模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在极坐标系中，点P(ρ，－θ)关于极点对称的点的一个坐标是( )
A．(－ρ，－θ) B．(ρ，－θ)
C．(ρ，π－θ) D．(ρ，π＋θ)
解析：关于极点对称即为反向延长，故其坐标为(ρ，π－θ)．
答案：C
2．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是( )
A．ρ＝2 B．θ＝
C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2
解析：极坐标为的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2.
答案：D
3．在同一坐标系中，将曲线y＝2cos x变为曲线y＝sin 2x的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
解析：把y＝2cos x化为＝sin 2x，则令＝y′，x＝2x′即可．
答案：B
4．设点M的柱坐标为，则M的直角坐标是( )
A．(1，，7) B．(，1,7)
C．(1,7，) D．(，7,1)
解析：x＝2cos＝，y＝2sin ＝1，z＝7.
答案：B
5．椭圆的参数方程为(φ为参数)，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：椭圆的参数方程可化为＋＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴e＝.
答案：A
6.已知过曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线OP，倾斜角为，则点P的坐标为( )
A．(3,4) B.
C．(－3，－4) D.
解析：将曲线参数方程化成普通方程为＋＝1(y≥0)，与直线PO：y＝x联立可得P点坐标为.
答案：D
7．已知双曲线C的参数方程为(θ为参数)，在下列直线的参数方程中
① ② ③
④ ⑤
(以上方程中t为参数)，可以作为双曲线C的渐近线方程的是( )
A．①③⑤ B．①⑤
C．①②④ D．②④⑤
解析：由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应的a＝3，b＝4且双曲线的焦点在x轴上，因此其渐近线方程是y＝±x.检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．
答案：A
8．在平面直角坐标系中，点集M＝
，则点集M所覆盖的平面图形的面积为( )
A．4π B．3π
C．2π D．与α，β有关
解析：∵两式平方相加得
x2＋y2＝1＋1＋2sin αcos β－2cos αsin β，
即x2＋y2＝2＋2sin(α－β)．
由于－1≤sin(α－β)≤1，
∴0≤2＋2sin(α－β)≤4，
∴点集M所覆盖的平面图形的面积为2×2×π＝4π.
答案：A
9．点(ρ，θ)满足3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cos θ，则ρ2的最大值为( )
A. B．4
C. D．5
解析：由3ρcos2θ＋2ρsin2θ＝6cos θ，两边乘ρ，化为3x2＋2y2＝6x，得y2＝3x－x2，代入ρ2＝x2＋y2，得x2＋y2＝－x2＋3x＝－(x2－6x＋9)＋＝－(x－3)2＋.因为y2＝3x－x2≥0，可得0≤x≤2，故当x＝2时，ρ2＝x2＋y2的最大值为4.
答案：B
10．过椭圆C：(θ为参数)的右焦点F作直线l：交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则＋的值为( )
A. B.
C. D．不能确定
解析：曲线C为椭圆＋＝1，右焦点为F(1,0)，设l：(t为参数)代入椭圆方程得(3＋sin2θ)t2＋6cos θt－9＝0，
t1t2＝－，t1＋t2＝－，
∴＋＝＋＝＝＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C： (t 为参数)的普通方程为________．
解析：直接化简，两式相减消去参数t得，x－y＝1，整理得普通方程为x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
12．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：∵ρ＝4cos θ，
∴ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2＝4x，
∴(x－2)2＋y2＝4为ρ＝4cos θ的直角坐标方程．
当x＝3时，y＝±，
∴直线x＝3与ρ＝4cos θ的交点坐标为(3，)，
(3，－)，
∴|AB|＝2.
答案：2
13．直线(t为参数)与圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．
解析：把x＝1＋t，y＝－3＋t代入x2＋y2＝16，得t2－8t＋12＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则AB中点对应的参数为t0＝(t1＋t2)＝×8＝4，将t0＝4代入直线的参数方程，可求得中点的坐标为
(3，－)．
答案：(3，－)
14．点M(x，y)在椭圆＋＝1上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为________，此时点M的坐标是________．
解析：椭圆的参数方程为(θ为参数)，
则点M(2cos θ，2sin θ)到直线x＋y－4＝0的距离
d＝＝.
当θ＋＝时，dmax＝4，
此时M(－3，－1)．
答案：4 (－3，－1)
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝
(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．
解：因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
所以直线l的普通方程为y＝x， ①
又因为曲线C的参数方程为(α为参数)，
所以曲线C的直角坐标方程为
y＝x2(x∈[－2,2])， ②
联立①②得或(舍去)
故P点的直角坐标为(0,0)．
16．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，
圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)．
(2)求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2；
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ；
联立方程组
解得ρ＝2，θ＝±.
故圆C1，C2的交点极坐标为，.
(2)由(1)知圆C1，C2的交点极坐标为，
故圆C1，C2的交点直角坐标为
(1，)，(1，－)，
故圆C1，C2的公共弦的参数方程为
(－≤t≤)．
17．(本小题满分12分)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程得2x2－3x＋1＝0，
解得l与C1的交点为
A(1,0)，B，
则|AB|＝1.
(2)C2的参数方程为(θ为参数)．故点P的坐标是.
从而点P到直线l的距离d＝＝，
当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为
－.
18．(本小题满分14分)已知某圆的极坐标方程为
ρ2－4ρcos＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)圆上所有点(x，y)中xy的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为
ρ2－4ρ＋6＝0，
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即为所求圆的普通方程．
设
所以参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy＝(2＋cos θ)·(2＋sin θ)
＝4＋2(cos θ＋sin θ)＋2cos θ·sin θ
＝3＋2(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.②
设t＝cos θ＋sin θ，
则t＝sin，t∈[－， ]．
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时，xy有最小值为1；当t＝时，xy有最大值为9.
一平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
用坐标法解决几何问题
[例1] 已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.
[思路点拨] 由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．
[证明] 如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
则直线AC的方程为
y＝－x＋h，
即：hx＋ay－ah＝0.
直线AB的方程为y＝x＋h，
即：hx－ay＋ah＝0.
由点到直线的距离公式：得|BD|＝，
|CE|＝.
∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.
建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
1．求证等腰梯形对角线相等．
已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.
证明：取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，
建立如图所示的直角坐标系．
设A(－a，h)，B(－b,0)，
则D(a，h)，C(b,0)．
∴|AC|＝，
|BD|＝.
∴|AC|＝|BD|，
即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.
2．已知△ABC中，BD＝CD，
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐系xOy，则A(0,0)．
设B(a,0)，C(b，c)，
则D(，)，
所以AD2＋BD2
＝＋＋＋
＝(a2＋b2＋c2)，
AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
用平面直角坐标系解决实际问题
[例2] 如图所示，A，B，C是三个观察站，A在B的正东，两地相距6 km，C在B的北偏西30°，两地相距4 km，在某一时刻，A观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1 km/s,4 s后B，C两个观察站同时发现这种信号，在以过A，B两点的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的P的坐标．
[思路点拨] 由题意可知，点P所在的位置满足两个条件：(1)在线段BC的垂直平分线上；(2)在以A，B为焦点的双曲线上．
[解] 设点P的坐标为(x，y)，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
因为|PB|＝|PC|，所以点P在BC的中垂线上．
因为kBC＝－，BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①
又因为|PB|－|PA|＝4，所以点P必在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
双曲线方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②，解得x＝8或x＝－(舍去)，
所以y＝5.
所以点P的坐标为(8,5)．
运用解析法解决实际问题的步骤
(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便．因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴．
(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程．
(3)运算——通过运算，得到所需要的结果．
3．已知B村位于A村的正西方向1千米处，原计划经过B村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m，但A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区．试问：埋设地下管线m的计划需要修改吗？
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(－1 000,0)，由W位于A的西北方向及
|AW|＝400，得W(－200，200)．
由直线m过B点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m的方程是x－y＋1 000＝0.
于是，点W到直线m的距离为
＝100×(5－－)≈113.6＞100.
所以，埋设地下管线m的计划可以不修改．
直角坐标系中的伸缩变换
[例3] 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y2＝1变成曲线＋＝1.
[思路点拨] 设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．
[解] 设变换为，
代入方程＋＝1，
得＋＝1.与x2＋y2＝1比较，将其变形为
x2＋y2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.
∴，即将圆x2＋y2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆＋＝1.
坐标伸缩变换φ：注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换φ.
4．求4x2－9y2＝1经过伸缩变换后的图形所对应的方程．
解：由伸缩变换得：
将其代入4x2－9y2＝1，
得4·(x′)2－9·(y′)2＝1.
整理得：x′2－y′2＝1.
∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2－y′2＝1.
5．在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为x′2－9y′2＝9，求曲线C的方程．
解：将代入x′2－9y′2＝9，得9x2－9y2＝9，即x2－y2＝1.
6．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线＋＝1变成曲线＋＝1.
解：设变换为代入方程＋＝1，
得＋＝1，与＋＝1比较系数，
得＝，＝，得λ＝2，μ＝1.
∴，即将椭圆＋＝1上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得椭圆＋＝1.
一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A．椭圆 B．比原来大的圆
C．比原来小的圆 D．双曲线
解析：由伸缩变换的意义可得．
答案：D
2．点(1,2)经过伸缩变换后的点的坐标是( )
A．(4，－3) B．(－2,3)
C．(2，－3) D.
解析：把(1,2)代入得
答案：D
3．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝0 B．9x2＋100y2＝0
C．10x＋24y＝0 D.x2＋y2＝0
解析：将代入2x′2＋8y′2＝0，得：
2·(5x)2＋8·(3y)2＝0，即：25x2＋36y2＝0.
答案：A
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
解析：设
则μy＝sin λx，即y＝sin λx.
比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，
可得＝3，λ＝2，∴μ＝，λ＝2.
∴
答案：B
二、填空题
5．y＝cos x经过伸缩变换后，曲线方程变为________．
解析：由得代入y＝cos x，
得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′.
答案：y′＝3cos
6．已知平面内有一固定线段AB且|AB|＝4.动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB中点，则|PO|的最小值为________．
解析：以AB为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则动点P是以AB为实轴的双曲线的右支．其中a＝.故|PO|的最小值为.
答案：
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，
即有|AB|＋|AC|＝6＞4.
∴A点轨迹为椭圆除去B、C两点，且2a＝6,2c＝4.
∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴A点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
三、解答题
8．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)5x＋2y＝0；(2)x2＋y2＝1.
解：由伸缩变换得到 ①
(1)将①代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0，表示一条直线．
(2)将①代入x2＋y2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆．
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为
(b,0)，(0，c)．
则M点的坐标为(，)．
由于|BC|＝，|AM|＝ ＝ ，
故|AM|＝|BC|.
10．如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.
建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
解：以O点为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，
P(，1)，依题意得
||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2＜|AB|＝4.
∴曲线C是以原点为中心，A，B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2,2a＝2，
∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
三简单曲线的极坐标方程
1．圆的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．
③将列出的关系式整理、化简．
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程
(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos_θ.
(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.
(3)圆心在点(a，)处且过极点的圆的方程为ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)．
圆的极坐标方程
[例1] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
[思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程．
[解] 在圆周上任取一点P(如图)
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知：
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．
几种特殊情形下的圆的极坐标方程
当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos θ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．
1．求圆心在C，半径为1的圆的极坐标方程．
解：设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)，如图，在△OCM中，由余弦定理，得
|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|·cos∠COM＝|CM|2，
即ρ2－2ρcos＋1＝0.
当O，C，M三点共线时，点M的极坐标也适合上式，
所以圆的极坐标方程为
ρ2－2ρcos＋1＝0.
2．求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程．
解：设M(ρ，θ)为圆上除O、B外的任意一点，连结OM、MB，则有OB＝4，OM＝ρ，
∠MOB＝θ－π.
∠BMO＝90°，从而△BOM为直角三角形．
∴有|OM|＝|OB|cos∠MOB
即ρ＝4cos＝－4sin θ.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
[例2] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0；
(3)ρ＝.
[思路点拨] 将方程的互化转化为点的互化：
[解] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.
化简，得ρsin2θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，
得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)∵ρ＝，
∴2ρ－ρcos θ＝1.
∴2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．
3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)y＝x；(2)x2－y2＝1.
解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x
得ρsin θ＝ρcos θ，从而θ＝.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2－y2＝1，
得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝.
4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos 2θ＝1；
(2)ρ＝2cos(θ－)．
解：(1)因为ρ2cos 2θ＝1，
所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.
所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.
(2)因为ρ＝2cos θcos＋2sin θsin＝cos θ＋sin θ，
所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ.
所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A．直线 B．射线
C．圆 D．半圆
解析：∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．
答案：C
2．极坐标方程ρ＝asin θ(a＞0)所表示的曲线的图形是( )
解析：如图所示．
设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则∠ONM＝∠MOx＝θ，
在Rt△NMO中，|OM|＝|ON|sin∠ONM，
即ρ＝2rsin θ＝asin θ.
答案：C
3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos θ表示的曲线是( )
A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆
B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆
C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆
D．以点(3，)为圆心，3为半径的圆
解析：由ρ＝6cos θ得ρ2＝6ρcos θ，即x2＋y2－6x＝0，
表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆．
答案：C
4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )
A．ρ＝2cos(θ－) B．ρ＝2sin(θ－)
C．ρ＝2cos(θ－1) D．ρ＝2sin(θ－1)
解析：在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
答案：C
二、填空题
5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．
解析：将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.
答案：ρ＝4sin θ
6．曲线C的极坐标方程为ρ＝3sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．
解析：由ρ＝3sin θ，得ρ2＝3ρsin θ，
故x2＋y2＝3y，即所求方程为x2＋y2－3y＝0.
答案：x2＋y2－3y＝0
7．在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点，则|AB|＝________.
解析：由题意知，直线方程为x＝3，
曲线方程为(x－2)2＋y2＝4，
将x＝3代入圆的方程，
得y＝±，则|AB|＝2.
答案：2
三、解答题
8．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．
(1)x2＋y2－2x＝0；
(2)ρ＝cos θ－2sin θ；
(3)ρ2＝cos2θ.
解：(1)∵x2＋y2－2x＝0，
∴ρ2－2ρcos θ＝0.
∴ρ＝2cos θ.
(2)∵ρ＝cos θ－2sin θ，
∴ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ.
∴x2＋y2＝x－2y，
即x2＋y2－x＋2y＝0.
(3)∵ρ2＝cos2θ，
∴ρ4＝ρ2cos2θ＝(ρcos θ)2.
∴(x2＋y2)2＝x2，
即x2＋y2＝x或x2＋y2＝－x.
9．从极点O引定圆ρ＝2cos θ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形？
解：设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)
则θ＝θ0，＝，∴ρ0＝ρ
∵ρ0＝2cos θ0.
∴ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ
它表示一个圆．
10．若圆C的方程是ρ＝2asin θ，求：
(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程．
(2)关于直线θ＝对称的圆的极坐标方程．
解：法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ，θ)．
(1)点M(ρ，θ)关于极轴对称的点为(ρ，－θ)，
代入圆C的方程ρ＝2asin θ，得ρ＝2asin(－θ)，
即ρ＝－2asin θ为所求．
(2)点M(ρ，θ)关于直线θ＝对称的点为，代入圆C的方程ρ＝2asin θ，得ρ＝2asin ，
即ρ＝－2acos θ为所求．
法二：由圆的极坐标方程ρ＝2asin θ得ρ2＝2ρasin θ，
利用公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ＝，
化为直角坐标方程为x2＋y2＝2ay，
即x2＋(y－a)2＝a2，故圆心为C(0，a)，半径为|a|.
(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a)，
圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，
即x2＋y2＝－2ay，所以ρ2＝－2ρasin θ，
故ρ＝－2asin θ为所求．
(2)由θ＝得tan θ＝－1，
故直线θ＝的直角坐标方程为y＝－x.
圆x2＋(y－a)2＝a2关于直线y＝－x对称的圆的方程为(－y)2＋(－x－a)2＝a2，即(x＋a)2＋y2＝a2，于是x2＋y2＝－2ax，所以ρ2＝－2ρacos θ.
故此圆的极坐标方程为ρ＝－2acos θ.
2．直线的极坐标方程
1．直线的极坐标方程
(1)若直线经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
(2)当直线l过极点，即ρ0＝0时，l的方程为θ＝α.
(3)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时，l的方程为ρcos_θ＝a.
(4)当直线l过点M(b，)且平行于极轴时，l的方程为：ρsin_θ＝b.
2．图形的对称性
(1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称．
(2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在直线对称．
(3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点对称．
求直线的极坐标方程
[例1] 求从极点出发，倾斜角是的射线的极坐标方程．
[思路点拨] 将射线用集合表示出来，进而用坐标表示．
[解] 设M(ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，则射线就是集合
P＝
将已知条件用坐标表示，得
θ＝(ρ≥0)． ①
这就是所求的射线的极坐标方程．方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ，无论取任何正值，θ的对应值都是.
求直线的极坐标方程，首先应明确过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求法．另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程．
1．求过A且垂直于极轴的直线的方程．
解：如图所示，在直线l上任意取点M(ρ，θ)，∵A，
∴|OH|＝2sin＝.
在Rt△OMH中，
|OH|＝|OM|cos θ，
∴＝ρcos θ，即ρcos θ＝，
∴过A且垂直于极轴的直线方程为ρcos θ＝.
2．设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程．
解：设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)．
则∠α＝－＝，
∠β＝π－＝＋θ，
在△OPA中，有＝，
即ρsin＝1.
直线的极坐标方程的应用
[例2] 在极坐标系中，直线l的方程是ρsin＝1，求点P到直线l的距离．
[思路点拨] 将极坐标问题转化为直角坐标问题．
[解] 点P的直角坐标为(，－1)．
直线l：ρsin＝1可化为
ρsin θ·cos－ρcos θ·sin＝1，
即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
∴点P(，－1)到直线x－y＋2＝0的距离为
d＝＝＋1.
故点P到直线ρsin＝1的距离为＋1.
对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．
3．(广东高考)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为________．
解析：由ρsin2θ＝cos θ?ρ2sin2θ＝ρcos θ?y2＝x，又由ρsin θ＝1?y＝1，联立?故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
4．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋)＝，则点A到这条直线的距离是________．
解析：点A的直角坐标为(，－)．
直线ρsin＝，
即ρsin θ·cos＋ρcos θ·sin＝的直角坐标方程为
x＋y＝，即x＋y＝1.
∴点A(，－)到直线x＋y－1＝0的距离为
d＝＝，
故点A(2，)到直线ρsin＝的距离为.
答案：
一、选择题
1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρ＝cos θ B．ρ＝sin θ
C．ρcos θ＝1 D．ρsin θ＝1
解析：设P(ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos θ＝1，即为此直线的极坐标方程．
答案：C
2．7cos θ＋2sin θ＝0表示( )
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
解析：两边同乘以ρ得：7ρcos θ＋2ρsin θ＝0.
即7x＋2y＝0，表示直线．
答案：A
3．极坐标方程cos θ＝(ρ≥0)表示的曲线是( )
A．余弦曲线 B．两条相交直线
C．一条射线 D．两条射线
解析：∵cos θ＝，
∴θ＝±＋2kπ(k∈Z)．
又∵ρ≥0，
∴cos θ＝表示两条射线．
答案：D
4．过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线的极坐标方程是( )
A．ρsin＝ B．ρcos＝
C．ρsin＝5 D．ρsin＝
解析：因为直线θ＝即直线y＝x，
所以过点A(5,0)和直线θ＝垂直的直线方程为
y＝－x＋5，其极坐标方程为ρsin＝.
答案：A
二、填空题
5．把极坐标方程ρcos(θ－)＝1化为直角坐标方程是___________________．
解析：将极坐标方程变为ρcos θ＋ρsin θ＝1，化为直角坐标方程为x＋y＝1，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
6．若直线ρsin(θ＋)＝与直线3x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
解析：直线极坐标方程化为ρsin θ＋ρcos θ＝，即为x＋y－1＝0，由题意知＝－1，∴k＝－3.
答案：－3
7．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为(，0)，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
答案：
三、解答题
8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．
解：由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，
即：2x－y＋7＝0.
设M(ρ，θ)为直线上任意一点，
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程
2x－y＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，
这就是所求的极坐标方程．
9．在极坐标系中，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：
ρsin＝.(ρ≥0,0≤θ＜2π)
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，
则圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，
将两方程联立得解得
即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．
10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A、B两点，且|AB|＝6.
求直线AB的极坐标方程．
解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1.
A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝，ρ2＝＝.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|
＝＝，
∴＝±1，∴cos θ1＝0或cos θ1＝±
故直线AB的极坐标方程为θ＝，θ＝或θ＝.
二极_坐_标_系
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM长度，用θ表示射线Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．
(3)极坐标与直角坐标的区别与联系
直角坐标
极坐标
区别
点与直角坐标是“一对一”的关系
由于终边相同的角有无数个，即点的极角不惟一．因此点与极坐标是“一对多”的关系
联系
直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一对有序的实数
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式，.
点的极坐标
[例1] 已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
[思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．
[解] (1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)由P、Q关于直线θ＝对称，
得它们的极径|OP|＝|OQ|，
点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为
(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
1．在极坐标系中，画出点A，B，C.
解：如图所示．
2．在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π])．
解：作出图形，可知A(3，)关于直线θ＝的对称点是.
点的极坐标与直角坐标的互化
[例2] (1)把点A的极坐标化成直角坐标；
(2)把点P的直角坐标(1，－)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．
[思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题．
[解] (1)x＝2cos＝－，
y＝2sin＝－1，
故点A的直角坐标为(－，－1)．
(2)ρ＝＝2，tan θ＝＝－.
又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝.
因此点P的极坐标是.
(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．
(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．
3．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为( )
A. B.
C. D.
解析：点P(－，)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为.
答案：B
4．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．
(1)已知点A的极坐标(4，)，求它的直角坐标；
(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
解：(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos＝2.
y＝ρsin θ＝4sin＝－2.
∴A点的直角坐标为(2，－2)．
(2)∵ρ＝＝＝2，
tan θ＝＝－1.且点B位于第四象限内，
∴θ＝，∴点B的极坐标为(2，)．
又∵x＝0，y＜0，∴ρ＝15，θ＝π.
∴点C的极坐标为.
一、选择题
1．在极坐标平面内，点M，N，G，H中互相重合的两个点是( )
A．M和N B．M和G
C．M和H D．N和H
解析：由极坐标的定义知，M、N表示同一个点．
答案：A
2．将点M的极坐标化成直角坐标是( )
A．(5,5) B．(5，5)
C．(5,5) D．(－5，－5)
解析：x＝ρcos θ＝10×cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝5.
答案：A
3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
答案：A
4．已知A，B两点的极坐标分别为和，则线段AB中点的直角坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：AB中点的极坐标为，根据互化公式x＝ρcos θ＝cos ＝－，y＝ρsin θ＝sin ＝－，因此，所求直角坐标为.
答案：B
二、填空题
5．点关于极点的对称点为________．
解析：如图，易知对称点为.
答案：
6．在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝＝.
答案：
7．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝，
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
三、解答题
8．在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r,0)，
因为A，
所以 ＝5，
即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．(1)已知点的极坐标分别为A，B，
C，D，求它们的直角坐标．
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，
C，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A，
B(－1，)，C，D(0，－4)．
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A，
B，C.
10．已知定点P.
(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．
解：(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，
∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵＝，
∴sin∠OPO′＝·2＝，∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝，
∴∠PP′x＝.∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为.
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为.
四柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
柱坐标与直角坐标的互相转化
[例1] (1)设点A的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标．
(2)已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标．
[思路点拨] 直接利用公式求解．
[解] (1)由变换公式
即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2.
tan θ＝＝，又x＞0，y＞0，点A在第一象限．
∴θ＝，∴点A的柱坐标为.
(2)由变换公式得：
x＝4cos ＝2，y＝4sin＝2，z＝8.
∴点P的直角坐标为(2,2，8)．
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ，也可利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.
利用tan θ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.
1．已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标．
解：ρ＝ ＝ ＝1.
∵x＝0，y＞0，∴θ＝.
∴点M的柱坐标为.
2．已知点N的柱坐标为，求它的直角坐标．
解：由变换公式得
x＝2cos＝0，y＝2·sin＝2，
故点N的直角坐标为(0,2,3).
球坐标与直角坐标的互相转化
[例2] (1)已知点P的球坐标为求它的直角坐标．
(2)已知点M的直角坐标为(－2，－2，－2)，求它的球坐标．
[思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解．
[解] (1)由变换公式得：
x＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2.
y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2.
z＝rcos φ＝4cos＝－2.
故其直角坐标为(2,2，－2)．
(2)由坐标变换公式，可得
r＝＝＝4.
由rcos φ＝z＝－2，
得cos φ＝＝－，φ＝.
又tan θ＝＝1，θ＝(M在第三象限)，
从而知M点的球坐标为.
由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，φ，θ)，利用变换公式求出r，φ，θ即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置.
3．求下列各点的直角坐标：
(1)M；(2)N.
解：(1)由变换公式得：
x＝rsin φcos θ＝2sincos＝，
y＝rsin φsin θ＝2sinsin＝，
z＝rcos φ＝2cos＝.
故其直角坐标是.
(2)由变换公式得：
x＝rsin φcos θ＝2sincos＝－.
y＝rsin φsin θ＝2sinsin＝－.
z＝rcos φ＝2cos＝－.
故其直角坐标为.
4．求下列各点的球坐标：
(1)M(1，，2)；(2)N(－1,1，－)．
解：(1)由变换公式得：
r＝＝＝2.
由z＝rcos φ得cos φ＝＝＝.
∴φ＝，
又tan θ＝＝＝，x＞0，y＞0，
∴θ＝，
∴它的球坐标为.
(2)由变换公式得：
r＝＝＝2.
由z＝rcos φ得：cos φ＝＝－.
∴φ＝.
又tan θ＝＝＝－1.x＜0，y＞0.
∴θ＝.
∴它的球坐标为.
一、选择题
1．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的( )
A．球 B．球面
C．圆 D．直线
解析：r＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．
答案：B
2．点P的柱坐标是，则其直角坐标为( )
A．(2，2，3) B．(－2，2，3)
C．(－2，－2，3) D．(2，－2，3)
解析：x＝ρcos θ＝4cos＝－2，
y＝ρsin θ＝4sin＝－2，
故其直角坐标为(－2，－2，3)．
答案：C
3．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：由坐标变换公式，得r＝＝2，
cos φ＝＝，∴φ＝.
∵tan θ＝＝＝1，x＜0，y＜0，∴θ＝.
∴M的球坐标为.
答案：B
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：(1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.
答案：C
二、填空题
5．点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为________．
解析：x＝ρcos θ＝4cos ＝2，
y＝ρsin θ＝4sin＝2.
即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为＝＝5.
答案：5
6．已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.
解析：如图所示，
tan φ＝＝，
tan θ＝＝2.
答案： 2
7．在球坐标系中A和B的距离为________．
解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)，
B(－1,1，－)．
∴|AB|＝＝2.
答案：2
三、解答题
8．设点M的直角坐标为(1,1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解：由坐标变换公式，可得ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝(点(1,1)在平面xOy的第一象限)．
r＝＝＝2.由rcos φ＝z＝(0≤φ≤π)，得cos φ＝＝，φ＝.
所以点M的柱坐标为，
球坐标为.
9．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R,45°，70°)，点B的坐标为(R,45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．
解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，如图，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，∠BOO′＝45°，∠AOO′＝45°，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．
则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，
∴∠AO′B＝160°－70°＝90°.
∵OB＝R，O′B＝O′A＝R，
∴AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.
∴∠AOB＝60°，＝·2πR＝πR.
即A，B两点间的球面距离为πR.
10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A－xyz，以Ax为极轴．求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
解：点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，
其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，
由坐标变换公式且
得且
得且
结合图形，得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝.
所以点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为，
球坐标为，其中tan φ＝，0≤φ≤π.
?考情分析
通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．
?真题体验
1．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
所以圆的垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.
答案：B
2．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
解析：将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝(ρ∈R)化成直角坐标方程为x－y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d＝＝.
答案：
3．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，
∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0.
用解析法解决几何问题
利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．
坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．
[例1] 已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值．
[解] 以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
则A，B，C.
设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋32＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立．
∴所求的最小值为a2，此时P点的坐标为P，即为正三角形ABC的中心.
平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
[解] 将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.
化简，得(x－)2＋(y＋3)2＝.
该曲线是以(，－3)为圆心，半径为的圆.
极坐标方程
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0
如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．
[例3] △ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，建立极坐标系，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
[解] 如图：令A(ρ，θ)，
△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，
又|BC|＝10，|AB|＝ρ.
由正弦定理，得＝，
化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.
极坐标与直角坐标的互化
互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．
互化公式为
直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
[例4] (天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
[解析] 由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝x，联立消去y，得x2＝x，解得x＝或x＝0，所以y＝x＝3，即a＝3.
[答案] 3
[例5] 在极坐标系中，点M坐标是(2，)，曲线C的方程为ρ＝2sin(θ＋); 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点．
(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)直线l和曲线C相交于两点A、B，求线段AB的长．
[解] (1)∵直线l过点M(2，)和极点，
∴直线l的直角坐标方程是θ＝(ρ∈R)．
ρ＝2sin(θ＋)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，
两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.
(2)点M的直角坐标为(1，)，直线l过点M和原点，
∴直线l的直角坐标方程为y＝x.
曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r＝，圆心到直线l的距离为d＝，∴|AB|＝＋1.
(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(0，－1)
解析：x＝1×cos π＝－1，y＝1×sin π＝0，
即直角坐标是(－1,0)．
答案：B
2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos 2θ，给定两点P(0，)，Q(2，π)，则有( )
A．P在曲线C上，Q不在曲线C上
B．P、Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上
D．P、Q都在曲线C上
解析：当θ＝时，ρ＝2cos π＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos 2π＝2，故点Q在曲线上．
答案：C
3．点P的柱坐标为，则其直角坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：∵ρ＝16，θ＝，z＝5，
∴x＝ρcos θ＝8，y＝ρsin θ＝8，z＝5，
∴点P的直角坐标是(8,8，5)．
答案：B
4．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
解析：将代入y＝sin x，得μy＝sin λx，
即y＝sin λx，与y＝2sin 3x比较，得μ＝，λ＝3，
即变换公式为
答案：B
5．曲线ρ＝5与θ＝的交点的极坐标写法可以有( )
A．1个 B．2个
C．4个 D．无数个
解析：由极坐标的定义易知有无数个．
答案：D
6．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( )
A．2 B．6
C．2 D．2
解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝＝＝2.
答案：C
7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝的图形是( )
解析：把ρcos θ＝化为直角坐标方程，得x＝，
把ρ＝cos θ代为直角坐标方程，得x2＋y2－x＝0，即其圆心为，半径为，故选项B正确．
答案：B
8．极坐标方程θ＝，θ＝π(ρ＞0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A.π B.π
C.π D.π
解析：三条曲线围成一个扇形，
半径为4，圆心角为－＝.
∴扇形面积为：×4××4＝.
答案：B
9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin(θ－)关于( )
A．线θ＝轴对称 B．线θ＝轴对称
C．(2，)中心对称 D．极点中心对称
解析：ρ＝4sin(θ－)可化为ρ＝4cos(θ－)，可知此曲线是以(2，)为圆心的圆，故圆关于θ＝对称．
答案：B
10．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )
A．①③ B．①
C．②③ D．③
解析：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，但在极坐标系内，曲线上所有点的坐标不一定适合方程，故①是错误的；tan θ＝1不仅表示θ＝这条射线，还表示θ＝这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ＝－3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．
答案：D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析：由圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，得圆心C的直角坐标为(2,0)，点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|＝2.
答案：2
12．点A的直角坐标为，则它的球坐标为________．
解析：r＝＝6.
cos φ＝＝，∴φ＝.
tan θ＝＝，∴θ＝.
∴它的球坐标为.
答案：
13．在极坐标系中，点A关于直线l：ρcos θ＝1的对称点的一个极坐标为________．
解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，则四边OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′＝2，故A′的极坐标可以是.
答案：
14．从极点作圆ρ＝2acos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________．
解析：数形结合，易知所求轨迹是以为圆心，为半径的圆，求得方程是ρ＝acos θ.
答案：ρ＝acos θ
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(辽宁高考改编)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋2＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，
化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即ρ＝.
16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos(θ＋)＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ，
化为普通方程为x2＋y2＝－2x
即(x＋1)2＋y2＝1它表示圆，
圆心为(－1,0)，半径为1.
将ρcos(θ＋)＝1化为普通方程为x－y－2＝0.
∵圆心(－1,0)到直线的距离为＝＞1
∴直线与圆相离．
17．(本小题满分12分)把下列极坐标方程化为直角坐标方程并说明表示什么曲线．
(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；
(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；
(3)ρ＝4；
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.
解：(1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ，
得ρ2＝2aρcos θ，
即x2＋y2＝2ax.
整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.
是以(a,0)为圆心，a为半径的圆．
(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，
即x2＋y2＝9x＋9y，
又可化为(x－)2＋(y－)2＝，
是以(，)为圆心，为半径的圆．
(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.
是以原点为圆心，4为半径的圆．
(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线．
18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)由ρcos＝1，得ρ＝1.
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，得M(2,0)；
当θ＝时，ρ＝，得N.
(2)M点的直角坐标为(2,0)，
N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为，
则P点的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈R.
一曲线的参数方程
1．参数方程的概念
1．参数方程的概念
在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t(θ，φ，…)的函数：①，并且对于每一个t的允许值，方程组①所确定的点(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t叫做参数，相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫普通方程．
2．参数的意义
参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
参数方程表示的曲线上的点
[例1] 已知曲线C的参数方程是(t为参数)．
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系．
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
[思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．
[解] (1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，得：
解得：t＝0.∴点M1在曲线C上．
同理：可知点M2不在曲线C上．
(2)∵点M3(6，a)在曲线C上，∴
解得：t＝2，a＝9.
∴a＝9.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．
1．已知点M(2，－2)在曲线C：(t为参数)上，则其对应的参数t的值为________．
解析：由t＋＝2知t＝1.
答案：1
2．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)．点M(5,4)在该曲线上，求常数a.
解：∵点M(5,4)在曲线C上，
∴解得：
∴a的值为1.
求曲线的参数方程
[例2] 如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B、A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于A、B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于Q.如图所示，则
Rt△OAB≌Rt△QBP.
取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．
∵|OA|＝，
∴|BQ|＝.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
(0＜t＜a)．
法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，
θ为参数，
则∠ABO＝－θ.
在Rt△OAB中，
|OB|＝acos＝asin θ.
在Rt△QBP中，
|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
.
求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
3．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为 rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知：
又θ＝·t，
故参数方程为：
一、选择题
1．下列方程可以作为x轴的参数方程是( )
A. B.
C. D.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线(t为参数)上，则a等于( )
A．4 B．4
C．8 D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得?
答案：B
3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A．(2，－7) B．(，)
C．(，) D．(1,0)
解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．
答案：C
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴.
答案：A
二、填空题
5．已知曲线(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐标代入方程，方程无解，故A点在曲线上．
答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的序号是________．
①；②；③；④.
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．
答案：④
7．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为________________________．
解析：设M(x，y)，
则在x轴上的位移为：x＝1＋9t，
在y轴上的位移为y＝1＋12t.
∴参数方程为：.
答案：
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0得：
(x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ
∴
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos θ＝OAcos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ.
所以P点轨迹的参数方程为
θ∈.
10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)．
设中点P(x，y)，则有：
x＝，y＝.
由得：(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝.
∴
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．
2．圆的参数方程
圆的参数方程
(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos ωt＝，sin ωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(0≤θ＜2π)．
求圆的参数方程
[例1] 圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．
[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解．
[解] 如图所示，
设圆心为O′，连O′M，∵O′为圆心，
∴∠MO′x＝2φ.
∴
(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，
设x－1＝cos θ，y＝sin θ，则
参数方程为(0≤θ＜2π)．
2．已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点M(x，y)．则
即(θ为参数)
这就是所求的轨迹方程．
它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.
圆的参数方程的应用
[例2] 若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．
[思路点拨] (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．
[解] 令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，
故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2.
＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)．
∴－2≤2x＋y≤2.
即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．
3．已知圆C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
解：法一：∵消去θ，
得x2＋(y＋1)2＝1.
∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1.
∴圆心到直线的距离d＝≤1.
解得1－≤a≤1＋.
法二：将圆C的方程代入直线方程，得
cos θ－1＋sin θ＋a＝0，
即a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－sin(θ＋)．
∵－1≤sin(θ＋)≤1，∴1－≤a≤1＋.
一、选择题
1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(2,0)
解析：将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
答案：D
2．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：将化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于＝<2＝r，故直线与圆相交，有两个公共点．
答案：C
3．直线：3x－4y－9＝0与圆：，(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝<2，故选D.
答案：D
4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6
C．26 D．25
解析：设P(2＋cos α，sin α)，代入得：
(2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos α＋8sin α
＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36.
答案：A
二、填空题
5．x＝1与圆x2＋y2＝4的交点坐标是________．
解析：圆x2＋y2＝4的参数方程为
令2cos θ＝1得cos θ＝，∴sin θ＝±.
∴交点坐标为(1，)和(1，－)．
答案：(1，)；(1，－)
6．参数方程表示的图形是________．
解析：x2＋y2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆．
答案：圆
7．设Q(x1，y1)是单位圆x2＋y2＝1上一个动点，则动点P(x－y，x1y1)的轨迹方程是________．
解析：设x1＝cos θ，y1＝sin θ，P(x，y)．
则即为所求．
答案：
三、解答题
8．P是以原点为圆心，r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点
①画图并写出⊙O的参数方程；
②当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解：①如图所示，
⊙O的参数方程
②设M(x，y)，P(2cos θ，2sin θ)，
因Q(6,0)，
∴M的参数方程为
即
9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
10．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，
C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组
解得C1与C2的交点为(1,0)，.
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
3.参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化
(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型，曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
把曲线的普通方程化为参数方程
[例1] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．
(1)＋＝1，x＝cos θ＋1.(θ为参数)
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)
[解] (1)将x＝cos θ＋1代入＋＝1得：y＝2＋sin θ.
∴(θ为参数)
这就是所求的参数方程．
(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：
y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1
＝t2＋3t＋1
∴(t为参数)
这就是所求的参数方程．
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为
(θ为参数)．
1．求xy＝1满足下列条件的参数方程：
(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tan θ(θ≠，k∈Z)．
解：(1)将x＝t代入xy＝1得：t·y＝1，
∵t≠0，∴y＝，
∴(t为参数，t≠0)．
(2)将x＝tan θ代入xy＝1得：y＝.
∴(θ为参数，θ≠，k∈Z).
将参数方程化为普通方程
[例2] 将下列参数方程化为普通方程：
(1)(t为参数)．(2)(θ为参数)．
[思路点拨] (1)可采用代入法，由x＝＋1解出代入y表达式．
(2)采用三角恒等变换求解．
[解] (1)由x＝＋1≥1，有＝x－1，代入y＝1－2，
得y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的一条射线．
(2)由得，
①2＋②2得＋＝1.
消去参数的方法一般有三种：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
2．方程表示的曲线是( )
A．一条直线 B．两条射线
C．一条线段 D．抛物线的一部分
解析：t＞0时 x＝t＋≥2
当t＜0，x＝t＋＝－(－t＋)≤－2.
即曲线方程为y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
答案：B
3．把参数方程(θ为参数)化成普通方程是________．
解析：将x＝sin θ－cos θ两边平方得x2＝1－sin 2θ，
即sin 2θ＝1－x2，代入y＝sin 2θ，得y＝－x2＋1.
又x＝sin θ－cos θ＝sin(θ－)，∴－≤x≤，
故普通方程为y＝－x2＋1(－≤x≤)．
答案：y＝－x2＋1(－≤x≤)
一、选择题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，y∈[0,1]，故选C.
答案：C
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线 B．圆
C．线段 D．射线
解析：x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，
∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
答案：C
3．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析：对A，可化为x2＋y＝1(y∈[0,1])；对B，可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0)；对D，可化为y2＝4x2－4x4.(x∈[－1,1])．
答案：B
4．(北京高考)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
解析：将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1,2)在直线y＝－2x上，故选B.
答案：B
二、填空题
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．
解析：由于cos 2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，
即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)
6．将参数方程(t为参数)化为普通方程为________．
解析：y＝t2＋＝(t＋)2－2＝x2－2.
又y＝t2＋≥2，故所求普通方程为x2－y＝2(y≥2)．
答案：x2－y＝2(y≥2)
7．(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________________．
解析：曲线C的直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，
其参数方程为(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
三、解答题
8．指出下列参数方程表示什么曲线．
(1)(0≤θ≤π)(2)(π≤t≤2π)
解：(1)由，得x2＋y2＝9，又∵0≤θ≤π.
∴－3≤x≤3.0≤y≤3.
∴所求方程为x2＋y2＝9(0≤y≤3)．
这是一个半圆(圆x2＋y2＝9在x轴上方的部分)．
(2)由得：＋＝1.∵π≤t≤2π
∴－2≤x≤2.－3≤y≤0.
∴所求方程为：＋＝1 (－3≤y≤0)．
它表示半个椭圆.
9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．
解：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)
在此圆上任取一点P(2cos θ，2sin θ)，
PQ的中点为M(2cos θ，sin θ)，
PQ中点轨迹的参数方程为(θ为参数)化成普通方程＋y2＝1.
10．已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.
(1)将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)曲线C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．
解：(1)由(θ为参数)
得(x＋2)2＋y2＝10.
∴曲线C1的普通方程为(x＋2)2＋y2＝10.
∵ρ＝2cos θ＋6sin θ，
∴ρ2＝2ρcos θ＋6ρsin θ.
∴x2＋y2＝2x＋6y，即(x－1)2＋(y－3)2＝10.
∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
(2)∵圆C1的圆心为(－2,0)，圆C2的圆心为(1,3)，
∴|C1C2|＝＝3＜2，
∴两圆相交．
设相交弦长为d，
∵两圆半径相等，
∴公共弦平分线段C1C2，
∴2＋2＝()2，
解得d＝，
∴公共弦长为.
三直线的参数方程
1．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0.
2．直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离．
(1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数．
(2)当M0M―→与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.
直线的参数方程
[例1] 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离．
[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．
[解] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，
则tan α＝，sin α＝，cos α＝.
又点P(1,1)在直线l上，
所以直线l的参数方程为(t为参数)．
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．
由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．
1．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________________．
解析：直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．
答案：(t为参数)
2．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
解：设直线的参数方程为
将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，
得3(3＋t)＋2(4＋t)＝6.
解得t＝－，
∴|MP0|＝|t|＝.
直线参数方程的应用
[例2] 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，
(1)写出直线l的参数方程．
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．
[解] (1)∵直线l过点P(1,1)，倾斜角为，
∴直线的参数方程为
即为所求．
(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为
A(1＋t1,1＋t1)，B(1＋t2,1＋t2)，
以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(＋1)t－2＝0，①
因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.
所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
3．直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x2＋y2＝7相交于A、B两点．
(1)求弦长|AB|；
(2)求A、B两点坐标．
解：∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，
∴可设直线l的参数方程为
代入圆方程，得(－4＋t)2＋(t)2＝7.
整理得t2－4t＋9＝0.?
设A、B对应的参数分别t1和t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1t2＝9
∴|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
解?得t1＝3，t2＝，代入直线参数方程
得A点坐标(，)，B点坐标(－，)．
4.如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
(1)P，M间的距离|PM|；
(2)点M的坐标．
解：(1)由题意，知直线l过点P(2,0)，斜率为，
设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，
cos α＝，sin α＝，
∴直线l的参数方程的标准形式为
(t为参数)． *
∵直线l和抛物线相交，
∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x中，
整理得8t2－15t－50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0.
设这个二次方程的两个根为t1，t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝，t1t2＝－.
由M为线段AB的中点，
根据t的几何意义，得|PM|
＝＝.
(2)因为中点M所对应的参数为tM＝，
将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)，
得即M.
一、选择题
1．直线的参数方程为M0(－1,2)和M(x，y)是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是( )
A．有向线段M0M的数量
B．有向线段MM0的数量
C．|M0M|
D．以上都不是
解析：参数方程可化为
答案：B
2．曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是( )
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆 D．射线
解析：由y＝t2－1得y＋1＝t2，代入x＝3t2＋2，
得x－3y－5＝0(x≥2)．故选D.
答案：D
3．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1 B.
C．10 D．2
解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即＝.
答案：B
4．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A. B.
C. D.或
解析：直线化为＝tan α，即y＝tan α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2?tan2α＝，
∴tan α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
答案：D
二、填空题
5．直线(t为参数)上到点M(2，－3)的距离为且在点M下方的点的坐标是________．
解析：把参数方程化成标准形式为把－t看作参数，所求的点在M(2，－3)的下方，所以取－t＝－，即t＝，所以所求点的坐标为(3，－4)．
答案：(3，－4)
6．若直线l的参数方程为
(t为参数)，则直线l的斜率为______．
解析：由参数方程可知，cos θ＝－，sin θ＝.(θ为倾斜角)．
∴tan θ＝－，即为直线斜率．
答案：－
7．已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝____________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析：将l1，l2的方程化为普通方程，得
l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，
l1∥l2?＝≠?k＝4.
l1⊥l2?(－2)·(－)＝－1?k＝－1.
答案：4 －1
三、解答题
8．设直线的参数方程为(t为参数)．
(1)求直线的普通方程；
(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式．
解：(1)把t＝代入y的表达式
得y＝10－，
化简得4x＋3y－50＝0，
所以直线的普通方程为4x＋3y－50＝0.
(2)把参数方程变形为
令t′＝－5t，即有(t′为参数)为参数方程的标准形式．
9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长度．
解：因为直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为.
椭圆＋y2＝1的右焦点为(，0)，直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆方程＋y2＝1，得＋2＝1，
整理，得5t2＋2t－2＝0.
设方程的两实根分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－，t1·t2＝－，
|t1－t2|＝
＝ ＝，
所以弦AB的长为.
10．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，
直线l：(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋3)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
二圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程
椭圆的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0,2π)．
(2)中心在(h，k)的椭圆普通方程为＋＝1，则其参数方程为(φ是参数)．
椭圆的参数方程的应用：求最值
[例1] 已知实数x，y满足＋＝1，
求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
[思路点拨] 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．
[解] 椭圆＋＝1的参数方程为
(φ为参数)．
代入目标函数得
z＝5cos φ－8sin φ＝cos(φ＋φ0)
＝cos(φ＋φ0)(tan φ0＝)．
所以目标函数zmin＝－，zmax＝.
利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．
1．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．
解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(5cos θ，4sin θ)，则
|PA|＝＝
＝＝|3cos θ－5|≤8，
当cos θ＝－1时，|PA|最大．
此时，sin θ＝0，点P的坐标为(－5,0).
椭圆参数方程的应用：求轨迹方程
[例2] 已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
[思路点拨] 由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．
[解] 由题意知A(6,0)、B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
即
消去参数θ得到＋(y－1)2＝1.
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
2．已知椭圆方程是＋＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．
解：设P(4cos θ，3sin θ)，Q(x，y)，则有
即(θ为参数)
∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，即为所求．
3．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，
得2a＝4，即a＝2.
又点A(1，)在椭圆上，
因此＋＝1，得b2＝3，
于是c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则
x＝，y＝，
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
消去θ，得(x＋)2＋＝1.
即为线段F1P中点的轨迹方程.
椭圆参数方程的应用：证明定值
[例3] 已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
[思路点拨] 利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P、Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·|OQ|的值．
[证明] 设M(2cos φ，sin φ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．
则MB1的方程：y＋1＝·x，
令y＝0，则x＝，即|OP|＝.
MB2的方程：y－1＝x，
令y＝0，则x＝.
∴|OQ|＝.
∴|OP|·|OQ|＝×＝4.
即|OP|·|OQ|＝4为定值．
利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．
4．曲线(a＞b＞0)上一点M与两焦点F1、F2所成角为∠F1MF2＝α.
求证：△F1MF2的面积为b2tan.
证明：∵M在椭圆上，
∴由椭圆的定义，得：
|MF1|＋|MF2|＝2a，两边平方，
得|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2.
在△F1MF2中，由余弦定理，得|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos α＝|F1F2|2＝4c2.
由两式，得|MF1||MF2|＝.
故S△F1MF2＝|MF1||MF2|sin α＝b2tan.
一、选择题
1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )
A．π B.
C．2π D.π
解析：∵点(－a,0)中x＝－a，∴－a＝acos θ，∴cos θ＝－1，∴θ＝π.
答案：A
2．把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为参数方程是( )
A.(φ为参数) B.(φ为参数)
C.(φ为参数) D.(φ为参数)
解析：把椭圆的普通方程9x2＋4y2＝36化为＋＝1，则b＝2，a＝3，其参数方程为(φ为参数)．
答案：B
3．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A. B．－
C．2 D．－2
解析：点M的坐标为(1,2)，
∴kOM＝2.
答案：C
4．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．2
解析：由
得x＋y－1＝0(－1≤x≤0，
1≤y≤2)，
由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
答案：B
二、填空题
5．椭圆(θ为参数)的离心率为________
解析：椭圆方程为＋＝1，可知a＝5，b＝4，
∴c＝＝3，∴e＝＝.
答案：
6．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
所以设x＝2cos α，y＝sin α，则
2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝.
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案：5
7．(湖南高考)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝.
答案：
三、解答题
8．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将(0≤θ＜π)化为普通方程得：
＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，
将x＝t2，y＝t代入得：t4＋t2－1＝0，
解得t2＝，
∴t＝(∵y＝t≥0)，x＝t2＝·＝1，
∴交点坐标为(1，)．
9．对于椭圆(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的倍，再把纵坐标缩短为原来的倍即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．
解：设圆的参数方程为(θ为参数)，
如果将该圆看成椭圆，
那么在椭圆中对应的数值分别为a＝b＝r，
所以c＝＝0，则离心率e＝＝0.
即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使OP⊥AP(O为原点)，求离心率e的取值范围．
解：设椭圆的参数方程是(θ为参数)(a＞b＞0)，则椭圆上的点P(acos θ，bsin θ)，A(a,0)．
∵OP⊥AP，∴·＝－1，
即(a2－b2)cos2θ－a2cos θ＋b2＝0.
解得cos θ＝或cos θ＝1(舍去)．
∵a＞b，－1≤cos θ≤1，∴0＜≤1.
把b2＝a2－c2代入得0＜≤1.
即0＜－1≤1，解得≤e＜1.
故离心率e的取值范围为.
2．～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是规定参数φ的取值范围为φ∈[0,2π)且φ≠，φ≠.
(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线－＝1的参数方程是
2．抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px的参数方程为t∈R.
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．
双曲线、抛物线参数方程的基本问题
[例1] (1)双曲线(α为参数)的焦点坐标是________．
(2)将方程化为普通方程是________．
[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解；
(2)利用代入法消去t.
[解析] (1)将化为－＝1，
可知双曲线焦点在y轴，且c＝＝4，
故焦点坐标是(0，±4)．
(2)由y＝＝＝tan2t，
将tan t＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．
[答案] (1)(0，±4)；(2)y＝x2.
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．
(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ，则焦点在y轴上．
1．如果双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6
2．过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x2＋x2＝6.则|AB|＝
________.
解析：化为普通方程是：x＝即y2＝4x，∴p＝2.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
答案：8
双曲线、抛物线参数方程的应用
[例2] 连结原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
[思路点拨] 由条件可知，M点是线段OP的中点，利用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类型．
[解] 设M(x、y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为用中点公式得
变形为y0＝x，即P点的轨迹方程为x2＝4y.
表示抛物线．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
3．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为
则：(|F1P|·|F2P|)2
＝[(sec θ＋)2＋tan2θ]·[(sec θ－)2＋tan2θ]
＝(sec2 θ＋2sec θ＋2＋tan2θ)(sec2 θ－2sec θ＋2＋tan2θ)
＝(sec θ＋1)2(sec θ－1)2
＝(2sec2 θ－1)2.
又|OP|2＝sec2 θ＋tan2θ＝2sec2 θ－1，
由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
一、选择题
1．曲线(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．
答案：B
2．已知某条曲线的参数方程为(其中a是参数)，则该曲线是( )
A．线段 B．圆
C．双曲线 D．圆的一部分
解析：将所给参数方程的两式平方后相减，
得x2－y2＝1.
并且由|x|＝|a＋|≥1，得x≥1或x≤－1，
从而易知结果．
答案：C
3．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支 B．双曲线右支
C．双曲线上支 D．双曲线下支
解析：∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2＝2.
∴表示双曲线的右支．
答案：B
4．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5,0)，F2(5,0)，
设P(4sec θ，3tan θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec θ，y＝＝tan θ.
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
答案：A
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin(θ＋)＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为
即消去参数得：
y2＝1＋2x(－≤x≤)．
答案：y2＝1＋2x(－≤x≤)
6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±＝.
∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
解析：?y2＝2px，焦点F，
过点M作x轴的垂线，垂足为N，由题意可知，△MEF是正三角形，所以∠MFN＝60°，在Rt△MFN中，
|FN|＝|MF|cos 60°＝，
所以3－＝?p＝2.
答案：2
三、解答题
8．已知抛物线(t为参数，p＞0)上的点M，N对应的参数值为t1，t2，且t1＋t2＝0，t1t2＝－p2，求M，N两点间的距离．
解：由题知M，N两点的坐标分别为(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)，
∴|MN|＝
＝＝2p|t1－t2|
＝2p＝4p2.
故M，N两点间的距离为4p2.
9．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
解：设Q(sec θ，tan θ)，
在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.
又|O1Q|2＝sec2 θ＋(tan θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)
＝2tan2θ－4tan θ＋5
＝2(tan θ－1)2＋3.
当tan θ＝1，即θ＝时，|O1Q|2取最小值3，
此时有|O1Q|min＝.
∴|PQ|min＝－1.
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则∴kAP＝，
由kMN＝kAP知t1·t2＝－，
又
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16(－)＝4(x－1)．
∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由M、N在抛物线y2＝8x上知
两式相减得y－y＝8(x1－x2)，
即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∴＝.
设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.
由kPA＝，又k MN＝＝＝，
∴＝.∴y2＝4(x－1)．
∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．
四渐开线与摆线
1．渐开线的产生过程
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．
2．摆线的概念及产生过程
圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线方程：(φ为参数)．
(2)摆线的参数方程：.(φ为参数)．
圆的渐开线的参数方程
[例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．
[思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．
[解] 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧 的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.
作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得
＝(4cos θ，4sin θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，
＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得＝＋.
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
又＝(x，y)，
因此有
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．
1．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．
解析：圆的渐开线的参数方程可化为(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r＝3.
答：3
2．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A，B对应的参数分别是和，求A，B两点的距离．
解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，
分别把φ＝和φ＝代入，可得A，B两点的坐标分别为A，B.
那么，根据两点之间的距离公式可得A，B两点的距离为
|AB|＝
＝ .
即A，B两点之间的距离为
.
圆的摆线的参数方程
[例2] 求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，
向量＝(2α，2)，
向量＝(2sin α，2cos α)，
＝(－2sin α，－2cos α)，
因此＝＋
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)
所以
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
3．摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________．
答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)
4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．
解：xM＝r·φ－r·cos
＝r(φ－sin φ)，
yM＝r＋r·sin(φ－)
＝r(1－cos φ)．
即点M的轨迹方程为
一、选择题
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π B．2π
C．12π D．14π
解析：根据条件可知，圆的摆线方程为
(φ为参数)，把y＝0代入，
得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．
答案：C
2．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①③④
解析：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
答案：C
3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B.
C. D.
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A(3(－1)，3)，
∴|AB|＝ ＝.
答案：C
4．如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是( )
A．3π B．4π
C．5π D．6π
解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案：C
二、填空题
5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：(φ为参数)
6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案：2
7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________．
解析：圆的摆线的参数方程为
令r(1－cos φ)＝0，得：φ＝2kπ代入x＝r(φ－sin φ)
得：x＝r(2kπ－sin2kπ)，又过(1,0)，
∴r(2kπ－sin2kπ)＝1，∴r＝
又r＞0，∴k∈N*
答案：(φ为参数，k∈N*)
三、解答题
8．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．
解：设轮子中心为O，则OM＝a.
点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．
由参数方程知点M的轨迹方程为
9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是
(φ为参数)
10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
解：令y＝0，可得a(1－cos φ)＝0，
由于a＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝a(φ－sin φ)，得x＝a(2kπ－sin2kπ)．
又因为x＝2，所以a(2kπ－sin2kπ)＝2，
即得a＝(k∈Z)．
又由实际可知a＞0，所以a＝(k∈N*)．
易知，当k＝1时，a取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为
(φ为参数)
圆的渐开线的参数方程为
(φ为参数)
?考情分析
通过对近几年新课标区高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题．
?真题体验
1．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：由题意知在直角坐标系下，直线l的方程为y＝x－a，椭圆的方程为＋＝1，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a，解得a＝3.
答案：3
2．(陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
解析：由三角函数定义知＝tan θ(x≠0)，y＝xtan θ，
由x2＋y2－x＝0得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝＝cos2θ，
则y＝xtan θ＝cos2θtan θ＝sin θcos θ，
又θ＝时，x＝0，y＝0也适合题意，故参数方程为(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
3．(新课标全国卷Ⅱ)已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
曲线的参数方程与普通方程的互化
1.消参的常用方法
(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x(或y，或x，y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．
(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin2θ＋cos2θ＝1，sec2θ＝tan2θ＋1，2－2＝4等．
2．消参的注意事项
(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x，y的影响，否则易扩大变量的取值范围．
(2)参数方程中变量x，y就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x，y的取值范围．
[例1] 参数方程表示的曲线是什么？
[解] 化为普通方程是：x2＋y2＝25，∵－≤θ≤，
∴0≤x≤5，－5≤y≤5.
∴表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆．
[例2] 将参数方程(t为参数)化为普通方程．
[解] 由x＝t＋1得t＝(x－1)，代入y＝t2－1，得y＝(x－1)2－1，即为所求普通方程.
直线的参数方程及其应用
1．直线参数方程的标准形式
直线参数方程的一般形式为(t为参数)，只有当b≥0，a2＋b2＝1时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M0(x0，y0)，直线上另外两点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)对应的参数分别为t1，t2，这时就有|M0M1|＝|t1|，|M0M2|＝|t2|，|M1M2|＝|t1－t2|.
2．直线参数方程的应用
直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路．
3．应用直线的参数方程求弦长的注意事项
(1)直线的参数方程应为标准形式．
(2)要注意直线倾斜角的取值范围．
(3)设直线上两点对应的参数分别为t1，t2.
(4)套公式|t1－t2|求弦长．
[例3] 已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．
[解] 设弦AB所在的直线方程为
(t为参数)，
代入方程y2＝4x整理得：
t2sin2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0.①
因为点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.
即sin α－cos α＝0.
因为0≤α＜π，所以α＝.
∴|AB|＝|t1－t2|＝
＝＝8.
曲线的参数方程及其应用
圆心为(a，b)，半径为r的圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)；
长半轴为a，短半轴为b，中心在原点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算．
[例4] (新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，
最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
(时间：90分钟，总分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知曲线的方程为(t为参数)，则下列点中在曲线上的是( )
A．(1,1) B．(2,2)
C．(0,0) D．(1,2)
解析：当t＝0时，x＝0且y＝0.即点(0,0)在曲线上．
答案：C
2．直线x＋y＝0被圆(θ为参数)截得的弦长是( )
A．3 B．6
C．2 D.
解析：圆的普通方程为x2＋y2＝9，半径为3，直线x＋y＝0过圆心，故所得弦长为6.
答案：B
3．点P(1,0)到曲线(其中t为参数且t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：点P与曲线(t∈R)上的点之间的距离d＝＝＝t2＋1≥1.
答案：B
4．参数方程(θ为参数)所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分 B．一条抛物线
C．双曲线的一部分 D．一条双曲线
解析：x＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y2＝－x＋1.
又x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin θ∈[－1,1]，
∴为抛物线的一部分．
答案：A
5．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2,3) B．点(2,0)
C．点(1,3) D．点(0，)
解析：令x＝2cos θ，y＝3sin θ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：＋＝1，∴曲线过点(2,0)．
答案：B
6．已知三个方程：①②
③(都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.
答案：B
7．直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
解析：可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得·|t|＝，可得t＝±，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)．
答案：C
8．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B．2
C. D．2
解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心到直线l的距离d＝＝，直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
答案：D
9．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )
A．π B．3π
C．6π D．9π
解析：把已知点(3,0)代入参数方程得由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r·(cos 0＋0)，所以r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案：D
10．已知方程x2－ax＋b＝0的两根是sin θ和cos θ(|θ|≤)，则点(a，b)的轨迹是( )
A．椭圆弧 B．圆弧
C．双曲线弧 D．抛物线弧
解析：由题知即
a2－2b＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1.
又|θ|≤.
∴表示抛物线弧．
答案：D
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，
由题意知，＝1，∴k＝±.
答案：±
12．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为______________．
解析：双曲线的普通方程为－x2＝1，
由－x2＝0，得y＝±2x，即为渐近线方程．
答案：y＝±2x
13．已知点P在直线(t为参数)上，点Q为曲线(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最小值等于________．
解析：直线方程为3x－4y－5＝0，
由题意，点Q到直线的距离d＝
＝，∴dmin＝，即|PQ|min＝.
答案：
14．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________.
解析：由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)代入直线方程x－y－2＝0，
得1＋t－－2＝0，解得t＝－6(＋1)．根据t的几何意义可知|MM0|＝6(＋1)．
答案：6(＋1)
三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)(福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2.
16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值．
解：因为椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数)．故可设动点P的坐标为，其中0≤φ＜2π.
因此，S＝x＋y＝cos φ＋sin φ
＝2
＝2sin.
所以当φ＝时，S取得最大值2.
17．(本小题满分12分)已知曲线C1：(t是参数)，C：(θ是参数)
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线
C3：(t是参数)距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1，
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)．
C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|.
从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.
18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
解：(1)直线l的参数方程：(t为参数)．
∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.
(2)直线l的参数方程：(t为参数)，
代入x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，
∴sin α·cos α＞0，又0≤α＜π，
∴α∈，且t1＜0，t2＜0.
∴|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4(sin α＋cos α)＝4sin，
由α∈，得α＋∈，
∴＜sin≤1，
故|PM|＋|PN|的取值范围是(4,4]．
