第六单元 有余数的除法
一、教学目标
1．通过操作、观察、对比等活动，使学生发现日常生活中在分物时存在着分不完有剩余的情况，借此理解余数及有余数的除法的含义，初步培养学生全面思考问题的意识。
2．通过操作、计算、比较等活动，让学生经历除法竖式（含表内除法的竖式）的书写过程，理解竖式中每个数所表示的意思，初步培养学生的观察、分析能力以及恰当地进行数学表达的能力。
3．使学生初步掌握试商的基本方法，并能较熟练地进行有余数的除法的口算和笔算，培养学生的运算能力。
4．使学生初步学会用有余数的除法解决生活中的简单问题，初步感受数学与生活的联系，继续掌握解决问题的基本思路和基本方法。
二、内容安排及其特点
1．教学内容和作用
在日常生活中平均分物时，结果包含两种情况：一种是恰好分完的情况，这时没有剩余（即余数为0），表内除法涉及的就是这样的内容；一种是平均分后还有剩余的情况(余数不为0)，这是有余数的除法要研究的内容。
在除法计算中，能够整除的是少数，有余数的除法是大量存在的。从小学生学习的角度看，“有余数的除法”是表内除法知识的延伸和拓展。鉴于有余数的除法与表内除法的这种密切联系，以及考虑到通过操作和对比更有利于学生对这部分内容的理解，修订后的教材将本单元从三年级上册调整到了二年级下册。相应地，具体内容也进行了一些调整。
本单元的学习内容主要有两部分：第一部分是有余数的除法的含义和计算；第二部分是解决问题。教材具体编排结构如下。
有余数的除法是今后继续学习一位数除多位数等除法的重要基础，因为用一位数除、商是一位数的有余数的除法是除法试商的基础，并且这部分内容在日常生活中也有着重要的应用。
因此，这部分知识的学习具有承上启下的作用，学好这部分知识对于学生继续学习有着至关重要的作用。
正是因为教学年段的调整，教材在编排的层次上有以下变化。首先，不断将有余数的除法与刚学习的表内除法的两种情况对比呈现，并借助大量的操作帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，理解余数和除数的关系，同时体会有余数的除法与表内除法的关系。其次，将除法竖式的教学安排在理解了有余数的除法的含义、明白了余数与除数的关系之后，突出了引入除法竖式的必要性和作用，同时为试商的教学作好准备。最后，单独编排试商的例题，突出试商的方法：求商时要想几和除数相乘的积最接近被除数而且小于被除数，并且保证余数小于除数。同时，为保证试商的准确性和速度，教材在练习中还增加了单项练习，如练习十四第4题和第6题等。
2．教材编排特点
在教材内容的具体编排上，教材体现了如下的编排特点，从而使得知识更容易为学生所理解，也体现了更科学的数学知识的结构。
(1)注重操作直观等促进学生对相关知识的理解。
与表内除法单元借助动手操作理解平均分的概念、理解除法的编排一致，本单元教材的编排继续借助操作等直观，帮助学生理解所学知识，并建立操作过程、语言表达和符号表征之间的关系，实现学生对数学概念的真正理解。如，例1中对余数概念的理解、对有余数的除法含义的理解，都是借助操作来进行的，由直观操作到符号表征，使学生从多方面、多角度理解所要学习的知识。又如，对于除法竖式的理解，也是借助操作，使学生清楚地看到竖式中的每个数所对应的操作中的具体对象，以加深学生的理解。另外，在解决问题的例6中，同样借助画图这一直观手段，帮助学生分析题意，理解其中余数所代表的事物，进而帮助学生学会解决问题。
(2)通过对比帮助学生理解有余数的除法的含义和计算。
为帮助学生理解，修订后的教材将“有余数的除法”安排在学习完“表内除法”之后不久进行教学，并且以表内除法为基础，通过对比加以编排，主要体现为下面4次对比。
第一次是例1中平均分物过程的对比。教材通过“将一些草莓，每2个一份，可以怎么分”，帮助学生感受平均分物的过程中有两种情况。在对比中拓展学生对除法的认识，并更好地理解余数的含义、有余数的除法的含义。
第二次是例1、例2中有余数的除法和表内除法的横式的对比。通过结合操作过程，使学生在对比中理解有余数的除法的横式中各部分的名称及每个数的含义，理解余数比除数小的道理。
第三次是有余数的除法的横式和有余数的除法的竖式的对比。借助平均分的操作过程及与横式的对比，使学生理解有余数的除法的竖式的书写方法，理解竖式中每个数的含义。
第四次是有余数的除法的竖式与表内除法的竖式的对比。借助操作，在对比中帮助学生继续理解除法竖式的写法，理解竖式中余数0的含义。
由上面的叙述可以看出，通过这样的对比，不仅可以唤起学生已有的知识经验，加深学生对有余数的除法的理解，还可以使学生感受到知识之间的联系，为建构合理的知识结构网络提供支撑点，同时，还能培养学生分析、比较、归纳的能力。
(3)针对难点增加教学试商的例题，帮助学生经历数学化的过程，为后续学习作好铺垫。
本单元在求商的方法上的编排，与表内除法的试商是一致的：都是先通过操作分物得到商，然后再探索求商的方法并进行相应的计算。在本单元中，例1～例3中的商都是通过操作分物得出来的，从例4开始离开具体情境直接用竖式计算，这就必然要用到算法。这个算法，就是有余数的除法的求商方法。在编排上，例4直接利用除法竖式，要求学生想乘法口诀，找出与除数相乘积最接近被除数而且小于被除数的那个数，这个数即为商（通过余数小于除数加以判定）。这样的数学，既教给了学生有余数的除法的求商方法，又为后面继续学习除法的笔算打好了基础，因为多位数除以一位数等笔算除法的计算过程，就是多次进行有余数的除法的过程。
(4)注重解决问题策略的培养，并继续落实“四能”目标。
加强对解决问题能力的培养，将培养学生“四能”的教学与各部分数学知识的教学有机地结合起来是修订后教材的一大特色。通过这样的编排，为培养学生解决问题的能力提供了清晰的线索和可操作的教学思路。具体到本单元，教材安排了两个例题。例5是用有余数的除法的知识解决简单的实际问题，并用“进一法”确定问题的答案；例6是用有余数的除法的知识解决与按规律排列有关的问题。在具体编排上，教材继续通过“知道了什么？”“怎样解答？”“解答的正确吗？”等提示，使学生经历审读题意、分析数量关系、寻找策略解决问题、回顾与反思等全过程，并通过呈现不同思维水平、不同思考角度的解决问题的方法，既尊重学生的发展现实，允许学生用适合于自己的方法解决问题，又可使学生了解解决问题方法的多样性，有助于提升学生解决问题的能力，促进学生思维能力的发展。
此外，结合相关的例题和习题，教材尽可能地给学生提供机会，让学生经历了从现实生活或具体情境中发现并抽象出数学问题的过程，以此为学生积累发现问题、提出问题的经验。长此以往，有利于培养学生的问题意识，以及对数学问题的敏感性。
三、教学建议
结合前面的阐述及本单元知识的特点，下面对教师教学提出一些总体的教学建议，供教师进行实际教学时参考。
(1)借助（几何）直观促进学生的理解。
几何直观是《标准(2011)》提出的十大核心概念之一，主要是指利用图形来描述和分析问题，用通俗的话说，就是用图想事，借图促思，据图说理。由于小学生的思维发展正处于具体运算阶段向形式运算阶段的过渡期，离不开具体事物的支撑。而几何直观正好凭借其直观的特点将抽象的数学语言与形象的图形语言有机地结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来，把复杂的数学问题变得简明、形象，从而有助于学生思考、探索，突破学习难点，揭示问题本质。因此，在教学时应注意充分运用（几何）直观，具体体现如下。
首先，借直观帮助学生建立最基础的概念。例1～例3的教学内容是本单元的基础知识，这些例题的教学都是建立在直观的基础上的。因此，教学时教师要充分运用直观和对比，帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，理解余数与除数的关系，理解除法竖式中各数的含义。
其次，在解决问题中注意借助直观帮助学生理解题意、分析数量关系、明白解题的缘由。在实际解决问题的过程中，理解题意和分析数量关系往往是难以截然分开的，学生理解题意的过程，实质上也包含了对数量关系的分析，这些往往都需要借助直观。如例6中题目的呈现、对数量关系的分析，乃至最后对余数含义的说明，都借助了直观的手段。因此，在教学时应充分借助直观，让学生学会利用图来描述和分析问题，将数学问题转化成直观、形象的图，以清晰地“看到”数量关系，明晰解决问题的思路，并最终得到解决问题的方案。
(2)将操作、口算、竖式相互结合，实施“有来有回”的教学。
在实际教学过程中，学生学习除法常常经历如下面左图的表征过程。这种表征是单向的、有去无回的，学生只经历了由具体到抽象的过程，却没有经历由抽象回到具体的过程。因此，当学生遇到竖式不会书写时，不能用具体的动作表征来支撑。笔算是“直观的算理，抽象的算法”，若不能沟通学具操作、口算与竖式表示的笔算之间的关系，尤其是不能将直观的学具操作转化为头脑中的形象的表象操作，学生就难以真正掌握算法、理解算理。为此，建议在帮助学生理解用除法竖式计算除法的过程中，让学生经历下面右图的表征过程。
在上面右图中，横框中所表示的是除法意义的语义表征、动作表征、符号表征，这是学生已有的知识基础；斜框中所表示的是符号表征中三种不同的表现形式；竖框中则是本节课要建立的动作表征与另外两种符号表征之间的关系。
按照这样的教学思路，学生在操作体验中应建立分的过程（操作表征）、口算的过程、竖式的书写过程（符号表征）以及语言表达过程（语义表征）间的一一对应关系，使学生在理解有余数的除法的意义的同时，进一步理解算理，降低学习难度，此种方法特别适合于中等及中等以下学生的学习。
(3)认真了解学生学习除法竖式前的知识基础。
正如前面在编排特点中所叙述的，本单元教学的重要知识基础是学生对于平均分及表内除法的理解，因此，其掌握情况直接影响本单元的学习。为此，在教学之前，教师应通过复习唤起学生的已有知识经验，同时通过复习对学生的情况有一个直接的了解，确定好教学的起点。
尤其是在教学除法竖式时，更应该对学生进行一些前测，了解学生对除法竖式都有多少了解，以确定教学时需要突破的“点”。比如，在教学前，我们曾通过如下题目对学生进行过前测。题目如下：有15枝花，一个花瓶插5枝，可以插几个花瓶？
调研时，要求学生分别通过操作、算式表达、写出心目中的竖式三种表征方式解决上面的问题。其中算式表达和写竖式两种表征方式的调研结果如下。
在算式表达方面，学生列出的横式有：15÷5＝3（个），15－5－5－5＝0。其中，第一个式子是一般的除法横式；第二个式子用的是减法，体现了逐次减的过程，虽然没有写出结果，但能看出学生理解了除法的意义，能得到正确的结果。
在让学生用自己心目中的除法竖式表征时，学生列出了如下的除法竖式。
从上述几个竖式中可以看出，学生列竖式时明显受到了加、减法竖式的影响。第四个算式虽然出现了“”号，但从表达的形式上看，这位学生仅仅是见过除法竖式，但对这种算式各部分的含义并没有理解。
从综合调研结果可以看出，学生能够解决需要用除法解决的问题，但基本上都不了解除法竖式。究其原因，这与除法竖式的特殊性有关。这也是除法竖式的教学之所以成为教学重点与教学难点的原因之一。教学时，应对此加以重点处理，可以根据实际教学的需要增加课时，以使学生有更充分的时间掌握除法竖式的写法，真正地理解除法竖式中各数的含义。也可以补充一些除法竖式形式演变的史料，以促进学生的理解。
(4)建议用8课时教学。
有余数的除法
教学内容：教科书第60页例1及第61页例2。
教学目标
1．通过分草莓的操作活动，使学生理解余数及有余数的除法的含义，并会用除法算式表示出来，培养学生观察、分析、比较的能力。
2．借助用小棒摆正方形的操作，使学生巩固有余数的除法的含义，并通过观察、比较探索余数和除数的关系，理解余数比除数小的道理。
3．渗透借助直观研究问题的意识和方法，使学生感受数学和生活的密切联系。
教学重点：理解余数及有余数的除法的含义，探索并发现余数和除数的关系。
教学难点：理解余数要比除数小的道理。
教学准备：课件、卡片。
教学过程
一、初步感知有余数除法的含义
1．复习表内除法的含义
教师（出示下图）：把下面这些草莓，每2个摆一盘，摆一摆。
教师：请同学们读一读题目，并在小组内说一说你都知道了什么？
教师：请同学们边说边摆一摆。
学生：6个草莓，每2个一盘，可以摆3盘。
教师：你能把刚才摆的过程用一个算式表示出来吗？
教师随学生汇报板书：6÷2＝3。
教师：6÷2＝3这个算式表示什么意思？
学生：这个算式表示“6个草莓，每2个一盘，可以摆3盘”。
（设计意图：沟通操作过程、语言表达、算式之间的转换，使学生明白它们的意思是一样的，只是表达形式不同。）
2．理解有余数的除法的含义
(1)在动手操作中感受平均分时会出现有剩余的情况。
教师（出示下图）：把下面这些草莓，每2个摆一盘，摆一摆。
教师：请大家用手中的学具边说边摆一摆。
教师：在摆的过程中，你们发现了什么问题？
学生：剩下一个草莓没地方摆了。
教师：这一个草莓没地方摆了，也就是剩下了1个，多了1个。
(2)在交流中确定表示平均分时有剩余的方法。
教师：请你们把刚才摆的过程用一个算式表示出来。
学生写算式，教师巡察，了解学生解决问题的基本思路与基本方法，选取典型案例。
教师（出示学生资源）：这是咱们班同学的想法（呈现下面3种方式）。请大家仔细看看，你同意用哪一个表示方法？说说你的想法。
教师（针对①）：剩下的1个草莓不表示出来行吗？你是怎样想的。
教师：（针对②和③）：后面的两种表示方法能清楚地表示出刚才分的过程吗？7、2、3、1分别表示什么意思？
教师：看来大家都认为需要把剩下的1个草莓表示出来，后面两种表示方法都对，只不过在数学上规定这样表示（板书如下）。
7÷2＝3（盘）……1（个）
教师：这个算式表示7个草莓，每2个摆一盘，摆了3盘，还剩下1个草莓。省略号表示剩余，1是剩下的草莓数，我们把它叫做余数。
教师：这个算式表示什么意思？1表示什么？7、3、2表示什么，余数表示什么？
(3)归纳总结，完善学生的认知结构。
教师：今天我们分了两次草莓，这两次分草莓的过程有什么相同的地方？又有什么不同的地方？
教师随学生回答呈现并完善下表。
分的物品
几个一份
分的结果
算式表达
6个
每2个一盘
分了3盘，恰好分完
6÷2＝3（盘）
7个
每2个一盘
分了3盘，还剩一个
7÷2＝3（盘）……1（个）
教师（揭示课题）：我们这节课学习的新知识就是“有余数的除法”。
（设计意图：在动手操作的过程中，充分调用学生的已有经验，在对比中让学生更好地理解余数及有余数的除法的含义，为继续探究奠定基础。）
二、探索、发现余数和除数的关系
1．按要求操作并记录
教师（出示下图）：用4根小棒可以摆几个这样的正方形？你能列出除法算式吗？
教师：很好，下面老师就请同学们用小棒来摆一摆这样的正方形。大家看好，老师给每个小组都准备了不同数量的小棒，请你们用手中的小棒一个一个地摆出像这样的独立的正方形（出示下图），并把摆的结果及所列算式写在下面的记录单上。
小棒根数
摆的结果
算式
（注意：教师课前为每组学生准备小棒，小棒的数量在8 --16之间，且尽可能保证每组学生的小棒数量不同。）
学生活动，教师巡察，了解学生情况。
2．组织交流
教师组织学生进行全班交流，并随着交流在黑板上完成如下板书
根数 摆的结果 算式
8根 □ □ 8÷4＝2（个）
9根 □ □ 1 9÷4＝2（个）……1（根）
10根 □ □ 1 1 10÷4＝2（个）……2（根）
11根 □ □ 1 1 1 11÷4＝2（个）……3（根）
12根 □ □ □ 12÷4＝3（个）
13根 □ □ □ 1 13÷4＝3（个）……1（根）
14根 □ □ □ 1 1 14÷4＝3（个）……2（根）
15根 □ □ □ 1 1 1 15÷4＝3（个）……3（根）
16根 □ □ □ □ 16÷4＝4（个）
3．通过对比发现余数与除数的关系
教师：仔细观察这些算式及算式中的余数，你发现了什么？
教师引导学生讨论如下问题。
(1)余数可能是1、2、3，可能是4或者5吗？为什么？说说你的想法。
(2)余数和谁有关系？有什么关系？你是怎样想的？
(3)你能再举出几个这样的例子吗？
教师小结并板书：余数<除数。
教师（小结）：刚才我们通过用小棒摆正方形的活动，列举出了这样的有规律变化的许多算式。大家通过观察和比较，发现了在除法算式中余数要比除数小的规律，最后又举了一些例子进行验证。看来动手做一做、写一写，举例说一说，这些都是我们研究数学、发现规律的好方法。
4．在游戏中进一步巩固
教师：下面老师用一堆小棒摆下面的图形（呈现下图）。如果有剩余，可能会剩几根小棒？谁来猜一猜？
教师就如下问题组织学生讨论。
(1)可能剩几根小棒？有几种情况？
(2)为什么只有这几种可能性？你是怎样想的？
教师：如果用这些小棒摆三角形可能会剩几根小棒？说说你的想法。
（设计意图：在学生理解有余数的除法的意义的基础上，通过用不同根数的小棒摆正方形的操作过程：一方面巩固除法和有余数的除法的含义，感知除数与余数之间的关系；另一方面向学生渗透借助直观研究问题的意识和方法。）
三、巩固练习
1．完成“练习十四”第1题
2．填一填
A÷6＝5……□
教师：题目是什么意思？
教师：口里可以填几，你能完整地说一说你是怎么想的吗？
（设计意图：学生独立解决问题后交流，互相学习借鉴；进一步体会有余数的除法的意义以及余数与除数的关系。）
四、课堂总结，明确学习目标
教师：同学们，在今天的学习中你们都有哪些收获？
……
教师：看来，大家都很好地掌握了今天所学的知识，下节课我们将继续学习有余数的除法的知识。
除法竖式
教学内容：教科书第62页例3及相关内容。
教学目标
1．通过平均分小棒的活动，沟通平均分小棒的操作过程与除法竖式之间的关系，使学生掌握除法竖式的书写方法，知道除法竖式中每个数的名称，并理解除法竖式中每个数的含义。
2．通过沟通平均分小棒的操作、列除法横式、书写除法竖式之间的关系，使学生体会事物之间的相互联系，感受有余数的除法的多种表征方式。
3．在学习知识的过程中，使学生感受数学的严谨性，理解数学的思考方法，培养学生的知识迁移能力。
教学重点：除法竖式的书写方法以及理解除法竖式中每一个数的含义。
教学难点：除法竖式中每一部分的含义以及除法竖式的写法与众不同的道理。
教学过程
一、复习旧知
1．出示题目，明确题意
教师（出示题目）：13根小棒，每4根分一组，结果怎么样？
教师：请你们读一读，并在小组内说说你们都知道了什么。
学生独立审读题目后交流审题结果。
教师：13根小棒指的是什么？每4根分一组是什么意思？
教师：结果会怎么样呢？解决这个问题，你有什么方法？
2．学生自主解决问题
3．汇报交流
预设1：列式计算。
13÷4＝3（组）……1（根）
教师：13、4、3、1分别表示什么？13÷4＝3……1表示什么？
预设2：摆（圈）小棒。
教师：仔细观察，这位同学先做了什么？（先拿出13根小棒。）
教师：接下来他又做了什么？（有4根就圈一个圈，有4根就圈一个圈。）
教师：圈了多少个圈？是多少根小棒？还剩多少根？（圈了3个圈，一共圈了12根小棒，还剩1根小棒。）
教师：谁能完整地说一说这个同学分小棒的过程？
让学生体会：13根小棒，每4根分一组，可以分3组，还剩1根。
教师：摆（圈）的过程和算式的书写过程哪里相同？哪里不同？它们都分别表示什么意思？
（设计意图：沟通符号表征、图形表征、语言表征三者之间的关系，体会同一件事可以有不同的表征形式，但含义是相同的。）
二、根据平均分的操作理解除法竖式的写法，明确竖式中各数的含义
1．整体感知写法
教师：刚才有的同学用摆或者画的方式，有的同学列出了除法算式，都表达了同一个意思——平均分1 3根小棒。这个除法算式，我们叫它横式。除法算式还可以写成竖式的形式。
教师（出示下图）：这就是除法竖式。看看这个除法竖式，竖式中的每个数都有名字，你知道他们都叫什么吗？
预设：学生可能会说出“3叫商，4叫除数，1 3叫被除数，1叫余数”。教师应重点引导学生根据前面的提问，理解12是4和3的乘积，即除数和商的积。
2．沟通平均分操作与书写除法竖式之间的关系，理解竖式中每一个数的含义
(1)建立联系。
教师：知道了每个数的名称，那你们明白竖式中每个数分别表示什么意思吗？
教师：看来这对大家有些难度。下面我们就对照平均分小棒的操作过程，一边分小棒，一边写一写除法竖式。请大家跟老师一起，边分、边写、边说。
(2)沟通关系。
教师（板书）：表示什么意思？
教师（边写边说）：再写被除数13（要分的13根小棒）和除数4（每4根一组），表示什么意思？（13根小棒，每4根分一组。）
教师：请你按要求把13根小棒，按照每4根分一组，再重新分一分。
教师：结果是可以分成3组，这个“3"写在哪里？
教师：为什么要写在个位上？（板书：）
教师：谁能完整地说一说表示什么意思？（13根小棒，每4根一组，可以分3组。）
教师：谁能边分边说说竖式中每一个数的含义？
教师：要分13根小棒，现在已经分掉了多少根？你从哪里知道已经分掉了12根？
使学生体会：从图中我们可以看到一组有4根，有这样的3组，3个4是1 2根小棒。从算式中我们可以用商乘除数，3×4的积是12。
教师：这个“12”写在哪里？表示什么意思？它是怎样算出来的？（板书：12。）
教师：我们画一条横线表示按要求分了一次。（板书： 。）
教师：这条横线表示什么意思？
教师：要分13根小棒，已经分掉了12根小棒，还剩多少根？你是怎样知道的？
使学生体会：从图中我们可以看到还剩1根小棒。从算式中我们可以用要分的13根减去已经分掉的12根，还剩1根。
教师：这个“1”写在哪里？表示什么意思？
教师：它是怎样算出来的？（补充板书：1）
3．回顾对比，理清写法
教师：我们一边分小棒一边写出了这个除法竖式。请同学们认真地想一想，我们是怎样分小棒的？又是怎样写竖式的？竖式中的每个数表示什么意思？想完后和同桌说一说。
教师：前面我们学习了有余数的除法的口算，今天又学习了有余数的除法的竖式，你觉得这两种表示方法有什么相同的地方？有什么不同的地方？
（设计意图：本环节重点帮助学生建立分小棒的过程与写除法竖式的过程之间的联系。通过边分小棒边写竖式这种对应的学习过程，帮助学生在直观操作的基础上理解竖式中每个数的含义，为其今后进一步自主学习除法竖式的写法奠定基础。在回顾对比的过程中，对横式写法和竖式写法进行比较，加深对有余数的除法的不同表征形式的理解。）
4．尝试练习，进行巩固
教师（出示第62页“做一做”第1题）：请你边分边写除法竖式。
学生独立完成，教师巡视收集典型案例并组织交流汇报。
5．通过迁移学习表内除法竖式
教师：如果我们有 6根小棒，每4根一组，结果会怎么样呢？请你自己分一分，写一写。
学生活动，教师巡察，了解学生解决问题的基本思路与基本方法，选取典型案例。
教师组织学生讨论如下问题。
(1)这个除法竖式的意思你读懂了吗？
(2)竖式中两个16表示的意思相同吗？它们分别表示什么？
(3)你发现这道题和刚才的题目有什么相同？有什么不同？
(4)分完后没有剩余的时候，我们怎样表示？
6．巩固表内除法竖式
教师（出示第63页“做一做”第2题）：请同学们先自己读题，然后圈一圈，写一写。
学生独立解决问题，教师巡察，了解学生解决问题的情况，选取典型案例并组织交流。
教师：这个竖式表示什么意思？竖式中每个数的含义分别是什么？
三、对比反思，总结全课，积累经验
教师：通过今天的学习你有什么收获？
教师：除法竖式和除法横式的写法有什么相同的地方，有什么不同的地方？除法竖式有什么好处？
《练习十四》具体内容及教学建议
编写意图
（1）练习十四共安排了15道习题，用以帮助学生巩固余数及有余数的除法的含义，掌握除法竖式及有余数的除法计算的方法。
（2）第1题以学生生活中熟悉的给面包装袋为素材，利用平均分中的“包含”的情况，帮助学生进一步理解余数及有余数的除法的含义。教材在编排上体现了开放性，学生可以自选一种装法圈一圈并列出算式。同时，这道题也将有余数的除法的不同表征形式放在一起，利于学生的理解，并进一步感受商和余数的名数的不同。
（3）第2题借助有趣的3个小刺猬分山楂的情境，利用平均分中的“等分”，深化学生对余数及有余数的除法含义的理解，同时感受到商和余数的名数的相同。
（4）第3题重在巩固学生对除法竖式的掌握和理解。教材同样是借助分棒棒糖的操作活动深化学生的理解。同时，为突出对竖式中每个数的含义的巩固，也为了分散练习的难点，教材将商写了出来，使学生的关注重点放在对竖式中各个数的含义的理解上。
教学建议
（1）进一步通过几种表征的转换促进学生理解。
第1～3题都是根据文字的意思先进行操作，然后把操作的结果填在括号中，最后完成有余数除法的横式或竖式的书写，包括了多种表征方式的转换。练习时要充分注意到这一点，如可以让学生边圈（或分）边说边写，使学生充分感受到操作、文字、横式或竖式所表达意思的统一，理解本质。
（2）在交流中获得对有余数的除法的含义的深入理解。
练习时，可以先让学生自己做一做，然后在小组里说一说，最后再进行全班交流。这样可以发挥合作学习的优势，为学习上有困难的学生增加理解的时间。
（3）注意把握教学的深度。
至此为止，学生对于结果的得出都是通过平均分物操作得到的，如果需要补充练习，也应注意到这一点。抽象的计算练习是后面的学习内容。
编写意图
（1）第4题是针对试商的准备性练习。以“卡片上最大能填几？”的形式呈现，要填出卡片上最大的数。这就需要学生想乘法口诀找出：哪一个数与给出的数相乘的积最接近（“＞”或 “＜”）另一侧的数，如□×6＜57，就想得数和57最接近，但又比57小的6的乘法口诀，六九五十四，符合题目要求，就填9。而这样的思路和想商的思路一致的，因此是求商的准备性练习。
（2）第5题和第6题是针对试商的巩固性练习。题中并没有留出写完竖式的空白，意在专门突出对试商方法的巩固。其中，第5题以“某数里面最多有（ ）个另一个数。”并辅以竖式的形式呈现，需要学生利用除法竖式试商；第6题则直接以除法竖式的形式呈现，让学生进行试商的练习，只不过里面还混合了表内除法的计算，需加以注意。
（3）第7题是辨析题，让学生判断找到的商是否合适，并加以改正。这种题目是在学生对试商的方法初步掌握之后出现的，既巩固试商的方法，要求学生会熟练地运用，又可以提高学生的学习兴趣，培养学生的辨别能力。
教学建议
（1）加强常规性训练，为试商作好铺垫。
为突破教学难点，可以每天抽出5～10分钟，进行类似于第4题的训练。由于这里是首次出现这样的题型，所以应先让学生看懂题意，如□×6＜57，可以让学生先想一想卡片上能填几，再判断卡片上最大能填几。
（2）创设丰富多彩的游戏活动提高学生练习的兴趣。
在平常的教学中，要注意搜集学生学习中的易错点、困难点，并进行分类整理。然后，通过丰富多彩的“医疗诊所”我是快乐的小医生“啄木鸟吃虫子”等戏，让学生进行思考、辨析，既提高学生的参与度，又提高学生的学习能力。
（3）明确计算要求。
计算时应要求学生认真、准确，不对速度提出过多要求，不要强调又对又快。
编写意图
（1）第9题以有趣的形式进行除法计算的混合练习，既包括有余数的除法，又包括表内除法。重在让学生在理解题意的基础上，通过练习逐步形成计算能力。
（2）第10题以题组形式呈现，除巩固计算之外，重在让学生体会有余数的除法和下面乘加算式之间的关系，初步感受“商×除数＋余数＝被除数”，渗透了有余数的除法计算的检验方法。
（3）第11题重在巩固有余数除法的试商方法，也可根据学生的实际继续渗透“商×除数＋余数＝被除数”检验方法。尤其是第（2）小题。
（4）第12、13题是解决简单实际问题的内容，但都给出了算式，只让学生填写商和余数，重点还是有余数除法计算的练习，同时继续巩固其他相关知识。
（5）第14题让学生根据除数确定最大的余数，巩固余数和除数的关系。答案唯一，是7。
（6）第15题供学有余力的学生完成。这是一个开放题，有多个答案。解题时需要综合运用有余数除法的相关知识，并可培养学生有序思考的习惯。
教学建议
（1）重视渗透检验有余数除法的方法的题目。
如第10题，可先让学生计算，通过计算发现每组算式中第二个算式的得数即是第一个算式的被除数，感受检验有余数除法的方法。再将此方法运用到第11题中。
（2）重视培养学生有序思考的习惯和意识。
完成第15题，需要把握住两个关键：一是利用余数与除数的关系确定除数；二是利用第10题发现的“商×除数＋余数＝被除数”。当余数是1时，除数可以分别是2、3、4、5、6、7、8、9，进而再确定被除数，从而解答出整个题目。答案如下：当除数是2时，被除数为2×6＋1＝13；当除数是3时，被除数为3×6＋1＝19；当除数是4时，被除数为4×6＋1＝25；当除数是5时，被除数为5×6＋1＝31；当除数是6时，被除数为6×6＋1＝37；当除数是7时，被除数为7×6＋1＝43；当除数是8时，被除数为8×6＋1＝49；当除数是9时，被除数为9×6＋1＝55。
