目标
1.理解导数的几何意义.
2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 导数的几何意义割线PPn的斜率kn是多少？答案如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？答案答案 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT.思考3 当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.(1)曲线的切线
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，
f(x0＋Δx))的一条割线.由此割线的斜率是 ，可知
曲线割线的斜率就是函数的 .当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线.梳理平均变化率(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义
①几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率等于 ；
②曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率为③相应的切线方程为 .y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)f′(x0)题型探究例1 已知曲线C： 求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程.解答类型一 求切线方程命题角度1 曲线在某点处的切线方程∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.解 将x＝2代入曲线C的方程，得y＝4，
∴切点坐标为P(2,4).求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________.－3答案解析∴k＝y′|x＝2＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，
即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.解答命题角度2 曲线过某点的切线方程化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，
即所求的切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，f(x0)).(3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，y0，及k, 从而写出切线方程.跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.解答解 设切点为(x0，＋x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1,0)的切线方程为
y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.类型二 求切点坐标解答例3 已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解 对于曲线y＝x2－1，对于曲线y＝1－x3，解答引申探究
1.若本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.又曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，解答2.若本例条件不变，试求出两条平行的切线方程.当x0＝0时，两条平行的切线方程为y＝－1或y＝1.曲线y＝1－x3的切线方程为36x＋27y－11＝0.
∴所求两条平行的切线方程为y＝－1与y＝1或12x＋9y＋13＝0与36x＋27y－11＝0.根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0).
(2)求导函数f′(x).
(3)求切线的斜率f′(x0).
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0，得切点坐标.跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标.解答解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0).当切点坐标为(2,3)时，有3＝4×2＋a，∴a＝－5.当a＝－5时，切点坐标为(2,3).类型三 导数几何意义的应用例4 已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________.(请用“>”连接)答案解析k1>k3>k2解析 由导数的几何意义，可得k1>k2.导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合. 跟踪训练4 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是解析解析 依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足.答案当堂训练1.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1√答案23451解析解析 由题意知，k＝y′|x＝0又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.2.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定答案23451√解析解析 由导数的几何意义知，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)A.－4 B.3
C.－2 D.1答案√解析解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于(4,0)，与y轴交于(0,4)，
则可知l：x＋y＝4，
∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.4.已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________.23451答案(3,30)解析令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).5.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值.解答2345123451解 ∵抛物线过点P，∴a＋b＋c＝1， ①∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1. ②
又抛物线过点Q，∴4a＋2b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.本课结束课件33张PPT。1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.1 常数函数与幂函数的导数学习目标
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 几个常用函数的导数(1)若y＝f(x)＝C，则f′(x)＝ .
(2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝ .
(3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝ .
(4)若y＝f(x)＝x3，则f′(x)＝ .012x3x2－x－2知识点二 基本初等函数的导数公式表nxn－1μxμ－1axln acos x－sin x0特别提醒：(1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆
①将xu与ax对比记忆，两公式最易混淆；
②将ax与logax对比记忆，并且要强化记忆，这两个公式最难记；
③将sin x与cos x对比记忆，注意正、负号问题.
(2)函数f(x)＝logax的导数公式为f′(x)＝(logax)′＝ ，当a＝e时，上述公式就变为(ln x)′＝ ，即f(x)＝ln x是f(x)＝logax当a＝e时的特殊情况.类似地，还有f(x)＝ax，当a＝e时，(ex)′＝ex.题型探究例1 求下列函数的导数.解答类型一 利用导数公式求函数的导数解 y′＝0.解答(4)y＝lg x；(5)y＝5x；解答解 y′＝5xln 5.∴y′＝(sin x)′＝cos x.若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.解 y′＝(x12)′＝12x11.跟踪训练1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；解答解答(3)y＝log2x；例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝ x2上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为 .类型二 导数公式的综合应用答案解析命题角度1 利用导数公式解决切线问题(1，－4)解析 由抛物线方程，得y′＝x，
∴kPA＝y′|x＝4＝4，kQA＝y′|x＝－2＝－2.
∵P(4,8)，Q(－2,2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，
即y＝4x－8.
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.∴A(1，－4).(2)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解答解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝ ＝cos x0，k2＝ ＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的.
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：
(1)切点处的导数是切线的斜率.
(2)切点在切线上.
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2 已知函数y＝kx是曲线y1＝ln x的一条切线，则k＝ .解析 设切点坐标为(x0，y0)，又y0＝kx0， ②
而且y0＝ln x0， ③答案解析例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.解答命题角度2 利用导数公式求最值问题依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线
x－y－2＝0的距离最短.利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3 已知A、B、C三点在曲线y＝ 上，其横坐标依次为1、
m、4(1A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定答案√23451解析故斜率等于1的切线有2条.3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝ .23451解析答案解答23451234515.求下列函数的导数.
(1)y＝( ＋1)( －1)＋1；解 ∵y＝x3，∴y′＝3x2.∴y′＝cos x.解答23451解答1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.本课结束课件49张PPT。1.2.3 导数的四则运算法则第一章 §1.2 导数的运算学习目标
1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.
2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 导数的四则运算法则f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案思考2 答案∴G′(x)＝f′(x)＋g′(x)，H′(x)＝f′(x)－g′(x).思考3 答案导数的四则运算法则
(1)设f(x)，g(x)是可导的，则：梳理f′(x)±g′(x)和(或差)第一个函数乘上第二个函数的导数分母的平方特别提醒：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导.
(2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).Cf′(x)知识点二 复合函数y＝f(u(x))的导数题型探究例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x3·ex；解答类型一 利用导数的四则运算法则求导解 y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex
＝x2(3＋x)ex.(3)y＝x2＋log3x；解答求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.0答案解析解析 ∵f′(x)＝(x－a)′(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－b)′·(x－c)＋
(x－a)(x－b)(x－c)′
＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)(x－b)，
∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，
f′(b)＝(b－a)(b－c)＝－(a－b)(b－c)，
f′(c)＝(c－a)(c－b)＝(a－c)(b－c).解答(2)求下列函数的导数.解 解答③y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)
＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)
＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)
＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′
＝3x2＋18x＋23.解答解答类型二 简单复合函数求导例2 求下列函数的导数.
(1)y＝ecos x＋1；解答解 设y＝eu，u＝cos x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sin x)＝－ecos x＋1sin x.(2)y＝log2(2x＋1)；解 设y＝log2u，u＝2x＋1，解答解 设y＝ ，u＝1－2x，则yx′＝yu′·ux′＝( )′·(1－2x)′求复合函数导数的步骤
(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y＝f(u)，u＝g(x).
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu′，再求ux′.
(3)计算yu′·ux′，并把中间变量转化为自变量.
整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程.跟踪训练2 (1)函数f(x)＝(2x＋1)5，则f′(0)的值为____.答案10解析解析 f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f′(0)＝10.解答(2)求下列函数的导数.解答③y＝a1－2x(a>0，a≠1).解 令y＝au，u＝1－2x，
则yx′＝yu′·ux′＝au·ln a·(－2)
＝a1－2xln a·(－2)＝－2a1－2xln a.类型三 导数运算法则的综合应用例3 (1)已知函数f(x)＝ ＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；解答命题角度1 利用导数求函数解析式解答(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x.解 由已知得f ′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，解得a＝d＝1，b＝c＝0.(1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数.
(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值.
完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.答案解析－1则f′(1)＝－1.例4 (1)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.命题角度2 与切线有关的问题答案解析(e，e)解析 设P(x0，y0).∵y＝xln x，又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e).解答(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
①求a，b的值；解 因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又知f′(x)＝2x－8，
所以a＝1，b＝－8.解答②设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.解 由①可得g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又知g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.答案解析1解答(2)曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程.解 设u＝sin x，
则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cos xesin x，
即y′|x＝0＝1，
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.当堂训练1.设y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x B.－2exsin x
C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)√答案23451解析解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).答案23451√解析3.曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线方程为
A.y＝2x＋1 B.y＝2x－1
C.y＝－2x－3 D.y＝－2x＋223451解析答案√∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_____.23451答案2解析解析 由题意知y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2.5.在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________.答案解析234513x－y－11＝0解析 ∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)
＝3(x＋1)2＋3≥3，
∴当x＝－1时，斜率最小，此时切点坐标为(－1，－14)，
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.1.应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错.
2.注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”.3.求复合函数的导数应处理好以下环节：
(1)正确分析函数的复合层次.
(2)中间变量应是基本初等函数结构.
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导.
(4)善于把一部分表达式作为一个整体.
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数.本课结束课件40张PPT。1.3.1 利用导数判断函数的单调性第一章 §1.3 导数的应用学习目标
1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点 函数的单调性与其导数观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答案答案 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－ <0，y是减函数.利用导数判断函数单调性的法则
(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；
(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间.梳理特别提醒：(1)利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是函数f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件.
(2)在区间(a，b)内可导的函数f(x)在区间(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(x∈(a，b))恒成立且f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.
(3)特别地，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数.题型探究例1 证明：函数 在区间 上是单调减函数.证明类型一 判断函数的单调性∴cos x<0，sin x＞0，∴xcos x－sin x<0，关于利用导数证明函数单调性的问题：
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.
(2)若f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，若f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.证明又0(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.跟踪训练2 函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调减区间为
____________________.答案解析解析 由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，解答例3 讨论函数f(x)＝ ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.命题角度2 含参数的函数求单调区间解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.(1)讨论参数要全面，做到不重不漏.
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解.跟踪训练3 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.解答解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上是减函数，在(ln a，＋∞)上是增函数.类型三 已知函数的单调性求参数的范围例4 若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解答解 f′(x)＝3x2＋2x＋m，
由于f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.
由于导函数的二次项系数3>0，
所以只能有f′(x)≥0恒成立.
方法一 由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，
只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，方法二 3x2＋2x＋m≥0恒成立，
即m≥－3x2－2x恒成立.已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理：f(x)在(a，b)上是单调(减)函数，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.
(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上是单调增(减)函数，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，注意验证等号对有限个x成立.跟踪训练4 (1)已知函数f(x)＝ 在(－2，＋∞)内是单调减函数，则
实数a的取值范围为___________.答案解析由函数f(x)在(－2，＋∞)内是单调减函数，
得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，(2)若函数f(x)＝ax3－x2－x－5的单调减区间是( )，求实数a的值.解答解 因为f′(x)＝3ax2－2x－1，且函数f(x)＝ax3－x2－x－5的单调减区间是( )，所以3ax2－2x－1<0的解集为( )，代入可得a＝1.当堂训练1.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的答案23451解析√解析 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：23451由表可知函数y＝f′(x)的图象，
当x∈(－1，b)时，在x轴下方；
当x∈(b，a)时，在x轴上方；
当x∈(a,1)时，在x轴下方.故选C.2.函数f(x)＝3＋x·ln x的单调递增区间是答案23451解析解析 f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，√234513.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是
A.y＝sin2x B.y＝xex
C.y＝x3－x D.y＝－x＋ln(1＋x)答案√解析解析 y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.4.已知f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是___________.23451答案解析解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1，
由题意知在R上f′(x)≤0恒成立，
则Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，5.试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.解答2345123451解 函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减.23451综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；1.在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间.
2.一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间.
3.当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间.
4.两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接.本课结束课件59张PPT。第1课时 利用导数研究函数的极值第一章 1.3.2 利用导数研究函数的极值学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 极值的概念观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.答案答案 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；
极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).思考2 导数为0的点一定是极值点吗？答案答案 不一定，如f(x)＝x3，尽管由f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是增函数，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点.极值的概念
(1)极大值与极大值点
已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作 ，并把 称为函数f(x)的一个极大值点.梳理y极大＝f(x0)f(x)如果在x0附近都有 ，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作 ，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.
(3)极值与极值点
与 统称为极值， 与 统称为极值点.f(x)>f(x0)y极小＝f(x0)极大值极小值极大值点极小值点题型探究例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图.
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；解答类型一 求函数的极值命题角度1 不含参数的函数求极值解 f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x＝0时，f(x)有极小值且f(x)极小值＝0.
函数的草图如图所示.解答令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝ ，没有极小值.
函数的草图如图所示.(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则.
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③观察f′(x)在方程根左右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.
注意：f′(x)无意义的点也要讨论，可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断. 跟踪训练1 设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则C.f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D.f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)解析 当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3).答案解析例2 设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；解答命题角度2 含参数的函数求极值解 由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，
解得x1＝0，x2＝a－1，
当a＝1时，f′(x)＝6x2，
f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上是单调增函数，
在(0，a－1)上是单调减函数，在(a－1，＋∞)上是单调增函数.(2)讨论f(x)的极值.解答解 由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值.
当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行.跟踪训练2 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；解答因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)求函数f(x)的极值.解答①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.类型二 已知函数极值求参数解答解 f′(x)＝x2＋(a－1)x＋a，
因为f(x)在(0,1)内有极大值和极小值，
所以f′(x)＝0在(0,1)内有两不等实根，已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪训练3 (1)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
①求a，b，c的值；解答解 ∵函数图象过原点，∴c＝0，
即f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又∵函数f(x)的图象与直线y＝0在原点处相切，
∴f′(0)＝0，解得b＝0，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a).解得a＝－3.
∴a＝－3，b＝c＝0.解答②求函数的单调减区间.解 由①知f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2).
由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，
∴0∴函数f(x)的单调减区间是(0,2).解答当00，
当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上是单调增函数，在(1，＋∞)上是单调减函数，
∴函数f(x)在x＝1处取得极大值.类型三 函数极值的综合应用例4 (1)函数f(x)＝ x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则
实数a的取值范围是__________.答案解析∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：且f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，(2)已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝ f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.解答＝x2＋x＋3＋m.
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，
即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.跟踪训练4 若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.解答解 令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，g(x)与g′(x)随x在(－2，＋∞)上的变化情况如下表：由上表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.所以－2ln 2故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3].当堂训练1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是
A.在(1,2)上函数f(x)为增函数
B.在(3,4)上函数f(x)为减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点答案23451解析√解析 根据导函数图象知，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0.
∴f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，
x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.234512.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
A.－1C.a<－1或a>2 D.a<－3或a>6答案23451解析解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.
因为f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.√234513.函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝_____，b＝_____.答案解析－223451∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，即为2bx2＋3x＋a＝0的两根，4.直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________.23451解析解析 f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，
∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2(1)求a，b的值；解答23451(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.解答2345123451又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：23451∴f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞).1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)的符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.本课结束课件51张PPT。第2课时 利用导数研究函数的最值第一章 1.3.2 利用导数研究函数的极值学习目标
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 函数的最大(小)值与导数观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.答案答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.思考4 怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？答案 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.(1)函数的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]内一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 或 取得，由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使________
的点取得，因此把函数在 的值与区间内使 的点的值作比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为最小值.梳理f′(x)＝0极值点区间端点区间端点f′(x)＝0(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点；
②计算函数f(x)在区间内使 的所有点和 的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.f′(x)＝0f′(x)＝0端点题型探究例1 已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间；解答类型一 求函数的最值命题角度1 不含参数的函数求最值解 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
单调减区间为(－1,1).解答f(x)的极大值为f(－1)＝2，f(x)的极小值为f(1)＝－2，求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.解析 f′(x)＝2x＋sin x，
令f′(x)＝0，即2x＋sin x＝0，得x＝0，答案解析解答由f′(x)＝0，得x＝1，－2(舍去).
函数f′(x)，f(x)随x的变化状态如下表：例2 已知函数f(x)＝ax3－ x2＋b(x∈R).
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝6x－8，求a，b的值；解答命题角度2 含参数的函数求最值解 f′(x)＝3ax2－3x，
由f′(2)＝6，得a＝1.
由切线方程为y＝6x－8，得f(2)＝4.
又f(2)＝8a－6＋b＝b＋2，所以b＝2，
所以a＝1，b＝2.(2)若a>0，b＝2，当x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值.解答解 f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1).①若 >1，即0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：②若0< <1，即a>1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：跟踪训练2 求函数f(x)＝ x3－4x＋4在[0，a](a>0)上的最大值和最小值.解答解 f′(x)＝x2－4.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去).
因为0≤x≤a，所以当0所以f(x)在区间[0，a]上是减函数.当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝4.从上表可知：当x＝2时，f(x)取最小值f(2)＝－ ，
f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个.当a>2时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：综上可得：类型二 由函数的最值求参数解答例3 (1)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.解答(2)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围.解 h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)及h(x)的变化情况如下表：当x＝－3时，f(x)取极大值28；当x＝1时，f(x)取极小值－4.
而h(2)＝3即k的取值范围为(－∞，－3].已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.跟踪训练3 设函数f(x)＝ln x＋ ，m>0，求f(x)的最小值为2时的m的值.解答所以当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)在(0，m)上是减函数，
当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(m，＋∞)上是增函数，
所以当x＝m时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2，
即f(m)＝ln m＋ ＝2，所以m＝e.类型三 与最值有关的恒成立问题例4 (1)已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围为__________.答案解析(－∞，4]解析 由2xln x≥－x2＋ax－3，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)为单调减函数，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)为单调增函数.
∴h(x)min＝h(1)＝4.
∴a≤h(x)min＝4.(2)设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0).
①求f(x)的最小值h(t)；解答解 ∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.②若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解答解 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，
即等价于1－m<0，
∴m的取值范围为(1，＋∞).分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4 设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值；解答解 由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间.
因此，x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.解答即ln a0成立.
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0故a的取值范围为(0，e).当堂训练1.函数f(x)＝x3－3x(x<1)
A.有最大值，无最小值
B.有最大值，最小值
C.无最大值，最小值
D.无最大值，有最小值答案23451解析√解析 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝－1或1(舍去)，
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)为单调增函数；
当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，f(x)为单调减函数.
故f(x)有最大值而无最小值.2.函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为
A.4e－1 B.1 C.e2 D.3e2答案23451解析解析 f′(x)＝xex＋1(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
当f′(x)>0时，x<－2或x>0；
当f′(x)<0时，－2当x＝1时，f(1)＝e2，所以函数的最大值为e2.故选C.23451答案解析234514.已知函数f(x)＝ x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的
取值范围是__________.解析答案所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－ .
不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，2345123451解析答案234511.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.
2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.本课结束课件53张PPT。1.3.3 导数的实际应用第一章 §1.3 导数的应用学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点 生活中的最优化问题1.最优化问题的概念
在经济生活中，为使经营利润 、生产效率 ，或为使用力 、用料 、消耗 等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略.这些都是最优化问题.
2.解决最优化问题的基本步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值；
(4)依据实际问题的意义给出答案.最大最高最省最少最省题型探究类型一 平面几何中的最值问题解答例1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.解 设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，
∴y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度).
(1)将S表示为θ的函数；解答解 由题干图知BM＝AOsin θ＝100sin θ，
AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，
则S＝ MB·AB＝ ×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π).(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.解答解 S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1).即点A到北京路一边l的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题解答例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为 立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；两端两个半球的表面积之和为4πr2.解答(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.令y′<0，得0所以当r＝2 米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，解答引申探究
本例中，若r∈(0,1]，求最小建造费用.解 由例2(2)可知，∴当r＝1时，ymin＝136π.
∴最小建造费用为136π 万元.(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练2 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正棱锥的高PO1的4倍.
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？解答解 由PO1＝2 m知，O1O＝4PO1＝8 m.
因为A1B1＝AB＝6 m，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3).
所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解答解 设A1B1＝a m，PO1＝h m，
则0完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解答命题角度1 利润最大问题解 当0(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；解答所以a＝2.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答所以商场每日销售该商品所获得的利润为＝2＋10(x－3)(x－6)2， 3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).由上表可知，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：解答例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元/km和5a 元/km，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？命题角度2 费用(用材)最省问题解 如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，
设点C距点D为x km，又设总的水管费用为y元，令y′＝0，解得x＝30，
在(0,50)上，y只有一个极值点，
根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，
此时AC＝50－x＝20 (km).
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；解答解 设隔热层厚度为x cm，而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.解答当0当50，答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.当堂训练1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为
A.4 B.6 C.4.5 D.8答案23451√解析23451解析 设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，令S′(x)＝0，解得x＝8，
判断知当x＝8时，S(x)取得最小值.2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产
A.9千台 B.8千台
C.6千台 D.3千台答案23451解析解析 构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，
由y′＝0，得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点.√23451答案解析3.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，
当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.23451解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100－x.
设正方形与圆形的面积之和为S，234514.某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)＝1 200＋ x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为_____件.解析答案2345125解析 设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k(k为比例系数).23451由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，
当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，y取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为25件.234515.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(单位：万元)与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站____千米处.解析答案5令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，此点即为最小值点.
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小.234511.利用导数解决生活中最优化问题的基本思路
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题，利用数学知识建立实际问题的数学模型，再对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，最后把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：2.解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.本课结束课件48张PPT。1.4.1 曲边梯形面积与定积分第一章 §1.4 定积分与微积分基本定理学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 曲边梯形的面积如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，该图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案答案 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.思考2 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答案答案 ①分割；
②近似代替；
③求和；
④取极限.(1)曲边梯形
曲线与平行于 的直线和 所围成的图形，称为曲边梯形.
(2)求曲边梯形面积的方法
求由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形(如图①)的面积的步骤 梳理x轴y轴①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些
(如图②)；
②近似代替：对每个小曲边梯形“ ”，
即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，
得到每个小曲边梯形的面积的 ；
③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；
④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积.小曲边梯形以直代曲近似值思考 知识点二 定积分的概念与基本性质分析求曲边梯形的面积和变力所做的功，找一下它们的共同点.答案答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.定积分的有关概念与基本性质
(1)函数定积分的定义
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)，用分点a＝x0 .梳理当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 .
(2)定积分的定义式(3)定积分的相关名称被积
函数被积式积分
下限积分
上限(4)定积分的基本性质题型探究例1 求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n2＝ n(n＋1)·(2n＋1)].解答类型一 求曲边梯形的面积解 令f(x)＝x2＋1.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为(2)近似代替、求和(3)取极限求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲.
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限.
(3)关键：近似代替.
(4)结果：分割越细，面积越精确.
(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.解答解 ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，
∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影.得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积.(1)分割
将区间[0,2] n等分，(2)近似代替、求和(3)取极限类型二 利用定积分表示曲边梯形的面积解答例2 利用定积分表示由直线y＝x－2，曲线x＝y2围成的平面区域的面积S.解 曲线所围成的平面区域如图所示，(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分
? f(x)dx的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积.一般情况下，如图，定积分? f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线x＝a、x＝b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.(2)利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题，定积分的值可正可负可为零，而面积是正值.跟踪训练2 利用定积分表示下图中阴影部分的面积.答案则(1)____________； (2)____________.类型三 利用定积分的几何意义求定积分例3 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.解答解答解答引申探究解答解答解答利用定积分所表示的几何意义求? f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.跟踪训练3 用定积分的几何意义求：解答(2) ；解答解 如图2，由于A的面积等于B的面积，从而 ＝0.解答解 令f(x)＝|x＋1|＋|x－1|－4，作出f(x)在区间[－3，3]上的图象，如图3所示，易知定积分? f(x)dx表示的就是图中阴影部分的面积的代数和.∵阴影部分的面积S1＝S3＝1，S2＝6，
∴? (|x＋1|＋|x－1|－4)dx＝1＋1－6＝－4.当堂训练1.下列结论中成立的个数是答案23451解析A.0 B.1 C.2 D.3√解析 ②③成立.2.关于定积分a＝? (－2)dx的叙述正确的是
A.被积函数为y＝2，a＝6 B.被积函数为y＝－2，a＝6
C.被积函数为y＝－2，a＝－6 D.被积函数为y＝2，a＝－6答案23451解析解析 由定积分的概念可知，√由定积分的几何意义知，? (－2)dx等于由直线x＝－1，
x＝2，y＝0，y＝－2所围成的图形的面积的相反数，234513.求由曲线y＝ x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是______.答案解析1.024.? 2(x－2)dx＝____.23451解析答案55.计算： 解答23451解 由定积分的几何意义，得由定积分的几何意义，得 ＝0.所以 ＝ －5 ＝2π.2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分.
对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.3.几类曲边梯形的面积与定积分的关系本课结束课件34张PPT。1.4.2 微积分基本定理(一)第一章 §1.4 定积分与微积分基本定理学习目标
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 微积分基本定理f(x)与F′(x)有何关系？答案答案 F′(x)＝2x＋1＝f(x).已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x.思考2 答案F(2)－F(0)＝6.(1)微积分基本定理
①条件：F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积；
②结论：? f(x)dx＝ ；梳理F(b)－F(a)F(b)－F(a)(2)常见函数的定积分公式题型探究例1 求下列定积分.解答类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.解答解答解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x).
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).跟踪训练1 计算下列定积分.解答解答解 解答命题角度2 求分段函数的定积分解 解答分段函数的定积分的求法
(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算.
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算.解答解答类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若 f(x)dx＝6，则t＝___.3解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.(2)已知2≤? (kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________.答案解析解答引申探究∴t2－t＝t－1，得t＝1.(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.跟踪训练3 (1)已知x∈(0,1]，f(x)＝? (1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________.答案[0,2)∴f(x)的值域为[0,2).解析(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0).若? f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为___.答案解析＝当堂训练答案2341解析√2. 等于答案2341解析√解析 23413.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，? f(x)dx＝－2.求a，b，c的值.解答解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2， ①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0， ②由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.2341解答2341取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.1.求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分.
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.本课结束课件34张PPT。1.4.2 微积分基本定理(二)第一章 §1.4 定积分与微积分基本定理学习目标
会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.曲边梯形的面积
(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ .
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积S＝ .2.两函数图象围成图形的面积
当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，
x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的
平面图形的面积S＝? [f(x)－g(x)]dx.(如图)题型探究例1 试求曲线y＝x2－2x＋3与y＝x＋3所围成的图形的面积.解答类型一 利用定积分求面积命题角度1 求不分割型图形的面积解 如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积.求由曲线围成图形面积的一般步骤
(1)根据题意画出图形.
(2)找出范围，确定积分上、下限.
(3)确定被积函数.
(4)将面积用定积分表示.
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果.跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积.解答所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)，
设所求图形面积为S，根据图形，解答命题角度2 分割型图形面积的求解解 画出图形，如图所示.得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，(2)由抛物线y2＝8x (y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积
为________.答案解析解析 由题意，如图所示，所以抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0的交点坐标为(2,4).方法一 (选y为积分变量)方法二 (选x为积分变量)两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.答案解析类型二 定积分的综合应用例3 在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为 ，试求：切点A的坐标以及在切点A处的切线方程.解答解 如图，设切点A(x0，y0)，
其中x0≠0，
由y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，设由曲线和过点A的切线与x轴围成图形的面积为S，
则S＝S曲边△AOB－S△ABC，从而切点为A(1,1)，
切线方程为2x－y－1＝0.本类题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决.跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.解答解 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，当堂训练1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有① ②23451③ ④A.①③ B.②③ C.①④ D.③④√答案解析③和④正确，故选D.234512.曲线y＝cos x(0≤x≤ )与坐标轴所围成图形的面积是答案解析√解析 234513.曲线y＝ex，y＝e－x及x＝1所围成的图形的面积为____________.23451答案解析23451答案解析解答234515.求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积.解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积.
由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，23451对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时：
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标.
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差.
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.本课结束课件50张PPT。习题课 导数的应用第一章 导数及其应用学习目标
1.能利用导数研究函数的单调性.
2.理解函数的极值、最值与导数的关系.
3.掌握函数的单调性、极值与最值综合应用.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：增减知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法(1)求导数f′(x)；
(2)求方程 的所有实数根；
(3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号变化.如果f′(x)的符号 ，则f(x0)是极大值；如果 ，则f(x0)是极小值，如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右侧，f′(x)的符号不变，则f(x0) .由正变负由负变正f′(x)＝0不是极值题型探究 类型一 构造法的应用命题角度1 比较函数值的大小答案解析解析 由f′(x)sin x>f(x)cos x，
即f′(x)sin x－f(x)cos x>0，此类题目的关键是构造出恰当的函数，求出该函数的导数，利用单调性进而确定函数值的大小. A.aC.a则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数.
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数.∵g(x)是偶函数， 例2 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为
A.(－∞，0) B.(－∞，2)
C.(0，＋∞) D.(2，＋∞)命题角度2 求解不等式解析答案∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，
即函数g(x)在定义域上为单调减函数.
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)∵函数g(x)为单调减函数，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.构造恰当的函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围.跟踪训练2 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且f(1)＝0，其导函数记为f′(x)，当x>0时，满足xf′(x)－f(x)>0，则f(x)>0的解集为____________________.(－1,0)∪(1，＋∞)解析答案当x>0时，g′(x)>0，则g(x)为增函数，
由此可画出g(x)的草图，如图，
所以f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞).类型二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值解答例3 已知f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝ ，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间和极值；所以当0此时函数f(x)为单调减函数，
当10，
此时函数f(x)为单调增函数，
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝1.证明(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋ ；证明 因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0，e]上的最小值为1.所以当00，
此时g(x)为单调增函数.解答(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解 假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]有最小值3，①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，e]上为单调减函数，此时函数f(x)的最小值不是3.此时函数f(x)的最小值不是3.
综上可知，存在实数a＝e2，使f(x)的最小值是3.(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练3 已知函数f(x)＝ ＋aln x(a≠0，a∈R).
(1)若a＝1，求函数f(x)的极值和单调区间；解答令f′(x)＝0，得x＝1，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x＝1时，f(x)的极小值为1.
f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1).(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x0，使得f(x0)<0成立，求实数a的取值范围.解答若在区间(0，e]上存在一点x0，使得f(x0)<0成立，
其充要条件是f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0.∴f(x)在区间(0，e]上单调递减，∴f(x)在区间(0，e]上单调递减，显然，f(x)在区间(0，e]上的最小值小于0不成立.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：得1－ln a<0，解得a>e，即a∈(e，＋∞).类型三 导数的综合应用例4 已知函数f(x)＝ex－cx－c(c为常数，e是自然对数的底数)，f′(x)是函数y＝f(x)的导函数.
(1)求函数f(x)的单调区间；解答解 函数f(x)＝ex－cx－c的导数为f′(x)＝ex－c，
当c≤0时，f′(x)>0恒成立，可得f(x)的增区间为R；
当c>0时，由f′(x)>0，可得x>ln c，
由f′(x)<0，可得x可得f(x)的增区间为(ln c，＋∞)，减区间为(－∞，ln c).(2)当c>1时，试求证：
①对任意的x>0，不等式f(ln c＋x)>f(ln c－x)恒成立；证明证明 f(ln c＋x)－f(ln c－x)＝eln c＋x－c(ln c＋x)－c－eln c－x＋c(ln c－x)＋c＝c(ex－e－x－2x)，
设g(x)＝ex－e－x－2x，x>0，
则g′(x)＝ex＋e－x－2，即g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，
可得g(x)>g(0)＝0，
又c>1，则c(ex－e－x－2x)>0，
可得不等式f(ln c＋x)>f(ln c－x)恒成立.②函数y＝f(x)有两个相异的零点.证明证明 函数f(x)＝ex－cx－c的导数为f′(x)＝ex－c，当c>1时，f(x)的增区间为(ln c，＋∞)；减区间为(－∞，ln c)，
可得f(x)在x＝ln c处取得极小值，且为最小值，
由f(ln c)＝eln c－cln c－c＝c－cln c－c＝－cln c<0，
可得f(x)＝0有两个不等的实根，
则函数y＝f(x)有两个相异的零点.利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时，注意运用构造函数和转化思想.跟踪训练4 已知函数f(x)＝ax－ln x－1，若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋y－1＝0垂直.
(1)求a的值；解答解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞).解答(2)函数g(x)＝f(x)－m(x－1)(m∈R)恰有两个零点x1，x2(x1所以g(x)在(0，＋∞)上为单调减函数，
此时只存在一个零点，不合题意.下面判断极小值的正负，设h(m)＝m＋ln(1－m)，m<1.
①当m＝0时，h(0)＝0，即g(x)极小值＝0，
此时g(x)恰有一个零点不合题意.当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下表：当m<0时，h′(m)>0；
当0所以h(m)在(－∞，0)上为单调增函数，在(0,1)上为单调减函数，
所以h(m)综上，m的取值范围是(－∞，0)∪(0,1).当堂训练1.若函数y＝x3＋2x2＋mx是R上的单调函数，则实数m的取值范围是答案23451√2.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a)答案23451解析解析 设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，
∴g(x)在区间(0，＋∞)上为单调减函数或g(x)为常函数.
∵a3，则f(x)>3x＋4的解集为____________.(－1，＋∞)解析 设F(x)＝f(x)－(3x＋4)，
则F(－1)＝f(－1)－(－3＋4)＝1－1＝0.
又对任意的x∈R，f′(x)>3，
∴F′(x)＝f′(x)－3>0，
∴F(x)在R上是增函数，
∴F(x)>0的解集是(－1，＋∞)，
即f(x)>3x＋4的解集为(－1，＋∞).4.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则f(0)＋f(2)与2f(1)的大小关系为__________________.解析答案解析 当x<1时，f′(x)≤0；
当x>1时，f′(x)≥0，
故f′(1)＝0.由f(x)的任意性知，f(x)在[0,2]上有唯一的极小值f(1)，
即f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，
所以f(0)＋f(2)≥2f(1).23451f(0)＋f(2)≥2f(1)23451证明5.已知x>0，求证：x>sin x.证明 设f(x)＝x－sin x(x>0)，f′(x)＝1－cos x≥0
对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴函数f(x)＝x－sin x在(0，＋∞)上是单调增函数.
又f(0)＝0，
∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，
∴x>sin x(x>0).导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.本课结束课件42张PPT。章末复习课第一章 导数及其应用学习目标
1.理解导数的几何意义，并能解决有关斜率、切线方程等问题.
2.掌握初等函数的求导公式.
3.熟练掌握利用导数判断函数单调性，会用导数求函数的极值与最值.
4.掌握微积分基本定理，能利用积分求不规则图形的面积.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.函数y＝f(x)在点x0处的导数
(1)定义式：f′(x0)＝__________________.(2)几何意义：曲线在点(x0，f(x0))处切线的 .斜率2.基本初等函数的导数公式nxn－10μxμ－1axln acos x－sin x3.导数的四则运算法则f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x) f′(x)±g′(x)4.复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x)).
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x).
(3)逐层求导法则：yx′＝ .
5.函数的单调性与其导数符号的关系
设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0?f(x)在此区间是 .
(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0?f(x)在此区间是 .增函数减函数yu′· ux′6.求函数y＝f(x)的极值的步骤
(1)求导数f′(x).
(2)求方程 的所有实数根.
(3)考查在每个根x0附近，从 ，导函数f′(x)的符号如何变化.
若f′(x)的符号 ，则f(x0)是极大值；
若 ，则f(x0)是极小值；
若 ，则f(x0)不是极值.左到右由正变负f′(x)＝0由负变正符号不变7.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值
函数的最值必在 或区间 取得.
因此把函数在区间端点的值与区间内的极值比较，最大者必为函数在[a，b]上的 ，最小者必为函数在[a，b]上的 .端点最大值极值点最小值8.定积分原函数F(b)－F(a)题型探究类型一 导数与曲线的切线解答令a＋b＝φ(t)＝－ln t＋t2－t－1，当t∈(0,1)时，φ′(t)<0，φ(t)在(0,1)上单调递减；
当t∈(1，＋∞)时，φ′(t)>0，φ(t)在(1，＋∞)上单调递增.
即当t＝1时，φ(t)取得极小值，也为最小值.
则a＋b＝φ(t)≥φ(1)＝－1，
故a＋b的最小值为－1.利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 ＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型.跟踪训练1 已知曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线的斜率为k，若k的最小值为4，则此时切点的坐标为 .解析答案(1,1)解析 函数y＝x2＋aln x(a>0)的定义域为{x|x>0}，
则a＝2，当且仅当x＝1时等号成立，此时y＝1，
所以切点的坐标为(1,1).类型二 利用导数研究函数的单调性、极值与最值解答例2 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) ，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调增区间；解答(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值.f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，
由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，
得a＝－10或a＝－6(舍去)，
当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，
f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意.
综上，a＝－10.本类题考查了分类讨论思想
(1)解题时首先要思考为什么分类，即分类依据是什么，一般的分类依据如：方程类型、根的个数及与区间的关系、不等号的方向等；其次考虑分几类，每一类中是否还需要分类.
(2)分类讨论的基本原则是不重不漏.跟踪训练2 已知函数f(x)＝ex－ax，a>0.
(1)记f(x)的极小值为g(a)，求g(a)的最大值；解答解 函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，
f′(x)＝ex－a，
令f′(x)>0，得x>ln a，所以f(x)的单调增区间是(ln a，＋∞)；
令f′(x)<0，得x函数f(x)在x＝ln a处取极小值，
g(a)＝f(x)极小值＝f(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a，
g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a，
当00，g(a)在(0,1)上单调递增；
当a>1时，g′(a)<0，g(a)在(1，＋∞)上单调递减，
所以a＝1是函数g(a)在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，
所以g(a)max＝g(1)＝1.(2)若对任意实数x恒有f(x)≥0，求f(x)的取值范围.解答解 当x≤0时，a>0，ex－ax≥0恒成立，当01时，h′(x)>0，
故h(x)的最小值为h(1)＝e，
所以a≤e，故实数a的取值范围是(0，e].
f(a)＝ea－a2，a∈(0，e]，f′(a)＝ea－2a，由上面可知ea－2a≥0恒成立，故f(a)在(0，e]上单调递增，所以f(0)＝1即f(x)的取值范围是(1，ee－e2].类型三 定积分及其应用例3 如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.解答求两个曲线围成平面图形面积的方法
(1)画出两个曲线，先将两个方程联立方程组求解，得到两个曲线的交点的横坐标a，b(a(2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，即S＝? [f1(x)－f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).跟踪训练3 求由曲线y＝2x－x2及y＝2x2－4x所围成的图形的面积.解答解得x1＝0，x2＝2.
如图，由于y＝2x2－4x与x轴围成图形的面积为负值，故应加绝对值符号.方法二 同方法一，两曲线的交点为(0,0)，(2,0)，如图所示，所围成图形的面积＝3×4－23＝4.当堂训练答案23451√解析2.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图象如图所示，则有
A.a>0，c<0 B.a>0，c>0
C.a<0，c<0 D.a<0，c>0答案23451解析解析 由函数f(x)的图象知f(x)先递增，再递减，再递增，
∴f′(x)先为正，再变为负，再变为正.
∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∴a>0，
∵0在递减区间内，∴f′(0)<0，即c<0，故选A.√23451答案√解析解析 ∵f(x)＝ax2＋c(a≠0)，4.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝ .解析答案解析 ∵直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，
∴f(3)＝1.又点(3,1)在直线l上，234510∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，23451解答5.设函数f(x)＝ln x－ ax2－bx.
(1)当a＝－2，b＝3时，求函数f(x)的极值；解 依题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－2，b＝3时，f(x)＝ln x＋x2－3x(x>0)，f(x)的极小值为f(1)＝－2.23451解答23451解答(3)当a＝0，b＝－1时，方程f(x)＝mx在区间[1，e2]内恰有两个实数解，求实数m的取值范围.解 当a＝0，b＝－1时，
f(x)＝ln x＋x＝mx(x∈[1，e2])，1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围.这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围.
2.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域.(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零.(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可.本课结束