3.1.1 空间向量及其线性运算
3.1.2 共面向量定理
学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.3.了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.4.理解共面向量定理及其应用.
知识点一 空间向量的概念
思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
梳理 (1)在空间，把具有________和________的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的________或________.
空间向量也用有向线段表示，有向线段的________表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为________.
(2)几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫做____________，记为0
单位向量
________的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度________而方向________的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量
方向________且模________的向量称为相等向量，________且________的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量及其线性运算
1.空间向量的线性运算
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：
＝＋＝________；
＝－＝________＝________.
若P在直线OA上，则＝________(λ∈R).
2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
①a＋b＝________；
②(a＋b)＋c＝____________；
③λ(a＋b)＝________(λ∈R).
知识点三 共线向量(或平行向量)
1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.若向量a与b平行，记作________，规定____________与任意向量共线.
2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使________.
知识点四 共面向量及共面向量定理
思考1 当a，b共线时，共面向量定理的理论一定成立吗？
思考2 向量a，b，c共面，表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗？
梳理 共面向量及共面向量定理
共面向量
能平移到同一平面内的向量叫做共面向量
共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得____________
类型一 空间向量的概念及应用
例1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
引申探究
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量；
③试写出与向量相等的所有向量；
④试写出向量的所有相反向量.
反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.
跟踪训练1 给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的命题的序号为________.
类型二 空间向量的线性运算
例2 如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
(1)－；
(2)＋＋.
引申探究
利用例2题图，化简＋＋＋.
反思与感悟 化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止.
首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.
跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.
类型三 向量共线定理的理解与应用
例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.
求证：E，F，B三点共线.
反思与感悟 (1)判定共线：判定两向量a，b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a＝λb.
(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a∥b，则a＝λb(λ∈R).
(3)判定或证明三点(如P，A，B)是否共线：
①是否存在实数λ，使＝λ；
②对空间任意一点O，是否有＝＋t；
③对空间任意一点O，是否有＝x＋y(x＋y＝1).
跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，用，表示向量.
类型四 共面向量定理及应用
例4 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面.
引申探究
本例中增加以下条件：若点O是AC与BD的交点，点M为PC的中点，求证：，，共面.
反思与感悟 向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.
跟踪训练4 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M，满足＝＋＋，判断，，三个向量是否共面.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：
①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋B1C1；④(＋)＋.其中运算的结果为的有________个.
2.化简2＋2＋3＋3＋＝________.
3.设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________.
4.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是________.
5.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.
(1)＋＝3－；(2)＝4－－.
1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
2.证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)利用共面向量证明.
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.
答案精析
问题导学
知识点一
思考 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
梳理 (1)大小 方向 长度 模 长度
|a|或|| (2)零向量 模为1 相等
相反 相同 相等 同向 等长
知识点二
1.a＋c a－b －c λa
2.①b＋a ②a＋(b＋c) ③λa＋λb
知识点三
1.平行 重合 a∥b 零向量
2.b＝λa
知识点四
思考1 不成立.当p与a，b都共线时，存在不惟一的实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立.当p与a，b不共线时，不存在(x，y)使p＝xa＋yb成立.即当a，b共线时，共面向量定理的结论不成立.
思考2 不一定.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能.
梳理 p＝xa＋yb
题型探究
例1 解 (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个.
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝
＝＝＝3.
引申探究
解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个.
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.
④向量的相反向量有，，，.
跟踪训练1 ①②
例2 (1).
(2).
向量、如图所示.
引申探究 0.
跟踪训练2 证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，
＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
(＋)
＝2(＋＋).
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋
＝＋＝.
∴＋＋＝2.
例3 解 设＝a，＝b，＝c，
因为＝2，＝，
所以＝，＝，
所以＝＝b，
＝(－)
＝(＋－)
＝a＋b－c.
所以＝－＝a－b－c
＝(a－b－c).
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝，
又因为与有公共点E，
所以E，F，B三点共线.
跟踪训练3 ＝－.
例4 证明 分别延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.如图所示，
因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
所以M，N，Q，R为所在边的中点，
顺次连结M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有＝，＝，
PG＝，＝.
因为MNQR为平行四边形，
所以＝－
＝－＝
＝(＋)
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(－)
＝＋.
所以由共面向量定理得E，F，G，H四点共面.
引申探究
证明 取CD的中点N，连结ON，NM，
因为M，N分别是PC，CD的中点，
所以PD∥MN，MN＝PD，
所以＝
－，
同理可得＝－，
又因为＝－，
所以＝－＋，
所以，，共面.
跟踪训练4 ，，三个向量共面
当堂训练
1.4 2.0 3.－8 4.②④
5.解 (1)原式可变形为＝3－－.
∵3＋(－1)＋(－1)＝1，
∴点B与点P，A，M共面，
即点P与点A，B，M共面.
(2)原式为＝4－－.
∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，
∴点P与点A，B，M不共面.
3.1.3 空间向量基本定理
3.1.4 空间向量的坐标表示
学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.
知识点一 空间向量基本定理
思考1 平面向量基本定理的内容是什么？
思考2 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？
梳理 空间向量基本定理
(1)定理内容：
①条件：三个向量e1，e2，e3________.
②结论：对空间中任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使________________.
(2)基底：
定义
在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间____________的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个________，________叫做基向量
正交基底与单位正交基底
如果空间一个基底的三个基向量是两两互相________，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是________________时，称这个基底为单位正交基底，通常用________表示
(3)推论：
①条件：O，A，B，C是____________的四点.
②结论：对空间中任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝________________.
知识点二 空间向量的坐标表示
思考1 对于空间任意两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a与b共线，则一定有＝＝吗？
思考2 若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？
梳理 (1)空间向量的坐标表示
①向量a的坐标：在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的________向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在________的有序实数组________，使________，有序实数组________叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作________.
②向量的坐标：对于空间任一点A(x，y，z)，向量是确定的，即＝(x，y，z).
(2)空间中有向线段的坐标表示
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
①坐标表示：＝－＝________________.
②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的________________.
(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，试根据下面的提示填空.
运算
表示方法
加法
a＋b＝________________
减法
a－b＝________________
数乘
λa＝________________(λ∈R)
(4)空间向量平行的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠0，则a∥b?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R).
类型一 空间向量基本定理及应用
命题角度1 空间基底的概念
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底.
反思与感悟 基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.
跟踪训练1 以下四个命题中正确的是________.
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；
③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.
命题角度2 空间向量基本定理的应用
例2 在空间四边形OABC中，点D是边BC的中点，点G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量和.
引申探究
若将本例中的“G是△ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件不变，应如何表示，？
反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键.
跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.
(1)；(2)；(3)；(4).
类型二 空间向量的坐标表示
例3 棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标.
(1)，，；
(2)，，.
引申探究
本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标.
反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3 空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为________.
类型三 空间向量的坐标运算及应用
例4 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4).
(1)求＋，－；
(2)是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立，若存在，求x，y的值；若不存在，请说明理由.
反思与感悟 向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标.特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标.
进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质.
跟踪训练4 已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，求|b－a|的最小值.
1.有下列三个命题
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.
其中为真命题的是________.
2.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝________.
3.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b＝________.
4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________.
5.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
思考2 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直.
梳理 (1)①不共面 ②p＝xe1＋ye2＋ze3 (2)不共面 基底 e1，e2，e3 垂直
单位向量 {i，j，k} (3)①不共面
②x＋y＋z
知识点二
思考1 不一定.当b中的x2，y2，z2中存在0时，式子＝＝无意义，故此种说法错误.
思考2 不一定.由向量的坐标表示知，若向量的起点A与原点重合，则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量的起点A不与原点重合，则B点的坐标就不为(x1，y1，z1).
梳理 (1)①单位 惟一 (x，y，z)
a＝xi＋yj＋zk (x，y，z) a＝(x，y，z)
(2)①(x2－x1，y2－y1，z2－z1)
②终点坐标减去它的起点坐标
(3)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3)
题型探究
例1 解 假设，，共面，
由向量共面的充要条件知存在实数x，y，
使＝x＋y成立.
所以＝e1＋2e2－e3
＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
得解得
故，，共面，不可以构成空间的一个基底.
跟踪训练1 ②③
例2 解 因为＝＋，
而＝，＝－，
又点D为BC的中点，
所以＝(＋)，
所以＝＋
＝＋(－)
＝＋×(＋)－
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c).
而＝－，
又因为＝＝·(＋)＝(b＋c)，
所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)
＝－a.
所以＝(a＋b＋c)，＝－a.
引申探究
解 ＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
＝＝×(＋)
＝(b＋c).
所以＝－
＝(b＋c)－(a＋b＋c)
＝－a＋b＋c.
跟踪训练2 解 连结AC，AD′.
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c).
(2)＝(＋)＝(a＋2b＋c)
＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
＝(＋)＋
＝a＋b＋c.
例3 解 (1)＝＋
＝＋＝＋
＝，＝＋
＝＋＝，
＝＋＋
＝＋＋＝.
(2)＝－＝(＋＋)－(＋)＝＋＝，
＝－＝(＋)－(＋)
＝－－
＝，
＝－＝＋－
＝－＝(1，－，0).
引申探究
解 ＝＋＝－＋
＝(－1,0，)，
＝＋＝－
＝－＋＝(－，1,0)，
＝＋＝(0，，).
跟踪训练3
例4 解 ＝(－1,1,2)－(－2,0,2)
＝(1,1,0)，
＝(－3,0,4)－(－2,0,2)
＝(－1,0,2).
(1)＋＝(1,1,0)＋(－1,0,2)
＝(0,1,2).
－＝(1,1,0)－(－1,0,2)
＝(2,1，－2).
(2)假设存在x，y∈R满足条件，由已知可得＝(－2，－1,2).由题意得
(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)，
所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)，
所以所以
所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立.
跟踪训练4 |b－a|min＝.
当堂训练
1.①② 2.(2，－4,2) 3.(8,0,4)
4.(0,2,1) (2,2,1) 5.a＋b＋c
3.1.5 空间向量的数量积
学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.
知识点一 空间向量的夹角
1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与向量b的夹角，记作________.
2.图形表示：
角度
表示
〈a，b〉＝________
〈a，b〉是________
〈a，b〉是________
〈a，b〉是钝角
〈a，b〉＝________
3.范围：________≤〈a，b〉≤________.
4.空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝，那么称a与b互相垂直，记作________.
知识点二 空间向量的数量积
思考 两个向量的数量积是数量，还是向量？
梳理 (1)定义：
①设a，b是空间两个非零向量，把数量______________叫做a，b的数量积.
②记作：a·b，即a·b＝________________.
(2)运算律：
交换律
a·b＝________________
数乘向量与向量
数量积的结合律
(λa)·b＝________(λ∈R)
分配律
a·(b＋c)＝________
(3)坐标表示：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①a·b＝________________.
②a⊥b?________?________________.
③|a|＝＝________________.
④cos〈a，b〉＝________________________.
知识点三 空间中两点间的距离公式
思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？
梳理 在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝________________________.
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1 空间向量的数量积基本运算
例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.
(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).
反思与感悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.
(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.
跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
(1)·；(2)·；(3)·.
反思与感悟 两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)(＋ )·(＋)；(2)|＋＋|.
类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角
例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.
反思与感悟 利用向量求异面直线夹角的方法
跟踪训练3 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l?α，且l⊥OA.
求证：l⊥PA.
命题角度2 利用数量积求模(或距离)
例4 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
反思与感悟 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可.
跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
反思与感悟 (1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.
跟踪训练5 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________.
1.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为________.
2.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________.
3.已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________.
4.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________.
5.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________.
1.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
2.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.
答案精析
问题导学
知识点一
1.∠AOB 〈a，b〉
2.0 锐角 直角 π
3.0 π
4.a⊥b
知识点二
思考 数量，由数量积的定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，知其为数量而非向量.
梳理 (1)①|a||b|cos〈a，b〉
②|a||b|cos〈a，b〉
(2)b·a λ(a·b) a·b＋a·c
(3)①x1x2＋y1y2＋z1z2 ②a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 ③
④
知识点三
思考 空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.
梳理
题型探究
例1 (1)解 ①此命题不正确.
∵p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2
＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.
②此命题不正确.
∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|
＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，
|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.
③此命题正确.
∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，
且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，
∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直.
(2)解 ①∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6.
②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2
＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2，
∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－)－4×16＝27－24－64＝－61.
跟踪训练1
例2 解 如图，设＝a，＝b，
＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝b·[(c－a)＋b]
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝
·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
跟踪训练2 (1)1 (2)
例3 解 如图所示.∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·.
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴·＝0，·＝0，
·＝0且·＝－a2.
∴·＝－a2.
又·＝||·||cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝＝－.
又∵〈，〉∈[0°，180°]，
∴〈，〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.
跟踪训练3 证明
如图，取直线l的方向向量a，同时取向量，，.
因为l⊥OA，
所以a·＝0.
因为PO⊥α，且l?α，所以l⊥PO，
因此a·＝0.
又因为a·＝a·(＋)
＝a·＋a·＝0，
所以l⊥PA.
例4 解 因为＝＋＋，
所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·).
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以〈，〉＝90°，
〈，〉＝〈，〉＝60°，
所以2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.
因为2＝||2，
所以||2＝23，||＝，
即AC1＝.
跟踪训练4 2
例5 证明 因为OB＝OC，AB＝AC，
OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
又·＝·(－)
＝·－·
＝||·||cos∠AOC－||·
||cos∠AOB＝0，
所以⊥，即OA⊥BC.
跟踪训练5 45°
当堂训练
1.3 2. 3. 4. 5.
3.2.2 空间线面关系的判定(二)
学习目标 1.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.
知识点一 向量法判断线线垂直
思考 若直线l1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？
梳理 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?________?________.
知识点二 向量法判断线面垂直
思考 若直线l的方向向量为μ1＝，平面α的法向量为μ2＝，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？
梳理 设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ?________.
知识点三 向量法判断面面垂直
思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
梳理 若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0?________________.
类型一 证明线线垂直
例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.
跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
类型二 证明线面垂直
例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD.
反思与感悟 用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
跟踪训练2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.
类型三 证明面面垂直
例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
反思与感悟 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
跟踪训练3 如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
1.有如下四个命题
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
其中为真命题的是________.
2.若直线l1的方向向量为a＝(2，－4,4)，l2的方向向量为b＝(4,6,4)，则l1与l2的位置关系是________.
3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l与α的位置关系是________.
4.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________.
5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为________.
空间垂直关系的解决策略
几何法
向量法
线线垂直
(1)证明两直线所成的角为90°.
(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直
两直线的方向向量互相垂直
线面垂直
对于直线l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m与n相交，则l⊥α.
(2)若l∥m，m⊥α，则l⊥α
(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量
面面垂直
对于直线l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，则α⊥β.
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β.
(3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β
证明两个平面的法向量互相垂直
答案精析
问题导学
知识点一
思考 l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.
判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量与的坐标，若·＝0，则两直线垂直，否则不垂直.
(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.
梳理 a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
知识点二
思考 垂直，因为μ1＝μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内.
(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.
梳理 a＝kμ(k∈R)
知识点三
思考 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
题型探究
例1 证明 设AB中点为O，连结OC，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得A，
B，
C，
N，
B1，
∵M为BC中点，
∴M.
∴＝，
＝(1,0,1)，
∴·＝－＋0＋＝0.
∴⊥，∴AB1⊥MN.
跟踪训练1 证明 ∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
∵＝(－3,0,0)，
＝(0，－4,4)，
∴·＝0，∴AC⊥BC1.
例2 证明 如图所示，取BC的中点O，连结AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
平面ABC⊥平面BCC1B1，
且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，
所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1，连结 OO1，以O为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0).
所以＝(1,2，－)，
＝(－1,2，)，
＝(－2,1,0).
因为·＝1×(－1)＋2×2＋(－)×＝0.
·＝1×(－2)＋2×1＋(－)×0＝0.
所以⊥，⊥，
即AB1⊥BA1，AB1⊥BD.
又因为BA1∩BD＝B，
所以AB1⊥平面A1BD.
跟踪训练2 证明 如图建系，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，＝(1,0，－1)，
＝(0,1，－1)，＝(1,1,1)，
＝(0，－1，－2)，
＝(－1,0，－2).
·＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PC.
又·＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，
所以⊥，即PB1⊥PA.
又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.
例3 证明 由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0，0，)，
故＝(0,0,1)，
＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，
＝(－2,0，).
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0).
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
则即
令c＝4，得a＝1，b＝－1，
故n2＝(1，－1,4).
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
跟踪训练3 证明 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，，)，连结AC，设AC与BD相交于点O，连结OE，则点O的坐标为(，，0).
因为＝(0,0,1)，＝(0,0，)，
所以＝，所以∥.
又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，
又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.
当堂训练
1.②③④ 2.垂直 3.垂直 4.垂直 5.5
3.2.3 空间的角的计算
学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.
知识点一 空间角的计算(向量法)
思考1 设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈a，b〉吗？
思考2 若二面角α－l－β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量的夹角〈n1，n2〉一定相等吗？
梳理 空间三种角的向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝________＝______________.
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为e，平面α的法向量为n，则sin θ＝________＝________.
二面角
设二面角α－l－β为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cos θ|＝________＝.
知识点二 向量法求线面角、二面角的原理
1.向量法求直线与平面所成角的原理
条件
直线l(方向向量为e)与平面α(法向量为n)所成的角为θ
图形
关系
〈e，n〉∈[0，]，
θ＝－〈e，n〉
〈e，n〉∈[，π]，
θ＝〈e，n〉－
计算
sin θ＝|cos〈e，n〉|
2.向量法求二面角的原理
条件
平面α，β的法向量分别为n1，n2，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈n1，n2〉＝φ
图形
关系
θ＝φ
θ＝π－φ
计算
cos θ＝cos φ
cos θ＝－cos φ
类型一 求两条异面直线所成的角
例1 如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.
反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.
跟踪训练1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.
类型二 求直线和平面所成的角
例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.
反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线的夹角，再进行换算.
跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.
类型三 求二面角
例3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.
反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
跟踪训练3 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求锐二面角APBC的余弦值.
1.在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________.
2.已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是________.
3.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值是________.
4.如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝＝λ，则当实数λ的值为________时，∠AFE为直角.
5.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.
向量法求角
(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不一定.若l1，l2的方向向量的夹角为[0，]内的角时，l1与l2的夹角为〈a，b〉，否则为π－〈a，b〉.
思考2 不一定.可能相等，也可能互补.
梳理 |cos〈a，b〉| (0，] |cos〈e，n〉| [0，]
|cos〈n1，n2〉| [0，π]
题型探究
例1 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，
O1(0,1，)，
A(，0,0)，
A1(，1，)，
B(0,2,0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－).
∴|cos〈，〉|
＝
＝＝.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
跟踪训练1
例2 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，
A1(0,0，a)，
C1，
＝(0，a,0)，＝(0,0，a)，
＝.
设侧面ABB1A1的法向量为
n＝(λ，y，z)，
∴n·＝0且n·＝0，
∴ay＝0且az＝0.
∴y＝z＝0.故n＝(λ，0,0).
∵＝，
∴cos〈，n〉＝＝－，
∴|cos〈，n〉|＝.
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
跟踪训练2 解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)，
∴＝(0,0,1)，
＝(－1，－1,1).
显然是底面ABCD的法向量，它与已知向量的夹角β＝90°－θ，
故有sin θ＝cos β＝＝＝，
∵θ∈[0°，90°]，
∴cos θ＝＝.
例3 解 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设PA＝AB＝a，AC＝b，连结BD与AC交于点O，取AD中点F，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，＝.
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴E，O，
＝，＝(b,0,0).
∵·＝0，
∴⊥，
又∵＝＝，·＝0.
∴⊥.
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角).
cos〈，〉＝＝.
又∵〈，OF〉∈[0°，180°]，
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
跟踪训练3 解 如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0，1,0)，P(0,0,1)，
故＝(0,0,1)，＝(，1,0)，＝(，0,0)，＝(0，－1,1)，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
则
?
?令x＝1，
则y＝－，故m＝(1，－，0).
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
则
?
?
令y′＝－1，则z′＝－1，
故n＝(0，－1，－1)，
∴cos〈m，n〉＝＝.
又∵二面角A－PB－C是锐二面角，
∴二面角A－PB－C的余弦值为.
当堂训练
1.± 2.60° 3.
4.
解析 ∵SA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，故可建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
∵AB＝4，SA＝3，
∴B(0,4,0)，S(0,0,3).
设BC＝m，则C(m,4,0)，
∵＝＝λ，∴＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴＝(＋λ)＝(0,4λ，3)，
∴F(0，，).
同理，E(，4,0)，
∴＝(，，)，
要使∠AFE＝90°，则·＝0，
又＝(0，，)，
∴0·＋·＋·＝0，
∴16λ＝9，∴λ＝.
5.30°
第三章 空间向量与立体
1 空间向量加减法运用的三个层次
空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算.
第1层 用已知向量表示未知向量
例1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2)；(3)＋.
解 (1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋
＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c，
又＝＋＝＋
＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋
＝a＋b＋c.
点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可以把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.
第2层 化简向量
例2 如图，已知空间四边形ABCD，连结AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量.
(1)＋＋；(2)＋(＋)；(3)－(＋).
解 (1)＋＋＝＋＝.
(2)＋(＋)＝＋＋
＝＋＋＝.
(3)－(＋)＝－＝.
、、如图所示.
点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则.
第3层 证明立体几何问题
例3 如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线.
证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋
＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c，
＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c＝.
∴∥，即B、G、N三点共线.
2 空间向量易错点扫描
易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清
例1 “a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
错解 a·b<0?cos〈a，b〉＝<0?〈a，b〉为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的充要条件.
错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.
剖析 当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件.
正解 必要不充分
总结 a·b<0?a与b夹角为钝角或a与b方向相反，a·b>0?a与b夹角为锐角或a与b方向相同.
易错点2 忽略两向量的夹角的定义
例2 如图所示，在120°的二面角α—AB—β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长.
错解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，∴〈，〉＝120°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 120°＝72，∴CD＝6.
错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念.向量，的夹角与二面角α—AB—β的平面角互补，而不是相等.
正解 ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，
∵二面角α—AB—β的平面角为120°，
∴〈，〉＝180°－120°＝60°.
∴CD2＝2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD＝12.
易错点3 判断是否共面出错
例3 已知O、A、B、C为空间不共面的四点，a＝＋＋，b＝＋－，则与a、b不能构成空间的一个基底的是________.(将正确答案的序号填上)
①；②；③；④或.
错解 a＝＋＋，b＝＋－，
相加得＋＝(a＋b)，
所以、都与a、b共面，不能构成空间的一个基底，故填④.
剖析 ＋＝(a＋b)，说明＋与a、b共面，但不能认为、都与a、b共面.
设＝xa＋yb，
因为a＝＋＋，b＝＋－，
代入整理得(x＋y－1)＋(x＋y)＋(x－y)＝0，因为O、A、B、C四点不共面，
所以、、不共面，
所以x＋y－1＝0，x＋y＝0，x－y＝0，
此时，x、y不存在，所以a、b与不共面，
故a、b与可构成空间的一个基底.
同理a、b与也可构成空间的一个基底.
因为a＝＋＋，b＝＋－，相减有＝(a－b)，所以与a、b共面，故不能构成空间的一个基底.
正解 ③
易错点4 混淆向量运算和实数运算
例4 阅读下列各式，其中正确的是________.(将正确答案的序号填上)
①a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
②a·b＝0?a＝0或b＝0
③(a·b)·c＝a·(b·c)
④·＝||||cos(180°－∠AOB)
错解 ①(或②或③)
剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错.向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ，故①、③错误；若a·b＝0?a＝0或b＝0或a⊥b，故②错误；·的夹角是180°－∠AOB.
正解 ④
易错点5 忽略建系的前提
例5 四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE＝2，F为CE中点，试合理建立坐标系，求、所成角的余弦值.
错解 以A为坐标原点，以、、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A－xyz.
此时＝(1,1,1)，＝(0,2,0)，所以cos〈，〉＝.
剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB与AD不垂直.
正解 设AC、BD交于点O，则AC⊥BD.
因为F为CE中点，所以OF∥AE，
因为AE⊥平面ABCD，
所以OF⊥平面ABCD，OF⊥AC，OF⊥BD，
以O为坐标原点，以、、的方向分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.
此时＝(1,0,1)，＝(1，，0)，
所以cos〈，〉＝.
易错点6 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误
例6 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角A－BD1－C的大小.
错解 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1).
由题意知是平面ABD1的一个法向量，＝(1,0,1)，是平面BCD1的一个法向量，＝(0,1,1)，
所以cos〈，〉＝＝.
所以〈，〉＝60°.
所以二面角A－BD1－C的大小为60°.
剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的确切位置.
正解 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1).
由题意知＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量.
所以cos〈，〉＝＝，
所以〈，〉＝60°.
结合图形知二面角A－BD1－C的大小为120°.
3 空间直角坐标系构建三策略
利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如.
1.利用共顶点的互相垂直的三条棱
例1 已知直四棱柱中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠DAB为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，试求异面直线BC1与DC所成角的余弦值.
解 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，C1(0,1,2)，B(2,4,0)，C(0,1,0)，
所以＝(－2，－3,2)，＝(0，－1,0).
所以cos〈，〉＝＝.
故异面直线BC1与DC所成角的余弦值为.
点评 本例以直四棱柱为背景，求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两异面直线的方向向量的夹角即可.
2.利用线面垂直关系
例2 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.
解 过B点作BP垂直于BB1交C1C于P点，
因为AB⊥平面BB1C1C，所以BP⊥平面ABB1A1，
以B为原点，分别以BP，BB1，BA所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系.
因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝，
所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0，0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C(，－，0)，C1(，，0)，E(，，0)，A1(0,2，).
点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便.本题已知条件中的垂直关系“AB⊥平面BB1C1C”，可作为建系的突破口.
3.利用面面垂直关系
例3 如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2，∠ABC＝60°，E是BC的中点.将△ABE沿AE折起，使平面BAE⊥平面AEC(如图2)，连结BC，BD.求平面ABE与平面BCD所成的锐角的大小.
解 取AE中点M，连结BM，DM.
因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，
所以△ABE与△ADE都是等边三角形，
所以BM⊥AE，DM⊥AE.
又平面BAE⊥平面AEC，所以BM⊥MD.
以M为原点，分别以ME，MD，MB所在的直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系M－xyz，如图，
则E(1,0,0)，B(0,0，)，C(2，，0)，D(0，，0)，
所以＝(2,0,0)，＝(0，，－)，
设平面BCD的法向量为m＝(x，y，z)，
由取y＝1，得m＝(0,1,1)，
又因为平面ABE的一个法向量＝(0，，0)，
所以cos〈m，〉＝＝，
所以平面ABE与平面BCD所成的锐角为45°.
点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.
4 用向量法研究“动态”立体几何问题
“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活.本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动.
1.求解、证明问题
例1 在棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.
证明 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(a,0，a)，C1(0，a，a).
设AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0).
∴＝(－x，a，－a)，
＝(a，x－a，－a).
∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，
∴⊥，即A1F⊥C1E.
2.定位问题
例2 如图，已知四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，在DG上是否存在点M，使得直线MB与平面BEF的夹角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.
解题提示 假设存在点M，设平面BEF的法向量为n，设BM与平面BEF所成的角为θ，利用sin θ＝求出点M的坐标，若满足条件则存在.
解 因为四边形CDGF，ADGE均为正方形，
所以GD⊥DA，GD⊥DC.
又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.
又DA⊥DC，所以DA，DG，DC两两互相垂直，如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).
因为点M在DG上，假设存在点
M(0,0，t)(0≤t≤1)使得直线BM与平面BEF的夹角为45°.
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z).
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
则即
令z＝1，得x＝y＝1，
所以n＝(1,1,1)为平面BEF的一个法向量.
又＝(－1，－1，t)，直线BM与平面BEF所成的角为45°，所以sin 45°＝＝＝，
解得t＝－4±3.又0≤t≤1，
所以t＝3－4.
故在DG上存在点M(0,0,3－4)，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.
点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果.
5 向量与立体几何中的数学思想
1.数形结合思想
向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想.向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起.
例1 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.
(1)证明：A1F∥平面B1CE；
(2)若E是棱AB的中点，求二面角A1－EC－D的余弦值；
(3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值.
(1)证明 因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱，
所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，
所以A1F∥EC.又因为A1F?平面B1CE，
EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.
(2)解 因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，
所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则A1(0,0,2)，E(1,0,0)，C(2,1,0)，
所以＝(1,0，－2)，＝(2,1，－2).
设平面A1ECF的法向量为m＝(x，y，z)，
由·m＝0，·m＝0，得
令z＝1，得m＝(2，－2,1).
又因为平面DEC的法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝，
由图可知，二面角A1－EC－D的平面角为锐角，
所以二面角A1－EC－D的余弦值为.
(3)解 过点F作FM⊥A1B1于点M，
因为平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，
FM?平面A1B1C1D1，
所以FM⊥平面A1ABB1，
所以
＝××FM＝FM.
因为当F与点D1重合时，FM取到最大值2(此时点E与点B重合)，
所以当F与点D1重合时，三棱锥B1－A1EF的体积的最大值为.
2.转化与化归思想
空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决.将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题.这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要.
例2 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，E为AB的中点，F为D1E上的一点，D1F＝2FE.
(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；
(2)求二面角A－DF－C的平面角的余弦值.
分析 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.
(1)证明 以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2).
∵E为AB的中点，∴E(1,1,0)，
∵D1F＝2FE，
∴＝＝(1,1，－2)＝(，，－)，
∴＝＋＝(0,0,2)＋(，，－)
＝(，，).
设n＝(x，y，z)是平面DFC的法向量，
则∴
取x＝1得平面DFC的一个法向量n＝(1,0，－1).
设p＝(x，y，z)是平面D1EC的法向量，
则∴
取y＝1得平面D1EC的一个法向量p＝(1,1,1)，
∵n·p＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0，
∴平面DFC⊥平面D1EC.
(2)解 设q＝(x，y，z)是平面ADF的法向量，
则∴
取y＝1得平面ADF的一个法向量q＝(0,1，－1)，
设二面角A－DF－C的平面角为θ，由题中条件可知θ∈(，π)，则cos θ＝－＝－＝－，
∴二面角A－DF－C的平面角的余弦值为－.
3.函数思想
例3 已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，且c＝a＋tb，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2).问|c|能否取得最大值？若能，求出实数t的值及对应的向量b与c夹角的余弦值；若不能，请说明理由.
分析 写出|c|关于t的函数关系式，再利用函数观点求解.
解 由题意知Δ≥0，得－4≤t≤－，
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
∴|c|＝
＝.
当t∈时，f(t)＝52＋是单调递减函数，∴ymax＝f(－4)，即|c|的最大值存在，
此时c＝(－5,1,11).b·c＝－27，|c|＝7.而|b|＝，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－.
点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解.
4.分类讨论思想
例4 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD上方)，问BC边上是否存在点Q，使⊥？
分析 由⊥，得PQ⊥QD，所以在平面ABCD内，点Q在以边AD为直径的圆上，若此圆与边BC相切或相交，则BC边上存在点Q，否则不存在.
解 假设存在点Q(Q点在边BC上)，使⊥，
即PQ⊥QD，连结AQ.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD.
又＝＋且⊥，∴·＝0，
即·＋·＝0.
又由·＝0，∴·＝0，∴⊥.
即点Q在以边AD为直径的圆上，圆的半径为.
又∵AB＝1，由题图知，
当＝1，即a＝2时，该圆与边BC相切，存在1个点Q满足题意；
当>1，即a>2时，该圆与边BC相交，存在2个点Q满足题意；
当<1，即a<2时，该圆与边BC相离，不存在点Q满足题意.
综上所述，当a≥2时，存在点Q，使⊥；
当0
第三章 空间向量与立体
学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.
知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R
线面平行
l∥α?________?________
面面平行
α∥β?μ∥v?________
线线垂直
l⊥m?________?________
线面垂直
l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R
面面垂直
α⊥β?μ⊥v?________
线线夹角
l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，cos θ＝________
线面夹角
l，α的夹角为θ(0≤θ≤)，sin θ＝________
面面夹角
α，β的夹角为θ(0≤θ≤)，cos θ＝________
知识点二 用坐标法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.
关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.
(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.
类型一 空间向量及其运算
例1 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：
①＋＋＋＝0；
②＋－－＝0；
③－＋－＝0；
④·＝·；
⑤·＝0.
其中正确结论的序号是________.
反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.
跟踪训练1 如图，在平行六面体A1B1C1D1－ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示.
类型二 利用空间向量解决位置关系问题
例2 四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.
跟踪训练2 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
类型三 利用空间向量求角
例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.
反思与感悟 用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：
如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.
跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE；
(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.
1.已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，则＋(＋)＝________.
2.若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是________.
3.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)与b＝(4,2－2m，2－2m)平行，则m＝________.
4.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________.
5.已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.
答案精析
知识梳理
知识点一
a⊥μ a·μ＝0 μ＝kv，k∈R a⊥b
a·b＝0 μ·v＝0
题型探究
例1 ③④
解析 容易推出－＋－＝＋＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.
跟踪训练1 (－a＋b＋c)
例2 证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设DC＝a，PD＝b，则D(0,0,0)，C(a，0,0)，B(a，a,0)，P(0，0，b)，E(0，，).
(1)＝(0，，)，＝(a，a,0)，
＝(a,0，－b).
设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，得n＝(1，－1，)，
因为·n＝(a,0，－b)·(1，－1，)＝0，
所以⊥n，故PC∥平面EBD.
(2)由题意得平面PDC的一个法向量为＝(0，a,0)，
又＝(a，a，－b)，＝(a,0，－b)，
设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即
得y1＝0，令x1＝1，则z1＝，
所以m＝(1,0，)，
因为·m＝(0，a,0)·(1,0，)＝0，
所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD.
跟踪训练2 证明 如图，建立空间直角坐标系D－xyz.设正方体棱长为1，则
E，
D1(0,0,1)，
A(1，0,0)，
F.
∴＝(1,0,0)＝，
＝，＝.设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和平面A1FD1的一个法向量，
由得
令y1＝1，得m＝(0,1，－2).
又由得
令z2＝1，得n＝(0,2,1).
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.
例3 解 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示，
(2)作EM⊥AB，垂足为M，
则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，
所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，
所以AH＝10.
以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(10,0,0)，H(10,10,0)，E(10，4,8)，F(0,4,8)，＝(10,0,0)，
＝(0，－6，8).
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，
则即
所以可取n＝(0,4,3).
又＝(－10,4,8)，
故|cos〈n，〉|＝＝.
所以AF与平面EHGF所成角的正弦值为.
跟踪训练3 (1)证明 如图，取AE的中点H，连结HG，HD，
又G是BE的中点，
所以GH∥AB，且GH＝AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝CD.
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
(2)解 如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，
所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).
因为AB⊥平面BEC，所以＝(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.
又＝(2,0，－2)，＝(2,2，－1)，
由得
取z＝2，得n＝(2，－1,2).
从而|cos〈n，〉|＝＝＝，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.
当堂训练
1. 2.－2 3.1或3 4.x＋y＋z＝0
5.解 (1)∵c∥，∴存在实数m，
使得c＝m＝m(－2，－1,2)
＝(－2m，－m,2m).
∵|c|＝3，
∴
＝3|m|＝3，
∴m＝±1，
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).
(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
