《练习十三》具体内容及教学建议
编写意图
（1）第1、2两题就相当于例1、例2的情况，只不过此处的“抽屉”是隐藏的，需要学生联想、寻找。这两题重在培养学生对知识的迁移和运用能力以及建立模型的能力。
（2）第3题是“抽屉问题”的一个特例，6÷2＝3，没有余数。
（3）第4题是带有梯度的一道逆向应用题，是对例3的巩固和提升。第一问学生易想到，第二问需要在第一问的基础上深入：假设已经拿到一双同色的筷子，最少是4根，如2红、1蓝、1黄，接下去，最不利的情况是再拿1根红色的，接下去不管拿到什么颜色，都能保证有2双筷子了。此题可让学生感受严密细致的推理过程。
（4）第5、6两题，都是“抽屉原理”的具体应用。题目有一定的难度，意在进一步提升学生将实际问题与“抽屉原理”相联系的能力。第5题可这样思考：设有一个奇数抽屉，一个偶数抽屉，现在三个自然数放进两个抽屉里，一定有一个抽屉里至少有两个偶数或者两个奇数，那么它们的和就是偶数。
教学建议
（1）基础性习题让学生自主解决。
第1、2、3题相对较简单，可让学生自己分析解决。教师可要求学生用算式表示，并依据算式进行讲解分析。分析时，应突出与“抽屉原理”的联系——“抽屉”是什么？“物体”是什么？怎么思考？
（2）抽象思考与直观分析可结合运用。
如第4题第一问，可以用想“抽屉”的办法抽象分析，也可引导学生采用画一画的方法来直观分析。这样的方法，有利于第二个问题的解决。分析时，注意提醒学生需要考虑“最不利”的情况——第5根与前面那一双筷子的颜色相同，此时就需要取第6根才能保证2双相同颜色。
第5题也可采用直观罗列的方式。三个自然数，只有“奇奇奇、奇奇偶、奇偶偶、偶偶偶”四种情况，因为奇＋奇＝偶，偶＋偶＝偶，不管哪种情况，一定有两个数的和是偶数。
（3）让学生在尝试中自我发现。
如第6题，可让学生自己先涂一涂。学生涂色时，会发现共有8种不同的涂法（这是一个有序思考的排列问题），然后就会想到涂第九列时，一定就会出现重复，相当于9÷8的情况。涂两行，则相当于9÷4的情况。
《鸽巢问题》教学设计
学习内容：人教版小学数学六年级下册教材第68-71页《鸽巢问题》。
学习目标
1.经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
2.通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3.通过“鸽巢原理”的灵活应用感受数学的魅力。
学习重点：经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。
学习难点：理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
学习过程：
环节预设
教师活动
学生活动
设计意图
一、课前游戏引入。
师：同学们在我们上课之前，先做个小游戏：老师这里准备了4把椅子，请5个同学上来，谁愿来？（学生上来后）
师：听清要求，老师说开始以后，请你们5个都坐在椅子上，每个人必须都坐下，好吗？（好）。这时教师面向全体，背对那5个人。
师：开始。
师：都坐下了吗？
师：我没有看到他们坐的情况，但是我敢肯定地说：“不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗？
师：老师为什么能做出准确的判断呢？道理是什么？这其中蕴含着一个有趣的数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。下面我们开始上课，可以吗？
生：坐下了。
生：对！
从游戏中引入数学问题，寻找规律及共同点。
二、通过操作，探究新知
（一）教学例1
1.出示题目：有3支铅笔，2个盒子，把3支铅笔放进2个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？
师：请同学们实际放放看，谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况（3，0）（2，1）
师：5个人坐在4把椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐两个同学。3支笔放进2个盒子里呢？
师：是这样吗？谁还有这样的发现，再说一说。
师：那么，把4支铅笔放进3个盒子里，怎么放？有几种不同的放法？请同学们实际放放看。（师巡视，了解情况，个别指导）
师：谁来展示一下你摆放的情况？（指名摆）根据学生摆的情况，师板书各种情况。
（4，0，0）
（3，1，0）
（2，2，0）
（2，1，1），
师：还有不同的放法吗？
师：你能发现什么？
师：“总有”是什么意思？
生：一定有
师：“至少”有2支什么意思？
师：就是不能少于2支。（通过操作让学生充分体验感受）
师：把3支笔放进2个盒子里，和把4支笔放进3个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2支铅笔。这是我们通过实际操作现了这个结论。那么，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？
学生思考——组内交流——汇报
师：哪一组同学能把你们的想法汇报一下？
师：你能结合操作给大家演示一遍吗？（学生操作演示）
师：同学们自己说说看，同位之间边演示边说一说好吗？
师：这种分法，实际就是先怎么分的？
师：为什么要先平均分？（组织学生讨论）
师：同意吗？那么把5支笔放进4个盒子里呢？（可以结合操作，说一说）
师：哪位同学能把你的想法汇报一下，
师：把6支笔放进5个盒子里呢？还用摆吗？
师：把7支笔放进6个盒子里呢？
把8支笔放进7个盒子里呢？
把9支笔放进8个盒子里呢？……
你发现什么？
师：你的发现和他一样吗？（一样）你们太了不起了！同桌互相说一遍。
2.解决问题。
（1）课件出示：5只鸽子飞回3个鸽笼，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？
（学生活动—独立思考自主探究）
（2）交流、说理活动。
师：谁能说说为什么？
师：许多同学没有再摆学具，证明这个结论是正确的，用的什么方法？
师：同意吗？（生：同意）老师把这位同学说的算式写下来，（板书：5÷4＝1……1）
师：同位之间再说一说，对这种方法的理解。
师：现在谁能说说你对“总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子的理解”
师：同学们都有这个发现吗？
师：同学们非常了不起，善于运用观察、分析、思考、推理、证明的方法研究问题，得出结论。同学们的思维也在不知不觉中提升了许多，那么让我们再来看这样一组问题。
（二）教学例2
1.出示题目：把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
把8本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
把10本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）
2.学生汇报。
板书：7本3个2本……余1本（总有一个抽屉里至有3本书）
7本3个2本……余1本（总有一个抽屉里至有4本书）
8本3个2本……余2本（总有一个抽屉里至有4本书）
10本3个3本……余1本（总有一个抽屉里至有5本书）
师： 3本、4本是怎么得到的？生答完成除法算式。
7÷3＝2本……1本（商加1）
8÷3＝2本……2本（商加1）
师：观察板书你能发现什么？
师：如果把10本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？
师：到底是“商＋1”还是“商＋余数”呢？谁的结论对呢？在小组里进行研究、讨论。
师：现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体。
3.解决问题。70页第1题。（独立完成，交流反馈）
生：不管怎么放，总有一个盒子里至少有2支笔。
生：没有了。
生：不管怎么放，总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生：不少于两只，可能是2支，也可能是多于2支？
组1生：我们发现如果每个盒子里放1支铅笔，最多放3支，剩下的1支不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生众：平均分
生1：要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2支”，先平均分，余下1支，不管放在那个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2支”。
生2：这样分，只分一次就能确定总有一个盒子至少有几支笔了？
生：（一边演示一边说）5支铅笔放在4个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生：6支铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生1：笔的支数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2支铅笔。
生1：如果一个鸽笼里飞进一只鸽子，最多飞进3只鸽子，还剩2只，要飞进其中的2个鸽笼里。不管怎么飞，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。
生2：我们也是这样想的。
生3：把5只鸽子平均分到3个笼子里，每个笼子1只，剩下2只，放到任何2个笼子里，就能保证至少有2只鸽子飞进同一个笼里。
生4：可以用5÷3＝1……2，余下的1只，飞到任何一个鸽笼里都能保证至少有2只鸽子飞进一个个笼里，所以，“至少有2只鸽子飞进同一个笼里”的结论是正确的。
生：用平均分的方法，就能说明存在“总有一个鸽笼至少有2只鸽子飞进一个笼里”。
生：我们发现这是必然存在的一个现象，不管鸽子怎样飞回鸽笼，一定会有一个鸽笼里至少有2只鸽子。
生众：发现了。
生1：把7本书放进3个抽屉里，如果每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。
生1：“总有一个抽屉里的至少有3本”只要用“商＋1”就可以得到。
生：“总有一个抽屉里的至少有3本”只要用8÷3＝2本……2本，用“商＋2”就可以了。
生：不同意！先把8本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放2本，还剩2本，这2本书再平均分，不管分到哪两个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书，不是4本书。
生1：我们组通过讨论并且实际分了分，结论是总有一个抽屉里至少有4本书。
生2：把10本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放3本，余下的1本可以在一个抽屉里放1本，结论是“总有一个抽屉里至少有4本书”。
生3：用书的本数除以抽屉数，再用所得的商加1，就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。
反复的实验验证鸽巢原理，动手操作有利于学生对此类问题的理解。
三、应用原理解决实际问题
教学例3
出示题目：盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，先要摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）
2.学生汇报。
师验证：球的颜色共有2种，如果只摸出2个球，会出现三种情况：2个红球、1个红球和1个蓝球、2个蓝球。因此如果摸出的2个球正好是一红一蓝时就不能满足条件了。还有其他的猜测吗？
师验证：把红、蓝两种颜色看成2个鸽巢，因为5÷2＝2……1，所以摸出5个球时，至少有3个球时同色的，显然摸出5个不是最少的。
师总结：根据上面的题中只要分放的物体个数比鸽巢数多，就能保证一定有一个鸽巢至少有2个物体，可以推断出“要保证有一个鸽巢 有2个球，分放的球的个数至少比鸽巢数多1”。因为要从两种颜色的球种保证摸出2个同色的，至少要摸出3个球。
生1：只能摸出2个球就能保证是同色。
生2：摸出5个球，肯定有2个是同色的。
鸽巢问题的另一种出现形式，利用我们已学习的知识，举一反三对问题进行探究。
四、总结
1.这节课你有什么收获？
2.你对这节课学习的内容还有什么想法吗？请同学们课下交流一下。
感受本节课的学习收获。
《鸽巢问题（例1）》教学设计
教学内容：教科书第68页例1。
教学目标：
1．使学生理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。
2．通过操作、观察、比较、说理等数学活动，使学生经历抽屉原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，提高学习数学的兴趣。
教学过程：
（一）呈现问题，引出探究
课件呈现：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
师：“总有”和“至少”这两个词是什么意思？
生：“总有”就是一定有，至少就是“最少，最起码”。（学生都有类似的理解。）
师：你觉得这句话说得对吗？请你静静思考一下。
师：大家可以用摆一摆、画一画、写一写等方法把自己的想法表示出来。
（二）自主探究，初步感知
1．学生探究。（略）
2．反馈交流。
（l）枚举法。
生1：我们是用铅笔模拟摆出来的，一共有四种情况。这四种情况中，不管哪一种，都有一个笔筒里至少有2支铅笔。
师：我们来看这些摆法，凭什么说“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”？
生：第一种摆法有一个笔筒是4支，第二种摆法有一个笔筒是3支，第三种摆法有一个笔筒是2支，第四种摆法有两个笔筒都是2支，所以“总有一个笔筒里至少放进2支铅笔”。
师：比2支多也可以吗？
生：至少放进2支笔就是最少是2支，比2支多也是可以的，3支、4支都是符合要求的。
教师再次引导学生观察四种摆法，把符合要求的笔筒用彩色粉笔标出予以“检验”，理解总有一个笔筒里至少有2支铅笔，对学生的方法给予肯定。
生2：我们是用数表示的，比他的方法要简单。
师生一起圈出每种分法中不小于2的数，认可这种方法，对学生简洁的表示法予以表扬。
（2）假设法。
师：除了像这样把所有可能的情况都列举出来，还有没有别的方法也可以证明这句话是正确的？
生：我是这样想的，先假设每个笔筒中放1支，这样还有1支。这时无论放到哪个笔筒，那个笔筒中就是2支了。所以我认为是对的。
教师板书图示，引导学会直观认识“这时无论放到哪个笔筒，那个笔筒中就有2支”的情况。
师：你为什么要先在每个笔筒中放1支呢？
生：因为总共只有4支，平均分，每个笔筒只能分到1支。
师：你为什么要一开始就要去平均分呢？（板书：平均分）
生：平均分，就可以使每个笔筒的笔尽可能少一点，也就有可能找到和题目意思不一样的情况。
师：我明白了。但是这样只能证明总有一个笔筒中肯定会有2支笔，怎么能证明至少有2支呢？
生：平均分已经使每个笔筒中的笔尽可能少了，如果这样都符合要求，那另外的情况肯定也是符合要求的了。
（3）确认结论。
师：到现在为止，我们可以得出什么结论？
生（齐）：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
（三）提升思维，构建模型
1．加深感悟。
师：刚才我们通过不同的方法验证了这句话是正确的。现在老师把题目改一改，你们看看还对不对，为什么？
师（口述）：5支铅笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。
（生答略。）
教师让学生继续思考：6支铅笔放进5个笔筒，总有一个笔筒至少放进（ ）支铅笔。
10支铅笔放进9个笔筒呢？100支铅笔放进99个笔筒呢？
（教师引导学生说理，学生逐渐都采用假设的思路熟练地来表达。）
师：我们为什么都采用假设的方法来分析，而不是画图或举例子呢？
（引导学生对两种方法进行比较，体会枚举方法的优越性和局限性，感悟假设方法更具一般性的特点。）
2．建立模型。
师：通过刚才的分析，你有什么发现？
生：只要铅笔的数量比笔筒的数量多1，那么总有一个笔筒至少要放进2支笔。
师：对的。铅笔放进笔筒我们会解释了，那么下面这两句话你能得出什么结论呢？
课件呈现：8只鸽子飞回7个鸽巢；10个苹果放进9个抽屉里。
（学生回答略。）
师：以上这些问题有什么相同之处呢？
生：其实都是一样的，鸽巢、抽屉就相当于笔筒，鸽子、苹果就相当于铅笔。
师：像这样的数学问题，我们就叫做“鸽巢问题”或“抽屉问题”，它们里面蕴含的这种数学原理，我们就叫做“鸽巢原理”或“抽屉原理”。（揭题）
（四）运用模型，解决问题
1．基本练习。（略）
2．巩固练习。
让学生完成“做一做”第1题。
第1课时 抽屉原理
温习旧知
数一数，填一填。
32－12＝（ ） 42－22＝（ ） 52－32＝（ ）
＝4×（ ） ＝4×（ ） ＝4×（ ）
根据上面发现的规律，可知：1002－982＝4×（ ）＝（ ）。
通过研究数与形之间的对应关系，运用数形结合思想，可以巧妙地解决很多看起来较复杂的问题。
预习新课
填一填。
（1）把5本书放到4个书架上，至少有（ ）本书放在同一个书架上。
（2）六（2）班有26名同学是同一年出生的，他们之中至少有（ ）名同学是同一月出生的。
把多于个物体任意放进n个空抽屉里（是正整数），那么一定有一个抽屉中至少放进了 个物体。
练习反馈
1.把一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，至少有几个面涂的颜色相同？
2.（易错题）将一些书放入5个抽屉里，每个抽屉里都放有书，且放的最多的抽屉里放有2本。这些书可能有多少本？
3.（培优题）任意7个不同的自然数中至少有2个数的差是6的倍数，为什么？
参考答案：
温习旧知 8 2 12 3 16 4 99 396
预习新课 （1）2 （2）3
练习反馈 1.6÷4＝1……2 1＋1＝2（个）
所以至少有两个面涂的颜色相同。
2.1×5＋1＝6（本） 2×5＝10（本）
所以这些书可能有610本。
3.任意一个自然数除以6的余数只能是0，1，2,3,4,5中的一种，且任意两个数，如果它们除以6的余数相同，那么它们的差是6的倍数。
7÷6＝1……1 1＋1＝2
即一定存在2个数除以6的余数相同，所以任意7个不同的自然数中至少有2个数的差是6的倍数。
抽屉的原理的应用
温习旧知
填一填。
（1）把6串葡萄放到5个盘子里，总有（ ）个盘子里至少要放2串葡萄。
（2）某次数学竞赛有6名同学参加，总分是547分，则至少有一名学生的得分不低于（ ）分。
把多于个物体任意放进n个空抽屉里（是正整数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k＋1）个物体。
预习新课
（1）把黑、白、灰三种颜色的袜子各10只混在一起，如果闭着眼睛摸，至少摸出（ ）只才能保证一定有一双同色的袜子。
（2）袋子里有同样大小的黑球4个，白球5个，红球7个，要想摸出的球一定有3个同色，至少要摸出（ ）个球。
用抽屉原理解决实际问题时，要弄清 、 和 ，从而将实际问题转化为鸽巢问题。
练习反馈
1.一副扑克牌（去掉大、小王）共52张。
（1）至少拿出多少张牌，才能保证有2张牌是同花色的？如果要保证2张牌是同点数的呢？
（2）至少拿出多少张牌，才能保证4种花色的牌都有？如果要保证各种点数的牌都有呢？
2.（培优题）英才小学六（2）班36名师生乘车外出春游，最多乘几辆车才能保证至少有一辆车上的人数不少于8？
参考答案：
温习旧知 （1）1 （2）92
预习新课 （1）4 （2）7
练习反馈 1.（1）4×1＋1＝5（张） 13×1＋1＝14（张）
（2）13×3＋1＝40（张） 4×12＋1＝49（张）
2.（36－1）÷（8－1）＝5（辆）
