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17.1 勾股定理（1）课件
数学人教版 八年级下
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导入新课
相传2500多年前，古希腊著名数学家毕哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺
成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.
同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢，让我们一起探索吧。
新课讲解
思考：图中三个正方形 的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？
新课讲解
思考：图中三个正方形 的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？
斜边的平方等于两直角边的平方和.
新课讲解
想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？
A
B
C
猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
新课讲解
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
赵爽弦图
勾股定理：
新课讲解
练习1：求图中字母所代表的正方形的面积．
A
A
A
Ｂ
225
144
80
24
17
8
81
56
80
225
新课讲解
练习2：求下列直角三角形中未知边的长度．
A
B
C
4
6
x
C
B
A
5
10
x
巩固提升
1．下列说法正确的是( )
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
D
巩固提升
2．利用如图(1)或(2)所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理中结论的数学表达式是__________．
勾股定理
a2＋b2＝c2
巩固提升
3．如图，正方形B的面积是______．
144
巩固提升
4．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝_____，b＝_____．
15
12
巩固提升
5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，
(2)设a＝3x，c＝5x，
∵a2＋b2＝c2，
∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，
∴a＝21，c＝35
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
勾股定理的内容是什么？它有什么作用？
布置作业
教材P28页习题17.1第1、2题．
谢 谢！
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课题：17.1 勾股定理（1）
教学目标：
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．21世纪教育网版权所有
重点：
勾股定理的内容和证明及简单应用．
难点：
勾股定理的应用.
教学流程：
一、导入新课
相传2500多年前，古希腊著名数学家毕哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.21cnjy.com
同学们，地砖图案中蕴含着怎样的数量关系呢，让我们一起探索吧。
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二、新课讲解
思考：图中三个正方形 的面积有什么关系？等腰直角三角形的三边有什么关系？
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（观看视频演示）
答：两个小正方形的面积这和等于大正方形的面积.
等腰直角三角形的三边满足斜边的平方等于两直角边的平方和.
想一想：在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？21教育网
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猜想：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
介绍《赵爽弦图》
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面积验证：
证明：∵
∴
即：
勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
练习1：求图中字母所代表的正方形的面积．
答案：（1）81；（2）56，80；（3）225
练习2：求下列直角三角形中未知边的长度．
答案：（1）；（2）
三、巩固提升
1．下列说法正确的是( )
A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
答案：D
2．利用如图(1)或(2)所示的两个图形 ( http: / / www.21cnjy.com )中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理中结论的数学表达式是__________．
答案：勾股定理，a2＋b2＝c2
3．如图，正方形B的面积是______．
答案：144
4．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝_____，b＝_____．
答案：15，12
5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)若b＝2，c＝3，求a的值；
(2)若a∶c＝3∶5，b＝28，求a，c的值．
解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理得，
(2)设a＝3x，c＝5x，
∵a2＋b2＝c2，
∴(3x)2＋282＝(5x)2，解得x＝7，
∴a＝21，c＝35
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
勾股定理的内容是什么？它有什么作用？
五、布置作业
教材P28页习题17.1第1、2题．
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17.1 勾股定理
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，已知，则( )
A. 1 B. 5 C. 10 D. 25
2．如图：图形A的面积是( )
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A. 225 B. 144 C. 81 D. 无法确定
3．如图，一艘船以6海里/小时的速度从 ( http: / / www.21cnjy.com )港口A出发向东北方向航行，另一艘船以2.5海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距( )
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A. 13海里 B. 10海里 C. 6.5海里 D. 5海里
4．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
5．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）21世纪教育网版权所有
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A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．根据下图中的数据，确定A＝_______，B＝_______，x＝_______.
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7．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为________．
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8．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、点B到直线l的距离分别是3和4，则该正方形的面积是__________.21教育网
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9．一个直角三角形的两条直角边分别为3cm，4cm，则这个直角三角形斜边上的高为________cm．21cnjy.com
10．在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，则AB边的长是______________．
三、解答题(共40分)
11．如图，已知CD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠D＝90°，BD＝DC，求AC的长．
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12．如图所示，在铁路线CD同侧有 ( http: / / www.21cnjy.com )两个村庄A，B，它们到铁路线的距离分别是15km和10km，作AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且CD=25，现在要在铁路旁建一个农副产品收购站E，使A，B两村庄到收购站的距离相等，用你学过的知识，通过计算，确定点E的位置．
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参考答案
1．B
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，b=12，c=13，∴a===5．故选B．21·cn·jy·com
2．C
【解析】解：由勾股定理得，A的面积=225﹣144=81．故选C．
3．A
【解析】如图，设2小时后，向东北方向航行的船到达点B处，向东南方向航行的船到达点C处，连接BC，
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由题意可知：∠BAC=90°，AB=6×2=12，AC=2.5×2=5，
∴BC=，即离开港口2小时后，两船相距13海里.
故选A.
4．D
【解析】A：大正方形面积为c2，也可以表示为： ab×4+（b－a）2=a2+b2，∴a2+b2= c2.
B：中间小正方形的面积=大正方形的面积－四个直角三角形的面积，∴c2=（a+b）2－ab×4= a2+b2，即a2+b2= c2.www.21-cn-jy.com
C：梯形的面积等于三个直角三角形面积之和，∴（a+b）×（a+b）=c2+ab×2，整理得a2+b2= c2.2·1·c·n·j·y
D选项不能证明.
故选D.
5．C
【解析】∵树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且BC=5m，AB=12m，
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∴AC===13m，
∴这棵树原来的高度=BC+AC=5+13=18m.
故选：C.
6．15，144，40
【解析】根据勾股定理，得：A= B=169-25=144；X=
故答案：15，144，40.
7．10．
【解析】∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，
∴BD=8，AB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=10．
故答案：10.
8．25
【解析】解：如图所示，
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∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°，
∵AE⊥BE，CF⊥BF，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°,∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中
，
∴△ABE≌△BCF(ASA)
∴BE=CF=4，
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
∴AB=5，
∴S正方形ABCD=5×5=25.
故答案为：25.
9．
【解析】根据勾股定理，斜边长为=5，
根据面积相等，设斜边上的高为x，则×3×4=×5x，
解得，x=，
故答案是： ．
10．13或
【解析】当AB为斜边时，则AB=；
当AB为直角边时，则AB=，
所以AB边的长为13或．
11．2
【解析】首先由勾股定理可得BC2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )BD2＋DC2，AC2＝AB2＋BC2，则AC2＝AB2＋BD2＋DC2，又由BD＝DC可得AC2＝AB2＋2CD2＝42＋2×62＝88，求出AC即可.
解：在Rt△BDC和Rt△ABC中，BC2＝BD2＋DC2，AC2＝AB2＋BC2，
则AC2＝AB2＋BD2＋DC2，
又∵BD＝DC，
∴AC2＝AB2＋2CD2＝42＋2×62＝88，
∴AC＝2，即AC的长为2.
12．E点在距离C点10km处．
【解析】根据题目中产品收购站E,使得A,B两 ( http: / / www.21cnjy.com )村到E站的距离相等,在Rt△DBE和Rt△CAE中,设出CE的长,可利用勾股定理将AE和BE的长表示出来,列出等式进行求解即可．
解：设CE=xkm,则DE=（25﹣x）km,
∵AC⊥CD,BD⊥CD,
∴△ACE和△BDE都是直角三角形,
在Rt△ACE中,AE2=152+x2,
在Rt△BDE中,BE2=102+（25﹣x）2,
∵AE=BE,
∴152+x2=102+（25﹣x）2,
解得:x=10,
∴ E点在距离C点10km处.
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