第五课时 体积和体积单位
一、学习目标
（一）学习内容
“体积和体积单位”是《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第三单元第27—28页。体积对学生来说是一个新概念。由认识平面图形到认识立体图形，是学生空间观念的一次发展。学生对什么是物体的体积，怎样计量物体的体积，都不易理解。因此在教学过程中要让学生对比感悟空间的相对大小。体积单位是在学生已经熟知了长度单位和面积单位的基础上进行迁移类推引出来的。体积的概念是学生后继学习长方体、正方体体积计算、体积单位的进率及六年级学习圆柱、圆锥体积计算的基础。
（二）核心能力
经历实验的过程，并通过观察和对比，建立体积及体积单位的表象，发展空间观念。
（三）学习目标
1.通过实验、观察对比，感知物体所占空间有大小，理解体积的概念，建立空间观念。
2.通过实验、对比观察，迁移类推出常用的体积单位：立方米、立方分米、立方厘米，建立体积单位的表象。
（四）学习重点
形成体积的概念，理解和掌握常用的体积单位
（五）学习难点
建立空间观念、形成体积概念。
（六）配套资源
实施资源：水杯若干，大小不同的鹅卵石若干，骰子一枚，粉笔盒、3根1米长的木条
二、学习设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）常用的长度单位、面积单位有哪些？
（2）回忆《乌鸦喝水》的故事，乌鸦是怎样喝到水的？为什么？
（二）课堂设计
1．谈话导入，认识空间
师：今天的数学课我们先来做个小实验，看，这是一个装满水的烧杯，这是一块石子，如果把石子放入到烧杯中，会有什么现象发生？
预设：水会溢出来；水会冒出来；水会洒出来；石块会下沉……
师：真的是这样么？我们来看看。（师动手实验）
师：水为什么会溢出来？
预设：石头占了水的空间，把水给挤出去了。
师：这说明石块占了空间。谁再举一个物体占空间的例子？
生：冰箱占了空间。电视占了空间。
师：看来物体都占有一定的空间。（板书：物体占空间）
【设计意图：通过实验一让学生理解物体都是占有空间的，让学生在分析中学会总结。将空间这一概念形象化，具体化，丰富学生的空间表象。】
2．问题探究
（1）理解体积概念
①感知物体所占空间有大小
师：我们再来做个小实验。这儿有两个同样的烧杯，里面有同样多的水，这还是刚才那块石块，这是铁块（体积明显大于石块），（边说边拿起用细绳拴着的石块）如果将它们分别放入这2个烧杯中，会有什么现象发生？
预设1：水面肯定会上升。
预设2：水面上升的高度不一样。
预设3：水还有可能溢出来。
师：好，我们就通过实验来验证我们的猜想。（做实验）
师：水面真的上升了，而且上升高度不同，这又说明了什么呢？
引导小结：这说明石块和铁块不仅占有空间，而且所占空间还有大小。有的大，有的小。（板书：大小）
②揭示体积概念
师：看来这些物体都占有一定的空间，而且占的空间有大有小。在数学中我们把物体所占空间的大小，叫做物体的体积。（板书课题：体积 物体所占空间的大小叫做物体的体积）
③举例理解概念
师：刚才大家提到的冰箱所占空间的大小就是冰箱的体积。谁能像老师这样举个例子？
生举例，引导学生用准确的语言描述物体的体积。
（电视所占空间的大小就是电视的体积。手机所占空间的大小就是手机的体积。洗衣机所占空间的大小就是洗衣机的体积等等）
师：现在谁能解答乌鸦为什么能喝到水了？
【设计意图：由“空间”到“物体要占空间”，再由“物体要占空间”到“每一样物体所占空间”多少的不一样，引出物体的体积概念，环环相扣，层层推理，较好地处理好了体积概念的抽象。考查目标1】
（2）探索常用的体积单位
①用观察法比较相差较多物体的体积
师：刚才，我们比较了物体的体积。接下来我们比较长方体的体积（课件：出示体积相差较多的2个长方体）它们的体积谁大谁小呢？
（第一个长方体的体积大）
②统一体积单位的必要性
师：那么这2个长方体你们认为哪个体积大？
（无法判断时，引导学生回顾面积单位的学习过程，从而引出可以用分割成小正方体的方法来测量）
课件出示切好的两个长方体。
师：数一数，每个长方体含有几个小正方体，现在能判断哪个长方体大了吗？
师：是不是含有小正方体个数多的长方体它的体积一定就更大呢？
……
出示下面两个长方体，让学生判断哪个长方体的体积更大一些？
小结：所以和测量物体长度和面积一样，我们在测量物体体积的时候一定要用统一的体积单位来测量。也就是要用统一的标准。（板书完整课题：和体积单位）
【设计意图：创设比较两个长方体体积的情境，让学生陷入了认知冲突之中，此时老师引领学生回忆面积单位的获得过程，通过迁移类推引出体积单位。考查目标2】
③认识立方厘米、立方分米、立方米
师：那谁知道常用的体积单位有哪些呢？
先试说，后经老师的引导完整说出“立方厘米、立方分米、立方米”（板书）
师：常用的体积单位之一有立方厘米，棱长是1厘米的小正方体，它的体积是1立方厘米 （板书：立方厘米cm3 棱长1cm的正方体，体积是1cm3）
师：那1立方厘米究竟多大呢？我们的学具中就有，能找到吗，每个人都把找到的举起来，互相看一看，说一说。
师：闭上眼睛想一想1立方厘米有多大。
师：生活中哪些物体的体积大约是1立方厘米？
生举例。
（骰子、粉笔头、手指的一节）
师：这个粉笔盒的体积有多大？如果我们还用1立方厘米的小正方体测量它的体积可以吗？
（不合适，这个单位有点小了，太麻烦了。）
师：测量时就需要稍大一些的体积单位-----立方分米，用字母这样表示dm3。我们用尺子量一量它的棱长是多少？它的体积接近1立方分米。
（板书：立方分米dm3 棱长1dm的正方体，体积是1 dm3）
师：生活中哪些物体的体积大约是1立方分米？
生自由回答。
师：比立方分米更大的体积单位，你们知道是什么？
（立方米）棱长是1米的正方体的体积是1立方米。（教师适时板书：立方米 m3 棱长1m的正方体，体积是1 m3）
师：1立方米的空间究竟有多大呢？
师：现在我们用3根1m长的木条做成一个互成直角的架子，放在墙角，看看1m3的体积有多大？你有什么感受？
生自由发言。
师：通过大家共同努力我们认识了体积和体积单位。
【设计意图：小学生对于概念的掌握与他们的知识水平、生活经验有很大的关系。教材中描述的概念学生一看就懂，但要在头脑中真正建立各个体积单位的表象却不易，所以在教学中引导他们观察实物，边想像，再举例，让学生真正感悟“1立方厘米”“1立方分米”“1立方米”的大小。考查目标2】
3.巩固练习
（1）说一说1cm，1cm2，1cm3分别是用来计算什么量的单位，他们有什么不同？
（2） 下面的图形是用棱长1cm的小正方体拼成的，说出它们的体积各是多少。
4. 课堂总结
师：通过这节课的学习，你有什么收获？
小结：通过实验，知道了什么叫做物体的体积，还知道常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，生活中哪些物体的体积接近1立方厘米、1立方分米、1立方米。
三、课时作业
1.在横线上填上合适的体积单位。
答案：cm3 m3 dm3 cm3
解析：通过对实物体积及体积单位的考察，加深理解。【考查目标1、2】
2.下面的图形是用棱长为1dm的小正方体搭成的，它的体积是多少立方分米？怎样能把它变成一个长方体？新组成的长方体体积是多少？
答案：8（dm3） 8（dm3）
解析：体积意义的进一步巩固。如果个数不变，新组成的长方体都是有8个棱长是1dm的正方体组成的，那么他们的体积都是8dm3 。所以有下面三种情况，从而体会体积相同，形状可以不同。【考查目标1、2】
第六课时 体积计算公式的推导
一、学习目标
（一）学习内容
“体积计算公式的推导”是《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第三单元第29—30页。本节内容是在学生已经熟知了长方体、正方体的基本特征，认识了体积单位的基础上进行教学的。在上节课学习体积和体积单位时，“做一做”第2题，通过数小正方体的个数确定立体图形的体积，即加深了学生对体积单位的理解，同时又引导学生会用体积单位表示物体的大小，为学习长方体和正方体的体积公式的推导作好了铺垫。
（二）核心能力
通过猜想和实验，推导出长方体和正方体的体积计算公式，在这个过程中感受不完全归纳法的数学思想，发展空间观念。
（三）学习目标
1.通过猜想、实验，推导出长方体体积计算公式，并迁移类推出正方体体积的计算公式，会利用公式正确进行计算，并能解决一些简单的实际问题。
2.在经历探索长方体和正方体的体积计算公式的推导过程，感受不完全归纳法的数学思想，发展空间观念。
（四）学习重点
能正确运用体积公式计算长方体和正方体的体积。
（五）学习难点
理解长方体和正方体体积公式的推导过程。
（六）配套资源
实施资源：每组边长为１cm的小正方体若干个。
二、学习设计
（一）课前设计
1.复习任务
（1）复习长方形的面积，回忆长方形面积公式的推倒过程，长方形的面积跟长方形的什么有关？
（二）课堂设计
1. 复习导入
师：下面的图形都是由棱长为1厘米的小正方体拼成的,它们的体积各是多少呢？
师：怎么知道它们的体积的？
师：这两个长方体是用体积为1cm3的小正方体摆成的，我们只要数一数一共有几个这样的小正方体就知道它们的体积了。
出示一个长方体模型。
师：该怎样才能知道这个长方体的体积是多少呢？怎么知道一台冰箱的体积呢？
预设：（1）把它切成一些小正方体。（2）先测量，再计算。
师：长方体、正方体这样的立体图形会不会有自己的体积计算公式呢？这节我们就来探究。（板书课题）。
【设计意图：回忆学生熟知的长方形面积公式推导过程和数体积单位的个数确定长方体的体积，引导学生迁移类推。】
2.问题探究
（1）长方体的体积
①复习旧知，引发猜想
师：回想一下，长方形的面积跟长方形的什么有关？
（长和宽）
师：如果把一个长方形垂直向上移动，会形成一个什么图形？（长方体）
师：大胆猜想一下长方体的体积会跟长方体的什么有关？
生猜测。
师：你们敢大胆猜测已经离数学家更近一步了，到底猜测的对不对呢？我们可以动手摆一摆验证一下。
②小组合作拼摆验证
合作要求：
1）取12个棱长为1cm的小正方体，把它们摆成不同形状的长方体。共有几种摆法？
2）观察每次拼摆的长方体，把观察到的数据填入表格中。思考它的长、宽、高各是多少？
3）观察表中的数据，你发现了什么？
每行个数
行数
层数
小正方体的数量/个
长方体的体积/cｍ３
③展示汇报
预设1：长方体所含体积单位的数量就是长方体的体积。
预设2：每行的个数×行数×层数＝长方体的体积
预设3：每行个数就是长方体的长，行数就是长方体的宽，层数就是长方体的高。长方体的体积＝长×宽×高
④归纳总结
引导学生运用：每行的个数×行数×层数得出长方体的体积，并将归纳出长方体的体积＝长×宽×高
师：我们归纳的公式具不具有应用广泛性呢？请四人小组随意取出若干个小正方体拼摆验证一下。
介绍用字母表示长方体体积计算公式：V＝abh
（2）正方体的体积
①迁移类推
师：正方体是特殊的长方体，想一想正方体的体积计算公式？
预设：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
V＝a·a·a
师：两个相同的数相乘可以在这个数的右上角写个小小的2，表示什么？依此类推，3个相同的数相乘可以怎么写？
“a3”读作“a的立方”，表示3个a相乘。
V＝a3
判断：a3＝3a
【设计意图：通过猜想、实验，经历探究公式的过程，从而理解长方体的体积用“长×宽×高”来计算的原理。提升了学生的探究能力和归纳能力，同时感受不完全归纳法的数学思想，发展空间观念。考查目标1、2】
3.巩固练习
（1）判断。
①一个正方体的棱长是5厘米，它的体积53＝15立方厘米。 （ ）
②一个长方体长4分米，宽5分米，高6厘米，它的体积是120立方分米。 （ ）
③一个棱长为6分米的正方体，它的表面积和体积相等。 （ ）
（2）把一个长5米，宽和高都是2分米的长方体熔铸成一个正方体，正方体的体积是多少立方米？
4. 课堂总结
师：通过这节课的学习，你有什么收获？
小结：猜想 实验 得出计算公式 应用公式
（三）课时作业
1.一个正方体的棱长总和是36厘米，它的体积是多少？
答案：27立方厘米
解析：考察棱长和、棱长、体积之间的关系，及正方体公式的灵活运用。【考查目标1、2】
2.建筑工地要挖一个长70m，宽30m，深50cm的长方体土坑。
（1）挖出多少方的土？（在工程上，1m2的土、沙、石等简称“1方”）
（2）将挖出的土铺在一条宽7米的道路上，铺4cm厚,可以铺多长？
答案：（1）105方 （2）375米
解析：考察长方体体积公式的灵活运用，注意单位统一【考查目标1、2】
第七课时 体积的计算
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）五年级下册第30—31页的例1以及课后做一做。
《体积和体积单位》是人教版新课标小学五年级下册的内容，是在学生认识长方体和正方体，空间观念有了进一步发展的基础上教学的。本节课主要采取了学生自主探索的形式来教学体积的计算，先通过复习长方体和正方体体积公式的推导过程，然后利用公式进行计算，加强公式的应用能力。然后介绍底面积的概念，引导学生将长方体和正方体的体积公式统一为“底面积×高”，理解长方体和正方体的体积公式之间的内在联系。
（二）核心能力
借助几何直观，理解长方体和正方体体积公式之间的内在联系，并能应用解决相关的实际问题，在解决问题中发展空间观念。
（三）学习目标
1.能应用体积公式规范的计算长方体和正方体的体积，借助长方体和正方体模型，利用几何直观，理解底面积的概念，在此基础上，理解体积公式之间的内在联系。
2.利用统一公式，灵活解决相关的实际问题，在解决问题中发展空间观念。
（四）学习重点
正确运用公式计算长方体和正方体的体积。
（五）学习难点
理解长方体和正方体的体积公式之间的内在联系。
（六）配套资源
实施资源：正方体教具、长方体学具。
二、教学设计
（一）课前设计
1．课前复习
（1）长方体和正方体的体积公式分别是什么？
（2）长方体和正方体的体积公式是怎样推导出来的？
【设计意图：复习公式的推导过程，加深对体积公式的理解，同时培养学生的空间观念，为例题做准备。】
（二）课堂设计
1.谈话导入
出示课前复习
（1）长方体和正方体的体积公式分别是什么？
（2）长方体和正方体的体积公式是怎样推导出来的？
（学生自由发言）
师：要求一个长方体或正方体的体积，你需要知道几个条件？
（长、宽、高或棱长）
师：这节课我们继续学习长方体和正方体的体积（板书课题）。
2.问题探究
（1）运用公式求体积
出示例1：计算下面图形的体积。
①自主学习,完成练习
②同桌交流，学生板演
V＝abh V＝
＝7×3×4 ＝
＝84（） ＝6×6×6
＝216（）
【设计意图：本题是体积公式的应用，根据已知条件，应用公式计算长方体和正方体的体积，巩固公式。考查目标1】
（2）探究长方体和正方体通用的体积计算公式
①出示长方体和正方体的实物模型，借助模型理解“底面积”的含义
师：我们知道长方体和正方体都有六个面，现在老师所指的长方体（或正方体）的这个面，叫什么？（底面）
师：是的。我们把长方体或正方体底面的面积叫做底面积。现在请同桌互相指出长方体和正方体其他的底面。
师：谁能说一说长方体和正方体的底面积的求法。
通过观察，学生会发现：长方体的底面积＝长×宽 正方体的底面积＝棱长×棱长
②引导学生观察体积公式和底面积的关系，推导出长方体和正方体通用的体积计算公式。
师：你们能看出板书中的体积公式与底面积的关系吗？说说你的发现。
学生先思考再小组交流汇报。最后教师总结：
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高
师：这就是长方体和正方体通用的体积计算公式。如果用字母V表示体积，用S表示底面积，h表示高，那么这个通用的体积计算公式还可以写成：
V＝Sh（板书）
【设计意图：本模块首先利用直观图示让学生知道什么是底面，并通过摸一摸、指一指的方式加深学生对底面的认识，然后通过观察和想象，理解长方体和正方体的体积公式之间的内在联系。考查目标2】
（3）灵活应用
家具厂订购了500根方木，每根方木横截面的面积是2.4，长是3m。这些木料一共是多少方？
①理解题意
师：通过阅读，你知道了哪些数学信息，我们要解决什么数学问题？
(生知道这里的横截面就是方木的底面积，长就是高，在工程上用方来度量物体的体积，1的土、沙、石、木等均简称“1方”)
②学生自主完成，全班汇报
3m＝30dm
V＝Sh
＝2.4×30
＝72()
72×500＝36000()
36000＝36
答：这些木料一共是36方。
【设计意图：本题是长方体体积计算的实际问题。本模块的设计一是为了巩固模块二，二是帮助学生理解木料横截面的面积可以看做是“底面积”，木料的长可以看成“高”。考查目标2】
3.巩固练习
（1）第31页的做一做第一题。
一块长方体肥皂的尺寸如下图，它的体积是多少？
（2）一根长方体木料，长5m，横截面的面积是0.06m2。这根木料的体积是多少?
（3）生活中的数学
①乘飞机的行李规定
机场行李托运一般不超过此规格。 手提行李的三边之和一般不得超过115cm。
②你知道其他交通工具关于行李的规定吗？
学生自由发言
4.课堂总结
师：通过本节课学习，你都有什么收获？
引导小结：长方体和正方体的体积公式可以统一为V＝Sh。知道了如何解决生活中的长方体和正方体的体积问题，了解了什么是“1方”。
（三）课时作业
1.填一填。
（1）一个长方体鱼缸的底面积是12，深25cm，体积是（ ）。
（2）一个体积是200的长方体，高是8cm，底面积是（ ）。
（3）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积将（ ）。
答案：30 25cm 扩大到原来的9倍。
解析：配套模块1和模块2的练习，帮助学生理解长方体和正方体的体积公式。【考查目标1、2】
2.一个正方体，其底面周长是20cm，它的体积是多少?
答案：a＝C÷4 V＝
＝20÷4 ＝
＝5（cm） ＝125（）
答：它的体积是125。
解析：这题是关于例1的变式练习，帮助学生巩固体积计算公式并沟通周长和面积、体积之间的关系。【考查目标1】
3.红星村要修一条长1800m，宽12m的公路，要铺10cm厚的三合土，需要三合土多少立方米？
答案： 10cm＝0.1m
V＝abh
＝1800×12×0.1
＝2160
答：需要三合土2160。
解析：这题是关于例1的实际应用，帮助学生理解生活中有许多的问题都是体积问题，只是问的方式不一样，体积的信息是以不同的方式描述的。【考查目标1】 4.把一个棱长8dm铁块铸成一个长10dm，宽4dm的长方体，铸成的这个长方体铁块的高是多少分米？
答案： V＝ h＝V÷a÷b 或S＝ab
＝ ＝512÷10÷4 ＝10×4
＝512（） ＝12.8（dm） ＝40（）
h＝V÷S
＝512÷40
＝12.8(dm)
答：铸成的这个长方体铁块的高是12.8分米。
解析：综合应用，通过练习，进一步加深学生对本节课知识的理解，加深对体积的理解，沟通正方体和长方体体积之间的联系，发展学生的空间观念。【考查目标1、2】
