2018年《第二章推理与证明》阶段质量检测试卷含解析

阶段质量检测（二） 推理与证明
(时间： 120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21cnjy.com
1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是(　　)
A．归纳推理　　　　　　　 B．类比推理
C．演绎推理 D．非以上答案
解析：选C　根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.
2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理(　　)
A．正确
B．推理形式不正确
C．两个“自然数”概念不一致
D．“两个整数”概念不一致
解析：选A　三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：
①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．
则说法中正确的个数有(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B　可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．
4．下列推理正确的是(　　)
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：选D　(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为(　　)21·世纪*教育网
A．(3,9) B．(4,8)
C．(3,10) D．(4,9)
解析：选D　因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D.
6．求证：＋>.
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋>，
只需证明(＋)2>()2，展开得5＋2>5，
即2>0，此式显然成立，所以不等式＋>成立．
上述证明过程应用了(　　)
A．综合法 B．分析法
C．综合法、分析法配合使用 D．间接证法
解析：选B　证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．2-1-c-n-j-y
7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)21*cnjy*com
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D　由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}(　　)
A．一定是等比数列
B．一定是等差数列
C．可能是等比数列也可能是等差数列
D．一定不是等比数列
解析：选C　设等比数列{an}的公比为q，则an＋an＋1＝an(1＋q)．∴当q≠－1时，{an＋an＋1}一定是等比数列；2·1·c·n·j·y
当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列．
9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：选D　法一：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－≤0.【出处：21教育名师】
法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a，b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab<0，排除A、B、C，选D.21*cnjy*com
10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为(　　)www-2-1-cnjy-com
A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝
C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c
解析：选A　令n＝1,2,3，
得
所以a＝，b＝c＝.
11．已知数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为(　　)
A．Sn＝ B．Sn＝
C．Sn＝ D．Sn＝
解析：选A　由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝，S2＝；又1＋＋a3＝32a3，∴a3＝，S3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，S4＝.
由S1＝，S2＝，S3＝，S4＝可以猜想Sn＝.
12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 016＝(　　)
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
A.1 B．2
C．4 D．5
解析：选D　x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2 016＝x4＝5，故应选D.21教育网
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”．
答案：x，y都大于1
14．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m，n的大小关系是________．
解析：ab>0?>0?a＋b＋2>a＋b?
(＋)2>()2?＋>?
>?lg>lg .
答案：m>n
15．已知 ＝2， ＝3， ＝
4，…， ＝6，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________.
解析：由题意归纳推理得 ＝6，b＝62－1
＝35，a＝6.∴a＋b＝6＋35＝41.
答案：41
16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg ≥；
(2)6＋>2＋2.
证明：(1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lg ab＝.
(2)要证 ＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…)．
(1)求证：an＋1≠an；
(2)令a1＝，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)．www.21-cn-jy.com
解：(1)证明：若an＋1＝an，即＝an，
解得an＝0或1.
从而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0或1，
这与题设a1>0，a1≠1相矛盾，
所以an＋1＝an不成立．
故an＋1≠an成立．
(2)由题意得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，由此猜想：an＝.
19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．
(1)求证：四边形的内角和等于360°.
证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.21·cn·jy·com
(2)已知 和 都是无理数，试证：＋也是无理数．
证明：依题设和都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以＋必是无理数．
(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．【来源：21·世纪·教育·网】
证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．
(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．【版权所有：21教育】
(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．21教育名师原创作品
20．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，
求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：(1)由已知得
∴d＝2.
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
∵p，q，r∈N*，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0.
∴p＝r，与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
21．(本小题满分12分)已知：sin2 30°＋sin2 90°＋sin2 150°＝，sin2 5°＋sin2 65°＋sin2 125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．21世纪教育网版权所有
解：一般形式为：
sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.
证明：左边＝＋＋
＝－[cos 2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)]
＝－(cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°＋cos 2αcos 240°－sin 2αsin 240°)
＝－cos 2α－cos 2α－sin 2α－cos 2α＋sin 2α＝＝右边．
将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝也正确
22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：
(1)用分析法证明：已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤；
(2)用反证法证明：1，，3不可能是一个等差数列中的三项．
证明：(1)a⊥b?a·b＝0，要证≤.
只需证|a|＋|b|≤ |a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证．
(2)假设1，，3是某一个等差数列中的三项，且分别是第m，n，k项(m，n，k∈N*)，
则数列的公差d＝＝，即－1＝，
因为m，n，k∈N*，所以(n－m)∈Z，(k－m)∈Z，所以为有理数，
所以－1是有理数，这与－1是无理数相矛盾．
故假设不成立，所以1，，3不可能是一个等差数列的三项．