《数学思考》教学分析
（一）教学目标
1．使学生进一步掌握观察、枚举、比较、归纳、列表、假设等逻辑推理时常用的方法，并能较灵活地运用所学方法解决一些实际问题。
2．使学生经历用各种推理方法解决问题的过程，进一步提升逻辑推理能力和解决问题能力，体会逻辑推理是学习数学和解决问题的一种重要思考方式。
3．使学生通过学习，进一步感受数学的内在魅力，激发数学学习的兴趣，增强数学探索的愿望。
（二）内容安排及其特点
在学生学习数学的过程中，任何看似浅显的数学知识后面都蕴含着丰富的数学思想。让学生体会和掌握基本的数学思想，是《标准（2011版）》中提出的重要教学目标。例如，一年级下册的“找规律”以及其他一些让学生寻找模式、应用模式的内容，都体现了合情推理的思想。
除了在数学课程的方方面面让学生感悟数学思想之外，本套教材从二年级开始，每册都安排一个“数学广角”单元，使学生接触到最为基本的数学思想和方法，获得探索数学知识、解决问题的基本方法，提升数学能力。各册教材安排的“数学广角”内容如下表。
表中的排列组合、“鸡兔同笼”等内容，可让学生体会观察、枚举、归纳等合情推理的方法，而逻辑推理、鸽巢问题等内容则可让学生学习简单的演绎推理的方法。可见，作为数学最基本的思想之一——推理，教材一直是在有步骤、有层次地进行呈现。
也正是在此基础上，教材在六年级下册的整理和复习阶段，再次设置相关内容。希望通过这些内容的教学，让学生在推理方面得到更多的训练，进一步发展逻辑推理能力和解决问题的能力。本节教材中的四道例题包括利用数形结合找规律、列表推理、等量代换、简单的几何证明，都是发展学生逻辑推理能力的典型素材。
四道例题的具体内容及内涵如下。
这种不断排除矛盾、推出必然结果的思维方式，是一种演绎推理。例3是等量代换的内容。等量代换指的是一个量用与它相等的量去代替。这种思想是演绎推理的基础，在《几何原本》中，第一条公理就是“等于同量的量彼此相等”。例4，则是一道经典的用演绎推理来进行证明的几何题。以“推理”为主线编排的这几个内容，可以让学生系统地经历从特殊到一般（归纳）、从一般到特殊（演绎）的思维发展过程，深刻地体会推理的魅力和价值。
在编排时，教材注重体现思维发展的过程，并给以恰当的提示、点拨或指导，帮助学生掌握分析方法积累学习经验，形成思想方法。如例1，第3个及之后的点，与前面的点形成的连线，教材都是用虚线的形式呈现，这就给学生提供了一种很好的思考方式——每次新增加的点都要与原来的点连线，原来有几个点，就会新增几条线。
六年级的学生很快将进入初中，代数内容将成为主要的学习内容。因此，在小学的整理和复习阶段，适当安排一些用字母表示数、数量关系和变化规律的教学内容，有利于学生抽象概括能力的进一步提升，也有利于中小学教学的良好衔接。例如，例1在得出规律后，教材提出“想一想，n个点能连多少条线段”的要求，就是希望学生能以更加抽象的方式来刻画这个规律。例3的等量代换，更是在为学生提前铺垫解方程的方法、发展代数思想作准备。
（三）教学建议
1．要让学生充分经历动手实践、自主探索和合作交流的过程。
本单元的内容，题目表达的意思不难理解，难的是隐藏在其中的规律与发现结论的过程。例题的可操作性比较强，对学生的吸引力也比较大。因此，教学时可以多让学生自己动手试一试，在尝试的过程中慢慢发现突破的方向以及解决的策略。只有自己实践过，探究过，积累的经验才会更丰富，对思想方法的感悟才会更深刻。例如，例1的教学，教师可以让学生直接面对“8个点可以连多少条线段”的问题，去尝试连线并数出。学生经历了连线及数数的过程，会感受到混乱才会产生有序思考、从简单情况入手的愿望。在反馈之后，教师可提出“点数增加与线段条数增加有什么关系”的问题，组织学生进行交流。随着交流的深入，学生逐渐发现两者之间的紧密联系，进而推导出规律。这样的过程，是学生经验从感性到理性发展的过程，也是思维逐步发展、思想方法逐步积累的过程。
同样，例2的推理过程，也可让学生先去尝试探索（教师初步示范后），再去交流讨论，最后从不同的角度推理出结论。例3、例4，也均可放手让学生尝试，尝试后组织交流，最后解决问题，感悟思想。
2．教师要充分发挥引领、示范和指导作用。
教学的有效性和教师的组织、引导紧密相关。本单元的内容相对较难，在一些节点处和关键处，特别需要教师发挥这方面的作用。例如，教学例1时，当学生杂乱地数线段或数不清线段时，教师一句“我们怎样才能数得清”就可引领学生走向“从简单入手、有序思考”的高层次思维。例2，学生面对文字表述的这样一段话，很可能就是思维混乱甚至无从下手，此时，教师呈现表格，将第一次情况示范性地表示出来。如此一来，学生看到了一种问题解决的好策略，就产生了模仿使用的愿望，学习得以朝着目标有效行进。例4，两个对顶角相等，学生是能看得出或者能朴素地说明原因的，但是，倘若学生不能依据条件用有逻辑的数学语言表达清楚，就没有达到例题的编排目的。此时，就需要教师准确地示范，并指导学生以这样的方式来表达。
3．要恰当把握教学要求。
推理的内容，有别于常规的数学知识，对学生的分析思考能力和抽象概括能力有更高的要求。学生在学习时，自然也会遇到更多的困难。教师应考虑教学难度的因素，也需考虑学生之间能力差异的因素，在教学时恰当把握要求，合理展开教学。如例1及之后的“做一做”和练习二十二中，多处都有用字母来表示规律（通项公式）的要求。教学时，教师应视班级基础和学生能力而作合适的处理。例如，例1中要求九个点能连多少条线段，学生如能答出“1＋2＋3＋…＋（n－1）”条线段，教师应予以肯定，不一定非得提升到“n（n－1）÷2”这样的层次。教材上以星号标注的几个问题，教师更应把握尺度。例4，并不需要学生书写出严密的证明过程，只要学生能用语言大致表达出“几何证明”的过程，就已经达到目标了。
4．建议用3课时教学。
《数学思考：例1》教学设计
教学内容：教科书第100页例1。
教学目标：
1．使学生理解点与点之间连线段的内在规律，掌握正确计算线段数的方法。
2．使学生通过观察、分析、归纳等过程，进一步发展合情推理能力和问题解决能力。
3．使学生进一步体会数形结合思想，感受数学的魅力，增强数学学习的兴趣。
教学过程：
（一）直接导入，发现问题
1．呈现问题。
师：请大家在纸上任意点上8个点。（学生各自画点）
师：每两个点可以连成一条线段，请问8个点一共可以连成多少条线段？
2．初次探究。
学生独立尝试连线，数线段，一会儿，纷纷表示“太乱了，数不清”
（二）教师引导，逐步探究
1．教师引导。
师：同学们，8个点连出来的线段，数量多，很难数清楚。所以，这样的问题，我们不应该直接用数的方法来解决，而是要研究其中的规律，巧妙地解决。怎么研究呢？我们可以从2个点开始，逐步增加点数来研究。
教师在黑板上示范画上2个点，连成线段，记录在下表中：
师：现在我们画第3个点。这个点画出来，会连成几条线段呢？（生观察回答后教师画出，并连线。）
师：相比上一次，为什么增加2条线段呢？
生：因为第三个点可以和前面的两个点分别连成线段，所以可以增加2条线段。（教师请学生也模仿画出，引导学生理解2条线段是如何增加出来的。）
教师在表格中继续记录成下表。
2．学生探究。
（1）师：接下去要画第4个点了，这次又会产生怎样的情况呢？这次请大家自己试一试，填一填这个表格。
学生自己探究，很快发现，第4个点可和前面3个点连成线段，可新增3条线段，一共可得到6条线段了。教师板书演示，肯定学生的探究，在表格中完善。
（2）师：用这样的思路，下面请大家继续往下探究，一直到得出8个点可连成多少条线段，并思考这里有什么规律。
（3）学生自己探究。
有些学生已发现规律，教师鼓励学生再画一画、数一数，确认一下规律是否正确。
3．反馈交流。
待学生探究结束后，教师先和学生校对了答案，确认可连成28条线段。
师：你发现了什么规律？
生：每次增加的线段总比前面一次多1条。
师：能不能具体来说呢？
生：到第5个点时可增加4条线段，第6个点时可增加5条线段，第7个点时可增加6条线段，第8个点时可增加7条线段。
师：不知大家思考过没有，这是什么原因呢？
生：因为到第5个点时，前面已有4个点，所以就可以新增4条线段。第6个点时，前面已有5个点，就可以新增5条线段……
教师结合学生的回答，用课件予以演示，支撑理解。同时，教师在表格中完善记录。
生：我发现，要计算一共有几条，实际上就是从1＋2＋3＋…一直加到比点数少l的数就可以了。（学生纷纷认可，教师引导学生观察表中数据，理解这一算法的道理。）
生：实际上原因很简单，因为最后的点数一定可以和前面的每个点相连，所以最后新增的线段数肯定就是比它的点数小1的数。
（三）归纳小结，提升思想
师：那现在请你想一想，12个点可以连成多少条线段？
学生列式计算，教师反馈，追问最后的加数11的含义。同时，对计算方法予以指导。
师：21个点可以连成多少条线段呢？（巩固理解，指导算法）
师：九个点可以连成多少条线段呢？
学生口答得出：1＋2＋3＋…＋（n－1）。
师：我们刚才在解决这个问题的过程中，用到了一个非常重要的思想方法，那就是通过举例子，观察，分析，找出内在的规律，然后归纳得出一个结论。这是一种推理的思想方法，是研究问题的重要方法。
（四）练习巩固，提升能力
1．教科书第100页“做一做”。
学生独立解决，交流反馈，得出“第几幅图，正方形边上的棋子数就是几，棋子总数就是每边棋子数的平方”。如果是第n幅图，用式子表示就是n2。
2．教科书第103页第2题。（略）
（五）回顾所学，课堂总结
《练习二十二》具体内容和教学建议
编写意图
（1）第1、2、3、4题都是先找规律，然后应用规律进行计算或符号化表达。这些题目，帮助学生进一步发展观察、枚举、归纳能力，提升推理水平。
第2题包含了两个规律，从第②图开始，平行四边形、梯形依次有规律地出现；小棒的根数，则是每次增加2根，表达式为2n＋l。
第3题，把“1面红棋、2面黄旗、3面绿旗”看成一组，运用有余数除法，即可推理得出彩旗的颜色。
第4题不是新问题，在四年级学生就接触过。根据边数与可划分的三角形个数，可容易地推理得到n边形内角和为（n－2）×180°。
（2）第5、6题是排列组合问题，可进一步发展学生有序思考的能力。
第5题，不同邮资的组合，可以按取1枚、2枚、3枚、4枚的顺序枚举，分别为50分、80分、100分、130分、160分、180分、210分、260分，共8种。
第6题是求满足一定条件的排列数，思考方法较多。假设左起第1位固定一位小朋友，有2种排法，一共有4种这样的情况，2×4＝8种。
教学建议
（1）培养学生细致观察、深入思考的习惯。
规律就是事物之间的联系，要找出规律，就需要经历观察、分析、猜想、验证等思考的过程，这些过程对于发展学生的推理能力是极其重要的，教学中应注意培养。例如，第1题，可引导学生寻找数与项数之间、前后数之间的关系来探索规律。完成后要引导学生验证答案是否符合规律，养成良好的检验习惯。
第2题，可让学生观察序号和形状之间的关系，观察小棒根数与三角形个数之间的关系。学生在观察比较中，就会较容易地找出规律。对于小棒根数为2n＋l，更可以从观察中发现：以第一根小棒为基础，添上2根，就成为一个三角形，再添2根，又新增一个三角形。那么，新增行个三角形就共需2n根小棒，最后加上第一根小棒，就是2n＋l。
（2）以理解题意为基础展开分析。
例如，第5题，教师要引导学生理解为什么会有多种不同的面值，第6题要理解间隔排列的意思。学生理解题意后，可让学生自己分析，用各种个性化的方法（如画一画、操作一下）将思考过程展现出来。教师需关注的是学生在反馈中是否采用有序思考的思维方式。
编写意图
（1）第7.8题，是典型的逻辑推理问题。通过练习，进一步提高学生列表分析、逻辑推理的能力。
第7题，通过列表，根据“他们的号码与他们的名次都不相同”，就可较容易地推理出结论。
第8题，需要通过找出题中互相矛盾的条件关系（如甲说自己不是主谋，丙也说自己不是主谋），从而推知其两人的话必有真假。假设甲说的是真话，则说明丙是主谋。再结合题中另两个人说的假话，分析发现所推得的信息都相符，就可推出丙说的是假话，他就是主谋。
（2）第9题第一问，可采用等式的性质，将三个等式的两边分别相加，求出○＋□＋△＝100，然后依次求出结果。第二问，先根据上面两式求出○和□，然后代入第三式。
（3）第10题实际上是“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的知识，此题延续例4的编排理念，以直观支撑和启发引导，让学生感悟推理在数学中的作用。
（4）“你知道吗”介绍了著名的“哥尼斯堡七桥问题”，向学生介绍数学文化和数学思想方法。
教学建议
（1）鼓励学生独立解决问题。
如第7题，让学生尝试独立解决。学生可能会主动调用前面所学的列表分析的经验，自己设想表格的列法、信息的表示，自主推理。也有学生不列表，根据信息直接判断名次，如“2号不是第4名”，只可能是第2名或第3名，但号码与名次不同，因此只能是第3名。
第8题，学生在尝试的过程中可能会遇到困难，但是，在此过程中，学生会越来越清楚地看到信息间的牵连和矛盾。而理清关系、排除矛盾的过程，恰是学生推理能力提升的过程。
（2）教师可以多一些引导和帮助。
本页的几道习题，都有一定的难度，在一些关键之处，教师可多给一些引导。如第8题，在学生尝试分析的过程中，教师可适当启发：“哪两个条件矛盾了？”“这两个条件矛盾了，说明了什么？”后续的推理，教师更可带着学生一起展开。第9题，教师更要引导学生关注算式的特点，教给学生运用等式的性质处理算式的办法。第10题，要把握好教学要求，重点是帮助学生加深对推理过程的感悟。
（3）七桥问题，反映了抽象、推理、模型等数学思想。无需学生理解内在原理，只需利用这样的素材了解数学文化，体会数学思想。
数学思考
练习反馈
1.一些圆片按下列方式摆放。
（ ） （ ） （ ） （ ）
你知道第5堆有多少个圆片吗？第8堆呢？
2.英才小学六（1）班43名同学排成一排，按照1~3报数，最后一名同学应报几？报1、2、3的分别有多少人？
3.有2名数学教师和4名英语教师被分往某地区的2所中学任教，每校分1名数学教师和2名英语教师，有多少种不同的分配方法？
4.小华买了2元和5元的纪念邮票共34元，用去98元，小华两种邮票各买了多少张？
5.（培优题）甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛。赛后，甲说：“丙第一，我三。”乙说：“我第一，丁第四。”丙说：“丁第二，我第三。”丁说：“丙第四，甲第一。”成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，请说出他们各自的名次。
参考答案：
1.第5堆有15个圆片，第8堆有36个圆片。
2.43÷3＝14……1
最后1名同学报1，报1的有14＋1＝15（人），报2的和报3的都有14人。
3.1名数学老师搭配2名英语老师，共有6种搭配方法，每一组老师被派往的地方有2种可能，所以有6×2＝12（种）分配方法。
4.2元的邮票买了24张，5元的邮票买了10张。
5.乙第一，丁第二，甲第三，丙第四。
