18.1 平行四边形的性质同步练习
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18.1 平行四边形的性质同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心．
２．平行四边形的对角线互相平分 ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则□ABCD的面积是( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
2．如图，□ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )
A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
3．如图，在 ABCD中，BD为对角线，点E，O，F分别是AB，BD，BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则 ABCD的周长是( )
A. 10 B. 20 C. 15 D. 6
4．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）
A. 4，4，8，8 B. 5，5，7，7 C. 5.5，5.5，6.5，6.5 D. 3，3，9，9
5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A. 10 B. 16 C. 20 D. 22
6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=6，则CD的长为( )
A. 14 B. 17 C. 8 D. 12
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 6
8．如图，如果□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10．10．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 8cm
二、填空题
11.若□ABCD的周长为22cm，AB,CD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm。则
AD_______,AB_____________
12．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则□ABCD的面积为________cm2.
13．如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_____，△AOD≌△_____．
14．在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO=_____cm．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AD=6，AB=10，则△AOB的面积为 ______________．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是__________．
三、解答题
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？
18．如图，在□ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，∠ABC=58 .求∠BAC的度数.
19．如图所示，已知□ABCD，对角线AC、BD相交于点O，EF是过点O的任一直线，交AD于点E，交BC于F，试说明OE与OF之间的关系，并说明理由．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠EDF.
21．已知：□的周长为，对角线、相交于点， 的周长比的周长长，求这个平行四边形各边的长.
参考答案
1．C
【解析】试题解析：在中，O是对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD，
故选C.
2．C
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，BO=DO，
∵EO⊥BO，
∴BE=DE，
故选C.
点睛：平行四边形的对角线互相平分.
3．B
【解析】∵点E. O、F分别是AB、BD、BC的中点，
∴AD=2OE=6，CD=2OF=4，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，BC=AD=6，
的周长是(6+4)×2=20.
故选B.
4．B
【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边为7，较短的一边长为5．所以选B．
5．C
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得：CD=AB=6，根据△OCD的周长可得：OC+OD=16-6=10，根据平行四边形对角线互相平分可得：AC+BD=2(OC+OD)=20.
6．A
【解析】∵DE：EA=3：4，∴DE:AD=3：7.
∵EF∥AB, ∴EF:AB=DE:AD=3：7，∴AB=6×7÷3=14.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=14.
故选A.
7．A
【解析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短，当OD⊥AC时，DE线段取最小值.
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AC，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OB，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.
∴OD∥CB.
又点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=CB=2，
∴ED=2OD=4.
故选A.
“点睛”本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短.解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质.
8．D
【解析】试题分析：∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO．
∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，
∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO．
∵BD=BD，AC="AC" ，∴△ABD≌△DCB，△ACD≌△CAB．
∴共有四对．故选D．
考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．
9．B
【解析】试题分析：由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
点评：本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
10．B
【解析】试题解析：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）-（OA+OB+AB）=AD-AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．
∴BC=AD=8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE=BC=4cm.
故选B．
11． 4cm 7cm
【解析】试题解析：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD+AB=11cm，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD，△AOB的周长=AB+AO+OB，
而△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，即AB AD=3cm，
∴ 解得，AD=4cm，AB=7cm.
故答案为：(1). 4cm (2). 7cm.
12．12
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，CD=AB=5cm，
∵BC=4cm，
即DB⊥BC，
故答案为：12.
13．△COD，△COB
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．故答案为：△COD，△COB．
14．4
【解析】在 ABCD中
∵BC=AD=6cm，AO=CO，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC==8cm，
∴AO=AC=4cm；
故答案为：4．
15．12
【解析】∵BD⊥AD，AD=6，AB=10，
,
∴ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
16．
【解析】
试题分析：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP=AD，
∵AD=BC=5，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ=DP=，BQ=BP=（AB﹣AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO===，
∴AM=AN=AO=，
∴MN=AM=，
∴△OEF周长的最小值是．
故答案为：．
考点：轴对称﹣﹣最短路线问题；平行四边形的性质；等腰三角形的性质的判定和性质；勾股定理．
17．相等，原因见解析．
【解析】【试题分析】
根据平行四边形的性质：对边相等来解答．需要证明边相等，一般通过证明三角形全等来解答．
【试题解析】
在平行四边形ABCD中，OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEO＝∠DFO，
又∵∠BOE＝∠DOF
∴△BOE≌△DOF
∴OE＝OF.
18．∠BAC=61 .
【解析】试题分析:先根据平行四边形对角线互相平分可得AO=OC,因为AC⊥BD,根据三角形三线合一性质可得: AB=BC,根据等边对等角可得: ∠BAC=∠BCA,根据三角形内角和定理可得: ∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ,所以58 +2∠BAC=180 ,即可求解.
试题解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=OC,
又AC⊥BD,所以AB=BC.所以∠BAC=∠BCA,
因为∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ,所以58 +2∠BAC=180 .所以∠BAC=61 .
19．OE与OF相等.
【解析】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可．
试题解析：解：结论：OE=OF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．
在△AOE和△COF中， ∵∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，AO＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．
点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
20．见解析
【解析】试题分析：先连接BD，交AC于O，由于AB=CD，AD=CB，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABBCD是平行四边形，于是OA=OC，OB=OD，而AF=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形DEBF是平行四边形，于是∠EBF=∠FDE．
试题解析：证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF.
21．12.5cm.
【解析】试题分析：平行四边形周长为60cm，即相邻两边之和为30， 的周长比的周长长5cm，而为共用， 所以由题可知比长5，可列方程解答．
试题解析：在□中，
∵周长- 周长=，
又∵□的周长为.
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18.1 平行四边形的性质同步练习
班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心．
２．平行四边形的对角线互相平分 ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则□ABCD的面积是( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
2．如图，□ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )
A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
3．如图，在 ABCD中，BD为对角线，点E，O，F分别是AB，BD，BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则 ABCD的周长是( )
A. 10 B. 20 C. 15 D. 6
4．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为（ ）
A. 4，4，8，8 B. 5，5，7，7 C. 5.5，5.5，6.5，6.5 D. 3，3，9，9
5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为16，则AC与BD的和是（ ）
A. 10 B. 16 C. 20 D. 22
6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=6，则CD的长为( )
A. 14 B. 17 C. 8 D. 12
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A. 4 B. 2 C. 2 D. 6
8．如图，如果□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有 ADCE中，DE最小的值是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10．10．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 8cm
二、填空题
11.若□ABCD的周长为22cm，AB,CD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm。则
AD_______,AB_____________
12．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则□ABCD的面积为________cm2.
13．如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_____，△AOD≌△_____．
14．在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB=10cm，AD=6cm，则AO=_____cm．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD⊥AD，AD=6，AB=10，则△AOB的面积为 ______________．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是__________．
三、解答题
17．如图所示，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？
18．如图，在□ABCD中，对角线AC⊥BD于点O，∠ABC=58 .求∠BAC的度数.
19．如图所示，已知□ABCD，对角线AC、BD相交于点O，EF是过点O的任一直线，交AD于点E，交BC于F，试说明OE与OF之间的关系，并说明理由．
20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠EDF.
21．已知：□的周长为，对角线、相交于点， 的周长比的周长长，求这个平行四边形各边的长.
参考答案
1．C
【解析】试题解析：在中，O是对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD，
故选C.
2．C
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，BO=DO，
∵EO⊥BO，
∴BE=DE，
故选C.
点睛：平行四边形的对角线互相平分.
3．B
【解析】∵点E. O、F分别是AB、BD、BC的中点，
∴AD=2OE=6，CD=2OF=4，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，BC=AD=6，
的周长是(6+4)×2=20.
故选B.
4．B
【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边为7，较短的一边长为5．所以选B．
5．C
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得：CD=AB=6，根据△OCD的周长可得：OC+OD=16-6=10，根据平行四边形对角线互相平分可得：AC+BD=2(OC+OD)=20.
6．A
【解析】∵DE：EA=3：4，∴DE:AD=3：7.
∵EF∥AB, ∴EF:AB=DE:AD=3：7，∴AB=6×7÷3=14.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=14.
故选A.
7．A
【解析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短，当OD⊥AC时，DE线段取最小值.
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AC，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OB，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.
∴OD∥CB.
又点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=CB=2，
∴ED=2OD=4.
故选A.
“点睛”本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短.解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质.
8．D
【解析】试题分析：∵ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO．
∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB，
∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO．
∵BD=BD，AC="AC" ，∴△ABD≌△DCB，△ACD≌△CAB．
∴共有四对．故选D．
考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．
9．B
【解析】试题分析：由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
点评：本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
10．B
【解析】试题解析：∵ ABCD的周长为26cm，
∴AB+AD=13cm，OB=OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，
∴（OA+OD+AD）-（OA+OB+AB）=AD-AB=3cm，
∴AB=5cm，AD=8cm．
∴BC=AD=8cm．
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE=BC=4cm.
故选B．
11． 4cm 7cm
【解析】试题解析：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD+AB=11cm，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD，△AOB的周长=AB+AO+OB，
而△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，即AB AD=3cm，
∴ 解得，AD=4cm，AB=7cm.
故答案为：(1). 4cm (2). 7cm.
12．12
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，CD=AB=5cm，
∵BC=4cm，
即DB⊥BC，
故答案为：12.
13．△COD，△COB
【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，两条对角线交于点O，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．故答案为：△COD，△COB．
14．4
【解析】在 ABCD中
∵BC=AD=6cm，AO=CO，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC==8cm，
∴AO=AC=4cm；
故答案为：4．
15．12
【解析】∵BD⊥AD，AD=6，AB=10，
,
∴ .
∵四边形ABCD是平行四边形，
16．
【解析】
试题分析：作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP=AD，
∵AD=BC=5，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ=DP=，BQ=BP=（AB﹣AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO===，
∴AM=AN=AO=，
∴MN=AM=，
∴△OEF周长的最小值是．
故答案为：．
考点：轴对称﹣﹣最短路线问题；平行四边形的性质；等腰三角形的性质的判定和性质；勾股定理．
17．相等，原因见解析．
【解析】【试题分析】
根据平行四边形的性质：对边相等来解答．需要证明边相等，一般通过证明三角形全等来解答．
【试题解析】
在平行四边形ABCD中，OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEO＝∠DFO，
又∵∠BOE＝∠DOF
∴△BOE≌△DOF
∴OE＝OF.
18．∠BAC=61 .
【解析】试题分析:先根据平行四边形对角线互相平分可得AO=OC,因为AC⊥BD,根据三角形三线合一性质可得: AB=BC,根据等边对等角可得: ∠BAC=∠BCA,根据三角形内角和定理可得: ∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ,所以58 +2∠BAC=180 ,即可求解.
试题解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=OC,
又AC⊥BD,所以AB=BC.所以∠BAC=∠BCA,
因为∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ,所以58 +2∠BAC=180 .所以∠BAC=61 .
19．OE与OF相等.
【解析】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可．
试题解析：解：结论：OE=OF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．
在△AOE和△COF中， ∵∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，AO＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．
点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
20．见解析
【解析】试题分析：先连接BD，交AC于O，由于AB=CD，AD=CB，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，可知四边形ABBCD是平行四边形，于是OA=OC，OB=OD，而AF=CF，根据等式性质易得OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形DEBF是平行四边形，于是∠EBF=∠FDE．
试题解析：证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF.
21．12.5cm.
【解析】试题分析：平行四边形周长为60cm，即相邻两边之和为30， 的周长比的周长长5cm，而为共用， 所以由题可知比长5，可列方程解答．
试题解析：在□中，
∵周长- 周长=，
又∵□的周长为.
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