课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组1 求函数的平均变化率
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1，2)及邻近点Q(1＋Δx，2＋Δy)，则的值为( )21教育网
A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
3．求函数y＝f(x)＝在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率．
题组2 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为( )21cnjy.com
A．1 B．3 C．－1 D．0
5．求第4题中的物体在t0时的瞬时速度．
6．若第4题中的物体在t0时刻的瞬时速度为27 m/s，求t0的值．
题组3 利用定义求函数在某一点处的导数
7．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )21·cn·jy·com
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
8．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
9．求函数f(x)＝在x＝1处的导数f′(1)．
[能力提升综合练]
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为( )21世纪教育网版权所有
A．k1>k2 B．k1
C．k1＝k2 D．不确定
3．A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )www.21-cn-jy.com
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )2·1·c·n·j·y
A．7 m/s B．6 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
5.如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
6．函数y＝－在点x＝4处的导数是________．
7．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时平均速度．
8．路灯距离地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯O在地面上的射影点O′沿某直线离开路灯，求人影长度在任意时刻t0的瞬时变化率．
答案
题组1 求函数的平均变化率
1．解析：选B 平均变化率为＝－1.
2．解析：选D ＝＝4＋2Δx.
3． 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1
＝＝
＝，
∴＝－ .
题组2 求瞬时速度
4．答案：B
5．解：物体在t0时的平均速度为
v＝
＝＝
＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2.
故此物体在t＝t0时的瞬时速度为3t m/s.
6． 解：由v＝＝
＝＝3t＋3t0Δt＋(Δt)2，
所以由3t＝27，解得t0＝±3，
因为t0>0，故t0＝3，
所以物体在3 s时的瞬时速度为27 m/s.
题组3 利用定义求函数在某一点处的导数
7．
8．
9．
[能力提升综合练]
1.解析：选B 由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．
2． 解析：选D k1＝
＝＝2x0＋Δx；
k2＝＝＝2x0－Δx.
因为Δx可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定．
3． 解析：选B 由题图可知，A机关所对应的图象比较陡峭，B机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关比B机关节能效果好．
4．解析：选C ∵＝
＝5＋Δt，
5. 解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
(2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝
所以，函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
答案：(1) (2)
6． 解析：∵Δy＝－＋
＝－＝
＝.
∴＝.
＝＝.
∴y′|x＝4＝.
答案：
7．
即物体的初速度为3 m/s.
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．
(3)v＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
8． 解：如图，
设人的高度为AB，则AB＝1.6，人的影子长AC＝h，
84 m/min＝1.4m/s，由直角三角形相似得＝，
课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 求函数的最值
1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
2．函数f(x)＝x2ex在区间(－3，－1)上的最大值为( )
A．9e－3 B．4e－2 C．e－1 D．4e2
3．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．21世纪教育网版权所有
4．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)在点(1，0)处的切线方程；
(2)求函数f(x)在[1，t]上的最大值．
题组2 由函数的最值确定参数的值
5．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于( )
A．0 B．1
C．2 D.
6．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.当0题组3 与最值有关的恒成立问题
7．若对任意的x>0，恒有ln x≤px－1(p>0)，则p的取值范围是( )
A．(0，1] B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．[1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1，5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
2．函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是( )
A．当x＝时，f(x)取最大值
B．当x＝时，f(x)取最小值
C．当x＝－时，f(x)取最大值
D．当x＝－时，f(x)取最小值
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x≠1时(x－1)·f′(x)>0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)>2f(1)
B．f(0)＋f(2)<2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1)
D．f(0)＋f(2)≤2f(1)
4．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为( )www.21-cn-jy.com
A．1 B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
6．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．2·1·c·n·j·y
7．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
8．设函数f(x)＝2ax－＋ln x，若f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
(1)求a、b的值；
(2)在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范围．
答案
题组1 求函数的最值
1． 解析：选A f′(x)＝2＋sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上无最值．【来源：21·世纪·教育·网】
2．解析：选B ∵f′(x)＝ex(x2＋2x)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝0(舍)．
∴f(x)在(－3，－2)上递增；在(－2，－1)上递减．
∴f(x)在(－3，－1)上的最大值为f(－2)＝4e－2.
3．解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2.
计算得f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，
所以M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.
答案：32
4． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f(x)的导数f′(x)＝.
(1)f′(1)＝1，所以切线方程为y＝x－1.
(2)令f′(x)＝＝0，解得x＝e.
当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当1f(x)max＝f(t)＝，
当t≥e时，f(x)在[1，e]上单调递增，
在[e，t]上单调递减，f(x)max＝f(e)＝，
综上，f(x)max＝
题组2 由函数的最值确定参数的值
5．解析：选C y′＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，
令y′＝0，得x＝0或x＝－1.
因为f(0)＝m，f(－1)＝m＋，
又f(1)＝m＋，f(－2)＝m－2，
所以f(1)＝m＋最大，所以m＋＝，所以m＝2.
6．解：令f′(x)＝－x2＋x＋2a＝0，
得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x2)．
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)＝.
题组3 与最值有关的恒成立问题
7．解析：选D 原不等式可化为ln x－px＋1≤0，令f(x)＝ln x－px＋1，故只需f(x)max≤0，由f′(x)＝－p知f(x)在上单调递增；在上单调递减．故f(x)max＝f＝－ln p，即－ln p≤0，解得p≥1.21·cn·jy·com
8． 解：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1，3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴
∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴x∈[－2，6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，
∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，
∴c<－18，
∴c的取值范围为(－∞，－18)∪(54，＋∞)．
[能力提升综合练]
1． 解析：选B f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，
而f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－，
∴f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－.
2． 解析：选D f′(x)＝2x＋x·(2x)′＝2x＋x·2x·ln 2.
令f′(x)＝0，得x＝－.
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0，
故函数在x＝－处取极小值，也是最小值．
3．解析：选A 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数； 当x<1时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1)上是减函数，故f(x)在x＝1处取得最小值，即有f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，得f(0)＋f(2)>2f(1)．21教育网
4．解析：选D |MN|的最小值，即函数h(t)＝t2－ln t的最小值，h′(t)＝2t－＝，显然t＝是函数h(t)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
5．解析：f′(x)＝ex－2.由f′(x)>0得ex－2>0，
∴x>ln 2.由f′(x)<0得，x∴f(x)在x＝ln 2处取得最小值．
只要f(x)min≤0即可．
∴eln 2－2ln 2＋a≤0，
∴a≤2ln 2－2.
答案：(－∞，2ln 2－2]
6．解析：f(x)≥2，即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝e，
且当00；当x>e时，g′(x)<0，
∴当x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，
∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
7． 解：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，
函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，
函数f(x)在[0，1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
8． 解：(1)∵f(x)＝2ax－＋ln x，
∴f′(x)＝2a＋＋.
∵f(x)在x＝1，x＝处取得极值，
∴f′(1)＝0，f′＝0，
即
解得
∴所求a、b的值分别为－、－.
(2)在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，x∈，
由f′(x)＝－－＋
＝－＝－，
∴当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
∴f是f(x)在上的最小值．
而f＝＋ln ＝－ln 2，
∴c≥－ln 2.
∴c的取值范围为.
课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 利用导数公式求函数的导数
1．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ；③若y＝，则y′＝－；④′＝ .
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于( )
A. B. C. D.
题组2 利用导数的运算法则求导数
3．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
4．函数y＝的导数为________．
5．已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．21cnjy.com
6．求下列函数的导数．
(1)y＝sin x－2x2；(2)y＝cos x·ln x；(3)y＝.
题组3 利用导数研究曲线的切线问题
7．曲线y＝xex＋2x＋1在点(0，1)处的切线方程为________．
8．若曲线f(x)＝x·sin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．21·cn·jy·com
9．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．www-2-1-cnjy-com
10．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．21*cnjy*com
[能力提升综合练]
1．f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 017(x)＝( )21教育名师原创作品
A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x
2．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2 C．1 D.
3．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－ B. C．－ D.
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )
A．1 B．±1 C．－1 D．－2
5．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f＝________．
6．设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，则f′(0)＝________．
7．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．21世纪教育网版权所有
8．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
9．已知两条直线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．【版权所有：21教育】
答案
题组1 利用导数公式求函数的导数
1．解析：选B 因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误．sin ＝，而′＝0，所以②错误.′＝＝＝，所以③错误.′＝－＝＝x－＝，所以④正确．www.21-cn-jy.com
2．解析：选D ∵f(x)＝xα，
∴f′(x)＝αxα－1.
∴f′(1)＝α＝.
题组2 利用导数的运算法则求导数
3．解析：选B y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.2·1·c·n·j·y
4．解析：y′＝′＝
＝＝.
答案：
5．解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)．
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.
答案：3
6．解：(1)y′＝(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2x2)′
＝cos x－4x.
(2)y′＝(cos x·ln x)′
＝(cos x)′·ln x＋cos x·(ln x)′
＝－sin x·ln x＋.
(3)y′＝′
＝
＝
＝.
题组3 利用导数研究曲线的切线问题
7．解析：y′＝ex＋xex＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k＝e0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：y＝3x＋1
8．解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x，所以f′＝sin ＋cos ＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2.
答案：2
9．解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
10．解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2，1)．【来源：21·世纪·教育·网】
[能力提升综合练]
1．解析：选C 因为f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x，所以循环周期为4，因此f2 017(x)＝f1(x)＝cos x.【出处：21教育名师】
2．解析：选A 因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．21*cnjy*com
3．解析：选B y′＝
＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．
4．解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3…①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1…②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.
5．解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x.
∴f＝1.
答案：1
6．解析：令g(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，
则f(x)＝xg(x)，
求导得f′(x)＝x′g(x)＋xg′(x)＝g(x)＋xg′(x)，
所以f′(0)＝g(0)＋0×g′(0)＝g(0)＝1×2×3×…×n.
答案：1×2×3×…×n
7．解析：法一：∵y＝x＋ln x，
∴y′＝1＋，y′x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．
∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由
解得
答案：8
8．解：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3，令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，21教育网
又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.21·世纪*教育网
9．解：不存在．由于y＝sin x，y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线的斜率分别为k1＝y′x＝x0＝cos x0，k2＝y′x＝x0＝－sin x0.2-1-c-n-j-y
若使两条切线互相垂直，必须使cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组1 求曲边梯形的面积
1．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是( )21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
2．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )21cnjy.com
A. B.
C. D.
3．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．
题组2 求变速直线运动的路程
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )
A. B. C. 1 D.
5．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，求a的值．
题组3 定积分的计算及性质
6．下列等式不成立的是( )
7．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A.2xdx B.(2x－1)dx
C.(2x＋1)dx D.(1－2x)dx
8．S1＝xdx与S2＝x2dx的大小关系是( )
A．S1＝S2 B．S＝S2
C．S1>S2 D．S19．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，则(x2＋1)dx＝________.
10．用定积分的几何意义计算下列定积分：
[能力提升综合练]
1．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则[2f(x)＋g(x)]dx＝( )
A．2 B．－3 C．－1 D．4
2．若f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则等于( )
A．0 B．4 C．8 D．16
3．定积分(－3)dx等于( )
A．－6 B．6 C．－3 D．3
6．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积．
(1)y＝|sin x|，y＝0，x＝2，x＝5；
答案
题组1 求曲边梯形的面积
1．解析：选C 将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区间为.
2．解析：选A 将区间[0,1]三等分为，，，各小矩形的面积和为
S＝03·＋3·＋3·＝＝.
3．解：(1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1]等分成n个小区间：21教育网
，，…，，
记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为
Δx＝－＝.
把每个小曲边梯形的面积记为
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
根据题意可得第i个小曲边梯形的面积
ΔSi＝
＝
＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这n个小矩形的面积的和
Sn＝
＝·
＝·，
从而得到所求图形面积的近似值S≈·.
(4)取极限
即直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积为.
题组2 求变速直线运动的路程
4．解析：选B 曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．21·cn·jy·com
5．解：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为，(i＝1,2，…，n)，此区间长为，
用小矩形面积2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．www.21-cn-jy.com
∴＝9，解得a＝3.
题组3 定积分的计算及性质
6．解析：选C 利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立．
例如xdx＝2，2dx＝4，2xdx＝4，但2xdx≠xdx·2dx.
7．解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.
8．解析：选C xdx表示由直线x＝0，x＝1，y＝x及x轴所围成的图形的面积，而x2dx表示的是由曲线y＝x2与直线x＝0，x＝1及x轴所围成的图形的面积，因为在x∈[0,1]内直线y＝x在曲线y＝x2的上方，所以S1>S2.2·1·c·n·j·y
9．解析：由定积分的性质可知
(x2＋1)dx
＝x2dx＋1dx
＝x2dx＋x2dx＋2
＝＋＋2＝.
答案：
10．
而S＝＝，
(2)令y＝＋2，则y＝＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，
[能力提升综合练]
1．解析：选C [2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.
2．解析：选D ∵被积函数f(x)为偶函数，
∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．
3．解析：选A
∵3dx表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，
∴(－3)dx＝－3dx＝－6.
4.
又y＝sin x与y＝2x都是奇函数，故所求定积分为0.
答案：0
5.解析：由y＝可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．
等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝××22－×2×2sin ＝－.
S矩形＝AB·BC＝2.
答案：＋
6．解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示．
设此面积为S，
(2)曲线所围成的平面区域如图所示．
7.解：如图，
课下能力提升(二)
[学业水平达标练]
题组1 求曲线的切线方程
1．曲线y＝x3＋11在点(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
2．求曲线y＝在点的切线方程．
题组2 求切点坐标
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P坐标为________．
5．已知抛物线y＝2x2＋1，请求出分别满足下列条件的切点坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
题组3 导数几何意义的应用
6．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
7．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是( )21cnjy.com
9．已知函数y＝f(x)的图象如图所示， 则函数y＝f′(x)的图象可能是________(填序号)．21·cn·jy·com
[能力提升综合练]
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
2．曲线y＝在点P(2，1)处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
3．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－x＋1
C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2
4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )www.21-cn-jy.com
A．(1，0) B．(2，8)
C．(1，0)或(－1，－4) D．(2，8)或(－1，－4)
5.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A、B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”)．2·1·c·n·j·y
6.如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________．21·世纪*教育网
7．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象，结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．21教育网
答案
题组1 求曲线的切线方程
1．
∴切线的方程为y－12＝3(x－1)．
令x＝0得y＝12－3＝9.
2．
所以曲线在点的切线斜率为
k＝y′x＝＝－4.
故所求切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
题组2 求切点坐标
3．解析：选A ∵点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，∴b＝1.
∴过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
4．解析：设P(x0，2x＋4x0)，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3，30)．
答案：(3，30)
5．解：设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1，3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴k·＝－1，即k＝8.故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2.
∴切点坐标为(2，9)．
题组3 导数几何意义的应用
6． 解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．21世纪教育网版权所有
7． 解析：选B 根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－<0.www-2-1-cnjy-com
8．解析：选D 不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量Δx，那么弦AB与弧AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；2-1-c-n-j-y
当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；21*cnjy*com
从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．
由上可知函数y＝f(x)图象的上升趋势应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．【来源：21cnj*y.co*m】
9．解析：由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故②符合．【出处：21教育名师】
答案：②
[能力提升综合练]
1．答案：B
2．解析：选D Δy＝－＝－1＝，
斜率为－1，倾斜角为.
3．解析：选A 由Δy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)＋1－(1－2＋1)＝(Δx)3＋3(Δx)2＋Δx
所以在点(1，0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1，0)，根据直线的点斜式可得切线方程为y＝x－1.【版权所有：21教育】
4．
由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．21教育名师原创作品
5. 解析：f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(a)>f′(b)．
答案：>
6 解析：由题意，f′(4)＝－2.
f(4)＝－2×4＋9＝1.
因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.
答案：－1
7． 解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大，故乙跑得快；
(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大，故快到终点时，乙跑得快．
8．解：如图，结合导数的几何意义，我们可以看出：
在t＝1.5 s附近曲线比较平坦，也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0，达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间，曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小，也就是说烟花在达到最高点前，以越来越小的速度升空；在1.5 s后，曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大，即烟花达到最高点后，以越来越大的速度下降，直到落地．【来源：21·世纪·教育·网】
课下能力提升(五)
[学业水平达标练]
题组1 函数与导函数图象间的关系
1．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )21教育网
2．若函数y＝f′(x)在区间(x1，x2)内是单调递减函数，则函数y＝f(x)在区间(x1，x2)内的图象可以是( )21cnjy.com
3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2，5]上函数f(x)的单调递增区间为________．【来源：21·世纪·教育·网】
题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0，3) C．(1，4) D．(2，＋∞)
5．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1，1] B．(0，1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
6．证明函数f(x)＝在上单调递减．
题组3 与参数有关的函数单调性问题
7．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤
8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝________．www-2-1-cnjy-com
9．已知函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．
[能力提升综合练]
1．y＝xln x在(0，5)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上减，在上增
D．在上增，在上减
2．已知函数f(x)＝＋ln x，则有( )
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )2·1·c·n·j·y
4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
5．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________．
6．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________． 21*cnjy*com
7．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性．
8．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．【版权所有：21教育】
答案
题组1 函数与导函数图象间的关系
1． 解析：选A 由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象自左至右是先减后增，可知函数y＝f(x)图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．【来源：21cnj*y.co*m】
2． 解析：选B 选项A中，f′(x)>0且为常数函数；选项C中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内单调递增；选项D中，f′(x)>0且f′(x)在(x1，x2)内先增后减．故选B.
3． 解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f′(x)>0，所以f(x)在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．【出处：21教育名师】
答案：(－1，2)和(4，5]
题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间
4．解析：选D f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝ex(x－2)．由f′(x)>0得x>2，∴f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．21·世纪*教育网
5．解析：选B 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得06．证明：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝.
由于x∈，
∴cos x<0，sin x>0，xcos x－sin x<0.
故f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减．
题组3 与参数有关的函数单调性问题
7．解析：选A f′(x)＝3ax2－1.
∵f(x)在R上为减函数，
∴f′(x)≤0在R上恒成立．
∴a≤0，经检验a＝0符合题意．
8．解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1答案：－ －6
9． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋，当a>0时，f′(x)>0，函数f(x)只有单调递增区间为(0，＋∞)．21·cn·jy·com
当a<0时，由f′(x)＝x＋>0，得x>；由f′(x)＝x＋<0，得0所以当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．
[能力提升综合练]
1． 解析：选C ∵y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1，
∴当0∴y在上减．当－1，即y′>0.
∴y在上增．
2．解析：选A 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝＋>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)3． 解析：选D 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．21世纪教育网版权所有
4．解析：选C 因为′＝，又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．www.21-cn-jy.com
5．解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b有两个不相等的实数根，所以b＞0.21教育名师原创作品
答案：(0，＋∞)
6．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为.
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以解得：1≤k<.
答案：
7． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．
8．解：h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ax－2.
因为h(x)在[1，4]上单调递减，
所以x∈[1，4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，
即a≥－恒成立，
令G(x)＝－，
则a≥G(x)max.而G(x)＝－1.
因为x∈[1，4]，所以∈，
所以G(x)max＝－(此时x＝4)，
所以a≥－.
当a＝－时，
h′(x)＝＋x－2＝
＝.
因为x∈[1，4]，所以h′(x)＝≤0，
即h(x)在[1，4]上为减函数．
故实数a的取值范围是.
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 面积、体积的最值问题
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.π B.π
C.π D.π
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )【版权所有：21教育】
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
题组2 成本最低(费用最省)问题
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m
4．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x＝________．
5．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数是P＝v4－v3＋15v，2-1-c-n-j-y
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
题组3 利润最大问题
6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出)( )21cnjy.com
A．30 元 B．60 元
C．28 000 元 D．23 000 元
8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．
9．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交4元的管理费，预计当每件产品的售价为x元(8≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x之间的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出L的最大值．
[能力提升综合练]
1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
2．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A. B. C. D．2
3．某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )
A．32 m，16 m B．30 m，15 m
C．40 m，20 m D．36 m，18 m
4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )21世纪教育网版权所有
A．150 B．200 C．250 D．300
5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________cm.
6．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．21教育网
7．某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素限制，会产生一定数量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系：P ＝0.1x2－3.2 ln x＋3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元．(利润＝盈利－亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数；
(2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
8．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为y，x轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．www.21-cn-jy.com
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
答案
题组1 面积、体积的最值问题
1． 解析：选A 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2l－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
当r＝时，V取得最大值，最大值为π.
2．解析：选B 设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积V cm3.由题意，得V＝x(48－2x)2(0当x∈(0，8)时，V′>0；当x∈(8，24)时，V′<0.
∴当x＝8时，V取得最大值．
题组2 成本最低(费用最省)问题
3．解析： 选C 设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．【来源：21·世纪·教育·网】
4．解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋x2＝＋x2，21·世纪*教育网
令f′(x)＝x－＝0，解得x＝20.
且当020时f′(x)>0，故x＝20时，f(x)最小．
答案：20
5． 解：(1)Q＝P·＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元)．
题组3 利润最大问题
6． 解析：选C 因为y′＝－x2＋81，所以当∈(9，＋∞)时，y′<0；当x∈(0，9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．【来源：21cnj*y.co*m】
7． 解析：选D 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30 元时，最大毛利润为23 000元．【出处：21教育名师】
8．解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.032答案：0.032
9． 解：(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x之间的关系为：
L(x)＝(x－3－4)(12－x)2＝(x－7)(12－x)2，
即L(x)＝(x－7)(12－x)2，其中x∈[8，11]．
(2)由于L(x)＝(x－7)(12－x)2，
∴L′(x)＝(12－x)2＋(x－7)·2(12－x)·(－1)
＝(12－x)(12－x－2x＋14)＝(12－x)(26－3x)，
令L′(x)＝0得x＝12或x＝，
由于x∈[8，11]，所以取x＝，
当x∈时，L′(x)>0；x∈时，L′(x)<0，
所以当x＝时，L(x)在[8，11]上取得极大值，也是最大值，
L＝(万元)．
故当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大利润是万元．
[能力提升综合练]
1． 解析：选B 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．21·cn·jy·com
2．解析：选C 设底面边长为x，高为h，
∴x2·h＝V，∴h＝＝.
∴S表＝2·x2＋3x·h＝x2＋，
S′(x)＝x－，令S′(x)＝0可得x＝，x3＝4V，x＝.
当0时，S′(x)>0，
∴当x＝时，S(x)最小．
3．解析：选A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy＝512，堆料场的新砌墙的长l＝x＋2y＝＋2y(y>0)，令l′＝－＋2＝0，解得y＝16(另一负根舍去)，当016时，l′>0，所以当y＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x＝＝32.www-2-1-cnjy-com
4．解析：选D 由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当3005．解析：设高为h，则底面半径r＝，0由V′＝π－πh2＝0得h2＝，h＝或h＝－(舍去)，因为当00，当h>时，V′<0，所以当h＝时，V最大．
答案：
6．解析：设CD＝x，则点C坐标为，
点B坐标为，
∴矩形ACBD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0，2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，
x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
答案：
7． 解：(1)由题意得，所获得的利润为
y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知，y′＝＝.
当4≤x<6时，y′＞0，函数在[4，6)上为增函数；当6故当每台机器的日产量为6万件时所获得的利润最大，最大利润为(96ln 6－78)万元．
8． 解：(1)由题意知，M点的坐标为(5，40)，N点的坐标为(20，2.5)，代入曲线C的方程y＝，
可得
解得
(2)①由(1)知曲线C的方程为
y＝(5≤x≤20)，y′＝－，
所以y′x＝t＝－即为l的斜率．
又当x＝t时，y＝，
所以P点的坐标为，
所以l的方程为
y－＝－(x－t)．
令x＝0，得y＝；
令y＝0，得x＝t.
所以f(t)＝，其中5≤t≤20.
②由①知f(t)＝，其中5≤t≤20.令g(t)＝＋＝t2＋，
所以g′(t)＝t－＝·
＝·.因为5≤t≤20，令g′(t)<0，得5≤t＜10；令g′(t)＝0，得t＝10；g′(t)>0，得10课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 求函数的极值
1．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是( )
A．2 B．－1和2 C．－1 D．－3
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
3．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
其中正确的结论为________．
题组2 已知函数的极值求参数
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )
A．1，－3 B．1，3 C．－1，3 D．－1，－3
5．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A．b<1 B．b>1 C．06．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．21·cn·jy·com
题组3 含参数的函数的极值问题
7．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．www-2-1-cnjy-com
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
8．已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
[能力提升综合练]
1．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点个数及分布情况为( )
A．一个零点，在内
B．二个零点，分别在，(0，＋∞)内
C．三个零点，分别在，，(1，＋∞)内
D．三个零点，分别在，(0，1)，(1，＋∞)内
2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )2·1·c·n·j·y
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
3．若函数y＝x3－2ax＋a在(0，1)内有极小值没有极大值，则实数a的取值范围是( )
A．(0，3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D.
4．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．－x0是f(－x)的极小值点
C．－x0是－f(x)的极小值点
D．－x0是－f(－x)的极小值点
5．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________．
6.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的极大值为5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则a＝________，b＝________，c＝________.
7．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
答案
题组1 求函数的极值
1．解析：选C f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，则在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，www.21-cn-jy.com
f′(x)<0，在区间(－1，2)上，f′(x)>0，
故当x＝－1时，f(x)取极小值．
2． 解析：选C 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；当－1∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2，2)，故无极小值．
3．解析：由图象知，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，
同理，f(x)在(2，4)上为减函数，在(－2，2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，
所以可排除①和②，可选择③.
由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，
所以当x＝2时，函数有极大值；
而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，
故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，
所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤.
答案：③
题组2 已知函数的极值求参数
4．解析：选A f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，
∴∴a＝1，b＝－3.
5．解析：选C f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0，1)内有极小值，则有00，符合题意．所以实数b的取值范围是06．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0.
即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
题组3 含参数的函数的极值问题
7． 解：(1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，21cnjy.com
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)，
f′(x)＝－－＋
＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝3.
8． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
[能力提升综合练]
1． 解析：选A 利用导数法易得函数在内递减，在内递增，在(1，＋∞)内递减，而f＝－<0，f(1)＝－1<0，故函数图象与x轴仅有一个交点，且交点横坐标在内．21世纪教育网版权所有
2.解析：选D 由图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．2-1-c-n-j-y
3．解析：选D f′(x)＝3x2－2a，
∵f(x)在(0，1)内有极小值没有极大值，
∴?即04． 解析：选D 取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A；取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.故选D.
5．解析：设f(x)＝x3－3x＋c，对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，可得x＝±1，易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．若f(1)＝1－3＋c＝0，可得c＝2；若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案：－2或2
6. 解析：由题图得
依题意，得
即
解得a＝2，b＝－9，c＝12.
答案：2 －9 12
7． 解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8，从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
8．解：f′(x)＝3x2－6x，函数f(x)的定义域为R，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
因此，函数在x＝0处有极大值，极大值为f(0)＝－a；
在x＝2处有极小值，极小值为f(2)＝－4－a.
函数y＝f(x)恰有一个零点即y＝f(x)的图象与x轴只有一个交点(如图)，所以或
即或解得a<－4或a>0，
所以当a>0或a<－4时，函数f(x)恰有一个零点．
课下能力提升(十一)
[学业水平达标练]
题组1 不分割型图形面积的求解
1．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成图形的面积为( )
A. B.
C. D.
2．如图，两曲线y＝3－x2与y＝x2－2x－1所围成的图形面积是( )
A．6 B．9
C．12 D．3
3．如图所示，由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．21cnjy.com
4．已知抛物线y＝x2－2x与直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
题组2 分割型图形面积的求解
5．如图，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．
6．求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
题组3 求变速直线运动的路程
7．一辆汽车以v＝3t2的速度行驶，这辆汽车从t＝0到t＝3这段时间内所行驶的路程为( )
A. B．1 C．3 D．27
8．A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t)m/s，经t s后，在B点恰好停车，试求：
(1)A、C间的距离；
(2)B、D间的距离．
题组4 求变力做功
9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C. D．e－1
10．一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力—位移曲线如图所示．求该物体从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处力F(x)做的功．21·cn·jy·com
[能力提升综合练]
1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于( )
2．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )
A. B．1
C. D.
3．以初速度40 m/s向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )2·1·c·n·j·y
A. m B. m
C. m D. m
4．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向做直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. J B. J
C. J D．2 J
5．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
6．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．www-2-1-cnjy-com
7．求正弦曲线y＝sin x与余弦曲线y＝cos x与直线x＝－，x＝围成的图形的面积．
8．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)，直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t变化时，阴影部分的面积的最小值．
答案
题组1 不分割型图形面积的求解
1．解析：选B 由题中图象易知f(x)＝－x2＋1，则所求面积为2(－x2＋1)dx＝
2＝.
2．解析：选B 由
解得交点(－1,2)，(2，－1)，
＝9.
3． 解析：由得交点坐标为(1,5)，(4,20)，所以所求面积S＝(x2＋4－5x)dx＋(5x－x2－4)dx21·世纪*教育网
＝＋
＝.
答案：
4．解：作出y＝x2－2x的图象，如图所示．
①当a<0时，S＝(x2－2x)dx＝＝－＋a2＝，
所以(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a<0，所以a＝－1.
②当a＝0时，不符合题意．
③当a>0时，若0所以(a＋1)(a－2)2＝0.
因为a>0，所以a＝2.
若a>2，不符合题意．
综上，a＝－1或2.
题组2 分割型图形面积的求解
5． 解析：S＝dx＋dx
＝＋ln 2.
答案：＋ln 2
6．解：先求抛物线和直线的交点，解方程组
求出交点坐标为A(2,2)和B(8，－4)．
法一：选x为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为
S＝S1＋S2＝2dx＋(－x＋4)dx
法二：选y作积分变量，则y的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为
＝18.
题组3 求变速直线运动的路程
7．
8． 解：(1)设A到C的时间为t1，
则1.2t1＝24，t1＝20 (s)，
(2)设D到B的时间为t2，
则24－1.2t2＝0，t2＝20(s)，
则|DB|＝∫(24－1.2t)dt
＝(24t－0.6t2)︱＝240(m)．
题组4 求变力做功
9．解析：选B W＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)︱＝e.
10． 解：由力—位移曲线可知F(x)＝因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F(x)做的功为W＝10dx＋(3x＋4)dx＝10x＋＝46(J)．
[能力提升综合练]
1．解析：选C 由求得直线y＝x与曲线y＝x3的交点分别为(－1，－1)，(1,1)，(0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S＝2(x－x3)dx.
2．解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分
3．解析：选A 令v＝40－10t2＝0，得物体到达最高时t＝2，此时高度h＝(40－10t2)dt＝︱＝(m)．故选A.21教育网
4．解析：选C W＝F(x)cos 30°dx＝(5－x2)dx
＝︱＝(J)．
5．解析：图形如图所示：
S＝x2dx－x2dx
＝x2dx
＝x3＝.
答案：
6．解析：由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和 y＝－2x＋6.www.21-cn-jy.com
由得C(2,2)．
∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx
＝×2×2－︱
＝2－＝.
答案：[来源:学科网]
7．解：如图，画出y＝sin x与y＝cos x在上的图象，它们共有三个交点，分别为－，－，，.21世纪教育网版权所有
在上，cos x>sin x.
在上，sin x>cos x.
8．解：S1＋S2＝(et－1－ex＋1)dx＋(ex－1－et＋1)dx＝(et－ex)dx＋(ex－et)dx＝(xet－ex)︱＋(ex－xet)︱＝(2t－3)et＋e＋1，取g(t)＝(2t－3)et＋e＋1(0≤t≤1)，令g′(t)＝0，解得t＝.当t∈时，g′(t)<0，g(t)是减函数；当t∈时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g＝e＋1－2e＝(－1)2.
故阴影部分面积的最小值为(－1)2.
课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 求简单函数的定积分
1.(x－1)dx等于( )
A．－1 B．1 C．0 D．2
2.(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
题组2 求分段函数的定积分
5．设f(x)＝则f(x)dx等于( )
A. B. C. D．不存在
6．计算下列定积分：
(1)|x－3|dx；
题组3 根据定积分求参数
7．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于( )
A．0 B．1
C．0或1 D．不确定
8．设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________.
9．已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
10．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．21世纪教育网版权所有
[能力提升综合练]
1．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝( )
A．9 B．12
C．15 D．18
2．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则( )
A. B.
C. D.
3．若y＝(sin t＋cos t·sin t)dt，则y的最大值是( )
A．1 B．2 C．－1 D．0
4．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于( )
A．－1 B．－
C. D．1
5.(4－2x)(4－3x2)dx＝________.
7．计算下列定积分．
8．已知f(x)＝－a(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．21教育网
答案
题组1 求简单函数的定积分
1.解析：选C (x－1)dx＝＝×22－2＝0.
2.解析：选C (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－e0＝e.
3.解析：选D ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
4.
答案：
题组2 求分段函数的定积分
5． 解析：选C f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝＋＝.
6．解：(1)∵|x－3|＝
∴|x－3|dx＝|x－3|dx＋|x－3|dx
＝(3－x)dx＋(x－3)dx
＝＋＝.
＝＋＝－.
题组3 根据定积分求参数
7． 解析：选B (2x－3x2)dx＝(x2－x3)︱＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍)或k＝1.
8．解析：显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝a3，得a3＝1，a＝1.
答案：1
9．解析：(kx＋1)dx＝︱＝(2k＋2)－＝k＋1，所以2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.21cnjy.com
答案：
10．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.
∵f′(x)＝2ax＋b，①
∴f′(0)＝b＝2.②
f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c＝0.③
由①②③得
∴f(x)＝－x2＋2x－.
[能力提升综合练]
1．解析：选C [f(x)＋6]dx＝f(x)dx＋6dx＝3＋6x︱＝3＋12＝15.
2．解析：选A ∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)dx＝(x2－x)dx
＝︱＝.
3．解析：选B y＝(sin t＋cos t·sin t)dt
＝sin tdt＋dt＝－cos t︱－cos2t︱
＝－cos x＋1－(cos 2x－1)
＝－cos 2x－cosx＋
＝－cos2x－cos x＋
＝－(cos x＋1)2＋2≤2.
4．解析：选B 因为f(x)dx是常数，所以f′(x)＝2x，
所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，
所以c＝2f(x)dx＝2(x2＋c)dx＝2，
解得c＝－，
f(x)dx＝(x2＋c)dx＝dx
＝︱＝－.
5.解析：(4－2x)(4－3x2)dx
＝(16－12x2－8x＋6x3)dx
＝︱＝8.
答案：8
6.
＝－cos 1.
答案：－cos 1
7．解：(1)∵|2x＋3|＋|3－2x|＝
＝(－2)×2－(－2)×(－3)2＋6×－6×＋2×32－2×2＝45.
(2)dx＝2xdx－dx
＝－(2－2)＝－2.
8．
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 简单复合函数求导问题
1．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f′(1)等于( )
A．0 B．60 C．－1 D．－60
2．函数f(x)＝3x＋cos 2x＋a2的导数为( )
A．3x－2sin 2x＋2a B．3xln 3－sin 2x
C．3x－2sin 2x D．3xln 3－2sin 2x
3．求下列函数的导数．
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
题组2 复合函数与导数运算法则的综合应用
4．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2xD．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
5．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D.
6．函数y＝sin 2xcos 3x的导数是________．
7．已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′.
题组3 复合函数导数的综合问题
8．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A. B．2 C．3 D．0
9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( )
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2 太贝克 D．150太贝克
[能力提升综合练]
1．函数y＝(2 016－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 016－8x)2 B．－24x
C．－24(2 016－8x)2 D．24(2 016－8x2)
2．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A.(ex－e－x) B.(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
3．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
4．函数y＝ln在x＝0处的导数为________．
5．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
6．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________．
7．求函数y＝asin＋bcos22x(a，b是实常数)的导数．
8．求曲线y＝e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线方程．
答案
题组1 简单复合函数求导问题
1．解析：选B ∵f′(x)＝10·(1－2x3)9·(－6x2)，
∴f′(1)＝60.
2．解析：选D f′(x)＝(3x)′＋(cos 2x)′＋(a2)′＝3xln 3－2sin 2x＋0＝3xln 3－2sin 2x.21世纪教育网版权所有
3．解：(1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.21cnjy.com
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x.www.21-cn-jy.com
所以y′＝′＝－sin 4x.
题组2 复合函数与导数运算法则的综合应用
4．解析：选B y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.2·1·c·n·j·y
5．解析：选B y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.【来源：21·世纪·教育·网】
6．解析：∵y＝sin 2xcos 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′
＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x.
答案：2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x
7．解：∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx
＝πeπx(sin πx＋cos πx)．
f′＝πe＝πe.
题组3 复合函数导数的综合问题
8．解析：选A 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，
∴y′x＝x0＝＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
9． 解析：选D M′(t)＝－ln 2×M02－，
由M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10 ln 2，
解得M0＝600，
所以M(t)＝600×2－，
所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)．
[能力提升综合练]
1．解析：选C y′＝3(2 016－8x)2×(2 016－8x)′＝3(2 016－8x)2×(－8)＝－24(2 016－8x)2.21教育网
2．解析：选A y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．
3．解析：选B 设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.
4．解析：y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，
则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.
答案：
5．解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.21·cn·jy·com
答案：2
6．解析：∵f(x)＝(ax2－1)，
∴f′(x)＝(ax2－1)－(ax2－1)′＝ .
又f′(1)＝2，
∴＝2，
∴a＝2.
答案：2
7．解：∵′＝acos·′＝cos，
又(cos22x)′＝′
＝(－sin 4x)×4＝－2sin 4x，
∴y＝asin＋bcos22x的导数为
y′＝′＋b(cos22x)′＝cos－2bsin 4x.
8．解：∵y′＝(e2x·cos 3x)′
＝(e2x)′cos 3x＋e2x·(cos 3x)′
＝e2x·(2x)′·cos 3x＋e2x(－sin 3x)·(3x)′
＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，
∴y′x＝0＝2e0·cos 0－3e0·sin 0＝2，
∴切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
