单元复习课 圆柱与圆锥
一、复习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）六年级下册第17～39页。
二、复习目标
1．通过回忆、整理、拓展等活动，掌握圆柱与圆锥的相关特点与特征，并能熟练地运用公式进行圆柱、圆锥表面积或体积的计算。
2．通过对知识的归纳整理，提高自主获取知识与概括知识的能力。在练习、讨论、合作中发展学生的空间观念，并进一步提高运用知识解决实际问题的能力。
三、复习重点、难点
重点：掌握圆柱与圆锥的相关特点与特征，并能熟练地运用公式进行圆柱、圆锥表面积或体积的计算。
难点：通过对知识进行整理，在整理中构建“圆柱和圆锥”的知识网络提高学生自主获取知识与概括知识的能力。
四、配套资源
实施资源：教学课件、圆锥和圆柱的模型
五、复习设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）完成课本第37页的第1、2题。
完成后，试着把第1、2题涉及到知识用思维导图的形式整理出来。
（二）课堂设计
1. 基础知识的复习
（1）圆柱知识的复习
①基础知识
屏幕呈现一个圆柱体木料，底面直径20厘米，高30厘米。
师：大家仔细观察这根木头，你能提出什么样的问题？
学生思考后提出问题。（当学生提出问题的时候，其他学生思考如何解答）
预设：
木料的侧面积是多少？底面积？占地面积？表面积是多少？木料的体积是多少？……
师：那么这些问题如何解答？
（学生说思路，说过程）
小结：圆柱有2个圆形的底面，侧面积等于底面周长乘以高，表面积等于2个底面积加1个侧面积，体积等于底面积乘以高。
②基础知识的变式
“刷”出表面积有关的知识。
师：针对这一圆木，生活中在什么情况下需要求表面积？
预设：给圆木涂油漆，求涂漆面积的时候需要用表面积的知识。
师：给圆木涂油漆有几种情况？都发生在什么条件下？
预设：
如果是柱子时，只刷侧面。
如果是个木桩，只涂一个侧面和一个上面。
如果是个圆木料，可涂整个表面。
小结：求表面积，要根据实际情况，看看需要求几个面。
【设计意图：一个“刷”，刷出了与表面积有关的符合实际的有价值的问题，培养了学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力。】
师：如果把这根圆木切一刀分成两部分，可以怎样切？
预设1：可以横切一刀，增加两个大小相等的底面。
预设2：可以沿直径纵切，增加两个长方形的面，长和圆柱的高相等，宽和直径相等。
学生回答后，教师演示。
师：切开后的两部分与原来的圆柱相比，什么变了？什么没有变？
（体积没变，表面积变了。）
师：表面积怎样变了？请你们计算一下。
小结：把一个圆柱切开，它的表面积会增加，切一刀增加两个面。
【设计意图：横切、纵切两种不同的切法探究，加上老师的演示，能进一步发展学生的空间观念。】
（2）圆锥知识的整理
①圆柱与等底等高圆锥的关系
师：除了对圆木“刷”“切”以外，有的同学说还可以“削”成一个最大的圆锥。那怎样“削”才算是最大呢？
（与圆柱等底等高）
师：圆锥与和它等底等高的圆柱体积之间有什么关系？
（圆柱体积是和它等底等高圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的三分之一，圆柱体积比圆锥体积多2倍，圆锥体积比圆柱体积少三分之二。）
师：如果圆柱和圆锥等底等体积，它们的高之间有什么样的关系？
（圆柱和圆锥等底等体积：圆柱高是圆锥高的三分之一，圆锥高是圆柱高的3倍。）
②圆锥的基础知识
师：理清了圆锥与和它等底等高的圆柱体积之间关系，它们在特征上有什么区别和联系？
学生自由发言。
引导小结：不同点：圆锥只有一个底面，圆柱有两个底面；圆锥的侧面展开是一个扇形，圆柱侧面沿高剪展开是一个长方形或正方形。相同点：底面都是圆形，1个侧面都是曲面。
【设计意图：先给出一根木料，通过对它提问题，到对这根木料进行刷、切和削这一个大情景，对本单元的知识进行整理和复习，增加学生兴趣的同时，灵活应用知识解决问题，并且沟通知识之间的联系，从而进一步发展学生的空间观念。】
2.完善思维导图，沟通知识间的联系
师：通过刚才的复习，我们对本单元的知识有了进一步的认识，下面请看看你们课前整理得思维导图有没有补充和修改的地方。
学生对自己的思维导图进行修改和补充。
汇报交流，互动评价。
【设计意图：在复习，讨论的基础上进行进行系统改进和提升，能够起到很好的自我改进，自我完善，学生也在完善的过程中对知识有了进一步的加深和巩固。】
3.典型题目练习，综合应用知识
（1）判断。
①圆柱底面直径扩大2倍，高不变，它的体积也扩大2倍。 （ ）
②圆柱的底面周长和高相等时，沿高剪开侧面展开图一定是正方形。（ ）
③圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。 （ ）
【知识点】圆柱的体积，圆锥的体积以及侧面展开图。
【答案】①×②√③×
【解析】此题主要考查学生对圆柱的体积，圆锥的体积以及侧面展开图的认识以及理解。
（2）选择正确答案的序号填在括号里。
①一个圆锥的体积是12立方厘米，底面积是4平方厘米，高是（ ）厘米。
A.3 B. 9 C.48
②甲乙两人分别利用一张长20厘米，宽15厘米的纸用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头处不重叠），那么围成的圆柱（ ）。
A.高一定相等 B.侧面积一定相等 C.侧面积和高都相等
③把一支新的圆柱形铅笔削尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（ ）。
A.三分之一 B.三分之二 C.二分之一
【知识点】圆柱和圆锥的体积及二者之间的关系，圆柱侧面展开图。
【答案】①B ②B ③C
【解析】第1题体积要先乘以3再除以底面积，求出高。第2题考查学生空间想象能力，不同的卷法，围成的圆柱不一样，但它的侧面积自始至终等于这张长方形纸的面积，考查侧面展开图的理解和应用。第3题，圆锥占与它等底等高圆柱的三分之一，削去部分占圆柱的三分之二，所以圆锥占削去部分的二分之一。
（3）一个圆柱的侧面积是25.12平方厘米，高是2厘米，它的表面积是多少平方厘米？
【知识点】已知侧面积和高求表面积。
【答案】 25.12÷2＝12.56（厘米）
12.56÷2÷π＝2（厘米）
π× ＝12.56（平方厘米）
25.12＋12.56×2＝50.24（平方厘米）
答：它的表面积是50.24平方厘米。
【解析】由侧面积和高可以求出底面周长，由底面周长可以求出半径，然后根据半径求出表面积，表面积等于两个底面圆的面积加上一个侧面面积。
（4）一根圆柱形木材长20分米,把截成4个相等的圆柱体。表面积增加了18.84平方分米。截后每段圆柱体积是多少立方分米？
【知识点】切出来的表面积。
【答案】18.84÷6＝3.14（平方分米）
20÷4＝5（分米）
3.14×5＝15.7（立方分米）
答：截后每段圆柱的体积是15.7立方分米。
【解析】每切一次多出来两个底面圆，切成4个相等的圆柱体，需要切3次，表面积就多了6个底面圆即为18.84平方分米。
（5）把一个棱长是2分米的正方体削成一个最大的圆柱体，它的体积是多少？
【知识点】削出来最大的圆柱。
【答案】2÷2＝1（分米）
π×12×2 ＝6.28（立方分米）
答：它的体积是6.28立方分米。
【解析】在一个正方体里面削出来一个最大的圆柱，圆柱的底面直径应该等于正方体的棱长，圆柱的高也应该等于正方体的棱长。
（6）学校要修建一个圆形水池,池内安装喷泉,水池直径5米,深1.5米，你能提出哪些数学问题？每一个问题都涉及哪些方面的知识？
①水池的占地面积是多少平方米？
②挖这个水池要挖出多少立方米的土？
③如果给水池贴瓷砖,贴瓷砖的面积是多少？
④水池装满水,能装多少立方米？
⑤如果给水池接一圈水管,并4米安装一个喷头,需要按几个？
⑥池内如果注入1.2米深的水,那将有多少立方米的水？
【知识点】圆柱相关计算的综合运用。
【答案】底面积、体积、无盖圆柱的表面积、容积、底面周长和植树问题的结合、体积
【解析】本题是一道综合性很强的题型，它考查了学生对圆柱的整体把握，同时也为学生后期区分各类题型打下很好的基础。
第六课时 圆锥的认识
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）六年级下册第31—32页例1。教材借助圆锥几何模型，引导学生观察认识圆锥的底面、侧面和高，并通过测量等活动引导学生经历对圆锥概念的感知—抽象—应用等过程，建立圆锥的几何表象。最后从旋转的角度认识圆锥，以促进学生空间观念的发展。
（二）核心能力
在操作中，运用类比的学习方法，认识圆锥的特征，发展推理能力，并在操作过程中形成空间观念。
（三）学习目标
1．借助几何模型，通过圆柱与圆锥的比较，认识圆锥，掌握圆锥的特征，并在辨析中认识圆锥的高，发展推理能力，形成空间观念。
2．通过直观操作，掌握测量圆锥高的方法及从旋转的角度进一步认识圆锥，发展空间观念，积累数学活动经验。
（四）学习重点
掌握圆锥的特征。
（五）学习难点
圆锥高的认识及测量
（六）配套资源
实施资源：教学课件、圆锥的模型，尺子等
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
（1）回忆我们是从哪些方面来认识圆柱特征的？它的特征是什么？用自己喜欢的方式进行整理。
（2）收集生活中圆锥形的物体，并观察它们有什么共同的特点？
（二）课堂设计
1.谈话导入
师：课前大家已经收集一些圆锥形的物体，谁来展示一下？
找1—2名学生展示。
师：老师也收集了一些，请大家欣赏。我收集的与你们收集的这些物体的形状有什么共同的特点？
师：这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥。（课件出示圆锥立体图）
这节我们一起来认识圆锥。板书课题。
2.问题探究
（1）圆锥的特征
①迁移类比，引发思考
师：我们在认识圆柱的时候，是从哪些方面认识它的？
独立思考后，自由发言。
引导小结：从底面、侧面、高和侧面展开图。
师：现在认识圆锥，它与圆柱有没有相像的地方？你想从哪方面来认识它？
预设：底面、侧面、侧面展开、高等（根据学生发言板书）
②观察操作，认识特征
师：现在借助手中的圆锥实物来认识它？
同桌两人合作。
③汇报展示，归纳小结
预设1：圆锥的面
生汇报交流。
引导小结：底面是一个圆，侧面是一个曲面，圆锥有一个顶点。
预设2：圆锥高的认识
师：高在哪里？谁愿意指给大家看？
引导学生评价。
师：从圆锥的顶点到底面圆周长上任意一点的距离，是不是圆锥的高？为什么？
学生评价判断。
师：那什么是圆锥的高呢？
学生试着用自己的语言描述。
引导小结：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做高。
师：圆柱的高有无数条，圆锥的高有几条？为什么？
小结：沿着曲面上的线都不是圆锥的高，圆锥的高只有一条。
课件演示画高，标上字母h。
预设3：圆锥的侧面展开图
师：圆柱的侧面展开图是一个长方形，猜一猜，圆锥的侧面展开图应该是什么形状呢？
学生自由发言。
验证猜想：请一名学生上台，借助老师准备的教具把圆锥体侧面沿着顶点到圆周的一条线段剪开验证。
小结：圆锥体的侧面展开是扇形。
【设计意图：通过回忆圆柱特征探求的过程，引发学生思考，从而迁移类推出从哪些方面探求圆锥的特征，在自主探求的过程中，一直用类比的学习方法，认识并归纳出圆锥的特征，形成表象，建立空间观念。考查目标1】
（2）圆锥高的测量
师：圆锥的高看不见，怎样测量呢？
师：下面就请同学们三人一组，测量你手中的圆锥体的高，小组内先讨论一下，再利用手中的工具，动手试试看。
汇报测量的步骤及测量结果。（请2—3组同学上台演示）
师：其实，老师让你们测的黄色圆锥和绿色圆锥的高度都是一样的，为什么测量结果不太一致呢？你认为测量时要注意什么？（圆锥底面要放平、放在顶点上面的平板也要放平、尺子必须竖直、刻度处理等）
师：为什么上下的平板都要放平，尺子要竖直？
引导学生直观感受什么是“平行平面间的距离”。
【设计意图：在测量高的过程中，通过提出疑问，研究探索，得出结论的过程，让学生感知科学的探讨对解决问题的必要性。】
(3)从旋转的角度进一步认识圆锥
师：把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，转出来的是什么形状？
（圆柱）如果把一张三角形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，想一想，转出来的是什么形状？
学生猜想后，动手操作。
小结：把一张三角形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，转出来的形状是圆锥。旋转轴所在的直角边就是圆锥的高，而另一条直角边就是底面的半径，斜边就是顶点到底面周长上任意一点的连线。
【设计意图：通过动手操作，从旋转的角度进一步认识圆锥，为后面灵活运用圆锥的底面半径和高做准备，发展学生的空间观念。】
3.巩固练习
（1）课本第32页的做一做。
（2）判断。
①圆锥有无数条高。（??）
②圆锥的底面是一个椭圆。（???）
③圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形。（??）
④从圆锥的顶点到底面上任意一点的连线叫做圆锥的高。（??）
（3）下面图形以红色线为轴快速旋转后会形成什么图形？连一连。
4.课堂总结
师：这节课我们学习了什么知识？你是怎样学会这些知识的？你还有什么疑问？
（三）课时作业
1.圆锥的横截面和纵切面各是什么形状？剪一剪，切一切。
答案：圆锥的横截面是一个圆形，并且越靠近顶点横截面越小，越靠近地面横截面越大。圆锥的纵切面是一个等腰三角形。
解析：通过圆锥横截面和纵切面的探究，深化学生对立体几何的认识。【考查目标1】
2.如果一个直角三角形的两条直角边分别长8厘米和6厘米。
①以长边为轴旋转一周所得圆锥的底面直径是多少厘米？高是多少厘米？
②以短边为轴旋转一周所得圆锥的底面积是多少平方厘米？高是多少厘米？
答案：
以长边为轴，长边即为圆锥的高，短边即为圆锥底面圆的半径。所以此时圆锥的地面直径是6×2＝12（厘米），圆锥的高即为8厘米。
以短边为轴，短边即为圆锥的高，长边即为圆锥底面圆的半径。所以此时圆锥的底面积就是π×82＝64π＝200.96（平方厘米），圆锥的高即为6厘米。
解析：这是一道综合练习题目，既考察了学生对圆锥的整体认知能力，又考察了学生对圆锥的特征——底面圆和高的综合运用能力，符合学生对圆锥的整体认知，同时，此题看似基础却又需要很强的空间思维能力，综合的运用为学生形成空间直观做了很好的铺垫。【考查目标2】
第七课时 圆锥的体积
一、学习目标
（一）学习内容
《义务教育教科书数学》（人教版）六年级下册第33—34页的例2和例3。例2是以探索圆锥的体积与和它等底等高的圆柱体积之间的关系为例，让学生在探究过程中获得数学活动经验。例3则是在例2的基础上运用圆锥的体积公式解决实际问题，丰富解决问题的策略，感受数学与生活密不可分的联系。
（二）核心能力
在探索圆锥的体积与和它等底等高的圆柱体积之间的关系的过程中，渗透转化思想，发展推理能力。
（三）学习目标
1.借助已有的知识经验，通过观察、猜测、实验，探求出圆锥体积的计算公式，并能运用公式正确地解决简单的实际问题。
2.在圆锥体积计算公式的推导过程中，进一步理解圆锥与圆柱的联系，发展推理能力。
（四）学习重点
圆锥体积公式的理解，并能运用公式求圆锥的体积。
（五）学习难点
圆锥体积公式的推导
（六）配套资源
实施资源：教学课件、若干同样的圆柱形容器、若干与圆柱等底等高和不等底等高的圆锥形容器，沙子和水
二、教学设计
（一）课前设计
1.复习任务
（1）我们学过哪些立体图形？它们的体积计算公式分别是什么？请你整理出来。
（2）这些立体图形的体积计算公式是怎么推导的？运用了什么方法？请整理出来。
【设计意图：通过复习物体的体积公式以及圆锥体积的推导，深化转化思想在生活中的应用，也为圆锥体积的推导埋下伏笔。】
（二）课堂设计
1．情境导入
（出示沙堆）
师：你们有办法知道这个沙堆的体积吗？
学生自由发言，提出各种办法。
预设：把它放进圆柱形的容器里，测量出圆柱的底面积和高就可以知道等等
师：能不能像其它立体图形一样，探究出一个公式来求圆锥的体积呢？这节课我们来研究。板书课题
【设计意图：利用情境引入，激发学生求知的欲望，引出求圆锥体积公式的必要性。】
2.问题探究
（1）观察猜想
师：你们觉得，圆锥的体积和我们认识的哪种立体图形的体积可能有关？为什么？
学生自由发言。
（圆柱，圆柱的底面是圆，圆锥的底面也是圆……）
师：认真观察，它们之间的体积会有什么关系？（出示圆柱、圆锥的教具）
学生猜想。
（2）操作验证
师：圆锥的体积究竟和圆柱的体积有什么关系？请同学们亲自验证。
实验用具：教师准备等底等高和不等底等高的各种圆柱、圆锥模具，一些水。
实验要求：各组根据需要先上台选用实验用具，然后小组成员分工合作，做好实验数据的收集和整理。
1号圆锥
2号圆锥
3号圆锥
次数
与圆柱是否等底等高
学生选过实验用具后进行试验，教师巡视，发现问题及时指导，收集有用信息。
（3）交流汇报
①汇报实验结果
各组汇报实验结果。
②分析数据
师：观察全班实验的数据，你能发现什么？
（大部分实验的结果是能装下三个圆锥的水，也有两次多或四次等）
师：什么情况下，圆柱刚好能装下三个圆锥的水？
各组互相观察各自的圆柱和圆锥，发现只有在等底等高的情况下，圆柱的体积是与它等底等高圆锥体积的3倍。也可以说成圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的三分之一 。
师：是不是所有符合等底等高条件的圆柱、圆锥，它们的体积之间都具有这种关系呢？
老师用标准教具装沙土再演示一次，加以验证。
③归纳小结
师：谁能来总结一下，通过实验我们得到的结果是什么？
（4）公式推导
师：你能把上面的试验结果用式子表示吗？（学生尝试）
老师结合学生的回答板书：
圆锥的体积公式及字母公式：
圆锥的体积＝×圆柱的体积
＝×底面积×高
S ＝sh
师：在探究圆锥体积公式的过程中，你认为哪个条件最重要？（等底等高）
进一步强调等底等高的圆锥和圆柱才存在这种关系。
【设计意图：通过观察、猜测，让学生感知圆锥的体积与圆柱体积之间存在着一定的关系，渗透转化的思想。再通过对实验数据的分析，进一步感知圆锥的体积是和它等底等高的圆柱的体积的三分之一，在这一过程中，发展学生的推理能力。考查目标1、2】
（5）实践应用
师：还记得这堆沙子吗？如果给你了它的高和底面的直径，你能算出这堆沙的体积大约是多少？如果每立方米沙子重1.5t，这堆沙子大约重多少吨？（得数保留两位小数。）
?师：要求沙堆的体积需要已知哪些条件？
（由于这堆沙堆近似圆锥形，所以可利用圆锥的体积公式来求，需先已知沙堆的底面积和高）
学生试做后交流汇报。
已知圆锥的底面直径和高，可以直接利用公式
V＝π（）h来求圆锥的体积。
师：在计算过程中我们要注意什么？为什么？
注意要乘以，因为通过实验，知道圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
3.巩固练习
（1）填空。
①圆柱的体积是12m3,与它等底等高的圆锥的体积是（ ）m3。
②圆锥的体积是2.5m3,与它等底等高的圆柱的体积是（ ）m3。
③圆锥的底面积是3.1 m2，高是9m，体积是（ ）m3。
（2）判断，并说明理由。
①圆锥的体积等于圆柱体积的。 （ ）
②圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的3倍。（ ）
（3）课本第34页的做一做。
①一个圆锥形的零件，底面积是19cm2，高是12cm，这个零件的体积是多少？
②一个用钢铸造成的圆锥形铅锤，底面直径是4cm，高是5cm。每立方厘米钢大约重7.8g。这个铅锤重多少克？（得数保留整数）
4.课堂总结
师：这节课你收获了什么？和大家分享一下吧！
圆柱的体积是与它等底等高圆锥体积的3倍；圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一；V圆锥＝V圆柱＝Sh。
（三）课时作业
1.王师傅做一件冰雕作品，要将一块棱长30厘米的正方体冰块雕成一个最大的圆锥，雕成的圆锥体积是多少立方厘米？
答案： 30÷2＝15（厘米）
×3.14×152×30
＝235.5×30
＝7065（立方厘米）
答：雕成的圆锥的体积是7065立方厘米。
解析：这是一道考察学生空间思维能力的题，要在正方体里面雕一个最大的圆锥，必须满足圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高也要等于正方体的棱长，在实际中感受生活和数学的紧密联系，同时为下面在长方体里放一个最大的圆锥做了铺垫。【考查目标1、2】
2.看看我们的教室是什么体？（长方体）
要在我们的教室里放一个尽可能大的圆锥体，想一想，可以怎样放？怎样放体积最大？（测量教室长12m，宽6m，高4m.先计算，再比较怎样放体积最大的圆锥体。）
解析：这是一道开放题，有一定的难度，在考察学生对圆锥体积理解的基础上，又综合了长方体的知识，对学生的空间想象能力要求比较高。
①以长宽所在的面为底面做最大的圆锥，此时圆锥的高为4m,底面圆的直径为6m.
②以宽高所在的面为底面做最大的圆锥，此时圆锥的高为12m,底面圆的直径为4m.
③以长高所在的面为底面做最大的圆锥，此时圆锥的高为6m,底面圆的直径为4m.
以上三种情况计算并加以比较，得出结论。【考查目标1、2】
