陕西省黄陵中学2017-2018学年高一（重点班）下学期开学考试数学试题

高一重点班开学考试数学试题
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．设集合， ，则（）
A. B. C. D.
2．若直线与直线相11交，且交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B. C. D.
3．若，则(　　)
A. B.
C. D.
4．下列函数中,既是偶函数又在区间上递增的函数为
A. B. C. D.
5. 函数y=1－, 则下列说法正确的是
A.y在(－1,+∞)内单调递增 B.y在(－1,+∞)内单调递减
C.y在(1,+∞)内单调递增 D. y在(1,+∞)内单调递减
6. 正方体的内切球与外接球的半径之比为
A．∶1 B．∶2 C．1∶ D．2∶
7. 已知直线与直线互相垂直,则实数a的值为
A．-1或2 B．-1或-2 C．1或2 D．1或-2
8. 下列命题中错误的是
A 若，则 B若， 则
C若，，，则 D若，，则
9、定义矩阵，若，则
（ ）
A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称
C.在区间上的最大值为1 D. 周期为的奇函数
10、下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量是共线向量，则A,B,C,D四点共线
B. 若O为ABC所在平面内一点，且，则点O是ABC的外心。
C. 已知点P为ABC所在平面内一点，且，则点P是ABC的垂心。
D. 若三角形ABC为直角三角形，则。
11、设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（　　）
A． B．
C． D．
12、已知在中，角都是锐角，且，则的最大值为（ ）
A. B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应位置上）。
13．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为　　　　　
14．若，则的定义域为 15．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 16．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
已知函数，，其中且，设．
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求使成立的x的集合．
18．（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式，，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．
（1）设对乙产品投入资金万元，求总利润（万元）关于的函数关系式及其定义域；
（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？
19.(本小题满分12分）如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“可拆分函数”.
（1）试判断函数是否为“可拆分函数”？并说明你的理由；
（2）证明：函数为“可拆分函数”；
（3）设函数为“可拆分函数”，求实数的取值范围.
20（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为π，它的一个对称中心为（，0）
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
21.已知圆的圆心为，直线.
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)若，求直线被圆所截得弦长的最大值；
(3)若直线是圆心下方的切线，当在上变化时，求的取值范围.
22.如图1，在等腰直角三角形中，，，、分别是，上的点，，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
CCDC CCBD CCDA
13． 或 14．
15. 16.
17．【解】（1）要使函数有意义，则，计算得出，
故h(x)的定义域为；
（2） …
故h(x)为奇函数．
（3）若f(3)=2， ，得a=2，
此时，若，则，
，得， ……
所以不等式的解集为．
18．【解】（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150﹣x）（万元）（25≤x≤125）．所以 …4分
其定义域为[25，125]
（2）令，因为x∈[25，125]，所以t∈[5，5]，
有 …
当时函数单调递增，当时函数单调递减，
所以当t=6时，即x=36时，ymax=203
答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万
元．
19.解:(1)假设f(x)是“可分拆函数”,则
存在x0,使得 即 ,而此方程的判别式△=1-4=-3<0,
方程无实数解,所以,f(x)不是“可分拆函数”
(2)证明:令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1),
则h(x)=2x+1+(x+1)2-2x-x2-2-1=2(2x-1+x-1)
又h(0)=-1,h(1)=2,故h(0)h(1)<0.
所以h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=0
在上有实数解x0,也即存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,
所以,f(x)=2x+x2是“可分拆函数”
(3)因为函数f(x)= 为“可分拆函数”
所以存在实数x0,使得
且a>0所以, 令 ,则t>0,所以,
由t>0得 ,即a的取值范围是
20.(1)f(x)＝sin(2x－π3)．
令2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝5π12＋kπ2(k∈Z)，即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝5π12＋kπ2(k∈Z)．
(2)由条件知sin(2x1－π3)＝sin(2x2－π3)＝13>0，设x121.(1圆的圆心坐标为.
所以圆心的轨迹方程为.
(2)已知圆的标准方程是.
则圆心的坐标是，半径为.
直线的方程化为：，则圆心到直线的距离是，
设直线被圆所截得弦长为，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：
，
∵，∴当时，的最大值为.
(3)因为直线与圆相切，则有.
即.
又点在直线上方，∴，即，
∴，∴.
∵，∴，
∴.
22.(1)在图1、2中，连接，，易得，，，，
因为，所以
,，
即，，
所以平面.
(2)在图2中设，交于点，取中点，连接，，则
，，
则就是二面角的平面角，
其中，，
.
(3)取中点，连接和，作，则平面，
所以就是直线与平面所成的角，
易得，，
所以.