第18章 勾股定理单元检测提高卷（含解析）

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第18章 勾股定理单元检测提高卷
　班级__________姓名____________总分___________
一、选择题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A. 11cm B. 2cm C. (8＋2)cm D. (7＋3)cm
3．如图，在中， ，BC边上的高，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4．如图，折叠直角三角形纸片，使两锐角顶点重合，设折痕为．若， ，则的长是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A. 如果∠A-∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B. 如果a2=b2-c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C. 如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D. 如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
6．如图，△ABC中，AC=3，BC= 5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，延长BC至E使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. D.
7．已知△ABC的三边分别长为、、，且满足＋+＝0，则△ABC是（ ）
A. 以为斜边的直角三角形 B. 以为斜边的直角三角形
C. 以为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD平分∠ABC，E是AB中点，连接DE，则DE的长为（　　）
A. B. 2 C. D.
9．如图,等腰直角三角形ABC的直角顶点C与平面直角坐标系的坐标原点O重合,AC,BC分别在坐标轴上,AC=BC=1,△ABC在x轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动,在滚动过程中,当点C第一次落在x轴正半轴上时,点A的对应点A1的横坐标是( 　)
A. 2 B. 3 C. 1+ D. 2+
10．如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD的长为（ ）
A. B. C. 3 D. 2
二、填空题
11．如图，长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A，B在数轴上，以B为圆心，BD长为半径作弧交数轴负半轴于点E，则点E表示的实数为_______．
12．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（3，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为_______．
13．已知：如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．求△ABC的面积为_____．
14．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45，则BD的长为 ____.
15．图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为___________ .
三、解答题
16．如图，在△ABC中，AB=7，AC=，∠A=45°，AH⊥HC，垂足为H。
（1）求证：△AHC是等腰直角三角形；
（2）求BC的长.
17．（2016广东省）如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．
18．如图，BC=4cm，AB=3cm，AF=12cm，AC⊥AF，正方形CDEF的面积是169cm2，试判断△ABC的形状？
19．（2017黑龙江齐齐哈尔第23题）如图，在中，于，，，，分别是，的中点．
（1）求证：，；
（2）连接，若，求的长．
20．如图，平面直角坐标系中，将含的三角尺的直角顶点落在第二象限，其斜边两端点、分别落在轴、轴上，且．
（）若．
①求点的坐标．
②若点向右滑动，求点向上滑动的距离．
（）点、分别在轴、轴上滑动，则点于点的距离的最大值__________ ．（直接写出答案）
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°.求：
(1)∠BAD的度数；
(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号)．
22．已知实数满足．
（1）求的值；
（2）判断以为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角
形的面积；若不能，请说明理由．
23．如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，以OB为一边作∠OBM＝60°，且BO＝BM，连接CM，OM.
(1)判断AO与CM的大小关系并证明；
(2)若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明．
24．问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．
（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为、、
①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．（直接写出答案）
25．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若，试求线段CD的长度．
●深入探究
如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；
●推广应用
如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E．若，试求线段DE的长度．
参考答案
1．C
【解析】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．
点睛：本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
2．B
【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.
∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，
∴AB′=cm.
故选B..
3．D
【解析】连接CF，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
当B. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，
∴AD=CF=8，
∴EF+BE的最小值为8，
故选：D.
点睛：本体主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论.
4．A
【解析】设BD= ，则AD=AB-BD= ，
由折叠的性质可得：DC=AD= ，
∵在Rt△BCD中，DC2=BD2+BC2，
∴，解得： ，即BD=6.
故选A.
5．B
【解析】∵∠A－∠B=∠C，∴∠A=∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故A选项正确；
∵a2=b2－c2，∴a2+ c2=b2，∴∠B=90°，故B选项不正确；
∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，∴x+2x+3x=180，解得x=30，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故C选项正确；
∵a2：b2：c2=9：16：25，∴设a2=9x，b2=16x，c2=25x，则a2+ b2=c2，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故D选项正确.
故选B.
点睛：本题关键在于通过角度的计算和勾股定理逆定理判定直角三角形.
6．A
【解析】试题解析：△ABC中，AC=3，BC= 5，AD⊥BC交BC于点D，AD=，
是直角三角形， 如图所示：
此时
故选A.
7．A
【解析】等式＋+＝0可化为＋+＝0，根据非负数的性质可得a-17=0，b-15=0，c-8=0，所以a=17，b=15，c=8；又因，所以△ABC是 以a为斜边的直角三角形，故选A.
点睛：本题主要考查了非负数的性质以及勾股定理逆定理，熟知勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
8．A
【解析】试题解析：如图，过D作AB垂线交于K，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD
∵∠C=∠DKB=90°，
∴CD=KD，
在△BCD和△BKD中，
∴△BCD≌△BKD，
∴BC=BK=3
∵E为AB中点
∴BE=AE=2.5，EK=0.5，
∴AK=AE-EK=2，
设DK=DC=x，AD=4-x，
∴AD2=AK2+DK2
即（4-x）2=22+x2
解得：x=
∴在Rt△DEK中，DE=.
故选A．
9．D
【解析】试题解析：如图，
∵AC=BC=1，∠AOB=90°
∴OA′=B2C3=1，AB=A′B2=，
∠A1C3B2=∠AOB=90°，
∴点A1的横坐标为2+，
故选D．
10．B
【解析】试题解析：如图，
延长至，使，连接 为直角三角形，且
又∴
故选B.
11．1－
【解析】由题意可知，在长方形ABCD中，∠DAB=90°，AB=2，AD=1，
∴BD=，
∴BE=BD=，
又∵点B表示的数是1，点E在点B的左边，
∴点E表示的数为： .
故答案为： .
12．
【解析】试题解析：
如图所示：作A点关于直线y=x的对称点A′,连接A′B，交直线y=x于点P，
此时PA+PB最小，
由题意可得出：OA′=1,BO=3,PA′=PA，
点睛：两点之间线段最短.
13．84
【解析】∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB2=169，AD2=144，BD2=25，
∴AD2+BD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴DC=,
∴BC=BD+DC=5+9=14，
∴S△ABC=BC·AD=.
14．
【解析】过点A作AE⊥AD，使AE=AD=4，连接DE、CE，
∴∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，
∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45，
∴AC=AB，∠BAC=90°，∠CDE=∠ADC+∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
∴△CAE≌△BAD，
∴BD=CE，
∵在Rt△ADE中，DE=，
∴在Rt△CDE中，CE=，
∴BD=.
故答案为： .
15．
【解析】如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD= cm,
∴BE=CD=3,
在Rt△ACE中，AE==3,
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.
故答案是： cm.
16．(1)见解析；（2）BC=5
【解析】试题分析：（1）先证得∠AHC=90°，再由∠A=45°，即可证得△AHC是等腰直角三角形；（2）设AH=x，则CH=x，BH=7-x，在等腰直角三角形△AHC中，根据勾股定理求得CH=4，即可得BH=3，在Rt△BHC中，根据勾股定理求得BC=5.
试题解析：
（1）证明：∵AH⊥HC，
∴∠AHC=∠BHC=90°，
∵∠A=45°，
∴∠ACH=45°，
∴△AHC是等腰直角三角形；
（2）设AH=x，则CH=x，BH=7-x，
在等腰直角三角形△AHC中，
，
解得x=4.
∴CH=3，BH=4，
在Rt△BHC中，
，
∴BC=5.
17．．
【解析】试题分析：在Rt△ACD中，利用30度角的性质和勾股定理求CD的长；同理在Rt△ECD中求FC的长，在Rt△FCG中求CH的长；最后在Rt△HCI中，利用30度角的性质和勾股定理求CI的长．
试题解析：在Rt△ACB中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=30°，在Rt△ACD中，AC=a，∴AD=a，由勾股定理得：CD==，同理得：FC==，CH==，在Rt△HCI中，∠I=30°，∴HI=2HC=，由勾股定理得：CI==．
答：CI的长为．
18．△ABC是直角三角形.
【解析】分析：首先根据正方形的面积求出FC的长，再在Rt△ACF中利用勾股定理求出AC的长，然后根据勾股定理逆定理证明∠B=90°即可．
本题解析：
∵正方形CDEF的面积是169 cm2，
∴FC=13 cm
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
AC2=CF2﹣AF2=132﹣122=25，
在△ABC中，因为AB2+BC2=32+42=25=AC2
由勾股定理的逆定理得：△ABC是直角三角形．
点睛：此题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，关键是求出AC得出长．
19．（1）证明见解析；（2）EF=5．
【解析】试题分析：（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；
（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．
试题解析：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△BDG和△ADC中，
，
∴△BDG≌△ADC，
∴BG=AC，∠BGD=∠C，
∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，
∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，
∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，
∴∠EDG+∠FDA=90°，
∴DE⊥DF；
（2）∵AC=10，
∴DE=DF=5，
由勾股定理得，EF= =5 ．
20．（1）①（， ）；②2；（2）6．
【解析】试题分析：（）①过点作轴，垂直为，利用含30°角的直角三角形的性质进行解答即可；
②设向右滑行到点，则向上滑行到点，根据点A向右滑行的距离求出的长，再利用勾股定理求出OB′的长，用OB′-OB即可得；
（2）取中点，连结， ，当O、C、E三点共线时OC最大，此时四边形AOBC是矩形.
试题解析：（）①过点作轴，垂直为，在中， ， ，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵， ，
∴，
∴在中， ， ，
同理， ，
∴， ；
②设向右滑行到点，则向上滑行到点，则，又，
∴，∴，点向上滑动；
（）取中点，连结， ，
∵，
∴，
∵，
∴当（即， ， 三点共线）时， ．
21．（1）135°；（2）
【解析】试题分析：（1）由于AB=BC=1，且∠B=90°根据勾股定理即可求出AC的长度，而CD=，DA=1，利用勾股定理的逆定理即可证明△ACD是直角三角形，由此即可求出∠BAD的度数；
（2）首先把求四边形ABCD的面积分割为求△ABC和△ACD的面积，然后利用三角形的面积公式可以分别求出这两个三角形的面积，最后就可以求出四边形ABCD的面积．
试题解析：（1）∵AB=BC=1，且∠B=90°，
∴∠BAC=45°，AC=，
而CD=，DA=1，
∴CD2=AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，即∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°；
（2）∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，
而S△ABC=AB×BC=，
S△ACD=AD×CD=，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
．
22．（1）；（2）直角三角形；面积为.
【解析】试题分析：
（1）根据“一个式子的算术平方根、绝对值和平方都是非负数”及“几个非负数的和为0，则这几个数都为0”即可列出方程，求得的值；
（2）根据（1）中所得结果分别求出的值，即可发现，由此可得以为边的三角形是直角三角形，从而可求出其面积.
试题解析：
（1）∵实数满足
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积为： .
23．(1)AO＝CM (2)△OMC是直角三角形
【解析】试题分析：（1）先证明△OBM是等边三角形，得出OM=OB，∠ABC=∠OBC，由SAS证明△AOB≌△CMB，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．
试题解析：解：（1）AO=CM．理由如下：
∵∠OBM=60°，OB=BM，∴△OBM是等边三角形，∴OM=OB=10，∠ABC=∠OBC=60°，
∴∠ABO=∠CBM．在△AOB和△CMB中，∵OB=OM，∠ABO=∠CBM，AB=BC，∴△AOB≌△CMB（SAS），∴OA=MC；
（2）△OMC是直角三角形；理由如下：
在△OMC中，OM2=100，OC2+CM2=62+82=100，∴OM2=OC2+CM2，∴△OMC是直角三角形．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理．证明三角形全等是解决问题的关键．
24．（1）；（2）画图见解析；①△DEF是直角三角形，理由见解析；②2
【解析】试题分析：（1）根据题目设置的问题背景，结合图形进行计算即可；
（2）根据勾股定理，找到DE、EF、DF的长分别为、、，由勾股定理的逆定理可判断△DEF是直角三角形．
解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；
（2）如图所示：
∵DE=，EF=2，DF=，
∴DE2+EF2=DF2，
∴△DEF是直角三角形．
△DEF的面积=．
点睛：本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握．
25．●特例感知:①是；②；
●深入探究： ，理由见解析；
●推广应用：2a．
【解析】试题分析：●特例感知
①根据勾股高三角形的定义进行判断即可.
②设根据勾股定理可得： ，根据勾股高三角形的定义列出方程，解方程即可.
●深入探究
根据勾股高三角形的定义结合勾股定理即可得出它们之间的关系.
●推广应用
运用探究的结果进行运算即可.
试题解析：
●特例感知
① 是 ；
②设
根据勾股定理可得： ，
于是，
∴；
●深入探究
由可得： ，而，
∴，即；
●推广应用
过点A向ED引垂线，垂足为G，
∵“勾股高三角形”△ABC为等腰三角形，且，
∴只能是，由上问可知……①．
又ED∥BC，∴……②．
而……③，
∴△AGD≌△CDB（AAS），于是．
易知△ADE与△ABC均为等腰三角形，
根据三线合一原理可知．
又∴，
∴．
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