18.2 平行四边形的判定（1）同步练习

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18.2 平行四边形的判定（1）同步练习
　 班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1．平行四边形的判定方法:
(１)定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ;
(２)判定定理１:两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
2.平行四边形的定义既是判定方法又是性质,要学会灵活运用；判定定理应用的常规思路是:由边相等得平行四边形,进而利用平行四边形的性质解决问题．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．如图，将平行四边形ABCD沿翻折，使点恰好落在上的点处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=450，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，AB=1，则EF的长是（ ）
A. B. C. D.
4．已知四边形ABCD的四条边分别是a、b、c、d．其中a、c是对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形一定是（　　）
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
5．如图是某城市部分街道，已知AF∥BC，EC⊥BC，EF＝CF，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B→A→E→F；乙乘2路车，路线是B→D→C→F.假设两车速度相同，途中耽误的时间相同，那么( )
A. 甲将先到F站 B. 乙将先到F站 C. 甲、乙将同时到达 D. 不能确定
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的动点，过点D作DE∥AB交CB于E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于F，当AD从小于DC到大于DC的变化过程中，则△DCE与△BEF的周长之和的变化情况是（ ）
A. 一直不变 B. 一直增大 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
7．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
二、填空题
8．若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是___________，理由是__________．
9．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有_______个平行四边形，它们分别是____________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，点D，E分别是AB，AC的中点，点G，F在BC边上(均不与端点重合)，DG∥EF.将△BDG绕点D顺时针旋转180°，将△CEF绕点E逆时针旋转180°，拼成四边形MGFN，则四边形MGFN周长l的取值范围是___________.
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于点E，DF∥BE且交BC于点F，则∠1的度数为 ．
三、解答题
12．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°点E是AB的中点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE，求证四边形ACEF是平行四边形．
13．如图所示，在ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足AE＝CF，BG＝DH，连接EF，GH．试说明EF和GH互相平分．
14．如图，已知E，F，G，H分别是平行四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
15．嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=
求证：四边形ABCD是 四边形．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇同学的思路写出证明过程；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题.
16．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．
17．如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．
参考答案
1．C
【解析】试题解析：∵△ACE≌△BDF，
∴AC=BD、CE=DF、AE=BF，
∵AB=CD=EF，
∴平行四边形有 ACDB、 CEFD、 AEFB三个，
故选C.
点睛：利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形即可；
2．C
【解析】试题分析：根据题意可得：四边形ABEF为平行四边形，则AB=EF，AF=BE，根据折叠的性质可得：AF=AB=EF，故本题选C．
3．B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB=1，
∴∠ECF=∠ABC=45°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB=1
∴CE=CD+DE=2，
∵EF⊥BC，∠ECF=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形.
∴EF=CF，EF2+CF2=CE2=4，
∴2EF2=4，
∴EF=.
故选B.
4．A
【解析】因为a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，所以a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=0，
所以(a-c)2+(b-d)2=0，所以a-c=0，b-d=0，所以a=c，b=d.
所以四边形ABCD是平行四边形.
故选A.
5．C
【解析】∵BA∥DE,BD∥AE
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AB=DE，
∵AF∥BC，EC⊥BC，EF=CF，
∴AF是EC的垂直平分线，
∴DE=CD，
∴BA+AE+EF=BD+CD+EF，
∵两车速度相同，途中耽误的时间相同，
∴甲乙两个人同时到达.
故选：C.
6．A
【解析】∵AC⊥BC,BF⊥BC, ∴AC∥BF.
又∵DE∥AB, ∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD,DF=DE+EF=AB,
∴△DCE与△BEF的周长之和等于△ABC的周长，
∴△DCE与△BEF的周长之和一直不变.
故选A.
7．B
【解析】试题分析：根据平行四边形的性质，找出对应相等的边，利用等腰三角形的性质把四边形周长转化为已知的长度去解题．∵DE∥AB，DF∥AC，则四边形AFDE是平行四边形，∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF ∴BF=FD，DE=EC，
所以： AFDE的周长等于AB+AC=10．
考点：（1）、平行四边形的性质；（2）、等腰三角形的性质；（3）、平行四边形的判定．
8． 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】试题解析：若四边形ABCD的边AB=CD，BC=DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：平行，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
9． 3 □ABCE，□ABGC，□AFBC
【解析】试题解析：图中共有3个平行四边形，它们分别是
理由如下：
∵AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，
∴AB∥EC，EA∥BC,
∴四边形ABCE是平行四边形；
同理可证，四边形ABGC是平行四边形；
四边形AFBC是平行四边形.
故答案为：3,
10．≤l＜13
【解析】如图,连接DE,作AH⊥BC于H.
在Rt△ABC中, ∵∠BAC=90°AB＝4，AC＝3，,
,
,
,
, ,
, ,
,
∴四边形DGEF是平行四边形,
,
根据题意,,
∴四边形MNFG是平行四边形,
∴当MG=NF=AH时,可得四边形MNFG周长的最小值= ,
当G与B重合时可得周长的最大值为13,
∵G不与B重合,
.
点睛：本题考查了旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，根据图形找出四边形MNFG周长的最小值和最大值时的界点是解答本题的关键.
11．35°．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DE∥BF，∵DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF，∴∠CDF=∠ABR，∵∠ABC=70°，BE平分∠ABC且交AD于E，
∴∠ABE=35°，∴∠CDF=35°，∴∠1=70°﹣35°=35°，
故答案为：35°．
考点： 平行四边形的性质．
12．答案见解析
【解析】试题分析：要证明四边形ACEF是平行四边形，需求证CE∥AF，由已知易得△BEC，△AEF是等腰三角形，则∠1=∠2，∠3=∠F，又∠2=∠3，得到∠1=∠F，故CE∥AF，由此即可得到结论．
试题解析：证明：∵点E为AB中点，∴AE=EB．又∵∠ACB=90°，∴CE=AE=EB．又∵AF=CE，∴AF=AE，∴∠3=∠F．又∵EB=EC，ED⊥BC，∴∠1=∠2（三线合一）．又∵∠2=∠3，∴∠1=∠F，∴CE∥AF，∴四边形ACEF是平行四边形．
点睛：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
13．答案见解析
【解析】试题分析：如图，连接EG，GF，FH，HE，证明四边形EGFH是平行四边形，问题即可解决．
试题解析：解：连接EG，GF，FH，HE．如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，AD＝BC．又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE=BF．又∵DH＝BG，∴△BFG≌△DEH(SAS)，∴GF＝EH，同理GE=FH，∴四边形EGFH平行四边形，∴EF和GH互相平分．
14．见解析
【解析】试题分析：易证得△AEH≌△CGF，从而证得对应边EH=FG．同理可证：HG=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得证．
试题解析：证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC．∵BF=DH，∴AH=CF．∵AE=CG，∠A=∠C，AH=CF，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=FG（全等三角形的对应边相等）．
同理可证：HG=EF，∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
15．（1）见解析；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，即可得到结论；
（2）连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．
试题解析：解：（1）已知：如图1，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
（2）证明：连接BD．
在△ABD和△CDB中，∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠CDB，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为：
平行四边形两组对边分别相等．
16．（1）证明见试题解析；（2）9.6．
【解析】试题分析：（1）根据已知和角平分线的定义证明∠ADE=∠BAD，得到DE∥AB，又AE∥BD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；
（2）设BF=x，根据勾股定理求出x的值，再根据勾股定理求出AF，根据AC=2AF得到答案.
试题解析：（1）∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，
∴AE∥BD，
∵∠ADE=∠BAD，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）∵DA平分∠BDE，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD=5，
设BF=x，
则52-x2=62-（5-x）2，
解得，x=，
∴AF=，
∴AC=2AF=．
考点：平行四边形的判定与性质．
17．（1）见解析；（2）平行四边形；（3）
【解析】试题分析：（1）从图上及已知条件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，所以此题的关键是找出相等的边．
（2）由（1）的结论容易证明AB∥DF，BD∥AF，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（3）EF∥AB，EF≠AB，四边形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面积即可．
试题解析：解：（1）△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF．
（选证一）△BDE≌△FEC．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°，∴∠BDE=∠FEC=120°．
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC．
（选证二）△BCE≌△FDC．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．
又∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE，∴FD=AC=BC，∴△BCE≌△FDC．
（选证三）△ABE≌△ACF．
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．
∵CD=CE，∴△EDC是等边三角形，∴∠AEF=∠CED=60°．
∵EF=AE，△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴△ABE≌△ACF．
（2）由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形，∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，∴AB∥DF，BD∥AF，∴四边形ABDF是平行四边形．
（3）由（2）知，四边形ABDF是平行四边形，∴EF∥AB，EF≠AB，∴四边形ABEF是梯形．
过E作EG⊥AB于G，则EG=，∴
．
点睛：此题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定，及梯形面积的求解，用到的知识点比较多，较复杂．
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