18.1 平行四边形的性质（2）同步练习
文档属性
| 名称 | 18.1 平行四边形的性质（2）同步练习 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 475.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-03-16 15:57:37 | ||
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文档简介
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18.1 平行四边形的性质（2）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
２．平行四边形的对边平行且相等对角相等．
３．平行线之间的距离处处相等．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，∠AEB=25°，则∠A的大小为( )
A. 100° B. 120° C. 130° D. 150°
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 2 D. 4
3．如图，□ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则□ABCD的面积为( )
A. 60cm2 B. 30cm2 C. 20cm2 D. 16cm2
4．如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积( )
A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定
5．如图，在□ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（ ）
A. 100° B. 95° C. 90° D. 85°
6．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA＝30°，则∠B＝（ ）
A100° B.120° C.135° D.150°
7．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）
A. 4，4，8，8 B. 5，5，7，7 C. 5.5，5.5，6.5，6.5 D. 3，3，9，9
8．如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若 ABCD的周长为20，则△CED的周长为( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
9．如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O,AB=4,AD=3,OF=1，则四边形BCEF的周长为( )
A. 8 B. 9 C. 12 D. 13
10．如图，□ABCD的周长为20cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
二、填空题
11．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则□ABCD的面积为________cm2.
12．平行四边形ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶3，那么∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________，∠D＝________.
13．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和5的两部分，则平行四边形ABCD周长是_____________．
14．如图，在 ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为____．
15．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，AB+AD=20，则□ABCD的面积为_____.
16．在平行四边形中， ， ，过点作垂直直线于点， ，再过点作垂直于直线于点，则__________.
三、解答题
17．在平行四边形ABCD中, ∠A＋∠C＝160°，求∠A，∠C，∠B，∠D的度数．
18．如图,在 ABCD中,BE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,DF⊥AC,垂足F在AC的延长线上,求证:AE=CF.
19．如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
20．如图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点E.
（1）试说明线段CD与FA相等的理由；
（2）若使∠F＝∠BCF，□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).
21．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
22．已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交线段AE于F.
（1）如图1，若AE=AD，ADC=60, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;
（2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；
参考答案
1．C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．
∵∠ABC的平分线交AD于E，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=25°，∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=130°．故选C．
2．D
【解析】试题解析：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB与P′，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∴PQ的最小值
故选D.
3．B
【解析】试题解析：过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H.
故选B.
4．C
【解析】试题解析：如图，∵a∥b，
∴a，b之间的距离是固定的，
而△ABC的高和这个距离相等，
所以△ABC的高、底边都是固定的，
所以它的面积不变.
故选C.
5．C
【解析】试题解析： 中，
∴DC∥AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA，
∵点M为CD的中点，且DC=2AD，
∴DM=AD，
∴∠DMA=∠DAM，
∴∠DAM=∠BAM，
同理∠ABM=∠CBM，
即：
∴∠AMB=180°-90°=90°．
故选C．
6．B
【解析】根据平行四边形的性质邻角互补来解答．∠A的平分线交DC于E，若∠DEA＝30°，所以∠A的度数应为60°．∠A与∠B互补，所以∠B＝120°．所以选B．
7．B
【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边为7，较短的一边长为5．所以选B．
8．B
【解析】∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E. O，
∴AE=CE，
∵ ABCD的周长为20，
∴AD+DC=10，
∴=4，
∴△CDE的周长为CD+ED+CE=CD+AD=10，
故选：B.
9．B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴OA=OC（平行四边形的对角线相互平分），AB∥CD（平行四边形的对边相互平行），∴∠DCO=∠BAC（两直线平行，内错角相等）．
在△AFO和△CEO中，∵∠OAF＝∠OCE， AO＝CO，∠AOF＝∠COE，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OF=OE，CE=AF（全等三角形的对应边相等）．
又∵AD=BC（平行四边形的对边相等），AB=4，AD=3，OF=1，∴四边形BCEF的周长为：BC+EC+OE+OF+BF=AD+AF+2OF+BF=AD+AB+2OF=9．故选B．
10．D
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ ABCD的周长为20cm，
∴AD+CD=10cm，
的周长为
故选D．
11．12
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，CD=AB=5cm，
∵BC=4cm，
即DB⊥BC，
故答案为：12.
12． 45° 135° 45° 135°
【解析】根据平行四边形的性质：对角相等，邻角互补来解答．∠A与∠B是邻角，度数和应为180°．又从题干中得知，∠A∶∠B＝1∶3，所以不难算出∠A＝45°，∠B＝135°．又因为平行四边形对角相等，所以，∠C＝∠A＝45°，∠D＝∠B＝135°．
故答案： (1). 45° (2). 135° (3). 45° (4). 135°.
13．22或26
【解析】在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=5时，
平行四边形ABCD的周长为：2(AB+AD)=2(3+3+5)=22.
②当BE=5，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2(AB+AD)=2(5+5+3)=26.
故答案为：22或26.
14．50°
【解析】由题意得∠C=40°，∠F=90°，所以∠CDF=50°，因为DC ,所以∠BEF=50°.
15．48
【解析】设BC=x,∵AB+AD=20, 所以BC+CD=20,∴CD=20-x,
∵□ABCD的面积=BC AE=CD AF,∴4x=6（20-x）,解得x=12,
∴□ABCD的面积=BC AE=12×4=48,故答案为:48.
16．4.5或13.5
【解析】解：如图，∵BC=5，AE⊥BC，AE=，∴平行四边形ABCD的面积为：BC AE=5×=．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，BC=AD=5．
①由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=，则AF=．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=4，AE=代入求出BE=2，同理DF=＜4，即F在线段DC上（如图1），∴CE=5﹣2=3，CF=4﹣=，即CE+CF=3+=4.5；
②如图：∵AB=4，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE===2，同理DF=．
则CE=BC+BE=5+2=7，CF=CD+DF=4+=6.5，∴CE+CF=7+6.5=13.5；
故答案为：4.5或13.5．
点睛：本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论．
17．∠A＝80°，∠C＝80°，∠B＝100°，∠D＝100°
【解析】【试题分析】
根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补来解答．
【试题解析】
在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C,
又∵∠A＋∠C＝160°
∴∠A＝∠C＝80°
∵在平行四边形ABCD中AD∥CB
∴∠A＋∠B＝180°
∴∠B＝∠D＝180°
∠A＝∠C＝180°－80°＝100°.
【方法点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质，就能解答本题．
18．见解析
【解析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出得出∠BAC=∠DCA，证出∠EAB=∠FCD，根据垂直得出∠BEA=∠DFC=90°，由AAS证明△BEA≌△DFC，即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴180° ∠BAC=180° ∠DCA，
即∠EAB=∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
在△BEA和△DFC中,
，
∴△BEA≌△DFC(AAS)，
∴AE=CF.
19．见解析
【解析】试题分析：首先连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N，根据三角形面积关系，只要证明△EIN面积等于△GIF面积，即可解决问题．
试题解析：解：连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N．连接GN，GN就是所取直的小路．
证明：设GN交FE于点I．
∵EG∥FN，∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）．
把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．
点睛：此题考查的是等积变换，能根据题意作出辅助线，构造出面积相等的三角形是解答此题的关键．
20．见解析
【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，-就可证明CD∥AB，∠CDA=∠DAF，又已知DE=AE，∠CED=∠AEF，符合全等三角形的判定中的ASA，即证△CDE≌△AEF，所以CD=AF．
（2）在第（1）问的基础上，若使∠F=∠BCF，逆推就必须BC=BF，继而推出BC=2BA，即为所求．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB．
又∵CE的延长线交BA的延长线于点F，
∴∠CDA=∠DAF．
∵E是AD中点，
∴DE=AE．
∵∠CED=∠AEF，
∴△CDE≌△AEF．
∴CD=AF．
（2）要使∠F=∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC=2AB，
证明：∵由（1）知，△CED≌△FEA，
∴CD=AF．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB．
∴AB=AF，即BF=2AB．
∵BC=2AB．
∴BF=BC，
∴∠F=∠BCF．
21．（1）证明见解析；（2）∠DAE=50°．
【解析】试题分析:（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形的性质得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；
（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．
（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
又∵CD=CE，BE=CE，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠B=80°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．
点睛:本题主要考查平行四边形的性质,根据平行四边形的性质中对边平行,以及DE是∠ADC的平分线,证明△DEC是等腰三角形,以类似的方法也可以求出∠DAE的角度.
22．（1）CD=AF+BE.（2）（1）中的结论仍然成立.证明见解析.
【解析】试题分析：(1)、利用截长补短法可以得出线段之间的关系；(2)、延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，根据平行四边形的性质得出△ABE和△DAG全等，从而得出DG=AB，根据角度之间的关系得出DG=GF，即CD=GF=AF+AG=AF+BE得出答案．
试题解析：(1)、CD=AF+BE．
(2)、解：（1）中的结论仍然成立．
证明：延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，
∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵ AE⊥BC于点E， ∴ ∠AEB=∠AEC=90， ∴∠AEB=∠DAG=90， ∴ ∠DAG=90，
∵ AE=AD， ∴ △ABE≌△DAG， ∴∠1=∠2， DG=AB， ∴∠GFD=90-∠3，
∵ DF平分∠ADC， ∴∠3=∠4，
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180-∠FAD-∠3=90-∠3， ∴∠GDF=∠GFD，∴ DG=GF.
∴ CD=GF=AF+AG= AF + BE， 即 CD = AF +BE．
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18.1 平行四边形的性质（2）同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
２．平行四边形的对边平行且相等对角相等．
３．平行线之间的距离处处相等．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，∠AEB=25°，则∠A的大小为( )
A. 100° B. 120° C. 130° D. 150°
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为( )
A. 6 B. 8 C. 2 D. 4
3．如图，□ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则□ABCD的面积为( )
A. 60cm2 B. 30cm2 C. 20cm2 D. 16cm2
4．如图所示，直线a∥b，A是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中△ABC的面积( )
A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 无法确定
5．如图，在□ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（ ）
A. 100° B. 95° C. 90° D. 85°
6．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA＝30°，则∠B＝（ ）
A100° B.120° C.135° D.150°
7．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）
A. 4，4，8，8 B. 5，5，7，7 C. 5.5，5.5，6.5，6.5 D. 3，3，9，9
8．如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若 ABCD的周长为20，则△CED的周长为( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
9．如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O,AB=4,AD=3,OF=1，则四边形BCEF的周长为( )
A. 8 B. 9 C. 12 D. 13
10．如图，□ABCD的周长为20cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（ ）
A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
二、填空题
11．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则□ABCD的面积为________cm2.
12．平行四边形ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶3，那么∠A＝________，∠B＝________，∠C＝________，∠D＝________.
13．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和5的两部分，则平行四边形ABCD周长是_____________．
14．如图，在 ABCD中，∠C＝40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为____．
15．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，AB+AD=20，则□ABCD的面积为_____.
16．在平行四边形中， ， ，过点作垂直直线于点， ，再过点作垂直于直线于点，则__________.
三、解答题
17．在平行四边形ABCD中, ∠A＋∠C＝160°，求∠A，∠C，∠B，∠D的度数．
18．如图,在 ABCD中,BE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,DF⊥AC,垂足F在AC的延长线上,求证:AE=CF.
19．如图所示，在形状为平行四边形的一块地ABCD中，有一条小折路EFG．现在想把它改为经过点E的直路，要求小路两侧土地的面积都不变，请在图中画出改动后的小路．
20．如图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点E.
（1）试说明线段CD与FA相等的理由；
（2）若使∠F＝∠BCF，□ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线).
21．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
22．已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC 交线段AE于F.
（1）如图1，若AE=AD，ADC=60, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;
（2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；
参考答案
1．C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．
∵∠ABC的平分线交AD于E，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=25°，∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=130°．故选C．
2．D
【解析】试题解析：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB与P′，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∴PQ的最小值
故选D.
3．B
【解析】试题解析：过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H.
故选B.
4．C
【解析】试题解析：如图，∵a∥b，
∴a，b之间的距离是固定的，
而△ABC的高和这个距离相等，
所以△ABC的高、底边都是固定的，
所以它的面积不变.
故选C.
5．C
【解析】试题解析： 中，
∴DC∥AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA，
∵点M为CD的中点，且DC=2AD，
∴DM=AD，
∴∠DMA=∠DAM，
∴∠DAM=∠BAM，
同理∠ABM=∠CBM，
即：
∴∠AMB=180°-90°=90°．
故选C．
6．B
【解析】根据平行四边形的性质邻角互补来解答．∠A的平分线交DC于E，若∠DEA＝30°，所以∠A的度数应为60°．∠A与∠B互补，所以∠B＝120°．所以选B．
7．B
【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边为7，较短的一边长为5．所以选B．
8．B
【解析】∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E. O，
∴AE=CE，
∵ ABCD的周长为20，
∴AD+DC=10，
∴=4，
∴△CDE的周长为CD+ED+CE=CD+AD=10，
故选：B.
9．B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴OA=OC（平行四边形的对角线相互平分），AB∥CD（平行四边形的对边相互平行），∴∠DCO=∠BAC（两直线平行，内错角相等）．
在△AFO和△CEO中，∵∠OAF＝∠OCE， AO＝CO，∠AOF＝∠COE，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OF=OE，CE=AF（全等三角形的对应边相等）．
又∵AD=BC（平行四边形的对边相等），AB=4，AD=3，OF=1，∴四边形BCEF的周长为：BC+EC+OE+OF+BF=AD+AF+2OF+BF=AD+AB+2OF=9．故选B．
10．D
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ ABCD的周长为20cm，
∴AD+CD=10cm，
的周长为
故选D．
11．12
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，CD=AB=5cm，
∵BC=4cm，
即DB⊥BC，
故答案为：12.
12． 45° 135° 45° 135°
【解析】根据平行四边形的性质：对角相等，邻角互补来解答．∠A与∠B是邻角，度数和应为180°．又从题干中得知，∠A∶∠B＝1∶3，所以不难算出∠A＝45°，∠B＝135°．又因为平行四边形对角相等，所以，∠C＝∠A＝45°，∠D＝∠B＝135°．
故答案： (1). 45° (2). 135° (3). 45° (4). 135°.
13．22或26
【解析】在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=5时，
平行四边形ABCD的周长为：2(AB+AD)=2(3+3+5)=22.
②当BE=5，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2(AB+AD)=2(5+5+3)=26.
故答案为：22或26.
14．50°
【解析】由题意得∠C=40°，∠F=90°，所以∠CDF=50°，因为DC ,所以∠BEF=50°.
15．48
【解析】设BC=x,∵AB+AD=20, 所以BC+CD=20,∴CD=20-x,
∵□ABCD的面积=BC AE=CD AF,∴4x=6（20-x）,解得x=12,
∴□ABCD的面积=BC AE=12×4=48,故答案为:48.
16．4.5或13.5
【解析】解：如图，∵BC=5，AE⊥BC，AE=，∴平行四边形ABCD的面积为：BC AE=5×=．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4，BC=AD=5．
①由平行四边形面积公式得：BC×AE=CD×AF=，则AF=．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2=AE2+BE2，把AB=4，AE=代入求出BE=2，同理DF=＜4，即F在线段DC上（如图1），∴CE=5﹣2=3，CF=4﹣=，即CE+CF=3+=4.5；
②如图：∵AB=4，AE=，在△ABE中，由勾股定理得：BE===2，同理DF=．
则CE=BC+BE=5+2=7，CF=CD+DF=4+=6.5，∴CE+CF=7+6.5=13.5；
故答案为：4.5或13.5．
点睛：本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论．
17．∠A＝80°，∠C＝80°，∠B＝100°，∠D＝100°
【解析】【试题分析】
根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补来解答．
【试题解析】
在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C,
又∵∠A＋∠C＝160°
∴∠A＝∠C＝80°
∵在平行四边形ABCD中AD∥CB
∴∠A＋∠B＝180°
∴∠B＝∠D＝180°
∠A＝∠C＝180°－80°＝100°.
【方法点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质，就能解答本题．
18．见解析
【解析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出得出∠BAC=∠DCA，证出∠EAB=∠FCD，根据垂直得出∠BEA=∠DFC=90°，由AAS证明△BEA≌△DFC，即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴180° ∠BAC=180° ∠DCA，
即∠EAB=∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
在△BEA和△DFC中,
，
∴△BEA≌△DFC(AAS)，
∴AE=CF.
19．见解析
【解析】试题分析：首先连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N，根据三角形面积关系，只要证明△EIN面积等于△GIF面积，即可解决问题．
试题解析：解：连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N．连接GN，GN就是所取直的小路．
证明：设GN交FE于点I．
∵EG∥FN，∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）．
把两个三角形面积都减去△FIN面积，所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．
点睛：此题考查的是等积变换，能根据题意作出辅助线，构造出面积相等的三角形是解答此题的关键．
20．见解析
【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，-就可证明CD∥AB，∠CDA=∠DAF，又已知DE=AE，∠CED=∠AEF，符合全等三角形的判定中的ASA，即证△CDE≌△AEF，所以CD=AF．
（2）在第（1）问的基础上，若使∠F=∠BCF，逆推就必须BC=BF，继而推出BC=2BA，即为所求．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB．
又∵CE的延长线交BA的延长线于点F，
∴∠CDA=∠DAF．
∵E是AD中点，
∴DE=AE．
∵∠CED=∠AEF，
∴△CDE≌△AEF．
∴CD=AF．
（2）要使∠F=∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC=2AB，
证明：∵由（1）知，△CED≌△FEA，
∴CD=AF．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB．
∴AB=AF，即BF=2AB．
∵BC=2AB．
∴BF=BC，
∴∠F=∠BCF．
21．（1）证明见解析；（2）∠DAE=50°．
【解析】试题分析:（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形的性质得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；
（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．
（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
又∵CD=CE，BE=CE，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠B=80°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．
点睛:本题主要考查平行四边形的性质,根据平行四边形的性质中对边平行,以及DE是∠ADC的平分线,证明△DEC是等腰三角形,以类似的方法也可以求出∠DAE的角度.
22．（1）CD=AF+BE.（2）（1）中的结论仍然成立.证明见解析.
【解析】试题分析：(1)、利用截长补短法可以得出线段之间的关系；(2)、延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，根据平行四边形的性质得出△ABE和△DAG全等，从而得出DG=AB，根据角度之间的关系得出DG=GF，即CD=GF=AF+AG=AF+BE得出答案．
试题解析：(1)、CD=AF+BE．
(2)、解：（1）中的结论仍然成立．
证明：延长EA到G，使得AG=BE，连结DG，
∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB∥CD，AD=BC，
∵ AE⊥BC于点E， ∴ ∠AEB=∠AEC=90， ∴∠AEB=∠DAG=90， ∴ ∠DAG=90，
∵ AE=AD， ∴ △ABE≌△DAG， ∴∠1=∠2， DG=AB， ∴∠GFD=90-∠3，
∵ DF平分∠ADC， ∴∠3=∠4，
∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180-∠FAD-∠3=90-∠3， ∴∠GDF=∠GFD，∴ DG=GF.
∴ CD=GF=AF+AG= AF + BE， 即 CD = AF +BE．
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