课件35张PPT。1.1.1 平均变化率第1章 1.1 导数的概念学习目标
1.了解平均变化率的实际背景.
2.理解平均变化率的含义.
3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案答案 自变量x的改变量为x2－x1，函数值y的改变量为y2－y1.思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案思考3 答案(1)一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为 .
(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”.
特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点：
①函数在区间[x1，x2]上有意义.
②在式子 中，x2－x1>0，而f(x2)－f(x1)的值可正、可负、可为0.
③实质： 的增量与 的增量之比.
④作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.梳理数量化视觉化函数值自变量题型探究例1 (1)求函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；解答类型一 函数在某区间上的平均变化率解 函数f(x)＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为(2)求函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率.解答解 函数g(x)＝3x－2在区间[－2，－1]上的平均变化率为求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量x2－x1.
(2)求函数值的改变量f(x2)－f(x1).跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5，则f(x)在区间[－1,0]上的平均变化率为____.解析 ∵f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－5＝－6，
f(0)＝－5，1答案解析(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为____；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为_____.答案解析解析 函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为例2 物体的运动方程为S＝ (位移单位：m；时间单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度.类型二 实际问题中的平均变化率解答平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.跟踪训练2 (1)圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为______.解析 ∵S＝πr2，∴圆的半径r从0.1变化到0.3时，0.4π答案解析(2)在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？解答例3 甲，乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲，乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是___.(填序号)
①v甲>v乙；②v甲
s2(0)，所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大.平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢.跟踪训练3 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示.在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为 则三者的大小关系是__________.答案解析由图象知，kOA(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差.
(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点.
2.一次函数的平均变化率 由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率与m，n的取值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数.
一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为3.平均变化率的几何意义
(1)平均变化率 表示点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”.
(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度.本课结束课件43张PPT。1.1.2 瞬时变化率——导数第1章 1.1 导数的概念学习目标
1.理解切线的含义.
2.理解瞬时速度与瞬时加速度.
3.掌握瞬时变化率——导数的概念，会根据定义求一些简单函数在某点处的导数.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 曲线上某一点处的切线如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，点P的坐标为(x0，y0).思考1 当点Pn→点P时，试想割线PPn如何变化？答案答案 当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，即曲线上点P处的切线位置.思考2 割线PPn的斜率是什么？它与切线PT的斜率有何关系.答案答案 割线PPn的斜率kn＝ ；
当Pn无限趋近于P时，kn无限趋近于点P处切线的斜率k.(1)设Q为曲线C上的不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线.随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的 .
(2)若P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，
则割线PQ的斜率为kPQ＝ ，当Δx→0时，
无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率.梳理切线知识点二 瞬时速度与瞬时加速度——瞬时变化率1.平均速度
在物理学中，运动物体的位移与 的比称为平均速度.
2.瞬时速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率
无限趋近于 ，那么 称为物体在
时的瞬时速度，也就是位移对于时间的 .所用时间一个常数这个常数t＝t0瞬时变化率3.瞬时加速度
一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的 .瞬时变化率1.导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx 时，比值 ＝ 无限趋近于一个 ，则称f(x)在x＝x0处
，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作 .
2.导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点 处的切线的 .知识点三 导数无限趋近于0常数A可导f′(x0)P(x0，f(x0))斜率3.导函数
(1)若f(x)对于区间(a，b)内 都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 .在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的 .
(2)f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的 .任一点自变量xf′(x)导数函数值题型探究解答类型一 求曲线上某一点处的切线(1)点A处的切线的斜率；解 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)(2)点A处的切线方程.解答即3x－4y＋4＝0.根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时， 无限趋近的常数.跟踪训练1 (1)已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________.(3,30)答案解析解析 设点P坐标为(x0，y0)，＝4x0＋4＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，
因此4x0＋4＝16，即x0＝3，
所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.
即点P坐标为(3,30).(2)已知曲线y＝3x2－x，求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.解答解 设A(1,2)，B(1＋Δx,3(1＋Δx)2－(1＋Δx))，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，
所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.类型二 求瞬时速度解答＝3＋Δt，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.引申探究
1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.解答＝1＋Δt，
∴当Δt→0时，1＋Δt→1，
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解 设物体在t0时刻的速度为9 m/s.解答＝(2t0＋1)＋Δt.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.(1)求瞬时速度的题目的常见错误是不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率.
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0).跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.解答解 质点M在t＝2 s时的瞬时速度即为函数在t＝2 s处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2 s附近的平均变化率为例3 已知f(x)＝x2－3.
(1)求f(x)在x＝2处的导数；解答类型三 求函数在某点处的导数＝4＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，4＋Δx无限趋近于4，
所以f(x)在x＝2处的导数等于4.(2)求f(x)在x＝a处的导数.解答＝2a＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，2a＋Δx无限趋近于2a，
所以f(x)在x＝a处的导数等于2a.求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).(3)令Δx无限趋近于0，求得导数.跟踪训练3 (1)设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝___.2∴f′(1)＝a，即a＝2.答案解析(2)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).
求函数y＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义.解答当Δx→0时，平均变化率趋近于5，
所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度.也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5 ℃.当堂训练1.一个做直线运动的物体，其位移S与时间t的关系是S＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为___.答案23451解析－1解析 由于ΔS＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)
＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，故物体在t＝2时的瞬时速度为－1.2.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为___.答案23451解析8当Δx→0时，8＋2Δx趋近于8.即k＝8.23451答案解析0∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)4.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则f′(x0)的值为____.23451答案解析a故当Δx→0时，其值趋近于a，故f′(x0)＝a.试求该物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度.23451解答解 当t＝1时，S(t)＝t2＋2，23451当Δt无限趋近于0时，2＋Δt无限趋近于2，
所以v(1)＝2；
∵t＝4∈[3，＋∞)，
∴S(t)＝29＋3(t－3)2＝3t2－18t＋56，23451所以v(4)＝6. 当Δx无限趋近于0时，它所趋近于的一个常数就是函数在x＝x0处的瞬时变化率.
即有：Δx无限趋近于0是指自变量间隔Δx越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0.即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致无限趋近于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度.一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率.本课结束课件36张PPT。1.2.1 常见函数的导数第1章 1.2 导数的运算学习目标
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2， 的导数.
2.掌握基本初等函数的导数公式.
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 几个常见函数的导数1.(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
2.C′＝0(C为常数)；
3.(x)′＝1；
4.(x2)′＝2x；
5.(x3)′＝3x2；1.(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
2.(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；知识点二 基本初等函数的导数公式4.(ex)′＝ex；6.(sin x)′＝cos x；
7.(cos x)′＝－sin x.题型探究例1 求下列函数的导数.解答类型一 利用导数公式求函数的导数解 y′＝0.(4)y＝lg x；解答(5)y＝5x；解答解 y′＝5xln 5.∴y′＝(sin x)′＝cos x.若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导.跟踪训练1 (1)下列结论：
①(sin x)′＝cos x；其中正确结论的序号是______.①④答案解析∴②③错误，①④正确.(2)求下列函数的导数.解答∴y′＝ .∴y′＝(cos x)′＝－sin x.解答类型二 求函数在某一点处的导数解答∴f′(x)＝( )′＝ ，求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解.答案解析命题角度1 已知切点解决切线问题例3 (1)已知P，Q为抛物线y＝ x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________.类型三 利用导数研究切线问题(1，－4)答案解析解析 y′＝x，
kPA＝y′|x＝4＝4，kQA＝y′|x＝－2＝－2.
∵P(4,8)，Q(－2,2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)，
即y＝4x－8.
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.∴A(1，－4).(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解答解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′| ＝cos x0，k2＝y′|
＝－sin x0.
要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的.
所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上，这三个条件联立方程即可解决.跟踪训练3 已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝____.解析 设切点坐标为(x0，y0)，又y0＝kx0， ②
而且y0＝ln x0， ③答案解析命题角度2 已知斜率解决切线问题
例4 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.解 设切点坐标为(x0， )，依题意知，与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短.解答利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练4 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P，使△ABP的面积最大.解答解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝ y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，
∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，
∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，故点P(1,1)即为所求弧 上的点，使△ABP的面积最大.当堂训练1.下列函数中的求导运算正确的个数为___.答案23451解析 ①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确.解析32.函数f(x)＝x3的切线斜率等于1的有__条.答案23451解析2故斜率等于1的切线有2条.3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝___.23451答案解析23451解答k=23451解答解 ∵y＝x3，∴y′＝3x2.∴y′＝cos x.23451解答1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.本课结束课件47张PPT。1.2.2 函数的和、差、积、商的导数第1章 1.2 导数的运算学习目标
1.理解并掌握函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 和、差的导数f(x)，g(x)的导数分别是什么？答案思考1 思考2 答案思考3 答案Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？答案 Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.函数和差的求导法则
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).梳理思考1 知识点二 积、商的导数试求f′(x)，g′(x)，φ′(x).答案答案 f′(x)＝2x，g′(x)＝cos x，φ′(x)＝0.已知f(x)＝x2，g(x)＝sin x，φ(x)＝3.思考2 答案答案 H′(x)＝2xsin x＋x2cos x，Q′(x)＝3cos x.梳理积商的求导法则
(1)积的导数
①[f(x)g(x)]′＝ ；
②[Cf(x)]′＝ (C为常数).
(2)商的导数f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)特别提醒：对于积与商的求导法则，首先要注意在两个函数积与商的求导法则中，[f(x)g(x)]′≠f′(x)·g′(x)以及 ；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的求导法则中是“＋”，商的求导法则中分子上是“－”.题型探究例1 求下列函数的导数.解答类型一 导数运算法则的应用解 ∵y＝ ，
∴y′＝ .解答(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；解答解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝
[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.解答(1)解答此类问题时常因导数的求导法则不熟而失分.
(2)对一个函数求导时，要紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导.这样可以减少运算量，优化解题过程.
(3)利用求导法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导.跟踪训练1 (1)求下列函数的导数.解答解答解答③y＝xtan x.0答案解析解析 ∵f′(x)＝(x－a)′(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－b)′·(x－c)＋
(x－a)(x－b)(x－c)′
＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)(x－b)，
∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，
f′(b)＝(b－a)(b－c)＝－(a－b)(b－c)，
f′(c)＝(c－a)(c－b)＝(a－c)(b－c).命题角度1 利用导数求函数解析式
例2 (1)已知函数f(x)＝ ＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；类型二 导数运算法则的综合应用解答(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得
f′(x)＝xcos x.解答解 由已知，得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又f′(x)＝xcos x，解得a＝d＝1，b＝c＝0.－1则f′(1)＝－1.答案解析命题角度2 与切线有关的问题
例3 (1)若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是_______.解析 设P(x0，y0).∵y＝xln x，又k＝2，∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e，∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e).(e，e)答案解析(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
①求a，b的值；解 因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.解答②设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.解 由①可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.解答(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.1答案解析(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为
y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为___.4解析 因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，
由导数的几何意义知，g′(1)＝2.
又f(x)＝g(x)＋x2，
所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.答案解析当堂训练1.设y＝－2exsin x，则y′＝_________________.答案23451解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).解析－2ex(sin x＋cos x)答案23451解析23451答案解析4.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋ (a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是_____.23451答案解析－3则a＋b＝－3.5.曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为______________.234513x－y－11＝0解析 ∵y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)
＝3(x＋1)2＋3≥3，
∴当x＝－1时，斜率最小，切点坐标为(－1，－14)，
∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案解析1.导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.
2.和与差的求导法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn).3.积、商的求导法则
(1)若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数).
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，本课结束课件36张PPT。1.2.3 简单复合函数的导数第1章 1.2 导数的运算学习目标
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数).题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 复合函数的概念及求导法则这三个函数都是复合函数吗？答案答案 函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2).思考2 试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？答案答案 设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5复合而成，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数.思考3 试求函数y＝ln(2x＋5)的导数.答案复合函数求导法则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝ ，即y′x＝ .梳理y′u·u′xy′u·a题型探究例1 求下列函数的导数.
(1)y＝log2(2x＋1)；解答类型一 简单复合函数求导解 设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3解答＝ ×(－2)＝ .解答解 设y＝ ，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝( )′·(1－2x)′(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数.②求导时分清是对哪个变量求导.③计算结果尽量简洁.跟踪训练1 求下列函数的导数.
(1)y＝103x－2；解答解 令u＝3x－2，则y＝10u，
所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.(2)y＝sin4x＋cos4x.解答解 因为y＝sin4x＋cos4x
＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x命题角度1 复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2 求下列函数的导数.类型二 复合函数导数的综合应用解答解答解答(1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.跟踪训练2 求下列函数的导数.解答(2)y＝sin3x＋sin x3；解 y′x＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.解答解答(4)y＝xln(1＋x).解答命题角度2 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用解 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.此类题目正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点
(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝ 相切，求a的值.解答∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，
即2(a－1)x－y－a＋2＝0.当堂训练1.设f(x)＝e－x，则f′(x)＝______.答案23451解析 f′(x)＝(－x)′e－x＝－e－x.解析－e－x答案23451解析3.函数y＝(1－2x)4在x＝ 处的导数为___.23451答案解析0解析 y′x＝4(1－2x)3·(1－2x)′＝－8(1－2x)3，
当x＝ 时，y′x＝0.4.已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝___.23451答案解析5.设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝___.23451解析 由题意知，y′x＝aeax.
当x＝0时，y′x＝a＝2.2答案解析求简单复合函数f(ax＋b)的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.本课结束课件40张PPT。1.3.1 单调性第1章 1.3 导数在研究函数中的应用学习目标
1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 函数的单调性与导函数正负的关系观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别.答案答案 从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h′(t)>0；从最高点到入水，h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2 观察图中函数f(x)，填写下表.答案>0<0锐钝上升下降递增递减一般地，某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数的关系
对于函数y＝f(x)，
如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；
如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数.
上述结论可以用下图来直观理解.梳理题型探究例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的____.(填序号)类型一 导数与单调性的关系③答案解析解析 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数.
当x∈(－1，b)时，f′(x)<0，图象在x轴下方；当x∈(b，a)时，f′(x)>0，图象在x轴上方；当x∈(a,1)时，f′(x)<0，图象在x轴下方.对于原函数图象，要看其在哪个区间上单调递增，则在该区间上导数值大于零.在哪个区间上单调递减，则在此区间上导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图象.跟踪训练1 设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是____.(填序号)③答案解析解析 当x<0时，函数f(x)为增函数；当x>0时，函数单调性变化依次为增、减、增.
故当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)的符号变化依次为＋、－、＋，所以应为③.命题角度1 不含参数的函数求单调区间
例2 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.类型二 利用导数求函数的单调区间解答解 f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞).求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.跟踪训练2 函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调减区间为
_____________________.解析 令f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，答案解析命题角度2 含参数的函数求单调区间
例3 讨论函数f(x)＝ ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.解答解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.(1)讨论参数要全面，要做到不重不漏.
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解.跟踪训练3 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.解答例4 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是__________.类型三 已知函数的单调性求参数的范围即k的取值范围为[1，＋∞).[1，＋∞)答案解析引申探究
1.若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围.解答又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，即k的取值范围为(－∞，0].2.若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围.解答解 f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意.∴k的取值范围是(0,1).(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.
(2)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.跟踪训练4 已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0，常数a∈R).若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围.解答要使f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
则f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立，∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在[2，＋∞)上恒成立.
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是增函数，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.∴a的取值范围是(－∞，16].当堂训练1.函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上的单调性为________.答案23451解析 ∵当x∈(0,6)时，f′(x)＝1＋ ＞0，∴函数f(x)在(0,6)上是增函数.解析增函数2.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是__________.答案23451解析[1，＋∞)解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0,1)上单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)上恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.3.函数f(x)＝3＋x·ln x的单调增区间是____________.23451答案解析解析 f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，
即ln x＋1>0，得x > .故函数f(x)的单调增区间为( ，＋∞).4.已知f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是___________.23451答案解析解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1，
由题意知，在R上f′(x)≤0恒成立，
则Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，5.试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.23451解答23451解 函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减.23451综上所述，当k≤0时，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)；1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.本课结束课件49张PPT。1.3.2 极大值与极小值(一)第1章 1.3 导数在研究函数中的应用学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 函数的极值点和极值观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.答案答案 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).思考2 导数为0的点一定是极值点吗？答案答案 不一定，如f(x)＝x3，尽管由f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是单调递增的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点.(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝ ，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝ ，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为 .梳理00极值知识点二 函数极值的求法与步骤1.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)＞0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)＜0，那么f(x0)是 ；
(2)如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)＜0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)＞0，那么f(x0)是 .极大值极小值2.求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x).
(2)求方程 的根.
(3)列表.
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.f′(x)＝0题型探究命题角度1 不含参数的函数求极值
例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图.
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；解答类型一 求函数的极值点和极值解 f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x＝0时，f(x)有极小值0.函数的草图如图所示.解答令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：函数的草图如图所示.(1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则.
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①求导数f′(x).
②求方程f′(x)＝0的根.
③观察f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值.
注意：f′(x)无意义的点也要讨论，可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断.跟踪训练1 求下列函数的极值.
(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；解答解 函数的定义域为R.
y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，
令y′＝0，得x＝－3或x＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：从上表中可以看出，当x＝－3时，函数取得极大值，且y极大值＝57.
当x＝1时，函数取得极小值，且y极小值＝－7.解 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，令y′＝0，得x＝－2或x＝2.
当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0.
即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8.
当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0.
即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8.解答命题角度2 含参数的函数求极值
例2 设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.
(1)求f(x)的单调区间；解答解 由已知，得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1，
当a＝1时，f′(x)＝6x2，
f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
列表如下.从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，
在(0，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增.(2)讨论f(x)的极值．解 由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值.
当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.解答含参数的函数求极值应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行.跟踪训练2 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.解答(2)求函数f(x)的极值.①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.解答例3 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a、b的值；类型二 已知函数极值求参数解答解 ∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0.当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数.
故f(x)在x＝－1时取得极小值，∴a＝2，b＝9.(2)若函数f(x)＝ x3－x2＋ax－1有极值点，求a的取值范围.解 f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.解答引申探究
1.若本例(2)中函数的极大值点是－1，求a的值.解 f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值.解答2.若本例(2)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围.解 由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不等正根，解答解得0故a的取值范围是(0,1).已知函数极值的情况，逆向应用，确定函数的解析式时，应注意两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪训练3 (1)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
①求a，b，c的值；解答解 ∵函数图象过原点，∴c＝0，
即f(x)＝x3＋ax2＋bx，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又函数f(x)的图象与直线y＝0在原点处相切，
∴f′(0)＝0，解得b＝0，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a).∴a＝－3，b＝c＝0.②求函数的递减区间.解答解 由①知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2).
由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0∴函数f(x)的递减区间是(0,2).解答当00，当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝1处取得极大值.当堂训练1.函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________.答案23451(－1,11)2.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则关于函数f(x)的极值点的说法中，正确的为____.(填序号)
①无极大值点，有四个极小值点；
②有三个极大值点，两个极小值点；
③有两个极大值点，两个极小值点；
④有四个极大值点，无极小值点.答案23451解析③解析 在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝___.23451答案解析5解析 由题意，得f′(－3)＝3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，所以a＝5.4.已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝
是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝_____.23451答案解析－2解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，5.已知函数f(x)＝ax2＋bln x在x＝1处有极值 .
(1)求a，b的值；23451解答(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.23451解答又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴令f′(x)＝0，解得x＝1.
列表如下.23451∴f(x)的单调减区间为(0,1)，单调增区间为(1，＋∞).1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大值或最小值，并不意味着它在整个定义域内是最大值或最小值.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.
3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.本课结束课件35张PPT。1.3.2 极大值与极小值(二)第1章 1.3 导数在研究函数中的应用学习目标
1.进一步理解极值的概念.
2.会应用极值解决相关问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.极大值与导数之间的关系><＝2.极小值与导数之间的关系<＝>题型探究解答类型一 求函数的极值(1)求a的值；由题意，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′(1)＝0，(2)求函数f(x)的极值.解答当x∈(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数.
故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3.(1)研究函数首先要研究其定义域.
(2)令导函数等于零，求出使导函数等于零的自变量的值.
(3)正确列出表格，使区间不重不漏，界点清楚.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程；解答即12x＋2y－1＝0为所求切线的方程.解答f′(x)＝x2－x－6.
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：所以f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，例2 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝ f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.类型二 极值的综合应用解答解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，
即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点，
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：∴由g(x)的图象与x轴有三个不同交点，极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键.跟踪训练2 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；解答解 由f(x)＝－x3＋3x＋a，
得f′(x)＝－3x2＋3，
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；
极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示.这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？解答解 结合图象，当极大值a＋2＝0或极小值a－2＝0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，
即方程f(x)＝0恰有两个实数根.
综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根.当堂训练1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有___个极小值.答案23451解析123451解析 由图可知，在区间(a，x1)，(x2，0)，(0，x3)内f′(x)>0；
在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.
即f(x)在(a，x1)内单调递增，
在(x1，x2)内单调递减，
在(x2，x3)内单调递增，
在(x3，b)内单调递减.
所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值，
极小值为f(x2).2.关于函数f(x)＝x3－3x2有下列命题，其中正确命题的序号是______.
①f(x)是增函数；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值.答案23451解析③④23451解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，则x＝0或x＝2.
易知当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
当x∈(0,2)时，f′(x)<0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)，极大值是f(0)，极小值是f(2).3.若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝_______.23451答案解析4.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为____.23451答案解析解析 f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2
＝ ＝1，所以a＝9.95.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是____.(填序号)
①?x∈R，f(x)≤f(x0)；
②－x0是f(－x)的极小值点；
③－x0是－f(x)的极小值点；
④－x0是－f(－x)的极小值点.23451④答案解析取函数f(x)＝－x(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，∴排除②；
－f(x)＝x(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，
∴排除③，
∵－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x0应为函数－f(－x)的极小值点，∴填④.234511.已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，需注意
(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
2.运用极值研究曲线交点问题时要注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法.本课结束课件48张PPT。1.3.3 最大值与最小值第1章 1.3 导数在研究函数中的应用学习目标
1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 函数的最大(小)值与导数观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.答案答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？答案答案 不一定，也可能是区间端点的函数值.(1)最大值与最小值
①如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有 ，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值.最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值 .
②如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有 ，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值.最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值 .梳理f(x)≤f(x0)惟一f(x)≥f(x0)惟一(2)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求f(x)在区间(a，b)上的 .
②将第①步中求得的 与 ， 比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.极值极值f(a)f(b)题型探究命题角度1 不含参数的函数求最值
例1 已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间；解答类型一 求函数的最值解 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x<－1或x>1时，f′(x)>0；
当－1所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1,1).解答求解函数在固定区间上的最值，需注意
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.解析 f′(x)＝2x＋sin x，
令f′(x)＝0，即2x＋sin x＝0，得x＝0，答案解析(2)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]时的最值.解 f′(x)＝3x2－2ax＋3，
由题意知，f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，解得a＝5，
∴f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，即3x2－10x＋3＝0，∵f(3)＝－9，f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴当x∈[1,5]时，f(x)的最小值为－9，最大值为15.解答命题角度2 含参数的函数求最值
例2 已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.解答解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；列表如下.当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝6x－8，求a，b的值；解答解 f′(x)＝3ax2－3x，由f′(2)＝6，得a＝1.
由切线方程为y＝6x－8，得f(2)＝4.
又f(2)＝8a－6＋b＝b＋2，所以b＝2，
所以a＝1，b＝2.(2)若a>0，b＝2，当x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值.解答解 f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1).分以下两种情况讨论：例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为
－29，求a，b的值.类型二 由函数的最值求参数解答解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0，且当x变化时，列表如下.由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是____________.答案解析解析 由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
列表如下.又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－10，求a的值.解 f(x)的定义域为(－a，＋∞)，解答令f′(x)＝0，解得x＝1－a>－a.
当－a当x>1－a时，f′(x)>0，f(x)在(1－a，＋∞)上单调递增.
因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，
由题意知，f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1.例4 已知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)恒成立，求a的取值范围.解答类型三 与最值有关的恒成立问题当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.
∴h(x)min＝h(1)＝4，
∴a≤h(x)min＝4.分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练4 设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x).
(1)求g(x)的单调区间和最小值；解答解 由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间.
因此，x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.解答即ln a0成立.
由(1)知，g(x)的最小值为1，
所以ln a<1，解得0当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝3，在x＝1处取得极小值f(1)＝－1.而端点处的函数值f(－3)＝－17，f(0)＝1，比较可得f(x)的最大值为3，最小值为－17.解析3，－172.函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为___.答案23451解析解析 f′(x)＝xex＋1(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.
当f′(x)>0时，x<－2或x>0；
当f′(x)<0时，－2当x＝－2时，f(－2)＝ ；当x＝0时，f(0)＝0；
当x＝1时，f(1)＝e2，所以函数的最大值为e2.e23.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为____.23451答案解析32解析 因为函数f(x)＝x3－12x＋8，
所以f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)>0，解得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，解得－2故函数在[－2,2]上是减函数，在[－3，－2)，(2,3]上是增函数，
所以函数在x＝2时取到最小值f(2)＝8－24＋8＝－8，
在x＝－2时取到最大值f(－2)＝－8＋24＋8＝24.
即M＝24，m＝－8，所以M－m＝32.23451答案解析234515.已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值.23451解答23451解 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
列表如下.所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取到最大值3.1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：(1)对函数进行准确求导.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.
2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题.如：(1)f(x)≥m恒成立，只需f(x)min≥m成立即可，也可转化为h(x)＝f(x)－m，这样就是求h(x)min≥0的问题.(2)若在某区间D上恒有f(x)≥g(x)成立，可转化为h(x)＝f(x)－g(x)，求h(x)min≥0的问题.本课结束课件48张PPT。1.4 导数在实际生活中的应用第1章 导数及其应用学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点 生活中的优化问题1.生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为 .
2.利用导数解决优化问题的实质是 .
3.解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题求函数最值数学建模题型探究例1 如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.解答类型一 平面几何中的最值问题解 设点B的坐标为(x,0)，且0∵f(x)＝4x－x2图象的对称轴为x＝2，
∴点C的坐标为(4－x,0)，
∴|BC|＝4－2x，|BA|＝f(x)＝4x－x2.
∴矩形面积为y＝(4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，
∴y′＝16－24x＋6x2＝2(3x2－12x＋8)，平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.跟踪训练1 如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为______.答案解析解析 设断面高为h，则h2＝d2－x2.
设横梁的强度函数为f(x)，
则f(x)＝kxh2＝kx(d2－x2)，0令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为
立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.类型二 立体几何中的最值问题解答(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；两端两个半球的表面积之和为4πr2.(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.令y′<0，得0在本例中，若r∈(0,1]，求最小建造费用.解 由例2(2)可知，解答∴当r＝1时，ymin＝136π.
∴最小建造费用为136π 千元.(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.跟踪训练2 周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm3.答案解析解析 设矩形的长为x cm，
则宽为(10－x) cm (0由题意可知圆柱体积为
V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.
∴V′＝20πx－3πx2，命题角度1 利润最大问题
例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销
售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝类型三 实际生活中的最值问题(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解答解 当0当9所以当x＝9时，Wmax＝38.6.所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系
(1)利润＝收入－成本.
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ ＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；解答所以a＝2.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6).
列表如下.由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值为42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.命题角度2 费用(用材)最省问题
例4 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，
则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y，由题意得令y′＝0，得v＝0(舍去)或v＝16，
∴当v0≥16，即v＝16 km/h时，全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，
即y在(8，v0]上为减函数，综上，当v0≥16时，即v＝16 km/h时全程燃料费最省，
为32 000元；(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；解答解 设隔热层厚度为x cm，而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.解答当00，答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.当堂训练1.方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为___.答案23451解析 设底面边长为x，高为h，解析4令S′(x)＝0，解得x＝8，判断知当x＝8时，S(x)取得最小值.2.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产___千台.答案23451解析6解析 构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′＝0，得x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上惟一的极大值点，也是最大值点.3.将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.23451答案解析23451解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100－x.
设正方形与圆形的面积之和为S，234514.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是____元.23451答案解析160∴当x＝2时，ymin＝160.5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；23451解答解 设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.
若记商品一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).
由已知条件，得24＝k×22，于是k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？23451解答解 根据(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
列表如下.故当x＝12时，f(x)取得极大值.
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大.1.利用导数解决生活中实际问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x).
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域.(2)与实际问题相联系.(3)必要时注意分类讨论思想的应用.本课结束课件44张PPT。1.5.1 曲边梯形的面积第1章 1.5 定积分(选学)学习目标
1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 曲边梯形的面积如何计算下列两图形的面积？答案答案 ①直接利用梯形面积公式求解.
②转化为三角形和梯形求解.思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案答案 已知图形是由直线x＝1，y＝0及y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示).梳理(2)求曲边梯形面积的方法
将已知区间[a，b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内 对应的函数值 作为小矩形一边的长.于是，可用 来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式 表示了曲边梯形面积的近似值.(如图②所示)
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割.②以直代曲.③作和.④逼近.任意一点xif(xi)f(xi)Δxf(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx题型探究例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积.解答类型一 求曲边梯形的面积解 (1)分割从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.(2)以直代曲(3)作和(4)逼近求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲.
(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近.
(3)关键：以直代曲.
(4)结果：分割越细，面积越精确.(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.解答解 ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，
∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影.如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积.(1)分割
将区间[0,2] n等分，(2)以直代曲、作和(3)逼近
当n→＋∞时，例2 当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？类型二 求变速运动的路程解答解 将区间[1,2]等分成n个小区间，当n→＋∞时，引申探究
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解答当n→＋∞时，所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的.求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近.应特别注意变速直线运动的时间区间.跟踪训练2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km).解答解 ①分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n－1)个分点，②以直代曲③作和④逼近当堂训练1.把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为___.答案23451解析 区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为 .解析2.若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时，克服弹力所做的功为______.答案234510.36 J3.一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为___.23451答案4.直线y＝0，x＝1，x＝2，曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积为___.23451答案5.求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝ x2所围成的图形的面积. 23451解答解 (1)分割23451过各区间端点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)以直代曲23451(3)作和
曲边梯形的面积为23451(4)逼近
当n→＋∞时，234511.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤
(1)分割：n等分区间[a，b].
(2)以直代曲：取点ξi∈[xi－1，xi]. “以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
2.变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题.本课结束课件36张PPT。1.5.2 定积分第1章 1.5 定积分(选学)学习目标
1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.
2.理解定积分的几何意义.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考 知识点一 定积分的概念分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点.答案答案 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近.一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx(Δx＝ )，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn.作和 ，如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为S＝ ，其中，f(x)称为
，[a，b]称为 ，a称为 ，b称为 .梳理Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx被积函数积分区间积分下限积分上限思考1 根据定积分的定义求得 (x＋1)dx的值是多少？答案知识点二 定积分的几何意义思考2 (x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形面积有何关系？答案答案 相等.一般地，定积分的几何意义是在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的 (即 的面积减去 的面积).梳理代数和x轴上方x轴下方题型探究例1 利用定积分的定义，计算 (3x＋2)dx的值.解答类型一 利用定积分的定义求定积分解 令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，(2)以直代曲、作和(3)逼近利用定义求定积分的步骤跟踪训练1 利用定积分的定义计算 (x＋2)dx.解答解 令f(x)＝x＋2.
将区间[2,3]平均分为n个小区间，例2 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值.类型二 利用定积分的几何意义求定积分解答解答解答引申探究解答解答解 由定积分的性质，得解答利用定积分所表示的几何意义求 f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状.常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形.跟踪训练2 利用定积分的几何意义，求：解答解 在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线.x＝0，x＝3，y＝0所围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)，解答当堂训练1.将曲线y＝ex，x＝0，x＝2，y＝0所围成的图形面积写成定积分的形式为_______.答案234512.关于定积分a＝ (－2)dx的叙述正确的命题的序号是____.
①被积函数为y＝2，a＝6；
②被积函数为y＝－2，a＝6；
③被积函数为y＝－2，a＝－6；
④被积函数为y＝2，a＝－6.答案23451解析③解析 由定积分的概念可知，234513.下列等式不成立的式子的序号是____.23451答案解析③解析 由定积分的性质可得①②④正确，故填③.23451答案解析55.计算：23451解答解 由定积分的几何意义，得由定积分的几何意义，得 ＝0.所以 ＝ ＝2π.2.可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分.对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.
3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.本课结束课件46张PPT。1.5.3 微积分基本定理第1章 1.5 定积分(选学)学习目标
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点 微积分基本定理已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则 (2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？答案思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在惟一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)?答案答案 不惟一.根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，都有[F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).(1)微积分基本定理
对于被积函数f(x)，梳理(2)常见的原函数与被积函数关系题型探究命题角度1 求简单函数的定积分
例1 求下列定积分.解答类型一 求定积分＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.解答解答(3)解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，解答(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F(x).
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x).
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).跟踪训练1 计算下列定积分.解答解答解 解答解答在区间[0,4]上的定积分；解答分段函数的定积分的求法
(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算.
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算.解答解答例3 (1)已知t>0，f(x)＝2x－1，若 f(x)dx＝6，则t＝___.类型二 利用定积分求参数3解得t＝3或t＝－2，∵t>0，∴t＝3.答案解析(2)已知2≤ (kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________.答案解析引申探究∴t2－t＝t－1，得t＝1.解答2.若将本例(1)中的条件改为 f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值.解答(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.跟踪训练3 (1)已知x∈(0,1]，f(x)＝ (1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是_____.[0,2)∴f(x)的值域为[0,2).答案解析(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0).若 f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为_____.答案解析例4 求由曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积.解答类型三 求图形的面积解 画出草图，如图所示.得A(0,3)，B(3,6).从而S＝F(3)－F(0)－[H(3)－H(0)]利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤
(1)根据题意画出图形.
(2)找出范围，定出积分上、下限.
(3)确定被积函数.
(4)写出相应的定积分表达式，即把曲线梯形面积表示成若干个定积分的和或差.
(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果.解答跟踪训练4 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.解 由题意，三条曲线围成的面积如图阴影所示.A，B三点的横坐标分别是0,1,2.＋当堂训练＝x2| ＋ln x| ＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，答案2341解析2解得a＝2.答案2341解析解析 3.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0， f(x)dx＝－2.求a，b，c的值.2341解答解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2， ①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0， ②由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.2341解答所以 ＋＝ ＋ 2341取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.＝ ＋23411.求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分.
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.本课结束课件44张PPT。习题课 导数的应用第1章 导数及其应用学习目标
1.能利用导数研究函数的单调性.
2.理解函数的极值、最值与导数的关系.
3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)增减知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0知识点三 函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.
(2)将函数y＝f(x)的各 与端点处的函数值 比较，其中
的一个是最大值， 的一个是最小值.极值f(a)，f(b)最大最小题型探究命题角度1 比较函数值的大小
例1 已知定义在(0，)上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有
sin x·f′(x)>cos x·f(x)成立，则下列不等式成立的序号是______.类型一 构造法的应用④答案解析解析 由f′(x)sin x>f(x)cos x，
得f′(x)sin x－f(x)cos x>0，根据条件构造函数g(x)，利用g′(x)确定g(x)的单调性，进而确定函数值的大小，此类题目的关键是构造出恰当的函数.b则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数.
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数.∵g(x)是偶函数，命题角度2 求解不等式
例2 定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为_________.(0，＋∞)∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)在定义域上单调递减.
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)∵函数g(x)单调递减，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞).答案解析根据所求结论与已知条件，构造函数g(x)，通过导函数判断g(x)的单调性，利用单调性得到x的取值范围.(0,10)答案解析∵f(1)＝1，
∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0.∴F(lg x)>F(1).
∵F(x)在R上为减函数，
∴lg x<1，∴0∴原不等式的解集为(0,10).例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行.
(1)求函数f(x)的解析式；类型二 利用导数研究函数的极值与最值解答解 因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.(2)求函数f(x)在区间[0，t](0由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0②当2f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围.解 令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).
在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，解答(1)求极值时一般需确定f′(x)＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.
(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.跟踪训练3 已知a，b为常数且a>0，f(x)＝x3＋ (1－a)x2－3ax＋b.
(1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；解答解 f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a
＝3(x－a)(x＋1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，
因为a>0，所以x1列表如下.所以当x＝－1时，f(x)有极大值2，即3a＋2b＝3.(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为 ，求a，b的值.解答解 当0①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
②函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数；
③函数f(x)在x＝－ 处取得极大值；
④函数f(x)在x＝1处取得极小值.
其中正确的说法是________.类型三 数形结合思想的应用①④答案解析解析 对于①，由图象知，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，故f′(x)>0，∴f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
对于②，当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，故f′(x)<0；
当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，故f′(x)<0.
所以当x∈(－1,0)∪(0,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)，(0,1)上是减函数；
对于③，由②知f(x)在(－1,0)上是减函数，∴x＝－ 不是极值点，由①②知④是正确的，故填①④.解决函数极值与函数、导函数图象的关系时，应注意
(1)对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值是怎样变化的.
(2)对于函数的图象，函数重点考查单调增区间和单调减区间，进而确定极值点.跟踪训练4 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是下列图象中的_____.(填序号)①答案解析解析 ∵函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，
且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x>－2时，f′(x)>0；
当x＝－2时，f′(x)＝0；
当x<－2时，f′(x)<0.
∴当－2当x＝－2时，xf′(x)＝0；
当x<－2时，xf′(x)>0.
由此观察四个选项，故填①.当堂训练1.已知f(x)＝ ＋ln x，则f(e)，f(2)与f(3)的大小关系是_____________.
(用“>”连接)答案2341解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，解析f(3)>f(e)>f(2)∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(3)>f(e)>f(2).2.已知函数f(x)＝x3－ x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)∵f(x)7.2341答案解析2341解析 由题意可知f(0)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0，
可得1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，
所以函数的解析式为f(x)＝x3－3x2＋2x.
f′(x)＝3x2－6x＋2，4.设f(x)是R上的奇函数，g(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且g(x)≠0.当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(2)＝0，则不等式 <0的解集是______________________.2341答案解析(－∞，－2)∪(2，＋∞)∴函数h(x)在(－∞，0)上单调递增.
∵f(x)和g(x)均为奇函数，
∴h(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
∵f(2)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝0，2341导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.本课结束课件45张PPT。章末复习课第1章 导数及其应用学习目标
1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.
2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.
3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.
4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.
5.掌握定积分的基本性质及应用.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.导数的概念
(1)定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值 ＝ 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作 .
(2)几何意义：导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.f′(x0)2.基本初等函数的导数公式
(1)(xα)′＝ (α为常数).
(2)(ax)′＝ (a>0，且a≠1).
(3)(ex)′＝ .
(4)(logax)′＝ logae＝ (a>0，且a≠1).
(5)(ln x)′＝ .
(6)(sin x)′＝ .
(7)(cos x)′＝ .αxα－1axln aexcos x－sin x3.函数的求导法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ .
(2)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数).
(3)[f(x)g(x)]′＝ .f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)(4)[ ]′＝ (g(x)≠0).4.复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x)).
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x).
(3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.
5.函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
对于函数y＝f(x)，
如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的增函数；
如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的减函数.(2)函数的极值与导数
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的 与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0极值6.微积分基本定理
对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝F(b)－F(a)，即
F′(x)dx＝F(b)－F(a).题型探究例1 设函数f(x)＝ x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行.
(1)求a的值；解答类型一 导数几何意义的应用解 f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
f′(x)min＝－a2－9，
由题意知，－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去).
故a＝1(2)求f(x)在x＝3处的切线方程.解答解 由(1)得a＝1，
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝ f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型.跟踪训练1 直线y＝kx＋b与曲线f(x)＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝____.解析 由题意知f(2)＝3，则a＝－3.
f(x)＝x3－3x＋1.
f′(2)＝3×22－3＝9＝k，
又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，
∴b＝3－9×2＝－15.－15答案解析例2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；解答类型二 函数的单调性、极值、最值问题解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知，
f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
列表如下.故f(x)的单调减区间是(－∞，ln 2)，单调增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a).(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.证明证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知，当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，
都有g(x)>g(0).
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力.跟踪训练2 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) ，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调增区间；解答(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值.解答f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，
由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，
得a＝－10或a＝－6(舍去)，
当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，
f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意.
综上，a＝－10.例3 某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3).
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？解答类型三 生活中的实际问题解 设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，
则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大.(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－ x3＋x2＋3x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.解答解 设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元).
由此获得的收益是g(x)(百万元)，所以g′(x)＝－x2＋4.
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，所以当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司获得的收益最大.解决优化问题的步骤
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.跟踪训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；解答解 因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元.
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元.
又根据题意，得200πrh＋160πr2＝12 000π，(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时，该蓄水池的体积最大.令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去).
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.解答当堂训练1.函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________.答案23451解析 依题意得y′＝ex＋xex，令y′＝0，可得x＝－1，解析2.函数f(x)＝x·e－x的单调增区间是__________.答案23451解析(－∞，1)令f′(x)＞0, 得x＜1，故单调增区间为(－∞，1).3.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝___.23451答案解析023451解析 ∵直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，∴f(3)＝1.
又点(3,1)在直线l上，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，4.体积为16π的圆柱，当它的半径为___时，圆柱的表面积最小.23451答案解析2解析 设圆柱底面半径为r，母线长为l.∴当r＝2时，圆柱的表面积最小.5.设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝
(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；23451解答解 f(x)的定义域为R.
∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.解得a＝2，b＝e.(2)求f(x)的单调区间.23451解答23451解 由(1)知，f(x)＝xe2－x＋ex.
由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，
f′(x)与1－x＋ex－1同号.
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1，
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增.
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)＞0，x∈(－∞，＋∞)，
综上可知，f′(x)＞0，x∈(－∞，＋∞).
故f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点.
2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.
3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.
4.不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.本课结束