课件49张PPT。3.1.1 空间向量及其线性运算
3.1.2 共面向量定理学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.
2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.
3.了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向量共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件.
4.理解共面向量定理及其应用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.答案梳理(1)在空间，把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 .
空间向量也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作 ，其模记为 .大小方向长度模长度(2)几类特殊的空间向量零向量模为1相等相反相同相等同向等长知识点二 空间向量及其线性运算a＋ca－b－cλa2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
①a＋b＝ ；
②(a＋b)＋c＝ ；
③λ(a＋b)＝ (λ∈R).b＋aa＋(b＋c)λa＋λb知识点三 共线向量(或平行向量)1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.若向量a与b平行，记作 ，规定 与任意向量共线.
2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使 .平行重合a∥b零向量b＝λa知识点四 共面向量及共面向量定理思考1 当a，b共线时，共面向量定理的理论一定成立吗？不成立.当p与a，b都共线时，存在不惟一的实数组(x，y)使p＝xa＋yb成立.当p与a，b不共线时，不存在(x，y)使p＝xa＋yb成立.即当a，b共线时，共面向量定理的结论不成立.答案思考2 向量a，b，c共面，表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗？不一定.若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能.答案共面向量及共面向量定理梳理p＝xa＋yb题型探究类型一 空间向量的概念及应用例1 如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
(1)试写出与 相等的所有向量；解答
(2)试写出 的相反向量；解答
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量 的模.解答
引申探究
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，
AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和
终点的向量中：
①单位向量共有多少个？解答
②试写出模为 的所有向量；解答
③试写出与向量 相等的所有向量；解答④试写出向量 的所有相反向量.解答在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.跟踪训练1 给出以下结论：
①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的命题的序号为______.①②答案解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；
若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有 成立，故③正确；
④显然正确.类型二 空间向量的线性运算例2 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.解答
解答
引申探究解答结合加法运算
化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止.
首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.证明
∵平行六面体的六个面均为平行四边形，类型三 向量共线定理的理解与应用解答求证：E，F，B三点共线.(1)判定共线：判定两向量a，b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a＝λb.
(2)求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a∥b，则a＝λb(λ∈R).
(3)判定或证明三点(如P，A，B)是否共线：跟踪训练3 如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，解答类型四 共面向量定理及应用证明例4 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面.分别延长PE，PF，PG，PH交对边于M，N，Q，R.如图所示，
因为E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
所以M，N，Q，R为所在边的中点，
顺次连结M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，
所以由共面向量定理得E，F，G，H四点共面.证明引申探究
本例中增加以下条件：若点O是AC与BD的交点，点M为PC的中点，求证： 共面.取CD的中点N，连结ON，NM，
因为M，N分别是PC，CD的中点，
向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.解答当堂训练根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：23451答案解析4
234510答案解析23451
答案解析－84.以下命题：
①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；
②共线的两个向量互相平行；
③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；
④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量.
其中正确命题的序号是______.23451根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确.答案解析②④234515.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面.解答23451
由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面.∵3＋(－1)＋(－1)＝1，
∴点B与点P，A，M共面，即点P与点A，B，M共面.23451解答23451
∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，∴点P与点A，B，M不共面.由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是∴点P与点A，B，M不共面.1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.2.证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)利用共面向量证明.
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有
且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面.
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.本课结束课件45张PPT。3.1.3 空间向量基本定理
3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.
2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.
3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间向量基本定理思考1 平面向量基本定理的内容是什么？如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.答案只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直.答案思考2 梳理空间向量基本定理
(1)定理内容：
①条件：三个向量e1，e2，e3 .
②结论：对空间中任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使 .不共面p＝xe1＋ye2＋ze3(2)基底：不共面基底e1，e2，e3垂直单位向量{i，j，k}(3)推论：
①条件：O，A，B，C是 的四点.
②结论：对空间中任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得 ＝ .不共面知识点二 空间向量的坐标表示思考1 对于空间任意两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
若a与b共线，则一定有 吗？不一定.当b中的x2，y2，z2中存在0时，式子 无意义，
故此种说法错误.答案思考2 若向量 ＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？不一定.由向量的坐标表示知，若向量 的起点A与原点重合，则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量 的起点A不与原点重合，则B点的坐标就不为(x1，y1，z1).答案梳理(1)空间向量的坐标表示
①向量a的坐标：在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的 向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在 的有序实数组 ，使 ，有序实数组 叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作 .单位惟一(x，y，z)(x，y，z)a＝xi＋yj＋zka＝(x，y，z)(2)空间中有向线段的坐标表示
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
①坐标表示： ＝ .
②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的____
.(x2－x1，y2－y1，z2－z1)终点坐标减去它的起点坐标(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，试根据下面的提示填空.(4)空间向量平行的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a≠0，则a∥b?b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R).(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)题型探究类型一 空间向量基本定理及应用命题角度1 空间基底的概念解答
由向量共面的充要条件知存在实数x，y，基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.跟踪训练1 以下四个命题中正确的是_____.
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；
②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；
③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.②③答案解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；
由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；
空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确.命题角度2 空间向量基本定理的应用解答
引申探究
若将本例中的“G是△ABC的重心”改为“G是AD的中点”，其他条件不变，应如何表示解答
用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键.解答连结AC，AD′.
解答解答
解答类型二 空间向量的坐标表示
解答例3 棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以
为基底，求下列向量的坐标.
解答引申探究
解答用坐标表示空间向量的步骤答案解析∵OM＝2MA，点M在OA上，
类型三 空间向量的坐标运算及应用例4 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4).解答
假设存在x，y∈R满足条件，由已知可得 ＝(－2，－1,2).
由题意得(－1,0,2)＝x(1,1,0)＋y(－2，－1,2)，
所以(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)，
所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立.解答向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标.特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标.
进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质.b－a＝(t＋1,2t－1,0)，
跟踪训练4 已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，求|b－a|的最小值.解答当堂训练①正确.作为基底的向量必须不共面；
②正确；
③不正确.a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确.1.有下列三个命题
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，
则{a，b，c}构成空间的一个基底.
其中为真命题的是______.答案解析23451①②23451依题意，得b＝a－(－1,2，－1)
＝a＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2).2.已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝__________.答案解析(2，－4,2)234514a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)
＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4).3.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b＝_______.答案解析(8,0,4)23451根据已建立的空间直角坐标系知A(0,0,0)，
C1(2，2,1)，D1(0,2,1)，
则 的坐标为(0,2,1)， 的坐标为(2,2,1).4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则 的坐标为______， 的坐标为______.答案解析(0,2,1)(2,2,1)23451答案解析用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.本课结束课件42张PPT。第3章 §3.1 空间向量与立体几何3.1.5 空间向量的数量积学习目标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.
2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.
3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间向量的夹角1.文字叙述：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作 ＝a，
＝b，则 叫做向量a与向量b的夹角，记作 .
2.图形表示：∠AOB〈a，b〉0锐角3.范围： ≤〈a，b〉≤ .
4.空间向量的垂直：如果〈a，b〉＝ ，那么称a与b互相垂直，记作 .直角π0πa⊥b思考 知识点二 空间向量的数量积两个向量的数量积是数量，还是向量？数量，由数量积的定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，知其为数量而非向量.答案梳理(1)定义：
①设a，b是空间两个非零向量，把数量 叫做a，b的数量积.
②记作：a·b，即a·b＝ .
(2)运算律：|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉b·aλ(a·b)a·b＋a·c(3)坐标表示：
已知非零向量a，b，a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
①a·b＝______________.
②a⊥b? ? .
③|a|＝ ＝ .
④cos〈a，b〉＝ .x1x2＋y1y2＋z1z2a·b＝0x1x2＋y1y2＋z1z2＝0知识点三 空间中两点间的距离公式思考 空间两点间的距离公式与两点顺序有关吗？空间两点间的距离是同名坐标的差的平方和的算术平方根，因此空间两点间的距离公式与两点顺序无关.答案梳理在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则AB＝ .题型探究类型一 空间向量的数量积运算命题角度1 空间向量的数量积基本运算
例1 (1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.
①p2·q2＝(p·q)2；解答此命题不正确.
∵p2·q2＝|p|2·|q|2，
而(p·q)2＝(|p|·|q|·cos〈p，q〉)2
＝|p|2·|q|2·cos2〈p，q〉，
∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；解答此命题不正确.
∵|p2－q2|＝|(p＋q)·(p－q)|＝|p＋q|·|p－q|·|cos〈p＋q，p－q〉|，
∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，|p2－q2|＝|p＋q|·|p－q|.③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.解答此命题正确.
∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，
且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，
∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直.(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；解答∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，
∴a·b＝3×4×cos 120°＝－6.②(3a－2b)·(a＋2b).解答∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2＋4a·b－4|b|2＝3|a|2＋4|a||b|cos 120°－4|b|2，
∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×( )－4×16＝27－24－64＝－61.(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.
(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算.跟踪训练1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝_____.∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos 60°＋9＝13，
∴|a＋3b|＝答案解析命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题
例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面ABB1A1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a·b＝b·c＝c·a＝0.
解答解答
解答两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1，求：解答解答类型二 利用数量积求夹角或模命题角度1 利用数量积求夹角
例3 已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.解答
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.利用向量求异面直线夹角的方法如图，取直线l的方向向量a，同时取向量
跟踪训练3 已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l?α，且l⊥OA.
求证：l⊥PA.证明命题角度2 利用数量积求模(或距离)
例4 如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.解答
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝ 求解即可.跟踪训练4 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离.解答类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题因为OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
所以△OAC≌△OAB，
所以∠AOC＝∠AOB.
例5 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.证明(1)证明线线垂直的方法
证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：
先用向量a，b，c表示向量m，n，再判断向量m，n的数量积是否为0.跟踪训练5 已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝ ，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为____.45°答案解析∵a与2b－a垂直，∴a·(2b－a)＝0，
即2a·b－|a|2＝0.
∴2|a||b|·cos〈a，b〉－|a|2＝0，
又〈a，b〉∈[0°，180°]，∴a与b的夹角为45°.当堂训练23451∵b＋c＝(2,2,5)，∴a·(b＋c)＝4－6＋5＝3.1.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)的值为_____.答案解析32.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的
值是___.依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝23451答案解析23451
答案解析4.已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为____.23451
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
答案解析5.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量 与 的夹角
为____.23451
答案解析1.在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.
2.空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.本课结束课件39张PPT。第3章 §3.2 空间向量的应用3.2.2 空间线面关系的判定(二)学习目标
1.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系.
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 向量法判断线线垂直思考 若直线l1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.
判断两条直线是否垂直的方法：(1)在两直线上分别取两点A、B与C、D，计算向量 与 的坐标，若 ＝0，则两直线垂直，否则不垂直.
(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.梳理设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m? ? .a·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l的方向向量为μ1＝ ，平面α的法向量
为μ2＝ ，则直线l与平面α的位置关系是怎样的？
如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为μ1＝ μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l与平面α垂直.
判断直线与平面的位置关系的方法：
(1)直线l的方向向量与平面α的法向量共线?l⊥α.
(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直?直线与平面平行或直线在平面内.
(3)直线l的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直?l⊥α.梳理设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥μ? .a＝kμ(k∈R)平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？知识点三 向量法判断面面垂直思考 答案x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?μ⊥ν?μ·ν＝0? .a1a2＋b1b2＋c1c2＝0题型探究类型一 证明线线垂直例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1.求证：AB1⊥MN.证明设AB中点为O，连结OC，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，
OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.证明∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，AC、BC、C1C两两垂直.
如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线
分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，
类型二 证明线面垂直例2 如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD.证明如图所示，取BC的中点O，连结AO.
因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
平面ABC⊥平面BCC1B1，
且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，
所以AO⊥平面BCC1B1.
又因为BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD.用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.
方法二：(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.跟踪训练2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.证明如图建系，C(1,0,0)，A(0,1,0)，P(0,0,1)，B1(1,1,2)，
又PA∩PC＝P，所以PB1⊥平面PAC.类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x，y，z)，
令x＝1，得y＝1，故n1＝(1,1,0).
设平面AEC1的法向量为n2＝(a，b，c)，
令c＝4，得a＝1，b＝－1，故n2＝(1，－1,4).
因为n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.
所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明面面垂直的两种方法
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练3 如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，
连结AC，设AC与BD相交于点O，
又因为AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，
又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.当堂训练1.有如下四个命题
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β? n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.
其中为真命题的是________.①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.23451答案解析②③④23451因为a·b＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0，所以l1⊥l2.2.若直线l1的方向向量为a＝(2，－4,4)，l2的方向向量为b＝(4,6,4)，则l1与l2的位置关系是______.答案解析垂直23451∵a∥μ，∴l⊥α.3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l与α的位置关系是______.答案解析垂直23451∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直.4.平面α的一个法向量为m＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是______.答案解析垂直23451∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，
∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为
μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为_____.答案解析5空间垂直关系的解决策略本课结束课件44张PPT。第3章 §3.2 空间向量的应用3.2.3 空间的角的计算学习目标
1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.
2.掌握向量法解决空间角的计算问题.
3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 空间角的计算(向量法)思考1 设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈a，b〉吗？答案不一定.若l1，l2的方向向量的夹角为[0， ]内的角时，l1与l2的夹角为〈a，b〉，否则为π－〈a，b〉.思考2 若二面角α－l－β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两法向量的夹角〈n1，n2〉一定相等吗？答案不一定.可能相等，也可能互补.梳理空间三种角的向量求法|cos〈a，b〉||cos〈e，n〉||cos〈n1，n2〉|[0，π]知识点二 向量法求线面角、二面角的原理1.向量法求直线与平面所成角的原理2.向量法求二面角的原理题型探究类型一 求两条异面直线所成的角例1 如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝ ，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.解答建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，
在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解.但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别.跟踪训练1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解答不妨设正方体的棱长为2，
分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，
类型二 求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角.解答建立如图所示的空间直角坐标系，
方法一 取A1B1的中点M，
则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，
又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.
设侧面ABB1A1的法向量为n＝(λ，y，z)，
∴y＝z＝0.故n＝(λ，0,0).
又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内，
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线的夹角，再进行换算.跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.解答由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
∵θ∈[0°，90°]，类型三 求二面角例3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.解答方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
设PA＝AB＝a，AC＝b，
连结BD与AC交于点O，
取AD中点F，则C(b,0,0)，B(0，a,0)，
∴D(b，－a,0)，P(0,0，a)，
∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角).
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.方法二 建系如方法一，∵PA⊥平面ABCD，
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z).
∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.∴x＝0，y＝z，∴取m＝(0,1,1)，(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.跟踪训练3 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ ，
求锐二面角A-PB-C的余弦值.解答如图所示建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0)，B( ，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，
设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，
令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)，
又∵二面角A－PB－C是锐二面角，当堂训练1.在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别
为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为______.
23451答案解析
∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴a与b所成的角是60°.2.已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是_____.23451答案解析60°234513.已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1
所成角的正弦值是____.答案解析以D为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
设AA1＝2AB＝2，
则B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,2)，
设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，
令z＝1，则y＝－2，x＝2，所以n＝(2，－2,1).23451设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，
23451234514.如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线
段BC、SB上的一点(端点除外)，满足 ＝λ，则当实数λ的值为
____时，∠AFE为直角.答案解析∵SA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，
故可建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
∵AB＝4，SA＝3，∴B(0,4,0)，S(0,0,3).
设BC＝m，则C(m,4,0)，
23451
23451建立如图所示的空间直角坐标系，
平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1),
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成的角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.5.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝ ，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是_____.2345130°答案解析向量法求角
(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|.
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.本课结束课件44张PPT。第3章 空间向量与立体几何章末复习课学习目标
1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.
2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.
3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.
4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.
5.会用向量法解决立体几何问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则μ·v＝0a⊥μa·μ＝0μ＝kv，k∈Ra⊥ba·b＝0知识点二 用坐标法解决立体几何问题步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：
(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.
(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.
(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.题型探究其中正确结论的序号是_____.类型一 空间向量及其运算例1 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：③④答案解析向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.解答
由已知ABCD是平行四边形，
类型二 利用空间向量解决位置关系问题例2 四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：
(1)PC∥平面EBD.证明如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在的直线为x轴，y轴，
z轴建立空间直角坐标系.
设DC＝a，PD＝b，
设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
(2)平面PBC⊥平面PCD.证明
设平面PBC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2)证明线面平行的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.
②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.
③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3)证明面面平行的方法
①转化为线线平行、线面平行处理.
②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.
(5)证明线面垂直的方法
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.
②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6)证明面面垂直的方法
①转化为证明线面垂直.
②证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.证明如图，建立空间直角坐标系D－xyz.设正方体棱长为1，则
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面AED和平面A1FD1的一个法向量，
令y1＝1，得m＝(0,1，－2).
令z2＝1，得n＝(0,2,1).
∵m·n＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，
∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1.类型三 利用空间向量求角例3 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；解答交线围成的正方形
EHGF如图所示，
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.解答作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8.
因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
设n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量，
用向量法求空间角的注意点
(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.
(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ.
(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等
或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
(1)求证：GF∥平面ADE；证明方法一 如图，取AE的中点H，连结HG，HD，
由四边形ABCD是矩形，
得AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH?平面ADE，GF?平面ADE，
所以GF∥平面ADE.方法二 如图，取AB中点M，连结MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE?平面ADE，GM?平面ADE，所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，
由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD?平面ADE，MF?平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
又因为GF?平面GMF，所以GF∥平面ADE.(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.解答方法一 如图，在平面BEC内，过B点作BQ∥EC.
因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.
又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.
以B为原点，分别以 的方向为x轴，
y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).
因为AB⊥平面BEC，
所以 ＝(0,0,2)为平面BEC的法向量.
设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量.
方法二 同方法一.取z＝2，得n＝(2，－1,2).当堂训练23451连结AG，BG，在△BCD中，因为点G是CD的中点，
答案解析234512.若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是_____.a＋λb＝(λ，1＋λ，－1).
由(a＋λb)⊥a，知(a＋λb)·a＝0，
∴λ×0＋(1＋λ)×1＋(－1)×(－1)＝0，解得λ＝－2.答案解析－2234513.已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)与b＝(4,2－2m，2－2m)平行，
则m＝______.1或3当2－2m＝0，即m＝1时，a＝(2,0,0)，b＝(4,0,0)，满足a∥b；
当2－2m≠0，即m≠1时，
综上可知，m＝3或m＝1.答案解析234514.已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是____________.x＋y＋z＝0答案解析
∴m＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2).解答23451∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，
∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.
23451(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解答解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.本课结束
