《练习九》具体内容和教学建议
编写意图
（l）第1题，用三个小问题，突出完整的思维过程，旨在巩固正比例的意义。首先，观察表格，明确哪两种量是相关联的量；然后计算和比较几组相对应的数的比值，理解比值的意义；最后，根据正比例关系的意义作出判断。
（2）第2题是一组关于正比例的判断练习，意在巩固对正比例关系的本质理解。尤其不能只停留在“一个量增加（或减少），另一个量随之增加（或减少）”这样的“粗线条”关系，而应该通过计算两个量相对应数据的比值来加以判断。
（3）第3题，是正比例的意义和正比例图象的巩固练习。使学生直观地认识正比例关系，并会利用正比例图象解决一些简单的问题，如估计行驶55 km时，耗油多少，或估计耗油5L时，行驶了多少千米。
（4）第4题是已知两个量成正比例关系，利用两个量中的已知量来求未知量，相当于正比例函数中已知自变量求因变量或已知因变量求自变量。应尽量引导学生严格按照正比例关系的定义来列出比例式。
教学建议
（1）引导学生紧紧围绕正比例的意义，在独立思考、自主练习的基础上交流讨论。
学生有了例题以及“做一做”的基础，应该能够独立完成这些习题，要放手让学生独立思考，完成练习。在判断两个量是否成正比例关系时，要紧紧围绕正比例的意义，利用定义来判断。例如，因为＝4而判断8和2成正比例，就是犯了只注重正比例关系的形式而忽视了成正比例的量首先必须是“变量”的错误。因此，组织交流时，要让学生完整地说出自己的思考和判断过程，不管是判断两个量成正比例或不成比例，都要做到“有理有据”。例如，第2题中第（2）小题，在判断正方体表面积与棱长是否成正比例的基础上可以追问：正方体表面积和什么可以成正比例？有效地扩展教材资源。
（2）鼓励学生灵活解题，提升思维。
教学中要结合题目，提出思考性问题，促进思维提升。例如，第3题可以结合判断提问学生：正比例图象中起点O代表什么意思？第4题，可以先让学生思考：能不能写出x和y的关系式？比值是几？
编写意图
（1）本页练习的目标仍然是巩固正比例的意义，促进对正比例的特征和数量关系的理解。
（2）第5题是通过对同一时间、同一地点的3棵树的高度与影长关系的观察与计算，明确树的高度与影子的长度是两种成正比例的量。使学生知道：在同一时间、同一地点的前提下，任何物体的高度与它的影子的长度都是成正比例的。
（3）第6题，让学生通过填表、描点、连线发现：n是自然数，2n表示的就是偶数；而且2n和n也是成正比例的量，比值等于2是不变的，图象也符合正比例图象的特点。提前接触这样相对抽象的数学化的正比例关系，对于学生将来学习函数具有重要的作用。
（4）第7题重在让学生直接利用正比例图象解决问题。在填表、描点、画图的基础上，让学生看到该图象符合正比例图象的特征。由于总价与支数成正比例关系，因此，小丽与小明的铅笔数之间的倍数关系与总价之间的倍数关系相等。
教学建议
（1）关注正比例关系概念和正比例图象特征之间的相互验证。
两个相关联的量，如果根据定义判断为成正比例关系，其图象必定符合正比例图象的特征（一条从O出发的斜向右上方的射线）；反之，如果两个量形成的图象符合正比例图象的特征，这两个量必定成正比例关系。本页的3道习题，都是将抽象的数与直观的形对照，使学生深刻地体会数形结合的思想。例如，第5题，让学生判断影长和树高是否成正比例关系并说明判断依据，学生可以利用定义判断，也互验证。第7题，虽然没有直接要求学生作出判断，但要解决第（3）题，首先要根据数据或图象的特点判断出两个量是否成正比例关系。
（2）利用正比例关系灵活地解决问题。
当两个量y与z成正比例关系时，对于任意两组具体的对应值（x1，y1）和（x2，y2），不仅存在＝ 的关系式，还可以变形＝的形式。例如，第7题第（3）题就可以利用正比例关系的这一变式加以解决。
编写意图
（1）第8～12题，意在巩固反比例的概念，使学生深入理解成反比例关系的两个量的变化规律，能正确判断，形成相应的技能。
（2）第8、9两题，主要目标是巩固反比例的意义。要求学生基于反比例的定义，计算“每块地砖的面积”与“所需地砖块数”相对应值的乘积及“每瓶醋的容量”与“所装瓶数”相对应值的乘积，发现乘积不变，从而作出正确的判断。
（3）第10题，已知x和y成反比例关系，就有反比例关系式xy＝k，利用表内已知的对应值 （2，5）求出k＝10，就可根据已知的一个量求出另一个量。
（4）第11题，让学生判断两个量是否成反比例。通过题中所描述的数量关系式，根据题中所给出的前提作出判断。通过完整的表达与交流，养成说理的习惯和能力。
（5）第12题，先通过两个量的具体对应值，理解“每天组装的数量”与“所用天数”的变化规律，再抽象出两个量之间的一般化关系，用字母表示出来并加以应用。
教学建议
（1）重视意义理解，经历思维过程。
让学生判断两个量是否成反比例时，要让学生紧紧抓住反比例的概念，说出两个量成反比例或不成反比例的理由。如第8、9题中，表中有哪两种相关联的量？他们是怎样变化的？变化的规律是什么？你是怎么知道的？你能否用一个式子来表示这种规律？这两种量成什么比例？第11（4）题，虽然两个量也是一个量增加（或减少），另一个量随之减少（或增加），但因变化规律不符合反比例的定义，故两个量不成反比例。
为了让学生更深刻地理解反比例关系，也应了解反比例关系中两种量乘积的实际含义，如第8题中，表示的是这间教室的面积；第9题中，表示的是这批醋的总体积……
（2）适度抽象，提升思维。
第10题，可以先让学生自己填表，并思考：填表时你是怎样想的？x和y成反比例，它们的乘积是多少？x和y的反比例关系式是怎样的？最后可以进一步提升：如果x＝n（n≠0）, 那么y是多少？第12题，引导学生以表格中具体对应数值之间的关系为基础，进一步一般化，并写出字母关系式pt＝12000，再通过关系式明确p、t成反比例关系，解决实际问题。
编写意图
（1）第13题提供了列车平均速度与行驶时间之间的关系，由于京沪之间的路程不变，这两个量成反比例关系。通过提炼关系式，使学生从变量的角度重新理解速度、时间和路程之间的数量关系。
（2）第14题，在一个图中同时呈现两种动物奔跑路程与奔跑时间的关系图象，要求学生借助图象的特征直接判断两个量之间的关系并解决简单的问题，如根据路程求速度，根据速度求路程。教材还把两个图象进行比较，让学生通过图象灵活判断哪种动物跑得快，如相同的时间内看谁跑的远，跑同样的路程看谁用的时间少，并发现射线的斜度越陡，动物奔跑速度越快。
（3）第15*题提供了三个量之间的数量关系式，引导学生思考当三个量中其中一个量一定时另外两个量成什么比例，体会判断两个量成正、反比例都必须以某一前提为基础。
（4）第16*题，在面积既定的前提下，长和宽成反比例，而反比例关系的图象应该是一条曲线，这一变化趋势也可通过在坐标图上画出面积为36cm2的长方形直观显示。
教学建议
（1）重视常见数量关系中量与量之间的关系，充分挖掘教材资源，进行适当扩展。
第13、14题，描述的都是速度、时间和路程之间的数量关系，第13题是路程不变，速度与时间成反比例，第14题是速度不变，路程与时间成正比例。“路程＝速度×时间”是学生熟悉的数量关系，从变量的角度去分析，会让学生更好地搭建起算术和代数之间的桥梁，体会函数思想。教学时，可以进一步归纳、抽象：路程不变时，速度和时间成什么关系？速度不变时，路程和时间成什么关系？时间不变时，路程与速度成什么关系？有了这一基础，第15*题的教学也就迎刃而解了。第16*题，也可以让学生进一步思考：当长（或宽）不变时，面积与宽（或长）成什么关系？
（2）加强学生图象分析能力的培养。
第14题可引导学生多角度利用图象解决问题。例如，既可以根据图象找出相对应的路程与时间，计算比值后判断，也可以根据图象特征直接判断。同样，判断斑马与长颈鹿谁跑得快时，既可以根据对应的路程与时间计算速度后作出判断，也可以看同样的速度下谁跑的路程远或同样的路程谁用的时间短来判断，还可以根据两条射线的陡与缓作出判断。
《练习八》具体内容和教学建议
编写意图
（1）第1～4题，是为巩固比例的意义设计的。第1题以表格呈现，相对应的量很清楚，要求学生通过计算相对应的两个量的比值来判断。第2题，每小题中的四个数没有固定的对应关系，需要学生通过两两配对、计算比值、比较、判断。组成的比例是多样化的，如第（1）小题，可以组成4：5＝12：15、4：12＝5：15……等多个比例。第3题是开放题，意在让学生从多样化的角度写出比例，使学生理解只要两个比的比值相等就可以组成比例。第4题，还可以让学生计算两块田的产量之比和两块田的面积之比，判断它们能否组成比例。
（2）第5～7题是比例基本性质的灵活应用。第5题，可以通过分别计算其中一个比的前项与另一个比的后项之积，看它们是否相等来判断两个比是否可以组成比例。第6题，可以先列出相应量之间的比，再通过比例的定义或基本性质加以判断。第7题是比例基本性质的逆向应用，可以把等式两边的两个乘数分别看成比例的内项或外项。第6、7题都具有很大的开放性。
教学建议
（1）引导学生在判断四个数是否成比例的过程中理解比例的意义和比例的基本性质。
练习时，要让学生自己通过计算比值或计算相应项的乘积，根据计算结果判断两个比能否组成比例，在此过程中进一步巩固比例的意义，熟练地掌握比例的基本性质。在汇报交流的过程中，应该让学生说一说是怎么判断的。例如，第1题，可以让学生说一说是怎样理解相对应的两个量的，这两个量的比表示什么实际含义。再如，第6题，要引导学生根据实际情境列出相应的比，并说说这样的比表示什么意义，在此基础上，再灵活运用比例的意义或比例的基本性质加以判断。
（2）倡导思维的开放性和多样性。
本练习中第2题，四个数组成比例时，可以写出许多比例式来；第7题，根据比例的基本性质，也可以写出不同的比例来，如24：8＝9：3，8：24＝3：9，24：9＝8：3，9：24＝3：8。此外，第1题，也可以写出许多不同形式的比例式来；第6题，判断的方法更是多样，如可以看54：45与72：60是否可以组成比例，也可以看45：60与54：72是否可以组成比例。第3题，只要比值是5的任意两个比，都可以组成比例，体现了思维的开放性。
编写意图
（1）第8题是对解比例进行巩固，使学生进一步熟练解比例的技能。这些比例的各项中涵盖了整数、分数、小数，未知项x的位置也是考虑到各种可能性，以利于提高学生解各种类型的比例的能力。
（2）第10题是根据文字描述写出比例并解比例，其中第（3）题可以写出不同的比例，如x：2＝5：25，x：5＝2：25，但比例的基本性质决定了x的值是一定的。
（3）第9、11、12、13题都是已知两个量之间的最简整数比及其中的一个量，求另一个量。解决这类问题的关键是两个比的前、后项所对应的量是一致的，这需要学生对情境中比的意义有正确的理解。例如，第11题中，轿车模型长度：轿车实际长度＝1：20，公共汽车模型长度：公共汽车实际长度＝1：20。
（4）第14题与第7题形式相同，是为第15题进行铺垫的。第15题，可以写出数量关系式：6×足球单价＝8×篮球单价，因此，足球单价：篮球单价＝8：6。而要解决第（2）小题，也可直接利用乘法形式的等式。
教学建议
（1）重视解比例的方法指导。
例如，第8题，让学生明确：不管未知数在左边还是右边，都可以在转化成内项之积等于外项之积的等式时把含有未知数的算式写在等号左边，这样便于解方程。第14题，教学时依然要关注思维的有序性，例如，可以先写出其中一个比例3：8＝15：40，再保持外项不动，交换两个内项的位置，得到3：15＝8：40，再把这两个比例左右两边的比的前、后项分别交换位置，得到其他两个比例。
（2）明确数量关系，正确地列出比例。解答第9、11、12、13和15题的基础都是理解题目中比的实际含义。例如第9题，可以让学生说一说：9：10是什么与什么的比？谁的体积大一些？写比例时要注意什么？……让学生明确：写出的比与已知的比的意义要相同，前、后项顺序要对应。
（3）适度综合，提高能力。
第15题，可以回忆以前所学的“假设法”，如假设每个足球8元，由两种球的总价相等，可以求出篮球的单价。也可以列出乘法形式的等式，联系第14题的结论进行直接推导。
《练习十》具体内容和教学建议
编写意图
（1）第1题是将数值比例尺改写成线段比例尺，比例尺1：30000000表示的是1cm的图上距离相当于30000000cm的实际距离，而线段比例尺是用1cm的线段表示出实际距离为多长。因此，在线段比例尺上，实际长度用30000000cm、300000m、300km表示从理论上讲都是可行的，但在实际中，一般用300 km表示，更显其简洁性。
（2）第2题是已知图上距离和实际距离，求比例尺，由于条件齐备，只需根据比例尺的意义，把4cm：4m化简比即可。
（3）第3题和第4题，都是已知实际距离，要求学生自己量出图上距离，再求出比例尺。第3题，还要求学生将算出来的数值比例尺转化为线段比例尺，以进一步巩固两种比例尺互相转化的方法，熟练技能。而第4题，图上距离大于实际距离，但求比例尺的方法仍然是图上距离：实际距离，所以得到的是一个后项为1的比例尺。使学生通过具体实例，理解后项为1的比例尺表示将图形放大，为后面学习“放大与缩小”作准备。
教学建议
（1）自主练习，夯实基础。
本页的四道习题都是基础性练习，意在巩固比例尺的概念。计算比例尺时，有些是直接给出图上距离，有些需要测量出图上距离。在求比例尺时，需要提醒学生注意前、后项单位名称的统一。在将数值比例尺转化为线段比例尺时，要让学生从理解比例尺本质的角度去解决。例如，第1题中，比例尺1：30000000表示图上长为1cm的距离相当于实际长为30000000cm的距离，把它改写成更简洁的形式即可。
（2）关注必要的方法指导。
虽然这些习题比较基础，但仍要注意在有些细节上引导学生交流，教师给予适当点拨。例如，第1题，交流时要让学生说一说：转化成线段比例尺时，1cm表示30000000cm、300000m、300km是否都可以？用哪一个表示更好？为什么？第4题，学生或许会习惯性地把较短的长度作为前项，要引导学生紧扣比例尺的定义列出比；有的学生在列出3cm：5mm时或许不知该如何化简，要引导学生讨论应该如何化简，并说说这个比例尺有什么特点，使学生理解后项为1的比例尺表示的是将实际距离放大。
编写意图
（1）本页的习题，意在巩固求实际距离和图上距离的方法，并能运用相关知识解决实际问题。
（2）第5、6题，主要目的是巩固求实际距离的方法和步骤。第5题是已知比例尺和图上距离直接求实际距离。第6题既是一道实践题，又是一道开放题，要求较高。需要学生自己在一幅地图上找到比例尺，量出某两点之间的图上距离，再计算实际距离，以培养学生的实践能力和应用能力。
（3）第7题主要是根据比例尺和实际距离求图上距离，第8题通过填表的方式进行求实际距离和求图上距离的综合练习，进一步提高学生求实际距离和图上距离的技能，尤其是处理好单位换算的问题。
（4）第9题，是在计算图上距离的基础上解决实际问题，具有较强的综合性。小丽的位置比较好确定，通过测量，找到底线的中点，再作底线的垂线，与三分线相交即可。而小红和小明的具体位置需要通过计算出他们距底线和边线的图上距离，通过测量加以确定。
教学建议
（1）引导学生抓住本质，灵活解题。
利用比例尺求图上距离或实际距离时，具体方法可以灵活多样。例如，可以通过比例尺的定义，利用解比例来解决，如第5题，设两地实际距离为xcm，通过解3.4：x＝1：5000000来求；也可以把比例尺看成一个比值来解决，例如，第7题，可用190000000×直接计算；还可以根据数据的特点灵活解决，例如，第9题中，小明距边线2.5m，即250cm，而比例尺为1：250，因此，不计算就可判断出图上距离为1cm。
（2）加强实践性和综合性。
第6题，学生找到的地图是不同的，地图上标示的比例尺大小也是不同的，有的是数值比例尺，有的是线段比例尺。学生可以任意选择两个城市，通过测量、计算，算出它们的实际距离。在此基础上，可让使用不同比例尺的学生选择相同的两个城市，比较一下计算出来的实际距离是否相同。
通过第9题，要提高学生综合解决问题的能力。例如，怎样确定三分线的中点，在计算出小明距边线、小红距底线的图上距离后，如何通过测量确定他们在图上的位置。
编写意图
（1）本页的3道习题，具有较强的实践性和综合性，主要意图是促进学生运用比例尺的相关知识解决实际问题，提高实践能力和综合运用知识解决问题的能力。
（2）第10题是用指定的比例尺画出自己家房子的平面图。本题综合了位置与方向、测量、平面图形、比例尺等知识。需要学生先测量出房子的各种实际长度，如客厅、厨房、房间的长、宽，然后计算出图上的长度，再根据位置与方向的相关知识，画出平面图。
（3）第11题的要求更高，需要学生自行确定比例尺，再画平面图。首先需要测量这幅平面图中小明家到四条边框的大致尺寸是多少，要确定一个合适的比例尺，使得在平面图上画这四个地点时，都尽量在边界以内。需要学生整体把握、通盘考虑甚至不断调整。
（4）第12题，涉及到比例尺的知识、位置与方向的知识以及相关数量关系的应用，体现了较强的综合性。同时还体现了很大的开放性，以提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。
教学建议
（1）加强实践性和综合性，使学生积累基本的数学活动经验。
本页的3道习题都体现了较强的实践性和综合性。练习时，要注重让学生经历过程，在应用知识的过程中积累基本的数学活动经验。
第10题，应课内外结合，教师可举例让学生认识一下什么样的图是房子的平面图（如房产证后一般附有房子平面图），再引导学生讨论：画平面图以前需要知道什么？可让学生先画出房子结构的草图，在父母的帮助下（或几个同学合作）量出房子的各种尺寸，算出图上距离后标在草图上，再画正式的平面图。
第12题，要使学生在综合运用比例尺、位置与方向以及速度、时间、路程等知识解决实际问题的过程中巩固知识，提高能力。
（2）加强操作性指导。
第11题，应让学生明确：同一幅图，只能使用一个比例尺，在图中，这四个地点到小明家的距离都应小于小明家到四条边界的距离。例如，量出小明家到上边界、左边界的距离分别是3cm多和5cm多，用1cm表示100m画街心公园和科技馆比较合适，可是用这一比例尺却画不下动物园和医院，因此，必须使用更小的比例尺，如1cm表示200m，即1: 20000。
《练习十一》具体内容和教学建议
编写意图
（1）第1题，让学生巩固：把一个图形按一定的比放大或缩小，它的各条边也按这个比放大或缩小。青蛙图形的尺寸与围住它的长方形边的变化规律是一致的。只有D中青蛙所在长方形的各边是A中相应边的长度的2倍。
（2）第2题，让学生自己选定比例画图形，巩固图形放大和缩小的知识。例如，把A按3：1放大得到B,B按1：2缩小得到C。通过观察可看到，C可由A按1.5：1放大得到，A可由B按1：3缩小得到。第三个问题是星号题，让学有余力的学生借助具体的图形，对图形放大或缩小过程中面积的变化规律有所了解，进行知识的拓展。
（3）第3、4题，学生在用正比例解决实际问题的同时，可进一步体会到数学知识在生活中的广泛应用。第3题，可列出比例式小兰的身高：小兰的影长＝树高：树的影长，或小兰的身高：树高＝小兰的影长：树的影长。第4题，可由“运行时间：运行周数”的比值不变列出相应比例。
教学建议
（1）放手让学生自主、开放地解决问题。
第1题可放手让学生去解决。学生可能会通过对青蛙图形的宽度与高度的观察和比较来判断，也可能会描出四个图形各自所占的长方形框架，然后作出判断。在此基础上，也可让学生说说其他两个图形是如何“变形”的。
第2题，学生可以，自由选定比来放大或缩小图形。选定的比不同，得到的结论也不同。C可能比A大，也可能比A小。当C比A大时，B、C都可由A放大得到；当C比A小时，只有B可由A放大得到。
（2）要让学生学会用数学语言准确地描述图形的放大与缩小。
第2题，可先让学生在理解题意的基础上，画出放大和缩小后的图形。完成后，先回答第一问和第二问，然后教师可提出进一步的要求：用数学语言，描述A可以按怎样的比放大（或缩小）得到B和C？同样，B可以按怎样的比放大（或缩小）得到A和C？C可以按怎样的比放大（或缩小）得到A和B？
（3）引导学生感受数学在生活中的应用。
第3题是正比例知识在生活中的典型应用。教学时，可让学生结合生活经验，总结出不同的正比例关系式。
编写意图
（1）第5题是用反比例解决问题。水渠长度和工作效率不变，修完水渠所需要的总小时数不变。根据“每天工作小时数×工作天数＝总小时数”，可以发现工作天数与每天工作小时数成反比例。
（2）第6、7题都是用正比例解决问题，可依据“路程：时间＝速度”列出比例解答。第6题方法灵活，可以计算出行1200 km所用的时间，也可以计算10小时可行的千米数。
（3）第8--12题都是用反比例解决问题。
第9题，意在发展学生分析、运用信息的能力和开放性提出问题的能力。例如，第二问，要求共产小麦多少吨，就要先求出小麦的公顷数，即反比例关系式中的足。
第11题，利用学生熟悉的生活问题，进一步体会反比例的特点——两种量向相反方向有规律地变化，两种量对应值的乘积不变。
第12题，要求学生综合运用知识来解决现实问题。客厅面积不变，因此方砖块数与每块方砖的面积（而非方砖的边长）成反比例。
教学建议
（1）使学生进一步巩固用正、反比例知识解决问题的分析方法和解答步骤。
教学时，可引导学生先说一说用正、反比例知识解决问题，关键点是什么，步骤是怎样的。可让学生完成本页上较为基础的几道习题。在反馈过程中，进一步梳理数量关系，找出其中的不变量，确定变化的两种量成什么关系。
（2）注重培养学生分析和提出问题的能力。
如第9题的第三问，学生提出其他数学问题的前提是要对前面的信息进行整合和分析，明确题中的量及互相之间的关系，在此基础上，才能提出求工作时间或者求工作效率的数学问题，例如，如果每小时收割0.2公顷，多少小时能完成任务？事实上，学生提出问题的过程，也是学生对这类问题结构清晰化的过程，更是学生思维能力提升的过程。因此，这样的要求，在教学中应有效落实。
（3）注意利用学生的错误资源，引导学生关注正、反比例的本质意义。
第12题，学生有可能会出现利用“边长乘块数的积不变”解决问题的情况。反馈时，可暴露错误资源，引发学生思考和讨论：在这里，什么是不变的量？这个量是如何得到的？使学生从反比例的本质意义出发来解决问题。
