1．1.1 平均变化率
学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义．
知识点 函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
思考3 观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？
函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：______的增量与________增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的______．
类型一 求函数在某区间内的平均变化率
例1 (1)已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
(2)已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
反思与感悟 求函数平均变化率的步骤：
(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)；
(3)求平均变化率＝.
跟踪训练1 分别计算下列三个图象表示的函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率．
类型二 实际问题中的平均变化率
例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
反思与感悟 (1)综合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降．事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.
(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等．解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量．
跟踪训练2 已知某物体运动位移与时间的关系s(t)＝gt2，试分别计算t从3 s到3.1 s,3.001 s各段的平均速度，通过计算你能发现平均速度有什么特点吗？
类型三 平均变化率的应用
例3 2012年冬至2013年春，我国北部某省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答：
(1)2012年11月至2012年12月间，小麦受旱面积变化大吗？
(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？
(3)从2012年11月到2013年2月，与从2013年1月到2013年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受旱面积增幅较大？
反思与感悟 (1)本例中的(2)(3)可数形结合，利用平均变化率进行分析，抓住平均变化率的几何意义．
(2)在实际问题中，平均变化率具有现实意义，应根据问题情境，理解其具体意义．
跟踪训练3 甲、乙二人跑步，路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图中①②所示，试问：
(1)甲、乙二人哪一个跑得快？
(2)甲、乙二人百米赛跑，问快到终点时，谁跑得较快？
1．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝________.
2．在雨季潮讯期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.
3．已知曲线y＝－1上两点A，B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
4．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元)
1．准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy与自变量取值增量Δx的比值．涉及具体问题，计算Δy很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法．
2．函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等．解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的．
提醒：完成作业 1.1.1
答案精析
问题导学
知识点
思考1 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.
思考2 对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．
思考3 观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．
(2)函数值 自变量 (4)斜率
题型探究
例1 (1)0.41
(2)解 自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝；
自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为
＝＝.
因为＜，所以函数f(x)＝x＋在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．
跟踪训练1 解 对于(1)，Δh＝h(3)－h(0)＝10－0＝10，
∴＝＝，
即平均变化率为.同理可以算得(2)(3)中函数h(t)在区间[0,3]上的平均变化率均为.
例2 解 (1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为＝4.05(m/s)；
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2(m/s)．
跟踪训练2 解 设物体在区间[3，3.1]，[3,3.001]上的平均速度分别为v1，v2，
则Δs1＝s(3.1)－s(3)＝g×3.12－g×32
＝0.305g(m)．
∴物体从3 s到3.1 s时平均速度
v1＝＝＝3.05g(m/s)，
同理v2＝＝＝3.000 5g(m/s)．
通过计算可以发现，随着时间间隔Δt的变小，平均速度在向3 g m/s 靠近，而3g m/s为物体做自由落体运动时，t＝3 s时的瞬时速度．
例3 解 (1)在2012年11月至2012年12月间，Δs变化不大，即小麦受旱面积变化不大．
(2)由图可知，在2013年1月至2013年2月间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增幅最大．
(3)在2012年11月至2013年2月间，平均变化率＝，
在2013年1月至2013年2月间，平均变化率＝＝sB－sC，
显然kBC＞kAB，即sB－sC＞，
∴在2013年1月至2013年2月间，小麦受旱面积增幅较大．
跟踪训练3 解 (1)对于图①，设甲、乙两曲线的右端点分别为A，B，显然有kOB＞kOA，故乙的平均变化率大于甲的平均变化率，所以乙比甲跑得快．
(2)对于图②，在[0，t0]上，甲、乙的平均变化率是相等的，但甲的平均变化率是常数，而乙的变化率逐渐增大，快到终点时，乙的变化率大于甲的变化率，所以，快到终点时，乙跑得较快．
达标检测
1．3 2.0.1 3.－
4．解 甲企业生产效益的平均变化率为＝.乙企业生产效益的平均变化率为＝.
∵＞，∴甲企业的生产效益较好．1．1.2 瞬时变化率——导数(一)
学习目标 1.结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义.2.会求简单函数在某点处的导数及切线方程.3.理解导数与平均变化率的区别与联系．
知识点一 曲线上一点处的切线
思考1 曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
思考2 曲线上在某一点处的切线的含义是什么？
设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
知识点二 瞬时速度与瞬时加速度
思考 运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0，那么该时刻物体是否一定停止了运动？
1．如果Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数
称为物体在t＝t0时的瞬时速度，即位移对于时间的瞬时变化率．
2．如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，即速度对于时间的瞬时变化率．
知识点三 导数及其几何意义
1．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，切线PT的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
类型一 求瞬时速度、瞬时加速度
例1 已知质点M的运动速度与运动时间的关系为v＝3t2＋2(速度单位：cm/s，时间单位：s)．
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时加速度．
反思与感悟 (1)求瞬时速度的关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，求瞬时加速度的关键在于正确表示“速度的增量与时间增量的比值”，注意二者的区别．(2)求瞬时加速度：①求平均加速度；②令Δt→0，求出瞬时加速度．
跟踪训练1 质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
类型二 求曲线在某点处的切线方程
例2 已知曲线C：y＝x3＋.
(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他公共点？
反思与感悟 (1)根据导数的几何意义知函数y＝f(x)在点x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出曲线在该点处的切线方程．
注意若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以直线的切线方程为x＝x0.
(2)曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
跟踪训练2 曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
类型三 求切点的坐标
例3 已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤：
(1)设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0得切点坐标．
跟踪训练3 已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝2x2相切，求a的值及切点坐标．
1．若做直线运动的物体的速度(单位：m/s)与时间(单位：s)的关系为v(t)＝t2－2，则在前4 s内的平均速度是________m/s，在t＝4 s时的瞬时速度是________m/s.
2．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率为________．
3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则a＝________，b＝________.
4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
1．平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率＝，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0点的瞬时变化率．
即有：Δx趋于0是指自变量间隔Δx越来越小，能达到任意小的间隔，但始终不能为0，即对于瞬时变化率，我们通过减小自变量的改变量以致趋于零的方式，实现用割线斜率“逼近”切线斜率，用平均速度“逼近”瞬时速度．一般地，可以用平均变化率“逼近”瞬时变化率．
2．不管是求切线的斜率、瞬时速度和瞬时加速度，还是求实际问题中的瞬时变化率，它们的解题步骤是一样的：(1)计算Δy；(2)求；(3)看Δx→0时，无限趋近于哪个常数．
提醒：完成作业 1.1.2(一)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 切线与曲线不一定只有一个公共点，如图，曲线C在点P处的切线l与曲线C还有一个公共点Q.
思考2曲线上某一点处的切线，其含义是以该点为切点的切线．
知识点二
思考 不是．瞬时加速度刻画的是速度在某一时刻的变化快慢，瞬时加速度为0，并不是速度为0.
题型探究
例1 解 ＝
＝＝6t＋3Δt.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，＝6×2＋3×0.01
＝12.03(cm/s2)．
(2)当Δt无限趋近于0时，6t＋3Δt无限趋近于6t，则质点M在t＝2时的瞬时加速度为12 cm/s2.
跟踪训练1 解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝＝4a＋aΔt，
从而当Δt→0时，4a＋aΔt→4a，
∴4a＝8，即a＝2.
例2 解 (1)＝
＝4＋2Δx＋，
当Δx→0时，→4.
∴曲线C在横坐标为2的点处切线的斜率为4，又切点的纵坐标为y＝×23＋＝4，
∴所求切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)由题意得：
得：x3－12x＋16＝0.
可化为(x－2)2(x＋4)＝0，可得x＝2或x＝－4，
当x＝－4时，y＝－20.
故切线与曲线C还有一个公共点(－4，－20)．
跟踪训练2 9
例3 解 设切点坐标为(x0，y0)，
则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1
＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan 45°＝1，
即f′(x0)＝4x0＝1，解得x0＝，
∴切点坐标为(，)．
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，解得x0＝1，
∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
∴k·(－)＝－1，即k＝8，
∴f′(x0)＝4x0＝8，解得x0＝2，
∴切点坐标为(2,9)．
跟踪训练3 解 设直线l与曲线C相切于点(x0，y0)，
∵＝＝4x0＋2Δx，
当Δx→0时，→4x0.
切线l的斜率为4，
∴4x0＝4，得x0＝1，
则y0＝2x＝2，
将x0＝1，y0＝2代入y＝4x＋a，
得a＝－2，
切点坐标为(1,2)．
达标检测
1．4 8 2.4 3.1 1 4.21.1.2 瞬时变化率——导数(二)
学习目标 1.理解导数的概念.2.会求曲线过某点的的切线方程.3.能利用导数的几何意义解决一些实际问题．
知识点 导函数
思考1 已知f(x)＝x2，求f′(1)与f′(x)．
思考2 试说明思考1中的f′(1)与f′(x)的区别与联系．
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，它们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.
类型一 导函数
例1 求函数f(x)＝的导函数．
反思与感悟 充分把握导函数的定义，恰当地运用分子有理化对Δy进行变形是解答本题的关键．
跟踪训练1 已知f(x)＝x－，若f′(x0)＝，试求x0的值．
类型二 求曲线过某点的切线方程
例2 试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
反思与感悟 求曲线y＝f(x)过点P的切线方程的步骤：(1)设切点为坐标为M(x0，y0)；(2)利用M(x0，y0)求曲线在M处切线的斜率f′(x0)；(3)由斜率公式，求出kMP；(4)利用f′(x0)＝kMP，从而求得点M的坐标及kMP；(5)根据直线的点斜式方程写出所求切线的方程．
跟踪训练2 求过点P(－1,0)并与抛物线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．
类型三 导数几何意义的应用
例3 (1)已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
(2)设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为________．
反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如直线的位置关系、斜率最值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．
跟踪训练3 (1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是________．
(2)曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．
1．已知f′(2)＝2，令g(x)＝，则g(2)＝________.
2．设函数y＝f(x)在点x0处可导，且f′(x0)＞0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围是________．
3. 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是________．
4．求曲线y＝－x2＋1过点P(2,1)的切线的倾斜角的正切值．
1．f′(x0)与f′(x)的区别与联系：f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，是一个具体的函数值．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，它随x的变化而变化．求f′(x0)可用定义求，也可以先求f′(x)，再求f′(x0)．
2．利用导数求过曲线外一点的切线方程的步骤：(1)设切点坐标为(x0，f(x0))；(2)求出函数f(x)在x0处的导数f′(x0)，即为切线的斜率；(3)由斜率公式，求出已知点与切点的连线的斜率k；(4)解方程k＝f′(x0)，求得x0，进而得到切点坐标与所求切线的斜率；(5)根据直线的点斜式方程写出所求切线的方程．
3．根据导数的几何意义知，f′(x0)能反映曲线在x＝x0处的升降及升降快慢程度，f′(x0)为正值，曲线在该点处上升，f′(x0)为负值，曲线在该点处下降，|f′(x0)|越大，曲线在该点升降速度越快．
提醒：完成作业 1.1.2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 ＝＝2x＋Δx，
当Δx→0时，→2x，∴f′(x)＝2x，
f′(1)＝2.
思考2 f′(1)是数值，f′(x)是函数，而导函数f′(x)在x＝1时的函数值就是f′(1)．
题型探究
例1 解 ＝
＝
＝，
当Δx→0时，→.
跟踪训练1 解 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(x＋Δx)－－(x－)
＝Δx＋，
∴＝1＋.
当Δx→0时，→1＋，
∴f′(x)＝1＋，
则f′(x0)＝1＋＝，
∴x0＝±2.
例2 解 由已知得＝2x＋Δx，
当Δx→0时，→2x，即y′＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)，
∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x，
又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率y′＝2x0，
∵所求的切线过点P(3,5)和A(x0，y0)，
∴其斜率为＝，
则2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5，
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2，
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
则所求的切线方程分别为y－1＝2(x－1)，y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0,10x－y－25＝0.
跟踪训练2 解 因为点P(－1,0)不在抛物线y＝x2＋x＋1上，所以设切点的坐标为Q(x0，x＋x0＋1)，由导数的几何意义可知此切线的斜率为2x0＋1.又因为此切线过点P(－1,0)和Q(x0，x＋x0＋1)，所以2x0＋1＝，解得x0＝0或x0＝－2.即切点为(0,1)或(－2,3)，所以所求切线方程分别为y－1＝x，y－3＝－3(x＋2)，即x－y＋1＝0,3x＋y＋3＝0.
例3 (1)k1>k3>k2
(2)∪
解析 (1)由导数的几何意义可得k1>k2，
∵k3＝表示割线AB的斜率，
∴k1>k3>k2.
(2)设P(x0，y0)，
＝
＝3x2－＋3xΔx＋(Δx)2，当Δx→0时，→3x2－，
∴切线的斜率k＝3x－，
∴tan α＝3x－≥－，
∴α∈∪.
跟踪训练3 (1)① (2)
解析 (1)依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有①满足．
(2)由得
∴交点坐标为(1,1)．
＝
＝－，
Δx→0时，→－1，
∴曲线y＝在(1,1)处的斜率为－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2.
同理可得：曲线y＝x2在(1,1)处切线方程为y＝2x－1，
∴两切线与x轴围成的面积为×(2－)×1＝.
达标检测
1．－2
2．(0，)
3．f′(xA)
4．解 设切点(x0，－x＋1)，
＝
＝－2x－Δx，
Δx→0时，→－2x，
∴切线的斜率为－2x0，
∴＝－2x0，
即x－4x0＝0，
解得x0＝0或4.
则所求切线的倾斜角的正切值为0或－8.1．2.1 常见函数的导数
学习目标 1.能利用导数定义，求几个常见函数的导数，领悟求导数算法的基本思想.2.牢记常见函数的导数公式，并能应用公式求基本初等函数的导数.3.掌握函数y＝ax(a＞0，a≠1)与y＝logax(a＞0，a≠1)的求导公式及应用．
知识点一 幂函数与一次函数的导数
思考1 由导数的几何意义能否确定y＝kx＋b(k≠0)的导数．
思考2 根据x′＝1，(x2)′＝2x，(x－1)′＝－x－2以及(x)′＝x－能归纳出幂函数f(x)＝xn的导数公式吗？
1．(kx＋b)′＝k(k，b为常数)，特别地，C′＝0(C为常数)．
2．(xα)′＝αxα－1.
知识点二 基本初等函数的求导公式
思考1 计算过程(cos )′＝－sin ＝－正确吗？
思考2 如何利用(ln x)′推出(logax)′？
原函数 导函数
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝______
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝______
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1) f(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
类型一 基本初等函数求导公式的应用
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝sin(x＋)；
(3)y＝2sin cos ；(4)y＝logx2－logx.
反思与感悟 (1)基本初等函数的求导公式是解决求函数导数问题的基本工具，适当变形，恰当选择公式，准确套用公式是解决此类问题的关键．
(2)不能直接求导的函数，应先对原函数变形化简，然后再求导运算．
跟踪训练1 求下列函数的导函数：
(1)y＝x；(2)y＝2－x；(3)y＝cos2－sin2.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题
例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为________．
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
反思与感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况：
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤：
跟踪训练2 已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝________.
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
1．下列结论：
(1)若y＝cos x，则y′＝－sin x；
(2)若y＝，则y′＝；
(3)若f(x)＝，则f′(3)＝－；
(4)若y＝ex，则y′＝y.
其中正确的结论有________个．
2．已知函数f(x)＝，则f′(3)＝________.
3．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos x，
所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
提醒：完成作业 1.2.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 由导数的几何意义可得：y′＝(kx＋b)′＝k.
思考2 f′(x)＝(xn)′＝nxn－1.
知识点二
思考1 不正确．因为cos ＝为常数，其导数为0.
思考2 (logax)′＝()′＝(ln x)′＝·＝.
cos x －sin x axln a
题型探究
例1 解 (1)y′＝()′＝(x)′
＝x－1＝x.
(2)∵y＝sin(x＋)＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
(3)∵y＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(4)∵y＝logx2－logx＝logx，
∴y′＝(logx)′＝＝－.
跟踪训练1 解 (1)y′＝(x)′＝(x)′＝x.
(2)∵y＝2－x＝()x，
∴y′＝[()x]′＝()x·ln
＝－()xln 2.
(3)∵y＝cos2－sin2＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
例2 (1)(1，－4)
(2)解 设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直，
则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0，
要使两切线垂直，
必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，
即sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
跟踪训练2
例3 解 设切点坐标为(x0，x)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
∴切点坐标为(，)，
∴所求的最短距离d＝＝.
跟踪训练3 解 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1)点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大．
达标检测
1．3 2. 3.[0，]∪[，π) 4.e21.2.2 函数的和、差、积、商的导数
学习目标 1.理解导数四则运算法则.2.能利用导数四则运算法则求导．
知识点 导数的四则运算
思考1 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x，试求f′(x)和g′(x)．
思考2 分别求函数f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，的导数．
思考3 你能发现f(x)±g(x)，f(x)·g(x)，的导数与f′(x)，g′(x)的关系吗？
设两个函数分别为f(x)和g(x)，则有：
两个函数的和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝________
两个函数的差的导数 [f(x)－g(x)]′＝________
两个函数的积的导数 [f(x)·g(x)]′＝______________
两个函数的商的导数 []′＝______________(g(x)≠0)
类型一 应用导数的运算法则求导
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；(4)y＝xtan x.
反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；
(2)y＝2xcos x－3xln x；
(3)y＝.
类型二 导数运算法则的应用
例2 求曲线y＝在点(1,1)处的切线方程．
反思与感悟 求函数f(x)图象上的点P(x0，f(x0))处的切线方程的步骤为：
先求出函数在x0处的导数f′(x0)(即在点P处切线的斜率)，再用点斜式写出切线方程，若切点未给出，可先设出，然后由题目所给条件列方程求出即可．
跟踪训练2 求过点P(1,3)且与曲线y＝x3－x＋3相切的切线方程．
类型三 知切线方程求参数
例3 已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数y＝f(x)的解析式．
反思与感悟 (1)解答本题的关键是能正确根据条件进行求导运算、列出方程组．
(2)解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标．特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.求a，b的值．
1．设y＝－exsin x，则y′＝______________________.
2．函数f(x)＝的导数为__________________．
3．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.
4．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，则ab＝________.
5．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
1．导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．
2．和与差的运算法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．
3．积商的求导法则
(1)若c为常数，则[c·f(x)]′＝c·f′(x)；
(2)类比[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)记忆，[]′＝；
(3)当f(x)＝1时有[]′＝－.
提醒：完成作业 1.2.2
答案精析
问题导学
知识点
思考1 f′(x)＝2x，g′(x)＝1.
思考2 [f(x)＋g(x)]′＝2x＋1，[f(x)－g(x)]′＝2x－1，[f(x)·g(x)]′＝3x2，[]′＝1.
思考3 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
[]′＝.
f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
题型探究
例1 (1)∵y＝＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2)′＋(x3)′＋(x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
(2)方法一
y′＝
＝＝.
方法二 y＝＝＝1－，
y′＝(1－)′＝()′
＝
＝.
(3)方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二 y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
(4)f′(x)＝(xtan x)′＝()′
＝
＝
＝.
跟踪训练1 解 (1)方法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3＝18x2－8x＋9.
方法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
(2)y′＝(2xcos x－3xln x)′＝(2x)′cos x＋2x(cos x)′－3·[x′ln x＋x(ln x)′]＝2xln 2cos x－2xsin x－3(ln x＋x·)＝2xln 2cos x－2xsin x－3ln x－3.
(3)y′＝()′
＝
＝＝.
例2 解 y′＝＝，
∴当x＝1时，y′＝＝0，
即曲线在点(1,1)处的切线斜率k＝0.
因此曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为y＝1.
跟踪训练2 解 设切点P0(x0，x－x0＋3)．
∵y′＝3x2－1，∴k＝3x－1.
故曲线在点P0处的切线方程为y－(x－x0＋3)＝(3x－1)(x－x0)，
将P(1,3)代入，得2x30－3x＋1＝0，
即2(x－x)－(x－1)＝0.
分解因式得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－，故切点为(1,3)或(－，)．
故切线方程为2x－y＋1＝0或x＋4y－13＝0.
例3 解 由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，由切点为M得f′(－1)＝－.
∵f′(x)＝，
∴
即
解得a＝2，b＝3或a＝－6，b＝－1(由b＋1≠0，故b＝－1舍去)．
∴所求函数解析式为f(x)＝.
跟踪训练3 解 f′(x)＝－.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故
即解得a＝1，b＝1.
达标检测
1．－ex(sin x＋cos x)
2.
3．e
4．96
5．解 ∵直线l过原点，
∴直线l的斜率k＝(x0≠0)，
∵点(x0，y0)在曲线C上，
∴y0＝x－3x＋2x0，∴＝x－3x0＋2，
又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝3x－6x0＋2，
又k＝，∴3x－6x0＋2＝＝x－3x0＋2，
整理得2x－3x0＝0，
∵x0≠0，∴x0＝，此时，y0＝－，k＝－，
∴直线l的方程为y＝－x，切点坐标为(，－)．1．2.3 简单复合函数的导数
学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．
知识点 复合函数的概念及求导法则
已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．
思考1 这三个函数都是复合函数吗？
思考2 试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？
思考3 试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．
复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝______
复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝__________，即y对x的导数等于____________________________
类型一 复合函数的概念
例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？
(1)y＝(2－x2)3；
(2)y＝sin x2；
(3)y＝cos(－x)；
(4)y＝ln sin(3x－1)．
反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．
跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．
(1)y＝cos u，u＝1＋x2；
(2)y＝ln u，u＝ln x.
类型二 求复合函数的导数
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝32x－1；
(2)y＝；
(3)y＝5log3(1－x)；
(4)y＝x2cos(2x－)．
跟踪训练2 (1)若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
(2)已知y＝，则y′|x＝1＝________.
(3)已知y＝sin3x＋cos 3x，则y′＝________________________________________.
类型三 复合函数导数的综合应用
例3 求曲线y＝在点处的切线方程．
反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
跟踪训练3 设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切．求a，b的值．
1．函数y＝sin3x是由函数________________复合而成的．
2．设f(x)＝e－x则f′(x)＝________.
3．函数y＝(1－2x)4在x＝处的导数为________．
4．过曲线y＝上一点，使曲线在该点的切线平行于x轴，求切线方程．
1．复合函数求导的步骤
2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．
提醒：完成作业 1.2.3
答案精析
问题导学
知识点
思考1 函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数．
思考2 设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln(2x＋5)可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．
思考3 y′＝·(2x＋5)′＝.
x的函数 f(g(x)) y′u·u′x y对u的导数与u对x的导数的乘积
题型探究
例1 解 (1)y＝(2－x2)3是由y＝u3及u＝2－x2复合而成．
(2)y＝sin x2是由y＝sin t及t＝x2复合而成．
(3)y＝cos(－x)是由y＝cos u及u＝－x复合而成．
(4)y＝ln sin(3x－1)是由y＝ln u，u＝sin t及t＝3x－1复合而成．
跟踪训练1 解 (1)y＝cos(1＋x2)．
(2)y＝ln(ln x)．
例2 解 (1)函数y＝32x－1看作函数y＝3u与函数u＝2x－1的复合，
∴y′＝y′u·u′x＝(3u)′·(2x－1)′
＝(2ln 3)·3u＝2·32x－1·ln 3.
(2)y＝＝(2x＋1)－4，函数y＝看作函数y＝u－4与u＝2x＋1的复合．
y′＝y′u·u′x＝(u－4)′·(2x＋1)′
＝－4u－5×2＝－8(2x＋1)－5
＝.
(3)函数y＝5log3(1－x)看作函数y＝5log3u与函数u＝1－x的复合．
y′＝y′u·ux′＝(5log3u)′(1－x)′＝×(－1)＝.
(4)函数t＝cos(2x－)看作函数t＝cos u与u＝2x－的复合．
∴[cos(2x－)]′＝(cos u)′(2x－)′
＝－2sin u＝－2sin(2x－)，
∴y′＝(x2)′cos(2x－)＋x2[cos(2x－)]′
＝2xcos(2x－)－2x2sin(2x－)．
跟踪训练2 (1)1 (2)
(3)3sin2xcos x－3sin 3x
例3 解 y′＝[(x2－3x)－]′＝－(x2－3x)－·(2x－3)，
∴y＝在点处的切线斜率为k＝y′＝－×(42－3×4)－×(2×4－3)＝－，
∴切线方程为y－＝－(x－4)，即5x＋16y－28＝0.
跟踪训练3 解 由y＝f(x)过点(0,0)得b＝－1，∴f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax－1，∴f′(x)＝＋＋a，
又∵曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，即曲线y＝f(x)在点(0,0)处切线的斜率为，∴f′(0)＝，即1＋＋a＝，∴a＝0.
达标检测
1．y＝u3及u＝sin x 2.－e－x 3.0
4．解 设切点的坐标为(x0，y0)，因为过点(x0，y0)的切线平行于x轴，于是k＝0，由导数几何意义知k＝f′(x0)＝＝0，所以x0＝0.又因为点(x0，y0)在曲线y＝上，将x0＝0代入得y0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0.1．3.1 单调性
学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
思考2 观察图中函数f(x)，填写下表．
导数值 切线的斜率 切线倾斜角 曲线的变化趋势 函数的单调性
>0 ____0 ____角
<0 ____0 ____角
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
(1)如果f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的________；
(2)如果f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的________．
知识点二 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
思考 观察下图，填写下表．
注：表的最右一列填“平缓”或“陡峭”，函数值变化一栏中填快或慢.
区间 导数的绝对值 函数值变化 函数图象
(－∞，a) 较______ 较______ 比较“______”
(a,0) 较______ 较______ 比较“______”
(0，b) 较______ 较______ 比较“______”
(b，＋∞) 较______ 较______ 比较“平缓”
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值 函数值变化 函数的图象
越大 比较“______”(向上或向下)
越小 比较“______”(向上或向下)
类型一 导数与单调性的关系
例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的________．
反思与感悟 (1)利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
(2)通过图象研究函数的单调性的方法：①观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；②观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
跟踪训练1 已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的________．
类型二 利用导数研究函数的单调性
例2 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
反思与感悟 (1)本题易忽略a＝0的情况而致错，同时，求函数的单调性一定要注意函数的定义域．
(2)利用导数研究函数单调性的方法：
第一步：求定义域，对函数求导；
第二步：解导数等于0时的方程；
第三步：导数大于0的区间与定义域求交集为增区间，小于0的区间与定义域求交集为减区间，即“正增负减”．
跟踪训练2 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间．
类型三 已知函数的单调性求参数的范围
例3 (1)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路：
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
(2)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为________．
2．已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是________．
3．函数f(x)＝3＋x·ln x的单调递增区间是________．
4．已知f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
1．求函数f(x)的单调区间时，先确定函数的定义域，在定义域内通过解f′(x)>0或f′(x)<0得到，两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接．
2．已知函数f(x)在某个区间上的单调性求参数的取值范围时，可转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立问题，并注意验证等号成立时是否符合题意．
提醒：完成作业 1.3.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h′(t)>0；从最高点到入水，h(t)是减函数，h′(t)<0.
思考2 > 锐 上升 递增 < 钝 下降 递减
(1)增函数 (2)减函数
知识点二
思考 小 慢 平缓 大 快 陡峭 大
快 陡峭 小 慢
快 陡峭 慢 平缓
题型探究
例1 ③
解析 由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x (－1，b) (b，a) (a,1)
f(x) ? ? ?
f′(x) － ＋ －
由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈(b，a)时，在x轴上方；当x∈(a,1)时，在x轴下方．故选③.
跟踪训练1 ③
例2 解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0∴f(x)在点(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
(2)当a>0时，
f′(x)＝，
∵a>0，∴－<0，
由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
跟踪训练2 解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，a≤0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；a＞0时，f(x)的单调递增区间为(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln a)．
例3 (1)[1，＋∞)
(2)解 函数求导得f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1，
因为函数在区间(1,4)内为减函数，
所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0，
又因为函数在区间(6，＋∞)上为增函数，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0，所以4≤a－1≤6，所以5≤a≤7.
即实数a的取值范围为[5,7]．
跟踪训练3 (1)(0,1) (2)(－∞，)
解析 (1)f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－.
当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意．
当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
只需∈(1，＋∞)，即>1，
则0∴k的取值范围是(0,1)．
(2)因为f(x)＝，
所以f′(x)＝.
由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减知f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a≤.
当a＝时，f(x)＝，此时函数f(x)为常数函数，
故a＝不符合题意舍去．
所以a的取值范围为a<.
故实数a的取值范围为(－∞，)．
达标检测
1．③ 2.④ 3.(，＋∞) 4.[－，]1．3.2 极大值与极小值
学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 函数的极值点和极值
思考1 观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．
思考2 导数为0的点一定是极值点吗？
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝____，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，就把________叫做函数y＝f(x)的极小值点，________叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝____，而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，就把______叫做函数y＝f(x)的极大值点，______叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为________；极大值、极小值统称为______．
知识点二 函数的极值的求法
思考1 极大值一定比极小值大吗？
思考2 函数的极值与单调性有什么联系？
一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是________．
(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是________．
类型一 求函数的极值点和极值
例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图．
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.
反思与感悟 (1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则．
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤如下：
①求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③观察f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个方程根处取得极小值．
注意：f′(x)无意义的点也要讨论，可先求出f′(x)＝0的根和f′(x)无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断．
跟踪训练1 (1)设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图象的一部分如图所示，则________(填写正确的序号)．
①f(x)极大值为f()，极小值为f(－)；
②f(x)极大值为f(－)，极小值为f()；
③f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)；
④f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)．
(2)函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值与极小值之和为________．
类型二 已知函数极值求参数
例2 (1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
①求a，b，c的值；
②求函数的递减区间．
(2)已知函数f(x)＝，若函数在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
(3)已知函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax(a∈R)在区间(0,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．
类型三 函数极值的综合应用
例3 (1)函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
反思与感悟 (1)解答本例(1)的关键是求出函数f(x)的极值，画出函数的图象，解答本例(2)的突破口是把两函数图象的交点问题转化为一个新函数的图象与x轴的交点问题．
(2)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练3 若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)________．
①无极大值点，有四个极小值点；
②有三个极大值点，两个极小值点；
③有两个极大值点，两个极小值点；
④有四个极大值点，无极小值点．
2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为________．
3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．
提醒：完成作业 1.3.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)，极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．
思考2 不一定，如f(x)＝x3，尽管f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点．
1．0 f′(x)<0 f′(x)>0 点a f(a)
2．0 f′(x)>0 f′(x)<0 点b f(b)
3．极值点 极值
知识点二
思考1 极大值与极小值之间无确定的大小关系．在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，如图所示．
f(a)为极大值，f(d)为极小值，但f(a)思考2 极值点两侧单调性必须相反，欲研究函数的极值，需先研究函数的单调性．
(1)f′(x)>0 f′(x)<0 极大值
(2)f′(x)<0 f′(x)>0 极小值
题型探究
例1 解 (1)y′＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
y′ － 0 － 0 ＋ 0 ＋
y 无极值 极小值0 无极值
∴当x＝0时，y有极小值且y极小值＝0.
函数的草图如图所示．
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 单调递减
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
函数的草图如图所示．
跟踪训练1 (1)④ (2)8
例2 (1)2 9 (2)(－∞，1)
跟踪训练2 解 (1)①∵函数图象过原点，∴c＝0，
即f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又∵函数f(x)的图象与直线y＝0在原点处相切，
∴f′(0)＝0，解得b＝0，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)．
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－.
由题意可知x＝－时，函数取得极小值－4.
∴(－a)3＋a(－a)2＝－4，
解得a＝－3.
∴a＝－3，b＝c＝0.
②由①知f(x)＝x3－3x2，
且f′(x)＝3x(x－2)，
由f′(x)<0得3x(x－2)<0，
∴0∴函数f(x)的递减区间是(0,2)．
(2)∵f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝1处取得极大值．
∵函数f(x)在区间(a，a＋)(其中a>0)上存在极值，
∴解得(3)f′(x)＝x2＋(a－1)x＋a，
∵f(x)在(0,1)内有极大值和极小值，
∴f′(x)＝0在(0,1)内有两不等实根，
∵对称轴x＝－，
∴
即
∴0例3 (1)(－，)
解析 ∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增．
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，
结合图象知：－(2)解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点，
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x (－∞，) (，4) 4 (4，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) －m －16－m
则函数g(x)的极大值为g()＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得
解得－16跟踪训练3 解 令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1＝－(x>－2)．
g(x)与g′(x)在(－2，＋∞)的变化情况如下表：
x (－2,0) 0 (0，＋∞)
g′(x) ＋ 0 －
g(x) ? 2ln 2＋b ?
由上表可知函数在x＝0取得极大值，极大值为2ln 2＋b.
结合图象(图略)可知，要使f(x)＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需
即所以－2ln 2故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3]．
达标检测
1．③ 2.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
3．(－∞，－1) 4.(－2,2)1.3.3 最大值与最小值
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点 函数的最大(小)值与导数
如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？
思考3 函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？
思考4 怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条__________的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的______；
(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.
类型一 求函数的最值
例1 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)，且f(x)在点(，f())处的切线垂直于y轴．
(1)求实数a的值；
(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值．
反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝x2－cos x，x∈[－，]的值域是________．
(2)已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]时的最值．
类型二 由函数的最值求参数
例2 (1)已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
(2)已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．
跟踪训练2 (1)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a>0.求a的值．
类型三 与最值有关的恒成立问题
例3 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
反思与感悟 (1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．
(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略：
①a>f(x)恒成立 a>f(x)max，a②f(x)>g(x)＋k恒成立 k<[f(x)－g(x)]min；
③f(x)>g(x)恒成立 [f(x)－g(x)]min>0；
④a>f(x)能成立 a>f(x)min，a跟踪训练3 (1)函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
(2)已知函数f(x)＝x(x2－a)(a∈R)，g(x)＝ln x．若在区间[1,2]上f(x)的图象在g(x)图象的上方(没有公共点)，求实数a的取值范围．
类型四 利用导数证明不等式
例4 求证：当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
反思与感悟 (1)解决本题首先要注意函数的定义域，再正确地构造出函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋x2，把问题转化为求函数f(x)的最值．
(2)利用函数的最值证明不等式的基本步骤是：
①将不等式构造成f(x)>0(或<0)的形式；
②利用导数将函数y＝f(x)在所给区间上的最小值(或最大值)求出．
(3)证明y＝f(x)的最小值(或最大值)大于零(或小于零)，即证不等式成立．
跟踪训练4 当x>0时，求证：1＋2x
1．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是________．
2．若函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．
3．若对任意的x＞0，恒有ln x≤px－1(p＞0)，则p的取值范围是________．
4．设r为正有理数，求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值．
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
提醒：完成作业 1.3.3
答案精析
问题导学
知识点
思考1 极大值为：f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．
思考2 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max
＝f(x3)．
思考3 不一定，也可能是区间端点的函数值．
思考4 比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．
1．连续不断
2．(1)极值
题型探究
例1 解 (1)依题意：f′()＝0，
因为f′(x)＝－3x2＋2ax，
所以－3×()2＋2·a·＝0，
所以a＝1.
(2)由(1)知：f(x)＝－x3＋x2＋1，
f′(x)＝－3x2＋2x，
令f′(x)＝0 x1＝0，x2＝.
因为f(0)＝1，f()＝，f(2)＝－3，
所以f(x)max＝，f(x)min＝－3.
跟踪训练1 (1)[－1，]
(2)解 f′(x)＝3x2－2ax＋3，
由题意知f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
解得a＝5，
∴f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，即3x2－10x＋3＝0，
解得x＝3或x＝(舍去)．
∵f(3)＝－9，f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴当x∈[1,5]时，f(x)的最小值为－9，最大值为15.
例2 解 (1)由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b ? b ? －16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，
∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
(2)h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)及h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ? 28 ? －4 ?
当x＝－3时，取极大值28；当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3跟踪训练2 (1)(－1，)
(2)解 f(x)的定义域为(－a，＋∞)，
f′(x)＝1－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝1－a>－a.
当－a1－a时，f′(x)>0，f(x)在(1－a，＋∞)上单调递增．
因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，
由题意知f(1－a)＝1－a＝0，故a＝1.
例3 解 (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1.
由g′(t)＝－3t2＋3＝0及t>0，得t＝1，
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t (0,1) 1 (1,2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) ? 极大值 ?
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1.
又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max＝1.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立，
即g(t)当且仅当g(t)max＝11时上式成立，
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．
跟踪训练3 (1)20
(2)解 由题意知f(x)>g(x)在区间[1,2]上恒成立，
即x(x2－a)>ln x，从而a记h(x)＝x2－，h′(x)＝2x－＝，
当x∈[1,2]时，2x3－1≥1，ln x≥0，所以h′(x)>0，
所以h(x)在[1,2]上单调递增，从而h(x)min＝h(1)＝1，所以a<1.
例4 证明 设f(x)＝ln(x＋1)－(x－x2)
＝ln(x＋1)－x＋x2，
函数的定义域是(－1，＋∞)，
则f′(x)＝－1＋x＝.
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0，即当x>0时，ln(x＋1)>x－x2.
跟踪训练4 证明 构造函数f(x)＝1＋2x－e2x(x>0)，
则f′(x)＝2－2e2x.
∵x>0，∴e2x>1，
∴f′(x)＝2－2e2x<0，
∴f(x)＝1＋2x－e2x在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)又f(0)＝1＋2×0－e0＝0，∴f(x)<0，
即1＋2x－e2x<0，∴1＋2x达标检测
1．π 2.－71 3.[1，＋∞)
4．解 ∵f′(x)＝(r＋1)(1＋x)r－(r＋1)
＝(r＋1)[(1＋x)r－1]，
令f′(x)＝0，解得x＝0.
当－1当x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)内为增函数．
故函数f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0.1.4 导数在实际生活中的应用
学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点 生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________．
2．利用导数解决优化问题的实质是____________．
3．解决优化问题的基本思路是：
上述解决优化问题的过程是一个典型的________过程．
类型一 面积、容积的最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
反思与感悟 (1)这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了．
(2)这类问题中，函数的定义域一般是保证各边(或线段)为正，建立x的不等式(组)求定义域．
跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
类型二 利润最大问题
例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
类型三 费用(用材)最省问题
例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8
反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．
2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产________千台．
3．将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.
4．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
提醒：完成作业 1.4
答案精析
问题导学
知识点
1．优化问题
2．求函数最值
3．数学建模
题型探究
例1 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为x cm，高为(30－x) cm，
所以包装盒侧面积为S＝4x×(30－x)
＝8x(30－x)≤8×()2＝8×225，
当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，
所以若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，则x＝15.
(2)包装盒容积V＝2x2·(30－x)
＝－2x3＋60x2(0所以V′＝－6x2＋120x
＝－6x(x－20)．
令V′>0，得0所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒底面边长为20 cm，高为10 cm，包装盒的高与底面边长的比值为.
跟踪训练1 解 (1)如图，BM＝AOsin θ＝100sin θ，AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ，则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．
(2)S′＝5 000(2cos2 θ＋cos θ－1)
＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．
令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝.
当θ＝时，S取得最大值，
Smax＝3 750 m2，此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.
例2 解 (1)当0当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，
∴W＝
(2)①当0＜x＜10时，由W′＝8.1－＝0，得x＝9，
且当x∈(0,9)时，W′＞0；当x∈(9,10)时，W′＜0.
∴当x＝9时，W取最大值，且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x＞10时，W＝98－≤
98－2·＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，
故当x＝时，W取最大值38.
综合①②知，当x＝9时，W取得最大值38.6万元．
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．
跟踪训练2 解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
例3 解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，
则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y，由题意，得
y＝y1·＝，
∴y′＝
＝.
令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，
即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；
当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，
即y在(8，v0]上为减函数，
∴当v＝v0时，ymin＝(元)．
综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，
为32 000元；
当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．
跟踪训练3 解 (1)设隔热层厚度为x cm，
由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝，
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6.
解得x＝5，x＝－(舍去)，
当00，
故x＝5为f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
达标检测
1．4
2．6
3.
4．解 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21]
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 极小值 ? 极大值 ?
故x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以定价为30－12＝18，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．5.1 曲边梯形的面积
学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
知识点一 曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
思考2 如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线______所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
2．求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为许多__________，对每个__________“以直代曲”，即用________的面积近似代替________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值______，就得到曲边梯形面积的________(如图②所示)．
3．求曲边梯形面积的步骤：①________，②________，③__________，④__________.
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用______、________、______、________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
类型一 求曲边梯形的面积
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
反思与感悟 求曲边梯形的面积：
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→以直代曲→作和→逼近．
(3)关键：以直代曲．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
类型二 求变速运动的路程
例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”、“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近．应特别注意变速直线运动的时间区间．
跟踪训练2 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)．
1．把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为___________．
2．若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时，克服弹力所做的功为________．
3．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,1])与x轴所围成的曲边梯形面积和式正确的是________(填序号)．
①n→＋∞时，；
②n→＋∞时，；
③n→＋∞时，；
④n→＋∞时，.
4．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)以直代曲：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)作和：(ξi)·；
(4)逼近：n→＋∞时，(ξi)·→S.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题．
提醒：完成作业 1.5.1
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 ①直接利用梯形面积公式求解．
②转化为三角形和梯形求解．
思考2 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
1．y＝f(x)
2．小曲边梯形 小曲边梯形 小矩形
小曲边梯形 近似值 求和 近似值
3．①分割 ②以直代曲 ③作和 ④逼近
知识点二
分割 近似代替 作和 逼近
题型探究
例1 解 (1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：[0，]，[，]，…，[，]，…，[，]，简写作[，](i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)以直代曲
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间[，]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－()·(－1)为其一边长，以小区间长度Δx＝为邻边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－()(－1)·(i＝1,2，…，n)．
(3)作和
曲边梯形的面积近似值为S＝Si≈－(ξi)Δx
＝－()(－1)]·
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝－·n(n－1)(2n－1)＋·
＝－＝－(－1)．
(4)逼近
当分割无限变细，即Δx→0时，n→＋∞，此时－(－1)→S.
从而有S＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.
跟踪训练1 解 ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
由
得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2] n等分，
则Δx＝， 取ξi＝.
(2)以直代曲、作和
Sn＝]2·
＝[02＋12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
(3)逼近
n→＋∞时，(1－)(1－)→.
∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，
即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积为.
例2 解 (1)分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，
则显然有s＝si.
(2)以直代曲
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积Δs′i近似地代替Δsi，于是
Δsi≈Δs′i＝v()·Δt＝[3()2＋2]·＝＋(i＝1,2，…，n)．
(3)作和
sn＝s′i＝(＋)＝(12＋22＋…＋n2)＋4
＝·＋4
＝8(1＋)(1＋)＋4.
(4)逼近
当n→＋∞时，8(1＋)(1＋)＋4→12.
所以这段时间内行驶的路程为12 km.
跟踪训练2 解 ①分割
在时间区间[0,2]上等间隔地插入(n－1)个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为[，](i＝1,2，…，n)，Δt＝－＝，把汽车在时间段[0，]，[，]，…，[，2]上行驶的路程分别记为Δs1，Δs2，…，Δsn，则有sn＝si.
②以直代曲
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Δsi≈v(ξi)·Δt＝[－()2＋5]·＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
③作和
sn＝si≈－·＋]
＝－·－·－…－·＋10
＝－[12＋22＋…＋n2]＋10
＝－·＋10
＝－8·(1＋)(1＋)＋10.
④逼近
当n→＋∞时，sn→.
因此，行驶的路程为 km.
达标检测
1. 2.0.36 J 3.② 4.1.021.5.2 定积分
学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．
知识点一 定积分的概念
思考 回顾求曲边梯形面积和变速直线运动路程的求法，找一下它们的共同点．
一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx(Δx＝)，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn.作和______________________________________，如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为：S＝ f(x)dx，其中，f(x)称为__________，[a，b]称为__________，a称为________，b称为__________．
知识点二 定积分的几何意义
思考 定积分和曲边梯形的面积有何关系？
从几何角度看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分 f(x)dx表示由____________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分 f(x)dx的几何意义．
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx(其中a1． kf(x)dx＝ (k为常数)．
2． [f1(x)±f2(x)]dx＝ .
3． f(x)dx＝ (其中a类型一 定积分的概念
例1 用定积分的定义计算 x2dx.
反思与感悟 利用定义求定积分的步骤：
跟踪训练1 用定义计算 (1＋x)dx.
类型二 定积分的几何意义
例2 (1)如图所示，f(x)在区间[a，b]上，则阴影部分的面积S为________(填写序号)．
① f(x)dx；
② f(x)dx－ f(x)dx；
③－ f(x)dx－ f(x)dx；
④－ f(x)dx＋ f(x)dx.
(2)利用定积分的几何意义计算 dx.
反思与感悟 (1)定积分的几何意义是在x轴上半部，计算的面积取正值，在x轴下半部计算的面积取负值．
(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．(关键词：分割)
(3)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，则
f(x)dx＝0.
②若偶函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续，
则 f(x)dx＝2 f(x)dx.
跟踪训练2 利用几何意义计算下列定积分：
(1) dx；
(2) (3x＋1)dx；
(3) (x3＋3x)dx.
类型三 定积分的性质
例3 计算 (－x3)dx的值．
反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．
跟踪训练3 已知 x3dx＝， x3dx＝， x2dx＝， x2dx＝，
求：(1) 3x3dx；(2) 6x2dx；(3) (3x2－2x3)dx.
1．关于定积分a＝ (－2)dx的叙述正确的是________．(填序号)
①被积函数为y＝2，a＝6；
②被积函数为y＝－2，a＝6；
③被积函数为y＝－2，a＝－6；
④被积函数为y＝2，a＝－6.
2．将曲线y＝ex，x＝0，x＝2，y＝0所围成的图形面积写成定积分的形式为________．
3． 2(x－2)dx＝________.
4．计算：eq \i\in(,π,) (2－5sin x)dx.
1．定积分 f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．
提醒：完成作业 1.5.2
答案精析
问题导学
知识点一
思考 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．
Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx 被积函数 积分区间 积分下限 积分上限
知识点二
思考 (1)当函数f(x)≥0时，定积分 f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a(2)当函数f(x)≤0时，曲边梯形位于x轴的下方，此时 f(x)dx等于曲边梯形面积S的相反数，即 f(x)dx＝－S.
(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分 f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．
f(x)≥0 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)
知识点三
思考 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
1．k f(x)dx
2． f1(x)dx± f2(x)dx
3． f(x)dx＋ f(x)dx
题型探究
例1 解 令f(x)＝x2.
(1)分割
在区间[0,3]上等间隔地插入n－1个点，把区间[0,3]分成n等份，其分点为xi＝(i＝1,2，…，n－1)，这样每个小区间[xi－1，xi]的长度Δx＝(i＝1,2，…，n)．
(2)以直代曲、作和
令ξi＝xi＝(i＝1,2，…，n)，于是有和式：
(ξi)Δx＝()2·＝2＝·n(n＋1)·(2n＋1)＝(1＋)(2＋)．
(3)逼近
n→＋∞时，(1＋)(2＋)→9.
根据定积分的定义 x2dx＝9.
跟踪训练1 解 (1)分割
将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝.
(2)以直代曲、作和
在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，
于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，
从而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋.
(3)逼近
n→＋∞时，2＋→.
因此 (1＋x)dx＝.
例2 (1)④
(2)解 dx表示圆心为(2,0)，半径等于2的圆的面积的，即 dx＝×π×22＝π.
跟踪训练2 解 (1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以2为半径的上半圆，
其面积为S＝·π·22＝2π.
由定积分的几何意义知 dx＝2π.
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在
x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴ (3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.
(3)∵y＝x3＋3x为奇函数，
∴ (x3＋3x)dx＝0.
例3 解 如图，
由定积分的几何意义得
dx＝＝， x3dx＝0，
由定积分性质得
(－x3)dx＝ dx－ x3dx＝.
跟踪训练3 解 (1) 3x3dx＝3 x3dx＝3( x3dx＋ x3dx)
＝3×(＋)＝12.
(2) 6x2dx＝6 x2dx＝6( x2dx＋ x2dx)
＝6×(＋)＝126；
(3) (3x2－2x3)dx＝ 3x2dx－ 2x3dx
＝3 x2dx－2 x3dx＝3×－2×
＝7－＝－.
达标检测
1．③ 2. exdx 3.5
4．解 由定积分的几何意义得
eq \i\in(,π,)2dx＝(－)×2＝2π.
由定积分的几何意义得eq \i\in(,π,)sin xdx＝0.
所以eq \i\in(,π,) (2－5sin x)dx＝eq \i\in(,π,)2dx－5eq \i\in(,π,)sin xdx＝2π.1.5.3 微积分基本定理
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考1 已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则 (2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？
思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)
1．微积分基本定理
对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝ ，即 F′(x)dx＝ ．
2．常见的原函数与被积函数关系
(1) Cdx＝Cx|(C为常数)．
(2) xndx＝(n≠－1)．
(3) sin xdx＝－cos x|.
(4) cos xdx＝sin x|.
(5) dx＝ln |x||(b>a>0)．
(6) exdx＝ex|.
(7) axdx＝(a>0且a≠1)．
(8) dx＝(b>a>0)．
知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系
思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则 f(x)dx＝ ．
(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则 f(x)dx＝ ．
(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图③，则 f(x)dx＝ ．特别地，若S上＝S下，则 f(x)dx＝ .
类型一 定积分的求法
例1 (1)定积分 (2x＋ex)dx的值为________．
(2) |1－x2|dx＝________.
(3) [－cos x]dx＝________.
反思与感悟 (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解．
跟踪训练1 (1)计算定积分 (x2＋sin x)dx＝______.
(2)已知f(x)＝求 f(x)dx.
类型二 利用定积分求参数
例2 (1)已知2≤ (kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若 f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
跟踪训练2 (1)已知x∈(0,1]，f(x)＝ (1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．
(2)已知 [(3ax＋1)(x＋b)]dx＝0，a，b∈R，试求ab的取值范围．
类型三 利用微积分基本定理求面积
例3 求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积．
反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较繁琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限．
跟踪训练3 (1)如图，阴影部分由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0所围成，则其面积为________．
(2)求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积．
1．若 (2x＋)dx＝3＋ln 2，则a＝________.
2． (x2－x)dx＝________.
3．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0， f(x)dx＝－2.求a，b，c的值．
4．已知f(x)＝计算 f(x)dx.
5．求由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积．
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
提醒：完成作业 1.5.3
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 由定积分的几何意义知， (2x＋1)dx＝×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故 (2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．
思考2 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数C，都有[F(x)＋C]′＝F′(x)＋C′＝f(x)．
1．F(b)－F(a) F(b)－F(a)
知识点二
思考 当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等．
(1)S上 (2)－S下
(3)S上－S下 0
题型探究
例1 (1)e (2)2 (3)4＋ln 2－sin 2＋sin 1
解析 (1) (2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|＝(1＋e)－1＝e.
(2)|1－x2|＝
|1－x2|dx＝ (1－x2)dx＋ (x2－1)dx
＝＋
＝＋－1＝2.
(3) [－cos x]dx
＝ (2x＋1＋－cos x)dx
＝(x2＋x＋ln x－sin x)|
＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1)
＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1.
跟踪训练1 (1)
(2)解 f(x)dx
＝ (1＋2x)dx＋ x2dx
＝(x＋x2)|＋
＝2＋＝.
例2 (1)[，2] (2)
解析 (1) (kx＋1)dx＝＝k＋1.
由2≤k＋1≤4得≤k≤2.
(2) f(x)dx＝ (ax2＋c)dx
＝＝＋c.
f(x0)＝ax＋c，
∴＝ax，即x0＝或－.
∵0≤x0≤1，∴x0＝.
跟踪训练2 (1)[0,2)
(2)解 [(3ax＋1)(x＋b)]dx
＝ [3ax2＋(3ab＋1)x＋b]dx
＝
＝a＋(3ab＋1)＋b＝0，
即3ab＋2(a＋b)＋1＝0.
由于(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥4ab，
所以(－)2≥4ab，即9(ab)2－10ab＋1≥0，
得(ab－1)(9ab－1)≥0，解得ab≤或ab≥1.
所以ab的取值范围是(－∞，]∪[1，＋∞)．
例3 解 画出图形，如图所示．
解方程组
及
得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝ [－(－x)]dx＋ [(2－x)－(－x)]dx
＝ (＋x)dx＋ (2－x＋x)dx
＝(x＋x2)|＋(2x－x2＋x2)|
＝＋＋(2x－x2)|
＝＋6－×9－2＋＝.
跟踪训练3 (1)＋ln 2
(2)解 由题意，三条曲线围成的面积如图阴影所示．
由和解出O，A，B三点的横坐标分别是0,1,2.
故所求的面积S＝ (2x－x)dx＋ (2x－x2)dx
＝＋
＝－0＋(4－)－(1－)＝.
达标检测
1．2 2.
3．解 ∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2，①
f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝b＝0，②
f(x)dx＝ (ax2＋c)dx＝
＝a＋c＝－2，③
由①②③可得a＝6，b＝0，c＝－4.
4．解 f(x)dx＝eq \i\in(0,,)f(x)dx＋eq \i\in(,,)f(x)dx
＝eq \i\in(0,,) (4x－2π)dx＋ eq \i\in(,,) cos xdx，
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以eq \i\in(0,,) (4x－2π)dx＋eq \i\in(,,)cos xdx＝(2x2－2πx)|
＋sin x|＝－π2－1，
即 f(x)dx＝－π2－1.
5．解 如图所示的阴影部分面积即为所求面积，
可求得曲线y＝与直线y＝x－2的交点为A(4,2)．
∴S阴＝ (－x＋2)dx＝＝.习题课 导数的应用
学习目标 会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．
知识点一 函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负 f(x)的单调性
f′(x)>0 单调递____
f′(x)<0 单调递____
知识点二 求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值．
(2)如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．
知识点三 函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
1．求函数y＝f(x)在(a，b)上的极值．
2．将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
类型一 函数的单调性与导数
例1 (1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a①af(b)＜bf(a)；②bf(a)＜af(b)；
③af(a)＜bf(b)；④bf(b)＜af(a)．
(2)已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)，a>0.讨论f(x)的单调性．
反思与感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
(4)求参数的范围时常用到分离参数法．
跟踪训练1 (1)已知f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
①若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
②若a≠0，求函数f(x)的单调区间．
(2)已知f(x)＝ex－ax－1.
①求f(x)的单调增区间；
②若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
类型二 利用导数求函数的极值
例2 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义．
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
跟踪训练2 若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则实数a的取值范围是________．
类型三 利用导数求函数的最值
例3 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0
反思与感悟 求函数的最值的方法步骤：
(1)求f(x)在(a，b)上的极值．
(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．
跟踪训练3 已知函数f(x)＝x3－ax2＋b，且a，b为实数，1类型四 利用导数证明不等式
例4 已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，x2＋ln x
反思与感悟 利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．
跟踪训练4 证明：当x∈[－2,1]时，－≤x3－4x≤.
1．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是________．
2．设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a①f(x)g(x)>f(b)g(b); ②f(x)g(a)>f(a)g(x)；
③f(x)g(b)>f(b)g(x); ④f(x)g(x)>f(a)g(a)．
3．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为________．
4．已知函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
提醒：完成作业 习题课
答案精析
问题导学
知识点一
增 减
知识点二
(1)f′(x)>0 f′(x)<0
(2)f′(x)<0 f′(x)>0
题型探究
例1 (1)①
解析 令g(x)＝，则g′(x)＝，
∵xf′(x)－f(x)≤0，∴g′(x)≤0.
则g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若ag(b)，即>，
得bf(a)>af(b)．
(2)解 由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋－＝.
设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.
①当Δ<0即00都有f′(x)>0，此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有f′(x)＝0，对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当Δ>0即a>2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
此时f(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
综上所述，当0＜a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增区；
当a＞2时，f(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减．
跟踪训练1 解 (1)①∵a＝1，∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，∴k＝f′(1)＝4，
又f(1)＝3，∴切点坐标为(1,3)，
∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
②f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
由f′(x)＝0，得x＝－a或x＝，
当a>0时，由f′(x)<0，得－a0，得x<－a或x>，
此时f(x)的单调递减区间为(－a，)，单调递增区间为(－∞，－a)和(，＋∞)．
当a<0时，由f′(x)<0，得0，得x<或x>－a，
此时f(x)的单调递减区间为(，－a)，单调递增区间为(－∞，)和(－a，＋∞)．
综上，当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－a，)，单调递增区间为(－∞，－a)，(，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递减区间为(，－a)，单调递增区间为(－∞，)，(－a，＋∞)．
(2)①∵f(x)＝ex－ax－1，
∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0，得ex≥a，
当a≤0时，有f′(x)>0在R上恒成立；
当a>0时，有x≥ln a.
综上所述：当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为[ln a，＋∞)．
②∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立，
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0.
例2 解 (1)由f(x)＝x－1＋，
得f′(x)＝1－，
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a.
x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
跟踪训练2 [1，)
例3 解 (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，
曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，
即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0得，x＝0或x＝2.
①当0所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.
②当2≤t<3时，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x 0 (0,2) 2 (2，t) t
f′(x) 0 － 0 ＋
f(x) 2 －2 t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.
综上，当0＜t＜2时，f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2；
当2≤t＜3时，f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(2)＝－2.
跟踪训练3 1
例4 解 (1)f′(x)＝x－＝(x＞0)．
当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
(2)当x>1时，x2＋ln x令g(x)＝x3－x2－ln x，
g′(x)＝2x2－x－＝＝
＝，
当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上递增，
∴g(x)>g(1)>0，
∴x3－x2－ln x>0，
即x2＋ln x跟踪训练4 证明 令f(x)＝x3－4x，x∈[－2,1]，
则f′(x)＝x2－4.
因为x∈[－2,1]，所以f′(x)≤0，
即函数f(x)在区间[－2,1]上单调递减．
故函数f(x)在区间[－2,1]上的最大值为f(－2)＝，最小值为f(1)＝－.
所以，当x∈[－2,1]时，－≤f(x)≤，
即－≤x3－4x≤成立．
达标检测
1. 2.③
3．(－∞，0)∪(，2) 4.(7，＋∞)第1章 导数及其应用
1 变化率与导数
1.变化率
函数的平均变化率为＝，它是用来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的量.式中Δx，Δy的值可正、可负，当函数f(x)为常数函数时，Δy的值为0，但Δx不能为0.当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.
例1 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t0]内的平均速度哪个大？
解 比较在相同的时间段[0，t0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果.
在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，
所以<.
所以在时间段[0，t0]内乙的平均速度比甲的大.
点评 比较两人的平均速度的大小，其实就是比较两人走过的路程相对于时间的变化率的大小.
2.导数的概念及其几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率，即当Δx趋于0时，函数值y关于x的平均变化率＝的极限值；Δx无限趋近于0，是指函数自变量之间的间隔能有多小就有多小，但始终不能为零.
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k＝tan α，因此在切线的斜率、切点的横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量.
例2 如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________；
＝________.(用数字作答)
解析 由A(0,4)，B(2,0)可得线段AB的方程为f(x)＝－2x＋4(0≤x≤2).
同理线段BC的方程为f(x)＝x－2(2所以f(x)＝
所以f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2，
＝f′(1)＝－2.
答案 2 －2
例3 函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( )
A.0B.0C.0D.0解析 根据导数的几何意义，考查函数在点B(2，f(2))及A(3，f(3))处的切线的斜率.
由图可见，过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率，则有0另一方面，这两点的平均变化率为＝f(3)－f(2)，其几何意义为割线AB的斜率.
由图，可知0答案 C
点评 本题通过导数的定义反过来对变化率进行了考查.
通过上述三例可以看出，变化率是一个十分重要的概念，它是连接初等数学与导数的一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫.
2 函数单调性的多方妙用
1.根据函数的单调性求解参数问题
例1 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且f′＝，求a，b，c的值.
解 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由于f(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f′(0)＝f′(1)＝0.
又f′＝，所以解得
点评 由于此题给出了函数定义域范围内的所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数的极值点，通常情况下单调区间的端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题的方法进行解答.
例2 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R).若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围.
解 f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，且在[2，＋∞)上任何子区间上不恒为零，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立.
∵x2>0，∴2x3－a≥0，
∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立.
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a≤16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是a≤16.
点评 已知函数单调性求参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题.一般地，函数f(x)在区间I上单调递增
(递减)等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，且在I的任何子区间上不恒为零，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围，并验证f′(x)＝0是否有有限个解.
2.利用函数的单调性证明不等式
欲证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)≥g(x))成立，可以构造函数φ(x)＝f(x)－g(x)，利用导数进行证明.
例3 已知x>0，求证：ex>1＋x.
证明 设函数f(x)＝ex－(1＋x)，则f′(x)＝ex－1.
当x>0时，ex>e0＝1，所以f′(x)＝ex－1>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
所以当x>0时，f(x)>f(0).
又f(0)＝e0－(1＋0)＝0，所以f(x)>0，即ex－(1＋x)>0.
故ex>1＋x.
点评 若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，则往往需要构造函数，借助函数的单调性来证明.
3.利用函数的单调性判断方程根的个数
若f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在[a，b]上有唯一实数根；若f(a)f(b)与零的大小无法确定，则f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实数根.
例4 试判断函数f(x)＝x－ln x(x>0)在区间和区间(1，e)内有无零点.
分析 可通过导数确定函数极值点与极值的正负，再结合确定零点的方法确定零点的个数.
解 因为f′(x)＝－.
所以当x∈(3，＋∞)时，y＝f(x)是增函数；
当x∈(0,3)时，y＝f(x)是减函数.
而0<<10，f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，所以函数f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.
3 揭开导数问题易错点的面纱
一、揭开导数运算中的常见错因
1.对f′(x0)与f′(x)理解有误
例1 已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为( )
A.0 B.－4
C.－2 D.2
错解 由f(x)＝x2＋2xf′(1)得f(0)＝0.
所以f′(0)＝0.故选A.
错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处的导数的关系，求函数在某点处的导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f′ 1 是常数.
正解 由f(x)＝x2＋2xf′(1)得，f′(x)＝2x＋2f′(1).
所以f′(1)＝2×1＋2f′(1).所以f′(1)＝－2.
从而f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.
故选B.
2.切点位置的确定有误
例2 求过点P(1,0)且与曲线f(x)＝x3－x相切的直线的方程.
错解 由题意知点P(1,0)在曲线上.
因为f′(x)＝3x2－1，所以f′(1)＝2.
所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
错因分析 点P 1，0 虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P 1，0 当作切点显然是错误的.求曲线的切线方程时，应注意两种“说法”： 1 曲线在点P处的切线方程 一定是以点P为切点 ； 2 曲线过点P的切线方程 无论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点.
正解 设切点为(x0，x－x0)，
则过该点的切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0).
由切线过点P(1,0)得：
0－(x－x0)＝(3x－1)(1－x0)，
整理得2x－3x＋1＝0.
即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，
解得x0＝1或x0＝－.
所以切线方程为2x－y－2＝0或x＋4y－1＝0.
3.对切线定义的理解有误
例3 已知曲线C：y＝f(x)＝x3＋，曲线C在点P(2,4)处的切线方程为y＝4x－4，试分析该切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由.
错解 由于直线y＝4x－4与曲线C相切，因此除切点P(2,4)外没有其他的公共点.
错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立的，但对一般曲线不一定成立.
正解 由消去y整理得：
x3－12x＋16＝0，即(x－2)(x2＋2x－8)＝0.
所以(x－2)2(x＋4)＝0，解得x＝2或x＝－4.
所以交点的坐标为(2,4)，(－4，－20)，
所以该切线与曲线的公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20).
二、揭开导数应用中的常见错因
1.将函数单调性的充分条件误认为是充要条件
例4 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围.
错解 f′(x)＝3ax2＋6x－1.因为f(x)在R上是减函数，
所以f′(x)＝3ax2＋6x－1<0.
所以解得a<－3.
故实数a的取值范围为(－∞，－3).
错因分析 “f′(x)<0(x∈(a，b))”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的充分条件而不是充要条件，如f(x)＝－x3在R上单调递减，但f′(x)＝－3x2≤0.
正解 f′(x)＝3ax2＋6x－1.
(1)当f′(x)<0时，f(x)是减函数，
所以f′(x)＝3ax2＋6x－1<0.
所以解得a<－3.
(2)当a＝－3时，f′(x)＝－9x2＋6x－1
＝－(3x－1)2≤0，
当且仅当x＝时，f′(x)＝0.
易知此时函数f(x)在R上也是减函数.
综上，知实数a的取值范围为(－∞，－3].
点评 解决此类问题既要注意其充分性，又要注意其必要性.
2.将函数取极值的必要条件误认为是充要条件
例5 求函数f(x)＝x6－3x4＋3x2的极值.
错解 f′(x)＝6x5－12x3＋6x＝6x(x4－2x2＋1)＝6x(x2－1)2.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x＝±1时，函数f(x)取极大值1；当x＝0时，函数f(x)取极小值0.
错因分析 “f′ x0 ＝0”是“可导函数y＝f x 在x0处有极值”的必要条件而不是充要条件，即导数为零的点不一定是极值点.防止出现这类错误的方法是验证可导函数f x 在x0左右两侧的导数值的符号，若x0两侧的导数值异号，则x0是函数f x 的极值点.
正解 f′(x)＝6x(x2－1)2.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号如下表所示：
x (－∞，－1) (－1,0) (0,1) (1，＋∞)
f′(x) － － ＋ ＋
因此函数f(x)无极大值，当x＝0时，函数f(x)取极小值0.
点评 函数y＝f(x)在x0处可导，则“f′(x0)＝0”是“f(x)在x0处取得极值”的必要条件，但不是充要条件.一般地，函数f(x)在x0的附近可导且f′(x0)＝0，如果f′(x)在x0两侧的符号相反，则f(x)在x0处取极值；如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则f(x)在x0处无极值.
4 导数应用中的数学思想
1.函数思想
例1 设函数f(x)＝1－e－x，证明：当x>－1时，f(x)≥.
分析 由于f(x)＝1－e－x＝1－，＝1－，因此要证f(x)≥，只需证明ex≥1＋x.所以我们构造新函数，利用函数的极值进行证明.
证明 令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1.
解方程ex－1＝0，得x＝0.
当x变化时，g′(x)，g(x)变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
g′(x) － 0 ＋
g(x) ? 0 ?
从表上看出，当x＝0时，函数有极小值，且g(0)＝0.
因而当x∈R时，有g(x)≥g(0)＝0，即ex≥1＋x.
所以当x>－1时，有f(x)＝1－e－x＝1－
≥1－＝，即f(x)≥.
点评 本题通过构造函数，使问题的解决变得简捷.
2.数形结合思想
例2 已知曲线f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，求实数a的取值范围.
分析 先用导数求出函数的单调区间和极值，再根据单调性画出大致图象，利用数形结合思想求解.
解 f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
列表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 极小值 ? 极大值 ?
所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；
当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.
画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2).
所以a＋27<0或a－5>0.解得a<－27或a>5.
故实数a的取值范围为a<－27或a>5.
点评 数形结合思想是中学数学的一种重要思想.画出图象可以加强直观性，便于对问题的理解.
3.分类讨论思想
例3 求函数f(x)＝ax3－3x2＋1－的单调区间.
分析 利用导数求函数的单调区间，一般先确定函数的定义域，再求导函数，最后根据导数大于0或小于0得单调增区间或单调减区间.如果函数中含有参数，则应分类讨论.
解 f′(x)＝3ax2－6x.由题意，得a≠0.
当a>0时，由3ax2－6x>0，解得x<0或x>；
由3ax2－6x<0，解得0所以f(x)的单调增区间为(－∞，0)和，单调减区间为.
当a<0时，由3ax2－6x>0，解得由3ax2－6x<0，解得x<或x>0.
所以f(x)的单调增区间为，
单调减区间为和(0，＋∞).
综上，a＞0时f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(，＋∞)，单调减区间为(0，)；
a＜0时f(x)的单调增区间为(，0)，
单调减区间为(－∞，)，(0，＋∞).
点评 注意本题中隐含了a≠0的条件.a在导函数的二次项系数中，a的正负决定了不等式的解集，因此要对a分大于0和小于0两种情况进行讨论.
5 三次函数的单调性与极值的求解之道
我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以用判别式Δ＝b2－4ac来判断，那么一元三次方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0(a≠0)的根的情况又是怎样的呢？
要解决这个问题，只要能够画出函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的大致图象，通过图象与x轴的交点的情况便可得到方程的根的情况.而要画出函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的大致图象，就要研究该函数的单调性和极值情况，因此可以利用导数来研究.
三次函数求导后变为二次函数，所以三次函数的许多性质可以借助二次函数来解决.
对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，其导函数为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，有以下结论：
(1)①当a>0时，若x→＋∞，则f(x)→＋∞；
若x→－∞，则f(x)→－∞；
②当a<0时，若x→＋∞，则f(x)→－∞；
若x→－∞，则f(x)→＋∞.
(2)若x1，x2是f(x)的两个极值点，则x1，x2是方程f′(x)＝0的两根，从而x1＋x2＝－，x1x2＝.
(3)方程f′(x)＝0的判别式Δ＝4b2－12ac，则有
①当Δ≤0时，若a>0，则f(x)在R上是增函数；若a<0，则f(x)在R上是减函数.
②当Δ>0时，设f′(x)＝0的两根x10时，f(x)的递增区间有两个，为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，递减区间有一个，为(x1，x2)，x＝x1是极大值点，x＝x2是极小值点；当a<0时，f(x)的递减区间有两个，为(－∞，x1)和(x2，＋∞)，递增区间有一个，为(x1，x2)，x＝x1是极小值点，x＝x2是极大值点.
(4)函数f(x)的大致图象如下：
Δ>0 Δ≤0
a>0
a<0
6 巧记“原函数”
微积分基本定理告诉我们要求积分值，找到被积函数的一个原函数是关键，为方便大家使用，下面列举了一些常见函数的原函数.
(1)常数函数c的一个原函数为cx；
(2)xn的一个原函数为(n≠－1，n∈N*)；
(3)cos x的一个原函数为sin x；
(4)sin x的一个原函数为－cos x；
(5)ax的一个原函数为(a>0，a≠1)；
(6)ex的一个原函数为ex；
(7)的一个原函数为ln x(x>0).
温馨提示 一个被积函数的原函数不是唯一的，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用 f(x)dx＝F(b)－F(a)求值，只需找一个最简单的原函数即可.
7 多法求解定积分
用微积分基本定理求定积分 f(x)dx时，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的F(x)，但在求解函数F(x)时经常会遇到复杂的计算，或者找不到函数F(x)等情况，本文介绍几种简化求解定积分的方法.
1.几何法
例1 求定积分 (－x)dx的值.
分析 本题用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦.由 (－x)dx联想到圆(x－1)2＋y2＝1的一部分与直线y＝x，用定积分的几何意义进行求解则比较简捷.
解 (－x)dx表示圆(x－1)2＋y2＝1的一部分与直线y＝x所围成的图形(如图所示的阴影部分)的面积，因此 (－x)dx＝－×1×1＝－.
点评 数形结合思想在这里得到了充分的体现.运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力和逻辑推理能力.
2.函数性质法
例2 求 －lgdx的值.
解 记f(x)＝lg，易知定义域为(－1,1)，
因为f(－x)＝lg＝lg()－1＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，因此有 －lgdx＝0.
点评 从定积分的定义(或几何意义)可知：偶函数f(x)有 f(x)dx＝2 f(x)dx；奇函数f(x)有 f(x)dx＝0.
3.转化法
例3 计算定积分eq \i\in(0,,)sin2dx的值.
解 eq \i\in(0,,)sin2dx＝eq \i\in(0,,)eq \f(1－cos x,2)dx
＝eq \i\in(0,,)eq \f(1,2)dx－eq \i\in(0,,)cos xdx
＝x－sin x＝－·0－sin＋sin 0
＝－.
点评 较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.
4.分段法
例4 求定积分x|x|dx的值.
解 因为f(x)＝x|x|＝
所以x|x|dx＝ (－x2)dx＋x2dx
＝－＋＝－＋＝.
点评 这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，从而去掉绝对值.
5.换元法
例5 求抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积.
解 方法一 选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和.
解
得
所以交点为A(2，－2)，B(8,4).
选取x为积分变量，
则0≤x≤8.
因此S＝2dx＋(－x＋4)dx
＝＋＝18.
方法二 选取纵坐标y为积分变量，
则－2≤y≤4，所求图中阴影部分的面积为
S＝dy＝＝18.
点评 从上述两种解法中可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求解平面图形的面积时，积分变量的选取至关重要.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是x＝φ(y)，本题需将条件中的曲线方程、直线方程化为x＝，x＝y＋4的形式，然后求面积.
8 利用定积分速求面积
1.巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.
例1 求直线y＝2x＋3与抛物线y＝x2所围成的图形的面积.
分析 解此类题的一般步骤是：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上、下限；④计算.
解 画出图象如图所示，
解方程组
得A(－1,1)，B(3,9).
故所求图形的面积为
(2x＋3－x2)dx＝＝.
点评 本题若选纵坐标y为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便.另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.
2.妙用对称
在求平面图形的面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，这也是简化计算过程的常用手段.
例2 求由两条曲线y＝x2,4y＝x2和直线y＝1所围成的图形的面积.
分析 先画图象，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解.
解 如图，因为y＝x2,4y＝x2是偶函数，根据对称性，只需算出y轴右边的图形的面积再乘以2即可.
解方程组和
得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1).
所以S＝2
＝2＝.
点评 巧用对称性能简化解题.
3.恰到好处的分割
例3 求两曲线y＝sin x与y＝sin 2x在[0，π]上围成的图形的面积.
分析 先画图象，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积.
解 如图，令sin x＝sin 2x，得交点的横坐标为x＝0，x＝，x＝π.
由图形分割，得
S＝eq \i\in(0,,) (sin 2x－sin x)dx＋eq \i\in(,π,) (sin x－sin 2x)dx＝.
点评 类似本题图形的面积的求法，适当的分割是关键，应注意掌握这种分割的处理方法.
4.进行适当转换
例4 求正弦曲线y＝sin x，x∈[0，]和直线x＝及x轴围成的平面图形的面积.
解 由图可知，当x∈[0，π]时，曲线y＝sin x位于x轴的上方，当x∈[π，]时，曲线y＝sin x位于x轴的下方.
因此所求面积应为两部分面积的和，即
S＝eq \i\in(0,,)|sin x|dx＝ sin xdx－eq \i\in(π,,)sin xdx
＝－cos x＋
＝2＋1＝3.
点评 对于y＝f(x)和x＝a，x＝b(a(1)若f(x)>0，则 f(x)dx>0，S＝ f(x)dx；
(2)若f(x)<0，则 f(x)dx<0，S＝∣ ∣f(x)∣dx ∣
＝－ f(x)dx；
(3)若a当c≤x≤b时，f(x)>0，则 f(x)dx<0， f(x)dx>0，所以S＝－ f(x)dx＋ f(x)dx.第1章 导数及其应用
知识点一 导数的概念
1．定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
2．几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，表示为f′(x0)，其切线方程为 ．
知识点二 基本初等函数的导数公式
1．c′＝0.
2．(xα)′＝ .
3．(ax)′＝ (a>0)．
4．(ex)′＝ .
5．(logax)′＝()′＝(a>0，且a≠1)．
6．(ln x)′＝.
7．(sin x)′＝ .
8．(cos x)′＝ .
知识点三 导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝ ．
2．[f(x)·g(x)]′＝ ．
3．[]′＝ (g(x)≠0)．
知识点四 复合函数的求导法则
1．复合函数记法：y＝f(g(x))．
2．中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．
3．逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.
知识点五 函数的单调性、极值与导数
1．函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值与导数
(1)极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时，________，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
(2)极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的______与______处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是________，最小的一个就是______．
知识点六 微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx＝________.
知识点七 定积分的性质
1． kf(x)dx＝ (k为常数)．
2． [f1(x)±f2(x)]dx＝ .
3． f(x)dx＝ (其中a类型一 导数的概念与几何意义
例1 (1)若曲线f(x)＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
(2)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
①求a的值；
②求f(x)在x＝3处的切线方程．
反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1 直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.
类型二 函数的单调性、极值、最值问题
例2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
反思与感悟 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
类型三 生活中的优化问题
例3 某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．
反思与感悟 解决优化问题的步骤：
(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．
(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
跟踪训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
类型四 定积分与微积分基本定理
例4 (1)设f(x)＝则 f(x)dx＝________.
(2)如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.
反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤：
(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状．
(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标．
(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．
(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．
跟踪训练4 求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积．
1．已知函数f(x)＝ax2－2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，则a＝________.
2．体积为16π的圆柱，它的半径为________时，圆柱的表面积最小．
3．设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求M的面积．
4．已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．
2．借助导数研究函数的单调性，经常同三角函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．
3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．
4．不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．
答案精析
问题导学
知识点一
2．y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
知识点二
2．αxα－1 3.axln a 4.ex 6. 7.cos x
8．－sin x
知识点三
1．f′(x)±g′(x)
2．f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 3.
知识点五
1．f′(x)>0 f′(x)<0
2．(1)f′(x)>0 f′(x)<0
(2)f′(x)<0 f′(x)>0
3．(2)极值 端点 最大值 最小值
知识点六
F(b)－F(a)
知识点七
1．k f(x)dx 2. f2(x)dx
3． f(x)dx＋ f(x)dx
题型探究
例1 (1)－1
解析 f′(1)＝k＋1＝0，k＝－1.
(2)解 ①f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
f′(x)min＝－a2－9，
由题意知－a2－9＝－10，
∴a＝1或－1(舍去)．
故a＝1.
②由①得a＝1.
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
跟踪训练1 －15
解析 令f(x)＝x3＋ax＋1，
由题意知f(2)＝3，则a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x＋1.
∴f′(2)＝3×22－3＝9＝k，
又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，
∴b＝3－9×2＝－15.
例2 (1)解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 极小值 ?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.
跟踪训练2 解 (1)当a＝－4时，由f′(x)＝＝0，
得x＝或x＝2.
由f′(x)>0，得x∈(0，)或x∈(2，＋∞)，
故函数f(x)的单调递增区间为(0，)和(2，＋∞)．
(2)因为f′(x)＝，a<0，
由f′(x)＝0得x＝－或x＝－.
当x∈(0，－)时，f(x)单调递增；
当x∈(－，－)时，f(x)单调递减；
当x∈(－，＋∞)时，f(x)单调递增，
易知f(x)＝(2x＋a)2≥0，
且f(－)＝0.
①当－≤1，即－2≤a<0时，
f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，
由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，
得a＝±2－2，均不符合题意．
②当1<－≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(－)＝0，不符合题意．
③当－>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8，
由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8，得a＝－10或a＝－6(舍去)，
当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，
f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．
综上有a＝－10.
例3 解 (1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，
则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，
所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，
即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)．
由此获得的收益是g(x)(百万元)，
则g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，
所以g′(x)＝－x2＋4.
令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，
所以当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司由此获得的收益最大．
跟踪训练3 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
故V′(r)＝(300－12r2)，
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5，5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
例4 (1)
解析 f(x)dx＝ x3dx＋ (3－2x)dx＝＋(3x－x2)|＝.
(2)解 方法一 由得x＝1或x＝4，
故A(1，－1)，B(4,2)，如图所示，
S＝2 dx＋ (－x＋2)dx
＝2×x|＋(x－x2＋2x)|
＝2×＋[(×4－×42＋2×4)－(－＋2)]
＝.
方法二 由得y1＝－1，y2＝2，
∴S＝ (y＋2－y2)dy＝(y2＋2y－y3)＝.
跟踪训练4
解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积．
由x2－1＝0得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，
因此所求图形的面积为
S＝ |x2－1|dx＋ (x2－1)dx
＝ (1－x2)dx＋ (x2－1)dx
＝＋
＝(1－)－(－1＋)＋(×23－2)－(－1)＝.
达标检测
1. 2.2
3.解 函数y＝－x2＋2x，y＝x2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．
由图可知，图形M的面积
S＝ (－x2＋2x－x2)dx
＝ (－2x2＋2x)dx
＝＝.
4．解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－.
(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为
f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．