3．1.1 空间向量及其线性运算
[学习目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的线性运算及运算律，理解空间向量线性运算及其运算律的几何意义．
知识点一 空间向量的概念
在空间中，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模．
知识点二 空间向量的加减法
(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图)
＝＋＝a＋b；
＝－＝a－b.
(2)运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
知识点三 空间向量的数乘运算
(1)定义
实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.λa的长度是a的长度的|λ|倍．如图所示．
(2)运算律
分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb；
结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
知识点四 共线向量定理
(1)共线向量的定义
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b.
(2)充要条件
对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.
思考 (1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．对吗？
(2)零向量没有方向．对吗？
(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致．对吗？
答案 (1)正确．起点相同，终点也相同的两个向量相等．
(2)错误．不是没有方向，而是方向任意．
(3)正确．
题型一 空间向量的概念
例1 判断下列命题的真假．
(1)空间中任意两个单位向量必相等；
(2)方向相反的两个向量是相反向量；
(3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
(4)向量与的长度相等．
解 (1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．
(2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．
(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．
(4)真命题．因为与仅是方向相反，但长度是相等的．
反思与感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝3.
题型二 空间向量的线性运算
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是________．(填序号)
①－－；
②＋－；
③－－；
④－＋.
答案 ①②
解析 (1)－－＝－＝；
(2)＋－＝＋＝；
(3)－－＝－＝－＝≠；
(4)－＋＝＋＋＝＋≠.
反思与感悟 运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
跟踪训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是________．(填序号)
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.
答案 ①②③④
解析 ①(＋)＋＝＋＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.所以所给四个式子的运算结果都是.
题型三 空间向量的共线问题
例3 设e1、e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，求k的值．
解 ∵＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，
又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝，
∴k＝－8.
反思与感悟 灵活应用共线向量定理，正确列出比例式．
跟踪训练3 设两非零向量e1、e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．
解 ∵＝＋
＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1＋e2)，
∴＝5，
又∵B为两向量的公共点，
∴A、B、D三点共线．
1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的________条件．
答案 必要不充分
解析 a＝b |a|＝|b|；|a|＝|b|a＝b.
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有________个．
答案 7
解析 ||＝||＝||＝||＝||＝||
＝||＝||.
3．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反；
②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；
③空间向量的减法满足结合律；
④在四边形ABCD中，一定是＋＝.
答案 ②
解析 若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在 ABCD中，才有＋＝，故④不正确．
4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是________．(填序号)
①－a＋b＋c②a＋b＋c
③－a－b＋c④a－b＋c
答案 ①
解析 ＝＋＝(－)＋
＝－a＋b＋c.
5．下列命题中正确的个数是________．
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若a，b，c为任意向量，则(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内．
答案 3
解析 由单位向量的定义知|a|＝|b|＝1，故①正确；因相等向量不一定有相同的起点和终点，所以②错误；由向量加法运算律知③正确；在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点，两向量所在直线确定一个平面，这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确．
1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．
2．向量可以平移，任意两个向量都可以平移到同一个平面内．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．3．1.2 共面向量定理
[学习目标] 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．
知识点一 共面向量
能平移到同一平面内的向量叫做共面向量．
知识点二 共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．
知识点三 空间四点共面的条件
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、z使得＝x＋y＋z，且x、y、z满足x＋y＋z＝1，则A、B、C、D共面．
思考
1．空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？
答案 一定共面，反之不成立．
2．空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？
答案 空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量基本定理．
题型一 应用共面向量定理证明点共面
例1 已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋.
(1)判断、、三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解 (1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．
∴＝＋＝－－.
又与不共线．∴向量、、共面．
(2)∵向量、、共面且具有公共起点M，
∴M、A、B、C共面．即点M在平面ABC内．
反思与感悟 利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
跟踪训练1 已知两个非零向量e1、e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．
证明 ∵＋＝5e1＋5e2＝5，∴＝(＋)＝＋，又与不共线．
∴、、共面，又它们有一个公共起点A.
∴A、B、C、D四点共面．
题型二 应用共面向量定理证明线面平行
例2 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，
求证：AB1∥平面C1BD.
证明 记＝a，＝b，＝c，则
＝a＋c，＝－
＝a－b，
＝＋＝b＋c，
所以＋＝a＋c＝，又与1不共线，
所以，，共面．
又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD.
反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．
跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC1上和棱BC上分别取点M、N，使＝k，＝k (0≤k≤1)．
求证：MN∥平面ABB1A1.
证明 ＝k·＝k(＋)＝kb＋kc，
又∵＝＋＝a＋k＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb，
∴＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc
＝(1－k)a－kc.又a与c不共线．
∴与向量a，c是共面向量．
又MN不在平面ABB1A1内，
∴MN∥平面ABB1A1.
题型三 向量共线、共面的综合应用
例3 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．试用向量方法证明E，F，G，H四点共面．
解 分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连结MN，NQ，QR，RM.
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝.
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
∴＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(－)＝(＋)．
又＝－＝－＝.
∴＝＋，
由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
反思与感悟 利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．
跟踪训练3 已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.
求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
证明 (1)由＝＋m，＝＋m知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．
(2)∵＝＋m
＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)
＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k＝k(－)＝k，∴＝k.
1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则λ＝________，μ＝________.
答案 0 0
解析 ∵a，b是两个不共线的向量，
∴a≠0，b≠0，∴λ＝μ＝0.
2．给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为________．
答案 1
解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b＝0时，则有无数多个λ使之成立．
3.如图，在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝________.(用a、b、c表示)
答案 －a＋b＋c
解析 ＝＋＋
＝a＋(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c.
4．下列命题中，正确命题的个数为________．
①若a∥b，则a与b方向相同或相反；
②若＝，则A，B，C，D四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．
答案 0
解析 当a，b中有零向量时，①不正确；＝时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确．
5．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是________．
答案 共面向量
解析 如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面．
共面向量定理的应用：
(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面．
(2)空间中四点共面的条件
空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得＝x＋y，①
此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，，实质就是面MAB内平面向量的一组基底．
另外有＝＋x＋y，②
或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，③
①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．3．1.3 空间向量基本定理
3．1.4 空间向量的坐标表示
[学习目标] 1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算．
知识点一 空间向量基本定理
(1)定理
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.
(2)基底与基向量
如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示．我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
(3)正交基底与单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．
(4)推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋y＋z.
知识点二 空间向量的坐标表示
空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别为x，y，z轴方向上的单位向量，对于空间任意一个向量a，若有a＝xi＋yj＋zk，则有序实数组(x，y，z)叫向量a在空间直角坐标系中的坐标．
特别地，若A(x，y，z)，则向量的坐标为(x，y，z)．
知识点三 坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
λa＝(λa1，λa2，λa3) (λ∈R)．
a∥b(a≠0) b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3 (λ∈R)．
思考 (1)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算表达形式上有什么不同？
(2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，类比平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？
答案 (1)空间向量的坐标运算多3个竖坐标．
(2)a∥b ＝＝.
题型一 空间向量的基底
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
解 假设，，共面．
则存在实λ，μ使得＝λ＋μ，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
∴，，不共面，
∴{，，}可以作为空间的一个基底．
反思与感悟 空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
跟踪训练1 已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是________．(填序号)
① ②
③ ④或
答案 ③
解析 ∵＝a－b且a，b不共线，
∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基底．
题型二 用基底表示向量
例2 如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
解 连结BO，则＝
＝(＋)＝(c－b－a)
＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
反思与感悟 (1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的；
(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
跟踪训练2 如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2).
解 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中连结AC，AD1，
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝a＋b＋c.
题型三 空间向量的坐标表示
例3 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量的坐标．
解 以AD，AB，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，
则M(0，，0)，N(，，)．∴＝(，0，)．
反思与感悟 建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．
跟踪训练3 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量、的坐标．
解 如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，
且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
所以可设＝e1，＝e2，＝e3.
以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A－xyz.
因为＝＋＋＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
所以＝，＝(0,1,0)．
1．已知A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值分别为________．
答案 2,10,7
解析 ∵A与A′关于x轴对称，
∴
2．与向量m＝(0,1，－2)共线的向量是________．(填序号)
①(2,0，－4) ②(3,6，－12)
③(1,1，－2) ④(0，，－1)
答案 ④
解析 ∵(0，，－1)＝m，
∴与m共线的向量是(0，，－1)．
3．已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是________．(填序号)
①2a； ②－b； ③c； ④a＋c.
答案 ③④
解析 ∵p＝2a－b，q＝a＋b，
∴p与q共面，a、b共面．
而c与a、b不共面，
∴c与p、q可以构成另一个基底，
同理a＋c与p、q也可构成一组基底．
4.如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.＝________，＝________.
答案 (－2,0,1) (1,1,2)
解析 ∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，
∴＝(0,0,1)－(2,0,0)＝(－2,0,1)，＝(1,1,2)．
5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为________．
答案 a－b＋c
解析 ∵＝－2，
∴－＝－2(－)，
∴b－a＝－2(－c)，
∴＝a－b＋c.
1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底惟一表示．
2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．3．1.5 空间向量的数量积
[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．
知识点一 空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法 〈a，b〉
范围 〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝时，a_⊥_b
知识点二 空间向量的数量积
(1)定义
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)
交换律 a·b＝b·a
分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c
(3)数量积的性质
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
④|a·b|≤|a|·|b|
题型一 空间向量的数量积运算
例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
解 (1)·＝·
＝||·||·cos〈，〉
＝×1×1×cos 60°＝，
所以·＝.
(2)·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 0°＝，
所以·＝.
(3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－，
所以·＝－.
(4)·＝(＋)·(＋)
＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]
＝[－·－·＋(－)·＋·]
＝(－－＋－＋)＝－.
反思与感悟 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练1 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
答案 －13
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
题型二 利用数量积求夹角
例2
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
解 因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
反思与感悟 利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．
跟踪训练2 如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.
证明 ·＝(＋＋)·＝(＋＋)·
＝(＋＋－)·
＝a2＋a2cos 120°＋a2cos 60°－a2cos 60°＝0，
所以⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.
题型三 利用数量积求距离
例3 正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．
解 如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以EF2＝||2＝2＝a2＋b2＋c2
＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝.
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练3 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
解 ∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈，〉＝120°.
∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，
∴||2＝·＝(＋＋)(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×(－)＝68，
∴||＝2，故CD的长为2.
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的________条件．
答案 充分不必要
解析 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b| cos〈a，b〉＝1 〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|＝________.
答案
解析 ∵|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2
＝1－6×cos 60°＋9＝7.∴|a－3b|＝.
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是________．(填序号)
①若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；
④若a·b＝a·c，则b＝c.
答案 ②
解析 对于①，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于③，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于④，a·b＝a·c可以移项整理得a·(b－c)＝0.
4．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.
答案 1
解析 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左、右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
5．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝________.
答案
解析 由题意知即
将①×2－②得，2a2－b2＝0，
∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，
故|b|＝.
求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模．3．2.1 直线的方向向量与平面的法向量
[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．
知识点一 直线的方向向量
直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．
知识点二 平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．
思考
1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？
答案 相互平行．
2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？
答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等．
题型一 直线的方向向量及其应用
例1 设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
答案 2
解析 由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m＝2.
反思与感悟 若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行．
跟踪训练1 若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________．
答案 垂直
解析 因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2.
题型二 求平面的法向量
例2 如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．
解 如图，以A为原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，D(，0,0)，
C(1,1,0)，S(0,0,1)，
则＝(，1,0)，
＝(－，0,1)．
易知向量＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．
设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，
则即
取x＝2，则y＝－1，z＝1，
∴平面SDC的一个法向量为(2，－1,1)．
反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；
(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(3)联立方程组并求解；
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量．
跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．
解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
由题意知＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．
∵n⊥，n⊥，∴
解得令x＝1，则y＝z＝1.
∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．
题型三 证明平面的法向量
例3 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．
求证：是平面ADE的法向量．
证明 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则
D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0，，0)，
所以＝(－1,0,0)，＝(0，，－1)，
＝(0,1，)，
所以·＝(－1,0,0)·(0，，－1)＝0，
·＝(0,1，)·(0，，－1)＝0，
所以⊥，⊥，又AD∩AE＝A，
所以⊥平面ADE，
从而是平面ADE的法向量．
反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．
跟踪训练3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在BC、DD1上是否存在点E、F，使是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由．
解
建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)，B1(1,1,0)，
设F(0,0，h)，E(m,1,1)，
则＝(0,1,0)，＝(m－1,0,1)，＝(1,0,1－h)．
∵·＝0，∴AB⊥B1E.若是平面ABF的法向量，则·＝m－1＋1－h＝m－h＝0，∴h＝m.即E、F满足D1F＝CE时，是平面ABF的法向量．
故存在，且E、F满足D1F＝CE.
利用向量法判断直线与平面平行
例4 已知u是平面α的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u＝(3,1,2)，a＝(－2,2,2)，则l与α的位置关系是________．
错解 因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)
＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0，
所以u⊥a，所以l∥α.
错因分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别．实际上，本例中由向量u⊥a可得l α或l∥α.
正解 因为u·a＝(3,1,2)·(－2,2,2)
＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0.
所以u⊥a，所以l α或l∥α.
答案 l α或l∥α
1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则x＝________，y＝________.
答案 6
解析 由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.
2．在正方体ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是____________________．
答案 或或或
3．若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是________．
①(0,1,2) ②(3,6,9) ③(－1，－2,3) ④(3,6,8)
答案 ②
解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．
4．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m＝________.
答案 －8
解析 ∵l∥α，平面α的法向量为(1，，2)，
∴(2，m,1)·(1，，2)＝0.
∴2＋m＋2＝0.∴m＝－8.
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是________．(填序号)
①；②；③；④.
答案 ②③
解析 ∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，
∴与可以作为平面ABC的法向量．
1.直线的方向向量的应用
利用方向向量可以确定空间中的直线．若有直线l，点A为直线上的点，向量a是l的方向向量，在直线l上取＝a，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使＝t，这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置还可以具体地表示出直线l上的任意点．
2．平面的法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
(3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组
(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．3．2.2 空间线面关系的判定(一)平行关系
[学习目标] 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.2.能用向量方向证明有关线、面位置关系的一些定理.3.能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行关系．
知识点 空间平行关系的向量表示
(1)线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m a∥b a＝λb a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
(2)线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
(3)面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β u∥v u＝λv a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
思考
1．用向量法如何证明线面平行？
答案 证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可．
2．直线l的方向向量是惟一的吗？
答案 不惟一．
题型一 证明线线平行问题
例1 已知直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．
证明：l1∥l2.
证明 ∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，
∴a＝－b，∴a∥b，即l1∥l2.
反思与感悟 两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面．
跟踪训练1 已知在四面体ABCD中，G、H分别是△ABC和△ACD的重心，则GH与BD的位置关系是________．
答案 平行
解析 设E、F分别为BC和CD的中点，则＝＋＝(＋)＝，所以GH∥EF，所以GH∥BD.
题型二 证明线面平行问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.
证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.
方法一 连结AC，交BD于点G，连结EG，
依题意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，，)．
因为四边形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(，，0)，
所以＝(，0，－)．
又＝(a,0，－a)，
所以＝2，这表明PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法二 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
＝(0，，)，＝(a，，－)，
则有即
即
令y＝－1，则所以n＝(1，－1,1)，
又＝(a,0，－a)，
所以n·＝(1，－1,1)·(a,0，－a)＝a－a＝0.
所以n⊥.所以PA∥平面EDB.
方法三 假设存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，
即(a,0，－a)＝λ(0，，)＋μ(a，，－)，
则有
解得
所以＝－＋，
所以PA∥平面BDE.
反思与感悟 通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定＝λ＋μ中λ和μ是否存在的问题．
跟踪训练2 如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.
解 ∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，
如图，建立空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0)．
不妨令P(0,0，t)，
∴＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，
设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)，
由得
令z＝1，解得x＝y＝，
∴n＝(，，1)．
设点G的坐标为(0,0，m)，
又E(，0,0)，则＝(－，0，m)．
要使EG∥平面PFD，只需·n＝0，
即(－)×＋0×＋m×1＝0，
即m－＝0，
解得m＝t，从而满足AG＝AP的点G即为所求．
题型三 证明平面和平面平行问题
例3 如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．
解 如图，建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，
易得E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,1,2)，
M(1,2,1)，N(0,1,1)．
∴＝(0，－1,1)，＝(1,0,1)，
＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG，平面HMN的法向量，
由得
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由得
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．∴m＝n，故m∥n，
即平面EFG∥平面HMN.
反思与感悟 证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
跟踪训练3 设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________.
答案 4
解析 ∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k)，
∴∴λ＝－，k＝4.
1．若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是________．(填序号)
①(2,2,6) ②(－1,1,3)
③(3,1,1) ④(－3,0,1)
答案 ①
解析 ∵A，B在直线l上，∴＝(1,1,3)，与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量．
2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则下列结论正确的是________．(填序号)
①l∥α ②l α
③l⊥α ④l α或l∥α
答案 ④
解析 ∵a·b＝0，∴l α或l∥α.
3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是________．
答案 平面yOz
解析 因为＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，
所以AB∥平面yOz.
4．若平面α、β的法向量分别为n1＝(1,2，－2)，n2＝(－3，－6，6)，则平面α，β的位置关系是________．
答案 平行
解析 ∵n2＝－3n1，∴n1∥n2，∴α∥β.
5.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
以上结论中正确的是__________．(填序号)
答案 ①③④
解析 ∵＝－＝－＝，
∴A1M∥D1P.
∵D1P 平面D1PQB1，∴A1M∥平面D1PQB1.
又D1P 平面DCC1D1，∴A1M∥平面DCC1D1.
∵B1Q为平面DCC1D1的斜线，
∴B1Q与D1P不平行，∴A1M与B1Q不平行．
用向量方法证明空间中的平行关系
(1)线线平行
设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝kb (k∈R)．
(2)线面平行
①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
②根据线面平行的判定定理：“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．
③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外的一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
(3)面面平行
①转化为线线平行、线面平行处理．
②证明这两个平面的法向量是共线向量．3．2.2 空间线面关系的判定(二)垂直关系
[学习目标] 1.会利用平面法向量证明两个平面垂直.2.能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直(线线、线面、面面)关系．
知识点 空间垂直关系的向量表示
空间中的垂直关系
线线垂直 线面垂直 面面垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m a⊥b a·b＝0 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α a∥u a＝ku，k∈R 设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β u⊥v u·v＝0
思考
1．用向量法如何证明线面垂直？
答案 证直线的方向向量与平面的法向量平行．
2．平面α上的向量a与平面β上的向量b垂直，能判断α⊥β吗？
答案 不能．
题型一 证明线线垂直问题
例1 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.
证明 由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，
因而E(0，，)，F(，，0)，
所以＝(，0，－)，＝(0,2,0)，
因此·＝0.
从而⊥，所以EF⊥BC.
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足为A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证AE⊥CD.
证明 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
设PA＝AB＝BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,1)．
∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．
∴C(，，0)，E(，，)．
设D(0，y,0)，由AC⊥CD得·＝0，
即y＝，则D(0，，0)，
∴＝(－，，0)．
又＝(，，)，
∴·＝－×＋×＝0，
∴⊥，即AE⊥CD.
题型二 证明线面垂直问题
例2 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.
证明 方法一 设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，
E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)
＝(－1，－1，1)．
＝(2,2,2)－(2,0,0)
＝(0,2,2)，
＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．
而·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)
＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.
·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1 平面B1AC，AC 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
方法二 设＝a，＝c，＝b，
则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
∵ ＝＋＝a＋b.
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2＋c·a＋c·b)
＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1，
同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，AB1 平面B1AC，B1C 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
反思与感悟 本类型题目用向量法证明的关键步骤是建立空间直角坐标系，用坐标表示向量或用基底表示向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
证明 方法一 如图取D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，
则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，
G(0,2,1)，B(2,2,0)，
D(0,0,0)，
∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，
而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0.
∴⊥，⊥，
即OA1⊥OB，OA1⊥BG，
而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.
方法二 同方法一建系后，设面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则∴
令x＝1得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，
显然＝(－1,1，－2)＝－n，
∴∥n，∴A1O⊥平面GBD.
题型三 证明面面垂直问题
例3 如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
证明 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，，)，连结AC，设AC与BD相交于点O，连结OE，则点O的坐标为(，，0)．
因为＝(0,0,1)，＝(0,0，)，
所以＝，所以∥.
又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，
又OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
反思与感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
跟踪训练3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，
故＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝(－2,0，)．
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得y＝1，故n＝(1,1,0)．
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
则即
令c＝4，得a＝1，b＝－1.
故n2＝(1，－1,4)．
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
所以n1⊥n2.
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝________.
答案 －5
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
2．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________.
答案 10
解析 ∵l1⊥l2，∴a·b＝0，
∴－2×3－2×2＋m＝0，∴m＝10.
3．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是________．(填序号)
①n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)
②n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)
③n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)
④n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)
答案 ①
解析 ∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，
∴n1·n2＝0，故填①.
4．若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为________．
答案 l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
5．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.
答案 －4
解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0，
∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
正确应用向量方法解决空间中的垂直关系
(1)线线垂直
设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1⊥l2，只要证明a⊥b，即a·b＝0.
(2)线面垂直
①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证l⊥α，只需证明a∥u.
②根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．即：
设a、b在平面α内(或与平面α平行)且a与b不共线，直线l的方向向量为c，则l⊥α c⊥a且c⊥b a·c＝b·c＝0.
(3)面面垂直
①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．
②证明两个平面的法向量互相垂直．3.2.3 空间的角的计算
[学习目标] 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．
知识点一 两条异面直线所成的角
(1)定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做a与b所成的角．
(2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤.
(3)向量求法：设直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为φ，则a，b所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝.
知识点二 直线与平面所成的角
(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．
(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤.
(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有
sin θ＝|cos φ|＝或cos θ＝sin φ.
知识点三 二面角
(1)二面角的取值范围：[0，π]．
(2)二面角的向量求法：
①若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角的大小就是向量与的夹角．
②设n1、n2是二面角α-l-β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．
题型一 两条异面直线所成角的向量求法
例1 如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
解 以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝＝
＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围．
跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．
解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
设E(1，t,0)(0≤t≤2)，
则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，
根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝×·cos 60°，
所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．
题型二 直线与平面所成角的向量求法
例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M(0，，a)，
C1(－a，，a)，B(0，a,0)，
故＝(－a，，a)，
＝(0，，a)，
＝(－a，－，a)．
设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z)．
则∴
令y＝2，则z＝－，x＝0.∴n＝(0,2，－)．
又＝(－a，－，a)，
∴cos〈，n〉＝＝＝－.
设BC1与平面AMC1所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．
跟踪训练2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
(1)证明 由已知得AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB，MN 平面PAB，所以MN∥平面PAB.
(2)解 取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，
从而AE⊥AD，AE＝＝＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，＝(0，2，－4)，＝，＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
即可取n＝(0，2，1)．
于是cos〈n，〉＝＝.
设AN与平面PMN所成的角为θ，则sin θ＝，
∴直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.
题型三 二面角的向量求法
例3 如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值．
(1)证明 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．
因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以，AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，
且CK∩AC＝C，
所以BF⊥平面ACFD.
(2)解 如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形．
取BC的中点O，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.
以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，
建立空间直角坐标系O－xyz.
由题意得B(1，0，0)，C(－1，0，0)，K(0，0，)，A(－1，－3，0)，E，F.
因此，＝(0，3，0)，＝(1，3，)，＝(2，3，0)．
设平面ACK的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
由得
取m＝(，0，－1)；
由得
取n＝(3，－2，)．
于是，cos〈m，n〉＝＝.
所以，二面角B－AD－F的平面角的余弦值为.
反思与感悟 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面所成角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：
(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．
(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1，n2.
(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝.
(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.
跟踪训练3 在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．
(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
(2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求二面角F－BC－A的余弦值．
(1)证明 设FC中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为点G是CE的中点，所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC，又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH 平面GHI，所以GH∥平面ABC.
(2)连接OO′，则OO′⊥平面ABC.又AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题意得B(0，2，0)，
C(－2，0，0)．过点F作FM垂直OB于点M，
所以FM＝＝3，可得F(0，，3)．
故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3)．
设m＝(x，y，z)是平面BCF的一个法向量．
由可得可得平面BCF的一个法向量m＝，
因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
所以二面角F－BC－A的余弦值为.
1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为________．
答案 30°
解析 由cos〈m，n〉＝－知，
直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．
答案 45°或135°
解析 ∵cos〈m，n〉＝＝，
∴二面角的大小为45°或135°.
3．在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为________．
答案 90°
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设BB1＝1，则A(0,0,1)，
B1，C1(0，，0)，
B.
∴＝，
＝，
∴·＝－－1＝0，∴⊥.
即AB1与C1B所成角的大小为90°.
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________．
答案
解析 设正方体的棱长为1，建系如图．
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，
B1(1,1,1)．
平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)．
又＝(0,0,1)，
则cos〈，〉＝＝＝.
故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为＝.
5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为________．
答案
解析 如图，建立空间直角坐标系．
由已知得A1(4,0,0)，B(4,4,3)，B1(4，4,0)，C(0,4,3)．
∴＝(0,4,3)，
＝(－4,0,3)，
∴cos〈，〉＝.
利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．第3章 空间向量与立体几何
1．空间向量的运算及运算律
空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立．
2．两个向量的数量积的计算
向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．
3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题．
4．空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．
5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解．
6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法．
1．数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的．空间向量是既有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过程顺畅、简捷、有效，提高解题速度．
例1 某几何体ABC－A1B1C1的三视图和直观图如图所示．
(1)求证：A1C⊥平面AB1C1；
(2)求二面角C1－AB1－C的余弦值．
(1)证明
由三视图可知，在三棱柱ABC－A1B1C1中，
AA1⊥底面A1B1C1，B1C1⊥A1C1，且AA1＝AC＝4，BC＝3.
以点C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
由已知可得A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)，
∴＝(4,0,4)，＝(4,0，－4)，＝(0,3,0)，
∴·＝0，·＝0，
∴CA1⊥C1A，CA1⊥C1B1，
又C1A∩C1B1＝C1，C1A 平面AB1C1，
C1B1 平面AB1C1，
∴A1C⊥平面AB1C1.
(2)解 由(1)得，＝(4,0,0)，＝(0,3,4)，
设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，
∵⊥n，⊥n，∴即
令y＝1，则z＝－，∴n＝(0,1，－)，
又由(1)知，平面AB1C1的一个法向量为＝(4,0,4)，
∴cos〈n·〉＝＝＝－，
∴二面角C1－AB1－C的余弦值为.
跟踪训练1 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)，
所以＝(0,2,1)，
＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.
又因为FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥，n2⊥，
得得
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，
因为n1＝n2，所以n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
2．转化和化归思想
转化和化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．其本质含义是：在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的．
例2 如图所示，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD＝EA＝1.
(1)求多面体EABCDF的体积；
(2)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；
(3)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
解 (1)如图所示，连结ED，
∵EA⊥底面ABCD且FD∥EA，
∴FD⊥底面ABCD，
∴FD⊥AD，
∵DC⊥AD，FD∩CD＝D，
FD 平面FDC，CD 平面FDC，
∴AD⊥平面FDC，
∴VE－FCD＝AD·S△FDC＝××1×2×2＝.
VE－ABCD＝EA·S ABCD＝×2×2×2＝，
∴多面体EABCDF的体积V多面体＝VE－FCD＋VE－ABCD＝.
(2)以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AE所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．
由已知可得A(0,0,0)，E(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，F(0,2,1)，∴＝(2,2，－2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2，－1)，
设平面ECF的法向量为
n＝(x，y，z)，
则得
取y＝1，得平面ECF的一个法向量为n＝(1,1,2)，
设直线EB与平面ECF所成角为θ，
∴sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝||＝.
(3)如图所示，取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求．
跟踪训练2
如图，四棱锥FABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝.CF与平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角BAFD的大小．
解 过点A作AE⊥平面ABCD.
以A为坐标原点，、、方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．
于是B，
D，F(0,2,2)．
设平面ABF的法向量
n1＝(x，y，z)，
则由得
令z＝1，得 所以n1＝(－，－1,1)．
同理，可求得平面ADF的法向量n2＝(，－1,1)．
由n1·n2＝0知，平面ABF与平面ADF垂直，
所以二面角BAFD的大小等于.
3．方程思想
方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．用空间向量解决立体几何问题属于用代数方法求解，很多时候需引入未知量．
例3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB的距离和点N到AP的距离．
解 (1)以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
则A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，D(0,1,0)，E(0，，1)，
从而＝(，1,0)，＝(，0，－2)．
设与的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
所以AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于点N在侧面PAB内，
故可设点N的坐标为(x,0，z)，
则＝(－x，，1－z)．
由题意知＝(0,0,2)，＝(，1,0)，
由NE⊥平面PAC，得
即
化简得∴
即点N的坐标为(，0,1)，
所以点N到AB的距离为1，点N到AP的距离为.
跟踪训练3如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．
(1)求点C到平面A1ABB1的距离；
(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．
解 (1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AA1∩AB＝A，AA1 平面A1ABB1，AB 平面A1ABB1，故CD⊥平面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD＝＝.
(2)如图，过点D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.
设直三棱柱的高为h，则A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，从而＝(4,0，h)，＝(2，，－h)，
由⊥，有8－h2＝0，h＝2.
故＝(－2,0,2)，＝(0,0,2)，＝(0，，0)．
设平面A1CD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则m⊥，m⊥，即
取z1＝1，得m＝(，0,1)．
设平面C1CD的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则n⊥，n⊥，即
取x2＝1，得n＝(1,0,0)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值为.
空间向量的引入为立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题解决的过程之中，成为高考必考的热点之一．
(1)对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空间中的线线角、线面角以及二面角的求解；空间中简单的点点距和点面距的求解．给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年考查中已有体现．题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间向量的基本概念和运算．
(2)空间向量的引入使空间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数字运算问题，降低了思维的难度，成为高考必考的热点．考查的重点是结合空间几何体的结构特征求解空间角与距离，其中二面角是历年高考命题的热点，多为解答题．
(3)利用向量处理平行和垂直问题，主要是解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题．对于垂直，主要利用a⊥b a·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．利用向量处理角度的问题，利用向量求空间角(线线角、线面角、二面角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝进行计算．
