课下能力提升(二)
[学业水平达标练]
题组1 用2×2列联表分析两分类变量间的关系
1．分类变量X和Y的列联表如下：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
则下列说法正确的是( )
A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强
2．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为( )
A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20
B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20
C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50
D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40
3．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．
题组2 用等高条形图分析两分类变量间的关系
4．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出( )
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的百分比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
5．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是( )
6．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：
父母吸烟
父母不吸烟
总计
子女吸烟
237
83
320
子女不吸烟
678
522
1 200
总计
915
605
1 520
利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？
题组3 独立性检验
7．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )
A．平均数与方差 B．回归分析
C．独立性检验 D．概率
8．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
9．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．
10．为了解决高二年级统计案例入门难的问题，某校在高一年级的数学教学中设有试验班，着重加强统计思想的渗透，下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位：分)的一部分，试分析试验效果.
70及70分以下
70分以上
总计
对照班
32
18
50
试验班
12
38
50
总计
44
56
100
附：
P(K2≥k0)
0.025
0.010
0.005
k0
5.024
6.635
7.879
[能力提升综合练]
1．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( )
A．k≥6.635 B．k<6.635
C．k≥7.879 D．k<7.879
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，观测值k＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1% 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩 B．视力
C．智商 D．阅读量
4．下列关于K2的说法中，正确的有________．
①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②K2的计算公式是K2＝；
③若求出K2＝4>3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．
5．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总计
26
24
50
由表中数据计算得到K2的观测值k≈5.059，于是________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．
6．随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：
常饮酒
不常饮酒
合计
患肝病2
不患肝病18
合计30
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？说明你的理由；
(2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？
参考数据：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
7．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图1是乙流水线样本频率分布直方图．
表1 甲流水线样本频数分布表
产品质量/克
频数
(490,495]
6
(495,500]
8
(500,505]
14
(505,510]
8
(510,515]
4
(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；
(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；
(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条要自动包装流水线的选择有关”．
答案
[学业水平达标练]
1．解析：选C |ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强．
2．解析：选D 当(ad－bc)2的值越大，随机变量K2＝的值越大，可知X与Y有关系的可能性就越大．显然选项D中，(ad－bc)2的值最大．
3．解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
答案：是
4．解析：选C 从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．
5．解析：选D 在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．
6．解：等高条形图如图所示：
由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”．
7．解析：选C 判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．
8．解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．
9．解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．
答案：③
10．解：根据列联表中的数据，由公式得K2的观测值
k＝
＝≈16.234.
因为16.234>6.635，
所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系．
[能力提升综合练]
1．解析：选C 有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.
2．解析：选A 由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
3．解析：选D 因为K＝
＝，
K＝＝，
k＝＝，
K＝＝，
则有K>K>K>K，
所以阅读量与性别有关联的可能性最大．
4．解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)2，故②错；③④对．
答案：③④
5．解析：查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k0＝6.635，本题中，k≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．
答案：不能
6．解：(1)设患肝病中常饮酒的人有x人，＝，x＝6.
常饮酒
不常饮酒
合计
患肝病
6
2
8
不患肝病
4
18
22
合计
10
20
30
由已知数据可求得K2＝≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关．
(2)设常饮酒且患肝病的男性为A，B，C，D，女性为E，F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种．
故抽出一男一女的概率是P＝.
7．解：(1)甲流水线样本频率分布直方图如下：
(2)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，
由图1知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，
故甲样本合格品的频率为＝0.75，
乙样本合格品的频率为＝0.9，
据此可估计从甲流水线任取1件产品，
该产品恰好是合格品的概率为0.75.
从乙流水线任取1件产品，
该产品恰好是合格品的概率为0.9.
(3)2×2列联表如下：
甲流水线
乙流水线
总计
合格品
a＝30
b＝36
66
不合格品
c＝10
d＝4
14
总计
40
40
n＝80
因为K2的观测值k＝＝≈3.117>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
模块综合检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
2．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋3i，则复数z＝在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．用反证法证明：“a>b”，应假设( )
A．a>b B．a
C．a＝b D．a≤b
4．由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为( )
A．②①③ B．③①②
C．①②③ D．②③①
5．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q
C．P6．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性回归方程＝x＋，则“(x0，y0)满足线性回归方程＝x＋”是“x0＝，y0＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在如图所示的程序框图中，输入a＝，b＝，则输出c＝( )
A. B. C．1 D．0
8．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，第100项为( )
A．10 B．14 C．13 D．100
9．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为( )
A．2n B．n2 C．22(n－1) D．nn
10．下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2＝a2类比得到复数z的性质|z2|＝z2；③方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个不同实数根的条件是b2－4ac>0可以类比得到：方程az2＋bz＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根的条件是b2－4ac>0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中类比得到的结论错误的是( )
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
11．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不等于( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f
C．n(n＋1)
D．n(n＋1)f(1)
12．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40,45,54,61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( )
A．15 B．16 C．17 D．18
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知复数z＝(m∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则m的值是________．
14．已知x，y的取值如表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
由表格中数据的散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝0.95x＋a，则a＝________.
15．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
16．观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平方内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
18．(本小题12分)小流域综合治理可以有三个措施：工程措施、生物措施和农业技术措施．其中，工程措施包括打坝建库、平整土地、修基本农田和引水灌溉，其功能是贮水拦沙、改善生产条件和合理利用水土．生物措施包括栽种乔木、灌木和草木，其功能是蓄水保土和发展多种经营；农业技术措施包括深耕改土、科学施肥、选育良种，地膜覆盖和轮作套种，其功能是蓄水保土、提高肥力和充分利用光和热．
用结构图把“小流域综合治理”的措施与功能表示出来．
19．(本小题12分)为研究大气污染与人的呼吸系统疾病是否无关，对重污染地区和轻污染地区作跟踪调查，得如下数据：
患呼吸系
统疾病
未患呼吸
系统疾病
总计
重污染地区
103
1 397
1 500
轻污染地区
13
1 487
1 500
总计
116
2 884
3 000
能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为大气污染与人的呼吸系统疾病有关？
20．(本小题12分)求证：对于任意的正实数a，b，c，≤(当且仅当a＝b＝c时取等号)．
21．(本小题12分)已知f(x)＝，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)已知数列{xn}的项满足xn＝[1－f(1)]·[1－f(2)]·…·[1－f(n)]，试求x1，x2，x3，x4；
(3)猜想{xn}的通项．
22．(本小题12分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
答案
1．解析：选C 因为(z－1)i＝1＋i，所以z＝＋1＝2－i.
2．解析：选D 复数z＝＝＝＝－i，z对应的点的坐标为位于第四象限．
3．解析：选D 因为“a>b”的反面就是“a4．解析：选D 由“三段论”的推理形式可知D正确．
5．解析：选C P2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2，
由于a2＋7a所以2<2，
从而P26．解析：选B 由题可知若x0＝，y0＝，由回归直线的性质可知(x0，y0)满足回归方程＝x＋，但满足回归方程＝x＋的除(，)外，可能还有其他样本点．
7．解析：选A 由程序框图知，当输入a＝，b＝时，tan a＝－，tan b＝－，则tan a>tan b．故输出c＝|tan a|＝.
8．解析：选B 由于1有1个，2有2个，3有3个，…，则13有13个，所以1～13的总个数为＝91，故第100个数为14.
9．解析：选D 由归纳推理，知a＝nn.
10．解析：选C 因为复数z中，|z|2为实数，z2不一定为实数，所以|z|2≠z2，故②错；当方程az2＋bz＋c＝0(a，b，c∈C)有两个不同复数根时，应设出复数根的表达式，利用复数相等的条件列关系式，故③错．
11．解析：选D 由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(1)＝2，知f(2)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)，…，f(n)＝nf(1)，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝f(1)＝n(n＋1)．
12．解析：选B 法一：若AB之间不相互调动，则A调出10件给D，B调出5件给C，C再调出1件给D，即可满足调动要求，此时共调动的件次n＝10＋5＋1＝16；
若AB之间相互调动，则B调动4件给C，调动1件给A，A调动11件给D，此时共调动的件次n＝4＋1＋11＝16.
所以最少调动的件次为16，故应选B.
法二：设A调动x件给D(0≤x≤10)，则调动了(10－x)件给B，从B调动了5＋10－x＝(15－x)件给C，C调动出了15－x－4＝(11－x)件给D，由此满足调动需求，此时调动件次n＝x＋(10－x)＋(15－x)＋(11－x)＝36－2x，当且仅当x＝10时，n取得最小值16.
13．解析：z＝＝＝＋，
∴＝0，且≠0.
∴m＝－1.
答案：－1
14．解析：因为(，)必在直线＝0.95x＋a上，
又＝＝2，＝＝，
所以＝0.95×2＋a，所以a＝2.6.
答案：2.6
15．
解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＝S＋S＋S.
答案：S＝S＋S＋S
16．解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
答案：n(n＋1)
17．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，
即z＝－1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)＝2i，z－z2－1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1；
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.
18．
解：
19．解：假设H0：大气污染与人的呼吸系统疾病无关．
由公式得
k＝
≈72.636.
因为72.636>10.828，所以拒绝H0，
即我们在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为大气污染与人的呼吸系统疾病有关．
20．证明：对于任意正实数a，b，c，
要证≤成立，
只需证9≤(a＋b＋c)，
即证9≤3＋＋＋＋＋＋，
即证6≤＋＋(*)
因为对于任意正实数a，b，c，
有＋≥2＝2，
同理＋≥2，＋≥2，
所以不等式(*)成立，且要使(*)的等号成立必须＝且＝且＝.
即当且仅当a＝b＝c时等号成立．
21．解：(1)把f(1)＝log162＝，f(－2)＝1代入f(x)＝，得
整理，得
解得
所以f(x)＝(x≠－1)．
(2)x1＝1－f(1)＝1－＝，
x2＝×＝，
x3＝×＝，
x4＝×＝，
(3)由(2)，得x1＝，x2＝，x3＝，x4＝，可变形为，，，，…，从而可归纳出{xn}的通项xn＝.
22．解：(1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．
基本事件总数为10，事件包含的基本事件数为4.
所以P()＝＝，
所以P(A)＝1－P()＝.
(2)＝12，＝27，iyi＝977，＝434，
所以＝＝＝2.5，
＝－＝27－2.5×12＝－3，
所以＝2.5x－3.
(3)由(2)知：当x＝10时，＝22，误差不超过2颗；
当x＝8时，＝17，误差不超过2颗．
故所求得的线性回归方程是可靠的．
课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组1 线性回归分析
1．关于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的也可以是负的
C．在回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
2．为了研究变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别利用线性回归方法得到回归直线l1和l2，已知两人计算过程中，分别相同，则下列说法正确的是( )
A．l1与l2一定平行
B．l1与l2重合
C．l1与l2相交于点(，)
D．无法判断l1和l2是否相交
3．若某地财政收入x与支出y满足回归方程＝x＋＋ei(单位：亿元)(i＝1,2，…)，其中＝0.8，＝2，|ei|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )
A．10亿元 B．9亿元
C．10.5亿元 D．9.5亿元
4．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
题组2 残差分析
6．关于残差图的描述错误的是( )
A．残差图的横坐标可以是样本编号
B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量
C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
7．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
解析：选A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
8．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大 B．越小
C．可能大也可能小 D．以上均错
9．通过下面的残差图，我们发现在采集样本点的过程中，样本点数据不准确的为( )
A．第四个 B．第五个
C．第六个 D．第七个
10．在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x元和日销售量y件之间的一组数据为：
价格x元
22
20
18
16
14
日销售量y件
37
41
43
50
56
求出y关于x的回归方程，并说明该方程拟合效果的好坏．
参考数据：iyi＝3 992，＝1 660.
[能力提升综合练]
1．如图所示是四个残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )
2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
3．某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：度)之间有下列数据：
x
－2
－1
0
1
2
y
5
4
2
2
1
甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了x与y之间的三个线性回归方程：①＝－x＋2.8，②＝－x＋3，③＝－1.2x＋2.6；其中正确的是( )
A．① B．②
C．③ D．①③
4．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y′＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′ B.>b′，C.a′ D.5．某种商品的广告费支出x与销售额y之间有如下关系：(单位：万元)
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，当广告费支出5万元时，残差为________．
6．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
7．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
答案
[学业水平达标练]
题组1 线性回归分析
1．解析：选D 样本的相关系数应满足－1≤r≤1.
2．解析：选C 回归直线一定过样本点的中心(，)，故C正确．
3．解析：选C ＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，
∵|ei|<0.5，
∴9.5＜<10.5.
4．解析：选A 相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
5．解：(1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1 000
＝－202＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
题组2 残差分析
6．解析：选C 残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，相关指数R2的值越大，故描述错误的是选项C.
7．解析：选A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
8．解析：选B 因为R2＝1－，
所以当R2越大时，(yi－i)2越小，
即残差平方和越小．
9．解析：选C 由题图可知第六个数据的偏差最大，故选C.
10．解：作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据．
因为＝＝18，
＝＝45.4.
所以＝＝－2.35，
＝45.4－(－2.35)×18＝87.7.
所以回归方程为＝－2.35x＋87.7.
yi－i与yi－的值如下表：
yi－i
1
0.3
－2.4
－0.1
1.2
yi－
－8.4
－4.4
－2.4
4.6
10.6
计算得(yi－i)2＝8.3，
(yi－)2＝229.2，
所以R2＝1－≈0.964.
因为0.964很接近于1，所以该模型的拟合效果比较好．
[能力提升综合练]
1．解析：选B 选项A与B中的残差图都是水平带状分布，并且选项B的残差图散点分布集中，在更狭窄的范围内，所以B中回归模型的拟合效果最好，选B.
2．解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)，
则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，
把x＝6代入得＝65.5.
3．解析：选A 回归方程＝x＋表示的直线必过点(，)，即必过点(0,2.8)，而给出的三个线性回归方程中，只有①表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是①，故选A.
4．解析：选C 过(1,0)和(2,2)的直线方程为y′＝2x－2，
画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示，
显然，b′>，>a′，故选C.
5．解析：当广告费x＝5时，＝6.5×5＋17.5＝50，残差为60－50＝10.
答案：10
6．解析：由相关指数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
答案：85% 15%
7．解：(1)由题意知n＝10，
＝i＝×80＝8，
＝i＝×20＝2，
所以＝
＝
＝＝0.3，
＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)将x＝7代入回归方程，可以预测家庭的月储蓄约为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 数(式)中的归纳推理
1．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
2．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从2 014到2 016的箭头方向依次为( )
A．→↑ B．↑→ C．↓→ D．→↓
3．根据给出的等式猜测123 456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
4．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
题组2 图形中的归纳推理
5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
6．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
7．如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
题组3 类比推理
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为________．
10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
[能力提升综合练]
1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 016的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A*D，A*C的分别是( )
A．(1)，(2) B．(1)，(3)
C．(2)，(4) D．(1)，(4)
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
5．将正整数排成下表：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
……
则在表中数字2 016出现在第________行，第________列．
6．已知椭圆具有以下性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出具有类似特征的性质，并加以证明．
7．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9 900，问an是数列第几项？
答案
[学业水平达标练]
1．解析：选D 利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak－1＋ak＋…＋a2k－2.
2．解析：选B 观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，
2 014到2 016的箭头方向和2到4的箭头方向是一致的．故选B.
3．解析：选B 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1 111 111.
4．解析：根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝.
答案：
5．解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．
6．解析：选A ∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，
∴猜想an＝3n－1.
7．解：设圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分．
f(1)＝1＝12，
g(1)＝2；
f(2)＝4＝22，
g(2)＝4＝2＋2；
f(3)＝9＝32，
g(3)＝7＝2＋2＋3；
f(4)＝16＝42，
g(4)＝11＝2＋2＋3＋4；
猜想：f(n)＝n2，
g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝.
即圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割为n2条线段，将圆最多分割为部分．
8．解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
9．解析：平面中的面积类比到空间为体积，
故类比成.
平面中的线段长类比到空间为面积，
故类比成.
故有＝.
答案：＝
10．解：如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2 β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，
证明如下：
如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ
＝2＋2＋2
＝＝＝1.
[能力提升综合练]
1．解析：选A 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 016＝4×504，
所以72 016的末两位数字与74的末两位数字相同，为01.
2．解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，
∴A*D是(2)，A*C是(4)．
3．解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.
4．解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
答案：
5．解析：第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
∵442＝1 936,452＝2 025，
且1 936＜2 016＜2 025，
∴2 016在第45行．
又2 025－2 016＝9，
且第45行有2×45－1＝89个数字，
∴2 016在第89－9＝80列．
答案：45 80
6．解：类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，
则N(－m，－n)．
因为点M(m，n)在已知的双曲线上，
所以－＝1，
得n2＝m2－b2.
同理，y2＝x2－b2，则y2－n2＝(x2－m2)．
所以kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．
所以kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
7．解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
课下能力提升(九)
学业水平达标练]
题组1 复数的加、减运算
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
2．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
3．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
4．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
题组2 复数加、减运算的几何意义
5．已知z1＝3＋i，z2＝1＋5i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
7．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，
则| |＝________.
8．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
题组3 复数加、减运算几何意义的应用
9．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z( )
A．在实轴上 B．在虚轴上
C．在第一象限 D．在第二象限
10．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[能力提升综合练]
1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为( )
A．－4＋20i B．－2＋10i
C．－8＋20i D．－2＋20i
2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A．1－3i B．－2＋11i
C．－2＋i D．5＋5i
3．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．4 D．16
4．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
6．若复数z满足z－1＝cosθ＋isin θ，则|z|的最大值为________．
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
8．在平行四边形ABCD中，已知，对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求平行四边形ABCD的面积．
答案
学业水平达标练]
题组1 复数的加、减运算
1．解析：选A (1－i)－(2＋i)＋3i
＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
2．解析：选C ∵z1＝2＋i，z2＝3＋ai，
∴z1＋z2＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
又∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
故1＋a＝0，即a＝－1.
3．解析：∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴
即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
4．解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)
＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.
(2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)
＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.
题组2 复数加、减运算的几何意义
5．解析：选B ∵z＝z2－z1＝1＋5i－(3＋i)
＝(1－3)＋(5－1)i＝－2＋4i.
6．解析：∵＝－(－＋)，
∴对应的复数为－[－2＋i－(3＋2i)＋(1＋5i)]
＝－[(－2－3＋1)＋(1－2＋5)i]
＝－(－4＋4i)＝4－4i.
答案：4－4i
7．解析：由题意＝－，
∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，
∴| |＝2.
答案：2
8．解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
因为＝－，
所以对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为＝－，
所以对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为＝，所以它们对应的复数相等，
即解得
故点D对应的复数为2－i.
题组3 复数加、减运算几何意义的应用
9．解析：选B 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得：x＝0.
10．解析：选B 根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．
[能力提升综合练]
1．解析：选B z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.
2．解析：选D ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i，
又∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
3．解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
4．解析：选A 设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
5．解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴
解得a＝－1.
答案：－1
6．解析：∵z－1＝cos θ＋isin θ，
∴z＝(1＋cos θ)＋isin θ，
∴|z|＝
＝≤＝2.
答案：2
7．解：z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.
又∵z1－z2＝13－2i，
∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.
∴
解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.
z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
8．
课下能力提升(五)
[学业水平达标练]
题组1 综合法的应用
1．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
2．使不等式＋＞1＋成立的正整数a的最大值是( )
A．13 B．12 C．11 D．10
3．在锐角△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，求证：△ABC是等边三角形．
题组2 分析法的应用
4. －<成立的充要条件是( )
A．ab(b－a)>0 B．ab>0且a>b
C．ab<0且a5．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．
6．已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：＋≤2.
题组3 综合法与分析法的综合应用
7．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
8．已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[能力提升综合练]
1．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
2．已知a＞0，b＞0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为( )
A．m＞n B．m＝n
C．m＜n D．不能确定
3．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1，f(2)＝，则a的取值范围是( )
A．a＜ B．a＜，且a≠－1
C．a＞或a＜－1 D．－1＜a＜
4．已知a，b，c，d为正实数，且＜，则( )
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D．以上均可能
5．若lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log＝________.
6．已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，则cos 2θ＝________.
7．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)证明数列是等差数列；
(3)若Tn是数列的前n项和，求证：Tn＜.
8．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f为偶函数．
答案
[学业水平达标练]
1．解析：选C 由sin Asin B＜cos Acos B得cos Acos B－sin Asin B＞0，即cos(A＋B)＞0，－cos C＞0，cos C＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．
2．解析：选B 由＜＋－1得a＜(＋－1)2.
而(＋－1)2＝3＋8＋1＋2－2－2＝12＋4－2－4≈12.68.
因此使不等式成立的正整数a的最大值为12.
3．证明：∵△ABC为锐角三角形，
∴A，B，C∈，
由正弦定理及条件，可得3sin B＝2sin Asin B.
∵B∈，
∴sin B≠0.∴3＝2sin A．∴sin A＝.
∵A∈，∴A＝.
又cos B＝cos C，且B，C∈.
∴B＝C.
又B＋C＝，∴A＝B＝C＝.
从而△ABC是等边三角形．
4. 解析：选D －<，
?(－)3<()3，
?a－b－3＋3? < ，
?ab2?ab(b－a)<0.
5．解析：用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.
由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
6．证明：要证＋≤2，只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
因为a＋b＝1，
即证·≤2.
因为a≥－，b≥－，
所以2a＋1≥0,2b＋1≥0，
所以·≤
＝＝2.
即·≤2成立，因此原不等式成立．
7．证明：法一：要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．
又因为a＋b＞0，
所以只需证a2－ab＋b2＞ab成立．
即需证a2－2ab＋b2＞0成立，
即需证(a－b)2＞0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．
由此命题得证．
法二：a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.
因为a＞0，b＞0，
所以a＋b＞0，
(a＋b) (a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．
所以a3＋b3＞a2b＋ab2.
8．证明：法一：(分析法)
要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3，
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos B＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
法二：(综合法)
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos 60°.
所以c2＋a2＝ac＋b2，
两边加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
＋＝1，
所以＋＝3，
即＋＝，
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[能力提升综合练]
1．解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝′＝－＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．
2．解析：选A 由a＞0，b＞0，得＞0，
所以a＋b＋2＞a＋b，
所以(＋)2＞()2，
所以＞，
所以lg＞lg，
即m＞n，故选A.
3．解析：选D ∵f(x)以3为周期，
∴f(2)＝f(－1)．
又f(x)是R上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)，
则f(2)＝f(－1)＝－f(1)．
再由f(1)＞1，可得f(2)＜－1，
即＜－1，解得－1＜a＜.
4．解析：选A 先取特殊值检验，∵＜，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足＜＜.
要证＜，
∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)＜b(a＋c)，即证ad＜bc.
只需证＜.而＜成立，
∴＜.同理可证＜.
故A正确．
5．解析：由条件知lg xy＝lg(x－2y)2，
所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，
即2－5＋4＝0，所以＝4或＝1.
又x＞2y，故＝4，所以log＝log4＝4.
答案：4
6．解析：因为sin θ＋cos θ＝，所以1＋sin 2θ＝，所以sin 2θ＝－.因为≤θ≤，所以π≤2θ≤.所以cos 2θ＝－＝－.
答案：－
7．解：(1)当n＝1时，＝2a1＝a2－－1－＝2，
解得a2＝4.
(2)证明：2Sn＝nan＋1－n3－n2－n.①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)．②
①－②，得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n.
整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，
即＝＋1，－＝1，
当n＝1时，－＝2－1＝1.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(3)由(2)可知＝n，即an＝n2.
∵＝＜＝－(n≥2)，
∴Tn＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.
8．证明：要证f为偶函数，只需证明其对称轴为直线x＝0，即只需证－－＝0，
只需证a＝－b(中间结果)，
由已知，抛物线f(x＋1)的对称轴x＝－－1与抛物线f(x)的对称轴x＝－关于y轴对称．
所以－－1＝－.
于是得a＝－b(中间结果)．
所以f为偶函数．
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 用反证法证明“否定性”命题
1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( )
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②④
2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题
4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．
6．若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与中至少有一个小于2.
题组3 用反证法证明“唯一性”命题
7．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)( )
A．无解 B．有两解
C．至少有两解 D．无解或至少有两解
8．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[能力提升综合练]
1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除
2．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2 B．至少有一个大于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
4．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个
5．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
6．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．①
因奇数个奇数之和为奇数，故有
奇数＝________②
＝________③
＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p为偶数．
7．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，试证：A1B1与A2B2也是异面直线．
8．用反证法证明：对于直线l：y＝x＋k，不存在这样的非零实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝－x对称．
答案
[学业水平达标练]
题组1 用反证法证明“否定性”命题
1．解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．
2．答案：③①②
3．解：(1)设公差为d，由已知得
解得d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
又p，q，r∈N*，
所以
所以2＝pr.
(p－r)2＝0，
所以p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
题组2 用反证法证明“至多”、“至少”型命题
4．解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．
5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．
解析：假设a、b、c都小于，
则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．
故a、b、c中至少有一个不小于.
答案：
6．解：假设与都不小于2，
即≥2，≥2.
又∵x>0，y>0，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
两式相加得2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾．
所以假设不成立，
所以与中至少有一个小于2.
题组3 用反证法证明“唯一性”命题
7．解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”．
8．解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
9．证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
[能力提升综合练]
1．解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．
2．解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2.
故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
3．解析：选D 因为a、b、c都是正数，则有＋＋＝＋＋≥6.故三个数中至少有一个不小于2.
4．解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，
即存在n使得an＝bn，
由题意a＞b，n∈N*，
则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，
∴不存在n使得an＝bn.
5．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．
答案：b与c平行或相交
6．解析：证明过程应为：假设p为奇数，则有a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.
这与0为偶数矛盾，说明p为偶数．
答案：a1－1，a2－2，…，a7－7
(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)
(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
7．证明：假设A1B1与A2B2不是异面直线，则A1B1与A2B2可以确定一个平面α，点A1，A2，B1，B2都在平面α内，于是A1A2?α，B1B2?α，即a?α，b?α，这与已知a，b是异面直线矛盾，所以假设错误．所以A1B1与A2B2也是异面直线．
8．证明：假设存在非零实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则线段AB的中点M在直线y＝－x上，
由得2x2－2kx－1－k2＝0.
∴x1＋x2＝k，可得M.
这与M在直线y＝－x上矛盾．
所以假设不成立，故不存在非零实数k，使得A、B关于直线y＝－x对称．
课下能力提升(十一)
[学业水平达标练]
题组1 程序框图
1．如图所示程序框图运行后输出的结果为( )
A．36 B．45 C．55 D．56
2．执行如图所示的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
3．执行如图所示的算法流程图，若输入x＝10，则输出y的值为________．
题组2 工序流程图
4．下列框图中，属于流程图的是( )
A.→→
B.→→
C.→→
D.→→→→
5．画流程图的一般要求为( )
A．从左到右，从上到下
B．从右到左，从上到下
C．从左到右，自下而上
D．从右到左，自下而上
6．某商家准备投产某种产品，需要先进行市场调研，调研结束后才可投入生产．下面各流程图中，最合适的是( )
A.→→→→
B.
C.
D.
7．某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去，试画出此监督程序的流程图．
题组3 流程图的读图问题
8．如图所示是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框图中应填入( )
A．整理数据、求函数表达式
B．画散点图、进行模型修改
C．画散点图、求函数表达式
D．整理数据、进行模型修改
9．如图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图，
根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
[能力提升综合练]
1．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是( )
→→→→
A．孵化鸭雏
B．商品鸭饲养
C．商品鸭收购、育肥、加工
D．羽绒服加工生产体系
2．如图所示，程序框图的输出结果为( )
A. B. C. D.
3．执行如图所示的程序框图，则计算机输出的所有点(x，y)所满足的函数为( )
A．y＝x＋1 B．y＝2x
C． y＝2x－1 D．y＝2x
4．某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时为( )
A．9天 B．8天
C．7天 D．6天
5．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们依次有彩电15台、8台、5台、12台，相邻中学间可借调彩电，为使各校的彩电台数相同，调配出彩电的总台数最少为________．
6．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：
队员i
1
2
3
4
5
6
三分球个数
a1
a2
a3
a4
a5
a6
如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.
7．某药厂生产某产品的过程如下：
(1)备料、前处理、提取、制粒、压片、包衣、颗粒分装、包装；
(2)提取环节经检验，合格，进行下一工序，否则返回前处理；
(3)包衣、颗粒分装两环节分别检验合格进入下一工序，否则为废品．画出生产该产品的工序流程图．
8．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间内申请查分：
(1)本人填写《查分登记表》，交县(区)招办申请查分，县(区)招办呈交市招办，再报省招办；
(2)省招办复查无误，则查分工作结束后通知，有误则再具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知；
(3)市招办接到通知，再由县(区)招办通知考生．
画出该事件的流程图．
答案
[学业水平达标练]
题组1 程序框图
1．解析：选B 其实质是求1＋2＋3＋…＋9＝＝45.
2．解析：选C 第一次循环：S＝1－＝，m＝，n＝1，S>t；第二次循环：S＝－＝，m＝，n＝2，S>t；第三次循环：S＝－＝，m＝，n＝3，S>t；第四次循环：S＝－＝，m＝，n＝4，S>t；第五次循环：S＝－＝，m＝，n＝5，S>t；第六次循环：S＝－＝，m＝，n＝6，S>t；第七次循环：S＝－＝，m＝，n＝7，此时不满足S>t，结束循环，输出n＝7.
3．解析：x＝10，y＝x－1＝4，
∵|y－x|＝|4－10|>1，
∴x＝4，∴y＝1.
∵|y－x|＝|1－4|>1，
∴x＝1，∴y＝－.
∵|y－x|＝>1，
∴x＝－，∴y＝－，此时|y－x|＝<1，
故y＝－.
答案：－
题组2 工序流程图
4．解析：选D 根据流程图的定义分析知只有D选项中的框图为流程图．
5．解析：选A 画流程图时一般要从左到右，从上到下．
6．解析：选D 商场如战场，调研是该项目的关键，需抓紧时间搞好调研，因此应多增派人手，齐头并进，尽快完成调研，早日安排投产，使产品占领市场．
7．解：某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如图所示：
题组3 流程图的读图问题
8．解析：选C 根据数据拟合的基本过程知，选项C正确，选C.
9．解：(1)一件屏幕成品可能经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序，也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
[能力提升综合练]
1．答案：C
2．解析：选C 第一次运行得s＝0＋，n＝4；
第二次运行得s＝0＋＋，n＝6；
第三次运行得s＝0＋＋＋，n＝8；
跳出循环，输出s＝0＋＋＋＝.
3．解析：选D 由题意，该程序共输出4个点(1,2)，(2,4)，(3,8)，(4,16)，易知这4个点都在函数y＝2x的图象上．
4．解析：选A 因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦即9天，故选A.
5．解析：调配后每所学校彩电台数为10，最好的方案为，总数为5＋3＋2＝10.
答案：10
6．解析：初值s＝0，i＝1，
当i≤6时，得到以下结果，
s＝a1，i＝2，
s＝a1＋a2，i＝3，
s＝a1＋a2＋a3，i＝4，
s＝a1＋a2＋a3＋a4，i＝5，
s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，i＝6，
s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，i＝7.
∵7>6，
∴输出s＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6.
答案：i≤6？ a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6
7．解：生产该产品的工序流程图如图：
8．解：
课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 知识结构图及其画法
1．下面的结构图反映的是( )
A．运算关系 B．推出关系
C．逻辑先后关系 D．从属关系
2．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是( )
3．如图，
则等边三角形可排在构成要素________之后(填序号)．
4．画出我们已学过的数系的结构图．
题组2 组织结构图及其画法
5．下图是学校学生会的组成机构，那么它属于( )
A．流程图 B．程序框图
C．结构图 D．以上都不对
6．某学校的组织结构图如下：
则保卫科的直接领导是________．
7．某自动化仪表公司组织结构如表，其中采购部的直接领导是________．
8．下面是中国移动关于发票的表述：我们在充分考虑您的个性化需求的基础上提供了以下几种话费发票方式：后付费话费发票、预付费话费发票、充值发票，全球通简单发票和单一发票是为满足全球通客户的个性化需要而制定的．您可以根据您的实际情况选择其中的话费发票方式．试写出关于发票的结构图．
题组3 结构图的应用
9．如图是某创意大赛分类图，
由图可知，影视动画属于________．
10．某公司局域网设置如下：由服务器联结经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员，与外部联结是通过服务器，试画出该公司局域网设置结构图．
[能力提升综合练]
1．下列结构图中，体现各要素之间逻辑先后关系的是( )
2．下列框图中不是结构图的是( )
3．计算机系统、硬件系统、软件系统、CPU、存储器的知识结构图为( )
4．如图是一商场制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示：
则“函数的应用”包括的主要内容有：________.
6．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：①为________，②为________，③为________．
7．画出选修1－2第四章“框图”的知识结构图．
8．职业介绍服务中心设有大中专院校培训机构、公共职业培训机构、社会办各类职业培训机构．它们的培训都必须包括：职业指导讲座、工作现场考察体验、家长咨询解答、职业经历交流会、学员研讨座谈、职业知识展览、职业能力测试．最后，为受培训者提供信息，帮助就业，并进行调查反馈．试根据上述叙述画出结构图．
答案
[学业水平达标练]
题组1 知识结构图及其画法
1．解析：选D 集合的运算包括交集、并集、补集，是从属关系．
2．解析：选A 从知识结构划分：函数包括函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则．
3．解析：等边三角形是各角均为60°的锐角三角形．
答案：①
4．解：
题组2 组织结构图及其画法
5．解析：选C 学生会的组成结构，表示出系统中各个要素之间的从属关系，故是结构图．
6．答案：副校长乙
7．解析：由结构图得副总经理(乙)下设生产部、品管部、采购部，故采购部的直接领导是副总经理(乙)．
答案：副总经理(乙)
8．解：
题组3 结构图的应用
9．解析：由图知，影视动画属于广告项．
答案：广告项
10．解：结构图如图：
[能力提升综合练]
1．解析：选C C选项中的结构图表达了从整数指数幂到无理指数幂的发展过程与顺序，体现的是各要素间的逻辑先后关系．
2．解析：选C C不是结构图，因其是动态的，有时间先后之分．
3．解析：选D 由信息技术的知识可知，计算机系统分为软件系统与硬件系统两部分，而硬件系统又分为存储器与CPU.
4．解析：选C 影响“计划”的主要要素应是三个“上位”要素，即“政府行为”“策划部”“社会需求”．
5．解析：由结构图的从属关系可知函数的应用包括函数与方程和函数模型及其应用．
答案：函数与方程、函数模型及其应用
6．解析：根据题意，动物分成三大类：爬行动物、哺乳动物和飞行动物，故可填上②，然后细分每一种动物包括的种类，填上①③.
答案：地龟 哺乳动物 长尾雀
7．解：
8．解：结构图如图所示．
课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 复数的乘除运算
1．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )
A．－3＋i B．－1＋3i
C．－3＋3i D．－1＋i
2．i是虚数单位，复数＝( )
A．2＋i B．2－i
C．－2＋i D．－2－i
3．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
4．(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2；(2)＋；
(3).
题组2 共轭复数
5．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i C．－1＋i D．－1－i
6．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值分别是________，________.
7．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
题组3 复数范围内的方程根问题
8．设x，y是实数，且＋＝，则x＋y＝________.
9．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
[能力提升综合练]
1．在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A．(1,3) B．(3,1)
C．(－1,3) D．(3，－1)
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
A. B. C．1 D．2
3．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i C．2 D．－2
4．设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
5．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
6．若z＝－时，求z2 016＋z106＝________.
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
答案
[学业水平达标练]
题组1 复数的乘除运算
1．解析：选B 按照复数乘法运算法则，直接运算即可．(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
2．解析：选B ＝＝＝2－i.
3．解析：选A z＝＝＝＝3＋5i.
4．解：(1)原式＝(3＋2i－3i＋2)＋(4＋8i－4)
＝(5－i)＋8i＝5＋7i.
(2)原式＝＋
＝＋
＝(1－)＋(＋1)i－i＝(1－)＋i.
(3)原式＝＝＝＝2.
题组2 共轭复数
5．解析：选D z＝＝＝－1＋i，＝－1－i.
6．解析：∵x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，
∴解得
答案：－1 1
7．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有
解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
题组3 复数范围内的方程根问题
8．解析：＋＝＋＝＋i，
而＝＝＋i，所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
9．解：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
[能力提升综合练]
1．解析：选A 由＝＝＝1＋3i得，该复数对应的点为(1,3)．
2．解析：选A 法一：z＝＝＝＝＝－＋i，
∴＝－－i.
∴z·＝＝＋＝.
法二：∵z＝，∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
3．解析：选B 法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
4．解析：选A 设z＝a＋bi(a， b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．解析：因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
答案：2
6．解析：z2＝2＝－i.
z2 016＋z106＝(－i)1 008＋(－i)53
＝(－i)1 008＋(－i)52·(－i)
＝1－i.
答案：1－i
7．解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
8．解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0.①
又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 用三段论表示演绎推理
1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
3．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
题组2 用三段论证明几何问题
4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.
求证：AB⊥DE.
6．如图所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．
题组3 用三段论证明代数问题
7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
[能力提升综合练]
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故该奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
A．小前提错误 B．结论错误
C．正确的 D．大前提错误
A．直角梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
4．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
6．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；
③f(x)的最小值是lg 2;
④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
7．已知2sin2α＋sin2β＝3sin α，求sin2α＋sin2β的取值范围．
8．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.
(1)求证：|c|≤1；
(2)当－1≤x≤1时，求证：－2≤g(x)≤2.
答案
[学业水平达标练]
1．答案：A
2．答案：B
3．解析：选A A是演绎推理，B是归纳推理，C，D是类比推理.
4．解析：选A “直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．
5．证明：在△ABD中，
∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2.
∴AB2＋BD2＝AD2.
∴AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD，
∴AB⊥DE.
6．证明：如图，连接BO，CO，DO.
∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，
∴AD⊥平面ABC.又BC?平面ABC，
∴AD⊥BC.
∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥BC，
又AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
7．解析：选A 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
8．解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；
结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
9．解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为当x＞0时，f(x)＜0，
所以f(x2－x1)＜0，
即f(x2)－f(x1)＜0，
所以f(x)为减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
[能力提升综合练]
1．解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
2．答案：C
3.
4．解析：选C A错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
5．解析：由题意，知f(0)＝0，
f(1)＝f(0)＝0，
f(2)＝f(－1)＝0，
f(3)＝f(－2)＝0，
f(4)＝f(－3)＝0，
f(5)＝f(－4)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
6．解析：∵f(x)是偶函数，
∴①正确；
当x＞0时，f(x)＝lg＝lg≥lg 2，
当且仅当x＝1时取等号，
∴0＜x＜1时，f(x)为减函数；
x＞1时，f(x)为增函数．x＝1时取得最小值lg 2.
又f(x)为偶函数，
∴－1＜x＜0时，f(x)为增函数；
x＜－1时，f(x)为减函数．x＝－1时取得最小值lg 2.
∴③④也正确．
答案：①③④
7．解：由2sin2α＋sin2β＝3sin α，
得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sin α＝－2＋，且sin α ≥0，
∵0≤sin2β ≤1，sin2β ＝3sin α－2sin2α，
∴0≤3sin α－2sin2α≤1.
解得sin α＝1或0≤sin α ≤.
令y＝sin2α＋sin2β，
当sin α＝1时，y＝2;
当0≤sin α≤时，0≤y≤，
∴sin2α＋sin2β的取值范围是∪{2}．
8．证明：(1)因为x＝0满足－1≤x≤1的条件，
所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c，
所以|c|≤1.
(2)当a＞0时，g(x)在[－1,1]上是增函数，
所以g(－1)≤g(x)≤g(1)．
又g(1)＝a＋b＝f(1)－c，
g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c，
所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c，
又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1，
所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2，
所以－2≤g(x)≤2.
当a＜0时，可用类似的方法，证得－2≤g(x)≤2.
当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c，
g(x)＝f(1)－c，
所以－2≤g(x)≤2.
综上所述，－2≤g(x)≤2.
阶段质量检测(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有下列关系：①人的年龄与他拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是( )
A．①②③ B．①②
C．②③ D．①③④
2．对于回归分析，下列说法中错误的是( )
A．在回归分析中，若变量间的关系是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定
B．相关系数可以是正的也可以是负的
C．回归分析中，如果R2＝1，说明变量x与y之间是完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－∞，＋∞)
3．在一次调查后，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则( )
A．两个分类变量关系较弱
B．两个分类变量无关系
C．两个分类变量关系较强
D．无法判断
4．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有( )
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．a与r的符号相反
5．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
14
18
19
20
23
25
28
A.线性函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
6．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋，则＝( )
A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.25
7．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据并整理、分析，得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论成立．下列说法正确的个数是( )
①在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌；②如果一个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．
A．4 B．3 C．2 D．1
8．下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：
气温(℃)
18
13
10
4
－1
杯数
24
34
39
51
63
若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是( )
A.＝x＋6 B.＝x＋42
C.＝－2x＋60 D.＝－3x＋78
9．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
10．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )
A．身高一定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
11．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
12．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
附：
P(K2≥k0)
0.05
0.025
k0
3.841
5.024
二、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
8
25
33
总计
b
46
则表中b－a＝________.
14．已知样本容量为11，计算得i＝510，i＝214，回归方程为＝0.3x＋，则≈________，≈________.(精确到0.01)
15．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程＝x＋，其中＝－2.现预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________.
气温x(℃)
18
13
10
－1
用电量y(度)
24
34
38
64
16．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是读书还是健身，得到的数据如下表：
读书
健身
总计
女
24
31
55
男
8
26
34
总计
32
57
89
在犯错误的概率不超过________的前提下性别与休闲方式有关系．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)x与y有如下五组数据，
x
1
2
3
5
10
y
10
5
4
2
2
试分析x与y之间是否具有线性相关关系．若有，求出回归直线方程；若没有，说明理由．
18．(本小题12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系？
19．(本小题 12分)某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)，现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
不经常参加体育锻炼15
总计100
(1)完成上表；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系(K2的观测值精确到0.001)?
20．(本小题12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定坐标系(如图)中画出表中数据的散点图；
(2)求y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试预测加工10个零件需要的时间．
21．(本小题12分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(K2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
22．(本小题12分)在一段时间内，某种商品价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据如下表：
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量
12
10
7
5
3
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程，并在(1)的图形上画出它的图象；
(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少．(结果精确到0.01 t)．
答案
1．解析：选D 曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．
2．解析：选D 在回归分析中，样本相关系数r的范围是|r|≤1，故选D.
3．解析：选C 从条形图中可以看出，在x1中y1比重明显大于x2中y1的比重，所以两个分类变量的关系较强．
4．解析：选A 因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.
5．解析：选A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．
6．解析：选D 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得＝5.25.
7．解析：选D 有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，指的是“吸烟与患肺癌有关”这个结论成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌，也不能说如果一个人吸烟，那么这个人就有99%的概率患肺癌；更不能说在100个吸烟者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100个吸烟者中，一个患肺癌的人也没有．故正确的说法仅有④，选D.
8．解析：选C 由表格可知，气温与杯数呈负相关关系．把x＝4代入y＝－2x＋60得y＝52，＝52－51＝1.把x＝4代入y＝－3x＋78得y＝66，＝66－51＝15.故应选C.
9．解析：选B 由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．
10．解析：选D 用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．
11．解析：选D 根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
12．解析：选A 列2×2列联表如下：
x1
x2
总计
y1
10
21
31
y2
c
d
35
总计
10＋c
21＋d
66
故K2的观测值k＝≥5.024.
把选项A，B，C，D代入验证可知选A.
13．解析：b－a＝8.
答案：8
14．解析：由题意得＝i＝≈46.36，＝i＝，因为＝0.3＋，
所以＝0.3×＋，可得≈5.55.
答案：46.36 5.55
15．解析：由题意可知＝(18＋13＋10－1)＝10，
＝(24＋34＋38＋64)＝40，＝－2.
又回归直线＝－2x＋过点(10,40)，故＝60，
所以当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：68
16．解析：由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈3.689>2.706，
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．
答案：0.10
17．解：作出散点图，如图所示：
由散点图可以看出，x与y不具有线性相关关系．
18．解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而
k＝
＝＝.
由k≥2.706得a≥7.19或a≤2.04.
又a>5且15－a>5，a∈Z，解得a＝8或9，
故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．
19．解：(1)填写列联表如下：
身高达标
身高不达标
总计
经常参加体育锻炼
40
35
75
不经常参加体育锻炼
10
15
25
总计
50
50
100
(2)由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈1.333<3.841.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．
20．解：(1)散点图如图所示：
(2)由表中数据得＝3.5，＝3.5，
(xi－)(yi－)＝3.5，
(xi－)2＝5，
由公式计算得＝0.7，＝－＝1.05，
所以所求线性回归方程为＝0.7x＋1.05.
(3)当x＝10时，＝0.7×10＋1.05＝8.05，
所以预测加工10个零件需要8.05小时．
21．解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，
25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，
记为A1，A2，A3；
25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，
记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，
它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，
“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，
“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，
据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得K2＝
＝
＝≈1.79.
因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．
22．解：(1)散点图如图所示．
(2)＝1.8，＝7.4，iyi＝62，＝16.6，
＝＝＝＝－11.5，＝－＝7.4＋11.5×1.8＝28.1.
所以y对x的线性回归方程为＝－11.5x＋28.1.画出图象如图．
(3)当价格定为1.9万元，即x＝1.9时，y＝－11.5×1.9＋28.1＝6.25.所以商品价格定为1.9万元时，需求量大约是6.25t.
阶段质量检测(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
2．复数z＝i(i＋1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
3．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A. B．1 C. D．2
5．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝( )
A．2 B. C. D．1
6．复数2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．已知f(n)＝in－i－n(i2＝－1，n∈N)，集合{f(n)|n∈N}的元素个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．无数个
8．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是( )
A. B．－3－i
C．1＋i D．3＋i
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
10．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
11．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为( )
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
12．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
14．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
15．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________.
16．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，则复数z在复平面对应的点位于第________象限．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
18．(本小题12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
19．(本小题12分)已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1·z2；(2).
20．(本小题12分)已知z＝1＋i，a，b为实数．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
21．(本小题12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
22．(本小题12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数．
(1)求m对应的点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
答案
1．解析：选D 由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.
2．解析：选A ∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴＝－1－i.
3．解析：选D 由已知，得z1－z2＝3－4i－(－2＋3i)＝5－7i，则z1－z2在复平面内对应的点为(5，－7)．
4．解析：选B ＋＝＋＝＋i，
由题意可知＝0，即a＝1.
5．解析：选B 由已知＝2得＝|(a＋i)·(－i)|＝|－ai＋1|＝2，所以 ＝2，∵a＞0，∴a＝.
6．解析：选A 2＝＝－i＝a＋bi，所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.
7．解析：选B f(0)＝i0－i0＝0，f(1)＝i－i－1＝i－＝2i，
f(2)＝i2－i－2＝0，f(3)＝i3－i－3＝－2i，
由in的周期性知{f(n)|n∈N}＝{0，－2i,2i}．
8．解析：选D ∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，
∴对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.
9．解析：选A m＝1时，z1＝3－2i＝z2，故“m＝1”是“z1＝z2”的充分条件．
由z1＝z2，得m2＋m＋1＝3，且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，故“m＝1”不是“z1＝z2”的必要条件．
10．解析：选A ∵b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，
∴b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，
∴z＝2－2i.
11．解析：选A 由定义知＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
12．解析：选B 由题意可得(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0?－1＋b＋c＋(2＋b)i＝0，
13．解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得解方程组，得a＝1，b＝2，则a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
14．解析：－＝－＝－＝，其虚部为.
答案：
15．解析：设m＝bi(b∈R，且b≠0)，方程的实根为x0，则x＋(2－i)x0＋(2bi－4)i＝0，
即(x＋2x0－2b)－(x0＋4)i＝0，
解得x0＝－4，b＝4.故m＝4i.
答案：4i
16．解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∴z＝7－10i.∴z对应的点位于第四象限．
答案：四
17．解：(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6，或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6，且k≠－1时，z是虚数．
18．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵|z|＝1＋3i－z，∴－1－3i＋a＋bi＝0，
∴z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
19．解：z2＝＝＝1－3i.
(1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＋i.
20．解：(1)因为ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，所以|ω|＝＝.
(2)由条件＝1－i，得＝1－i，即＝1－i.所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，所以解得
21．解：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
∴|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝，又∵|z1|＝，|z1－|<|z 1|，∴<，∴a2－8a＋7<0，解得1∴a的取值范围是(1,7)．
22．解：(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则
＝＝，
∵为纯虚数，∴即
∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m|＝3，由已知m＝z－(3＋3i)，
∴|z－(3＋3i)|＝3.
∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；
最小值为|3＋3i|－3＝3.
阶段质量检测(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值 f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．以上推理中( )
A．小前提错误 B．大前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
2．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
3．观察下面图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■ B．△ C．□ D．○
4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点
B．各正三角形的某高线上的点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
5．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28 B．76 C．123 D．199
6．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a、b大小不定
7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2
8．已知an＝n，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)等于( )
A.67 B.68
C.111 D.112
9．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于( )
A．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
B．f
C.
D.f(1)
10．对于奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组有1个数{1}，第二组有2个数{3,5}，第三组有3个数{7,9,11}，…，依此类推，则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n的关系是( )
A．Sn＝n2 B．Sn＝n3
C．Sn＝n4 D．Sn＝n(n＋1)
11．在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4a6＞a3a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，公比q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )
A．b4＋b8＞b5＋b7 B．b4＋b8＜b5＋b7
C．b4＋b7＞b5＋b8 D．b4＋b7＜b5＋b8
12．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 016等于( )
A. B．－1 C．2 D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．
14．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为________．
15．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
16．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜.
18．(本小题12分)已知实数x，且有a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求证：a，b，c中至少有一个不小于1.
19．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
20．(本小题12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
21．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.
(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列；
(2)设cn＝(n＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列．
22．通过计算可得下列等式：
22－12＝2×1＋1；
32－22＝2×2＋1；
42－32＝2×3＋1；
…
(n＋1)2－n2＝2n＋1.
将以上各式两边分别相加，得(n＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即1＋2＋3＋…＋n＝.
类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n2的值．
答案
1．解析：选B 可导函数f(x)，若f′(x0)＝0且x0两侧导数值相反，则x＝x0是函数f(x)的极值点，故选B.
2．解析：选B 由所给的等式可以根据规律猜想得：9(n－1)＋n＝10n－9.
3．解析：选A 由每一行中图形的形状及黑色图形的个数，则知A正确．
4．解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．
5．解析：选C 记an＋bn＝f(n)，
则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4，
f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；
f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，
则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；
f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；
f(8)＝f(6)＋f(7)＝47;
f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；
f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
6．解析：选B 要比较a与b的大小，由于c>1，
所以a>0，b>0，
故只需比较与的大小即可，
而＝＝＋，
＝＝＋，
显然>，从而必有a7．解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差为6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.
8．解析：选D 该三角形每行所对应元素的个数分别为1,3,5，…那么第10行的最后一个数为a100，第11行的第12个数为a112，即A(11,12)＝112.故选D.
9．解析：选C f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝1，得f(2)＝2f(1)，
令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)
?
f(n)＝nf(1)，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝f(1)．所以A，D正确．
又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)＝f，所以B也正确．故选C.
10．解析：选B ∵当n＝1时，S1＝1；当n＝2时，S2＝8＝23；当n＝3时，S3＝27＝33；
∴归纳猜想Sn＝n3，故选B.
11．解析：选A b5＋b7－b4－b8＝b4(q＋q3－1－q4)
＝b4(q－1)(1－q3)＝－b4(q－1)2(1＋q＋q2)＝－b4(q－1)2.
∵bn＞0，q＞1，
∴－b4(q－1)2·＜0，
∴b4＋b8＞b5＋b7.
12．解析：选C ∵a1＝，an＋1＝1－，
∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，
a4＝1－＝，a5＝1－＝－1，
a6＝1－＝2，
∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)，
∴a2 016＝a3＋3×671＝a3＝2.
13．解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．
答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)
14．解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
答案：经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
15．解析：因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数(小前提)，
所以(sin A＋sin B＋sin C)≤sin(结论)，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin＝.
因此，sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
答案：
16．解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
答案：n2＋n
17．证明：因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0.
要证明原不等式成立，只需证明＜a，
即证b2－ac＜3a2，从而只需证明(a＋c)2－ac＜3a2，
即(a－c)(2a＋c)＞0，
因为a－c＞0,2a＋c＝a＋c＋a＝a－b＞0，
所以(a－c)(2a＋c)＞0成立，
故原不等式成立．
18．证明：假设a，b，c都小于1，
即a＜1，b＜1，c＜1，
则a＋b＋c＜3.
∵a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3，且x为实数，
∴22＋3≥3，
即a＋b＋c≥3，这与a＋b＋c＜3矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
∴a，b，c中至少有一个不小于1.
19．解：(1)选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°
＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
20．解：(1)＜.
证明如下：
要证＜，只需证＜.
∵a，b，c＞0，
∴只需证b2＜ac.
∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，
∴b2≤ac.
又a，b，c均不相等，
∴b2＜ac.故所得大小关系正确．
(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cos B＜0.
由余弦定理得，
cos B＝＞＞＞0，
这与cos B＜0矛盾，
故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
法二：假设角B是钝角，则角B的对边b是最大边，
即b＞a，b＞c，
所以＞＞0，＞＞0，
则＋＞＋＝，这与＋＝矛盾，
故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
21．证明：(1)因为Sn＋1＝4an＋2，
所以Sn＋2＝4an＋1＋2，
两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)，
即an＋2＝4an＋1－4an，
变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
因为bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，
所以bn＋1＝2bn，
由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列．
(2)由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1，
得a2＝5，b1＝a2－2a1＝3.
故bn＝3·2n－1.
因为cn＝(n＝1,2，…)，
所以cn＋1－cn
＝－
＝＝，
将bn＝3·2n－1代入得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)．
由此可知，数列{cn}是公差d＝的等差数列．
22．解：23－13＝3×12＋3×1＋1，
33－23＝3×22＋3×2＋1，
43－33＝3×32＋3×3＋1，
…
(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，
将以上各式两边分别相加，得
(n＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
所以12＋22＋32＋…＋n2
＝
＝.
阶段质量检测(四)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示的框图属于( )
→→→…→
A．流程图 B．结构图
C．程序框图 D．工序流程图
2．如图所示，引入复数后，数系的结构图为( )
3．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是( )
4．根据下面的结构图可以知道，总经理的直接下属是( )
A．总工程师和专家办公室
B．开发部
C．开发部、总工程师和专家办公室
D．总工程师、专家办公室和所有的七个部
5．如图是一个结构图，在处应填入( )
A．图象交换 B．对称性
C．奇偶性 D．解析式
6．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
A．设备安装 B．土建设计
C．厂房土建 D．工程设计
8．根据下面的流程图可得结果为( )
A．19 B．67 C．51 D．70
9．实数系的结构图如图所示，其中①，②，③三个框中的内容分别为( )
A．有理数、零、整数 B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数 D．整数、有理数、零
10．如图是求12＋22＋32＋…＋1002的程序框图，则图中的①②分别是( )
A．①S＝S＋i ②i＝i＋1
B．①S＝S＋i2 ②i＝i＋1
C．①i＝i＋1 ②S＝S＋i
D．①i＝i＋1 ②S＝S＋i2
11．阅读如图所示的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写( )
A．i>6? B．i≥6?
C．i<6? D．i≤7?
12．某程序框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数f(x)＝sin x，f(x)＝cos x，f(x)＝tan x，则可以输出的函数是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝cos x
C．f(x)＝tan x D．三个函数都无法输出
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．定义运算?，s＝a?b的运算原理如图所示，则式子5?3＋2?4＝________.
14．阅读如图所示的框图，运行相应的程序，输出S的值为________．
15．如图，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是________．
16．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的时间最多为________天．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)．验票统计．
若有得票多者，则选为班长，若票数相同则由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．
18．(本小题12分)阅读如图所示的结构图：
试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．
19．(本小题12分)一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能．
(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；
(2)用户登录；
(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询；
(4)出错信息处理．
根据这些要求，画出该系统的结构图．
20．(本小题12分)某商场对衣服的退、换货办法制定如下：对退货来说，7天内经服务员检验不影响第二次销售可退货，若影响第二次销售则不退货；对换货来说，7天内经服务员检验不影响第二次销售并有相应的号码则可换货，不影响第二次销售但没有相应的号码可退货，若影响第二次销售则不退、不换．某人买了一条裤子，回家后又觉得颜色不好搭配上衣，想换一条，请画出他换货过程的流程图．
21．(本小题12分)某自助餐厅准备进行优惠酬宾活动：80岁以上老人免费；70岁以上老人享受5折优惠；60岁以上老人享受6折优惠；其余嘉宾享受9折优惠．餐厅经理想要一个程序，可以输入用餐者的年龄、消费额，能够输出应付金额．试设计该程序流程图．
22．(本小题12分)对任意函数f(x)，x∈D，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f(x0)；
②若x1∈ /D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，将x1反馈回输入端，再输出x2＝f(x1)，并依此规律进行下去．
现定义f(x)＝.
(1)若输入x0＝，则由数列发生器产生数列{xn}，写出数列{xn}的所有项；
(2)若要使数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值．
答案
1．解析：选A 题中图示表示一种动态过程，故是流程图．没有起止框，故不是程序框图．
2．解析：选A 根据知识结构图的画法，“复数”的下位要素应是并列的，只有选项A符合要求．
3．解析：选A 由各学校教职工组织结构易知选A.
4．解析：选C 由结构图可以知道，总经理的直接下属是开发部、总工程师和专家办公室，其他六个不是总经理的直接下属．
5．解析：选C 奇偶性属于函数的性质，解析式是函数概念的一部分，图象变换和对称性是函数图象的内容．
6．解析：选B 本程序计算的是S＝1＋2＋22＋…＋2A，则S＝＝2A＋1－1，由2A＋1－1＝31，得2A＋1＝32，解得A＝4，则A＋1＝5时，条件不成立，所以M＝4.
7．解析：选A 结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．
8．解析：选D 该流程图的作用是求s＝1＋4＋7＋10＋…＋19＝70.
9．解析：选B 因为实数分为有理数和无理数，有理数又分为整数和分数，整数又分为正整数、零与负整数，所以选B.
10．解析：选B 各个加数的指数应为2，故①中应为S＝S＋i2，②应为i＝i＋1.
11．解析：选C 第一次执行循环体时s＝1，i＝3；
第二次执行循环体时s＝－2，i＝5；
第三次执行循环体时s＝－7，i＝7，
所以判断框内可以填写“i<6？”．
12．解析：选B 若输入函数f(x)＝cos x，
则f(x)＋f
＝cos x＋cos
＝cos x＋cos
＝cos x－cosx＝0，
f(x)＋f＝cos x＋cos
＝cos x＋cos＝0.
故函数f(x)＝cos x可由题中程序框图输出．易验证函数f(x)＝sin 和f(x)＝tan x均无法输出．
13．解析：由流程图可知5?3＋2?4＝5×(3－1)＋4×(2－1)＝10＋4＝14.
答案：14
14．解析：S＝0，n＝3，
第1次运行，S＝0＋(－2)3＝－8，n＝2，不满足条件；
第2次运行，S＝－8＋(－2)2＝－8＋4＝－4，n＝1，满足条件，跳出循环，输出S的值为－4.
答案：－4
15．解析：由A→B有四条线路．单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
答案：19
16．解析：由题意可画出工序流程图如图所示．
∵总工期为9天，∴2＋x≤5.
∴x≤3.∴完成工序C的最长时间为3天．
答案：3
17．解：
18．解：先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．
再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．
19．解：该系统的结构图如图所示．
名片管理系统
20．解：流程图如图所示：
21．解：程序流程图如图所示．
22．解：(1)函数f(x)的定义域D＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
所以x1＝f(x0)＝f＝＝，
x2＝f(x1)＝f＝＝，
x3＝f(x2)＝f＝＝－1，而x3∈/D，
所以数列{xn}只有3项x1＝，x2＝，x3＝－1.
(2)令f(x)＝＝x，即x2－3x＋2＝0，
解得x＝2或x＝1.
故当x0＝2或x0＝1时，xn＋1＝＝xn，
所以输入的初始数据x0＝1时，得到常数列{xn}且xn＝1；x0＝2时，得到常数列{xn}且xn＝2.
