因数与倍数 复习课
一、复习内容
教科书第5页～第17页。
二、复习目标
1．通过整理和复习，进一步理解和掌握因数与倍数的有关概念，知道有关概念之间的联系和区别，并且在运用概念的过程中，逐步发展数学的抽象能力与推理能力。
2. 初步学会分类整理的方法，感受知识是相互联系的，体会从整体上认识数学的思想，掌握一定的学习方法。2·1·c·n·j·y
三、复习重点
明确概念之间的区别和联系
四、复习难点
在整理中构建“因数倍数”的知识网络
五、配套资源
实施资源：《因数与倍数 复习课》教学课件
六、复习设计
（一）课前设计
预习任务
请同学们自主复习课本P5—P17内容,回顾本单元知识学习过程，都学习了哪些概念？这些概念之间有没有联系？试着对这些概念进行整理，形成知识思维导图。
（二）课堂设计
1.回忆基本概念
出示2、3、5、6、12这几个数。
师：看到这几个数，你能想到本单元学习过的哪些知识？
学生自由回答，教师引导有序回忆概念。
师：（贴出因数 倍数）同学们想到了因数倍数的知识，谁能举例具体说一说什么是因数和倍数吗？
学生结合上面出示的几个数解释因数倍数的概念。
师：除了因数和倍数，同学们还想到了奇数、偶数、质数、合数的概念（教师贴出这几个概念卡片），请举例说明这些概念。21·世纪*教育网
引导学生结合前面出示的数解释这几个概念。
师：看到2、3、5，同学们还想到了这些数倍数的特征，谁能说一说2、3、5倍数的特征是什么？我们是怎样探究出来的？（贴出2、3、5倍数的特征概念卡片）
学生自由发言。
师：谁来黑板上写出几个数，请大家判断一下，哪些是2的倍数？哪些是3的倍数？哪些是5的倍数？
学生自己出题，自己练习。
师：单纯看这几个数，我们回忆起了这么多概念，请再深入思考一下，还能回忆起哪些知识？
引导学生回忆两数之和的奇偶性。
师：我们在探求两数之和的奇偶性时，用什么方法来探究的？
学生自由发言。
练一练：用“偶数”和“奇数”填空：
偶数＋（ ）＝偶数 偶数×偶数＝（ ）
（ ）＋奇数＝奇数 奇数×奇数＝（ ）
奇数＋（ ）＝偶数 奇数×（ ）＝偶数
【设计意图：以一组简单并且特征明显的数为线索，让学生重现已有的概念，不仅能抓住要领，而且能提高复习的效率，为接下来建构知识网络做好准备。】www-2-1-cnjy-com
2.完善思维导图，沟通知识间的联系。
（1）引导整理
师：我们在梳理这些概念时，你认为最基本的概念是什么？
因数和倍数
师：请说明理由。
师：你们能从“因数和倍数”这一基本概念出发，将“因数与倍数”的概念整理成一个图吗？
分小组进行讨论学习，课件呈现活动要求。
（1）可以用集合图、连线、大括号、树形图、表格等形式整理出来，或者用自己喜欢的其他方式进行整理。
（2）有条理，能够体现知识间的联系和区别。
（3）说出这样整理的理由。
学生分组活动时，教师巡视，了解学生整理情况并及时给予指导。
【设计意图：将整理知识的主动权交给学生，让学生在合作中形成知识互补，在沟通知识联系的过程中进一步加深对知识的理解。】2-1-c-n-j-y
（2）汇报交流
师：哪一组愿意来介绍整理的情况？
请2～3个小组的同学上台展示汇报知识整理图，说明这样整理的理由，其他小组的同学进行质疑，提出改进意见。【来源：21cnj*y.co*m】
师：通过刚才的交流，同学们对本单元的知识有了进一步的认识，下面请各小组的同学看看你们小组整理的知识图有没有需要改进的地方，请通过改进，使你们组的知识图也更加完善。
各小组对本组的知识图进行反思和修改。
师：现在哪个小组的同学愿意来展示一下经过修改之后的知识整理图？
学生二次交流，全班评价，在共同讨论的基础上逐步完善，大致形成下面知识思维导图。
师：你认为这幅图对你有帮助吗？
学生自由发言。
师：对于概念较多、又有密切联系的知识，可以像这样整理出知识的结构图。在以后的学习中，你们也可以运用这种方法来整理学过的知识。【出处：21教育名师】
【设计意图：让学生在共同交流的基础上进行改进，能够起到自我反思、自我修正的作用，使学生对知识的理解进一步加深，认识进一步升华。】21*cnjy*com
3. 典型题目练习，综合应用知识
（1）将2、10、13、22、39、64、57、61、1、73、111按要求填入下面的圈内。
【知识点】奇数和偶数、质数和合数的意义。
【答案】
【解析】此题主要考查奇数、偶数、质数、合数的意义。
（2）从0、4、5、8、9中选取三个数字组成三位数：
①在能被2整除的数中，最大的是（??? ），最小的是（??? ）；
②在能被3整除的数中，最大的是（??? ），最小的是（??? ）；
③在能被5整除的数中，最大的是（??? ），最小的是（??? ）。
【知识点】能被2、3、5整除的数的特征，简单的排列组合知识。
【答案】（1）984，450；（2）984，405；（3）980；405。
【解析】能被2整除的数，要求个位上是0、2、4、6、8，最大的应该是984，最小的是450；能被3整除的数，各个数位上的数的和是3的倍数，通过排列组合得到其中最大的是984，最小的是405；因为个位是0或者5的数能被5整除，所以最大的是980，最小的是405。
（3）选择。
①如果（都是不等于0的自然数），那么（ ）。
A.是的倍数 B.和都是的倍数 C.和都是的因数
【知识点】整除、因数和倍数的意义。
【答案】C。
【解析】根据因数和倍数的意义，由分析可知：如果（都是不等于0的自然数），则，，所以和是的因数，是和的倍数。
②在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（ ）种填法。
A. 2 B.3 C. 4
【知识点】能被2、3、5整除的数的特征。
【答案】C。
【解析】依据能被2、3、5整除的数的特征，该四位数应是30的倍数。而四位数21□0已知的三个数位上的数之和为3，故方框里可以填入0、3、6、9四个数。
③按因数的个数分，非零自然数可以分为（??? ）。
A.质数和合数 B.奇数和偶数 C.质数、合数和1
【知识点】质数和合数的意义。
【答案】C。
【解析】因为1只有它本身1个因数，所以1既不是质数，也不是合数。根据题意，按因数的个数分，非零自然数可以分为质数、合数和1三类。21教育网
④下列各数或表示数的式子（为奇数）4x，x＋6，，0。是偶数的共有（ ）。
A.4个 B.3个 C.2个
【知识点】判断数的奇偶性。
【答案】B。
【解析】根据数的奇偶性判断：当为奇数时，题中表示数的式子4x和2x＋6的结果一定是偶数；x＋6表示的数一定是奇数。因此，该题中偶数共有三个：4x，2x＋6，0。
（4）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字2、3、7，从中至少取出一张组成一个数，在组成的所有数中，有几个是质数？请将它们写出来。21世纪教育网版权所有
【知识点】质数和合数的意义，排列与组合的有关知识。
【答案】有6个是质数，分别是2、3、7、23、37、73。
【解析】从三张卡片中抽出一张，有三种可能，即一位数有三个，分别是2、3、7，且都为质数；从三张卡片中任意抽取两张，组成的两位数有六个，分别是23、27、32、37、72、73，其中质数有23、37、73；因为2＋3＋7＝12，能被3整除，所以由2、3、7组成的任意三位数都能被3整除，都不可能是质数。www.21-cn-jy.com
（5）菲菲家的电话号码是一个八位数，记为：ABCDEFGH。已知：A是最小的质数，B是最小的合数，C既不是质数也不是合数，D是比最小的质数小2的数，E是10以内最大的合数，F只有因数1和5，G是8的最大因数，H是6的最小倍数。21cnjy.com
【知识点】因数和倍数，质数和合数的意义。
【答案】24109586。
【解析】最小的质数是2；最小的合数是4；C既不是质数也不是合数，是1；D是比最小的质数小2的数，就是0；10以内最大的合数是9；只有因数1和5的数是5；一个数最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。该题考查的知识点较多，应使学生注重对基础概念的理解和掌握，并能联系实际灵活运用。【来源：21·世纪·教育·网】
（6）体育课上，30名学生站成一行，按老师口令从左到右报数：1，2，3，4，…，30。
①老师先让所报的数是2的倍数的同学去跑步，参加跑步的有多少人？
②余下学生中所报的数是3的倍数的同学进行跳绳训练，参加跳绳的有多少人？
③两批同学离开后，再让余下同学中所报的数是5的倍数的同学去器材室拿篮球，有几个人去拿篮球？
④现在队伍里还剩多少人？
【知识点】找一个数的倍数的方法，能被2、3、5整除的数的特征。
【答案】（1）30÷2＝15（人）?
答：参加跑步的有15人。
（2）30以内既能被3整除又是奇数的是：3，9，15，21，27。
答：参加跳绳的有5人。
（3）30以内能被5整除不能被3整除，且是奇数的数是：5，25。
答：有2个人去拿篮球。
（4）30－15－5－2＝8（人）???
答：现在队伍里还剩8人。
【解析】第（1）小题可利用自然数中奇偶数的排列规律直接计算得出；第（2）小题是在余下的奇数中找能被3整除的数；第（3）小题是找30以内能被5整除且不能被3整除的奇数；在前三题的基础上，第（4）小题可通过计算得出。该题分析过程较为复杂，可引导学生先列出1至30的数表，再利用排除法解答。21·cn·jy·com
第一课时 因数和倍数
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第5页的例1、2、3。例1教学因数和倍数的概念，例2教学找出一个数的所有因数，例3教学一个数的倍数的求法。教材在引入因数与倍数的概念时，去掉了可有可无的实际情景，直接给出除法算式，让学生从数学的视角去观察、去思考，而不再是时时处处都依赖生活经验来帮助理解。依据概念找出一个数的因数、倍数，也是让学生独立探究，然后抽象、概括出一般的结论。21·世纪*教育网
（二）核心能力
在认识倍数和因数以及探求一个数的倍数或因数的过程中，加强探究能力和对发现的规律进行归纳概括的能力。【出处：21教育名师】
（三）学习目标
1．结合对整数除法算式的分类，理解因数和倍数的含义，能正确判断谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
2．根据因数和倍数的含义，探索求一个数的因数和倍数的方法，并能正确求求出一个数的因数和倍数。
3．在探求一个数的倍数或因数的过程中，进一步加强探究能力，对发现的规律进行归纳概括的能力。
（四）学习重点
理解因数和倍数的含义，探索找一个数的倍数或因数的方法
（五）学习难点
探索找一个数的倍数或因数的方法
（六）配套资源
实施资源：《因数和倍数》教学课件
二、教学设计
（一）课前设计
1．课前复习
（1）口算
12÷2 8÷3 30÷6 19÷7 9÷5
26÷8 20÷10 21÷21 63÷9
（2）请根据计算的结果把上面的算式分分类。
（二）课堂设计
1.谈话引入
师：人与人之间存在着许多种关系，你们和爸爸（妈妈）的关系是……？
师：我和你们的关系是……？
师：对，我是你们的老师，你们是我的学生，我们的关系是师生关系。在数学中，数与数之间也存在着多种关系，这一节课，我们一起探讨在整数除法中，两数之间的因数与倍数关系。（板书课题：因数与倍数）21*cnjy*com
2.问题探究
（1）因数和倍数的概念
①理解分类标准
出示课前口算题目。
师：你们是怎样分类？
预设1：（分类标准：有余数和没有余数）
①12÷2＝6 9÷5＝1.8 26÷8＝3.25 20÷10＝2
21÷21＝1 63÷9＝7 30÷6＝5
②8÷3＝2……2 19÷7＝2……5
预设2：（分类标准：商是整数而没有余数）
①12÷2＝6 20÷10＝2 21÷21＝1 63÷9＝7 30÷6＝5
②9÷5＝1.8 26÷8＝3.25 8÷3＝2……2 19÷7＝2……5
学生汇报后，对比不同的分类标准，引导分析预设2的分类，为什么商是小数没有余数、商是整数有余数这两种归为一类？9÷5＝1.8也可以写成9÷5＝1……4。21教育网
【设计意图：基于学生的认知基础，让学生自己先分类，然后引导学生观察、分析比较，最后统一分类标准，为揭示因数倍数的概念做铺垫。】
②因数倍数的概念
师：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。例如，12÷2＝6，我们就说12是2的倍数，2是12的因数。12÷2＝6，所以12是6的倍数，6是12的因数。www.21-cn-jy.com
师：说一说第一类的每个算式中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
学生自由发言。
③明确因数与倍数概念的条件与依存性。
师：通过刚才同学们的回答，你发现了什么？
引导学生理解，倍数与因数是相互依存的。
师：请同学们注意，为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指的是自然数，而且其中不包括0。在自然数中像这样的例子还有很多，我们每个同学都在心中想一个，同桌互相说一说。【来源：21·世纪·教育·网】
师：像这样的例子举也举不完，那能不能用比较简洁的方式来叙述因数与倍数的关系呢？ 引导学生根据“用字母表示数”的知识表述因数与倍数的关系。 如：A÷B＝C，A、B、C都是非0自然数，那么C和B是A的因数，A是B和C的倍数。 M×N＝F，M、N、F、都是非0自然数，那么M和N是F的因数，F是M和N的倍数。2-1-c-n-j-y
【设计意图：在理解因数倍数的概念时，让学生在说的过程中，体会二者相互依存的关系，并能用简洁的符号表示因数倍数的关系，培养学生的符号意识和抽象概括能力。】2·1·c·n·j·y
（2）找一个数的因数
师：我们认识了因数和倍数，怎么来找一个数的因数和倍数呢？我们接着研究。
出示：18的因数有哪几个？
师：找18的因数，你认为可以怎样找？
学生交流碰撞。
预设1：用除法找。固定被除数，改变除数，看商是不是整数，如果是，则除数和商都是被除数的因数
预设2：用乘法找，从每个满足条件的乘法算式找出18的一对因数。
师：请你选用自己喜欢的方式找出18的因数有哪几个？
学生独立完成后，全班交流汇报。
师：在找的过程中怎样做到不重复不遗漏呢？
引导学生利用概念有顺序地思考，从小到大或一对一对写出18的所有因数。
课件演示：用集合图表示一个数的全部因数。
练一练：30的因数有哪些？36呢？
（3）找一个数的倍数
出示：2的倍数有哪些？
学生先独立完成，然后全班交流。
引导理解，因为被除数相当于积，所以求2的倍数可以将2和任何非0自然数相乘得到，并且发现2的倍数的个数是无限的。www-2-1-cnjy-com
课件演示：用集合图表示一个数的倍数。
（4）一个数的因数倍数的特征
师：从上面找因数和倍数的过程中，你有什么发现？
学生自由发言。
引导小结：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（5）与前面学过的“因数”“倍”的区别
师：这节我们学得因数与倍数与以前学习的因数和倍有什么区别？
同桌交流讨论，并举例说明它们的区别。
小结：前面学习的“因数”是指乘法算式中相乘的数，“倍”是两个同类量相除的商，它可以是整数也可以是小数，而本节学习的“因数和倍数”是在整数除法中研究的数与数的关系，它们不能单独存在，是互相依存的。
【设计意图：找一个数的因数和倍数时，先引导学生思考找的方法，在实际探究过程中，引导有序思考，做到不重复不遗漏。在经历了找的过程后再引导学生观察找的结果，发现规律并归纳出一个数的因数和倍数的特点。】
3.巩固练习
（1）下面的4组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
4和24 26和13 75和25 81和9
（2）①写出下面各数的因数
6 9 13 24 36
②写出下面各数的倍数。（各写5个）
3 7 11 5 8
（3）下面的说法对吗？说出理由。
①48是6的倍数。
②在14÷4＝3.5中，14是4的倍数。
③因为3×6＝18，所以18是倍数，3和6是因数。
④16的倍数只有16、32、48、54。
⑤一个数的最大因数与它的最小倍数相等。
（4）幼儿园里有一些小朋友，李老师拿了28颗糖平均分给他们，正好分完。小朋友的人数可能是多少？
4.全课总结
师：我们一起来回忆一下，这节课我们重点研究了一个什么问题？你有什么收获呢？
小结：我们一起认识了因数和倍数，知道怎样找一个数的因数和倍数，并且知道一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（三）课时作业
（1）填空。
①根据算式a÷b＝c，（a、b、c均不为零）我们可以说（ ）是（ ）的倍数，（ ）是（ ）的因数。21世纪教育网版权所有
②一个数的最小倍数是12，这个数的因数分别是（ ）。
③一个数是24的因数，还是2和3的倍数，这个数可能是（ ）。
④100，95，90，85，80，…，20，15，5。这列数中，每个数都是（ ）的倍数，第10个数是（ ）。21cnjy.com
答案：①a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 ②1,2，3,4，6,12, ③6,12,24。④5,55。21·cn·jy·com
解析：应用因数和倍数的有关知识，综合解决问题，增加学生灵活应用知识的能力。【考查目标1、2】
（2）猜电话号码：0371－A B C D E F G H
提示： A——5的最小倍数 E——它的最小倍数是1
B——最小的自然数 F——它的所有因数是1，3
C——9的最大因数 G——它既是7的倍数，又是7的因数
D——它只有一个因数 H——它10以内的倍数有2、4、6、8
这个电话号码就是 。
答案：50911372。
解析：综合应用有关因数和倍数的知识，在推导的过程中，加深对概念的理解，培养学生综合应用知识的能力和推理能力。【考查目标2、3】
（3）王鹏到超市买了3元一本的练习本若干，售货员阿姨说应付11元，你认为售货员说得对吗？为什么？
答案：不对。因为11不是3的倍数。
解析：王鹏买了3元一本的练习本若干，说明这些练习本的单价都是3元，总价÷单价＝数量，而11÷3商不是整数，还除不尽，所以不可能。【考查目标1、2】【来源：21cnj*y.co*m】
第二课时 2、5的倍数的特征
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第9页的例1。例1是2、5的倍数的特征，2、5的倍数特征仅仅体现在个位数上，比较明显，容易理解，所以在探究2、5倍数的特征时，教材采用百数表，由学生自己圈数，自己生成观察材料，同时减少提示，放大学生探究的空间，获得更为丰富的数学探究活动经验。21·cn·jy·com
（二）核心能力
利用原有的知识经验，在借助百数表自主探究2、5的倍数特征的过程中，积累观察、猜想、验证、归纳的数学探究活动经验。【来源：21·世纪·教育·网】
（三）学习目标
1．借助百数表，经历探究2、5的倍数特征的过程，理解2、5的倍数的特征，能正确判断一个数是不是2、5的倍数，并能解决生活中的实际问题。
2．知道奇数、偶数的含义，能判断一个数是奇数还是偶数，体会自然数按是不是2的倍数可分为两类。
3．在探究2、5的倍数特征的过程中，积累观察、猜想、验证、归纳的数学探究活动经验。
（四）学习重点
探索2、5的倍数的特征。
（五）学习难点
归纳举证2、5的倍数的特征
（六）配套资源
实施资源：《2、5的倍数的特征》教学课件、百数表、计算器
二、教学设计
（一）课前设计
1．课前预习
自制两张百数表。
（二）课堂设计
1.谈话引入
师：谁来说一说怎样求2和5的倍数？2和5的倍数有没有什么特征呢？今天我们来研究。板书课题：“2、5的倍数的特征”2·1·c·n·j·y
2.问题探究
（1）确定研究方案
师：研究2、5的倍数的特征，你们认为我们第一步要先干什么？
学生自由发言。引导板书出“找倍数”
师：大家认为先找出它们的倍数，你们认为找多少个合适？
引导小结：尽可能多一些，100以内。
师：找完倍数后我们要干什么？
学生自由发言。
引导小结：观察一下有什么规律。板书“观察”
师：我们达成一致意见，要先找出100以内2、5的倍数，观察一下有没有特征，如果你观察出特征，是不是得到结论就行了？21cnjy.com
学生自由发言。
引导小结：要有严谨的探究方法，我们找出的倍数都是两位数，我们看到的特征只能是初步的猜想，我们还要找更大的数验证一下，或者看能不能找出一些反例来。板书“猜想、验证”www-2-1-cnjy-com
【设计意图：学生已经会求一个数的倍数，所以结合学生的认知基础，通过师生对话，引发学生自主制定探求2、5倍数特征的研究方案，调动学生学习的兴趣。】2-1-c-n-j-y
（2）实际操作
师：现在请同学们四人小组为单位，利用百数表，按照我们刚才共同探讨的研究方案进行研究，先研究2的倍数的特征，再研究5的倍数的特征。
（3）归纳小结2、5的倍数的特征
①2的倍数的特征
学生展示圈好的百数表。
师：说说你们的发现？
预设1：个位上的数字都是0、2、4、6、8。
预设2：个位上的数都是双数。
师：你们是怎么验证的？
师：有没有找到反例？
师：你们同意他们小组发现的特征吗？还有什么补充？
小结：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
②5的倍数的特征
师：谁来汇报一下你们发现的5的倍数的特征是什么？并介绍你们研究的整个过程。
小组汇报时，引导学生互动评价。
小结：个位上是0或5的数都是5的倍数。
师：回顾我们探究2、5倍数的特征，（结合板书）我们先找出它们的倍数，对它们进行观察、发现规律，引发我们的猜想，然后经过我们的进一步验证，最后得到结论，归纳出2、5的倍数的特征，这是一种很好的研究问题的方法。板书“归纳”www.21-cn-jy.com
③既是2又是5的倍数的特征
出示：课本第9页“做一做”
下面哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？哪些数既是2的倍数，也是5的倍数？
24 35 67 90 99 3051 15 106
60 75 130 521 280 6018 8100
做完这道题，你发现了什么？
学生先独立判断，然后小结既是2又是5的倍数的特征。
小结：个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数。
【设计意图：在学生自主制定研究方案的基础上，进行实际操作活动，在操作的过程中发现规律，并验证、归纳出规律。让学生经历整个探究过程，从而积累观察、猜想、验证、归纳的数学探究活动经验。】21·世纪*教育网
（3）偶数和奇数
师：生活中，我们会经常说双数和单数。谁能从小到大说出几个双数？说出几个单数？
师：仔细观察，看看这些双数与单数与2有什么关系？
师：其实，单数和双数是我们的日常用语，在数学上有特殊的名称，知道叫什么吗？（板书：奇数 偶数）
师：谁来说一说什么样的数是偶数？奇数？
小结：整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
师：整数中，如果按是不是2的倍数来分，可以分几类？
生自由发言。
小结：0也是偶数。整数中，如果按是不是2的倍数来分，分两类：奇数和偶数。
【设计意图：由2的倍数引出偶数、奇数的概念，沟通数学术语与生活用语的联系，并让学生感知可以按是不是2的倍数为标准，对整数进行分类。】
3.巩固练习
（1）下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？
33 98 607 0 1876 3991 10908
（2）从下面四张数字卡片中取出三张，按要求组成三位数。
奇数 偶数
2的倍数 5的倍数
既是2的倍数，又是5的倍数：
（3）食品店运来75个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？21世纪教育网版权所有
4.全课总结
师：通过这节课的探究，我们获得了什么新知识？采用了什么样的研究方法？
小结：通过找数、观察、猜想、验证、归纳的研究方法，得出了2、5倍数的特征。
（三）课时作业
1.晚上妈妈正开着灯在厨房做饭，宝宝调皮，按了7下开关，这时灯是亮的还是暗的？如果按了30下呢？
按的
次数
1
2
3
4
5
6
7
…
30
…
灯的状态
关
开
关
开
关
开
关
开
答案：暗；亮。
解析：可以引导学生利用填表的方法，先列举出按7下的情况，然后通过观察可以发现，按开关的次数为奇数时，电灯关闭；按开关的次数为偶数时，电灯打开。按了30下，电灯是开着的，所以是亮的。【考查目标2】
2.你能用今天所学习的研究方法解决新的问题吗?
（1）研究问题：4的倍数都是2的倍数吗？
研究方法：找数、观察、猜想、验证、归纳
研究工具：1—50的数字表、计算器
（2）研究问题：4的倍数的特征
研究方法：找数、观察、猜想、验证、归纳
研究工具：51—200的数字表、计算器
答案：略。
解析：利用探究2、5的倍数的特征所初步积累的观察、猜想、验证、归纳的思维活动经验，先探究“4的倍数都是2的倍数吗？”这一问题，进一步积累探究问题的活动经验。接着探究4的倍数的特征，在探究中学生会遇到困难，在反馈时，教师引导遇到新问题，可以换一个角度思考，为探究3的倍数的特征作准备，发展学生合情推理的能力。【考查目标1、3】21教育网
第三课时 3的倍数的特征
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第10页的例2。例2是探究3的倍数特征，教材仍然采用百数表，让学生先圈数，再观察、思考。3的倍数特征比较隐蔽，学生易受2和5倍数特征的观察定式、思维定势的影响，在教材中安排了2条指导语，引导学生探究，让学生换一个角度去观察、去思考，丰富学生解决问题的方法。21*cnjy*com
（二）核心能力
在探究3的倍数特征的过程中，学会从不同角度去观察和思考，进一步积累观察、猜想、验证、归纳的思维活动经验。21·世纪*教育网
（三）学习目标
1．借助百数表，经历探究3的倍数特征的过程，理解3的倍数的特征，能正确判断一个数是不是3的倍数，并解决生活中的实际问题。
2．在探究3的倍数特征的过程中，学会从不同角度去观察和思考，发展合情推理的能力，积累数学思维活动经验。【来源：21cnj*y.co*m】
（四）学习重点
探索3的倍数的特征。
（五）学习难点
归纳举证3的倍数的特征
（六）配套资源
实施资源：《3的倍数的特征》教学课件、百数表、计算器
二、教学设计
（一）课前设计
1．课前复习
（1）回忆我们研究过的2、5倍数的特征是什么？并能给同学们解释是怎样探究出来的。
（2）自制一张百数表。
（二）课堂设计
1.复习引入
师：谁来给大家介绍一下，2、5的倍数特征是什么？我们是怎样研究出来的？
学生自由发言，重点引导学生回忆知识形成的过程。
小结：我们是利用百数表，先找数，然后观察、猜想，最后进行验证和归纳，得出了2、5倍数的特征。
师：这节课我们来研究“3的倍数的特征”。（板书课题）
【设计意图：通过复习2、5倍数的特征及探求的方法，唤醒学生的记忆，为探求3的倍数的特征做铺垫。】
2.问题探究
（1）找3的倍数
师：研究“3的倍数的特征”，你们准备怎样研究？
生自由发言。
师：你们准备借助百数表，利用研究2、5倍数特征的方法来研究3的倍数的特征，现在拿出你准备的百数表。同桌合作先找出3的倍数，然后观察圈出的数，看看有什么发现？ 2·1·c·n·j·y
（2）全班交流、讨论
①发现问题
学生展示圈好的百数表。
师：说说你们的发现？
预设：只看个位不行。
师：为什么不行？
横着看：个位上的数0—9都有，竖着看：个位上的数也是0—9都有。
②分析问题
师：同学们发现，在百数表中（课件出示），横着、竖着观察3的倍数，只看个位上的数，没有规律可循。横着、竖着看，看不出规律，换个角度思考，我们还可以怎样看？只看个位不行，我们还可以看什么？21世纪教育网版权所有
学生自由发言，引导学生斜着看。
师：大家认为除了横着、竖着看，我们还可以斜着看，现在请你斜着观察3的倍数，你又有什么新发现？
生独立观察、发现。
【设计意图：因为3的倍数的特征比较隐蔽，根据探究2、5倍数的特征的经验，学生发现不了规律。在学生实在没人看出规律时，教师再提示学生可以换一个角度去观察、去思考，接着重新去探索。】21cnjy.com
③解决问题
师：把你的发现和根据发现引发的猜想，在小组内交流一下，并想办法来验证你们的猜想。（可以用计算器）
小组合作交流后全班汇报。
（3）归纳3的倍数的特征
师：你们的发现和猜想是什么？
小组汇报，引导学生评价补充。
引导小结：斜着观察发现，每一行数的个位与十位的和分别是3、6、9、12、15，它们都是3的倍数，各个数位上的和是3的倍数，这个数也是3的倍数。
师：这个猜想对不对呢？你们是怎么验证这个猜想呢？
生汇报验证的过程。
师：举什么样的例子既简单又有代表性？
举的例子包含有两位数、三位数、四位数……，多举几个
师：有没有同学发现反例的，各个数位上的和是3的倍数，但是这个数却不是3的倍数。
师：通过验证，你们得出的3的倍数特征是什么，谁再来说一说？
归纳小结：一个数各个数位上的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【设计意图：经过引导，学生进行二次探索，发现、猜想、验证并归纳出3的倍数的特征，积累数学探究的活动经验。】21·cn·jy·com
3.巩固练习
（1）课本第11页“练习二的第3题”
圈出3的倍数。
92 75 36 206 65 3051 779 99999
111 49 165 5988 655 131 2222 7203
（2）课本第10页“做一做”
下面用数字卡片摆出的数中哪些是3的倍数？在每个数后面增加一张卡片，使这个三位数成为3的倍数。
拓展：增加的一张卡片还可以怎么放，放在其他位置上得到的这些不同三位数，都是3的倍数吗？为什么？
（3）小明拿了5个圆片，小军拿个6个圆片，用他们拿的圆片在数位表上摆数，谁拿的圆片摆出的数一定是3的倍数？谁拿的圆片摆出的数一定不是3的倍数？www.21-cn-jy.com
请说明理由。
先独立完成，然后同桌合作操作验证。
4.全课总结
师：通过这节课的探究，我们获得了什么新知识？采用了什么样的研究方法？
在探究的过程中我们遇到了什么新问题？
小结：通过找数、观察、猜想、验证、归纳的研究方法，得出了3的倍数的特征。
师：为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位数？而判断一个数是不是3的倍数，要看各位上数的和呢？请大家课下阅读第13页的“你知道吗”我们下节课进行交流。【来源：21·世纪·教育·网】
（三）课时作业
1.王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？
答案：因为每个足球的价钱是一样的，3个足球的总价应该是3的倍数，但134不是3的倍数，所以售货员算的是不对的。www-2-1-cnjy-com
解析：3的倍数的特征的实际应用，考查学生灵活应用知识的能力，同时感受数学与生活的联系。【考查目标1、2】2-1-c-n-j-y
2.结合研究3的倍数的特征的方法，请你探索9的倍数的特征，并记录探索过程和结果。
探索的过程：
9的倍数的特征是：
答案：略。
解析：进一步利用探究3的倍数的特征所积累的观察、猜想、验证、归纳的思维活动经验，探究9的倍数的特征，发展学生合情推理的能力，增强学生的应用意识。【考查目标2】21教育网
第四课时 质数和合数
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第14页质数与合数的概念及例1。对于质数合数的概念，教材通过让学生找出1～20各数的全部因数，然后按因数的个数分类，在此基础上给出概念。例1是让学生运用质数的概念找出100以内的所有质数。由于小学用到的质数比较少，所以教材只要求找出100以内的质数，这些质数不必要求学生都背，但是熟悉20以内的质数是必须的。
（二）核心能力
在认识质数与合数的过程中，培养观察、分析、归纳的能力；在找100以内质数的过程中，学会有条理的分析和解决问题。www-2-1-cnjy-com
（三）学习目标
1．通过观察引导、归纳推理，理解质数（素数）和合数的意义，会正确判断一个数是质数还是合数。
2．根据质数合数的意义，找出100以内的质数，学会有条理的分析和解决问题，并能熟练判断20以内的数哪个是质数，哪个是合数，
（四）学习重点
质数、合数的意义
（五）学习难点
正确掌握判断质数和合数的方法。
（六）配套资源
实施资源：《质数和合数》教学课件、百数表
二、教学设计
（一）课前设计
1．课前复习
（1）找出1～20各数的因数。
（2）观察找出的1～20各数的因数，看看它们的个数有什么规律？
（二）课堂设计
1.谈话引入
师：学号是每位同学在这个班级的数字代号，每个人对自己学号的数字都会有特殊的感情，是吗？谁愿意用学过的知识来介绍自己的学号是个怎样的数呢？
师：刚才很多同学在介绍学号时很多用到了奇数和偶数的知识，请学号是奇数的同学站起来。哪些人学号是偶数呢？ 都站过了吗？可见自然数可以怎样分类？分类依据是什么？ 21cnjy.com
师：这节课我们换个角度，通过研究因数进一步来研究自然数，看看是否有新的发现。
2.问题探究
（1）认识质数和合数
①引导观察，分类思考
师：课前大家都找出了1～20各数的全部因数，谁来展示一下。
生展示引导学生评价是否正确。
师：现在请所有同学一起来观察大屏上（课件出示）这些数字的所有因数，看看你发现了什么？
师：按照每个数的因数的个数，（板书：按因数的个数）可以分为哪几种情况？并说说你为什么这样分？
全班交流，归纳小结。
可以分成三类：
有一个因数：1
有两个因数：2、3、5、7、11、13、17、19
有两个以上因数：4、6、8、9、10、12、15、16、18、20
②认识质数
师：先观察只有两个因数的特征，他们的因数有什么特点呢？
（出示：只有1和它本身两个因数）
师：我们给这样的数取名为：质数（或素数）（课件出示）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。21教育网
师：谁能举出几个质数的例子，并说说为什么是质数。举得完吗？说明了什么？（质数有无数个）
师：最小的质数是几？最大的呢？
③认识合数
师：再看4、6、9、10等这一类的数，它们的因数跟质数的因数比较，有什么不同呢？
引导小结：除了1和它本身以外，还有别的因数。
师：我们给这样的数取名为：合数。（板书：合数）（课件出示）一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。21·cn·jy·com
师：谁再举出几个合数的例子？举得完吗？说明了什么？（合数也有无数个）
想一想：最小的合数是几？最大的呢？
④1既不是质数也不是合数
师：现在还剩一个1，它是质数还是合数？
交流明确：1既不是质数，也不是合数。
⑤小结
师：按照因数个数的多少，自然数又可以分为哪几类呢？
明确：按照因数的个数，把自然数分为质数、合数和1三类。
【设计意图：通过课前找1～20各数因数，到课中观察因数的个数并发现问题，引导学生分类，从而引出概念。在理解概念的基础上，通过学生举例，进一步加强对概念的理解，明晰概念后，引导学生归纳小结，完善学生对自然数的分类方法的掌握，培养学生思维的灵活性。】www.21-cn-jy.com
（2）100以内的质数
师：如果请你们找出100以内的质数都有哪些，可以怎样来找？
生讨论汇报。
预设1：可以把每个数都验证一下，看哪些是质数。
预设2：先把2的倍数画去，但2除外，画掉的这些数都不是质数。3的倍数也可以……
师：你们认为哪种方法比较简便一些？（预设2的方法）
引导小结：利用百数表和2、3、5倍数的特征，选用筛除法去找质数。
四人小组合作，利用百数表找出100以内的质数，并思考：在找的过程中，画到几的倍数就可以了？
全班交流汇报，教师课件演示。
【设计意图：本环节主要依托小组活动，先制定找的方法，然后实际操作。在找的过程中不断加强对所学知识的理解和综合应用，帮助学生构建完整的知识体系，培养学生良好的数感。】2·1·c·n·j·y
（3）沟通联系，形成能力
师：通过今天的学习，自然数都可以怎样分类？
学生交流后，明确：
自然数按因数的个数分为：质数、因数和1；
自然数按是否是2的倍数分为：奇数和偶数。
师：请大家结合所学的这些知识介绍自己的学号。
随机抽取学生介绍，并适时拓展。
3.巩固练习
（1）将下面各数分别填入指定的圈里。
27 37 41 58 61 73 83 95
11 14 33 47 57 62 87 99
（2）下面的说法正确吗？说说你的理由。
①所有的质数都是奇数。
②所有的偶数都是合数。
③所有的奇数都是质数。
④所有的合数都是偶数。
辨析：①所有的质数都是奇数
学生举反例反驳。
引导：你是怎样很快的找到这个数的，能说说方法吗？
交流，明确：先写出所有的质数，再找其中不是奇数的。
板书找的过程，并标注特殊数。
引申：这句话怎样改就对了？
交流，明确：除2外，所有的质数都是奇数。
辨析：“所有的偶数都是合数”、“所有的奇数都是质数”、“所有的合数都是偶数”。
学生分组辨析，每两大组辨析其中的一句话。
小组合作，用刚才列举的方法找到特殊数。
小组代表上台板演辨析的过程。
对比，明确：
除2外，所有的质数都是奇数，所有的偶数都是合数；
因为9、15等特殊数的存在，“所有的奇数都是质数，所有的合数都是偶数”是错的。
（3）括号内填入正确的质数。
15＝（ ）＋（ ） 18＝（ ）＋（ ）
22＝（ ）＋（ ） 49＝（ ）×（ ）
4.全课总结
师：通过今天的学习你有什么收获？
小结：知道自然数按因数的个数的多少，可以分为三类：质数、合数和1，并且知道质数和合数的定义。
（三）课时作业
（1）填空。
①在1～9这9个自然数中，相邻的两个质数是（ ）和（ ），相邻的两个合数是（ ）和（ ）。21世纪教育网版权所有
②一个三位数，百位上的数是最小的合数，十位上的数是最小的奇数，个位上的数既是质数又是偶数，这个三位数是（ ）。【来源：21·世纪·教育·网】
答案：①2和3；8和9 ②412
解析：综合应用概念，熟练找出10以内的质数和合数。【考查目标1、2】
（2）老师家的电话号码是多少？
①八位号码从左到右排列，第一位上的数是既是2的倍数又是3的倍数的最小一位数。
②第二位上的数是最小的质数；第三位是最小的合数；第四位上的数既不是质数也不是合数。
③第五位上是小于10的最大合数；第六位上是最大的一位数；第七位上是自然数中最小的奇数；最后一位上是8的最大因数。 21·世纪*教育网
答案：62419918。
解析：综合练习题目，既复习因数、倍数的概念及找因数倍数的方法，又巩固质数、合数的概念，培养学生的数学推理能力。【考查目标2、3】
第五课时 和的奇偶性
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第15页的例2。例2是以探索两数之和的奇偶性为例，让学生在探究过程中获得数学活动经验、丰富解决问题的策略。2·1·c·n·j·y
（二）核心能力
在探究和的奇偶性的过程中，获得举例、说理、图示等解决问题的方法，丰富解决问题的策略，并在探究过程中积累分类、观察、猜想、验证、归纳的解决问题经验。【来源：21·世纪·教育·网】
（三）学习目标
1．借助格表，通过举例验证，总结两数之和的奇偶性。
2．在老师的引导下，会用分类的思想思考问题，能把两数之和的奇偶性规律推广到多数之和。
3．会从简单问题入手，通过猜想、验证、推理、解决复杂问题的策略。
（四）学习重点
在探索两数之和奇偶性的过程中渗透解决问题的策略。
（五）学习难点
认识两数之和奇偶性的必要性。
（六）配套资源
实施资源：《和的奇偶性》教学课件、学习单
二、教学设计
（一）课前设计
1．课前复习
（1）偶数是2的倍数，也就是除以2余几？奇数呢？
（2）偶数可以用字母表示为2n（n是自然数），奇数呢？
（3）用1个小正方形表示1，一个接一个摆成两行，偶数总能摆成一个什么图形？奇数呢？请你试着画一画。
（二）课堂设计
1.复习引入
（1）小竞赛：
①快速判断下面各数是奇数还是偶数？
26 580 3471 531894
（明确判断一个数的和是奇数还是偶数只用看个位上的数）
②快速判断下面算式的和是奇数还是偶数？
31＋32＋33＋34＋35＋……＋49＋50
师：像这样判一个算式的和是奇数还是偶数，叫做和的奇偶性。这节课我们来研究“和的奇偶性”。（板书课题）21世纪教育网版权所有
【设计意图：利用游戏引入，从简单到复杂，引出探究和的奇偶性的必要性。】
2.问题探究
（1）分类思考，理解题意
师：你认为要从几个数的和开始研究？
师：从最简单的两数之和开始研究，是数学中常常用到的思路。为了方便，需要先分一分类。
师：两个数相加，如果按奇数偶数可以分成哪几类？
教师根据学生的回答，进行归纳小结。
师：根据大家的回答，也就是我们要探求奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇数的和是奇数还是偶数？偶数与偶数的和是奇数还是偶数？
师：这些问题还可以怎样表示？
根据学生回答，课件出示。
【设计意图：在阅读理解环节，渗透分类思想对研究规律的科学性与便捷性。】
（2）分析与解答
①举例的方法
师：它们的和是奇数还是偶数呢？让我们先来猜一猜！(根据学生猜测板书)
师：这个猜想对不对呢？怎么验证这个猜想呢？（举个例子）
师：举什么样的例子既简单又有代表性？ （用0、2、4、6、8代表偶数，有1、3、5、7、9代表奇数）21·世纪*教育网
出示表格一
第一个加数个位
第二个加数个位
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
指导学生填写表格，
师：观察它们的和，你有什么发现？由此证明了什么？
师：后面的几种情况能不能也用这种方法证明呢？完成学习单一，看看你有什么发现？
第一个加数个位
第二个
加数个位
1
3
5
7
9
1
3
5
7
9
第一个加数个位
第二个
加数个位
1
3
5
7
9
0
2
4
6
8
（学生汇报学习单一，总结并板书：奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数）
②根据奇数、偶数的特征判断。
师：除了举例的方法外，我们还可以根据奇数、偶数的特征判断。
师：这种方法我们借助图示来解释会更清楚。
③图示的方法
借助课件演示数形结合的验证方法，
师：请挑一种情况，用画图的方法进行验证，然后给同桌解释验证的结果。
学生反馈、交流。
【设计意图：在分析解答环节，从简单表格探究入手，到图示方法和利用概念的文字解释，层层递进来证明和的奇偶性的规律，体会解决问题策略的多样性。】21教育网
（3）回顾与反思
师：我们得到的结论正确吗？
引导小结：可以再找大一些的数或者多个数验证一下。
①举一些大一点的数验证
学生自我验证。
②推理验证多数之和的奇偶性
师：接下来我们要研究三个数的和、四个数的和，甚至多个数的和的奇偶性。为了研究方便，也要先分一分类：
根据学生回答，概况为：全偶型 全奇型 混合型
师：先研究全偶型的情况，前面已经知道了两个偶数的和是一个偶数，如果再加一个偶数，结果是什么数？再加一个呢？连续加十个？
学生自由发言。
师：谁能用一句话总结？
引导小结：无论多少个偶数相加，和都是偶数；相加的和是偶数，与偶数的个数没有关系。
师：全奇型的情况请大家借助学习单二独立进行研究。
奇数的个数
和的奇偶性
奇数＋奇数＝
奇数＋奇数＋奇数＝
奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝
奇数＋奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝
奇数＋奇数＋奇数＋奇数＋奇数＋奇数＝
……
研究完，同桌交流，集体汇报。
引导总结：奇数个奇数相加和是奇数，偶数个奇数相加和是偶数。
师：如果既有奇数又有偶数，结果怎样呢？（课件出示）
学生观察，总结：与偶数无关，只看奇数个数。
师：谁能用自己的话说一说，怎样判断多个数的和的奇偶性？
学生自主发言。
引导小结：看加数，如果加数都是偶数，和是偶数；如果加数都是奇数，再看加数的个数，个数是奇数和是奇数，个数是偶数和是偶数；如果加数里既有奇数又有偶数，不看偶数只看奇数的个数，个数是奇数和是奇数，个数是偶数和是偶数。21cnjy.com
【设计意图：在回顾反思环节，培养学生良好的检验习惯和科学的探究精神，并在验证过程中，拓展对知识的理解。】21·cn·jy·com
3.巩固练习
（1）填空。
奇数＋偶数＝（ ） 奇数－偶数＝（ ）
偶数＋偶数＋偶数＝（ ） 奇数＋奇数＋奇数＝（ ）
10个偶数相加的和是（ ） 10个奇数相加的和是（ ）
4个偶数和5个奇数相加的和是（ ）
（2）现在你能快速判断，一开始上课出示的这道题目结果的奇偶性了吗？
快速判断下面算式的和是奇数还是偶数？
31＋32＋33＋34＋35＋……＋49＋50
（3）李老师和她女儿今年岁数的和是奇数，几年之后李老师和她女儿岁数的和是奇数还是偶数？
4.全课总结
师：通过今天的学习你有什么收获？
小结：从简单问题入手 猜想 验证 推理 解决复杂问题
（三）课时作业
（1）判断下面算式的和是奇数还是偶数？
① 16＋38＋402＋594
② 311＋527＋379＋821＋3403
③ 68＋37＋296＋5200＋329＋806＋91＋7000
答案：① 偶数 ② 奇数 ③ 奇数
解析：判断多个数相加和的奇偶性，拓展学生的思维。【考查目标1、2】
（2）我们知道5有2个因数1和5，6有4个因数1，2，3，6。5和6的因数的个数都是偶数。请你找出几个因数个数是奇数的数，你能发现什么？
答案：不唯一。
解析：综合练习题目，既复习因数的概念及找因数的方法，又复习质数、合数的概念，培养学生的数学推理能力。质数，它的因数只有1和它本身，因数的个数肯定是偶数，所以只能从合数里找，合数的因数一般是成对出现，个数一般是偶数，只有特殊的能写成一个数平方的合数，它的因数的个数是奇数。如9、16、25等，让学生发现规律。【考查目标2、3】www.21-cn-jy.com
