2018人教A版选修1-1《第二章圆锥曲线与方程》质量检测试卷含解析

阶段质量检测（二）
一、选择题
1．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1，2) C. D．(0，1)
2．已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3．抛物线y2＝8x上一点P到焦点的距离为4，则P到坐标原点的距离为(　　)
A．5 B．2 C．4 D.
4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
5．设P是双曲线－＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　)
A．1或5　　　　 B．6　　　　 C．7　　　　 D．8
6．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于(　　)
A.或　　　　B.或2
C.或2 D.或
7．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)(c＞0)作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
8．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则△PF1F2最大内角的余弦值为(　　)
A．－ B.
C. D．－
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为(　　)
A.＋＝1　　　B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是(　　)
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
12．双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为(　　)
A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36
C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36
二、填空题
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
15．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________．
16．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线x2－＝1的右焦点F重合，抛物线的准线与x轴交于点K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
三、解答题
17．椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．
18．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
19．如图所示，F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，
已知椭圆C上的点到F1，F2两点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
20．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
21．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点C，D，且C，D两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围．
22．已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点．C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，.
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
答 案
1. 解析：选D　由x2＋ky2＝2，得＋＝1，
又∵椭圆的焦点在y轴上，
∴＞2，即0＜k＜1.
2. 解析：选A　由＝得b＝a，
∴c＝＝＝a.
∴e＝＝.
3. 解析：选B　抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由P到焦点的距离为4知，P到准线的距离为4，故P的横坐标xP＝2，y＝16，|PO|＝eq \r(x＋y)＝2.
4. 解析：选D　由题意得，点P到直线x＝－2的距离与它到点(2，0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．
5. 解析：选C　双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.
6. 解析：选A　设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k，2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k，2c＝3k，∴e＝.
7. 解析：选A　设双曲线右焦点为M，∵OE⊥PF，∴在直角三角形OEF中，|EF|＝.
又，
∴E是PF的中点．∴|PF|＝2，
又O是FM的中点，
∴MP⊥FP，∴|PM|＝a，
又|PF|－|PM|＝2a，∴2－a＝2a，
∴离心率e＝＝.
8. 解析：选B　由双曲线定义知|PF2|＝|PF1|±2a.所以|PF2|＝9或|PF2|＝1＜c－a＝2(舍去)．
又|F1F2|＝8，所以△PF1F2的最大内角为∠PF1F2，
cos∠PF1F2＝＝.
9. 解析：选D　因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1.
10.
11. 解析：选C　如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40，30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
12. 解析：选A　由4x2＋y2＝64得＋＝1，c2＝64－16＝48，
∴c＝4，e＝＝.
∴双曲线中，c′＝4，e′＝＝.
∴a′＝c′＝6，b′2＝48－36＝12.
∴双曲线方程为－＝1，即y2－3x2＝36.
13. 解析：双曲线焦点(±4，0)，顶点(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点(±4，0)．
答案：＋＝1
14. 解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝.
答案：
15. 解析：设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得|BF|＝8，所以△ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|＝c＝5，连接AF1，因为A，B关于原点对称，所以|AF1|＝|BF|＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝.
答案：
16. 解析：由题意得＝2，p＝4，抛物线方程为y2＝8x，K(－2，0)，设A(x0，y0)，|AF|＝a，x0＝a－2，
由|AK|＝a得a2＋y＝2a2，
又y＝8(a－2)，∴a2＝8(a－2)，解得a＝4.
由已知可得|y0|＝a＝4.
∴S△AFK＝×4×4＝8.
答案：8
17. 解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，且c＝.
设双曲线为－＝1(m＞0，n＞0)，
m＝a－4.因为＝，所以＝，
解得a＝7，m＝3.
因为椭圆和双曲线的半焦距为，
所以b2＝36，n2＝4.
所以椭圆方程为＋＝1，
双曲线方程为－＝1.
②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
18. 解：(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.
由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0
可简化为x2－5x＋4＝0.
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4)．
设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)
＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，
解得λ＝0或λ＝2.
19. 解：(1)由题设知，2a＝4，即a＝2，
将点代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝3，
故椭圆方程为＋＝1.
(2)由(1)知A(－2，0)，B(0，)，
所以kPQ＝kAB＝，所以PQ所在直线方程为
y＝(x－1)，
由得8y2＋4y－9＝0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－，
y1·y2＝－，
所以|y1－y2|＝＝＝，
所以S△F1PQ＝|F1F2|·|y1－y2|＝×2×＝.
20. 解：(1)由题意知＝，b＝1，综合a2＝b2＋c2，
解得a＝，
所以，椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，
由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，
则x1＋x2＝，
x1x2＝，
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP＋kAQ＝＋＝＋
＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
21. 解：(1)－y2＝1.
(2)消去y得，
(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0，
由已知，1－3k2≠0且Δ＝12(m2＋1－3k2)＞0 m2＋1＞3k2.①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
因为AP⊥CD，
所以kAP＝＝＝－，
整理得3k2＝4m＋1.②
联立①②得m2－4m＞0，
所以m＜0或m＞4，又3k2＝4m＋1＞0，
所以m＞－，因此－＜m＜0或m＞4.
故m的取值范围为∪(4，＋∞)．
22. 解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)，
因为F 也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①
又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为：x2＝4y，
由此可知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1.②
联立①②得a2＝9，b2＝8，
故C2的方程为＋＝1.
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
从而x3－x1＝x4－x2，即x3－x4＝x1－x2，于是(x3＋x4)2－4x3x4＝(x1＋x2)2－4x1x2.③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1，
由得x2－4kx－4＝0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0，
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－，⑤
将④、⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋.
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，
即直线l的斜率为±.