三角形的内角和
编写意图
(1)三角形的内角和是三角形的一个重要性质。它有助于学生理解三角形的三个内角之间的关系，也是进一步学习的基础。
教材先通过“量、算”不同类型的三角形的内角度数，使学生初步感受到它们的内角和大约是180°，培养学生实事求是、诚实、严谨的实验态度，感受误差的真实存在性。
然后，教材构建了“剪、拼、看”的活动，引导学生用实验的方法验证三角形的内角和是180°。
(2)“做一做”的第1题是直接应用“三角形的内角和是180°”来计算求解的基础性练习题。
第2题是把一个大三角形分割成2个小三角形，求每个小三角形的内角和，帮助学生进一步理解三角形内角和是180°的含义，体会三角形的内角和与三角形的大小无关。
教学建议
(1)关注操作活动中学生遇到的真问题。
学生在“量、算”三角形内角和的活动中常出现两个问题：一是测量3个内角后所得到的和不是180°；二是学生已经知道了结论，操作时不自觉地用结论调整自己的测量，制造出一个“伪结果”，如先测出两个角的度数，再用180°减去两个角的度数和，从而求得第三个角的度数。
在用剪下来的三个角拼成一个平角的过程中学生也常出现两个问题：一是剪下的角不知是哪个角；二是剪下来的三个角拼不成平角。
(2)重视学生的实践活动与数学结论存在误差的处理。
面对学生的问题，教师可以组织学生研讨“应该怎样进行实验？实验的时候应该注意什么？”，使学生懂得验证三角形的内角和是180°，先测量再相加的过程中，测量时可能会有误差，剪得三角形的边不够直也会造成误差，在一系列的实验、操作活动中，积累一些认识图形的经验和方法，逐步推理归纳出三角形内角和。
编写意图
(1)例7是运用探索三角形内角和的经验探索四边形内角和。通过研讨四边形的内角和，让学生经历观察、思考、推理、归纳的过程，培养学生探究推理能力。
(2)在阅读与理解中，教材先将四边形分为已学过的长方形、正方形、梯形等图形，再研讨这些已学过的四边形的内角和是否一样，渗透了分类验证的思考方法。
(3)在分析与操作中，首先通过计算长方形、正方形的内角和，得出特殊的四边形的内角和是360°，进而产生疑问：“用什么办法求出其他四边形的内角和呢？”由此产生研究一般四边形内角和的愿望。接着安排学生通过实验的方法得出四边形的内角和——把一个四边形的4个角拼在一起，从拼成的是周角得出4个角的度数和是360°；还安排了用转化方法得出四边形的内角和——把四边形分成2个三角形，借助三角形的内角和得出四边形的内角和是360°。
(4)在回顾与反思中，要让学生进一步感受到所得的结论具有普遍性。
教学建议
(1)从特殊到一般，通过实验得出四边形的内角和是360°。
让学生“了解四边形的内角和是360°”是《标准》规定的教学内容和教学要求，这里讲的“了解”不是接受和知道，而是发现并简单应用。教学中，要让学生经历由特殊到一般实验过程，要让学生通过自己的探索活动认识与掌握四边形内角和是360°。对于学有余力的学生，还可以扩展到求五边形、六边形……的内角和，引导学生探究规律，培养学生简单的推理能力。
(2)利用转化思想，探究多边形的内角和。
转化思想是一种基本的思想方法，利用它可以把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题……在探究四边形的内角和时，引导学生把四边形转化为三角形，探究五边形、六边形的内角和时，也可以引导学生进行转化，并在转化中观察并发现：每次转化后的三角形个数与多边形边数之间的关系，继而活动多边形的内角和，在这个过程中，体会感受思想，形成解决问题的方法。
《三角形的分类》教学设计
一、教学内容
义务教育教科书数学四年级下63～64页。
二、教学目标
1．知识与技能
通过学生活动，帮助学生理解三角形按角分类的方法，掌握直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的概念；知道等腰三角形、等边三角形。培养学生观察，动手操作和抽象概括的能力；发展空间观念。
2．过程与方法
使学生经历观察、操作、比较、概括等过程，在分类中体会每一类三角形角的特点；发现边的特点。渗透集合思想。
3．情感、态度与价值观
激发学生的主动参与意识，使学生感受到成功的喜悦，更增强学习兴趣。
三、教学重点
直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形的概念。
教学难点
发现三角形角的特点。
五、教学过程
环节预设
教师活动
学生活动
设计意图
（一）揭示课题
师：上节课我们了解了三角形的稳定性以及三角形边的关系。这节课我们继续来研究三角形。请看屏幕，老师给大家带来了一些三角形（出示形态各异的三角形）这么多形状、大小不同的三角形你能给它们分分类吗？想一想，可以根据什么分类？
师：这节课我们就一起来研究三角形的分类。
生：根据角的特点、根据边的特点。
（二）探索新知
1．按角分类
（1）师：分好了吗？说说你是怎么分的？
（2）师：你能根据每一类三角形的特点给它们起个名字吗？
（3）师：刚才我们把10个三角形按角分类分为3类，那么如果三角形的个数增多，还是按角分类，应分为几类呢？
小结：不管三角形的个数有多少，只要按角分类就只分为这3类。
师：既然这样，如果把所有的三角形看作一个整体，每一类三角形和三角形这个整体有什么关系？你能用集合图来表示吗？
（4）猜一猜：
被信封遮住的可能是什么三角形？根据什么理由判断的？
①一个三角形露出一个钝角。它是什么三角形？一个三角形中会不会有2个钝角？
小结：看到一个钝角，我们能确定它一定是一个钝角三角形。
②一个三角形露出一个直角，它是什么三角形呢? 一个三角形中会不会有2个直角？
小结：看到一个直角，我们能确定它一定是一个直角三角形。
③一个三角形露出一个锐角。它是什么三角形？
小结：看到一个锐角，我们不能确定它是什么三角形，因为任何一个三角形都至少有2个角是锐角，因此看到一个锐角，这个三角形可能是锐角三角形，可能是直角三角形，也可能是钝角三角形；得看到全部3个角都是锐角了，才能确定它是锐角三角形。
生：我是根据角的特点分的：2、6、8都有一个角是钝角分为一类；3和7都有一个角是直角分为一类；1、4、5、9的三个角都是锐角分为一类。
生：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。
生：可以画一个圆或一个椭圆表示所有的三角形，再把它分成三部分，每一部分表示一种三角形。
2．认识等腰三角形、等边三角形
（1）认识等腰三角形。
师：刚才我们按角将三角形分为了3类，下面我们从边的特点上进一步认识三角形。
请你观察刚才的9个三角形的边，说说你是怎么分类的？
师：（边指边说）这几个三角形都有两条边相等，这样的三角形叫做等腰三角形。在每个等腰三角形中，相等的两条边叫做三角形的腰，另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角，底边上的角叫底角。
师：从你手中的三角形中选一个等腰三角形，指一指它的两腰、底、两个底角和顶角。
（2）认识等边三角形。
师：在这几个等腰三角形中有一个特殊的，你找到了吗？
师：像这样三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。在生活中，你见过这样的三角形吗？还有吗？细心的同学一定可以发现更多更多。
出示P64图
（3）探索等腰三角形和等边三角形的特征。
师：刚才我们了解了等腰三角形有两条边相等，等边三角形有三条边相等，除此之外，它们还有什么特征吗？我们可以利用手中的学具量一量、折一折。
师：真是了不起，同学们通过折一折、量一量的活动，发现了等腰三角形不仅两腰相等，而且两个底角也相等；等边三角形三条边相等，三个角也相等，而且它们都是对称图形。
生：三角形按边分为两类，一类是都有两条边相等；一类是三条边都不相等。
生：通过测量，我发现有一个三角形，它的三条边都相等。
生：通过对折，发现等腰三角形的两个底角相等。并且由于对折后，两侧完全重合，可以知道等腰三角形是一个对称图形，折痕就是它的对称轴，它有一条对称轴。
生：我也是通过将等边三角形对折两次，发现等边三角形的三个角都相等，我用量角器又量了一下，发现等边三角形的每个角都是60度。而且我们可以把等边三角形从不同方向对折三次，每次对折后，两侧都是完全重合，可以知道等边三角形也是对称图形，而且有三条对称轴。
（三）总结、拓展
师：最后让我们回顾一下，通过这节课的学习，我们根据三角形角的特点把三角形分成了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类；根据三角形边的特征认识了等腰三角形和等边三角形。有关三角形的知识还有很多，下节课我们继续来研究。
（四）巩固练习
按要求举出三角形
《三角形的认识》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在观察、操作活动中，概括三角形的特征，认识各部分名称以及底和高的含义，会在三角形内画高，用字母表示三角形。
（二）过程与方法
在观察、操作活动、概括中，积累认识图形的经验和方法。
（三）情感态度和价值观
体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点
教学重点：概括三角形的概念，认识三角形各部分的名称，知道三角形的底和高。
教学难点：会画三角形的高。
三、教学准备
课件、实物投影。
四、教学过程
（一）创设情境，引入新知
1．出示主题图。
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教师：同学们，你们知道这是哪儿吗？你能找出图中的三角形吗？
2．生活中的三角形。
教师：生活中哪儿有三角形？（随着学生说出示）
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3．引入。
教师：真会观察，生活中的很多地方都会用到三角形，今天我们就一起走进三角形的世界。
【设计意图】关注学生已有的知识经验，让学生在熟悉的情境中找三角形，列举生活中的三角形，唤起旧知，调动学生已有的生活经验，丰富了三角形的表象，同时体会三角形与生活的密切联系。
（二）探究新知
1．教学三角形的含义。
（1）教师：我们在生活中找到了三角形，现在请你画一个三角形。
（2）订正：谁来展示一下自己画出的三角形？说说你是怎么画的。（先画一条线段，从这条线段的一个端点出发，再画一条线段，把两条线段的端点连接起来）
预设：学生会画出不同的三角形。在说画法的过程中体会“围成”。
（3）课件出示：
教师：大家看，这两个是三角形吗？为什么？（有两条线段的端点没有连上）
课件演示：画三角形的过程。
教师：大家说得非常好，三角形每相邻两条线段的端点必须相连，这样相连的三条线段就是“围成”。
（4）教师总结：说说什么是三角形？（由3条线段围成的图形叫做三角形）
【设计意图】在画三角形、说画法、辨析交流的过程中，理解“围成”的含义，概括三角形的含义。培养学生的观察能力和语言表达能力。
2．三角形各部分名称。
（1）教师：你画的三角形有几条边？几个角？几个顶点？标在图上。
（2）汇报：
教师：大家画的三角形样子各不相同，但它们都有3个顶点、3条边和3个角。
（3）教师：如果在三角形的三个顶点上分别写上三个不同的大写字母，如：A、B、C，那么这个三角形就是“三角形ABC”，也可以称为“三角形ACB”或“三角形BAC”等。
教师：再说说，三角形ABC的3条边、3个角、3个顶点分别是什么？
3条边：AB、AC、BC；
3个顶点：A、B、C；
3个角：∠ A、∠ B、∠ C。
【设计意图】在说、指、写三角形各部分名称的活动中， 认识三角形的基本特征，建立三角形表象。
3．三角形的高和底。
（1）认识三角形的高和底。
教师：三角形除了有3个顶点、3个角和3条边以外，它和平行四边形、梯形一样，也有底和高。什么是三角形的高？什么又是三角形的底呢？请打开教材阅读第60页上的内容。
教师指定学生，说说什么是三角形的高，什么是三角形的底。
（2）画三角形的高。
教师：在刚才画的三角形内，画出一条高，比一比，看谁画得最规范。
订正：画好了吗？老师这里有几位同学画的。（在实物投影仪上展示）这样画对不对？
教师：正确的高怎样画呢？谁愿意画出黑板上这个三角形的高？边画边说怎么画。
学生：以BC边为底画一条高，先用三角板的一条直角边与BC边重合，另一条直角边通过A点，然后从A点向它的对边画一条垂线，用虚线表示，标出直角符号，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高。写上高，这条对边叫做三角形的底，写上底。
教师：仔细观察你画的三角形的底和高，它们的位置有什么特点？（互相垂直）
教师：三角形的底和高是一组互相垂直的线段。画三角形的高实际上就是我们学过的过直线外一点，画已知直线的垂线段。
教师：还能在你的三角形中画出其他的高吗？还能通过哪个顶点向它的对边作垂线画高？试一试。
学生自己动手画一画三角形的高。
教师：谁来展示一下自己的作品。说说你画出了几条高？
预设：锐角三角形有3条高，钝角三角形和直角三角形都只有1条高。
???? ?????
教师：直角三角形和钝角三角形还有高吗？
预设1：直角三角形的一条高在三角形内，两条直角边互为底和高（课件演示），所以，直角三角形还有两条高在三角形边上。
预设2：钝角三角形的一条高在三角形内，还有两条高的垂足落在钝角两边的延长线上（课件演示），所以，钝角三角形还有两条高在三角形外面。
教师：三角形有几条高？
总结：任意一个三角形都有3条高。
【设计意图】通过自已阅读教材了解三角形底和高的知识，在动手操作尝试画高、辨析交流、学生演示和再尝试的过程中，认识三角形的底和高，学会画三角形的高。培养学生的观察和动手操作能力。
（三）巩固练习
1．填一填。
（1）由三条（????? ）围成的图形叫做三角形。一个三角形有（??? ）条边，（?? ）个角，（???? ）个顶点。
（2）从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的（???? ），这条对边叫做三角形的（???? ）。任意一个三角形都有（???? ）条高。
【设计意图】考查学生基本概念的掌握情况。
2．教材第60页做一做。
【设计意图】考查学生能否画出三角形指定边上的高。
（四）课堂小结
教师：今天你有什么收获呢？
三角形边的关系
一、教学内容
教科书第62页例3、例4及相关内容。
二、教学目标
1．在操作试验活动中经历探索发现“三角形边的关系”的过程，知道三角形边的关系。
2．借助剪一剪、拼一拼、移一移等活动，积累数学活动经验，培养学生自主探索、动手操作、合作交流的能力。
3．渗透建模思想，体验数据分析、数形结合方法在探究过程中的作用。
三、教学重点
理解三角形任意两边的和大于第三边。
四、教学难点
理解两条线段的和等于第三条线段时不能围成三角形，理解“任意”二字的含义。
五、教具准备
“几何画板”制作的教学课件，三角形的每条边可以根据学生生成的数据输入显现，展示围的过程。
六、学具准备
透明彩色喷墨胶片打印线段。
七、教学过程
环节预设
教师活动
学生活动
设计意图
一、再现三角形模型——强化对三角形的认识
1．谈话导入，复习三角形概念。
师：我们已经认识了三角形，谁来说说什么是三角形？
2．操作试验，感受三条线段怎样围成三角形，懂得围成三角形的关键是任意两条线段的端点两两相接。
（实物投影：三张印有线段的胶片，胶片的边沿相连。）
师：看屏幕，现在这样围成三角形了吗？
教师：谁来围一围？
（请一名学生在实物投影上操作，其他同学观察，评价。）
教师：刚才的没围成三角形，现在就围成了，围成三角形的关键是什么？
学生回答
学生观察
学生操作，评价
学生讨论并回答
先让学生说说什么是三角形，调出学生的原有认知，通过实物投影上三条线段围的变化，一方面帮助学生重现三角形的模型，强化对“每两条线段的端点相连”的认识，潜移默化地指导了围的方法。为后边的学习打下基础。
二、拆解三角形模型——制造冲突，引发思考
1．拆解
师：如果从三条线段中拿走一条，剩下的可能是哪两条？
（板书：11、6和11、11）
2．讨论
师：用这两条线段能直接围成三角形吗？能想办法变成三条线段吗？
师：变成三条线段了，就能围成三角形吗？
（板书：能 ？ 不能）
学生动手，观察并总结回答
在学生生活经验和已有认识中，想象得到的都是能围成三角形的三条线段，头脑中也有大量这样的生活原型和抽象的三角形模型。教师通过“从三条线段中拿走一条→两条线段围不成三角形→想办法变成三条→三条线段就能围成三角形吗”四个小步骤的巧妙设计，打破了学生头脑中存有的三角形模型，引发学生的思考：三条线段能不能围成三角形呢？给学生提供了一个质疑自己和他人已有知识经验的机会，让他们在审视、思考、疑惑中进入到下一个环节的研讨。
三、重组三角形模型——探究三角形边的关系
1．操作试验，明确三条线段能否围成三角形
(1)明确要求。
师：实际情况是不是你们想的那样呢？请你动手试试。
要求在动手前，小组内先一起说说打算剪哪一条，怎么剪。组内4个人每人剪的尽量不一样，剪完围围看，然后填在记录单上。
记录单：两条线段11 cm和6 cm（或11 cm和11 cm）
剪后的三条线段是( )cm、( )cm和( )cm
围成三角形了吗？（√或×）_________
(2)小组合作试验。
教师监控：收集试验数据
能围成 不能围成
3、 8、 6 2、 9、 6
4、 7、 6 1、 5、 11
5、 6、 6 2、 4、 11
…… ……
(3)展示交流试验情况，提取数据。
师：谁愿意把你试验的情况给大家看看？（学生说教师板书。）
追问：谁和他的不同？
还有补充吗？
谁用的是11和11，说说你们试验的结果？
师：这两条线段在哪儿相连？
师：你们觉得他说的有道理吗？
师：到底连没连上，最后边的同学看得清楚吗？看来这儿用学具不容易看清楚，咱们用课件清楚地看看。
师：有没有同学认为这个能围成？到底能不能围成，说说理由。我们通过课件演示来看一下。
（播放两边之和等于第三边时围的课件。）
(4)小结过渡。
师：通过亲自试验，大家知道三条线段有时能围成三角形，有时不能围成三角形。
学生动手操作
学生展示结果
情况一：
全是能（或全是不能）的情形。
情况二：
有的能有的不能的情形。
学生将一条线段剪成两条，从理论上分析能够得到无数种不同的剪法，但围三角形的结果只会出现两种：能围成和不能围成。教师根据可能出现的试验结果进行设计，引导学生在生生交流中提取典型数据。通过实物投影变焦放大的功能，有助于学生清晰地看到两条线段的端点相连情况。几何画板课件随学生生成输入数据和动态演示过程，弥补了学具操作的不足，有助于学生达成统一认识。这几个环节的设计，不是就内容说内容，而是让学生在亲自动手试验基础上，补充完善个人和小组的认识，达成共识。学生在剪、围中思考，初步感受能不能围成三角形，不是在比较每一条线段，而是需要看两条线段与第三条线段的关系，为后续教学做了铺垫。
三、重组三角形模型——探究三角形边的关系
2．数形结合，探究三角形边的关系
(1)提出问题。
师：试验前我们的问题已经解决了，如果继续研究，你想研究什么？
师：你觉得三条线段能否围成三角形与什么有关系？
(2)研讨三条线段不能围成三角形的情况。
师：三条线段在什么情况下不能围成三角形呢？小组同学研究研究。
师：哪个小组来说说你们的想法？（课件：输人数据生成三角形演示围的情况。）
(3)研讨三条线段能围成三角形的情况。
师：同学们知道了两条短的线段的和小于或等于第三条线段的时候一定不能围成三角形。
那三条线段在什么情况下就能围成三角形呢？我们来看这些能围成的情况，一起来分析分析。
师：哪个小组来说说你们的想法？
生：什么样的三条线段能围成三角形，什么样的不能围成三角形。
小组讨论
学生说想法
课件重现了数据对应的图形，学生借助黑板上的数据、屏幕上的图形和数据进行分析，发现不能围成三角形的三条线段之间的关系。数形结合观察、比较、分析过程中，教师通过引导，帮助学生沟通文字语言、图形语言、符号语言三者之间的关系，使学生的认识得到进一步提升。
三、重组三角形模型——探究三角形边的关系
3．归纳、概括三角形边的关系。
师：在这些三角形中，三条边之间有什么关系？
（板书：任意两边的和大于第三边）
教师揭示课题：这就是三角形边的关系。
学生总结回答
通过不能围成三角形时三条线段关系的正迁移，学生很快得到能围成三角形时三条线段之间的关系，这一设计中准确定位了本节课的难点：理解任意的含义，归纳三角形边的关系。运用数形结合观察，通过能与不能情况对比分析，使学生能有理有据地交流研讨，归纳出三角形边的关系。教师的设想周全，学生的认识得到逐步完善。
四、回顾探究过程，梳理研究方法
师：我们一起来回忆回忆，大家是怎么知道三角形边的关系的？
小结：大家先做了试验，得到了很多数据，通过对图形的观察和对数据的分析，同学们知道了什么情况能围成三角形，什么情况不能围成，最后概括出了三角形边的关系。在这个过程中，试验起到了非常重要的作用，数据对我们的帮助很大。
短短几句话点明了本节课所蕴含的数学思想方法，强调了数据分析、数形结合方法在探究过程中的作用，教师帮助学生梳理知识的同时更注重梳理知识形成的过程，学生获得了知识，更获得了初步的研究问题的方法。
五、运用三角形边的关系，解决问题
师：请大家判断每组的三条线段能否围成三角形（单位：厘米）。
(1) 7、 2、 6；
(2) 7、 2、 3；
(3) 7、 2、 9；
(4) 7、 2、 8.9。
拓展延伸：7cm、2cm、( )cm要围成三角形，第三条线段长可以是多少厘米？
学生独立完成
巩固知识的同时将学生的思维引向更为广阔的数学世界，渗透区间观念，体验数学学习的乐趣。
