课件43张PPT。2.1.1 合情推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 推理1.推理的概念与分类
(1)根据一个或几个 得出一个判断，这种思维方式就是推理.
(2)推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)，叫做 ；一部分是由已知推出的判断，叫做 .
(3)推理一般分为 与 .
2.合理推理
前提为真时，结论 的推理，叫做合情推理.常用的合情推理有 和 .已知事实(或假设)前提结论合情推理演绎推理可能为真归纳推理类比推理知识点二 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？答案答案 属于归纳推理.符合归纳推理的定义特征.归纳推理
(1)定义：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的 都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)，归纳是从 到 的过程.
(2)归纳推理的一般步骤
①通过观察个别情况发现某些 ；
②从已知的 中推出一个明确表述的 命题(猜想).梳理所有对象特殊一般相同性质一般性相同性质知识点三 类比推理思考 由三角形的性质：①三角形的两边之和大于第三边，②三角形面积等于高与底乘积的 .
可推测出四面体具有如下性质：
(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，
(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 .
该推理属于什么推理？答案答案 类比推理.类比推理
(1)定义：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物 的性质的推理，叫做类比推理(简称类比).
(2)类比推理的一般步骤
①找出两类事物之间的 或 ；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 的命题(猜想).梳理类似(或相同)相似性一致性明确题型探究例1 (1)观察下列等式：类型一 归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理据此规律，第n个等式可为
________________________________________________.解析 等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，
故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为 ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，
故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右边应为 .答案解析答案解析又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，引申探究
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N＋)的表达式.解答又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；③提炼出等式(或不等式)的综合特点；④运用归纳推理得出一般结论.
(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式. 答案解析答案解析 例2 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点的个数为
A.(n＋1)(n＋2) B.(n＋2)(n＋3)
C.n2 D.n命题角度2 几何中的归纳推理答案解析解析 由已知图形我们可以得到：
当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，
当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，
当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，
当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，
…，
则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，
故选B.图形中归纳推理的特点及思路
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系.
(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化.答案解析跟踪训练2 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________.5n＋1解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，
从而第n个图案中黑色地面砖的块数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.类型二 类比推理解答解 对平面凸四边形：(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.
(2)平面图形与空间图形的类比如下：跟踪训练3 (1)若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝
(n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则有数列dn＝____________ (n∈N＋)也是等比数列.答案解析(2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边.类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想.解答解 如图所示，在四面体P-ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小.
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，
其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.当堂训练1.有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色.两种彩旗排成一行：
???????????????????????????…，
那么在前200个彩旗中黄旗的个数为
A.111 B.89 C.133 D.67答案23451解析解析 观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗.则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.故选D.√2.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是
A.三角形 B.梯形
C.平行四边形 D.矩形答案√23451解析解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.3.观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得到的一般结论是
A.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D.n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2答案√23451解析解析 观察容易发现根据n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.23451解析答案√5.在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.解答23451于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.证明如下：234511.用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.
2.进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.
3.多用下列技巧会提高所得结论的准确性：
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些.
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.本课结束课件36张PPT。2.1.2 演绎推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标
1.理解演绎推理的意义.
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 演绎推理的含义思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除.答案答案 都是由真命题，按照一定的逻辑规则推出正确的结论.演绎推理的含义
(1)定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到
的过程，通常叫做演绎推理.
(2)特征：当前提为真时， 必然为真.梳理正确结论结论知识点二 演绎推理规则思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案答案 分为三段.
大前提：所有的金属都能导电；
小前提：铜是金属；
结论：铜能导电.演绎推理的规则梳理已知的一般原理所研究的特殊情况题型探究例1 选择合适的演绎推理规则写出下列推理过程.
(1)函数y＝sin x(x∈R)是周期函数；类型一 三种演绎推理的形式解 三段论推理：三角函数是周期函数， 大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数， 小前提
所以y＝sin x(x∈R)是周期函数. 结论解答解答(3)若n∈Z，求证n2－n为偶数.解 归纳推理：
∵n2－n＝n(n－1)，∴当n为偶数时，n2－n为偶数，
当n为奇数时，n－1为偶数，n2－n为偶数，
∴当n∈Z时，n2－n为偶数.解答对于某一问题的证明中选择哪一种推理规则有时是不唯一的，在证明等量关系、不等关系(放缩法)或立体几何中的平行关系时，常选用传递性关系推理；在涉及含参变量的证明题，需要分类讨论时，常选用完全归纳推理；根据定理证题，往往用三段论推理.跟踪训练1 选择合适的推理规则写出下列推理过程：
(1)75是奇数.解 三段论推理：一切奇数都不能被2整除. 大前提
75不能被2整除. 小前提
75是奇数. 结论解答(2)平面α，β，已知直线l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m.解 传递性关系推理：如图，在平面α内任取.
点P(P?m)，∵l∥α，
∴P?l，则l与点P确定一平面与α相交，
设交线为a，则a∥l，
同理，在β内任取一点Q(Q?m)，l与点Q确定一平面与β交于b，则l∥b，从而a∥b.
由P∈a，P?m，∴a?β，而b?β，∴a∥β.
又a?α，α∩β＝m，∴a∥m，∴l∥m.解答例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.命题角度1 用三段论证明几何问题证明类型二 三段论的应用证明 因为同位角相等，两直线平行， 大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提
DE∥BA，且FD∥AE， 小前提
所以四边形AFDE为平行四边形. 结论
因为平行四边形的对边相等， 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提
所以ED＝AF. 结论(1)用“三段论”证明命题的格式×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路；
②找出每一个结论得出的原因；
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.证明跟踪训练2 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提
点E、F分别是AB、AD的中点， 小前提
所以EF∥BD. 结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD， 小前提
所以EF∥平面BCD. 结论例3 设函数f(x)＝ ，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.命题角度2 用三段论解决代数问题解答解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R， 大前提
因为f(x)的定义域为R， 小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立， 结论
所以Δ＝a2－4a<0，
所以0
即当0若例3的条件不变，求f(x)的单调增区间.解答由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵00.
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞).
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).当2∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞).
综上所述，当0当a＝2时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当2(2)在解题过程中常省略大前提.证明跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.证明 方法一 (定义法)
任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，且a>1，所以 >1，
而－10，x2＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.
方法二 (导数法)又a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.当堂训练1.下面几种推理过程是演绎推理的是
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁
内角，则∠A＋∠B＝180°
B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人
数超过50人
C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质答案23451解析√解析 A是演绎推理，B、D是归纳推理，C是类比推理.2.“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，又y＝ 是对数函数(小前提)，所以y＝ 是增函数(结论).”下列说法正确的是
A.大前提错误导致结论错误
B.小前提错误导致结论错误
C.推理形式错误导致结论错误
D.大前提和小前提都错误导致结论错误答案√23451解析解析 y＝logax是增函数错误.故大前提错误.3.三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是
A.① B.②
C.①② D.③答案√2345123451答案4.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，
则大前提：____________________________；
小前提：___________________________；
结论： ___________________________________.二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线5.设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.证明证明 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，
那么方程有两个相异实根. 大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0， 小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根. 结论234511.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.
2.合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
3.合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.本课结束课件35张PPT。2.2.1 综合法与分析法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.
2.会用综合法、分析法解决问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 直接证明直接证明是从命题的 出发，根据已知的定义、公理、定理， 推证结论的真实性.常用的直接证明方法有综合法与分析法.条件或结论直接知识点二 综合法思考 该题的证明顺序是什么？答案答案 从已知利用基本不等式到待证结论.综合法
(1)定义：综合法是从 出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论.
(2)逻辑关系：P0(已知)?P1?P2?…?Pn?Q(结论).
(3)特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“ ”，其逐步推理，实际上是寻找它的 条件.梳理已知条件未知必要知识点三 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件.答案分析法
(1)定义：分析法是从 出发，一步一步寻求结论成立的 条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
(2)逻辑关系：B(结论)?B1?B2?…?Bn?A(已知).
(3)特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“ ”，其逐步推理，实际上是要寻找它的 条件.
(4)证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××，…，因为×××成立，所以×××成立.梳理待证结论充分已知充分题型探究例1 在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.类型一 综合法的应用证明 在△ABC中，A＋B＋C＝π，由A，B，C成等差数列，得2B＝A＋C，因此，B＝ ，
由a，b，c成等比数列，得b2＝ac.
又∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c.故△ABC是等边三角形.证明用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论.其适用范围为：
(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性等.
(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用各种条件逐步逼近结论的题型.在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱.跟踪训练1 已知a，b，c为不全相等的正实数.证明又a，b，c为不全相等的正实数，且上述三式等号不能同时成立，证明类型二 分析法的应用即证a2＋b2≥2ab.
由于a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，(1)当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即证”这些词语必不可少，否则会出现错误.
(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解.证明只需证0<2，而0<2显然成立，证明类型三 综合法与分析法的综合应用例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且0若本例条件不变，改为求证： 证明证明 要证 成立，只需证 ，只需证 ≥ 由于函数 在(0，＋∞)内是减函数，所以只需证(a＋b)2≤(a2＋1)(b2＋1)，
即证a2＋2ab＋b2≤(a2＋1)(b2＋1)，
即证a2b2－2ab＋1≥0，
即证(ab－1)2≥0，上式显然成立，所以原不等式成立.综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因.就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述烦琐，文辞冗长.也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.证明跟踪训练3 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与
c的等差中项，求证：证明 由已知条件得
b2＝ac， ①
2x＝a＋b,2y＝b＋c. ②只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证.当堂训练1.若a>b>0，则下列不等式中不正确的是
A.a2>ab B.ab>b2
C. D.a2>b2答案23451解析√2.要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证
A.2ab－1－a2b2≤0答案23451D.(a2－1)(b2－1)≥0√A.c B.b
C.a D.随x取值不同而不同答案23451√解析23451答案分析法证明2345123451证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，23451即2tan α＝－1.1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.本课结束课件31张PPT。2.2.2 反证法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”思考1 本故事中王戎运用了什么论证思想？答案答案 运用了反证法思想.思考2 反证法解题的实质是什么？答案答案 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.(1)反证法的概念
一般地，由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t，t与 矛盾，或与 矛盾，从而判定 为假，推出 为真的方法，叫做反证法.
(2)反证法常见的几种矛盾
①与假设矛盾；
②与 、定理、公式、定义或 矛盾；
③与 矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾).梳理假设某个綈q真命题q数学公理已被证明了的结论公认的简单事实(3)反证法证明数学命题的一般步骤
①分清命题的 ；
②做出与命题 相矛盾的假设；
③由 出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的 不真，于是 成立，从而间接地证明命题为真.条件和结论结论假定假设原结论题型探究类型一 用反泟法证明否定性命题证明∵a，b，c成等比数列，
∴b2＝ac， ②∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立.对某些结论为肯定形式或者否定命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法.通过反设将肯定命题转化为否定命题或否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的.跟踪训练1 已知正整数，a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证a，b，c不可能都是奇数.证明证明 假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.
左边＝奇数＋奇数＝偶数，右边＝奇数，得偶数＝奇数，矛盾.
∴假设不成立，∴a，b，c不可能都是奇数.类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明证明 假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.即3>3，矛盾.
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.(1)用反证法证明“至少”“至多”类命题，可减少讨论情况，目标明确.否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误.需仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意思.
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：证明跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，Δ2＝(2c)2－4ab≤0，
且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.
同向不等式求和，得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，
所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.证明类型三 用反证法证明唯一性命题例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根.
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 ＝3, ＝3，两式相除得 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立，从而原命题得证.用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.证明跟踪训练3 求证：两条相交直线有且只有一个交点.证明 设两直线为a、b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；至少有两个交点.
(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；
(2)若直线a，b至少有两个交点，设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾.
所以假设不成立，两条相交直线有且只有一个交点.当堂训练1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角答案23451√2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°答案√234513.“aA.a≠b B.a>b
C.a＝b D.a＝b或a>b答案23451√234514.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交答案√证明234515.已知f(x)＝x2＋px＋q.
(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；证明 f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.证明(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 .证明 假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 不成立，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.
因为|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)
＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)＝2，这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2相矛盾，
所以假设不成立，原命题成立，23451用反证法证题要把握三点
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.本课结束课件43张PPT。§2.3 数学归纳法第二章 推理与证明学习目标
1.了解数学归纳法的原理.
2.掌握用数学归纳法证明等式、不等式等简单的数学命题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下.思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案答案 (1)第一辆自行车倒下.
(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下导致后一辆一定倒下.思考2 利用这种思想方法能解决哪类数学问题？答案答案 一些与正整数n有关的问题.(1)数学归纳法
一个与自然数相关的命题，如果①当n取 时命题成立；②在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝ 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取 的所有正整数成立.梳理第一个值n0k＋1第一个值后面(2)数学归纳法的框图表示题型探究类型一 用数学归纳法证明等式证明(2)假设当n＝k时，等式成立，即当n＝k＋1时，等式也成立.
由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立.用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论.证明左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，当n＝k＋1时，∴当n＝k＋1时，等式也成立.
由①②可知，对一切n∈N＋等式成立.类型二 用数学归纳法证明不等式证明即n＝1时不等式成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，那么当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时，不等式成立.(1)验证第一个n值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时也成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.证明证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立.则当n＝k＋1时，(2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立.解答类型三 归纳—猜想—证明例3 已知数列{an}中，a2＝a＋2(a为常数)，Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项.
(1)求a1，a3；解 由已知2Sn＝nan＋na＝n(an＋a).
当n＝1时，S1＝a1，所以2a1＝a1＋a，即a1＝a；
当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3，
所以有2(a1＋a2＋a3)＝3(a3＋a)，
因为a2＝a＋2，a1＝a，所以a3＝a＋4.解答(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明.解 由a1＝a，a2＝a＋2，a3＝a＋4，
猜想：an＝a＋2(n－1).
证明：①当n＝1时，左边＝右边，等式成立；
当n＝2时，由a2＝a＋2知，等式也成立.
②假设当n＝k(k≥2)时，等式成立，
即ak＝a＋2(k－1).
那么当n＝k＋1时，所以2ak＋1＝(ak＋1＋a)(k＋1)－(ak＋a)·k.
所以(k－1)ak＋1＝kak－a.将ak＝a＋2(k－1)代入，得所以当n＝k＋1时，等式也成立.
由①②知，对任意n∈N＋，等式an＝a＋2(n－1)都成立.(1)“归纳—猜想—证明”的解题步骤(2)归纳法的作用
归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法.归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想.“观察—猜想—证明”是解答与自然数有关命题的有效途径.解答跟踪训练3 设a>0，f(x)＝ ，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N＋.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；解 因为a1＝1，an＋1＝f(an)，解答(2)用数学归纳法证明你的结论.解 ①易知当n＝1时，结论成立；
②假设当n＝k (k≥1，k∈N＋)时，猜想成立，则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，猜想也成立.当堂训练1.若命题A(n)(n∈N＋)在n＝k(k∈N＋)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立.现知命题对n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数
都成立
D.以上说法都不正确√解析 由已知得n＝n0(n0∈N＋)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案23451解析2.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝ (a≠1)”.在验证n＝1时，左端计算所得项为
A.1＋a B.1＋a＋a2
C.1＋a＋a2＋a3 D.1＋a＋a2＋a3＋a4
答案√23451解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.解析3.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N＋都成立，那么a，b，c的值为√答案23451解析234514.用数学归纳法证明 在第二步证明从n＝k到n＝k＋1不等式成立时，左边增加的项数为____.2k解析 左边增加的项数为2k＋1－2k＝2k.答案解析解答234515.请观察以下三个式子：归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论.23451解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n＋2)证明：①当n＝1时，左边＝3，右边＝3，
所以命题成立；
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，则当n＝k＋1时，234511×3＋2×4＋…＋k(k＋2)＋(k＋1)(k＋3)23451所以当n＝k＋1时，命题成立.
由①②知，命题成立.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.本课结束课件53张PPT。章末复习课第二章 推理与证明学习目标
1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系，会利用归纳与类比推理进行简单的推理.
2.加深直接证明和间接证明的认识，会应用其解决一些简单的问题.
3.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式与不等式问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.部分个别整体一般特殊特殊2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理；
② ——所研究的特殊情况；
③ ——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.一般特殊大前提小前提结论3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 .
① 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.综合法分析法综合法分析法反证法4.数学归纳法
数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝ 时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝ (k∈N＋，且k≥n0)时结论成立，推得当n＝
时结论也成立.n0k＋1k题型探究类型一 合情推理的应用例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N＋)与组的编号数n的关系式为________.f(n)＝n3解析答案解析 由于1＝13，3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33，
13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n3.(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，AC⊥BC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
①a2＋b2＝c2；
②cos2A＋cos2B＝1；
③Rt△ABC的外接圆半径为r＝ .
把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明.解答解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.
①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，下面对①的猜想进行证明.
如图在四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC，平面ABD，平面ACD为三个两两垂直的侧面.设AB＝a，AC＝b，AD＝c，即所证猜想为真命题.(1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法.
(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性.跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n个图形中有
__________个小正方形.解析答案解析 第1个图有3个正方形记作a1，
第2个图有3＋3个正方形记作a2，
第3个图有6＋4个正方形记作a3，
第4个图有10＋5个正方形记作a4，
…，
正方形的个数构成数列{an}，
则a2－a1＝3， (1)
a3－a2＝4, (2)
a4－a3＝5, (3)
? ?an－an－1＝n＋1， (n－1)
(1)＋(2)＋…＋(n－1)，得an－a1＝3＋4＋5＋…＋(n＋1)，(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N＋且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________
___________________________________________________.答案 数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N＋，m≠n)，则Tm＋n＝1类型二 综合法与分析法证明例2 已知x，y>0，x＋y＝1，试分别用综合法与分析法证明：log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2.证明 方法一 (分析法)
因为x，y>0，
所以要证log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2，由于x，y>0，于是为了证明上式成立，只需证明4x2y2＋4≥17xy，
即证4x2y2－17xy＋4≥0.所以①式成立，这就证明了log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2成立.
方法二 (综合法)即log2(x2y2＋1)－log2x－log2y≥log217－2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.跟踪训练2 设a>0，b>0，a＋b＝1，
求证： 试用综合法和分析法分别证明.证明证明 方法一 (综合法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，方法二 (分析法)
因为a>0，b>0，a＋b＝1，类型三 反证法例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；解答解 当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.证明证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列，
记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.
所以假设不成立，原命题得证.反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.证明因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.类型四 数学归纳法例4 观察下列四个等式：
第一个式子 1＝1，
第二个式子 2＋3＋4＝9，
第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25，
第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49.
(1)按照此规律，写出第五个等式；解答解 第五个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明.解答解 猜想第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
证明：①当n＝1时，左边＝1，
右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2
＝[2(k＋1)－1]2.
右边＝[2(k＋1)－1]2，
即当n＝k＋1时，等式也成立.
根据①②知，等式对任意n∈N＋都成立.(1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少.
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.解答解答(2)求数列{an}的通项公式.下面用数学归纳法证明：那么当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，猜想也成立，当堂训练答案23451解析1.观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为
A.9(n＋1)＋n＝10n＋9 B.9(n－1)＋n＝10n－9
C.9n＋(n－1)＝10n－1 D.9(n－1)＋(n－1)＝10n－10√解析 由已知中的式子，我们观察后分析：
等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号，
等式右边是一个等差数列.
根据已知可以推断：
第n(n∈N＋)个等式为9(n－1)＋n＝10n－9.故选B.2.在平面直角坐标系中，方程 ＝1表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为答案23451解析√23451解析 ∵在平面直角坐标系中，方程 表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”.类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为 .故选A.23451答案解析解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.3.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根√4.如图，这是一个正六边形的序列：解析答案解析 图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为an＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.23451则第n个图形的边数为________.5n＋123451解答23451所以取a＝25.①当n＝1时，已证结论正确.23451则当n＝k＋1时，23451即当n＝k＋1时，结论也成立.故a的最大值为25.1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立.第二步(归纳递推)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.本课结束